skripta za vje zbe - radna verzija - grad.hr · gra-devinski fakultet sveu cili sta u zagrebu...

Gra-devinski fakultet Sveucilista u Zagrebu

DESKRIPTIVNA GEOMETRIJA

Skripta za vjezbe - radna verzija

2016.

Sadrzaj

1 KRIVULJE 2. STUPNJA 21.1 ELIPSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 HIPERBOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 PARABOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 RIJESENI ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 ZADACI ZA VJEZBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA I AFINOST 92.1 ZADACI ZA VJEZBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 MONGEOVA PROJEKCIJA 173.1 TOCKE, PRAVCI i DUZINE U MONGEOVOJ PROJEKCIJI . . . . . . . . . . . . . 183.2 RIJESENI ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 ZADACI ZA VJEZBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 PROJEKCIJA GEOMETRIJSKIH TIJELA S BAZOM U RAVNINI PROJEK-CIJE 244.1 BOKOCRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 PROJEKCIJE TIJELA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 RIJESENI ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 ZADACI ZA VJEZBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 RAVNINE U MONGEOVOJ PROJEKCIJI 325.1 RIJESENI ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 ZADACI ZA VJEZBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 OKOMITOST U MONGEOVOJ PROJEKCIJI 386.1 PROBODISTE PRAVCA I RAVNINE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2 OKOMITOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3 RIJESENI ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4 ZADACI ZA VJEZBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 PRAVA VELICINA RAVNINSKOG LIKA 447.1 PROJKCIJE KRUZNICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.2 RIJESENI ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.3 ZADACI ZA VJEZBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 PROJEKCIJA TIJELA 488.1 ZADACI ZA VJEZBU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9 PROGRAM RHINOCEROS 50

1

Vjezbe 1

KRIVULJE 2. STUPNJA

Gdje smo? Na marsu U ravnini.

O cemu ce biti rijec? O krivuljama 2. stupnja.

Kakve su to krivulje? One koje se s bilo kojim pravcem ravnine, u kojoj leze, sijeku u 2 (re-alne ili imaginarne) tocke i iz svake tocke te ravnine postoje po 2 (realne ili imaginarne) tangente nate krivulje. Drugim rijecima, to su krivulje 2. reda i 2. razreda.

Koje su to krivulje? Elipsa (poseban slucaj kruznica), hiperbola i parabola.

Metricka definicija kruznice: Kruznica je skup tocaka u ravnini jednako udaljenih od jednefiksne (cvrste) tocke te ravnine. Tu tocku zovemo sredistem, a spomenutu udaljenost radijusomili polumjerom.

Cilj ovih vjezbi je navesti metricke definicije elipse, hiperbole i parabole te na temelju njih kon-struirati tocke na tim krivuljama. Pomocu tih tocaka i lukova hiperoskulacijskih kruznica iscrtavamote krivulje.

Metoda koju koristimo je konstrukcija ravnalom i sestarom. Kako se u toj metodi odred-uje tocka?

Zadatak 1.1 Zadana je kruznica k i tocka T izvan nje. Konstruirajte tangentu na kruznicu k iztocke T . Koliko se tangenata iz takve tocke moze povuci na kruznicu?

Rjesenje. Buduci da je kruznica krivulja 2. stupnja, a tocka lezi izvan kruznice, na kruznicu mozemopovuci dvije realne tangente iz te tocke. Konstrukcija tangenata svodi se na trazenje diralista tihtangenata.

Diralista su tocke presjeka kruznice k ikruznice kojoj je srediste tocka P koja je po-loviste duzine TS, a radijus jednak udaljenostid(P, S) = d(P, T ). Zasto? Na temelju kojeg te-orema slijedi tocnost ove konstrukcije?

Slika 1.1: Konstrukcija tangente iz tocke nakruznicu

�

2

1.1 ELIPSA

Metricka definicija elipse:Elipsa je skup tocaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih tocaka teravnine konstantan.

Simbolicki zapis:{T : d(T, F1) + d(T, F2) = 2a}

Slika 1.2: Elipsa

F1, F2− fiksne tocke:

zarista ili fokusi elipse

A,B,C,D− tjemena elipse

S− centar ili srediste elipse

2a = |AB|− velika ili glavna os

2b = |CD|− mala ili sporedna os

e− linearni ekscentricitet

e2 = a2 − b2

r1, r2− radij-vektori tocke T

Sto je specijalno za tjemene tocke A,B,C,D? To su tocke na elipsi koje imaju ekstremne zakrivlje-nosti - u tockama A i B postize se maksimalna, a u tockama C i D minimalna zakrivljenost. Za tetocke postoje hiperoskulacijske kruznice.

Kako cemo konstruirati elipsu? Za zadanu veliku i malu os, oznacit cemo tjemena i konstruiratifokuse. Odredit cemo 8 opcih tocaka pomocu dva para radij-vektora, konstruirat cemo sredista svihhiperoskulacijskih kruznica te krivuljarom spojiti lukove hiperoskulacijskih kruznica i 8 dobivenihtocaka.Konstruirat cemo tangentu, normalu te oskulacijsku kruznicu u jednoj od 8 tocaka elipse.

INTERAKTIVNA GEOGEBRA DATOTEKA

3

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/01.tjedan/elipsa.html

1.2 HIPERBOLA

Metricka definicija hiperbole:Hiperbola je skup tocaka u ravnini za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenostiod dviju fiksnih tocaka te ravnine konstantna.

Simbolicki zapis:{T : |d(T, F1)− d(T, F2)| = 2a}

Slika 1.3: Hiperbola

F1, F2− fiksne tocke:

zarista ili fokusi hiperbole

A,B− tjemena hiperbole

S− centar ili srediste hiperbole

2a = |AB|− realna ili glavna os

2b = |CD|− imaginarna ili sporedna os

e−linearni ekscentricitet

e2 = a2 + b2



1.3 PARABOLA

Metricka definicija parabole:Parabola je skup tocaka u ravnini koje su jednako udaljene od jednog fiksnog pravca ijedne fiksne tocke.

Simbolicki zapis:{T : d(T, F ) = d(T, r)}

Slika 1.4: Parabola

F−fiksna tocka:

zariste ili fokus parabole

r− fiksni pravac:

ravnalica ili direktrisa parabole

A− tjeme parabole

d(r, F ) = p− poluparametar parabole



4

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/01.tjedan/hiperbola.html

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/01.tjedan/parabola.html

1.4 RIJESENI ZADACI

Zadatak 1.2 Elipsa je zadana svojim poluosima, a = 5.5 i b = 3.5. Konstruirajte sljedece:

a) fokuse F1 i F2

b) centre zakrivljenosti hiperoskulacijskih kruznica

c) 4 tocke elipse za koje je jedan radij-vektor duljine 9, a gornju desnu tocku oznacite slovom T

d) tangentu i normalu elipse u tocki T

e) oskulacijsku kruznicu u tocki T .

Pomocu sestara i krivuljara iscrtajte elipsu koristeci lukove hiperoskulacijskih kruznica i 4 konstru-irane tocke.

Rjesenje.

A B

C

D

SF1

F2

RA

RC

RT

T

r1

r2

t

n

Konstrukcija tocke na elipsi:...................

�

5

Zadatak 1.3 Hiperbola je zadana svojom realnom poluosi i linearnim ekscentricitetom, a = 2 ie = 3. Konstruirajte sljedece:

a) asimptote hiperbole

b) centre zakrivljenosti hiperoskulacijskih kruznica

c) 16 tocaka hiperbole za koje je jedan radij-vektor duljine 6, 7, 8 i 9, a gornju desnu tocku kojojje radij-vektor duljine 7 oznacite slovom T

d) tangentu i normalu elipse u tocki T .

Pomocu sestara i krivuljara iscrtajte hiperbolu koristeci lukove hiperoskulacijskih kruznica i 16 kons-truiranih tocaka.

Rjesenje.

A BSF1

F2

RA

RB

T

r1

r2

t

n

Konstrukcija tocke na hiperboli:................... �

6

Zadatak 1.4 Parabola je zadana svojom ravnalicom d i fokusom F , d(d, F ) = 1.4. Konstruirajtesljedece:

a) tjeme parabole A

b) hiperoskulacijsku kruznicu u tjemenu A

c) 18 tocaka prabole kojima su radij-vektori duljina 1.4, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, a gornju dobivenu tockukojoj je radij-vektor duljine 4 oznacite slovom T

d) tangentu i normalu parabole u tocki T .

e) Provjerite graficki sljedece svojstvo parabole:Ako je tocka K sjeciste neke tangente parabole i njezine osi, a tocka L noziste one okomice naos koja prolazi diralistem te tangente, tada je tjeme parabole poloviste duzine KL.

Pomocu sestara i krivuljara iscrtajte elipsu koristeci lukove hiperoskulacijskih kruznica i 18 konstru-iranih tocaka.

Rjesenje.

A F RA

T

r

r

tn

d

K L

�

Konstrukcija tocke na paraboli:...................

