solución transformacion esfuerzos

G8 - 1

ICM341_581 Análisis de Esfuerzos 1 Guia 8 Daniel Milovic S . 30 de Julio del 2006

GUIA 8 DE EJERCICIOS TRANSFORMACION DEL ESFUERZO Y

DEFORMACIÓN

1.- Para el elemento indicado en la figura, se

requiere que la magnitud del esfuerzo de compresión sea el doble del esfuerzo de tracción, y que los esfuerzos normal y cortante en el plano AB no superen los 500 kgf/cm2 y 300 kgf/cm2 respectivamente. Determinar el máximo valor del esfuerzo de compresión. Indicación: No lo resuelva por el circulo de Mohr. Respuesta: σc = -417 kgf/cm2

2.- Se sabe que los esfuerzos normales y de corte en cierto plano son - 400 kgf/cm2 y -200 kgf/cm2 respectivamente. Si el esfuerzo cortante máximo debe ser menor

que 600 kgf/cm2 y el esfuerzo normal máximo es de tracción y menor que 700 kgf/cm2 , Determinar:

a) Los esfuerzos principales b) Si el eje X se haya a 70° medidos en sentido antireloj, desde la normal al plano

dado, indicar los planos en que actúan los esfuerzos principales. c) Determinar el plano en que actúa el esfuerzo cortante máximo.

d) Representar gráficamente todo lo pedido anteriormente (No a escala). Respuestas: a) 700 y –436 kgf/cm2 b) 30 y –60° a partir del eje x c) –30°

3.- Determinar los esfuerzos normal y cortante en un plano cuya normal esta a 50°

medidos en sentido reloj desde la normal del plano del mínimo esfuerzo normal, si la deformaciones medidas a 40, 80 y 120° en sentido antireloj desde el eje horizontal X fueron 275 µ, 1690 µ y 500 µ . Tomar µ = 10-8 (Pulg / Pulg) y E = 30.000.000 psi. La relación de Poisón del material es 0,3 Considere estado plano de tensiones.

Respuesta: σn = 112 psi, τnt = -359 psi

σc

σc

σtσt

A

B

43

G8 - 2


4.- Dados σn = 300 kgf/cm2 τnt = -500 kgf/cm2 τxy = 700 kgf/cm2 τmax = 800 kgf/cm2 σp2 es de compresión. Determinar:

a) El ángulo entre el eje X y la normal al plano N. Utilice el plano X que tenga mayor esfuerzo normal (Representar el cubo elemental).

b) Si el cubo entre el eje X y la normal al plano donde ocurre el esfuerzo mínimo forma un ángulo de -30,75° , determinar los esfuerzos en un plano cuya normal esta a 70° en sentido antireloj del eje X.

c) Esfuerzos principales y su ubicación en el cubo elemental. Respuestas: a) 50° b) σ = -171 kgf/cm2 τ = -785 kgf/cm2

5.- El plano AB forma un ángulo cuya tangente vale (1/2) en el sentido antireloj respecto al plano vertical. En un cubo elemental, el esfuerzo normal al plano AB vale 500 kgf/cm2. El esfuerzo principal vale 800 kgf/cm2 y se encuentra actuando en un plano que forma 30 grados en sentido contrario a las manecillas del reloj respecto al plano AB. ¿Cual es el valor del esfuerzo cortante en el plano AB? Respuesta: -520 kgf/cm2.

6.- En un punto de un miembro cargado no debe sobrepasarse los valores de esfuerzo principal máximo de 10 kpsi y esfuerzo cortante máximo de 7 kpsi. Si en el punto se encuentran actuando sobre el plano horizontal un esfuerzo normal de 7 kpsi y un esfuerzo de cortadura positivo, y sobre el plano vertical un esfuerzo normal de 1 kpsi, determinar:

a) Esfuerzos principales y esfuerzo de cortadura máximo.

b) Esfuerzo cortante τxy . c) Angulo que forma la normal al plano

vertical con el esfuerzo principal máximo. d) Determinar y mostrar en un croquis los esfuerzos en un plano que forma 30

grados con la horizontal en sentido antireloj. Respuestas: a) 10, -2 y 6 kpsi b) 5200psi c) 60° d) 7kpsi 1kpsi 5,2 kpsi

B

A

2

1

30°σx

yσ

σn

σ1

θ1

θn

τnt

x

Figura 5

A

σx

yσ

xσx

yσ τxy

yxτ

τxy

yxτ

Figura 6

G8 - 3


7.- Las deformaciones medidas en una roseta de deformaciones, de tres deformímetros de resistencia a los ángulos 0, 60 y 120° con el eje X son: -200, -300 y +100 micrones respectivamente. Determinar las deformaciones principales y por esfuerzo cortante. Si el material es acero, indicar los esfuerzos principales a que se encuentra sometido dicho elemento considerando esfuerzo plano. (Módulo de Elasticidad E = 2.100.000 kgf/cm2 Relación de Poisson = 0,3) Respuesta: - 12 y –788 kgf/cm2

8.- Dados el esfuerzo en el eje X σx = 500 kgf/cm2 , El esfuerzo en el eje Y σy = 1000 kgf/cm2 y el ángulo de 30° en sentido antireloj entre el eje X y el

plano principal máximo a) Encontrar el esfuerzo de cortadura en el plano X b) Encontrar el esfuerzo en el plano AB, cuya normal posee una pendiente de 3/4

respecto al eje horizontal X. Dibujar el circulo de Mohr. Respuesta: a) –433 kgf/cm2 b) Esfuerzo Normal 264 y 119 kgf/cm2 el cortante

9.- En un miembro estructural no deben sobrepasarse los siguientes valores de esfuerzos: a) Esfuerzo principal 2 = - 1200 kgf/cm2 b) Esfuerzo máximo de cortadura = 700 kgf/cm2 Además debe cumplirse con que el Esfuerzo normal en el plano AB = 900 kgf/cm2 y el Esfuerzo cortante en el plano AB = 600 kgf/cm2. La normal al plano AB tiene una pendiente de 4/3 respecto a la horizontal. Determinar: a) Esfuerzos normales admisibles en los ejes X e Y. Esfuerzo cortante en

dicho ejes (τxy) b) El ángulo que forma la normal al plano en que actúan los esfuerzos

máximos con respecto al eje X. c) Realizar croquis indicando esfuerzos en los planos AB y XY

Respuesta: a) σx =-138 kgf/cm2 σy = 1216 kgf/cm2 τxy = 178 kgf/cm2 b) 82°

a

bc

60º

60º

60º

G8 - 4


10.- Resolver mediante la representación gráfica de Mohr determinando los esfuerzos

normales en los ejes X, Y, N y el esfuerzo cortante τxy y τnt si: σx = 4.000 kgf/cm2 σp1 =< 8.000 kgf/cm2 τmax = 4 500 kgf/cm2 σn < 5.000 kgf/cm2 θp1 = 30° θn = 60°

11.- Una placa plana delgada, antes de cargarse, tiene un cuadrado dibujado en ella, de 2 x 2 cm. Se aplica una carga, y la placa plana se deforma, disminuyendo en el eje vertical 0,002 cm y en el eje horizontal, se alarga 0,004 y 0,006 cm, según se muestra en la figura.

a) Calcular las deformaciones principales y sus direcciones.

b) Si el módulo de elasticidad del material es 2.100.000 kgf/cm2 y la relación de Poisón es µ = 0,33, encontrar los esfuerzos principales, suponiendo una acción elástica. Respuesta: a) ε1=0,00208 ε2=-0,00108 σ1 = 4065 kgf/cm2 σ2=-915 kgf/cm2

12.- En un punto de una región cargada existen en un plano vertical un esfuerzo

normal de tracción de 19 kpsi y un esfuerzo cortante negativo de magnitud desconocida. El esfuerzo principal máximo de tracción en el punto es de 20 kpsi y el máximo esfuerzo cortante tiene una magnitud de 13 kpsi. Determinar los esfuerzos desconocidos en los planos horizontal y vertical y muéstrense en un croquis. Realice el circulo de Mohr en forma esquemática. Indique el ángulo entre el eje x y el plano donde ocurre el esfuerzo normal máximo.

