solidos3_2012_05a

MECÁNICA DE

MATERIALES

Quinta edición

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

David F. Mazurek

Notas:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CAPÍTULO

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5

Flexión

(Diagramas y Flexión

pura)


MECÁNICA DE MATERIALES

Qu

inta

e

dic

ión

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

5- 2

Contenido

• Introducción

• Diagramas de cortante y de momento flector

• Problema modelo 5.1


• Relaciones entre la carga, el cortante y el momento flector



• Diseño de vigas prismáticas a la flexión




Qu

inta

e

dic

ión


5- 3

Introducción

• Vigas – Elementos estructurales que soportan

las cargas en varios puntos a lo largo del

elemento.

• Objetivo – Análisis y diseño de vigas

• Las cargas transversales de las vigas se

clasifican como cargas concentradas o cargas

distribuidas.

• Las cargas aplicadas provocan fuerzas internas

consistentes en una fuerza de corte (de la

distribución de la tensión de corte) y un par de

flexión (de la distribución de la tensión normal).

El esfuerzo normal requiere la determinación de

la ubicación y la magnitud del momento flector.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 4

Introducción

Clasificación de vigas de soporte



Qu

inta

e

dic

ión


5- 5

Diagramas de cortante y de momento flector

• La determinación de esfuerzos máximos de

corte normal requiere la identificación de

un máximo de fuerza de corte interno y un

par de flexión.

• La fuerza de corte y flexión de par en un

punto se determina mediante la aprobación de

una sección a través de la viga y la aplicación

de un análisis de equilibrio en cada lado de la

sección de la viga.

• Convenciones de signos para las fuerzas de

corte V y V ' y momentos flectores M y M' .



Qu

inta

e

dic

ión


5- 6

Diagramas de cortante y de momento flector

• Convenciones de signos para las fuerzas de corte V y V ' y momentos

flectores M y M' .



Qu

inta

e

dic

ión


5- 7

Problema modelo 5.1

Para la viga de madera que se ilustra,

dibujar los diagramas de cortante y de

momento.

SOLUCIÓN:

• Considerando toda la viga como un

cuerpo rígido, determinar la

reacción de las fuerzas.

• Identificar la fuerza cortante

máxima y de momento flector de las

gráficas de sus distribuciones.

• Seccionar la viga en los puntos de

apoyo y cerca de los puntos de

aplicación de la carga. Aplicar un

análisis de equilibrio sobre el

resultado de cuerpo libre para

determinar los pares de fuerzas

internas de corte y flexión.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 8

Problema modelo 5.1 SOLUCIÓN:

• Considerando toda la viga como un cuerpo rígido,

determinar la reacción de las fuerzas.

kN14kN46:0 de DBBy RRMF

• Seccionar la viga y aplicar análisis de equilibrio

sobre los cuerpos libres resultantes.

00m0kN200

kN200kN200

111

11

MMM

VVFy

mkN500m5.2kN200

kN200kN200

222

22

MMM

VVFy

0kN14

mkN28kN14

mkN28kN26

mkN50kN26

66

55

44

33

MV

MV

MV

MV



Qu

inta

e

dic

ión


5- 9

Problema modelo 5.1

• Identificar la fuerza cortante máxima y de

momento flector de las gráficas de sus

distribuciones.

mkN50kN26 Bmm MMV



Qu

inta

e

dic

ión


5- 10

Problema modelo 5.2

La estructura mostrada consiste de una

viga W10 x 112 de acero laminado.

Dibujar los diagramas de cortante y del

momento flector para la viga y la carga

dada.

SOLUCIÓN:

• Reemplazar la carga de 10 kips por

un sistema equivalente de fuerza-par

en D. Determinar las reacciones en B

considerando la viga como un cuerpo

rígido.