7

1.5 ZADACI ZA VJEZBU

1. Tocke F1 i F2 su fokusi elipse e, a tocka T lezina njoj. Konstruirajte tjemena elipse e.

2. Tocke F1 i F2 su fokusi hiperbole h, a tockaT lezi na njoj. Konstruirajte tjemene tockehiperbole h.

3. Pravac d je ravnalica parabole p, a tocke T1i T2 leze na toj paraboli. Konstruirajte fokusparabole p.Koliko rjesenja ima ovaj zadatak?

4. Zadana je kruznica i tocka izvan nje. Konstruirajte tangentu na kruznicu iz te tocke. Kolikose tangenata iz takve tocke moze povuci na kruznicu?

5. Zadana je duljina velike i male poluosi elipse (a = 4 cm, b = 2.5 cm). Konstruirajte dvije tockeelipse koje nisu njezina tjemena.

6. Zadana je duljina realne i imaginarne poluosi hiperbole (a = 3 cm, b = 4 cm). Konstruirajtedvije tocke hiperbole koje nisu njezina tjemena.

7. Zadana je duljina velike poluosi i linearni ekscentricitet (a = 4 cm, e = 2.5 cm) elipse.Konstruirajte dvije tocke elipse koje nisu njezina tjemena.

8

Vjezbe 2

PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA IAFINOST

Sto je ravninska kolineacija? Ravninska kolineacija je transformacija ravnine koja cuva kolinearnosttocaka, odnosno incidenciju tocke i pravca.

Sto je perspektivna kolineacija? To je kolineacija ravnine kod koje postoji tocno jedan fiksni pravaco, cije su sve tocke fiksne, i tocno jedna fiksna tocka S /∈ o.

Cime je jednoznacno odred-ena perspektivna kolineacija? Jednoznacno je odred-ena svojim sredistemS, osi o i jednim parom pridruzenih tocaka koje leze na zraci kroz S, (S, o, A1, A2).

Slika 2.1: Perspektivna kolineacija (S, o, A1, A2)

Jesu li perspektivno kolinearne slike paralelnih pravaca paralelne? Opcenito, ne. Jedino ako suujedno paralelne i s osi perspektivne kolineacije.

Sto je perspektivno kolinearna slike duzine? Ovisno o zajednickim tockama s izbjeznim pravcem,slika moze biti duzina, polupravac, dva polupravca ili beskonacno daleka duzina.

Zadatak 2.1 U perspektivnoj kolineaciji (S, o, A1, A2) konstruirajte pravac a2 koji je slika pravca a1.Zadani elementi:

Slika 2.2

9

Rjesenje. Postupak:

1. Na pravcu a1 izaberimo proizvoljnu tocku B1.

2. Konstruiramo tocku B2, sliku tocke B1 kao sjeciste dva pravca: ona lezi na zraci SB1 (pri-druzene tocke leze na istoj zraci) i na slici pravca A1B1 (perspektivna kolineacija cuva inciden-ciju).

3. Slika pravca A1B1 prolazi kroz tocku A2 i sjece pravac A1B1 na osi o (pridruzeni pravci sjekuse na osi).

4. Pravac a2 prolazi kroz tocku B2 i sjece pravac a1 na osi o.

Slika 2.3: Rjesenje Zadatka 2.1

�

Zadatak 2.2 U perspektivnoj kolineaciji (S, o, A1, A2) konstruirajte perspektivno kolinearnu slikutrokuta A1B1C1, pri cemu je stranica B1C1 paralelna s osi o.

Slika 2.4

Rjesenje.

Postupak:- B1C1 || o⇒ B2C2 || ojer se pridruzeni pravci sjeku na osi- sliku tocke B1 konstruiramo kao presjek zrakeSB1 i slike pravca A1B1; analogno za sliku tockeC1.


10

�

Sto je afinitet? Poseban slucaj perspektivne kolineacije kod koje je srediste beskonacno daleka tocka.

Cime je jednoznacno odred-en afinitet? Jednoznacno je odred-en svojom osi i jednim parom pri-druzenih tocaka, (A1, A2, o).

Slika 2.6: Afinitet (A1, A2, o)

Jesu li afine slike paralelnih pravaca paralelne? Da, afinitet cuva paralelnost.

Sto je afina slika kvadrata? Paralelogram.

Sto je afina slika kruznice? Elipsa.

Zadatak 2.3 U afinitetu (A1, A2, o) konstruirajte slike paralelnih pravaca a1 i b1.

Slika 2.7

Rjesenje.

Postupak:- slika paralelnih pravaca je par paralelnih pra-vaca jer afinitet cuva paralelnost- dovoljno je odrediti sliku jednog pravca- na pravcu b1 izaberemo proizvoljnu tocku B1 iodredimo njenu sliku (slika B2 lezi na zraci i naslici pravca A1B1)- b2 prolazi kroz B2 i sjeciste pravca b1 i osi o.


�

11

Zadatak 2.4 U afinitetu (S1, S2, o) konstruirajte bilo koji par konjugiranih promjera elipse koja jeafina slika kruznice k1.

Slika 2.9

Rjesenje.Vrijedi:- Afina slika kruznice je elipsa.- Srediste kruznice preslikava se u srediste elipse koja je njena slika.- Svaki par ortogonalnih promjera kruznice preslikava se u par konjugiranih promjera elipse koja jeafina slika kruznice.Postupak:- odaberemo bilo koji par ortogonalnih promjera kruznice k1, duzine A1C1 i B1D1

- nad-emo slike odabranih duzina - (slike pravaca koji sadrze tocke A1, S1 i C1 odnosno B1, S1 i D1

prolaze kroz sjeciste tog pravca s osi i tocku S2)-A2C2 i B2D2 cine par konjugiranih promjera elipse koja je afina slika kruznice k1.


�

12


1. U perspektivnoj kolineaciji (S, o, A1, A2) konstruirajte tocku X2.

a) b)

2. U perspektivnoj kolineaciji (S, o, A1, A2) konstruirajte tocku X1.

a) b)

3. U perspektivnoj kolineaciji (S, o, A1, A2) konstruirajte tocku X2 (sliku beskonacno daleke tockepravca x1).

X

8

x

13

4. U perspektivnoj kolineaciji (S, o, A1, A2) kons-truirajte pravac a2.

Uputa: Sliku a2 odredite tako da preslikate samo jednutocku pravca a1, a zatim koristite svojstvo da sepridruzeni pravci sijeku na osi.

*5 U (S, o, A1, A2) konstruirajte perspektivno ko-linearne slike paralelnih pravaca a1 i b1.

Uputa: Slike a2 i b2 odredite tako da preslikate be-skonacno daleko sjeciste pravaca a1 i b1, a zatim koris-tite svojstvo da se pridruzeni pravci sijeku na osi.

b

6. U (S, o, A1, A2) konstruirajte perspektivno ko-linearnu sliku trokuta A1B1C1.

Uputa: Koristite svojstva da parovi pridruzenih tocakaleze na zrakama, te da se pridruzeni pravci si-jeku na osi.

U kakvom su odnosu os o i stranica C2B2?Zasto?

BC

7. U afinitetu (A1, A2, o) konstruirajte tocku X2.

a) b)

14

8. U afinitetu (A1, A2, o) konstruirajte tocku X1.

a) b)

9. U afinitetu (A1, A2, o) konstruirajte sliku sliku pravca a1.

a

o

10. U afinitetu (A1, A2, o) konstruirajte slike paralelnih pravaca a1 i b1.

a

o

b

15

11. U afinitetu (A1, A2, o) konstruirajte afinu slikutrokuta X1Y1Z1.

Y

Z

12. U afinitetu (A1, A2, o) konstruirajte sliku kva-drata A1B1C1D1.

B

C

D

13. U afinitetu (S1, S2, o) konstruirajte bilo kojipar konjugiranih promjera elipse koja je afinaslika kruznice k1.

S

k

S2

16

Vjezbe 3

MONGEOVA PROJEKCIJA

Osnovni stereometrijski odnosi u Euklidskom prostoru

Pri rjesavanju raznih polozajno - metrickih zadataka, potrebno je znati osnovne odnose izmed-u osno-vnih elemenata prostora - tocaka, pravaca i ravnina.

U kakvom med-usobnom polozaju mogu biti pravac i ravnina euklidskog prostora? Pravac mozelezati u ravnini, mogu biti paralelni ili provac moze probadati ravninu u jednoj tocki koju nazivamoprobodiste.

• Pravac je paralelan s ravninom ako u ravnini postoji barem jedan pravac paralelan s timpravcem.

• Pravac je okomit na ravninu ako je okomit na dva ukrstena pravca te ravnine.

Koji osnovni elementi i u kakvom med-usobnom polozaju jednoznacno odred-uju neku ravninu? Trinekolinearne tocke, pravac i tocka koja mu ne pripada, dva ukrstena pravca i dva paralelna pravca.

U kakvom med-usobnom polozaju mogu biti dvije ravnine euklidskog prostora? Mogu se sjeci ili bitiparalelne. Pravac po kojem se sjeku dvije ravnine nazivamo presjecnica dviju ravnina.

• Dvije ravnine su okomite ako jedna od njih sadrzi pravac okomit na onu drugu ravninu.

Kako se mjeri udaljenost izmed-u tocke i pravca (ravnine)? Kao udaljenost tocke do njene ortogonalneprojekcije na pravac (ravninu).