Respuesta: σx=19 kpsi, σy=-5 kpsi, τxy= 5kpsi, θ1=11,3°

13.- Las deformaciones normales en un trozo de acero en las direcciones 1, 2 y 3 son: ε1 = 0,002 ε2 = 0,002 ε3 = -0,002 Los ejes X e Y son los ejes principales Determinar el ángulo θ, εx, εy, σx, σy , τxy El módulo de elasticidad del material es E = 30*106 psi y la relación de Poisson es 0,3 Respuestas: θ = -22,5°, εx= -0,00283, εy= 0,00283, σx=-65 kpsi, σy = 65kpsi, τxy = 0 kpsi

0,002

0,006

0,004

X

Y

3

21

45

θ

45

G8 - 5


14.- Dado los esfuerzos normal y cortante en un punto de 600 psi y 1000 psi. Este punto forma respecto al esfuerzo principal máximo un ángulo de 30° en sentido del reloj. Si el esfuerzo cortante no puede ser superior a 2000 psi, el esfuerzo normal máximo debe ser inferior a 3000 psi, calcular los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo. Indique los esfuerzos en un plano que forma 45° con el plano n Respuesta: σ1 = 23 psi σ2 = 2332 psi τmax = 1155 psi σu=177 psi τuv =577 psi

15.- Dados los esfuerzos σx = 6000 psi, σy = 4000 psi. El esfuerzo mínimo no puede ser inferior a -12.000 psi, y el esfuerzo cortante no puede superar los 20.000 psi, calcular

a) el esfuerzo cortante τxy b) el ángulo que forma el eje X con la normal al plano donde actúa el

máximo esfuerzo normal.) c) Determinar los esfuerzos en un plano que forma 30° en sentido antireloj

con el plano donde actúa el esfuerzo normal máximo. d) Representar gráficamente los esfuerzos. Respuesta: a) τxy=17 kpsi b) θ=43° c) σn=13,5 kpsi τnt=–14,7 kpsi

16.- Dado los esfuerzos σx = 10 Kpsi τxy = 5 Kpsi y que la suma de los esfuerzos principales es 6 Kpsi, Calcular el esfuerzo principal máximo y el ángulo que forma con el eje x Respuesta: σP1 = 11,6 kpsi 17,8°

17.- En un punto de una región cargada existen en un plano vertical un esfuerzo normal de tracción de 16 kpsi. y un esfuerzo cortante negativo de magnitud desconocida. El esfuerzo principal máximo de tracción en el punto es de 20 Kpsi y el máximo esfuerzo cortante tiene una magnitud de 15 Kpsi. Determinar los esfuerzos desconocidos en los planos horizontal y vertical y muéstrense en un croquis. Realice el circulo de Mohr en forma esquemática. Indique el ángulo entre el eje x y el plano donde ocurre el esfuerzo normal máximo.

18.- Las deformaciones normales en las direcciones u, v y w son: εu = -0,001 εv = 0,002 εw = 0,001 Encontrar las deformaciones normal y angular en dirección del eje X, que forma el ángulo 30º con el eje U. Representar las deformaciones en forma gráfica mediante el circulo de Mohr. εx = - 0,000832 εy = 0,0025 γxy = -0,0023

XU

V

W50º70º

G8 - 6


19.- Una roseta de deformación se fija a la superficie de un avión hecha de aluminio 2024-TA, y registra los siguientes datos: εa = 200 µm/m εb =-950 µm/m y εc =-300 µm/m. En el punto de aplicación de la roseta encontrar las deformaciones principales, los esfuerzos principales, los esfuerzos en el plano cuya normal es la dirección perpendicular a la roseta a. (Dirección y). Mostrar los esfuerzos gráficamente E = 72 GPa ν = 0,33

20.- Resuelva SOLO por el circulo de Mohr. Los esfuerzos que se muestran actúan en un

punto de un miembro estructural. Se sabe que el esfuerzo principal de tensión es de 1200 psi. Determinar: a) Los esfuerzos principales y planos en que

actúan. b) Los esfuerzos cortantes máximos y

mínimos y los planos en que actúan. b) El esfuerzo cortante en el plano horizontal. c) Los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el plano AB d) Representar en un croquis todo lo pedido anteriormente.

Respuesta: a) σ2 = -400 psi θ1 = -30° θ2 = 60° τmax = 800 psi θτmax = -75° b) τxy = -693 psi c) σn = 1013 psi, τnt = -514 psi,

21.- Dado σx = 6000 psi, σp1 = 9000 psi y τ max = 5600 psi, Calcular mediante el

circulo de Mohr los esfuerzos restantes. Respuesta: τxy= 4960 psi σy=800 psi σp2 = - 2200 psi

800 psi

B

A

τyx

τyx

40ºτyxτyx

a

bc

60º

60º

60º

Daniel Milovic S 1 AE1G801

Se cumplen las restricciones si τnt = 300 kgf/cm2 . El esfuerzo de compresión es: σc = -417 kgf/cm2

σc 417−kgf

cm2=σc

τnt0.72

−:=τnt 300kgf

cm2⋅:=Si

σc 1087−kgf

cm2=σc

σn0.46

−:=σn 500kgf

cm2⋅:=Si Decisión o análisis:

(7 ptos)τnt 0.72− σc=τnt

σc2

σc+

2− sin 2 θ⋅( )⋅:=

τntσx σy−

2− sin 2 θ⋅( )⋅ τxy cos 2 θ⋅( )⋅+=

Esfuerzo cortante menor o igual a 300 kgf/cm2

(3 ptos)σn 0.46− σc=σn

σc2

σc−

2

σc2

σc+

2cos 2 θ⋅( )⋅+:=

σnσx σy+

2σx σy−

2cos 2 θ⋅( )⋅+ τxy sin 2 θ⋅( )⋅+=

Esfuerzo normal debe ser menor o igual a 500 kgf/cm2

θ 53.13 deg=σx σt=σc2

= θ atan43

:=tan θ( ) 43

=

DESARROLLO

Para el elemento indicado en la figura, se requiere que la magnitud del esfuerzo de compresión sea el doble del esfuerzo de tracción y que los esfuerzos normal y cortante en el plano AB no susperen los 500 kgf/cm2 y 300 kgf/cm2 respectivamente. Determinar el máximo valor del esfuerzo de compresión. Indicación : No lo resuelva por el circulo de Mohr.

Problema G8.01 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales 2º sem 1975 (10/60 puntos)Resistencia de materiales 1º sem 1979 (15/60 puntos)

ICM341 Análisis de Esfuerzos 1 23 Marzo 1997

Daniel Milovic S. 1 AE1G802

Mayor que 700. No cumple.

σ1 765.685kgf

cm2=σ1 OC τmax+:=Esfuerzo principal máximo:

OC 165.685kgf

cm2=

OC τmax cos α( )⋅ σn−:=

α 19.471 º=α asinτnt

τmax

:=

τmax 600kgf

cm2⋅:=Si

} Se determina punto NCon σn = -400 τnt = -200

CO

Nτnt

σn

α

τ

σ

σ1 700kgf

cm2⋅≤Criterio b)τmax 600

kgf

cm2⋅≤Criterio a)

τnt 200−kgf

cm2⋅:=Esfuerzo cortante:σn 400−

kgf

cm2⋅:=Esfuerzo normal:

DESARROLLO

Se sabe que los esfuerzos normales y de corte en cierto plano son 400 kgf/cm2 de compresión y - 200 kgf/cm2 respectivamente. Si el esfuerzo cortante máximo debe ser menor que 600 kgf/cm2 y el esfuerzo normal máximo es de tracción y menor que 700 kgf/cm2. Determinar:a) Los esfuerzos principalesb) Si el eje X se encuentra a 70º medidos en sentido antireloj, desde la normal al plano dado, indicar los planos en que actúan los esfuerzos principales.c) Determinar el plano en que actúa el esfuerzo cortante máximo.d) Representar gráficamente todo lo pedido anteriormente (No a escala).

