solucionario 2012 -ii matemát - academia aduni
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Matemát
Solucionario
2012 -IIExamen de admisión
Matemática
1
TEMA P
PREGUNTA N.o 1Sean a, b ∈ N y
MA (a, b) la media aritmética de a y b.
MG (a, b) la media geométrica de a y b.
MH (a, b) la media armónica de a y b.
Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado:
I. Si MA (a, b)=MG (a, b), entonces
MG (a, b)=MH (a, b).
II. Si MG (a, b)=MH (a, b), entonces
MA (a, b)=MG (a, b).
III. Si MA (a, b) – MG (a, b) > 0, entonces
MG (a, b) – MH(a, b) > 0.
A) VVF
B) VFV
C) VVV
D) VFF
E) FVF
R���������
Tema: Promedio
Sean a; b ∈N.
• Si a=b, entonces MA(a; b)=MG(a; b)=MH(a; b)
• Si a ≠ b, entonces MA(a; b) > MG(a; b) > MH(a; b)
Análisis y procedimientoI. Verdadera
Si MA a b MG a b( ; ) ( ; )= , entonces a=b.
Luego
MG a b MH a b
a aa a
a a
( ; ) ( ; )��� �� � �� ��=
× = × ×+
2
(cumple)
II. Verdadera
Si MG a b MH a b( ; ) ( ; )= , entonces a=b.
Luego
MA a b MG a b
a aa a
( ; ) ( ; )��� �� ��� ��=
× = ×2
(cumple)
III. Verdadera
Si MA a b MG a b( ; ) ( ; )− > 0, entonces a ≠ b.
Luego
MG(a; b) – MH(a; b) > 0
∴ MG(a; b) > MH(a; b) (cumple)
R��������VVV
Alternativa C
) la media armónica de a y b.
Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según
), entonces
), entonces
) > 0, entonces
) > 0.
MG a b a b
a aa a
a a
( ;a b( ;a b) (MH) (MH ; )a b; )a b����� ���� �� �� �� ���� ���� ���� ��� �� �� �� �� � �� ��� ��� ��� ����� ��) (=) (
× =a a× =a a× ×a a× ×a a+a a+a a
2
II. Verdadera
Si MG a b a b( ;a b( ;a b) (MH) (MH ; )a b; )a b) (=) (
Luego
MA a b a b
a aa a
( ;a b( ;a b) (MG) (MG ; )a b; )a b����� ���� �� �� �� ���� ���� ���� ��� �� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ����� ��) (=) (
×a a×a a = ×= ×a a= ×a a2
III. Verdadera
2
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 2Indique la alternativa correcta después de determinar
si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F)
según el orden dado:
I. La diferencia entre el descuento comercial y el
descuento racional es igual al interés simple que
gana el descuento racional.
II. Valor actual de un descuento, es igual al valor
nominal más el descuento.
III. Descuento es la rebaja que sufre el valor nominal
de una transacción comercial, al ser efectiva,
antes de la fecha de vencimiento.
A) VVV
B) VVF
C) VFV
D) VFF
E) FVF
R���������
Tema: Regla de descuento
Análisis y procedimiento
I. Verdadera
Recordemos que el cálculo del Dc y Dr de una y un mismo tiempo es
hoy
Vac
Var
t
Dc
Dr
Vn
• Dc=r % Vn t (I)
• Dr=r % Var t (II)
Restando las expresiones (I) y (II).
Tenemos
D D r V V tc r n ar
Dr
− = −( )%� �� ��
∴ Dc – Dr=r % Dr
II. Falsa
Recordemos que
hoy
Va Vn
D
Entonces
D=Vn – Va
∴ Va=Vn – D
III. Verdadera
El descuento es la rebaja que se realiza al valor nominal (Vn) de un documento comercial al cancelarla antes de la fecha de vencimiento.
R��������
VFV
Alternativa C
antes de la fecha de vencimiento.
hoy
Entonces
D=VnD=VnD=V – Va – Va – V
∴ VaVaV =Vn=Vn=V – D
3
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 3Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado:I. La frecuencia relativa es el cociente entre la
frecuencia acumulada del i-ésimo intervalo y el número total de datos.
II. La mediana de un conjunto de n datos, es el valor que más veces se repite.
III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los datos que representan las notas de un examen, entonces la desviación estándar es mayor que 1,7.
A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF
R���������
Tema: Estadística descriptiva
Análisis y procedimientoI. Falsa Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el
cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-ésimo intervalo y el número total de datos.
hfnii=
II. Falsa Porque la mediana de un conjunto de n datos es
el valor que divide al conjunto de datos, previa-mente ordenados, en dos partes iguales.
III. Verdadera
Porque σ = −=∑( )x
nx
ii
n2
1 2
desviaciónestándar
y tenemos
x = + + + + =18 19 16 17 14
516 8,
σ
σ
= + + + + −
= =
18 19 16 17 145
16 8
2 96 1 72046
2 2 2 2 22( , )
, ,
Donde σ > 1,7
R��������FFV
Alternativa D
PREGUNTA N.o 4Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 están defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el número esperado E de bombillas seleccionadas.
A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5
R���������
Tema: Función de la probabilidad
Tenga en cuenta que para calcular la esperanza matemática es necesario reconocer la variable aleatoria y calcular su respectiva probabilidad.
x x1 x2 x3 ... xn
P(x) P1 P2 P3 Pn
E x Px i xi
n
i( ) ( )=
= ⋅∑1
Estadística descriptiva
Análisis y procedimiento
Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-ésimo intervalo y el número total de datos.
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 44Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 están defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el número esperado E de bombillas seleccionadas.
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
4
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Análisis y procedimientoEn una casa se tienen 8 bombillas, de las cuales 3 son defectuosas (D) y 5 son no defectuosas (B).
3 D
5 B Se extrae una bombilla de la caja.Si sale defectuosa, se prueba otra hasta seleccionar una no defectuosa.
Definimos la variable aleatoria x.x: número de bombillas extraídas (una a una) hasta obtener una bombilla no defectuosa.
x 1 2 3 4
P(x)
B58
D B38
57
1556
× =
D D B38
27
56
556
× × =
D D D B 38
27
16
55
156
× × × =
Piden
E x Px i xi
i( ) ( )=
= ⋅∑1
4
E x( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅158
21556
3556
4156
E(x)=1,5
R��������1,5
Alternativa C
PREGUNTA N.o 5Sea N
n= 11 1 2...
dígitos( )
Determine la suma de los dígitos de N×N en base 2, donde n ≥ 2.