• Seccionar la viga en los puntos

cercanos de apoyo y en los de

aplicación de la carga. Aplicar el

análisis de equilibrio de cuerpo libre

resultante para determinar las fuerzas

internas de corte y los pares de

flexión.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 11


• Reemplazar la carga de 10 kips por un sistema

equivalente de fuerza-par en D. Determinar

las reacciones en B.

• Seccionar la viga y aplicar el análIsis de

equilibrio resultante en cuerpo libre.

ftkip5.1030

kips3030

:

2

21

1

xMMxxM

xVVxF

CaADe

y

ftkip249604240

kips240240

:

2

xMMxM

VVF

DaCDe

y

ftkip34226kips34

:

xMV

BaDDe



Qu

inta

e

dic

ión


5- 12

Problema modelo 5.2



Qu

inta

e

dic

ión


5- 13

Relaciones entre la carga, el cortante y el momento flector

xwV

xwVVVFy

0:0

D

C

x

xCD dxwVV

wdx

dV

• Relación entre la carga y el cortante:

221

02

:0

xwxVM

xxwxVMMMMC

D

C

x

x

CD dxVMM

Vdx

dM

• Relación entre fuerza cortante y

momento:



Qu

inta

e

dic

ión


5- 14

Problema modelo 5.3

Dibujar los diagramas de

cortante y de momento flector

para la viga y la carga

ilustradas en la figura.

SOLUCIÓN:

• Considerando toda la viga como un cuerpo

libre, determinar las reacciones en A y D.

• Aplicar la relación entre corte y carga para

desarrollar el diagrama de corte.

• Aplicar la relación entre el momento de

flexión y cortante para desarrollar el

diagrama de momentos de flexión.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 15

Problema modelo 5.3

SOLUCIÓN:

• Considerando toda la viga como un cuerpo libre,

determinar las reacciones en A y D.

kips18

kips12kips26kips12kips200

0F

kips26

ft28kips12ft14kips12ft6kips20ft240

0

y

y

y

A

A

A

D

D

M

• Aplicar la relación entre corte y carga para desarrollar

el diagrama de corte.

dxwdVwdx

dV

- pendiente cero entre cargas concentradas

- variación lineal en el segmento de carga

uniforme



Qu

inta

e

dic

ión


5- 16

Problema modelo 5.3

- el momento de flexión en A y E es igual a

cero

- el total de todos los cambios de momentos

flectores a través de la flexión de la viga

deben ser cero

- el cambio neto en el momento de flexión

es igual a las zonas bajo los segmentos de

distribución de cortante

- la variación del momento de flexión entre

D y E es cuadrática

- la variación del momento de flexión entre

A, B, C y D es lineal

dxVdMVdx

dM

• Aplicar la relación entre el momento de flexión

y cortante para desarrollar el diagrama de

momentos de flexión.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 17

Problema modelo 5.5

Dibuje los diagramas de cortante y

de momento flector para la viga y la

carga mostrados.

SOLUCIÓN:

• Teniendo toda la viga como un cuerpo

libre, determinar las reacciones en C.

• Aplicar la relación entre cortante y la

carga a desarrollar en el diagrama de

corte.

• Aplicar la relación entre el momento de

flexión y el de cortante para desarrollar

el diagrama de momentos de flexión.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 18


• Considerando toda la viga como un cuerpo

libre, determinar las reacciones en C.

• ---

330

0

021

021

021

021

aLawMM

aLawM

awRRawF

CCC

CCy

Los resultados de la integración de la carga y

la distribución de corte deben ser

equivalentes.

• Aplicar la relación entre corte y carga para

desarrollar el diagrama de corte.

curveloadunderareaawV

a

xxwdx

a

xwVV

B

aa

AB

021

0

2

00

02

1

- Ningún cambio en corte entre B y C.

- Compatible con el análisis de cuerpo libre.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 19

Problema modelo 5.5

• Aplicar la relación entre el momento de flexión y

corte para desarrollar el diagrama de momentos de

flexión.

