sollecitazioni composte€¦ · mx sarà positivo se genera trazione dalla parte delle ordinate...

Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI

Prof. Ing. Francesco Zanghì

SOLLECITAZIONI COMPOSTE

AGGIORNAMENTO 28/10/2011

Corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ing. Francesco Zanghì

2

FLESSIONE DEVIATA

Si ha flessione deviata quando il piano di sollecitazione, pur contenendo l’asse della trave, non contiene uno degli assi centrali d’inerzia della sezioni. In altri termini l’asse momento non coincide con uno degli assi principali d’inerzia.

Essa si può considerare composta da due flessioni rette le quali invece hanno asse momento coincidente con degli assi centrali d'inerzia.

x

y

G

0-Mx/Wx

Mx/Wx

x

y

G

σ n

α

= + x

y

G

M

Mx

My

-My/Wy

My/Wy

n


3

La formula di Navier assume la seguente formula binomia:

Mx sarà POSITIVO se genera trazione dalla parte delle ordinate positive My sarà POSITIVO se genera trazione dalla parte delle ascisse positive

L’equazione dell’asse neutro, nel sistema di riferimento fissato per la sezione, si ricava osservando che esso, per definizione, è il luogo dei punti che hanno tensione nulla:

0=+=y

y

x

x

J

xM

J

yMσ

da cui y

y

x

x

J

xM

J

yM−=

cioè x

J

J

M

My

y

x

x

y−=

N.B. L’asse neutro si può trovare anche sfruttando le proprietà dell’ellisse d’inerzia della sezione. Infatti l’asse di sollecitazione e l’asse neutro sono coniugati.

y

y

x

x

J

xM

J

yM+=σ


4

ESEMPIO N°1

Determinare la distribuzione delle tensioni normali sulla sezione di incastro di una mensola a sezione rettangolare (20x35), di luce l=1.5 m, sottoposta ad un carico F=50 kN inclinato di 30° rispetto alla direzione verticale.

Il momento massimo nella sezione di incastro è: kNmlFM 7550.150 =⋅=⋅=

Calcoliamo le sue componenti rispetto agli assi x e y:

kNmMM x 95.6430cos =°= POSITIVO: genera trazione dalla parte delle y positive

kNmMM y 50.3730sin =°= POSITIVO: genera trazione dalla parte delle x positive

Calcoliamo i momenti di inerzia rispetto agli assi baricentrici x e y:

443

1014.712

35.020.0mJ x

−⋅=

⋅= ;

443

1033.212

20.035.0mJ y

−⋅=

⋅=

F=50 kN

1.50 m

M

M

75 kNm


5

x

y

30°

F=50 kN

M=75 kNm

Mx

My

30°

n

n

+32 MPa

-32 MPa

σ

Troviamo l’equazione dell’asse neutro imponendo:

01033.2

50.37

1014.7

95.6444

=⋅

+⋅

=⋅

+⋅

=−−

xyJ

xM

J

yM

xx

yxσ ;

xy95.64

1014.7

1033.2

50.37 4

4

−

−

⋅

⋅−= ; xy 77.1−=

Il valore della massima tensione si ha nello spigolo della sezione di coordinate x=10 e y=17.5:

MPam

kN

J

xM

J

yM

xx

yx

3253.32013

1.01033.2

50.37175.0

1014.7

95.64

2

44

==

=⋅⋅

+⋅⋅

=⋅

+⋅

=−−

σ


6

PRESSO-TENSO FLESSIONE SEMPLICE (AZIONE COMBINATA di FLESSIONE RETTA + SFORZO NORMALE)

N

M=N•e

yJ

eN

x

⋅=σA

N=σ

N

yJ

eN

A

N

x

⋅±+=σ

yJ

eN

A

N

x

⋅±−=σ

TENSO-FLESSIONE

PRESSO-FLESSIONE


7

Troviamo l’equazione dell’asse neutro imponendo:

0=⋅

+= n

x

yJ

eN

A

Nσ

;

A

Ny

J

eNn

x

−=⋅

;

eN

J

A

Ny x

n⋅

−= ; eN

J

A

Ny x

n⋅

−=

n

x

eA

Jy

⋅−=

Distanza dell’asse neutro dall’asse baricentrico

A

Nx −=σ

x

y

xW

eN ⋅−=σ

x

y

xW

eN ⋅+=σ

A

Nx −=σ

N

N

ye

yeNM ⋅=


8

ESEMPIO N°2

Sulla sommità di un muro di lunghezza b=300 cm e dello spessore s=25 cm gravano due carichi ripartiti rispettivamente q1=60 kN/m, applicato in asse, e q2=30 kN/m applicato a 6 cm dall’asse. Determinare le tensioni massime e minime in sommità.