A) n – 2 B) n – 1 C) n D) n+1 E) n+2
R���������
Tema: Multiplicación
Tenga en cuenta que los numerales con cifras máximas se pueden representar como una sustracción.
Ejemplos
• 999=1000 – 1
• 8889=10009 – 1
• 66667=100007 – 1
• 11112=100002 – 1
Análisis y procedimientoSe tiene que
N
n
= 1111 112
...cifras
� �� ��
Calculamos N×N.
N×N=(111...112)×(111...112)
= × −( ... ) ( ... )
ceros
111 11 1000 00 12 2n��� ��
=111...11000...0002 –
111...1112
111 10000 001
2
2... ...
ceros
cifras
n
n
� �� ��� ���� ����
Por lo tanto, la suma de cifras es
1 1 1 1+ + + + =...
vecesn
n� ��� ���
R��������n
Alternativa C
4
556
=
D D D B 38
27
16
55
156
× × ×× × × =
+ ⋅556
4+ ⋅4+ ⋅ 156
Análisis y procedimientoSe tiene que
Nn
= 1111 112
...cifras
� �� �� �� �� �� ��� �� �� �� ��� �� �� �
Calculamos N×N.
N×N=(111...112)×(111...11
= ×(= ×(= ×...= ×...= ×) (= ×) (= ×111= ×111= ×11= ×11= × 12= ×2= ×
=111...11000...000
111...111
5
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 6Se tiene un número capicúa de seis cifras cuya última cifra es 2. Sea N el residuo de dividir dicho número entre 1000 y M el cociente. Si N – M=99, calcule el valor máximo que puede tomar la suma de las cifras del número capicúa.
A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32
R���������
Tema: Cuatro operaciones
Análisis y procedimiento
Del enunciado, se tiene lo siguiente:
• 2abba2 1000M
N
divisor
cocienteresiduo
dividendo
(I)
• N – M=99 (II)
Realizamos la división en (I)
2abba22000
abba
1000
2ab
bba2
ba2 N
b000
a000
M
En (II)
ba2 – 2ab=99
99b – 198=99
b=3 → amáx=9
Luego, el dividendo es 293 392; entonces la suma de sus cifras es 28.
R��������28
Alternativa C
PREGUNTA N.o 7Se tiene un número de 3 cifras, múltiplo de 30, que tiene un total de 24 divisores. Al multiplicarlo por 10 se forma un nuevo número cuya cantidad
de divisores es D D r V V tc r n ar
Dr
− = −( )%� �� �� de la cantidad de divisores del
número original.Calcule la suma de las cifras del menor número que cumple las condiciones indicadas.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
R���������
Tema: Clasificación de los enteros positivos
Análisis y procedimientoDel enunciado del problema, se tiene lo siguiente
• N abc= = 30o
=2x×3y×5z×k (I)
• 10N=2x+1×3y×5z+1×k (II)
• CD(N)=24 (III)
• CD(10N)=45 (IV)
De (II) y (IV) se deduce que N tiene 3 divisores primos.Luego
abc x y z= = × ×30 2 3 5o
... DC
En (II) CD(N)=24 → ( )( )( )x y z+ + + =1 1 1 2424
33
42
Análisis y procedimiento
Del enunciado, se tiene lo siguiente:
(I)
=99 (II)
por 10 se forma un nuevo número cuya cantidad
de divisores es D Dc rD Dc rD D de la cantidad de divisores del
número original.Calcule la suma de las cifras del menor número que cumple las condiciones indicadas.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
R���������
Tema: Clasificación de los enteros positivos
Análisis y procedimiento
6
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
En (III) CD(10N)=45 → ( )( )( )x y z+ + + =2 1 2 4535
33
53
�������
Luego, se tiene que
x=3; y=2; z=1 o x=1; y=2; z=3
Entonces
abc=23×32×51=360 (cumple)
abc=21×32×53=2250 (no cumple)
Luego
abc=360 (único caso)
Entonces, la suma de cifras es 9.
R��������9
Alternativa B
PREGUNTA N.o 8Determine las veces que aparece el número cinco al efectuar la suma:
72+(77)2+(777)2+(7777)2+(77777)2.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
R���������
Tema: Cuatro operaciones
Tenga en cuenta que por inducción
1 1
11 121
111 12321
1111 1234321
111 11
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
�
��� ��...9 cifras
112345678987654321
Análisis y procedimiento
Sea
E=72+772+7772+77772+777772
E=72×(1+112+1112+11112+111112)
E=72×(1+112+1112+11112+111112)
124701085123454321
123432112321
1211+
Luego
E=72×124701085
E=6110353165
Por lo tanto, el número 5 aparece 2 veces.
R��������2
Alternativa B
Entonces, la suma de cifras es 9.
Alternativa BB
E=72+772+7772+7777
E=72×(1+112+1112
E=72×(1+112+111
124701085123454321
7
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 9Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Sea el conjunto
C={(x, y) ∈ R2 / x2+y2 ≤ 4} Si (– 18; 18) ∈ C, entonces (1; 1) ∈ C
II. Sea A ⊂ R un conjunto vacío y
f: A → R una función tal que existe
m=mín { f(x) / x ∈ A},
Sα(f)={x ∈ A / f(x) ≤ α} con α ∈ R.
Si λ < m, entonces Sλ(f)=∅.
III. Sean los conjuntos Ak, k=1, ..., m, tales
que Ak ⊂ Ak+1. Si x0 ∈ A1, entonces
x AKk
m C
01
∈
=
.
A) VVF
B) VFF
C) FVF
D) FFV
E) FFF
R���������
Tema: Números reales y teoría de conjuntos
Recuerde que
• Reducción al absurdo consiste en negar la tesis
para conseguir una contradicción con alguna de
las hipótesis.
• m=mín{ f(x) / x ∈ A} ↔ m ≤ f(x) ∀ x ∈ A.
• M=máx{ f(x) / x ∈ A} ↔ M ≥ f(x) ∀ x ∈ A.
• x ∈ B ↔ x ∉ BC
Análisis y procedimientoI. Verdadero
En efecto
Si (– 18; 18) ∈ C → (1; 1) ∈ C
(F) (V)
(V)
II. Verdadero
En efecto, por reducción al absurdo
supóngase que Sλ(f) ≠ φ
→ ∃ x0 ∈ A, tal que x0 ∈ Sλ(f)
→ Por definición del conjunto
Sλ(f): f(x0) ≤ λ (I)
Además como m es el mínimo y x0 ∈ A
→ m ≤ f(x0) (II)
Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se
tiene que m ≤ λ, el cual contradice la hipótesis
(λ < m).