Problema G802 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales 2º sem 1975 (20/60 puntos)Resistencia de Materiales 1º sem 1979 (20/60 puntosResistencia de materiales 2º sem 1985 (20/60 puntos)



θ112

180 º⋅ 2 β⋅+ 140 º⋅−( )⋅:= θ1 30.3 º=

Angulo desde X ala normal al plano 2 θ2 θ1 90 º⋅−:= θ2 59.7− º=

c) Esfuerzo cortante máximo: τmax R:= τmax 568.182kgf

cm2=

Angulo desde X ala normal al plano τ maximo: θτ 90− º⋅ 2 θ1⋅+:= θτ 29.4− º=

d) Esfuerzos en el plano xy

τxy R sin 2 θ1⋅( )⋅:= σx C R cos 2 θ1⋅( )⋅+:= σy C R− cos 2 θ1⋅( )⋅+:=

τxy 495.055kgf

cm2= σx 410.7

kgf

cm2= σy 147−

kgf

cm2=

Si

σN

COβ

σ1σ2

τ

140º

2β

2θ1

2θτX

σ1 700kgf

cm2⋅:= β atan

τntσ1 σn+

:=

β 10.305 º=

Radio del círculo :

Rτnt

sin 2 β⋅( ):= R 568.2kgf

cm2=

Centro del círculo :

C σ1 R−:= C 131.8kgf

cm2=

Utilizando este último supuesto, que concuerda con las restricciones, se determinan:

a) Esfuerzos principales

σ1 C R+:= σ1 700kgf

cm2= σ2 C R−:= σ2 436.4−

kgf

cm2=

b) Determinar los ángulos entre el eje X y las normales a los planos principales de esfuerzos.Angulo desde X ala normal al plano 1



700

436

132

568

132

132

568

30º

15º

-147

-147

410

495

495

436

700


Daniel Milovic S. 1 ICM341-AE1G803

exy 863ν=ey 1634ν=ex 1406− ν=

Se obtienen :

ex

ey

exy

find εx εy, γxy,( ):=Resolviendo las ecuaciones:

ε120εx εy+

2εx εy−

2cos 240 º⋅( )⋅+

γxy2

sin 240 º⋅( )⋅+=

ε80εx εy+

2εx εy−

2cos 160 º⋅( )⋅+

γxy2

sin 160 º⋅( )⋅+=

ε40εx εy+

2εx εy−

2cos 80 º⋅( )⋅+

γxy2

sin 80 º⋅( )⋅+=given

Deformaciones medidas en funcion de las deformaciones en los ejes X e Y

γxy 70 ν⋅:=εy 100 ν⋅:=εx 100− ν⋅:=

Valores iniciales para efectos de cálculo por computador:

ε120 500 ν⋅:=ε80 1690 ν⋅:=ε40 275 ν⋅:=

Datos iniciales: ε40ε80ε120

40º

Nota : Plantear las ecuaciones necesarias, reemplazando los valores correspondientes, e indique, solo a paso, el procedimiento para obtener la solución. Si necesita usar el circulo de mohr, dibújelo con valores arbitrarios e indique claramente como se obtiene la solución.

Determinar los esfuerzos normal y cortante en un plano cuya normal esta a 50º medidos en sentido reloj desde la normal del plano del mínimo esfuerzo normal, si la deformaciones medidas a 40, 80 y 120º en sentido antireloj desde el eje horizontal X fueron 275 µ , 1690 µ y 500 µ . Tomar µ = 10-8 (Pulg / Pulg) yE = 30.000.000 psi. La relación de Poisón del material es 0,3

Problema G803 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales 2º sem 1975 (20/60 puntos)

24 Marzo 1997

Daniel Milovic S. 2 ICM341-AE1G803

τnt 359.2− psi=τntσ1 σ2−

2sin 80 º⋅( )⋅ 1−⋅:=

σn 112.1 psi=σnσ1 σ2+

2σ1 σ2−

2cos 80 º⋅( )⋅+:=

Esfuerzos en el plano que forma -50º medidos desde σ2, es decir, + 40º respecto al esfuerzo principal σ1

σ2 316− psi=σ2E

1 µ2

−ε2 µ ε1⋅+( )⋅:=

σ1 413psi=σ1E

1 µ2

−ε1 µ ε2⋅+( )⋅:=

Considerando estado plano de tensiones, los esfuerzos principales son :

ε2 1467− ν=ε2ex ey+

2ex ey−

2

2 exy2

2+ 1−⋅+:=

ε1 1694ν=ε1ex ey+

2ex ey−

2

2 exy2

2++:=

Deformaciónes máxima ε1 y mínima ε2 :

24 Marzo 1997

Daniel Milovic S. 1 AE1G804.mcd

Problema 1.8 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales 1º sem 1977 (30/60 puntos)Resistencia de Materiales 2º sem 1985 (20/60 puntos)

Dados :σn 300

kgf

cm2⋅:=Esfuerzo normal al plano n :

Esfuerzo Cortante en el plano n

Esfuerzo Cortante en el plano X

Esfuerzo Cortante máximo

Esfuerzo mínimo de compresión:

τnt 500−kgf

cm2⋅:=

τxy 700kgf

cm2⋅:=

τmax 800kgf

cm2⋅:=

Determinar :

a) El ángulo entre el eje X y la normal al plano n (Representar el cubo elemental). Si el cubo entre el eje X y la normal al plano donde ocurre el esfuerzo mínimo forma un ángulo de ϕ = -30,5º , determinar los esfuerzos en un plano cuya normal esta a ψ =70º en sentido antireloj del eje X.Esfuerzos principales y su ubicación en el cubo elemental.

b)

c)

DESARROLLOEl punto N se encuentra ubicado en 300, -500 en el sistema de coordenadas. Además se conoce el radio del circulo de mohr de 800. Por el punto N se pueden trazar dos círculos, de los cuales, uno tiene el esfuerzo mínimo positivo y el otro negativo. El circulo correcto es aquel que tiene el esfuerzo principal 2 negativo.Construccion: Con σn y τnt se determina punto NCon τmax se determina el radio del circuloSe elige circulo de la izquierda con σ2 negativo


Daniel Milovic S. 2 AE1G804.mcd

τuv 785.182−kgf

cm2=

τuvσ1 σ2−

2sin 2 θu⋅( )⋅ 1−⋅:=

σu 171.236−kgf

cm2=σu

σ1 σ2+2

σ1 σ2−2

cos 2 θu⋅( )⋅+:=Esfuerzo normal :

Esfuerzo cortante:

θu 39.478 º=θu ψ ϕ−:=Angulo a partir del esfuerzo máximo 1

Esfuerzo en el plano uv que forma un ángulo de 70º respecto al eje x

ϕ 30.522 º=Angulo entre eje X y σ1 σ2 1124−kgf

cm2=

σ2 CC τmax−:=

σ1 476kgf

cm2=σ1 CC τmax+:=Esfuerzo principal:

CC 324.5−kgf

cm2=CC σn OA−:=Centro del circulo:

OA 624.5kgf

cm2=OA τmax

2τnt

2−:=OA ON2 AN2−=Distancia OA

φ 19.341 º=φ12

asinτnt

τmax

⋅:= ϕ 30.522 º=ϕ12

asinτxy

τmax

⋅:=

Angulo dado en la prueba

N

O 2φ

2ϕ

Xτ

σ-500

300

A

U


Daniel Milovic S 1 ICM341 - AE1G805.mcd

τnt 519.615−kgf

cm2=τnt

σx σy−2

sin 2 θn⋅( )⋅ τxy cos 2 θn⋅( )⋅+:=

El esfuerzo cortante en el plano AB es:

σ2 400−kgf

cm2=σ2 σy:=El esfuerzo principal mínimo es:

σy 400−kgf

cm2=

σyσn τxy sin 2 θn⋅( )⋅−

σx2

1 cos 2 θn⋅( )+( )⋅−

12

1 cos 2 θn⋅( )−( )⋅

:=Se calcula:

σnσx σy+

2σx σy−

2cos 2 θn⋅( )⋅+ τxy sin 2 θn⋅( )⋅+=El esfuerzo normal es:

τxy 0 σ1⋅:=σx σ1:=σ1 800

kgf

cm2⋅:=Además :

θn 30− º⋅:=σn 500kgf

cm2⋅:=donde:

Sea el eje X el correspondiente a σ1. Entonces la figura del elemento diferencial se transforma a :

PROCEDIMIENTO 1

σn

τnt

A

B

σ1-30º θn

El plano AB forma un ángulo cuya tangente vale (1/2) en el sentido antireloj respecto al plano vertical. En un cubo elemental, el esfuerzo normal al plano AB vale 500 kgf/cm2. El esfuerzo principal vale 800 kgf/cm2 y se encuentra actuando en un plano que forma 30 grados en sentido contrario a las manecillas del reloj respecto al plano AB. Cual es el valor del esfuerzo cortante en el plano AB? B

A

2

1

30°σx

yσ

σn

σ1

θ1

θn

τnt

x

Problema G8.05 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales 1º sem 1977 (30/60 puntos)

23 Marzo 1997


Sean Aσx σy+

2:= B

σx σy−2

:= C τxy:=

de (3) C B tan 2 θ1⋅( )⋅:= C 2.341− B=

Reempl en (1) y (2) (1) 500 A B cos 2 θn⋅( )⋅+ C sin 2 θn⋅( )⋅+=(2) 800 A B cos 2 θ1⋅( )⋅+ C sin 2 θ1⋅( )⋅+=

(2)-(1)

800 500− B cos 2 θ1⋅( ) cos 2 θn⋅( )−( )⋅ B tan 2 θ1⋅( )⋅ sin 2 θ1⋅( ) sin 2 θn⋅( )−( )⋅+=

Bσ1 σn−

cos 2 θ1⋅( ) cos 2 θn⋅( )− tan 2 θ1⋅( ) sin 2 θ1⋅( ) sin 2 θn⋅( )−( )⋅+:=

B 235.692−kgf

cm2=

1

2σn

τntA

B

σx

σy

σ1

30ºθ1θn

PROCEDIMIENTO 2Expresar todas las relaciones en función de los ejes X e Y y de los ángulos a contar del eje X

θn atan12

:= θn 26.57 º=

θ1 θn 30 º⋅+:= θ1 56.57 º=

σn 500kgf

cm2= τp1 0

kgf

cm2⋅:=

Resolver las ecuaciones:

(1) σnσx σy+

2σx σy−

2cos 2 θn⋅( )⋅+ τxy sin 2 θn⋅( )⋅+=

(2) σ1σx σy+

2σx σy−

2cos 2 θ1⋅( )⋅+ τxy sin 2 θ1⋅( )⋅+=

(3) τp1σx σy−

2− sin 2 θ1⋅( )⋅ τxy cos 2 θ1⋅( )⋅+:=

23 Marzo 1997


Reemplazando en (3) C B tan 2 θ1⋅( )⋅:=

τxy C:=τxy 551.769

kgf

cm2=

Reemplazando en (1) A σn B cos 2 θn⋅( )⋅− C sin 2 θn⋅( )⋅−:= A 200kgf

cm2=

El Esfuerzo cortante en el plano n se obtiene al reemplazar los valores de los esfuerzos en el plano X e Y en la ecuación del esfuerzo cortante en el plano n

τn B( )− sin 2 θn⋅( )⋅ C cos 2 θn⋅( )⋅+:=

τn 519.615kgf

cm2=

Se obtiene el mismo resultado por ambos procedimientos.

23 Marzo 1997


σ1 10kpsi=

Si τmax = 7 kpsi, entonces R = 7 kpsi, que es mayor que 6. Luego, es válidala suposición que σ1 = 10 kpsi.

R 6kpsi=

R σ1 C−:=Radio del circulo :

C 4kpsi=

Cσx σy+

2:=Centro del círculo :

σ1 10 kpsi⋅:=

CO ατxy

τ

σσ1

X

YAnalisis para Esfuerzo principal máximo :

τxy 0≤

σy 7 kpsi⋅:=

σx 1 kpsi⋅:=

τmax 7 kpsi⋅≤

σ1 10 kpsi⋅≤Condiciones:A

σx

yσ

xσx

yσ τxy

yxτ

τxy

yxτ

En un punto de un miembro cargado no debe sobrepasarse los valores de esfuerzo principal máximo de 10 kpsi y esfuerzo cortante máximo de 7 kpsi. Si en el punto se encuentran actuando sobre el plano horizontal un esfuerzo normal de 7 kpsi y un esfuerzo de cortadura positivo, y sobre el plano vertical un esfuerzo normal de 1 kpsi, determinar: a) Esfuerzos principales y esfuerzo de cortadura máximo. b) Esfuerzo cortante xy . c) Angulo que forma la normal al plano vertical con el esfuerzo principal máximo. d) Determinar y mostrar en un croquis los esfuerzos en un plano que forma 30 grados con la horizontal en sentido antireloj.

Problema 8.06 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales 2º sem 1978 (25/60 puntos)

25 Marzo 1997


τnt 5.196 kpsi=

τntσx σy−

2− sin 2 θn⋅( )⋅ τxy cos 2 θn⋅( )⋅+:=Esfuerzo cortante:

σt 1kpsi=

σtσx σy+

2σx σy−

2cos 2 θn⋅ 180 º⋅+( )⋅+ τxy sin 2 θn⋅ 180 º⋅+( )⋅+:=

σn 7kpsi=

σnσx σy+

2σx σy−

2cos 2 θn⋅( )⋅+ τxy sin 2 θn⋅( )⋅+:=Esfuerzo normal

θn 30 º⋅:=D) esfuerzos en plano con la horizontal, sentido antireloj.

θ1 60º=θ112

180 º⋅ α−( )⋅:=

α 60º=α asinτxy

τmax

:=

C) Angulo que forma la normal al plano vertical con el esfuerzo principal máximo.