I carichi concentrati agenti in sommità sono:

kNmqQT

180311 =⋅= ; kNmqQT

90322 =⋅=

Assumiamo come polo lo spigolo sinistro della sezione

e applichiamo il Teorema di Varignon per calcolare

l’eccentricità del carico risultante:

( ) d⋅+=⋅+⋅ 901805.18905.12180 ; cmd 5.14=

L’eccentricità del carico risultate N=270 kN è :

cme 25.125.14 +=−=

z

d = 1 4 .5 c m

s = 2 5 c m

N = 2 7 0 k N

e = 2 c m

yC


9

Il momento d’inerzia baricentrico rispetto all’asse longitudinale del muro vale:

433

0039.012

25.03

12m

sbJ x =

⋅=

⋅=

La tensioni massime minime sono:

( )MPa

m

kNs

J

eN

A

N

x

186.092.18607.1733600039.02

25.002.0270

25.03

270

2 21 −=−=+−=⋅

⋅⋅+

⋅−=

⋅+−=σ

( )MPa

m

kNs

J

eN

A

N

x

533.007.53307.1733600039.02

25.002.0270

25.03

270

2 22 −=−=−−=⋅

⋅⋅−

⋅−=

⋅−−=σ

Calcoliamo la posizione dell’asse neutro:

( )m

eA

Jy x

n 26.002.025.03

0039.0−=

⋅⋅−=

⋅−=

Poiché 0.26 > 0.125 l’asse neutro è esterno

alla sezione che risulta essere completamente

compressa.

Ci troviamo in condizioni di:

piccola eccentricità

z

25 cm

N=270 kN

26 cm

-0.5

33 M

Pa

C

0

-0.1

86 M

Pa

y


10

ESEMPIO N°3: LA TORRE DI PISA

Calcolare le tensioni di scarico al suolo della torre di Pisa.

Assimiliamo la sezione trasversale della torre ad una corona circolare e

adottiamo uno schema semplificato di asta mensola incastrata alla base.


11

La posizione dell’asse neutro è:

meA

Jy x

n 88.733.25.145

2674−=

⋅−=

⋅−=

Poiché 7.88 > 7.74 l’asse neutro è esterno alla sezione

che risulta essere completamente compressa: piccola

eccentricità

La tensioni massime minime sono:

MPa02.02674

74.733.2144000

5.145

1440001 −=

⋅⋅+−=σ

MPa96.12674

74.733.2144000

5.145

1440002 −=

⋅⋅−−=σ

La sezione di base risulta interamente compressa

pertanto non parzializzata. Ciò è compatibile con le

caratteristiche di resistenza della muratura e del terreno

di fondazione, entrambi non reagenti a trazione.

-1.96 MPa

-0.02 MPa


12

PRESSO-TENSO FLESSIONE DEVIATA (AZIONE COMBINATA di FLESSIONE DEVIATA + SFORZO NORMALE)

La presso/tenso-flessione deviata è una sollecitazione che nasce da un sistema di forze composto da una forza N di compressione (o trazione) agente al di fuori del baricentro in modo tale da creare due flessioni rette con asse momento coincidente con i due assi centrali d'inerzia della sezione; la composizione di tali coppie fornisce una flessione deviata.

Per esplicitare l'andamento delle tensioni nel grafico bisognerà conoscere:

• l'asse di sollecitazione, che in una sezione passa per il punto d'applicazione della forza e per il baricentro di tale sezione;

• l'asse neutro, che si può trovare eguagliando a zero la formula trinomia di Navier.

N

N

N

N

xJ

eNy

J

eN

A

N

y

x

x

y ⋅±

⋅±+=σ

xJ

eNy

J

eN

A

N

y

x

x

y ⋅±

⋅±−=σ

TENSO-FLESSIONE DEVIATA

PRESSO-FLESSIONE DEVIATA


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ESEMPIO N°4 Determinare la distribuzione delle tensioni sulla sezione di un profilato HEB 160 sottoposto ad uno sforzo normale di compressione N=60 kN applicato nel punto A rappresentato in figura.

