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8/2/2019 SlidesRobCin

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Robtica

Cinemtica Directa

+Cinemtica Inversa


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Definitions Kinematics

the science of motion which treatmotions without regard to the forcesthat cause them

It is restricted to a pure geometricaldescription of motion by means of

position, orientation, velocity, andacceleration.

Forces and torques causing themotion are not considered.

The most important application oftechnical kinematics is in roboticsand gearing design.


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Problema

From the geometrical caractheristics of the

robot the position and orientation of thegripper are obtained

Coordinate system or Frames are attachedto the manipulator and objects in the

environment following the Denenvit -Hartenberg notation.

Robotic Kinematics The study of the motion of robots Robot kinematics deals with aspects of

Redundancy Collision avoidance Singularity avoidance


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Cinemtica

Representation schemes Coordenadas juntas (joint space)

Coordenadas mundo (world space) Forward kinematics

Inverse kinematics Homogeneous transformation


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Coordenadas Junta e Mundo


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Cinemtica Directa

Qual o problema? Sabe-se que o brao iniciou-se

alinhado com o eixo x Se o eixo 1 rodar1 e o 2 2,

qual a posio da ponta do braoem relao ao referencial base?

2 solues Geomtrica

Fcil no caso da figura mas podeser bastante mais complexa sehouver mais eixos

Algbrica Involve transformaes de

coordenadas


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Links


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Cinemtica Directa

x, y, z represents the position ofthe TCP related to the base frame

, , represents the orientation ofthe TCP related to the base frame


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Cinemtica Directa


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Transformadas Homogneas A serial link manipulator is a series of links that

connect the hand to the base, with each linkconnected to the next by an actuated joint.

If a coordinate frame is attached to each link, therelationship between two links can be describedwith a homogeneous transformation matrix T.

The first T matrix relates the first link to the baseframe, and the last T matrix relates the hand frameto the last link.


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Transformadas Homogneas The general homogeneous transformation is used to

describe mathematically the position and orientation (pose)of a frame in space relative to another frame.

It is represented by a 4x4 matrix with a 3x3 orientationsubmatrix and a positional vector.

The first three columns represent the direction cosines ofthe secondary frame relative to the base frame. The lastvector locates the secondary origin.


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X2X3Y2

Y3

1

2

3

1

2 3

Suponha o seguinte brao com 3 links que comea alinhado com o eixo x. Cada link

tem comprimento l1, l2, l3, respectivamente. Supondo que o primeiro link roda 1 , , osegundo 2 e o terceiro 3, calcule a matriz transformada que permite calcular o pontoamarelo em relao ao referencial X0Y0.

H = Rz(1 ) * Tx1(l1) *Rz(2 ) * Tx2(l2) *Rz(3 )Rodando o referencial X0Y0 de 1, obtm-se o referencialX1Y1.

Translada-se ao longo de X1porl1.Roda-se 2 e obtm-se o referencial X2Y2.Repete-se o procedimento at chegar a X3Y3.

A posio do ponto amarelo em relao ao referencial X3Y3 (l1, 0). Se se mulltiplicar H por esse vector obtm-se ascoordenadas do ponto amarelo em relao ao referencial X0Y0.

X1

Y1

X0

Y0


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Neste caso o ponto amarelo passa a ser a origem de um novo referencialX4Y4 frame

X2X

3

Y2

Y3

1

2

3

1

2 3

X1

Y1

X0

Y0

X4

Y4

H = Rz(1 ) * Tx1(l1) *Rz(2 ) * Tx2(l2) *Rz(3 ) * Tx3(l3)

This takes you from the X0Y0 frame to the X4Y4 frame.

The position of the yellow dot relative to the X4Y4 frame

is (0,0).

=

10

0

0

H

1Z

Y

X

Notice that multiplying by the (0,0,0,1) vector will

equal the last column of the H matrix.