∴ Sλ(f)=φ
III. Falso
En efecto, del siguiente diagrama
A1
x0
A2
A3 Am...
se observa que
x0 ∈ A1 ∧ x0 ∈ A2 ∧ x0 ∈ A3 ∧ ... ∧ x0 ∈ Am
entonces x A x Akk
m
kk
m C
01
01
∈ ↔ ∉
= =
Por lo tanto, es falso afirmar que x Akk
m C
01
∈
=
} con α ∈ R.
f)=f)=f ∅.
k=1, ..., m, tales
A1, entonces
→ Por definición del conjunto
Sλ(f(f( ): f): f f(x0) ≤ λ (I)
Además como m es el mínimo y
→ m ≤ f(x0) (II)
Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se
tiene que m ≤ λ, el cual contra
(λ < m).
∴ Sλ(f(f( )=f)=f φ
III. FalsoFalsoF
En efecto, del siguiente diagrama
8
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
R��������VVF
Alternativa A
PREGUNTA N.o 10Cuál de las alternativas es la función cuadrática f,
cuyo gráfico se muestra a continuación, sabiendo
que x y02
02 34+ = .
0b
2
3x0 X
Y
y0
f
A) x2 – 6x+2
B) x2+6x+2
C) 2x2 – 6x+2
D) 2x2 – 12x+2
E) 2x2+12x+2
R���������Tema: Función cuadrática
Sea f(x) una función cuadrática, cuya gráfica es
m
n
x1 x2
P
X
Yf(x)
x xm1 2
2+ =
f(0)=P
x1; x2 son raíces de f(x)
Análisis y procedimiento
Piden la función cuadrática f(x).
Del gráfico, x0; y0
son raíces de f(x)
entonces f(x)=a(x2 – (x0+y0)x+x0y0) (I)
Por dato x y02
02 34+ =
y del gráfico x y0 0
23
+ =
entonces (x0+y0)2=62
x y x y02
02
0 02 36+ + =
34+2x0y0=36
entonces x0y0=1
En (I) f(x)=a(x2 – 6x+1)
Pero del gráfico, f(0)=2
→ f(0)=a=2
∴ f(x)=2(x2 – 6x+1)
R��������
2x2 – 12x+2
Alternativa D
Xy0
fentonces f(f(f x)=a(x2 – (x0+y
Por dato x y0x y0x y2x y2x y02 34+ =x y+ =x y0+ =02+ =2
y del gráfico x y0 0x y0 0x y2
3+x y+x yx y0 0x y+x y0 0x y =
entonces (x0+y0)2=62
x y x y0x y0x y2x y2x y02
0 0x y0 0x y2 3x y2 3x y0 02 30 0x y0 0x y2 3x y0 0x y+ +x y+ +x y0+ +02+ +2 2 3=2 3
34+2x0y0=36
entonces x0y0=1
9
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 11Respecto a la función f: A → R tal que
f xxx
A( ) = +−
=3 52
y ⟨2; ∞⟩
Indique la secuencia correcta, después de determinar
si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. f es inyectiva
II. f es sobreyectiva
III. f * existe, donde f * indica la inversa de f.
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FFV
E) FFF
R���������
Tema: Funciones
Función inyectiva
f es inyectiva si f (a)=f(b) → a=b
Función sobreyectiva
f: A → B es sobreyectiva ↔ Ranf=B
f tiene inversa ↔ f es biyectiva (sobreyectiva e
inyectiva)
Análisis y procedimientoDominio=A=⟨2; +∞⟩Graficando
f
xx xx( ) =
+−
=−
+3 52
112
3
2
3
Y
X
f(x)
I. Verdadera
f es estrictamente decreciente; por lo tanto, es
inyectiva.
II. Falsa
Como f: A → R y del gráfico Ranf=⟨3; +∞⟩ → R ≠ ⟨3; +∞⟩; por lo tanto, no es sobreyectiva.
III. Falsa
Como f * es la función inversa y f no es sobreyec-
tiva, entonces f * no existe.
R��������VFF
Alternativa C
PREGUNTA N.o 12El gráfico del polinomio
P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d es tangente en (1; 1) a la
recta y=1. Además la recta y=1 interseca al gráfico
cuando x=2, x=4, siendo P(2)=P(4) ≠ 0.
Determine P(x) – 1.
A) x2(x – 2)(x – 4)
B) (x – 1)2(x – 3)(x – 5)
C) (x+1)2(x – 1)(x – 3)
D) (x – 1)2(x – 2)(x – 4)
E) (x+1)2(x – 2)(x – 4)
R���������
Tema: Gráfica de funciones polinomiales
Si tenemos
X
Y
–1 0
4 y=f(x)
entonces X
Y
–1–3
1f(x)– 3
→ a=b
es sobreyectiva ↔ Ranf Ranf Ran =B
es biyectiva (sobreyectiva e
VFF
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 1212El gráfico del polinomio
P(x)=x4x4x +ax3ax3ax +bx2+cx+
recta y=1. Además la recta
cuando x=2, x=4, siendo
Determine P(x) – 1.
A) 2( – 2)( – 4)
10
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Análisis y procedimiento
Interpretamos las condiciones para P(x) en el plano
cartesiano.
X
Y
1
(1; 1) (2; 1) (4; 1)
1 2 4
P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d(gráfica aproximada)
Entonces
P(x) – 1
X
Y
1
(1; 0) (2; 0) (4; 0)
raíz de multiplicidad par
Luego para “P(x) – 1” se tiene que sus raíces son 1;
1; 2; 4.
→ P(x)=(x – 1)2(x – 2)(x – 4)
R��������(x – 1)2(x – 2)(x – 4)
Alternativa D
PREGUNTA N.o 13Luego de resolver la inecuación 3
31− <x
x, se obtiene
que x pertenece al intervalo.
A) ⟨0, ∞⟩ B) ⟨1, ∞⟩ C) ⟨2, ∞⟩ D) ⟨3, ∞⟩ E) R \ {0}
R���������
Tema: Gráfica de funciones
Recuerde que si b > 0, entonces bx > 0; ∀ x ∈R.
Análisis y procedimiento
Se tiene la inecuación
3
31−
+<x
x
Luego, x debe ser positivo (x > 0) y es equivalente a
xf
x
gx x( ) ( )
<
3
1
1
3
9
2
y = x
Y
X
y = 3x
Notamos que f(x) < g(x) si y solo si x > 0.