203

1

0

32

00

2

0622

awM

a

xxwdx

a

xxwMM

B

aa

AB

323 0

061

021

021

aL

waaLawM

aLawdxawMM

C

L

aCB

Los resultados en C son compatibles con el

análisis de cuerpo libre.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 20

Funciones singulares

• Del estudio anterior se observa que a

mediad aparecen discontinuidades en la

carga, así tendremos mas expresiones

para representar el cortante y el

momento flexionante.

• Seria ideal si encontráramos la manera

de representar la carga de una viga, por

muy complicada que fuera, con una

única expresión.

• Si observamos la viga con carga

discontinua, podríamos decir, que las

expresiones para el tramo derecho se

convierten en generales, si anulamos las

segundas expresiones para cuando x<a,

esto es, cuando el numero en el

paréntesis es negativo, de acá nace el

concepto de función singular.

14

14

( )

( )

o

o

V x a

M x ax

Para x<a:

Para x>a:

14

21 1

4 2

( )

( )

o o

o o

V x a x a

M x ax x a



Qu

inta

e

dic

ión


5- 21


• Así la expresión para el cortante y la del momento son:

• Como se dijo, el termino entre corchetes se tomara solo cuando xa. O

dicho de otra forma los corchetes angulares se transforman en paréntesis

ordinarios para cuando xa y por cero cuando x<a.

• También se advierte que se puede obtener M(x) a partir de V(x) por una

integración convencional.

14

21 1

4 2

( )

( )

o o

o o

V x a x a

M x ax x a

0

nn x a cuando x a

x acuando x a



Qu

inta

e

dic

ión



• Representación gráfica de funciones singulares.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 23


• Las reglas para integrar y derivar las funciones singulares son como sigue:

Para n1.

Para n0.

11

1

n nx a dx x a

n

1n ndx a n x a

dx

Existen dos integraciones especiales para n<0, que se aplicaran mas adelante

para el caso de carga puntual y momento:

1n nx a dx x a



Qu

inta

e

dic

ión





Qu

inta

e

dic

ión



• Si tenemos cargas que no se extienden

hasta el final de la viga, estas pueden

descomponerse en los casos básicos

planteados en la tabla anterior.

• Así para la viga mostrada, podemos

descomponerla en dos funciones

escalón, una comenzando en a y la otra

comenzado en b con signo negativo.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 27

Problema modelo 5.5

Para la viga mostrada, usando

funciones singulares, exprese el

cortante y el momento

flexionante en funcion de la

distancia x desde el apoyo; y

determine sus valores en el

punto D.

SOLUCIÓN:

• Obtener las reacciones por equilibrio.

• Aplicar las funciones singulares para

obtener la ecuación de carga.

• Integrar para obtener las expresiones para

cortante y momento.

• Obtener desde las funciones singulares

funciones normales para evaluar el cortante

y momento en el punto D.



Qu

inta

e

dic

ión


5- 28

Problema modelo 5.5

SOLUCIÓN:

• Considerando toda la viga como un cuerpo libre,

determinar las reacciones en A.

0

0

0

0 3.6 1.2 (3 ) 1.8 (2.4 ) 1.44

2.60

x

x

B

y

y

F

A

M

A m kN m kN m kN m

A kN

• Obteniendo ecuación de carga.

0

1 1

0

2

( ) 0 0.6 0.6

1.8 2.6

y o

o o

w x A x P x w x

w x M x



Qu

inta

e

dic

ión


5- 29

Problema modelo 5.5

• Integrando para obtener V(x):

0 0 1

1

1

( ) 0.6 0.6

1.8 2.6

y o

o o

V x A x P x w x

w x M x

• Integrando para obtener M(x):