Bekonacno daleke tocke

Gdje leze sve beskonacno daleke tocke prosirenog euklidskog prostora? U jednoj beskonacno dalekojravnini. Svaki pravac prostora ima jednu beskonacno daleku tocku (probodiste s beskonacno dalekomravninom, svaka ravnina ima jedan beskonacno daleki pravac (presjecnica te ravnine i beskonacnodaleke ravnine). Paralelni pravci imaju istu beskonacno daleku tocku, paralelne ravnine imaju istibeskonacno daleki pravac. Ako je pravac paralelan s ravninom, njegova beskonacno daleka tocka lezina beskonacno dalekom pravcu te ravnine.

17

3.1 TOCKE, PRAVCI i DUZINE U MONGEOVOJ PRO-

JEKCIJI

Kako prikazujemo tocke u Mongeovoj projekciji? Tocke prikazujemo tlocrtom (ortogonalna projek-cija te tocke na prvu ravninu projekcije Π1) i nacrtom (ortogonalna projekcija na drugu ravninuprojekcije Π2). Ako je tocka zadana s tri koordinate T (x, y, z), tada je y njena udaljenost od ravnineΠ2 i njen je tlocrt udaljen za y od x-osi, dok je z njena udaljenost od ravnine Π1 i njen je nacrt za zudaljen od x-osi. Posebno, tocke koje leze u ravnini Π1 imaju nacrt na x-osi (z koordinata je jednaka0), dok tocke koje leze u ravnini Π2 imaju tlocrt na x-osi (y koordinata jednaka 0).

Kako prikazujemo pravce u Mongeovoj projekciji? Pravce prikazujemo njihovim tlocrtom (orto-gonalna projekcija tog pravca na prvu ravninu projekcije Π1 i nacrtom (ortogonalna projekcija togpravca na drugu ravninu projekcije Π2). Pri tome, posebno se isticu dvije tocke na pravcu - njegovaprobodista s ravninama projekcije.Prvo probodiste pravca P1 = p ∪ Π1 je tocka koja lezi u ravnini Π1 pa joj je nacrt na x-osi

P ′′1 ∈ x.

Drugo probodiste pravca P2 = p ∪ Π2 je tocka koja lezi u ravnini Π2 pa joj je tlocrt na x-osi

P ′2 ∈ x.

Kako u projekciji vidimo da je pravac paralelan s ravninom Π1? Ako je pravac p paralelan s ravninomΠ1, tada je njegov nacrt paralelan s osi x (sve tocke na tom pravcu su jednako udaljene od Π1, odnosnoimaju istu z koordinatu). Takav pravac ima samo drugo probodiste (prvo probodiste je beskonacnodaleka tocka tog pravca). Simbolicki zapis:

p||Π1 ⇐⇒ p′′||x

p||Π2 ⇐⇒ p′||x.

U kakvom med-usobnom polozaju mogu biti dva pravca euklidskog prostora i kako to vidimo iznjihovih projekcija? Dva pravca mogu se sjeci, mogu biti paralelni ili mogu biti mimoilazni.Pravci a i b se sjeku ako i samo ako se njihovi nacrti i njihovi tlocrti sjeku u tocki (na istoj ordinali).Pravci a i b su mimoilazni ako se njihovi nacrti sjeku i tlocrti se sjeku no te dvije tocke nisu na istojordinali.Pravci a i b su paralelni ako su im projekcije paralelne, simbolicki:

a||b ⇐⇒ a′||b′ i a′′||b′′.

Sto je prvi prikloni kut pravca i kako nalazimo njegovu pravu velicinu? Prvi prikolni kut pravca jekut izmed-u pravca i ravnine Π1. Po definiciji, to je kut izmed-u tog pravca i njegove ortogonalneprojekcije na ravninu Π1 (njegovog tlocrta). Taj je kut jednak kutu izmed-u tlocrta pravca i njegovogprevaljenog polozaja u ravnini Π1. Simbolicki zapis:

ω1 = ∠(p,Π1) = ∠(p, p′) = ∠(p′, p0)

Drugi prikloni kut:ω2 = ∠(p,Π2) = ∠(p, p′′) = ∠(p′′, p0)

Kako odred-ujemo pravu velicinu duljine? Pri ortogonalnom projiciranju, ukoliko duzina nije para-lelna s nekom od ravnina projekcije, njene projekcije su krace od prave duljine duzine. Zato, da bismoodredili pravu velicinu duljine duzine zadane tlocrtom i nacrtom, potrebno je tu duzinu prevaliti uneku od ravnina projekcija. Prevaljena duzina je prave velicine dane duzine.

18

3.2 RIJESENI ZADACI

Zadatak 3.1 Konstruirajte projekcije pravca q koji sadrzava tocku T , paralelan je s ravninom Π1 isijece zadani pravac p.

Rjesenje. RJESENJE �

Zadatak 3.2 Konstruirajte projekcije pravca p koji koje je u to v cki A(1,−,−) ukrsten s pravcemg, a paralelan s ravninom Π1 i Π2. Pravac g zadan je tockama F (4, 1, 1) i G(0, 3, 3).


Zadatak 3.3 Na pravac p od njegove tocke T nanijeti zadanu duzinu d.


19

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/03.tjedan/3auditorne.htm#1



Zadatak 3.4 Pravac p zadan je tockama A(2, 3, 4) i B(5,−1, 2). Odredite njegovo prvo i drugoprobodiste, te prvi prikloni kut.


Zadatak 3.5 Odredite tocke pravca koje leze u ravnini simetrije i koincidencije.


20




Uputa: U sljedecim zadacima jedinicu mjere i polozaj ishodista odaberite po volji.

Ucrtavanje tocaka

1. Odredite tlocrt i nacrt tocaka A(−6,−3,−5), B(−1,−4, 1), C(2, 3, 7), D(4, 3,−2),E(−2, 1,−3), F (0,−1,−1). U kojim se kvadrantima nalaze te tocke?

2. U kojem su polozaju prema ravninama Π1 i Π2 tocke A(−5, 0, 1), B(−1, 3, 0),C(−4, 0,−3), D(−3,−2, 0), E(2, 0,−2), F (1, 3, 0), G(−2, 5, 0), H(4, 0, 4)?

Odredite njihov tlocrt i nacrt.

3. Koje od tocaka A(2, 4,−4), B(−3, 0, 0), C(−1,−2, 2), D(−3, 3, 3), E(6, 0, 0),F (1,−5,−5) leze:

a) u ravnini simetrije

b) u ravnini koincidencije?

Odredite njihov tlocrt i nacrt.

Pravac

4. U kojem je polozaju pravac p = AB prema ravinama Π1 i Π2 ako su:

a) A(1, 7, 2), B(5, 2, 2)

b) A(0, 4, 6), B(5, 4, 6).

5. Odredite onu tocku pravca p = AB[A(−3, 3,−6), B(0, 1, 3)] koja je u ravnini:

a) simetrije

b) koincidencije.

6. Odredite tlocrt i nacrt te odredite 1. i 2. probodiste pravca koji prolazi tockama A i B, akosu:

a) A(0, 4, 7), B(5,−1, 2);

b) A(−4, 3, 1), B(2,−1,−4);

c) A(8,−4, 2), B(1, 1,−5).

Kroz koje kvadrante prolaze ovi pravci?

7. Odredite tlocrt i nacrt pravca p koji prolazi tockama A(4, 2, 2) i B(6, 1, 3).

a) Konstruirajte projekcije 1. i 2. probodista pravca p.

b) Kroz koje kvadrante prolazi ovaj pravac i oznacite vidljivost pravca?

c) Konstruirajte projekcije one tocke C ∈ p koja je za 5 udaljena od Π1.

d) Nad-ite onu tocku pravca p koja lezi u ravnini simetrije.

e) Tockom T (1, 4, 3) postavite pravac paralelan s pravcem p te odredite njegovo prvo i drugoprobodiste.

8. Zadan je nacrt pravca p = AB[A(1,−, 3), B(5,−, 1)]Odredite tlocrt tog pravca ako on lezi u ravnini simetrije.

9. Zadan je nacrt pravca p = AB[A(2, 3, 1), B(6,−, 4)].Odredite tlocrt tog pravca ako je on paralelan s ravninom koincidencije.

21

Dva pravca - paralelnost ili sjecenje

10. Odredite prvo i drugo probodiste pravca koji prolazi tockom T (7, 2, 3) i paralelan je s pravcemp = AB[A(−2,−1,−2), B(6, 4, 0)].

11. Tockom T (3, 2, 2) odredite pravac koji sijece pravac p = AB[A(−3,−1,−4), B(2, 3, 6)] i para-lelan je s ravninom:

a) Π1;

b) Π2.

12. Zadani su pravac p = KL [K(4, 5, 8), L(10,−1, 3)] i tocka T (6,−1, 5).Konstruirajte projekcije pravca q koji prolazi tockom T , paralelan je s ravninom Π1 i sijecezadani pravac p.

13. Zadani su pravac p = AB[A(−2, 1, 5), B(5.5, 4.5, 1)] i tlocrt pravca q = CD[C(−1, 4,−), D(4, 2, 3)].Odredite nacrt pravca q tako da se ovi pravci sijeku.