∴ x ∈⟨0; +∞⟩
R��������⟨0; +∞⟩
Alternativa A
P(x) – 1
X(4; 0)
raíz de multiplicidad par
– 1” se tiene que sus raíces son 1;
Se tiene la inecuación
331−
+<x
x
Luego, x debe ser positivo (x debe ser positivo (x
xf
x
gx xgx xg( )f( )f x x( )x x( )x x( )x x
<
3
3
9
Y
11
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 14Las siguientes operaciones elementales:
c1 ↔ c2; 3f3; f2 – f3, en este orden, transforman la
matriz A en 1 5 24 6 8
6 3 9− −
−
, la cual se puede expresar
como (RPQ)A, donde RPQ son matrices de orden
3×3 no singulares. Determine A.
A) 2 3 11 5 22 1 3−
B)
1 2 51 3 1
2 1 1−
−
C) − −
−
2 5 13 4 11 3 1
D) 2 1 44 3 11 2 1
−−−
E) 4 3 51 1 22 0 3
−−
R���������
Tema: Matrices
Operaciones elementales fila
Análisis y procedimientoDel enunciado tenemos
A A A RPQ Af f f f f1 2 3 2 33
1 5 24 6 86 3 9
↔ −− −
−
=' '' ( )·
Entonces
A '' =−
1 5 22 3 16 3 9
es obtenido de ( ) ''RPQ A Af f2 3+
→ A ' =−
1 5 22 3 12 1 3
es obtenido A Af
'' '·
13 3
→ A =−
2 3 11 5 22 1 3
es obtenido de A Af f
'1 2↔
Observación
En la resolución del problema, hemos considerado los
siguientes datos: f1 ↔ f2; 3f3; f2 – f3.
R��������2 3 11 5 22 1 3−
Alternativa A
PREGUNTA N.o 15En los siguientes sistemas cada ecuación representa
un plano.
I) x – 3y+z=1 II) x – 3y+4z=2
– 2x+6y – 2z=– 2 – 4x+y+z=3
– x+3y – z=– 1 – 3x – 2y+5z=5
→ A ' =
1 5 22 3 12 1−2 1− 3
es obtenido
→ A =
2 3 11 5 22 1−2 1− 3
es obtenido de
Observación
En la resolución del problema, hemos considerado los
siguientes datos: f1f1f ↔ f2f2f ; 3f; 3f; 3 3f3f
R��������
12
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Denotando por P, Q y R los correspondientes planos, la interpretación geométrica de la solución de los
sistemas I y II es dada respectivamente por:
1) 2) 3)
QPP, Q, RQ
PR R
A) 2 y 1 B) 2 interpreta ambos sistemas C) 1 y 3 D) 2 y 3 E) 3 interpreta ambos sistemas
R���������
Tema: Geometría analítica
Análisis y procedimientoI. P: x – 3y+z=1 Q: – 2x+6y – 2z=– 2 r: – x+3y – z= –1
Luego P: x – 3y+z=1 Q: + x – 3y+z=1 → P, Q, R r: x – 3y+z=1 II. P: x – 3y+4z=2 Q: – 4x+y+z=3 r: – 3x –2y+5z=5
Luego P ∩ Q: –11y+17z=11 P ∩ R: –11y+17z=11 →
RR
PP Q ∩ R: –11y+17z=11
NotaConsiderando Q y R diferentes.
R��������2 y 1
Alternativa A
PREGUNTA N.o 16Si la solución de Máx{ax+by} se encuentra en x=3,
sujeto a
x ≥ 0
y+x ≤ 4
y – x ≥ – 2
determine en qué intervalo se encuentra a /b.
A) ⟨– ∞; –1]
B) ⟨– ∞; 1]
C) [ – 1; 1]
D) [ – 1; ∞⟩
E) [1; ∞⟩
R���������
Tema: Programación lineal
La función objetivo f(x; y) se optimiza en uno de los vértices de la región factible.
Análisis y procedimientoGraficamos las restricciones
xy xy x
≥+ ≤− ≥ −
042
1
– 2
2 3
4
y+x=4
y – x=– 2
solución
Función objetivo:
f(x; y)=ax+by
E) 3 interpreta ambos sistemas
→ PPPP,,PP,PP QQ,,QQ,QQ RRR
E) [1; ∞⟩
R���������
Tema: Programación lineal
La función objetivo f(f(f x; y) se optimiza en uno de los vértices de la región factible.
Análisis y procedimientoGraficamos las restricciones
xy x≥+ ≤y x+ ≤y x
04
13
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
Como (3; 1) es solución de fmáx, se cumple que
f(0; – 2) ≤ f(3; 1)
↔ – 2b ≤ 3a+b ↔ – a ≤ b
f(0; 4) ≤ f(3; 1)
↔ 4b ≤ 3a+b ↔ b ≤ a
Intersecando – a ≤ b ≤ a (se deduce a > 0)
− ≤ ≤ ≠
1 1 0
ba
ba
pero
− ≤ ≤ ∨ < ≤1 0 0 1ba
ba� �� ��
− ≥ ∪ ≥1 1
ab
ab
∴ ab∈ −∞ − ]∪ + ∞; ;1 1
R��������ab∈ −∞ − ]∪ + ∞; ;1 1
No hay clave
PREGUNTA N.o 17Señale la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F):
I. El límite de 2 2 1
3 1
2n nn n
+ −− +
( )( )
es 2.
II. Los valores de la sucesión Snn
nn
= − + −( )
( )1
1
pertenecen al intervalo ⟨– 1; 1⟩.
III. La serie 4
21 n nn ( )+=
∞
∑ converge y su suma es 3.
A) VFF B) FVF C) VFV D) FVV E) FFF
R���������
Tema: Sucesiones y series
Recuerde que
• a a a a an n{ } = { }1 2 3; ; ; ...; ; ...
• lím líma ann
n=→+∞
* lím lím1 1
0n nn= =
→+∞
• a a a a an nn
= + + + + +=
∞
∑ 1 2 31
... ...
Análisis y procedimiento
I. Verdadera
lím lím2 2 1
3 1
2 2 1
2 3
1
1
22
2
2
2
n nn n
n n
n n
n
n
n
+ −− +
=+ −( )
− −( )
×
×→+∞( )( )
=+ −
− −→+∞lím
n
n n
n n
22 1
12 3
2
2
= 2
II. Falsa
S S S S Sn{ } = { }1 2 3 4; ; ; ; ... , donde
S
nnn
n= − + −
( )( )
11
Si n es par, Snn = + >11
1.