τxy 5.196 kpsi=

τxy τmax2 σx σy−

2

2−:=τmax

σx σy−2

2τxy

2+=

B) Esfuerzo cortante en el plano XY

σ2 2− kpsi=σ2 σx σy+ σ1−:=Esfuerzo mínimo :

τmax 6kpsi=τmax R:=Esfuerzo Cortante Máximo :

A) Esfuerzos principales y esfuerzo de cortadura máximo:

25 Marzo 1997

Daniel Milovic S. 1 ICM341 - AE1G807.mcd

ε2 374− µ=ε2εx εy+

2εx εy−( )

2

2γxy2

2+−+:=

ε1 107µ=ε1εx εy+

2εx εy−( )

2

2γxy2

2++:=

γxy 462− µ=

εy 67− µ=

εx 200− µ=

εx

εy

γxy

Find εx εy, γxy,( ):=

εx εy+

2

εx εy−

2cos 2 θc⋅( )⋅+

γxy

2sin 2 θc⋅( )⋅+ εc=

εx εy+

2

εx εy−

2cos 2 θb⋅( )⋅+

γxy

2sin 2 θb⋅( )⋅+ εb=

εx εy+

2

εx εy−

2cos 2 θa⋅( )⋅+

γxy

2sin 2 θa⋅( )⋅+ εa=

Givenγxy εx:=εy εx:=εx εa:=sean los valores iniciales

a) Deformaciones principales

ν 0.3:=E 2100000:=

θc 60 º⋅:=εc 300− 10 6−⋅:=

θb 120 º⋅:=εb 100 10 6−⋅:=

θa 0:=εa 200− 10 6−⋅:=

DATOS

a

bc

60º

60º

60º

Las deformaciones medidas en una roseta de deformaciones, de tres deformímetros de resistencia a los ángulos 0º, 60º y 1201 con el eje X son: -200, -300 y +100 micrones respectivamente. Determinar las deformaciones principales y por esfuerzo cortante. Si el material es acero, indicar los esfuerzos principales considerando esfuerzo plano a que se encuentra sometido dicho elemento. (Módulo de Elasticidad E = 2.100.000 kgf/cm2 Relación de Poisson = 0,3)

Guia de Ejercicios Análisis de Esfuerzos 1 Problema 1.11Primera prueba de Análisis de Esfuerzos 1 25 de Abril de 2001 Problema 3 (25/60 pts)

13 de Marzo del 2003


b) Esfuerzos principales: Se considera Esfuerzo plano σ3 0:=

σ1E

1 ν2

−ε1 ν ε2⋅+( )⋅:= σ1 11.71−=

σ2E

1 ν2

−ε2 ν ε1⋅+( )⋅:= σ2 788.29−=

º deg≡ GPa 109≡

µ 10 6−≡

13 de Marzo del 2003


X

Y

2 θ1

N

2θnσ

τ

τ xy

σx-σy2

τnt 119kgf

cm2=τnt

σx σy−2

− sin 2 θn⋅( )⋅ τxy cos 2 θn⋅( )⋅+:=Esfuerzo cortante :

σn 264kgf

cm2=σn

σx σy+2

σx σy−2

cos 2 θn⋅( )⋅+ τxy sin 2 θn⋅( )⋅+:=Esfuerzo normal :

θn 36.9 º=θn atan34

:=b) ángulo de la normal al plano AB

τxy 433−kgf

cm2=τxy

σx σy−2

tan 2 θ1⋅( )⋅:=a) Esfuerzo de cortadura en el plano XDESARROLLO

θ1 30 º⋅:=σy 1000kgf

cm2⋅:=σx 500

kgf

cm2⋅:=Dados :

Dados el esfuerzo en el eje X σx = 500 kgf/cm2 , El esfuerzo en el eje Y σy = 1000 kgf/cm2 y el ángulo de 30º en sentido antireloj entre el eje X y el plano principal máximo a) Encontrar el esfuerzo de cortadura en el plano X b) Encontrar el esfuerzo en el plano AB, cuya normal posee una pendiente de 3/4 respecto al eje horizontal X. Dibujar el circulo de Mohr.

Problema G8.08 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales 1º sem 1979 (10/60 ptos)

25 Marzo 1997


El radio del circulo es el esfuerzo cortante máximo, y en este caso es mayor que el admisible. La alternativa esta incorrecta.

R 1136kgf

cm2=R

dcos φ( ):=

Radio del circulo:

dσp2 σn−( )2

τnt2

+

2:=

Distancia P2-A

φ 15.945 º=φ atanτnt

σn σp2−

:=

σp2 1200−kgf

cm2⋅:=Sea

P1P2

N

O

A

Bφ

φτnt

σnσp2

ALTERNATIVA A

Procedimiento: Se intenta que cumpla la alternativa A. Se comprueba que cumple calculando el esfuerzo máximo de cortadura. Si cumple, es la alternativa correcta. En caso contrario se resuelve la alternativa B

DESARROLLO

θ1 53.13 º=θ1 atan43

:=τnt 600kgf

cm2⋅:=σn 900

kgf

cm2⋅:=Dados :

En un miembro estructural no deben sobrepasarse los siguientes valores de esfuerzos:a) Esfuerzo minimo = -1200 kgf/cm2b) Esfuerzo máximo de cortadura = 700 kgf/cm2Además debe cumplirse con que el Esfuerzo normal en el plano AB sea σn= 900 kgf/cm2 y el Esfuerzcortante en el plano AB sea τnt= 600 kgf/cm2. La normal al plano AB tiene una pendiente de 4/3 respecto a la horizontal.Determinar: a) Esfuerzos normales admisibles en los ejes X e Y. Esfuerzo cortante en dicho ejes (txy) b) El ángulo que forma la normal al plano en que actúan los esfuerzos máximos con respecto al ejX. c) Realizar croquis indicando esfuerzos en los planos AB y XY

Problema G8.09 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales 1º sem 1979 (10/60 ptos)

14 Marzo 2003


A

B

n

t

Xθn

La normal al plano AB tiene unapendiente respecto al eje X de:

El eje X forma un ángulo deφ+θn respecto al plano en que actua el esfuerzo normal máximo.

θn atan43

:=θp1 φ θn+:= θp1 82.6 º=

θn 53.1 º=

En el circulo de Mohr se gira desde el punto N en sentido del reloj el doble del angulo θnesfuerzo normal en los planos X e Y

σxσp1 σp2+( )

2

σp1 σp2−

2cos 2− θp1⋅( )⋅+:= σx 138−

kgf

cm2=

σyσp1 σp2+( )

2

σp1 σp2−

2cos 2− θp1⋅ 180 º⋅+( )⋅+:=

σy 1216kgf

cm2=

Esfuerzo cortante en el plano X

τxyσp1 σp2−

2

− sin 2− θp1⋅( )⋅:= τxy 178kgf

cm2=

ALTERNATIVA BSea el Esfuerzo máximo de cortadura τmax 700

kgf

cm2⋅:=

τ nt

N

O

σn

2φ

P1P2

σp2

R

Y

X2 θp1

2θn

φ12

asinτnt

τmax

:= φ 29.5 º=

Centro del circulo:

σ0 σn τmax cos 2 φ⋅( )⋅−:=

σ0 539kgf

cm2=

Esfuerzo mínimo:

σp2 σ0 τmax−:=

σp2 161−kgf

cm2=

El esfuerzo menor es más pequeño que el admisible, por consiguiente esta alternativa es la correctaEl esfuerzo máximo es:

σp1 σ0 τmax+:= σp1 1239kgf

cm2=

14 Marzo 2003


Se cumple requisito

σn 4000kgf

cm2=σn

σx σy+

2

σx σy−

2cos 2 θn⋅( )⋅+ τxy sin 2 θn⋅( )⋅+:=

Esfuerzo en el plano n

τxy 3897kgf

cm2=τxy τmax sin 2 θp1⋅( )⋅:=

Esfuerzo cortante en XY

σy 500−kgf

cm2=σy σO σOA−:=

Esfuerzo en el plano Y

σp1 6250kgf

cm2=σp1 σO τmax+:=

Esfuerzo principal máximo,cumple requisito:

σO 1750kgf

cm2=

σO σx σOA−:=

esfuerzo en el centro del circulo:

σOA 2250kgf

cm2=

σOA τmax cos 2 θp1⋅( )⋅:=

τ xy

N

O

σx

P1

σy

Y

X

2 θn

2θp1

A

σx

esfuerzo entre O y A

Procedimiento: Se intenta que cumpla la alternativa A, que el esfuerzo máximo sea menor que 8000 kgf/cm2. Se comprueba que cumple calculando el esfuerzo normal en el plano cuya normal es N. Si elesfuerzo normal es menor que el admisible, la alternativa es correcta.En caso contrario se resuelve la alternativa B, que el esfuerzo en el plano n es igual a 5000 kgf/cm2.