1 1 2

2 0

( ) 0.6 0.62

1.8 2.62

oy

oo

wM x A x P x x

wx M x



Qu

inta

e

dic

ión


5- 30

Problema modelo 5.5

• Sustituyendo valores: 0 1

1

1

1 2

2 0

( ) 2.6 1.2 0.6 1.5 0.6

1.5 1.8 1.44 2.6

1.5( ) 2.6 1.2 0.6 0.6

2

1.51.8 1.44 2.6

2

V x x x

x x

M x x x x

x x

• Evaluando en x=1.8m: 0 1

1

1

1 2

2 0

( ) 2.6 1.2 1.2 1.5 1.2

1.5 0 1.44 0.8

1.5( ) 2.6(1.8) 1.2 1.2 1.2

2

1.50 1.44 0.8

2

V x

M x



Qu

inta

e

dic

ión


5- 31

Problema modelo 5.5

• Evaluando en x=1.8m:

0 1

1

1 2

2

( ) 2.6 1.2(1.2) 1.5(1.2)

1.5(0)

2.6 1.2 1.8 0

0.4

1.5( ) 2.6(1.8) 1.2(1.2) (1.2)

2

1.5(0)

2

4.68 1.44 1.08 0

2.16

V x

kN

M x

kN m

0 1

1 1

1 2

2 0

( ) 2.6 1.2 1.2 1.5 1.2

1.5 0 1.44 0.8

1.5( ) 2.6(1.8) 1.2 1.2 1.2

2

1.50 1.44 0.8

2

V x

M x



Qu

inta

e

dic

ión


4- 32

Contenido

• Flexión pura

• Otros tipos de carga

• Elemento simétrico sometido a flexión pura

• Deformaciones de flexión

• Tensión debida a flexión

• Propiedades de la sección de una viga

• Propiedades de formas normales estadounidenses

• Deformaciones en una sección transversal




Qu

inta

e

dic

ión


4- 33

Flexión pura

Flexión pura:

Elementos

prismáticos

sometidos a pares

de torsión iguales u

opuestos que

actúan en el plano

longitudinal

mismo.



Qu

inta

e

dic

ión


4- 34

Otros tipos de carga

• Principio de superposición: esfuerzo

normal debido a la flexión pura y que

puede combinarse con el esfuerzo

normal causado por la carga axial y el

esfuerzo cortante derivado de la carga de

corte para encontrar el estado total de

esfuerzo.

• Carga excéntrica: carga axial que no

pasa a través de la sección centroide

produciendo fuerzas internas

equivalentes a una fuerza axial y un par.

• Carga transversal: carga concentrada o

distribuida que produce fuerzas internas

equivalentes a una fuerza de corte y un

par.



Qu

inta

e

dic

ión


4- 35

Elemento simétrico sometido a flexión pura

• De la estática, un par M consta de dos fuerzas

iguales y opuestas.

• La suma de los componentes de las fuerzas en

cualquier dirección es cero.

• El momento es el mismo sobre cualquier eje

perpendicular al plano de la pareja y cero sobre

cualquier eje contenido en el plano.

• Las fuerzas internas en cualquier sección

transversal son equivalentes a un par. El

momento de dicho par es el momento flector en

la sección.

MdAyM

dAzM

dAF

xz

xy

xx

0

0

• Estos requisitos pueden ser aplicados a las

cantidades de los componentes y momentos de

las fuerzas elementales internas estáticamente

indeterminadas.



Qu

inta

e

dic

ión


4- 36

Deformaciones de la flexión

• se inclina de manera uniforme para formar un arco

• el plano transversal pasa por el centro del arco y

se mantiene plano

• disminuye la longitud de la parte superior y

aumenta la del fondo

• debe existir una superficie neutral, que es paralela a

las superficies superior e inferior y para las que la

longitud no cambia

• los esfuerzos y las tensiones son negativos

(compresión) por encima del plano neutro y

positivos (tensión) por debajo de ella

Viga con un plano de simetría en flexión pura:

• elemento que conserva la simetría



Qu

inta

e

dic

ión


4- 37

Tensión debida a flexión

Considere un segmento de viga de longitud L.