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Referenciais Segundo Denavit-Hartenberg

Z(i - 1)

X(i -1)

Y(i -1)

( i - 1)

a(i - 1 )

Z iY i

X i a id i

i

A cada junta atribuda um referencial. Atravs da notao de Denavit-Hartenberg notation, necessita-se apenas de 4 variveis para descrevercomo que um referencial (i) se relaciona com o referencial ( i -1 ).

As variveis: , a , d,


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Referenciais D-H


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D-H

S se considerarem os

pressupostos referidos na figura que se pode dizer que amatriz transformada aindicada

DH 1 x1 perpendicular a z0

DH2 x1 intersecta z0


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Variveis i - rotao do link. ngulo

entre zi-1 e zi em torno de xi

aitamanho do link. Distncia

entre zi-1 e zi ao longo de xi

dioffset do link. Distnciaentre a origem i-1 e ainterseco de xi com zi-1,medida ao longo de z

i-1 i ngulo da junta. ngulo

entre xi-1 e xi medido em torno

de zi-1


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Atribuio dos referenciais O zi est sempre colocado ao longo da junta rotao ou

translaco

A escolha do sentido de zi arbitrria

Zi corresponde sempre junta i+1. Ento z0 est associado junta 1

O frame 0 pode ser arbitrrio com excepo de Z que deve

estar na junta Colocar a origem Oi onde a normal comm entre zi e zi1

intersecta zi. Se zi intersecta zi1 colocar Oi nesta interseco.

Se zi e zi1 so paralelos, colocar Oi em qualquer posioconveniente ao longo de zi Colocar agora xi ao longo da normal comm entre zi1 e zi

atravs de Oi, ou na direco normal ao plano zi1 zi se zi1 e

zi se intersectam Atribuio da coordenada do end-effector (ver slide seguinte)


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End-effector


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A Matriz de Denavit-Hartenberg

An = Rot(z,).Transl(0,0,d).Transl(a,0,0).Rot(x,)


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Rob e Eixos


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PUMA


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PUMA

1= 90 +

1

d1

= 0

a1

= 0

1 = -90

2

= 2

d2

= d2

a2 = a2

2= 0

1

3 = 90 + 3 d

3= 0

a3

= a3

3

= 90


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PUMA

5

= 5

d5

= 0

a5= 0

5= 90

6= 6 d

6= d6

a6

= 0

6

= 0

4

= 4

d4

= d4

a4

= 0

4 = -90

A


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PUMA

PUMA


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PUMA


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R b3


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Rob3

275x

z

R b3


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Rob3

001305

Link 5

90004

Link 4

013003

Link 3

020002

Link 2

9002751

Link 1

ii

dii

001305

Link 5

90004

Link 4

013003

Link 3

020002

Link 2

9002751

Link 1

ii

dii

275

Z0

Y0

X0

Z1

X1

Y1

Z2

X2

Y2

200

Z3

X3X

4

Y3

130

Z4

Z5

X5

130

Z0

Y0

X0

Z1

X1

Y1

Z2

X2

Y2

200

Z3

X3X

4

Y3

130

Z4

Z5

X5

130

R b 3


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Rob 3

+++

++++++

=

1000

275200130130

200130130200130130

22323423452345234

21231234123415152341512341

21212341234151523415152341

05

ssccsscs

cscsssssccscssccsccccscsccssccssccc

T

21212341 200130130 ccccscxP ++=

212312341 200130130 cscsssPy ++=

Pitch = = 2+3+4

Orientao = 5275200130130 223234 +++= sscPz

SCARA


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SCARA

3 Eixos de Revoluo Z3

Y3


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i (i-1) a(i-1) di i

1 0 a0 0 1

2 -90 a1 0 2

3 0 0 d3 0

Z0

X0

Y0

Z1

X3

Y1

Z3

X1

3

d3

a0 a1

Tabela de Parmetros

An =Rot(z,q).Transl(0,0,d).Transl(a,0,0).Rot(x,a)