θn 60 º⋅:=θp1 30 º⋅:=τmax 4500kgf

cm2⋅:=σx 4000

kgf

cm2⋅:=

DESARROLLO

Resolver mediante la representación gráfica de Mohr determinando los esfuerzos normales en los ejes Y, N y el esfuerzo cortante τxy y τnt si:σx = 4.000 kgf/cm2 σp1 =< 8.000 kgf/cm2 τmax = 4 500 kgf/cm2

σn < 5.000 kgf/cm2 θp1 = 30º θn = 60º

Problema 8.10 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales 1º sem 1979 (10/60 ptos)

14 de Marzo 2003


σ2 915−kgf

cm2=σ1 4065

kgf

cm2=

σ2E

1 ν2

−ε2 ν ε1⋅+( )⋅:=σ1

E

1 ν2

−ε1 ν ε2⋅+( )⋅:=Desarrollando :

ε21E

σ2 ν σ1⋅−( )⋅=ε11E

σ1 ν σ2⋅−( )⋅=Esfuerzos principales:

θ1 9.217 º=

θ112

atanγxy2

2εx εy−⋅

⋅:=Angulo entre deformacion principal y eje X

ε1 2.081139 10 3−×= ε2 1.081139− 10 3−×=

ε1εx εy+

2εx εy−

2

2γxy2

2++:= ε2

εx εy+2

εx εy−2

2γxy2

2+−:=

Deformaciones principales :

εy 1− 10 3−×=εx 2 10 3−×=γxy 1 10 3−×=

εy0.002

2−:=εx

0.0042

:=γxy0.006 0.004−

2:=

Deformaciones en el plano X e Y :

DESARROLLO

0,002

0,006

0,004

Una placa plana delgada, antes de cargarse, tiene un cuadrado dibujado en ella, de 2 x 2 cm. Se aplica una carga, y la placa plana se deforma, disminuyendo en el eje vertical 0,002 cm y en el eje horizontal, se alarga 0,004 y 0,006 cm, según se muestra en la figura. a) Calcular las deformaciones principales y sus direcciones. b)Si el módulo de elasticidad del material es 2.100.000 kgf/cm2 y la relación de poisón es µ = 0,33, encontrar los esfuerzos principales, suponiendo una acción elástica.

Problema G8.11 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Mecanica de sólidos 1º sem 1979

AE1R1P16.mcdDaniel Milovic S.24 Marzo 97

24 Marzo 1997


X

Y

σ2θ1

σ1σ2

τ

θ1 11.31 deg=θ112

atanτxy

σx σy−2

⋅:=

Ángulo entre el eje x y el plano principal:

τxy 5kpsi=τxy τmax2 σx σy−

2

2−:=

τmaxσx σy−

2

2τxy

2+

=Esfuerzo cortante en el punto:

σy 5− kpsi=

σy σ1 σ2+ σx−:=Esfuerzo en el eje y :σ2 6− kpsi=σ2 σ1 2 τmax⋅−:=Esfuerzo principal mínimo:

τmax 13 kpsi⋅:=Esfuerzo cortante máximo:σ1 20 kpsi⋅:=Esfuerzo principal máximo:σx 19 kpsi⋅:=Esfuerzo en el eje x :

DESARROLLO

En un punto de una región cargada existen en un plano vertical un esfuerzo normal de tracción de 19 kpsi y un esfuerzo cortante negativo de magnitud desconocida. El esfuerzo principal máximo de tracción en el punto es de 20 kpsi y el máximo esfuerzo cortante tiene una magnitud de 13 kpsi. Determinar los esfuerzos desconocidos en los planos horizontal y vertical y muéstrense en un croquis. Realice el circulo de Mohr en forma esquemática. Indique el ángulo entre el eje x y el plano donde ocurre el esfuerzo normal máximo.

Problema G8.12 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Análisis de Esfuerzos 1 1º sem 1987 ( 20 / 60 puntos)

23 Marzo 1997


εmin 2.82843− 10 3−×=εminεu εv+

2εu εv−

2

2γuv2

2+−:=

εmax 2.82843 10 3−×=εmaxεu εv+

2εu εv−

2

2γuv2

2++:=

γxy 0:=Los ejes X e Y son ejes principales de deformaciones, por lo cual

γuv 4 10 3−×=

γuv εnεu εv+

2−

εu εv−2

cos 2 φ⋅( )⋅−

2sin 2 φ⋅( )⋅:=

Despejando γuv

εnεu εv+

2εu εv−

2cos 2 φ⋅( )⋅+

γuv2

sin 2 φ⋅( )⋅+=

εn 0.002:=

εv 0.002:=

εu 0.002−:=

Sean u y v las direcciones de los ejes 3 y 1 respectivamente, y el eje 2 la dirección n

DESARROLLO

ν 0.3:=E 30 106⋅ psi⋅:=Módulo de elasticidad del acero:

Relacion de Poisson :

φ 45 º⋅:=

Los ejes X e Y son los ejes principalesDeterminar el ángulo θ , las deformaciones εx εy εz , los esfuerzos σx σy τxy

ε3 002−:=

ε2 0.002:=

ε1 0.002:=

Las deformaciones normales en las direcciones 1, 2 y 3 de un acero son:

X

Y

3

21

45

θ

45

Problema G8.13 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Análisis de esfuerzos 1 2º sem 1988

20 Marzo 1997


τxy 0 psi⋅:=

σy 65271psi=σyE

1 ν2

−εy ν εx⋅+( )⋅:=

σx 65271− psi=σxE

1 ν2

−εx ν εy⋅+( )⋅:=

Esfuerzos :

εy 2.828427 10 3−×=εy εmax:=

εx 2.828427− 10 3−×=εx εmin:=Luego :

εx 2.828427− 10 3−×=

εxεu εv+

2εu εv−

2cos 2 θ⋅( )⋅+

γuv2

sin 2 θ⋅( )⋅+:=

Se desconoce si ex o ey estan correctos o estan invertidos. Luego:

θ 22.5− º=θ12

atan tan2θ( )⋅:=tan2θ 1−=tan2θ

γuv2

εu εv−2

:=

El ángulo entre el eje principal y el eje u es:

20 Marzo 1997


De (1) B σ1 σ2+= B 2 σnA2

cos 2 θn⋅( )⋅−

⋅:= B 2355psi=

σ1A B+

2:= σ1 23psi=

σ2B A−

2:= σ2 2332psi=

τmaxσ1 σ2−

2:= τmax 1155psi=

Esfuerzos en el plano que forma 45º con el eje nForma un ángulo con el eje 1 de: θu 30 º⋅ 45 º⋅+:=

σuσ1 σ2+

2σ1 σ2−

2cos 2 θu⋅( )⋅+:= σu 2177psi=

τuvσ1 σ2−

2− sin 2 θu⋅( )⋅:= τuv 577psi=

Problema G8.14 Recopilación de pruebas Esfuerzo y Deformación Análisis de esfuerzos 1 7 Abril 1977 (20/60 puntos)

3) Dado los esfuerzos normal y cortante en un punto de 600 psi y 1000 psi. Este punto forma respecto al esfuerzo principal máximo un ángulo de 30º en sentido del reloj. Si el esfuerzo cortante no puede ser superior a 2000 psi, el esfuerzo normal máximo debe ser inferior a 3000 psi, calcular los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo.Indique los esfuerzos en un plano que forma 45º con el plano n

σn 600 psi⋅:= τmax 2000 psi⋅:=

τnt 1000 psi⋅:= σmax 3000 psi⋅:=

θ1 30 º⋅:= Signo mas por encontrarse en sentido del reloj

Se cambian los ejes X e Y a los ejes principales 1 y 2 (Procedimiento 10 pts)θn θ1−:=

(1)σnσ1 σ2+

2σ1 σ2−

2cos 2 θn⋅( )⋅+=

(2)τntσ1 σ2−

2− sin 2 θn⋅( )⋅=

De (2) A σ1 σ2−= A2 τnt⋅

sin 2 θn⋅( ):= A 2309− psi=

7 Abril 1997

Daniel Milovic S 1 ICM341 - AE1G815

b) El ángulo que forma el eje x con la normal al plano donde actua el esfuerzo normal maximo.

