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Respuestas Evaluacion 1: Algebra Lineal

1. (20 puntos) SeanA =(1, 2, 3),B =(1, 4, 0) y C=(1, 0, 0) tres puntos en R3.

a) Encontrar un punto D tal que A,B,C,D sean vertices de un paralelogramo. Hayun unico punto con esta propiedad?

Respuesta 1.Supongamos que los lados del paralelogramo sean ABy AC. Consi-

dero los vectores

AB =(2, 2,3), AC=(0,2,3).

Luego AD = AB + AC=(2, 0,6). Entonces

D = A + AD =(1, 2, 3) + (2, 0,6) =(1, 2,3).Observo que si tomo como lados BAy BC, o CAyCB, obtengo otros paralelogra-

mos con los mismos vertices, como en la figura.

Respuesta 2. Asumiendo como antes que los lados del paralelogramo sean AB y

AC, tambien puedo encontrar el puntoD pidiendo que CDsea paralelo a AB y queACsea paralelo a BD. SiD =(x,y,z) esto significa que existen s, t R tales que

(x 1,y,z) =t(2, 2,3), (x + 1,y 4,z) = s(0,2,3)

x =2t+ 1 =1,y=

2t=

4 2s,z =3t=3s (x,y,z)=

(1, 2,3).

b) Determinar un puntoP tal que el vector APtenga norma 1 y sea ortogonal al planoque contiene al paralelogramo encontrado ena).

Respuesta. Primero calculamos un vector normal al plano:

AB AC=

i j k2 2 30 2 3

=2(6, 3,2).

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Un vector normal al plano de norma 1 es

n =(6, 3,2)

||(6, 3,

2)||=

1

7(6, 3,2).

SiP =(x,y,z), debe cumplirse

AP = n(x 1,y 2,z 3) = 17

(6, 3,2),

luegoP =( 137, 17

7, 19

7).

2. (25 puntos) SeaP =(1, 1, 1) un punto en R3 y el plano de ecuacionx + 2y + 3z =4.

a) Encontrar la ecuacion de plano paralelo a que pasa por P.

Respuesta. Un vector normal para esn = (1, 2, 3). Un plano paralelo a tienevector normal paralelo an(de hecho puedo tomar el mismo), luego su ecuacion esde la forma

x + 2y + 3z =a, aR.Como debe contener el punto P, luegoa =1 + 2 + 3 =6.

b) Encontrar las ecuaciones parametricas de la recta L que pasa por Py es perpendi-

cular a .

Respuesta. ComoL es perpendicular a

, el vector normalnes un vector directorpara L. Luego ecuaciones parametricas paraL son

x =1 + t

y =1 + 2t

z =1 + 3t

c) Determinar el punto Ly su distancia deP.

Respuesta. Para calcular el punto L es suficiente remplazar las ecuacionesparametricas deL en la ecuacion de :

(1 + t) + 2(1 + 2t) + 3(1 + 3t) =414t+ 2 =0t=1

7 .

Entonces el punto de interseccion esQ =( 67

, 57

, 47

). Su distancia de P es

|| QP|| = 17

1 + 4 + 9 =

14

7 .

3. (15 puntos) En R2 considerar las operaciones definidas como sigue:

(a, b) (c, d) :=(a + c, bd), (a, b) :=(a, b), R.

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Indicar cuales de los axiomas de espacio vectorial se cumplen para (R2,,).

Respuesta. Verificamos cada axioma:

1) La suma es conmutativa:

(a, b) (c, d) =(a + c, bd) =(c + a, db) =(c, d) (a, b).2) La suma es asociativa:

((a, b) (c, d)) (e, f) =(a + c, bd) (e, f) =(a + c + e, bd f)(a, b) ((c, d) (e, f)) =(a, b) (c + e, d f) =(a + c + e, bd f).

3) Hay un elemento neutro para la suma:

(a, b) (0, 1) =(a, b), (a, b)R2.4) No es verdad que cada vector tiene inverso para la suma. Por ejemplo (1, 0) no tiene

inverso:

(1, 0) (a, b) =(a + 1, 0) (0, 1), (a, b)R2.5) Se cumple ( (a, b)) = (a, b) porque es el producto escalar usual en R2.6) Claramente se cumple 1 (a, b) =(a, b) para cada (a, b)R2.7) La siguiente distributividad no se cumple

((a, b) (c, d)) = (a + c, bd) =((a + c), bd),

(a, b)

(c, d) =(a, b)

(c, d) =(a + c, 2bd).

8) La siguiente distributividad tampoco se cumple

( +) (a, b) =(( +)a, ( +)b), (a, b) (a, b) =(a, b) (a, b) =(a +a, b2).

Es un R-espacio vectorial? Justificar las respuestas.

Respuesta. No, no es un espacio vectorial. De hecho no se cumplen las propiedades 4),

7) y 8).