Y2

X2

Z2


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Exemplo


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Cinemtica Inversa

Picture from Jehee Lee Seoul National University


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Cinemtica Inversa Dadas as coordenadas mundo pretende-se obter coordenadas junta

No so necessrias quando os robs so programados atravs do teach pendant. O Problema principal :

A existncia de solues mltiplas

A possvel no existncia de soluo

Singularidades

As solues so equaes no lineares e no existe um mtodo genrico de asresolver: Closed form solutions Alguns robs no tm este tipo de solues

Algbricas

Geometricas

Numerical methods, iterative procedures Demora tempo


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Cinemtica Inversa

Ci i I


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Cinemtica Inversa

Ci ti I


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Cinemtica Inversa

R b3 I


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Rob3 - Inversa

x

P = (px,py)y

1

=x

y

p

p2atan1

R b3 I


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Rob3 - Inversa

( )sin3 = lPQ zz

432 ++=( )

3

sin

l

QP zz =

2

3

4

X0

Z0

P = Px, Py, Pz

Q = Qx, Qy, Qz

l1 = 200

l2 = 130

l3 = 130

Qz

Pz

Qx and Qy depends not only on but also on 1

PxQx

( )

3

cosl

QP xx =

l3*cos()

R b3 I


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432 ++=

1 X0

P = Px, Py, Pz

Q = Qx, Qy, Qzl2 * cos(2 + 3)

l3 * cos()

Qy

Py

PxQx

Y0

Rob3 - Inversa

)cos(*)cos(* 13 lPQ xx =

( )( )

cos*

cos3

1l

QP xx =

( )( )

cos*

sin3

1l

QP yy =

l1 * cos(2)

1

)sin(*)cos(* 13 lPQ yy =

R b3 I


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Rob3 - Inversa

2

3

X0

Z0

Q = Qx, Qy, Qz

l1 = 200l2 = 130

Qz

Qx

Qx = l1cos(2)+l2cos(2+3)

Qz = l1sin(2)+l2sin(2+3)

180+3

3

Qx2+ Qz

2= l12+l2

2 2l1l2cos(180+3)

Qx2

+ Qz2

= l12

+l22

+ 2l1l2cos(3)

21

22

21

22

3 **2)cos(

llllQQ zx +=

180+3

R b3 I


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1 X0

Q = Qx, Qy, Qzl2 * cos(2 + 3)

Qy

PxQx

Y0

Rob3 - Inversa

)cos(*)2cos(*)cos(*)2cos(* 13211 ++= llQx

l1 * cos(2)

)sin(*)cos(*)sin(*)cos(* 1322121 ++= llQy

R b 3 I


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Rob 3 - Inversa

)2sin(*)2sin(* 321 ++= llQz

2

3

2= se 2 > 0

2= + se 2 < 0

Qz

r

r2 = Qx2+Qy2+Qz2

Qx2+Qy2+Qz2 = l12+l22+2l1l2cos(3)

Q = Qx2+Qy2+Qz2

21

2

2

2

13 **2)cos( ll llQ =

Rob3 Inversa


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Rob3 - Inversa

2)cos(1

2cos +=

)cos(1

)cos(1

22

+

=

tg

2

)cos(1

2

sin

=

( )( )221

221

3 *2llQ

Qllarctg

+=

2

3

2= se 3 > 0

2= + se 3 < 0

r

rl )sin(*)sin( 32 =

r

ll )cos(*)cos( 321

+=

)cos(*)sin(*)(

321

32

llltg+=

+=

)cos(*

)sin(*

tan 321

321

ll

l

++

+

= )cos(*

)sin(*tantan321

321

22

12

ll

l

QQ

Q

yx

z

+

= 22

1tanyx

z

QQ

Q


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Rob3 - Inversa=2+3+4

4=-2-3

5=Orientao

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