Si n es impar, Snn = − − < −11
1.
Luego, Sn ∉ ⟨– 1; 1⟩ para todo n.
III. Verdadera
42
41 3
42 4
43 5
44 6
45 71n nn ( )
...+
=×
+×
+×
+×
+×
+=
∞
∑
∪ ≥1 1∪ ≥1 1∪ ≥
∞
No hay claveNo hay clave
Análisis y procedimiento
I. Verdadera
lím lm l2 2
m l2 2
m l1
m l1
m l3 1
22 222 2m l
n nm l
2 2n n2 2m l
2 2m l
n nm l
2 2m l
2 222 2n n2 222 23 1n n3 1 n
+ −m l
+ −m l
2 2+ −2 2n n+ −n nm l
n nm l
+ −m l
n nm l
2 2n n2 2+ −2 2n n2 2m l
2 2m l
n nm l
2 2m l
+ −m l
2 2m l
n nm l
2 2m l
3 1− +3 13 1n n3 1− +3 1n n3 1m l=m l
→+( )3 1( )3 1n n( )n n3 1n n3 1( )3 1n n3 1− +( )− +3 1− +3 1( )3 1− +3 1n n− +n n( )n n− +n n3 1n n3 1− +3 1n n3 1( )3 1n n3 1− +3 1n n3 1( )3 1( )3 13 1n n3 1( )3 1n n3 13 1− +3 1( )3 1− +3 13 1n n3 1− +3 1n n3 1( )3 1n n3 1− +3 1n n3 1
=
= 2
II. Falsa
14
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
= −
+ −
+ −
21
23
22
24
23
25
+ −
+ −
+2
426
25
27
...
=2+1 =3
R��������VFV
Alternativa C
PREGUNTA N.o 18Determine el conjunto solución de
x
x x x
++ + +
<1
8 14 1203 2
A) x ∈ ⟨– 2; 1⟩ B) x ∈ ⟨– 6; – 1⟩ C) x ∈ ⟨– 3; – 1⟩ D) x ∈ ⟨– 2; 3⟩
E) x ∈ ⟨1; 6⟩
R���������
Tema: Inecuación fraccionaria
Recuerde que
ax2+bx+c > 0; ∀ x ∈ R ↔
i. a > 0
ii. ∆=b2 – 4ac < 0
Análisis y procedimiento
En la inecuación fraccionaria
x
x x x
++ + +
<1
8 14 1203 2
Al factorizar el denominador, se tiene que
pues x2+2x+2 > 0; ∀ x ∈ R
xx x x
++ + +( ) <
+
16
1
2 20
2( )·
( )� ��� ���
entonces la inecuación equivale a
xx++
<16
0
Luego, por criterio de los puntos críticos, se tiene que
– 6 – 1– ∞ +∞
+ +–
∴ CS=⟨– 6; –1⟩
R��������x ∈ ⟨– 6; – 1⟩
Alternativa B
PREGUNTA N.o 19Sea la sucesión an{ } donde
a
n n n
n =+ −
++
3
11
2
11
1
1
11
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�����
�
�
������
, para todo n ∈ N.
Diga a qué valor converge la sucesión an{ }.
A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
R���������
Tema: Sucesiones
Recuerde que
x n n n x n� � = ↔ ∈ ∧ ≤ < +Z 1
Determine el conjunto solución de
∴ CS=⟨– 6; –1⟩
R��������x ∈ ⟨– 6; – 1⟩
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 1919Sea la sucesión { }a{ }an{ }n donde
an = 3
11
2
11
1
���������������������������������������
��������������������������
15
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
Análisis y procedimientoSe tiene el término enésimo de la sucesión
aa
n n n
n =+
++
31
2
11
1
1
11
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�����
�·
··
��
�����
Basta analizar el tercer factor de an
Como n ∈ N
→ n ≥ 1
0
11< ≤
n
0 1
12< + ≤
n
12
1
11
1≤+
<
n
invirtiendo
sumando uno
invirtiendo
Luego 1
11
0+
=
n
�
�
�����
�
�
�����
Es decir an=0 (sucesión constante)
Por lo tanto, la sucesión converge a 0.
R��������0
Alternativa B
PREGUNTA N.o 20Halle el conjunto solución en la siguiente inecuación:
log3|3 – 4x| > 2
A) ⟨– ∞, – 3/2⟩
B) ⟨3, ∞⟩
C) ⟨– 3/2, 3⟩
D) [– 3/2, 3]
E) ⟨– ∞, – 3/2⟩ ∪ ⟨3, ∞⟩
R���������
Tema: Inecuaciones logarítmicas
Propiedad I
Si |a| > b → a > b ∨ a < – b
Propiedad II
Si a > 1 y logaM > logaN, entonces
M > N ∧ M > 0 ∧ N > 0
Análisis y procedimiento
Como log3|3 – 4x| > 2
→ log3|3 – 4x| > log39
|3 – 4x| > 9
3 – 4x > 9 ∨ 3 – 4x < – 9
− > ∨ <32
3x x
Interpretando geométricamente
–3/2 3– ∞ +∞
→ x ∈ ⟨– ∞; – 3/2⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩
∴ CS 3/2= −∞ − ∪ + ∞; ;3
R��������
−∞ − ∪ ∞, / ,3 2 3
Alternativa E
invirtiendo
=0 (sucesión constante)
Por lo tanto, la sucesión converge a 0.
M > M > M N N N ∧ M > 0 ∧ N
Análisis y procedimiento
Como log3|3 – 4x|3 – 4x|3 – 4 | > 2
→ log3|3 – 4x|3 – 4x|3 – 4 | > log39
|3 – 4x |3 – 4x |3 – 4 | > 9
3 – 4x 3 – 4x 3 – 4 > 9 x > 9 x ∨ 3 – 4x 3 – 4x 3 – 4
− > ∨ <32
3x x> ∨x x> ∨ <x x<3x x3
Interpretando geométricamente
16
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 21Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP CQ⋅ en m.
A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 D) 5/3 E) 5/2
R���������
Tema: Semejanza de triángulos
Recuerde
αA C
B
a
b
c
M
N
m
n Lα
Según el gráfico, ABC ∼ MNL
→ = =am
bn
c
Análisis y procedimiento
Piden AP CQ⋅ .
α
α
θ
Q
θ
P3b
3a
2a
2
2
D
B
G
F
3
2b
CA
E
Según el gráfico:
ABQ ∼ FCQ
BQCQ
= 23
→ CQ=3a y BQ=2a
EAP ∼ CBP
APBP
= 23
BP=3b y AP=2b
Luego
AP=2b y QC=3a
Además
5 225
b b= → =
5 3
35
a a= → =
→ = =AP y QC45
95
∴ AP CQ⋅ = 65
R��������65
Alternativa C
PREGUNTA N.o 22En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm.Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).