14. Zadan je pravac p = AB[A(0, 1, 5), B(−2, 3,−4)].Odredite projekcije nekog pravca q koji sijece zadani pravac 4 jedinice ispred ravnine Π2.

15. Odredite projekcije pravca m koji prolazi zadanom tockom T (2,−4,−2), paralelan je s ravni-nom Π2 i sijece zadani pravac p = MN [M(1, 4, 4) N(8,−5,−1)].

16. Tockom T (2,−,−) povucite pravac koji sijece pravac p = AB[A(−3, 1, 5), B(4, 2, 1)] i okomitje na ravninu:

a) Π1

b) Π2.

17. (jedinica 0.5 cm) Tockom T (3, 4, 2) povucite pravac koji sijece pravacp = AB[A(−2, 3, 2), B(2, 1, 6)] u tocki koja lezi u ravnini:

a) Π1

b) Π2

c) simetrije

d) koincidencije.

Udaljenost od ravnina projekcije

18. Zadana je duzina AB[A(2, 1, 3), B(6, 5, 0)]. Odredite na toj duzini tocku koja je od:

a) Π1 udaljena za d = 2

b) Π2 udaljena za d = 3.

19. Zadan je pravac p = AB[A(2, 5, 1), B(6,−2, 3)]. Konstruirajte projekcije nekog pravca q kojisijece zadani pravac na udaljenosti 2 od ravnine Π1.

20. Konstruirajte projekcije pravca q koji sijece zadani pravac p = MN [M(2, 5, 3)N(6, 1,−2)],paralelan je s ravninom Π1, od nje je udaljen za 3, a prolazi tockom T (9, 3,−).

21. Nacrtajte projekcije pravca m koji sijece zadani pravac p = KL [K(4, 6,−4)L(9− 1, 6)], para-lelan je s ravninom Π2, od nje je udaljen za 4, a prolazi tockom T (1,−, 3).

22

Prava velicina duzine i kuta - prevaljivanje

22. Odredite tlocrt i nacrt duzine AB:

a) A(1, 3, 2), B(5, 1, 1)

b) A(−1, 1,−3), B(2, 2, 2)

c) A(−2, 2, 1), B(1,−3, 1)

d) A(3, 6, 2), B(3, 3, 4)

e) A(4, 2,−5), B(7, 2, 1)

f) A(4, 2, 5), B(4, 2, 1).

Koji polozaj imaju te duzine prema ravninama Π1 i Π2?

Koje se od ovih duzina vide u pravoj velicini u nekoj od projekcija?

Odredite prave velicine onih duzina koje se niti u jednoj projekciji ne vide u pravoj velicini.

23. Na duzini AB[A(−2, 2,−4), B(3,−2,−2)] odredite onu tocku koje je od B udaljena za d = 1.

24. Odredite nacrt duzine AB[A(−1, 2, 1), B(3, 3,−)] ako je njena prava velicina d = 5.Koliko rjesenja ima ovaj zadatak?

25. Prava velicina duzine AB[A(3,−1,−2), B(7,−, 2)] iznosi d = 9.Konstruirajte tlocrt te duzine. Koliko ima rjesenja?

26. Konstruirajte projekcije pravca p = P1P2 koji je zadan svojim prvim i drugim probodistemP1(3,−3, 0), P2(−1, 0,−4).

a) Odredite prvi i drugi prikloni kut pravca p.

b) Odredite onu tocku pravca p koja je od njegovog prvog probodiste udaljena za d = 2, analazi se ispred ravnine Π2.

27. Konstruirajte projekcije pravca p = P1P2 te odredite njegov prvi i drugi prikloni kut. Pravacje zadan svojim probodistima P1 i P2:

a) P1(4, 4, 0), P2(7, 0, 6);

b) P1(7, 3, 0), P2(9, 0, 1);

c) P1(1,−2, 0), P2(6, 0, 5).

28. Konstruirajte prvo i drugo probodiste pravca m = MN [M(5,−2, 5), N(9, 6,−1)] i oznacitevidljivost pravca u odnosu na ravnine Π1 i Π2. Odredite na pravcu m projekcije tocaka koje suod njegovog drugog probodista pravca udaljene za d = 3.

23

Vjezbe 4

PROJEKCIJA GEOMETRIJSKIHTIJELA S BAZOM U RAVNINIPROJEKCIJE

4.1 BOKOCRT

Koju koordinatnu ravninu nazivamo bokocrtnom? Ravninu Π3 koja je okomita i na Π1 i na Π2.Analogno kao za prve dvije projekcije, bokocrt tocke je ortogonalna projekcija te tocke na bokocrtnuravninu, bokocrt pravca je njegova ortogonalna projekcija na ravninu Π3, 3. probodiste pravca jeprobodiste pravca i ravnine Π3, 3. prikloni kut pravca je kut izmed-u pravca i ravnine Π3. Udaljenosttocke do ravnine Π3 jednaka je apsolutnoj vrijednosti njene x koordinate.

4.2 PROJEKCIJE TIJELA

Koja je glavna podjela geometrijskih tijela? Na uglata (poliedri) i obla. Na primjer, u uglata tijelaspadaju prizme i piramide dok u obla spadaju valjci, stosci i sfere. Mi cemo obrad-ivati pravilneuspravne prizme i piramide (tijela kojima je baza pravilni mnogokut) te rotacijske valjke i stosce(one kojima je baza kruznica a os okomita na ravninu baze).

Sto mozemo reci o projekcijama tijela kojemu je baza u nekoj od ravnina projekcije? Projekcija naravninu u kojoj je baza je upravo baza tog tijela. Ostale projekcije oblog tijela su osni presjeci togtijela ravninama paralelnim s odgovarajucom ravninom projekcije. Rubni dio projekcije nekog tijelanaziva se kontura.

Kako je definirana vidljivost u Mongeovoj projekciji? Tlocrtni pogled definiran je kao pogled odozgo,nacrtni pogled kao pogled sprijeda dok je bokocrtni pogled definiran kao pogled zdesna. Bridove ilinije tijela koji se u nekoj projekciji ne vide crtamo crtkanom linijom. Vidljivost tocke na tijelunaznacujemo tako da naznacimo vidljivost linije na tijelu na kojoj ta tocka lezi.

24

4.3 RIJESENI ZADACI

Zadatak 4.1 Valjak je zadan svojim projekcijama. U kojoj ravnini je baza valjka? Ako je tocka kojalezi na plastu valjka zadana svojim tlocrtom, sto mozemo zakljuciti o njenom nacrtu?

Slika 3.1: Valjak

Rjesenje. Baza valjka lezi u ravnini Π2. Izvodnice valjka su okomite na bazu, dakle okomite na Π2

pa je njihov nacrt jedna tocka koja lezi na bazi.

RJESENJE - INTERAKTIVNA GEOGEBRA DATOTEKA

�

Zadatak 4.2 Stozac je zadan svojim projekcijama. U kojoj ravnini je baza stosca? Ako je tockakoja lezi na plastu stosca zadana svojim nacrtom, kako cemo odrediti njen tlocrt?

Slika 3.2: Stozac

25

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/04.tjedan/valjak.html

Rjesenje. Baza stosca lezi u ravnini Π1. Konturne izvodnice u nacrtu su izvodnice paralelne sravninom Π2 i njihovi tlocrti su paralelni s x-osi.Tlocrt tocke na plastu stosca zadane svojim nacrtom mozemo konstruirati na dva nacina. Prvi nacinje da pogledamo nacrt izvodnica koja prolazi tom tockom. (To su dvije izvodnice, buduci da tockazadana nacrtom je zapravo pravac okomit na ravninu Π2 i probada stozac u dvije tocke - jedna senalazi s prednje, a druga sa straznje strane stosca). Noziste te izvodnice je tocka na bazi, koja leziu Π1 pa joj je nacrt na x-osi . Tlocrt joj je na bazi (dvije mogucnosti), a tlocrt trazene tocke lezi natlocrtu izvodnice.Drugi nacin je da pogledamo horizontalni presjek stosca (presjek s ravninom paralelnom s Π1).Presjecna krivulja stosca i takve ravnine je kruznica koja se nacrtu projicira u duzinu paralelnu sx-os, a u tlocrtu u kruznicu koncentricnu s bazom. Radijus tlocrtne kruznice presjeka odredimo takoda konstruiramo tocke u kojima ta kruznica sjece konturne izvodnice nacrta.


�

Zadatak 4.3 Trostrana pravilna prizma zadana je svojim projekcijama. U kojoj ravnini je bazaprizme? Ako je tocka koja lezi na pobocju prizme zadana svojim tlocrtom, sto mozemo zakljuciti onjenom nacrtu i bokocrtu?

Slika 3.3: Prizma

Rjesenje. Baza prizme lezi u ravnini Π3. Linija na pobocki koja prolazi kroz tlocrt tocke je okomitana ravninu Π3 pa se u bokocrtu projicira u jednu tocku na bazi. Tlocrt linije predstavlja dvije linijena plohi - jednu s gornje strane, a drugu s donje strane tijela.


�

26

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/04.tjedan/stozac.html

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/04.tjedan/trostrana_prizma.html

Zadatak 4.4 Cetverostrana piramida je zadana svojim projekcijama. U kojoj ravnini je baza pira-mide? Ako je tocka koja lezi na pobocju piramide zadana svojim nacrtom, sto mozemo zakljuciti onjenom tlocrtu i bokocrtu?

