solide_equilibre

Rsistance des matriaux

Chapitre 1: quilibre intrieur dun solide

prpar par

John BOTSIS, Professeur LMAF/FSTI/EPFL

BIBLIOGRAPHIE 1. M. Del Pedro & Th. Gmr, lments de mcanique des structures, PPUR, 2001.

2. E. P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, PRENTICE HALL, 1990.

Source: www.almohandiss.com

buts du cours

la mcanique des structures ou des matriaux

se propose deux buts principaux :

q le calcul des efforts intrieurs spcifiques ou contraintes,

provoqus par les forces extrieures;

q le calcul des dformations entranes par les efforts intrieurs.

objectif essentiellement utilitaire :

assurer la scurit et le bon fonctionnement des constructions,

tout en guidant le choix des solutions les plus conomiques.


buts du cours

La thorie de llasticit poursuit les mmes buts que la mcanique des matriaux,

mais par un cheminement mathmatique rigoureux et sans le recours des

raisonnements qualitatifs bass sur lexprience.

La thorie de llasticit et la mcanique des structures sont fondes toutes deux

sur la loi de Hooke qui suppose une proportionnalit parfaite

entre contraintes et dformations.

Un corps qui suit la loi de Hooke est dit parfaitement lastique.

Malheureusement, les difficults formelles rencontres sont gnralement

si grandes quil se rvle impossible de donner une solution utilisable

la plus grande partie des problmes de lingnieur.

Cependant, la thorie de llasticit permet seule de donner certains rsultats

la gnralit ncessaire et de juger de la valeur des hypothses simplificatrices

faites en mcanique des matriaux.


trois hypothses fondamentales concernant

la constitution de la matire

la continuit,

lhomognit et

lisotropie,

hypothses fondamentales

deux hypothses fondamentales relatives

la nature des dformations

leur proportionnalit avec les contraintes et

leur grandeur trs faible par rapport

aux dimensions du solide.


P

0

1

3

n

dfinition dun milieu continu

Considrons une srie despaces n

de volume Vn et de masse Mn telle que n n-1 La suite de Mn/ Vn a une limite r

(appele densit), si

Le paramtre r est appel densit du matriau au point P.

Si r est dfinie en chaque point du milieu et si elle est une fonction continue de variables, le milieu est dit continu.

On peut dfinir la quantit du mouvement, lnergie, etc.. de la mme faon.

n

n

V

Mr

hypothse dhomognit

P1

0

Pi

Pn

On admet que la matire

est homogne

les proprits mcaniques sont les mmes en

tout point de solide qui occupe lespace 0

Exemple E P1 = E P2 = E Pn


hypothse disotropie

On admet que

la matire est isotrope

les proprits mcaniques sont identiques

dans toutes les directions autour dun point

0

Pi

Pn


hypothse de proportionnalit

Dans un solide continu, les dformations sont lies

en tous points aux contraintes par des relations linaires.

La mcanique des structures est base sur

la loi nonce par Hooke en 1678 :

dformation

char

ge


hypothse des petites dformations

Lexprience montre que dans les limites normales dutilisation

les matriaux subissent des dformations relativement faibles

par rapport aux dimensions du solide.

Cest - - dire

Les dformations ont une influence ngligeable sur la position

des points dapplication ou sur la direction des forces extrieures.

Les conditions dquilibre tablies par la statique rationnelle

pour les corps parfaits indformables sont applicables

sans autre aux solides rels.


solide en quilibre en deux parties

Action globale de (B) sur (A) est remplace par

le torseur (R, M)

R = P1 + +Pj

M = r1P1 + + rjPj

principe de la coupe


dcomposition de torseur (R, M)

N = effort normal = composante de R selon Gx

T = effort tranchant = projection normale de R dans le plan de F

Mt = moment de torsion = composante de M selon Gx Mf = moment de flexion = projection normale de M dans le plan de F

Mf = Mfj+ Mfk

T= Tyj+ Tzk


dfinition des contraintes

DF DF

Vecteur de contrainte dF

dP

F

Plimp

0F

D

D

D


dfinition des contraintes

Contrainte au point M0 de la section F.

Sens positif des rotations

222 p


principe dquivalence

F

F

dF)pr(M

pdFR

Laction des contraintes agissant sur une section dun solide

en quilibre est quivalente laction des forces extrieures,

appliques sur lune ou lautre des parties du solide spares

par la section considre.

Ffz

Ffy

Fyzt

Fzz

Fyy

F

ydF

zdF

dF)zy(

dF

dF

dF

M

M

M

T

T

N


On commence par tudier les cas particuliers trs simples

defforts intrieurs, puis on sattache des cas plus complexes

par combinaison des rsultats trouvs.

cas particuliers defforts intrieurs

traction ou compression simple

Le torseur (R, M) se rduit leffort normal N.

cisaillement simple

Le torseur (R, M) se rduit leffort tranchant T.

torsion simple

Le torseur (R, M) se rduit au moment de torsion Mt.

flexion simple

Le torseur (R, M) se rduit un moment de flexion Mf et un effort tranchant T, perpendiculaires entre eux.


constantes dlasticit

Module dlasticit ou module de Young E

EF

PD

/D

E

Allongement

dun barreau

Allongement spcifique

dun barreau

barreau en traction

FP

Loi de Hooke


constantes dlasticit

Coefficient de Poisson

D

D

D

D

D

B

B

H

Ht

tE

t

Allongement transversal

spcifique


dilatation thermique

Les solides se dilatent quand la temprature augmente

Lallongement thermique relatif est:

D

: coefficient de dilatation thermique

D : variation de la temprature

dilatation gne contraintes


solide_equilibre

Documents

point de solide

e pn source

dformations entranes

pi pn source

solide continu

dun point

dimensions du solide

petites dformations