MD
A BO
C
R
A) 12 7 π B) 12 5 π C) 12 3 π
D) 24 33
π E) 24 55
π
M
N
m
n Lα
MNL
G
→ = =AP→ =AP→ = y QC45
95
∴ AP CQ⋅ =CQ⋅ =CQ65
R��������65
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2222En la figura adjunta OC=6 cm, Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).
17
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
R���������
Tema: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Recuerde que por relaciones métricas en el
ba h
1 1 12 2 2h a b
= =
Análisis y procedimientoPiden C.
C
BO
CM
D
A
r
rr
12
8 6
Se sabeC =2πr
AO=OB y AD // OC→ AD=2(OC)=12Por relaciones métricas en el DAB
1
8
1
12
1
22 2 2= +( )r
→ =r12 5
5
C = 24 5
5π
R��������24 5
5π
Alternativa E
PREGUNTA N.o 23En un triángulo ABC se tiene que mC=2mA.
Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B
(P exterior a AB). Si mPAB=12
mC y AP=12 u,
determine el valor de BC (en u).
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
R���������
Tema: Aplicaciones de la congruencia
Recuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.
m m
B
A CM
m
Análisis y procedimientoPiden x.Dato: AP=12
6612
12
P
B
QCMA
x6
2ααα
α
2α
C
B
r
r
R���������
Tema: Aplicaciones de la congruencia
Recuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.
m
B
A
m
Análisis y procedimientoPiden x
18
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Se prolongan AC y PB hasta Q.
En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el PAQ es isósceles.→ AP=AQ=12
En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ.→ AM=MQ=BM=6.
El MBC es isósceles, por lo tanto, x=6
R��������6
Alternativa D
PREGUNTA N.o 24Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en M, N y F respectivamente, AM<AN, AM=a, BN=b, CF=c. Determine la medida del radio de la circunferencia mayor.
A) ab
a b c− + B) b
a b c+ − C)
aba b c+ +
D) ab
a b c+ − E) a
a b c+ +
R���������
Tema: Relaciones métricas en la circunferencia
Teorema de cuerdas
y
x b
a
ab=xy
Análisis y procedimientoPiden la longitud del radio x.De la figura, por los datos se tiene queFO=x – cOG=xOM=a – xON=b – x
GO
b
a
CF
M
N
A
c x
x
x–c
b–x
B
Por teorema de cuerdas: FO · OG=ON · OM(x – c)x=(a – x)(b – x) → x2 – cx=ab – ax – bx+x2
xab
a b c=
+ −
R��������ab
a b c+ −
Alternativa D
PREGUNTA N.o 25En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de AD pasa por C. Si mCBD=30º, mBDA=40º y mDAB=70º, calcule la mCDB.
A) 8º B) 10º C) 12º D) 15º E) 17º
Alternativa DD
Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros
que intersecan a la circunferencia menor respectivamente, AM<AN, AM=a, . Determine la medida del radio de la
ba b c+ −a b+ −a b
C) ab
a b c+ +a b+ +a b
a
CF
N
A
c bbb–xxx
Por teorema de cuerdas: FO(x – x – x c)x=(a – x)(b – x) →
xab
a b c=
+ −a b+ −a b
R��������
19
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
R���������
Tema: Aplicaciónes de la congruencia
Observación
αθ
B
a
Q
A
a
O
Si AQ=QB
→ α=θ
Análisis y procedimiento
L
C30º
70º M
aA
B
aD
N
a2a
60ºxx x+40ºx+40º
40º40º
70º70º
Piden mCDB=x.Como L��
mediatriz de AD, entonces AM=MD=a
BDA isósceles se cumple que AD=BD=2a.
BND, Not(30º y 60º), se cumple que DN=a.Por observación anterior mMDC=mNDC=x+40º
BND se cumple que x+x+40º=60º∴ x=10º
R��������10º
Alternativa B
PREGUNTA N.o 26¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar k, siendo a constante?
ak
aαα
θ
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
R���������
Tema: Teorema de correspondencia
Recuerde
Teorema de correspondencia
βω
x y
si β<ω→ x<y
Análisis y procedimientoPiden el menor valor entero de k.Dato: a es una constante
αα
θ
ak
a
agudo
C
Da
E
B
A
aD
N
a60ºxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x+40º40º40º40º40º40ºx+x+x+x+x+x+40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º
40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º
, entonces
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
R���������
Tema: Teorema de correspondencia
Recuerde
Teorema de correspondencia
ω
x
si β<ω
20
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Por teorema de la bisectriz de un ángulo, entonces DC=DE=a
En el BED, por teorema de correspondencia,como agudo < recto, entonces a<ak 1<k
Por lo tanto, el menor valor entero de k es 2.
R��������2
Alternativa B
PREGUNTA N.o 27Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo
equilátero, entonces el valor de área
área CEFABCD
es
igual a:
BFA
CD
E
A) 2 1−
B) 3 1−
C) 2 3 3−
D) 1
2
E) 1
3
R���������
Tema: Área de regiones planas
Recordemos que
a. Área de la región triangular equilátera
A =2 3
4
b. Área de la región cuadrada en función de su diagonal
ad
a
A =d2
2
Análisis y procedimiento
Del gráfico nos piden área
área CEFABCD
.
3a
D C
30º30º 15º
15º
a
aa
45º
45º45ºA
M
E
BF
Como AC���
es mediatriz de EF,
sea EM=MF=a → MC=a 3
y en el EAF: AM=a.
Luego, AC=a+a 3=a 3 1+( )
Alternativa BB
es un cuadrado y CEF un triángulo
equilátero, entonces el valor de área
áreaCEFCEFCEABCD
es
C
diagonal
dd
a
Análisis y procedimiento
Del gráfico nos piden área
área
D
21
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
Ahora calculamos las áreas solicitadas.
área CEF=( )23
42a =a2 3
área ABCD=( ) ( )AC a2 2
23 12
=+( )
= + = +
aa
22
24 2 3 2 3( ) ( )
→ área
área CEFABCD
a
a=
+=
+= −
2
23
2 3
3
2 32 3 3
( ) ( )
R��������2 3 3−
Alternativa C
PREGUNTA N.o 28Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.