Slika 3.4: Piramida

Rjesenje. Baza piramide lezi u ravnini Π1. Ako je tocka zadana svojim nacrtom, tlocrt cemo nacitako da pogledamo onu liniju na plohi koja prolazi tom tockom. Potrebno je naci noziste te linije -to je tocka na bazi, dakle u ravnini Π1 pa joj je nacrt na x-osi.


�

Zadatak 4.5 Sfera je zadana svojim projekcijama. Ako je tocka na sferi zadana jednom svojomprojekcijom, kako nalazimo ostale njene projekcije?

27

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/04.tjedan/piramida.html

Slika 3.5: Sfera

Rjesenje. Prvo recimo nesto o konturama sfere. Sve su konture sfere kruznice kroz srediste, a radijusim je jednak radijusu sfere. Tlocrtna kontura je najveca paralela sfere, naziva se ekvator. Onaje presjek sfere s ravninom kroz srediste sfere paralelnom s Π1. U nacrtu ta se kruznica projicirau promjer nacrtne konture paralelan s x-osi, u bokocrtu ta je kruznica promjer bokocrtne kontureparalelan s x-osi. Nacrtna kontura je kruznica sfere dobivena presjekom sfere s ravninom kroz sredisteparalelnom s Π2. U tlocrtu, nacrtna kontura s projicira u promjer tlocrtne konture paralelan s x-osi, dok je bokocrt te kruznice promjer bokocrtne konture paralelan s z-osi. Bokocrtna kontura jekruznica na sferi dobivena kao presjek sfere s ravninom paralelnom s Π3 koja prolazi sredistem sfere.Tlocrt i nacrt te bokocrtne konture su promjeri tlocrtne odnosno nacrtne konture okomiti na x-osi(paralelni s z-osi).Slicno tome, ako je zadana tocka na sferi svojim tlocrtom, tada je prostorno zadan pravac okomit naΠ1 i njegova probodista sa sferom su dvije tocke koje imaju zadani tlocrt, jedna s gornje, druga s donjestrane sfere. Nalazimo ih tako da pogledamo presjek sfere s ravninom kroz taj pravac paralelnom sΠ2. Tlocrt tog presjeka je duzina paralelna s x-osi kroz tlocrt zadane tocke. Nacrt tog presjeka jekruznica i odred-ujemo je tako da nad-emo tocke na ekvatoru koje leze na tom presjeku.


�


Uputa 1: U sljedecim zadacima jedinicu mjere i polozaj ishodista odaberite po volji.

Uputa 2: Ako zadatak ima vise rjesenja, odaberite ono ciji ce prikaz u Mongeovojprojekciji biti jasniji.

28

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/04.tjedan/kugla.html

Prizme

1. Konstruirajte tlocrt, nacrt i bokocrt pravilne cetverostrane prizme ABCDEFGH,

s bazom ABCD u ravnini Π3 i visinom 5, ako su zadani vrhovi A(0, 2, 1), B(0, 1, 3).

Odredite projekcije tocke T (3, 2.5,−) koja lezi na donjoj strani prizme.

2. Kostruirajte sve tri projekcije pravilne trostrane prizme ABCDEF visine v = 3 s bazomABC u ravnini Π1, ako je zadan vrh A(3, 3, 0) i srediste baze S(5, 5, 0). Odredite tlocrt tockeM(4,−, 2) koja:

a) lezi na prednjoj strani prizme;

b) lezi na straznjoj strani prizme.

3. Konstruirajte sve tri projekcije kocke ABCDEFGH kojoj osnovica ABCD lezi u Π2, a zadan jevrh A(6, 0, 3) te pravac p = MN [M(1, 0, 1.5), N(4, 0, 7)]na kojem lezi jedna stranica te osnovice.

Odredite projekcije bilo koje tocke na donjoj strani kocke.

4. Tocka S(3, 0, 5) je srediste osnovke pravilne uspravne sesterostrane prizme kojoj je baza u Π2.Polumjer kruznice opisane bazi neka je r = 3. Nacrtajte projekcije te prizme ako joj duljadijagonala baze zatvara s ravninom Π1 kut ϕ = 45A◦, a visina prizme je v = 5.

5. Duzina AC[A(4, 2, 0);C(5.5, 5, 0)] je dijagonala osnovice pravilne uspravne kvadratske prizmekojoj ta osnovica lezi u ravnini Π1. Konstruirajte sve tri projekcje te prizme ako je duljinanjene prostorne dijagonale d = 6.

Konstruirajte projekcije bilo koje tocke koja lezi na jednoj njezinoj straznjoj strani, ali ne i nabridu.

Piramide

1. Konstruirajte tlocrt, nacrt i bokocrt pravilne trostrane piramide ABCV ,

s bazom ABC u ravnini Π2 i visinom 3, ako su zadani vrhovi A(2, 0, 1), B(5, 0, 1).

Odredite projekcije tocke T (4,−, 2) koja lezi na pobocju piramide.

2. Duzina AC[A(2, 0, 3), C(6, 0, 4)] dijagonala je baze uspravne kvadratske piramide s bazom uΠ2. Nacrtajte sve projekcije te piramide, ako je njena visina v = 3.5.

3. Konstruirajte projekcije tetraedra kojemu je baza u Π1, a duzina AB[A(−2, 2, 0), B(−1, 6, 0)]mu je osnovni brid.

Odredite nadalje tlocrt tocke T (1,−, 1) tako da ona lezi na pobocki V BC.

4. Duzina AD[A(5, 1, 0);D(3, 3, 0)] je visina jednakostranicnog trokuta ABC koji lezi u ravniniΠ1. Konstuirajte sve tri projekcije tetraedra kojem je taj trokut jedna strana.

5. Ravnina Π2 je ravnina simetrije oktaedra. Konstruirajte projekcije tog tijela ako su mu tockeA(4, 0, 6) i C(8, 0, 5) dijagonalne tocke kvadratnog presjeka u ravnini Π2.

∗6. Konstuirajte sve tri projekcije pravilne, uspravne sesterostrane piramide ako joj je duzinaAB[A(2, 0, 2.5);B(6, 0, 3.5)] dulja dijagonala osnovice koja lezi u ravnini Π2, a pobocni jojbridovi imaju 2. prikloni kut 60◦.Konstruirajte sve projekcije tocke T (3, 0.5,−) koja lezi na donjoj pobocki piramide.

29

∗∗7. Tocka V (3, 3, 4) je vrh tetraedra kojemu je baza u ravnini Π3, a jedan vrh te baze lezi u ravniniΠ2. Nacrtajte projekcije tog tetraedra.

Uputa: Konstruirati srediste one strane tetraedra koja lezi u Π3, konstruktivno odrediti radijus toj

strani opisane kruznice i koristiti cinjenicu da se sve tocke ravnine Π2 u bokocrtu projiciraju na os z.

Valjci

1. Konstruirajte tlocrt, nacrt i bokocrt valjka s bazom u ravnini Π3, sredistem baze u tockiS(0, 2.5, 2.5), radijusom 1.5 i visinom 4.

Odredite projekcije tocke T (3,−, 1.5) koja lezi na donjem dijelu plasta valjka.

2. Konstruirajte sve tri projekcije jednakostranicnog valjka kojemu je jedna osnovica u Π2, radijusosnovice je 3, a srediste S(4, 0, 4).

Odredite sve projekcije tocke T (2, 2,−) koja lezi na donjem dijelu plasta valjka.

3. Konstruirajte projekcije jednakostranicnog valjka kojemu osnovica polumjera r = 2 lezi uravnini Π3, a tocka S(0, 3, 2) je srediste te osnovice.

Konstruirajte projekcije jedna izvodnice tog valjka koja se ne vidi niti u tlocrtu niti u nacrtu,a zatim na toj izvodnici konstruirajte tocku koja je od ravnine Π3 udaljena za 3.

∗4. Tocke S1(−3, 2, 0) i S2(5, 4, 5) su sredista baza valjka kojemu je jedna baza u Π1, a polumjerr = 2. Nacrtajte tlocrt i nacrt tog valjka.

Konstruirajte tlocrt tocke T (0,−, 1) tako da ona lezi na prednjoj strani plasta valjka.

Napomena: Zadani valjak je kosi kruzni valjak.

Stosci

1. Konstruirajte tlocrt, nacrt i bokocrt stosca s bazom u ravnini Π1, sredistem baze u tockiS(2, 1.5, 0), radijusom 1.5 i visinom 3.

Odredite projekcije tocke T (1.5,−, 1) koja lezi na prednjem dijelu plasta stosca.

2. Konstruirajte tlocrt i nacrt stosca cija je baza krug k(S, r) koji lezi u ravnini Π1, S(4, 3, 0) ir = 2. Vrh stosca je tocka V (4, 3, 5).

Odredite projekcije tocke T (5,−, 2) koja lezi na straznjem dijelu stosca. Odredite vidljivost tetocke u pojedinim projekcijama.