Dalle tabelle si ricavano le caratteristiche della sezione:

Area 54.3 cm^2

Momenti d'inerzia

Jx 2492 cm^4

Jy 889 cm^4

Jxy 0.00 cm^4

Moduli di resistenza

Wx 311 cm^3

Wy 111 cm^3

Calcoliamo i momenti rispetto agli assi:

kNcmeNM yx 480860 =⋅=⋅= NEGATIVO

kNcmeNM xy 480860 =⋅=⋅= NEGATIVO

L’equazione dell’asse neutro è:

0=−−− xJ

My

J

M

A

N

y

y

x

x; 0

889

480

2492

480

3.54

60=−−− xy

054.019.010.1 =−−− xy ; 79.584.2 −−= xy

Inclinazione: ( ) °−≅−= 7184.2arctanα

Gx

y

A

1313

413

160

76 8 76

160

ex=80

ey=

80

e=11

3,14

Mx

My


14

Calcolo delle tensioni:

MPacm

kN

W

M

W

M

A

N

y

y

x

x 6.6996.6111

480

311

480

3.54

6021 −=−=

+−−=

+−−=σ

MPacm

kN

W

M

W

M

A

N

y

y

x

x 6.4776.4111

480

311

480

3.54

6022 ==

++−=

++−=σ

Si riporta di seguito la mappatura dello stato tensionale nella

sezione valutata attraverso una procedura di calcolo numerico.

Gx

yn

n

-69.6 MPa

71°

47.6 MPa


15

ESERCIZIO N°1 La trave rappresentata in figura è realizzata con un profilo in acciaio IPE 220. Calcolare lo stato tensionale in corrispondenza della sezione maggiormente sollecitata.

3.00 2.00

50 kN

A B

1.00

110

9,2

201,

69,

2

220

5,9


16

ESERCIZIO N°2

Data la struttura in figura, determinare lo stato tensionale della trave e del pilastro nelle sezioni maggiormente sollecitate.

h=2.

50 m

L=1.50 m

q=200 kN/m

p=50

kN

/m

A

B

C

IPE330

HE

A24

0

IPE330

11,

530

71

1,5

330

7,5

HEA240

160

240

1220

612

230


17

Caratteristiche della sollecitazione

N T M


18

Dalle tabelle si ricavano le caratteristiche della sezione:

IPE 330

Peso 49.15 daN/m

Area 62.62 cm^2

Jx 11769.15 cm^4

Jy 788.15 cm^4

Wx 713.28 cm^3

Wy 98.52 cm^3

HEA 240 Peso 60.33 daN/m

Area 76.85 cm^2

Jx 7764.47 cm^4

Jy 2768.84 cm^4

Wx 675.17 cm^3

Wy 230.74 cm^3

TENSIONI PILASTRO

La sezione più sollecitata è la sezione C in cui M=156.25 kNm e N=-45.83 kN. Poiché il piano si sollecitazione contiene l’asse y del profilo, siamo in presenza di PRESSOFLESSIONE RETTA. Le fibre tese sono quelle di destra, cioè quelle inferiori nel riferimento locale dell’asta. Il momento va considerato negativo in quanto le fibre tese sono dalla parte del semiasse negativo dell’asse y.

L’equazione dell’asse neutro è:

cmyyyJ

M

A

N

x

30.0047.7764

15625

85.76

83.450 −==−−=−−

La tensioni massime e minime sono:

MPacm

kN

W

M

A

N

x

22554.2217.675

15625

85.76

83.4521 ==+−=+−=σ

MPacm

kN

W

M

A

N

x

23774.2317.675

15625

85.76

83.4522 −=−=−−=−−=σ

Gx

y

M=156.25 kNmN=-45.83 kN

n

-237 MPa

225 MPa

n


19

TENSIONI TRAVE

La sezione più sollecitata è quella in corrispondenza della quale il taglio si annulla e, di conseguenza, il momento e massimo e vale M=161.50 kNm. Non c’è sforzo normale pertanto siamo in presenza di FLESSIONE RETTA. Le fibre tese sono quelle inferiori nel riferimento locale dell’asta.

La tensioni massime e minime sono:

MPacm

kN

W

M

x

22664.2228.713

1615021 ±=±==±=σ

G

y

M=161.50 kNmn

-226 MPa

226 MPa

n


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Fonti

• Facoltà di ingegneria – Università degli studi di Messina - Materiale didattico

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