A) arc tan( )2
B) arc sen( )2
C) arc cos( )3
D) arc cos( )2
E) arc cot( )3
R���������
Tema: Razones trigonométricas para ángulos agudos
B
A
C
hh
D
a
En un tetraedro regular se cumple que
h
a=
63
Análisis y procedimiento
B
A
C
HH
D
a
θθ 3333
aa
Del tetraedro regular de arista lateral a
la altura DHa
=6
3.
En el AHD
AH
a=
33
tanθ =
a
a
63
33
tanθ = 2
∴ θ = arc tan 2
R��������
arc tan 2
Alternativa A
Alternativa CC
Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.
Aθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ 333333
3333333333aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Del tetraedro regular de arista lateral
la altura DHa
=6
3.
En el AHD
AHa
=3
3
22
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
PREGUNTA N.o 29Dado el punto (– 3; 2; 4), determine sus simetrías res-pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine el área del rectángulo cuyos vértices son justamente los puntos generados.
A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13 D) 13 13 E) 12 13
R���������
Tema: Geometría analítica
Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y.
Análisis y procedimientoNos piden el área del rectángulo cuyos vértices son los generados.
– 2– 2
– 3– 34
(– 3; 2; 4)P
3300
4
4
J
X
Y
– 1– 1
– 1– 1– 2– 2
MM
– 3– 4
– 5S
11
1122
3344
4
2234
– 3– 3– 4– 4
13
13
13
13N
P '(3; – 2; 4)
(– 3; 2; 0)(– 3; 2; 0)
P ''
Z
(– 3; 2; – 4)
1313
Sea P ‘ el simétrico de P respecto de Z
, entonces P ‘=(3; – 2; 4)
Sea P ‘’ el simétrico de P respecto del plano Z=0, entonces P ‘’=( – 3; 2; – 4)
En el plano Z=0: M=( – 3; 2; 0)
→ = + =OM 2 3 132 2
Luego, PN NP= =' 13
En el punto P=( – 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4
Con los puntos P, P ‘, P ‘’ se determina el rectángulo PP ‘JP ‘’, además, PP ' = 2 13 y PP ‘’=8.
Por lo tanto, el área del rectángulo PP ‘JP ‘’ es 8 2 13 16 13× =
R��������16 13
Alternativa A
PREGUNTA N.o 30Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados E’D’D’’E’’, luegopor las aristas AB y D’’E’’ pasa un plano formando un sólido ABD’’E’’A’B’. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.
A) 3 3 1 3( )+ a
B) 3 3 1 3( )− a
C) 2 3 1 3( )+ a
D) 2 3 1 3( )− a
E) 43
3 1 3( )− a
R���������
Tema: Prisma
h
BB V: volumen
V=B h
Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son
222222 QQQQQQQQQQ
3333333333
4
4X
–333333–44444444444444444444444444444444444444444444444444444
13P '(3; –2; 4)
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3030Se tiene un prisma exagonal regular A’B’C’D’E’F’ cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados por las aristas AB y D’’E’’ pasa un plano formando un sólido ABD’’E’’A’B’. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.
A) 3 3 3( )( )3 3( )3 33 3( )3 3 1( )1( )+( )a
23
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
Análisis y procedimientoPiden V.V: volumen del prisma PE’E’’ – QD’D’’
BB32a
34a3
30º E ' 'E '
h
D ' 'D '
A '
F '
M
N
C '
B '
Q
D
C
B
F
E
P
A
2a
2a
2a 2a
2a
2a
2a 2a
60º60ºR
Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah
→ V=2a2h (I)
RMN ∼ AA’N
ha
MNA N2
='
ha
a
aa
2
4 33
4 33
4=
+
→ h a= −( )3 1
Reemplazando en (I)
∴ V = −( )2 3 1 3a
R��������2 3 1 3−( )a
Alternativa D
PREGUNTA N.o 31El volumen de un cilindro es oblicuo 40π cm3 y la proyección de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm, calcule el área de la base en cm2.
A) 23π B)
43π
C) 6
3π
D) 8
3π
E) 10
3π
R���������
Tema: Cilindro
Análisis y procedimientoPiden A base
Dato: voblicuocilindro=40π
g
HH 5
30º
30º22
22
1010secciónrecta
base
• Sabemos que v Aoblicuocilindro
rectasección= ( ) ⋅ g
Arectasección( )g=40π
π(2)2g=40π
→ g=10
• Pero
A A
rectasección base= ( )cos º30
4
32
π = ( )A base
∴ A base = 83π
BBBBE''
N
2a
ah
(I)
Tema: Cilindro
Análisis y procedimientoPiden A base
Dato: voblicuocivciv lindro=40π
g
30º
222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
secciónrecta
24
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
R��������8
3π
Alternativa D
PREGUNTA N.o 32Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-do al rotar la región sombreada alrededor del eje X.
2πR
R
O X
Y
2π
A) πR3
B) πR3
3
C) πR3
4
D) πR3
6
E) πR3
9
R���������
Tema: Anillo esférico
A
B
ha
Recuerde que
Volumen del anillo esférico
Vesféricoanillo = πa h2
6
a: longitud de la cuerda AB
h: longitud de la proyección de AB
Análisis y procedimiento
O
A
Y
R
R
B X
2R
Piden VRS (volumen del sólido generado).
Se observa
VRS=Vesféricoanillo
Por teorema
VRS
R R=( )π 2
6
2
∴ VRSR= π 3
3
R��������πR3
3
Alternativa B
2π
X
O
A
R
Piden VRSVRSV (volumen del sólido generado).
Se observa
25
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 33La figura representa un recipiente regular, en donde a y son dados en cm y el ángulo θ es variable. Deter-mine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3.
θ
θa
a
A) 2 2a
B) 3
22a
C) 2
2a2
D) 12
a2
E) 3 2
2a2
R���������
Tema: Sólidos - Prisma
Recuerde
h
BB
Vprisma=B h
Análisis y procedimiento
θθ
BB
θaa
a
a
Piden el volumen máximo
V=b h=a2
2⋅ senθ
Para que el volumen sea máximo, senθ=1.