3. Konstruirajte sve tri projekcije rotacijskog stosca s bazom u Π1 kojemu je duzinaAV [A(1, 3, 0), V (3,−, 4)] izvodnica duljine 5. Odredite projekcije tocke T (4,−, 2) koja se nalazi:

a) na prednjoj strani stosca;

b) na straznjoj strani stosca.

4. Tocka V (3, 4, 5) je vrh rotacijskog stosca kojemu je baza u ravnini Π1. Nacrtajte projekcije togstosca ako mu je jedna od izvodnica paralelna s pravcem p = AB[A(7, 3, 0), B(9, 4, 5)].

Uputa: Vrhom V polozite pravac paralelan s p i odredite njegovo prvo probodiste.

5. Tocka V (4, 3, 3) je vrh, a T (1, 1.5, 2) tocka na plastu rotacijskog stosca, kojemu je baza u Π3.Nacrtajte projekcije tog tijela.

Uputa: Konstruirajte 3. probodiste zadane izvodnice V T .

30

Kugla

1. Konstruirajte tlocrt, nacrt i bokocrt kugle sa sredistem u tocki S(3, 2.5, 2) i radijusom 2.

Odredite projekcije tocke T (2, 3,−) koja lezi na gornjem dijelu sfere.

2. Konstruirajte sve tri projekcije kugle sa sredistem u S(5, 5, 3) koja dodiruje ravninu Π1. Odre-dite sve tri projekcije tocke:

a) A(4,−, 2) koja lezi na prednjoj strani sfere;

b) B(3.5, 3.5,−) koja lezi na donjoj strani sfere;

c) C(8,−,−) na sferi.

Koliko ima tocaka T (3,−,−) na sferi? Gdje se te tocke nalaze?

3. Duzina AB[A(5, 1, 4), B(3, 5, 4)] je promjer kugle. Nacrtajte projekcije te kugle.

Nacrtajte nacrt tocke P (5, 2,−) koja lezi na donjem dijelu sfere, te tlocrt tocke R(2.5,−, 3)koja lezi na prednjem dijelu sfere .

Uputa: U sljedecim zadacima jedinicu mjere i polozaj ishodista odaberite po volji.

31

Vjezbe 5

RAVNINE U MONGEOVOJPROJEKCIJI

Kako u Mongeovoj projekciji prikazujemo ravnine? Ravnine prikazujemo njihovim tragovima. Tra-govi ravnine su presjecnice ravnine s ravninama projekcije. Za ravninu u opcem polozaju vrijedi daje ortogonalna projekcija ravnine na ravninu projekcije jednaka cijeloj ravnini projekcije. No, ukolikoje ravnina okomita na ravninu projekcije, tada je njena projekcija trag te ravnine. Takve ravninenazivmo projicirajuce ravnine.

Kako u Mongeovoj projekciji vidimo da pravac p lezi u ravnini P? Ako su probodista pravca naodgovarajucim tragovima ravnine. Na primjer, prvo probodiste P1 pravca p je ona tocka pravca kojalezi u ravnini Π1. Buduci da pravac p lezi u ravnini P, tocka P1 lezi na presjecnici ravnina Π1 i P,dakle na prvom tragu r1. Simbolicki zapis:

p ⊂ P ⇐⇒ P ′1 ∈ r1 i P ′′2 ∈ r2

Kada je tocka u ravnini? Tocka je u ravnini ako i samo ako lezi na nekom pravcu te ravnine. Ako namje zadana ravnina, tada je tocka u toj ravnini uvijek zadana samo jednom svojom projekcijom. Druguprojekciju odred-ujemo pomocu nekog pravca te ravnine koji prolazi kroz tu tocku. Najjednostavnijenam je izabrati sutraznicu.Sto je sutraznica 1. skupine s ravnine P? To je pravac koji lezi u ravnini P i paralelan je s ravninomΠ1 - sutraznica 1. skupine ima samo drugo probodiste u konacnosti. Njegov je nacrt paralelan s osix, a tlocrt je paralelan s prvim tragom ravnine. Simbolicki zapis:

s′||r1 i s′′||x

Sutraznica s 2. skupine:s′||x i s′′||r2

Kako nalazimo drugi prikloni kut ravnine P? Drugi prikloni kut ravnine je kut sto ga ta ravninazatvara s ravninom nacrta Π2. Kut izmed-u dviju ravnina jednak je kutu izmed-u dva pravca kojisu okomiti na presjecnicu tih ravnina, a svaki lezi u jednoj od ravnina. Prema tome, drugi priklonikut ravnine jednak je drugom priklonom kutu pravca u ravnini koji je okomit na drugi trag. Takavpravac naziva se priklonica 2. skupine. Simbolicki zapis:

p je priklonica 2. skupine ravnine P⇐⇒ p′′ ⊥ r2

ω2 = ∠(P,Π2) = ∠(p′′, p0)

Analogno odred-ujemo prvi prikloni kut ravnine:

p je priklonica 1. skupine ravnine P⇐⇒ p′ ⊥ r1

ω1 = ∠(P,Π1) = ∠(p′, p0)

32

5.1 RIJESENI ZADACI

Zadatak 5.1 Odredite prvi trag ravnine u kojoj je pravac q.


Zadatak 5.2 Odredite nacrt pravca a u ravnini Σ. a) b) c)


Zadatak 5.3 Odredite nacrt sutraznice a u ravnini Σ. a) b)


Zadatak 5.4 Odredite nacrt priklonice prve skupine n u ravnini Σ.

Rjesenje. RJESENJE

�

33

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/05.tjedan/5auditorne1.htm#1




Zadatak 5.5 Odredite tragove ravnine Σ kojoj je pravac p priklonica druge skupine.


Zadatak 5.6 Odredi projekcije tocke:a) Odredite nacrt tocke T u ravnini Σ pomocu priklonice prve skupine.

Rjesenje. RJESENJEb)Odredite tlocrt to cke T u ravnine Σ pomocu sutraznice druge skupine.

Rjesenje. RJESENJE

Zadatak 5.7 Odredi tlocrt duzine AB u ravnini Σ.

Rjesenje. RJESENJE

34


http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/05.tjedan/5auditorne2.htm#6a

http://www.grad.hr/sgorjanc/Links/deskriptiva/skripta_radna/05.tjedan/5auditorne2.htm#6b



1. Konstruirajte projekcije pravca p koji lezi uravnini P, paralelan je s ravninom Π1 i odnje udaljen za d.

r2

r1

x

d

2. Duzina AB lezi u ravnini P. Odredite jojnacrt.

x

r2

r1

A’

B’

3. Nacrtajte projekcije bilo kojeg pravca kojilezi u ravnini P. Nacrtajte projekcije bilokojeg pravca koji je paralelan sa zadanomravninom P.

r2

r1

x

4. Konstruirajte tragove ravnine Σ koja je za-dana tockama A, B i C.

xC’’

C’

A’’

A’

B’’

B’

5. Konstruirajte tragove ravnine i njen 1.prikloni kut, ako je pravac p njena priklo-nica 1. skupine.

p’’

p’

x

6. Konstruirajte tragove ravnine koja sadrzipravac p, a paralelna je s pravcem q.

xp’’

p’

q’’

q’

7. Konstruirajte tragove ravnine koja sadrzitocku S, a paralelna je s pravcima p i q.

x

p’’

p’

q’’

q’

S’’

S’

8. Konstruirajte pravac koji prolazi tockom T ,a paralelan je s ravninama P i Σ.

s2

r2

s1 r

1

x

T’’

T’

35

9. Tocka T lezi u ravnini P. Konstruirajte prvii treci trag ravnine P te njen treci priklonikut.

xy’’’

y’

z

r2

T’’

T’

10. Odredite presjecnicu ravnina P i ∆.

x

y’’’

y’

z

r2

r1

d2

d1

Uputa: U sljedecim zadacima za jedinicu mjere odaberite 0.5 cm.

11. Nacrtajte projekcije pravca s koji je paralelan s ravninom Π1, od nje je udaljen za 2, a lezi uzadanoj ravnini P(6, 3,−5).

12. Nacrtajte projekcije pravca m koji je paralelan s ravninom Π2, od nje je udaljen za 3, a lezi uzadanoj ravnini E(6,−2, 5).

13. Zadan je pravac p ≡ AB [A(−5, 5, 3), B(0, 1, 6)].

• Konstruirajte tragove ravnine kojoj je pravac p priklonica 1. skupine.

• Odredite 2. prikloni kut te ravnine.

14. Zadan je pravac p ≡ AB[(−8, 6, 11), B(4,−5, 3)].

• Konstruirajte tragove ravnine kojoj je pravac p priklonica 2. skupine.

• Odredite 1. prikloni kut te ravnine.

15. Konstruirajte tragove ravnine koja je zadana tockom K(7, 2,−9) i pravceml ≡MN [M(−7, 5, 3), N(3, 10,−2)].

16. Odredite tragove ravnine koja sadrzi pravac a ≡ A1A2[A1(1, 4, 0), A2(−2, 0, 5)], a paralelna jes pravcem c ≡ CD[C(3, 6,−3), D(8, 4, 2)].

17. Konstruirajte tragove ravnine koja sadrzi tocku T (0, 2, 4), a paralelna je s pravcimak ≡ AB[A(4,−5, 6), B(12, 6, 1)] i l ≡ C1D[C1(1, 4, 0), D(8, 2, 7)].