τxy 16971psi=τxy τa2 σx σy−( )

2

2−:=τa

σx σy−⋅( )2

2τxy

2+=

a ) Calculo del esfuerzo cortante en el plano x-y

τa 17000 psi⋅:=σ2 12000− psi⋅:=σ1 22000 psi⋅:=Luego:

Find σ1 σ2,( ) 25000

15000−

psi= Conclusión: Se sobrepasa el esfuerzo admisible mínimo. No sirve esta alternativa.

σ1 σ2+ σx σy+=σ1 σ2− 2 τa⋅=Given

τa 20000 psi⋅:=B) Asumir que el esfuerzo cortante máximo rige las relaciones:

Conclusión: Al ser el esfuerzo cortante menor de 20.000 psi, se cumple con ambos requisitos

τ1 17000psi=τ1σ1 σ2−

2:=Esfuerzo cortante máximo:

σ1 22000psi=σ1 σx σy+ σ2−:=σx σy+ σ1 σ2+=Ecuación de invariantes:

σy 4000 psi⋅:=σx 6000 psi⋅:=

σ2 12000− psi⋅:=A ) Asumir que el esfuerzo mínimo es -12.000 psi DESAROLLO

2 .- D ados los esfuerzos x = 6000 psi, y = 4000 psi.El esfuerzo mínimo no puede ser inferio r a -12 .000 psi,y e l esfuerzo co rtante nopuede superar lo s 20 .000 psi, ca lcular a) e l esfuerzo co rtan te ☺xy (3 p tos)b ) e l ángulo que fo rma e l e je X con la no rmal a l plano donde ac túa e l máximoesfuerzo no rmal.(3 p tos)c) D eterminar lo s esfuerzos en un p lano que fo rma 30 º en sen tido an tire lo j con e lp lano donde ac tua e l esfuerzo normal máximo.(6 p tos)d )R epresentar gráficamen te los esfuerzos.(8 p tos)

Problema G8.15 Recopilación de pruebas Esfuerzo y DeformaciónAnálisis de esfuerzos 1 Primer Semestre 1999 (20/60) ptos. 6 Abril 1999

6 Abril 99 1


d) Representación gráfica

N (13500,-14772)

X

Y

Fp1Fp22p1

2n

22000-12000

Jxy = 16971

6000

60º

86,6º

τnt 14722− psi=τntσ1 σ2−( )−

2sin 2 θn⋅( )⋅:=

σn 13500psi=σnσ1 σ2+

2σ1 σ2−

2

cos 2 θn⋅( )⋅+:=

θn 30 º⋅:=c) Determinar los esfuerzos en un plano que forma 30º en sentido antireloj con el plano donde actua el esfuerzo normal máximo

θp1 43.3− º=θp112

atan 2τxy−

σx σy−⋅

⋅:=tan 2 θp1⋅( ) 2− τxy⋅( )σx σy−

=

2) Se considera τxy negativo

θp1 43.3 º=θp112

atan 2τxy

σx σy−⋅

⋅:=tan 2 θp1⋅( ) 2 τxy⋅( )σx σy−

=

1) Se considera τxy positivo

6 Abril 99 2


θp 17.8 º=

θp12

atanτxy

σx σy−2

⋅:=Angulo que forma con el eje x

σ1 11.602 Kpsi=

σ1σx σy+

2σx σy−

2

2τxy

2++:=Esfuerzo principal normal máximo

σy 6 10−( ) Kpsi⋅:=

σ1 σ2+ σx σy+= 6 Kpsi⋅=

Desarrollo

Calcular el esfuerzo principal 1 y el ángulo que forma con el eje XLa suma de los esfuerzos principales = 6 Kpsi

τxy 5 Kpsi⋅:=σx 10 Kpsi⋅:=Dados los esfuerzos

Examen de análisis de Esfuerzos 1 14 julio 97 problema 1 (15/60 pts)Guia de Ejercicios Análisis de Esfuerzos Problema 8.16

14 Julio 97

Daniel Milovic S 1 ICM341 AE1G817.mcd

A la derecha se observa el elemento diferencial con el estado de tensiones en direcciones XY, como también girado en 21,4º en sentido del reloj, donde se muestran los esfuerzos principales normales, donde los esfuerzos cortantes son nulos.

σx

σy

τxyσx

σy

τxyτxy

τxy

σP2

σP1σ

P2

σP1

21,4º

θ 21.42 deg=θ12

asinτxyτmax

⋅:=Angulo plano x al plano principal máximo:

τxy 10.198 Kpsi=τxy τmax2 σx σy−

2

2−:=Esfuerzo cortante en el plano:

σy 6− Kpsi=σy rootσx σy+

2τmax+ σp1− σy,

:=Esfuerzo en el plano horizontal:

CALCULOS ANALITICOS

σy 1 psi⋅:=Valores iniciales:

τmax 15000 psi⋅:=Esfuerzo cortante máximo:

σx 16000 psi⋅:=Esfuerzo en el eje X:

σp1 20000 psi⋅:=Esfuerzo principal máximo:

2.- En un punto de una región cargada existen en un plano vertical un esfuerzo normal de tracción de 16 kpsi. y un esfuerzo cortante negativo de magnitud desconocida. El esfuerzo principal máximo de tracción en el punto es de 20 Kpsi y el máximo esfuerzo cortante tiene una magnitud de 15 Kpsi. Determinar los esfuerzos desconocidos en los planos horizontal y vertical y muestrense en un croquis. Realice el circulo de Mohr en forma esquemática. Indique el ángulo entre el eje x y el plano donde ocurre el esfuerzo normal máximo.

σx

σy

τxy

Guia de Ejercicios Análisis de Esfuerzos 1 Problema G8.17Primera prueba de Análisis de Esfuerzos 1 3 de Abril de 1996 Problema 2 (20/60 pts)

3 Abril 96

Daniel Milovic S 2 ICM341 AE1G817.mcd

θ 21.417 º=θ12

asinτxyτmax

⋅:=ángulo entre el eje X y el eje principal

Con σx = 16 Kpsi se traza linea vertical que corta al circulo en el punto X

Posición del punto X, sobre la horizontal, por cuanto el esfuerzo cortante por enunciado es de signo negativo, tanto en el elemento como en el circulo.