∴ v = a2
2
R��������12
2a
Alternativa D
PREGUNTA N.o 34En la siguiente ecuación trigonométrica
cos cos4
218
278
xx
−
( ) =
El número de soluciones en [0; 2π] es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
R���������
Tema: Ecuaciones trigonométricas
• cos2θ=2cos2θ –1
• 2cos2θ=1+cos2θ
• cosθ=1 → θ=2nπ; n ∈ Z
Análisis y procedimientoPiden el número de soluciones en [0; 2π] de la ecuación
cos cos4
218
278
xx
− =
2 2
22 72
2
cos cosx
x
− =
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3434En la siguiente ecuación trigonométrica
cos cs cos4s c4s c2
18
78
xs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs c
s cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs c−s c ( )2( )2x( )x =
El número de soluciones en [0; 2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
R���������
26
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
2(1+cosx)2 – cos2x=7 2(1+2cosx+cos2x) – cos2x=7 2+4cosx+2cos2x – (2cos2x – 1)=7 cosx=1→ x=0; 2πPor lo tanto, el número de soluciones de la ecuaciónes 2.
R��������2
Alternativa B
PREGUNTA N.o 35Sea f una función definida porf(x)=|arc senx|+|arc tanx|
Determine el rango de f.
A) 02
;π
B) 02
;π
C) 034
;π
D) 034
;π
E) [0; π⟩
R���������
Tema: Funciones inversas
π2
y=|arc senx|
X1–1
Y
π2
y=|arc tanx|
Y
X
Análisis y procedimiento
f(x)=|arc senx|+|arc tanx|
f1(x)=|arc senx| → –1≤ x ≤ 1
f2(x)=|arc tanx| → x ∈ R
→ x ∈ [– 1; 1]
Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la
función y=|arc senx|+|arc tanx|
3π4
y=f(x)
X10–1
Y
∴ Ran f ∈ 034
;π
R��������
034
;π
Alternativa C
una función definida por
f1f1f (x)=|arc senx| → –1
f2f2f (x)=|arc tanx| →
→ x ∈ [– 1; 1]
Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la
función y=|arc senx|+|arc tan
34
Y
27
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 36Cuál de los gráficos mostrados representa a la función
y=cos(2x – π), en un intervalo de longitud un periodo.
A)
– π/2 π/2
B)
– π/2 π/2
C) – π/2 π/2
D)
π/2 π– π/2– π
E) – π/2 π/2
R���������
Tema: Funciones trigonométricas directas
Análisis y procedimiento
Piden la gráfica de la función y=cos(2x – π).
y=cos(2x – π)
y=cos( – (π – 2x))
y=cos(π – 2x)
y= – cos2x
Graficando y= – cos2x
y = cos2x
y = – cos2x
0
Y
–1
1
X– π/2 π/2 π– π
R��������
– π/2 π/2
Alternativa C
PREGUNTA N.o 37De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el área de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si LAB
= 4 unidades, calcule L LCD EF
+ 3 .
A
B
C
D
E
F
O
A) 2 2
B) 3 2
C) 4 2
D) 5 2
E) 6 2
–π/2π/2π
PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3737De la figura mostrada, sectores circulares, donde el área de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3LAB
= 4 unidades, calcule
28
unI 2012 -II Academia CÉSAR VALLEJO
R���������
Tema: Área de un sector circular
SSO
A
B
Lθrad
S: área del sector circular AOB
S = L2
2θ
Análisis y procedimientoPiden x y+ 3 .
2S2SSS 3S3Syy xx
F
O
AC
D
E
B
4θrad
• S S= ∧ =y2 2
26
42θ θ
( )
→
= → =6
2162
3 2 22y
yθ θ
• 32
642
2 2S S= ∧ =x
θ θ( )
→
= → =6
6162
2 22x
xθ θ
∴ + =x y3 4 2
R��������4 2
Alternativa C
PREGUNTA N.o 38En la figura mostrada, el valor de tanφ · tanβ es
β
φ X
Y
A) – 2 B) – 1 C) – 1/2 D) 1/2 E) 1
R���������
Tema: Ángulos en posición normal
Si AO=OA’
XO
Y
A(– m; n)
A (– n; – m)'
Análisis y procedimientoDel gráfico
β
φX
Y
P(– a; b)
P (– b; – a)'
Por definición
tan tanφ β⋅ =
−−
−
ab
ba
∴ tanφ · tanβ= – 1
R��������– 1
Alternativa B
3333SSSSxxxxxx
AC
DB
4
Tema: Ángulos en posición normal
Si AO=OA’
Y
A(–m; n)
A (–n; –m)'
Análisis y procedimientoDel gráfico
Y
29
unI 2012 -IISolucionario de Matemática
PREGUNTA N.o 39Si tan
54
13 5
π
=
+x, cot
32
4π
= −y , calcule x+y.
A) – 4/5 B) – 3/4 C) – 3/5
D) 5/3 E) 8/3
R���������
Tema: Reducción al primer cuadrante
sen(π+θ)= – senθ cos(π+θ)= – cosθ tan(π+θ)=tanθ
Análisis y procedimientoDe
tan54
13 5
π
=
+x
tan ππ
+
=
+41
3 5x
tanπ4
13 5
=
+x
11
3 5=
+x
3x+5=1
→ = −x43
De
cot32
4π
= −y
0=y – 4
→ y=4
Nos preguntan
x y+ = − +43
4
∴ + =x y83
R��������83
Alternativa E
PREGUNTA N.o 40Al determinar la forma compleja de la ecuación
(x – 1)2+(y – 1)2=1 obtenemos
A) zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
B) zz+(1+i)z – (1+i)z+1=0
C) 3zz+(1 – i)z+(1+i)z+1=0
D) 2izz – (1 – i)z – (1+i)z+1=0
E) 4zz – 2(1+i)z+(1 – i)z+1=0
R���������
Tema: Números complejos
• ∀ z ∈ C: |z|2=z · z
• Ecuación de la circunferencia
(x – x0)2+(y – y0)2=r2
o |z – z0|=r con z=x+yi ∧ z0=x0+y0i
Análisis y procedimiento
Tenemos que
(x – 1)2+(y – 1)2=12
→ |z – (1+i)|2=12; z=x+yi
→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1
→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1
→ (z – (1+i))(z – (1 – i))=1
→ z · z – (1 – i)z – (1+i)z+(1+i)(1 – i)=1
→ z · z – (1 – i)z – (1 – i) · z+12 – i2=1
→ z · z – (1 – i)z – (1 – i)z+1/ – ( – 1)=1/∴ zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
R��������
zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
Alternativa A
Análisis y procedimientoTema: Números complejos
• ∀ z ∈C: |z|2=z ·z
• Ecuación de la circunferencia
(x – x – x x0)2+(y – y0)2=r2r2r
o |z – z0|=r con r con r z
Análisis y procedimiento
Tenemos que
(x – 1)x – 1)x 2+(y – 1)2=12
→ |z – (1+i)|2=12; z=
→ (z – (1+i))(z – (1+i))=1