18. Tockom T (1, 3, 3) i presjecnicom p ravnina P(6, 10,−4) i E(−10, 4,∞) zadana je ravnina.Odredite joj tragove.

19. Konstruirajte projekcije pravca koji prolazi tockom T (10, 10, 2), a paralelan je s ravninamaP(−6, 8, 5) i Σ(10,−2, 7).

20. Konstruirajte tragove ravnine koja prolazi tockom T (4,−4, 9), a paralelna je s ravninom P(6,−10, 6).

21. Tockom T (0, 2.5, 3) postavite ravninu paralelnu s ravninom P(6, 10,−4).

22. Zadana je ravnina Γ(5, 4, 5).

• Konstruirajte projekcije one njezine priklonice trece skupine koja prolazi tockom T (2,−, 1).

• Konstruirajte sve tri projekcije triju probodista te priklonice.

36

23. Zadan je pravac p ≡ AB[A(0, 4, 8), B(8,−2, 2)].

• Konstruirajte tragove ravnine ∆ kojoj je pravac p priklonica 3. skupine.

• Odredite drugi prikloni kut ravnine ∆.

24. Zadan je pravac p ≡ AB[A(−2, 2, 1), B(3, 5, 4)].

• Konstruirajte tragove ravnine Γ kojoj je pravac p priklonica 3. skupine.

• Odredite prvi prikloni kut ravnine Γ.

25. Tocka T (2, 2, 3) lezi u ravnini P(7, 4,−). Odredite drugi i treci trag ravnine P te njen treciprikloni kut.

Probodiste pravca s projicirajucom ravninom

Napomena: U ovim zadacima za jedinicu odaberite 1 cm.

1. Konstruirajte projekcije probodista pravca p ≡ PQ[P (2, 2, 1), Q(5, 4, 4)] s ravninom:

(a) Σ(4, 5,∞),

(b) ∆(2,−5,∞),

(c) A(5,∞, 4),

(d) B(5,∞,−4).

2. Konstruirajte, pomocu bokocrta, projekcije probodista pravca a ≡ PQ[P (2, 2, 1), Q(6, 4, 5)] sravninom Σ(∞, 4, 5).

3. Konstruirajte, pomocu bokocrta, projekcije probodista pravca p ≡ AB[A(2, 5, 0), B(6, 1, 3)] sravninom Σ(∞, 5, 2).

4. Konstruirajte, pomocu bokocrta, projekcije probodista pravca p ≡ AB [A(3, 3, 12), B(3, 1, 4)] iravnine P(∞, 4, 2).

37

Vjezbe 6

OKOMITOST U MONGEOVOJPROJEKCIJI

6.1 PROBODISTE PRAVCA I RAVNINE

Kako u Mongeovoj metodi nalazimo probodiste pravca i ravnine? Tocka u kojoj pravac sjece ravninunazivamo probodistem pravca i ravnine. Tu tocku konstriramo tako da:

1. pravcem postavimo pomocnu ravninu (radi jednostavnosti izabiremo projicirajucu ravninu)

2. nad-emo presjecnicu pocetne i pomocne ravnine

3. sjeciste pravca i presjecnice je trazeno probodiste.

6.2 OKOMITOST

Kako u Mongeovoj metodi vidimo da su pravac p i ravnina P okomiti? Pravac i ravnina su okomitiako i samo ako su projekcije pravca okomite na odgovarajuce tragove ravnine.Simbolicki zapis:

p ⊥ P ⇐⇒ p′ ⊥ r1 i p′′ ⊥ r2.

Kroz svaku tocku prostora prolazi jedan i samo jedan pravac okomit na zadanu ravninu. Takav pra-vac naziva se normala ravnine kroz zadanu tocku. Probodiste normale i ravnine nazivamo nozistenormale.

Prevaljivanje normale. Kao i svaki drugi pravac, normalu mozemo prevaliti tako da pravalimo dvijenjene tocke. No, mozemo i koristiti cinjenicu da je normala okomita na priklonicu (bilo koje skupine)kroz noziste normale. Prema tome, prevaljena normala je okomita na prevaljnu priklonicu i prolazikroz prevaljeno noziste.

Paznja! Okomite ravnine NEMAJU okomite tragove. Dvije ravnine ce biti okomite ako jedna sadrzinormalu druge ravnine. Okomiti pravci NEMAJU okomite projekcije.

Metricki zadaci

Ortogonalna projekcija tocke T na ravninu P je noziste normale na P koja prolazi kroz tocku T .Koristimo je za odred-ivanje udaljenosti tocke i ravnine i slicne zadatke.

Ortogonalna projekcija tocke na pravac je presjecnica pravca i okomice iz tocke na pravac. No,u Mongeovoj projekciji odred-ujemo je tako da nad-emo tragove ravnine koja je okomita na zadanipravac i prolazi kroz zadanu tocku. Njihovo probodiste je ortogonalna projekcija tocke na pravac.

38

6.3 RIJESENI ZADACI

Zadatak 6.1 Odredite probodiste pravca p i ravnine P.


Zadatak 6.2 Na pravac p od njegovog probodista s ravninom P nanjeti duzinu d.


Zadatak 6.3 Konstruirajte simetralne ravnine duzine AB.


Zadatak 6.4 Pravcem p postaviti ravninu Σ koja je okomita na ravninu P.

39





Metricki zadaci

Zadatak 6.5 Odrediti udaljenost tocke t od ravnine P.


Zadatak 6.6 U tocki S ravnine P uzdignuti okomicu na ravninu duljine d.


Zadatak 6.7 Odrediti udaljenost tocka A od ravnine Σ.


40






1. Konstruirajte projekcije probodista pravca pi ravnine P.

p’’

p’

r2

r1

x

2. Konstruirajte projekcije probodista pravca bi ravnine ∆.

x

b’’

b’

d2

d1

3. Konstruirajte tragove ravnine koja sadrzitocku T , a okomita je na pravac b.

x

b’’

b’

T’’

T’

4. Odredite udaljenost tocke P od ravnine Σ.

x

s2

s1

P’’

P’

5. Iz tocke Q ∈ B uzdignite okomicu na rav-ninu B zadane duljine d.

b2

b1

x

Q’’

d

6. Konstruirajte projekcije probodista pravca pi ravnine P.

xy’’’

y’

z

r2

r1

p’’

p’

7. Iz tocke R ∈ A uzdignite okomicu na rav-ninu A zadane duljine d.

x

y’’’

y’

z

a2

a1

R’

d

8. Konstruirajte projekcije tocke D koja je si-metricna tocki C s obzirom na ravninu Γ.

g2

g1

x

C’’

C’

41

9. Konstruirajte projekcije one tocke pravca fkoja je jednako udaljena od tocaka G i H.

x

H’’

H’

f’’

f’

G’’

G’

10. Konstruirajte tragove ravnine koja sadrzipravac t, a okomita je na ravninu E.

e2

e1

x

t’’

t’

Uputa: U sljedecim zadacima za jedinicu mjere odaberite 0.5 cm.

11. Konstruirajte projekcije probodista pravca p ≡ AB[A(8, 1, 1), B(0, 4, 4)] s ravninom P(−6, 5, 5)i odredite udaljenost tog probodista od drugog traga ravnine.

12. Konstruirajte projekcije probodista pravca a ≡ AB[A(3, 4, 6), B(10, 4, 1)] s ravninom E(5, 4,−6).Odredite udaljenost tog probodista od prvog traga ravnine.

13. Konstruirajte projekcije probodista pravaca a ≡ A1A2[A1(−2, 8, 0), A2(8, 0, 9)] i b ‖ 1x2, K ∈ b,K(1, 6, 7) s ravninom P(4,−2, 5). Odredite udaljenost tih probodista.

14. Konstruirajte projekcije probodista pravaca c ≡ C1C2[C1(19, 12, 0), C2(6, 0, 5)] id ≡ DE[D(−2, 3, 9), E(14, 11, 9)] s ravninom P(9, 3,−10). Odredite udaljenost dobivenih pro-bodista.

15. Konstruirajte, pomocu bokocrta, projekcije probodista pravca p ≡ PQ[P (2, 6, 1), Q(12, 1, 8)] sravninom P(∞,−3, 5).

16. Konstruirajte projekcije probodista pravca p ≡ AB [A(3, 5, 2), B(3, 2, 4)] i ravnine P(∞, 4,−2).

17. Konstruirajte tragove ravnine koja prolazi tockom T (4,−2, 5) i okomita je na pravac p ≡ AB[A(1, 2, 5), B(7,−2, 1)], a zatim konstruirajte projekcije probodista pravca p s dobivenom ravni-nom.

18. Konstruirajte tragove ravnine koja prolazi tockom T (0, 8, 11), a okomita je na pravacn ≡ CD[C(−2, 1, 2), D(9, 15, 15)]. Odredite projekcije probodista pravca n s tom ravninom.