R 15Kpsi=R τmax:=Radio del circulo:

C 5Kpsi=

Cσp1 σp2+

2:=Centro del circulo:

σp2 10− Kpsi=

σp2 σp1 2 τmax⋅−:=Se calcula :

σp1 20Kpsi=

τmax 15Kpsi=Con los datos:

CIRCULO DE MOHR

X

Y

42,8º10,2

16

-6

-10 20 σ

τ

3 Abril 96

Daniel Milovic S 1 ICM341 - AE1G818.MCD

find A B, C,( )

0.0008318

0.0016635−

0.0011547−

=

Se obtiene como resultado:

A 0.0008318:= B 0.0016635−:= C 0.0011547−:=

Expresando las deformaciones como:εx A B+( ):= εy A B−:= γxy C 2⋅:=

εx 0.000832−= εy 0.002495= γxy 0.002309−=Deformaciones principales:

γ2 B2 C2+:= γ2 2.02499 10 3−×= γmax γ2 2⋅:= γmax 4.04997 10 3−×=

145º

Y

X

2ε ε1C ε

γ

ε2 A γ2−:= ε2 1.19319− 10 3−×=

ε1 A γ2+:= ε1 2.857 10 3−×=

θ112

asinγxyγmax

⋅:= θ2 θ1 90 º⋅+:=

θ1 17.383− º= θ2 72.617 º=

Guia de Ejercicios Análisis de Esfuerzos 1 Problema G8.18Primera prueba de Análisis de Esfuerzos 1 3 de Abril de 1996 Problema 2 (20/60 pts)

Las deformaciones normales en las direcciones u, v y w son:

XU

V

W50º70º

εu 0.001−:= εv 0.002:= εw 0.001:=Encontrar las deformaciones normal y angular en dirección del eje X, que forma el ángulo 30º con el eje U. Representar las deformaciones en forma gráfica mediante el circulo de mohr.

Datos: eu 0.001−:= θ1 30 deg⋅:= Valores iniciales para el cálculo:

ev 0.002:= θ2 80 deg⋅:= A 1:= B 1:= C 1:=

ew 0.001:= θ3 150 deg⋅:= a 1:= b 1:= c 1:=

Resolver el sistema de ecuaciones:given eu A B cos 2 θ1⋅( )⋅+ C sin 2 θ1⋅( )⋅+=

ev A B cos 2 θ2⋅( )⋅+ C sin 2 θ2⋅( )⋅+=

ew A B cos 2 θ3⋅( )⋅+ C sin 2 θ3⋅( )⋅+=

3 Abril 96


ε2 1016−=ε2εx εy+

2εx εy−( )

2

2γxy2

2+−+:=

ε1 316=ε1εx εy+

2εx εy−( )

2

2γxy2

2++:=

γxy 750.6=

εy 900−=

εx 200=

εx

εy

γxy

Find εx εy, γxy,( ):=

εx εy+

2

εx εy−

2cos 2 θc⋅( )⋅+

γxy

2sin 2 θc⋅( )⋅+ εc=

εx εy+

2

εx εy−

2cos 2 θb⋅( )⋅+

γxy

2sin 2 θb⋅( )⋅+ εb=

εx εy+

2

εx εy−

2cos 2 θa⋅( )⋅+

γxy

2sin 2 θa⋅( )⋅+ εa=

Givenγxy εx:=εy εx:=εx εa:=sean los valores iniciales

a) Deformaciones principales

µ 0.33:=E 72:=

θc 60 º⋅:=εc 300−:=

θb 120 º⋅:=εb 950−:=

θa 0:=εa 200:=

DATOS

a

bc

60º

60º

60º

Una roseta de deformación se fija a la superficie de un avión hecha de aluminio 2024-TA, y registra los siguientes datos: a = 200 µm/m b =-950 µm/m y c =-300 µm/m. En el punto de aplicación de la roseta encontrar las deformaciones principales, los esfuerzos principales, los esfuerzos en el plano cuya normal es la dirección perpendicular a la roseta a.(Dirección y).Mostrar los esfuerzos gráficamenteE = 72 GPa µ = 0,33

Guia de Ejercicios Análisis de Esfuerzos 1 Problema 8.19Primera prueba de Análisis de Esfuerzos 1 25 de Abril de 2001 Problema 3 (25/60 pts)

30 Abril 2001


b) Esfuerzos principales:sean σ1 1000:= σ2 1000:= σ3 0:= ε3 0:=

Givenσ1

EµE

σ2 σ3+( )⋅− ε1=

σ2

EµE

σ1 σ3+( )⋅− ε2=

σ3

EµE

σ1 σ2+( )⋅− ε3=

Find σ1 σ2, ε3,( )1567−

73657−

345

= σ3 0= Esfuerzo plano

º deg≡ GPa 109≡

30 Abril 2001


θτ1 75− º=

Forma un ángulo en sentido del reloj con el eje X de: θτ112

2 θ1⋅ 90 º⋅−( )⋅:=b) Esfuerzo cortante máximo:

τmax 800psi=

Se encuentra girando sentido antireloj desde pto X

θ2 60º=

ángulo entre el eje principal minimo y el eje X θ212

180 º⋅ 2 θ1⋅−( )⋅:=

θ1 30− º=Se encuentra girando sentido del reloj desde pto X

θ11−

2acos

σx OC−

τmax

⋅:=ángulo entre eje X y plano principal 1

σ2 400− psi=

σ2 OC τmax−:=a) Esfuerzo principal minimo:

τmax 800psi=τmax σ1 OC−:=Esfuerzo cortante máximoRadio del circulo:

OC 400psi=OCσx σy+

2:=Centro del circulo:

θn 50− º⋅:=σ1 1200 psi⋅:=

σy 0 psi⋅:=σx 800 psi⋅:=

Resuelva SOLO por el circulo de Mohr.Los esfuerzos que se muestran actúan en un punto de un miembro estructural. Se sabe que el esfuerzo principal de tensión es de 1200 psi. Determinar:a) Los esfuerzos principales y planos en que actúan.b) Los esfuerzos cortantes máximos y mínimos y los planos en que actúan.c) El esfuerzo cortante en el plano horizontal.d) Los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el plano ABe) Representar en un croquis todo lo pedido anteriormente.

800 psi

B

A

τyx

τyx

40ºτyxτyx

Problema G8.20 Recopilación de pruebas Esfuerzo y DeformaciónAnalisis de Esfuerzos 1 Problema 3 del 20 Abril del 2002 ( 20 pts)

20 Abril 2002


º deg≡

d) Representación gráfica X

CO

Y

τxy

800400-400

2θ1

σx-σy 2

σx+σy 2

1200

N

2(θn-θ1)

2θn

τ nt

σn

τmax

τmin

τnt 514− psi=τnt τmax− sin 2 φ⋅( )⋅:=Esfuerzo cortante

σn 1013psi=σn OC τmax cos 2 φ⋅( )⋅+:=Esfuerzo normal:en sentido del reloj

φ 20º=

φ θn θ1−( ):=ángulo que forma con el eje principal

d) Esfuerzos normales y cortantes que actuan sobre el plano AB

τxy 692.82− psi=

τxy τmax sin 2 θ1⋅( )⋅:=c) Esfuerzo cortante en el plano horizontal:θτ2 15º=

θτ212

90 º⋅ 2 θ1⋅−( )⋅:=Forma un ángulo en sentido antireloj a partir del eje X de:

τmin 800− psi=τmin τmax−:=Esfuerzo cortante mínimo

20 Abril 2002


º deg≡

θτ1 13.8 º=θτ1 45 º⋅ θp1−:=Esfuerzo cortante máximo

σp2 2200− psi=σp2 σp1 2 τmax⋅−:=Esfuerzo principal mínimo:

σy 800psi=σy σx 2 σx CC−( )⋅−:=Esfuerzo normal y

θp1 31.2− º=θp11−

2acos

σx CC−

τmax

⋅:=cos 2 θp1⋅( ) σx CC−

τmax=

Ángulo que forma el eje x con el esfuerzo principal máximo:

τxy 4960psi=τxy τmax2σx CC−( )2

−:=esfuerzo cortante plano X

CC 3400psi=CC σp1 τmax−:=Centro del circulo:

τmax 5600 psi⋅:=

σp1 9000 psi⋅:=

σx 6000 psi⋅:=

Calcular mediante el circulo de Mohr el estado de esfuerzos:

Problema 8.21 Recopilación de pruebas Esfuerzo y DeformaciónAnalisis de Esfuerzos 1 Problema 2 del 13 mayo del 2002 ( 20 pts)

13 Mayo 2002

solución transformacion esfuerzos

Documents