Después de la deformación, la longitud de la

superficie neutra permanece igual a L. En otras

secciones,

mx

m

m

x

c

y

cρ

c

yy

L

yyLL

yL

o

e)linealment aría tensión v(la



Qu

inta

e

dic

ión


4- 38

Esfuerzo debido a flexión

• Para un material elástico lineal,

• Para el equilibrio estático,

dAyc

dAc

ydAF

m

mxx

0

0

El primer momento respecto al

plano neutro es cero. Por tanto, la

superficie neutra debe pasar por la

sección de centroide.

• Para el equilibrio estático,

I

My

c

y

S

M

I

Mc

c

IdAy

cM

dAc

yydAyM

x

mx

m

mm

mx

doSustituyen

2

e)linealment varíaesfuerzo (elm

mxx

c

y

Ec

yE



Qu

inta

e

dic

ión


4- 39

Propiedades de la sección de una viga • Esfuerzo normal máximo debido a la flexión,

momento de inercia

módulo de sección

m

Mc M

I S

I

IS

c

Una sección de la viga con un módulo de

sección más grande tendrá un esfuerzo

máximo más bajo.

• Considérese una sección transversal de la viga

rectangular,

Ahbhh

bh

c

IS

613

61

3121

2

Entre dos vigas con la misma sección

transversal, la que posee mayor profundidad

será más eficaz en la resistencia a la flexión.

• Las vigas estructurales de acero están

diseñadas para tener un módulo de gran

sección.



Qu

inta

e

dic

ión


4- 40

Propiedades de formas normales estadounidenses



Qu

inta

e

dic

ión


4- 41

Deformaciones en una sección transversal

• La deformación por el momento flector M se

cuantifica por la curvatura de la superficie neutra

EI

M

I

Mc

EcEcc

mm

11

• Aunque los planos de sección transversal

permanecen sin curvatura cuando son sometidos a

los momentos de flexión, las deformaciones sobre

los planos es distinta de cero,

yyxzxy

• La expansión por encima de la superficie neutra

y la contracción por debajo de ella provocan una

curvatura en el plano,

caanticlásti curvatura 1



Qu

inta

e

dic

ión


4- 42

Problema modelo 4.2 • SOLUCIÓN:

• Con base en la geometría de la

sección transversal, calcular la

ubicación del centro de gravedad de

sección y momento de inercia.

2dAIIA

AyY x

• Aplicar la fórmula de la flexión

elástica para encontrar la tracción

máxima y los esfuerzos de

compresión.

I

Mcm

• Calcular la curvatura

EI

M

1

Una sección de una máquina de hierro

colado se somete a un par de 3 kN·m.

Si E = 165 GPa y se desprecia el efecto

del filete, determinar a) los esfuerzos

máximos de tensión y compresión, b)

el radio de curvatura.



Qu

inta

e

dic

ión


4- 43

Problema modelo 4.2 •SOLUCIÓN:

•Con base en la geometría de la sección

transversal, calcular la ubicación del centro de

gravedad de sección y momento de inercia.

mm 383000

10114 3

A

AyY

3

3

3

32

101143000

104220120030402

109050180090201

mm ,mm ,mm Área,

AyA

Ayy

49-43

23

12123

121

23

1212

m10868 mm10868

18120040301218002090

I

dAbhdAIIx



Qu

inta

e

dic

ión


4- 44

Problema modelo 4.2 • Aplicar la fórmula de la flexión elástica para

encontrar la tracción máxima y los esfuerzos

de compresión.

49

49

m10868

m038.0mkN 3

m10868

m022.0mkN 3

I

cM

I

cM

I

Mc

BB

AA

m

MPa 0.76A

MPa 3.131B

• Calcular la curvatura

49- m10868GPa 165

mkN 3

1

EI

M

m 7.47

m1095.201 1-3

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par de flexin

el cortante

cuerpo rgido

cuerpo libre

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