19. Odredite udaljenost tocke T (4, 4, 2) od ravnine Σ(3, 2,−5).

20. Odredite udaljenost tocke T (2, 4, 8, ) od ravnine P(−7, 8,−4).

21. Odredite udaljenost tocke T (4, 1, 5) od ravnine P(∞, 2,−4).

22. Odredite udaljenost tocke T (3, 3, 2) od ravnine P(∞,−3, 4).

23. Konstruirajte projekcije okomice, duljine d = 4, uzdignute na ravninu ∆(4, 3, 4) iz njene tockeT (−1, 2,−).

24. Konstruirajte projekcije okomice, duljine d = 3, uzdignute na ravninu P(3, 2,−5) iz njene tockeT (2, 2,−).

25. Konstruirajte projekcije okomice AB, duljine d = 6, uzdignute na ravninu P(∞,−6, 4) iz njenetocke A(8,−, 8).

42

26. Konstruirajte tragove ravnine koja sadrzi pravac p ≡ AB[A(6, 4, 10), B(15,−2, 0)], a okomitaje na ravninu E(6, 12, 2).

27. Konstruirajte tragove ravnine koja sadrzi pravac a ≡ A1A2[A1(−3, 6, 0), A2(3, 0, 5)], a okomitaje na ravninu P(−5, 2,∞).

28. Konstruirajte projekcije tocke B koja je simetricna tocki A(2, 1, 0) s obzirom na ravninu P(−4, 4, 5).

29. Konstruirajte projekcije pravca koji je od ravnine Π1 udaljen za d = 6, a lezi u simetralnojravnini duzine AB[A(−4, 4,−1), B(6, 8, 6)].

30. Konstruirajte projekcije one tocke pravca p ≡ AB[A(8, 2, 3), B(13, 7, 5)] koja je jednako uda-ljena od tocaka K(0, 5, 3) i L(8, 10, 11).

31. Konstruirajte projekcije presjecnice ravnine P(−4, 3, 4) i simetralne ravnine duzineAB[A(4, 3,−3), B(12, 0, 4)].

32. Odredite udaljenost tocke T (8, 2, 8) od pravca p ≡ AB[A(4, 12, 2), B(14, 2, 7)].

33. Odredite udaljenost tocke C(8, 10, 7) od pravca m ≡ AB[A(−6,−5, 2), B(0, 5, 12)].

43

Vjezbe 7

PRAVA VELICINA RAVNINSKOGLIKA

U sto se, u Mongeovoj projekciji, projicira neki geometrijski lik? Opcenito, projicira se u lik s istimbrojem stranica. Med-utim, ni duljina stranica kao ni kutevi med-u njima ne ostaju isti. Specijalno,lik ce se projicirati u sukladni lik ako se nalazi u ravnini paralelnoj s ravninom projiciranja. Dakle,ako se nalazi u ravnini paralelnoj s π1(π2), u tlocrtu (nacrtu) ce se projicirati u sukladni lik, a unacrtu (tlocrtu) u duzinu paralelnu s x osi. Ukoliko se lik nalazi u 1. (2.) projicirajucoj ravnini, utlocrtu (nacrtu) ce se projicirati u duzinu na 1.(2.) tragu. Tada njegovu pravu velicinu odred-ujemoprevaljivanjem u π1 (π2).

Kako se iz projekcija nekog geometrijskog lika moze saznati njegova prava velicina? Ukoliko liklezi u opcoj ravnini, lik sukladan originalu dobit ce se postupkom kojeg nazivamo rotacijom. Prijesmo spominjali pravu velicinu duzine i ona se trazila postupkom prevaljivanja. Za pravu velicinubilo cega slozenijeg od udaljenosti dviju tocaka, koristimo rotaciju. Dakle, prevaljivanje koristimo zapravu velicinu jednodimenzionalnog objekta, dok za dvodimenzionalne objekte (na primjer kut izmed-upravaca, udaljenost tocke i pravca, velicine mnogokuta...) moramo koristiti rotaciju.

ROTACIJA

Prije same rotacije, nuzan korak je odrediti ravninu u kojoj se trazeni lik nalazi. Zatim mozemo ro-tirati tocke ravnine oko 1. ili 2. traga. Kako se rotira tocka u ravnini oko njezinog 1. traga? Tockomse postavi priklonica 1. skupine. Zatim se ta priklonica prevali u π1 pomocu dvije njene tocke ( to suuvijek tocka koju rotiramo i 1. probodiste priklonice koje lezi na prvom tragu ravnine). Tada rotiramodanu tocku oko 1. traga. Sredite rotacije je 1. probodiste priklonice, a radijus rotacije je udaljenosttocke koju rotiramo od 1. traga.

::::::: TU SLIKA ROTACIJE TOCKEOznake. Tocke u prevaljenom polozaju oznacavali smo s nulicama, a tocke u rotiranom polozajuoznacavamo pomocu zagrada. Pravu velicinu duljine duzine kao i pravu velicinu likova oznacavamolinijom tocka-crta, tocka-crta.

7.1 PROJKCIJE KRUZNICE

Ortogonalna projekcije kruzni

44

7.2 RIJESENI ZADACI

45


1. Konstruirajte projekcije jednakostranicnog trokuta koji lezi u ravnini P(10,∞, 10) ako je tockaS(5, 6,−) srediste kruznice opisane trokutu, a tocka A(8, 2,−) jedan vrh.

2. Konstruirajte projekcije kruznice koja lezi u ravnini E(9, 8,∞), a prolazi tockama A(3,−, 7),B(6,−, 8) i C(8,−, 1).

3. Odredite pravu velicinu kuta imed-u pravaca pi q.

p’’

q’’

p’q’

T’’

T’

x

4. Konstruirajte projekcije jednakostranicnog tro-kuta kojemu je tocka A vrh, a stranica mu lezina pravcu p.

p’’

p’

A’’

A’

x

5. Konstruirajte projekcije kruznice koja lezi uravnini P, ako je duzina AB jedan njezin pro-mjer.

A’’

B’’

x

r2

r1

6. Konstruirajte projekcije kruznice koja lezi uravnini ∆, ako joj je S srediste, a kruznica do-diruje ravninu Π2.

S’

x

d2

d1

7. Odredite pravu velicinu kuta izmed-u pravaca a ≡ AS[A(8, 8, 0);S(0, 8, 7)] ib ≡ BS[B(12, 0, 7), S].

8. Konstruirajte projekcije jednakostranicnog trokuta koji lezi u ravnini P(9, 6, 5), ako mu je tockaC(0,−, 4) vrh, a duzina CN [C,N(2, 6,−)] visina.

9. Konstruirajte projekcije kvadrata koji lezi u ravnini E(−10, 8, 10), ako mu je tocka A(−2, 1,−)vrh, a na pravacu p ≡ KL [K(7,−, 6),L(−6,−, 3)] mu lezi jedna stranica.

46

10. Konstruirajte projekcije kruznice koja lezi u ravnini P(7, 6, 4), srediste joj je tocka S(−2,−, 2),a polumjer toliki da kruznica dodiruje ravninu Π2.

11. Konstruirajte projekcije romba koji lezi u ravnini P(−12, 8,−15), duzina AC[A(−1, 15,−),C(−9, 3,−)] mu je dijagonala, a jedan mu je vrh u ravnini Π1.

12. Konstruirajte projekcije kvadrata koji lezi u ravnini P(−15, 11, 17) ako mu dijagonala duljined = 16 zatvara s prvim tragom kut α = 60◦, a krajnje su joj tocke na tragovima.

13. Konstruirajte projekcije jednakokracnog trokuta koji lezi u ravnini P(18, 11, 13) ako mu je tockaC(0, 9,−)vrh, duzina CN [C, N(3,−, 12)] visina na osnovicu, a jedan od preostalih vrhova leziu Π2.

14. Konstruirajte projekcije jednakostranicnog trokuta koji lezi u ravnini P(−4,−4, 5), jedna mustranica duljine d = 18 zatvara s prvim tragom kut od α = 45◦, a krajnje su joj tocke natragovima.

15. Konstruirajte projekcije kruznice polumjera r = 9 koja lezi u ravnini P(20, 12,−18) i sadrzitocke A(8, 9,−) i B(22, 3,−).

16. Konstruirajte projekcije kruznice koja dira prvi i drugi trag ravnine P(21, 21, 16) i pravac p ≡P1P2[P1(−2,−, 0), P2(0, 0,−)] te ravnine.

17. Konstruirajte projekcije kvadrata koji lezi u ravnini P(−10, 8, 10) ako mu je jedan vrh u tockiA(−2,−2,−), a jedna stranica na pravcu p ≡ KL[K(7,−, 6), L(−6,−, 3)].

18. Konstruirajte projekcije pravilnog sesterokuta kojemu je srediste u tocki S(8, 8, 7), a stranicana pravcu p ≡ P1P2[P1(16, 6, 0), P2(0, 0, 9)].

19. Konstruirajte projekcije kruznice koja dira pravac t ≡ T1T2 [T1(2, 6, 0), T2(15, 0, 10)], a sredistejoj je u tocki S(7, 12, 8).

20. Konstruirajte projekcije kruznice koja dira ravninu Π2 u tocki D(12, 0, 6), a zadani pravact ≡ AB[A(−12, 0,−10), B(−6, 4,−4)] joj je tangenta.

47

Vjezbe 8

PROJEKCIJA TIJELA

48


49

Vjezbe 9

PROGRAM RHINOCEROS

50

skripta za vje zbe - radna verzija - grad.hr · gra-devinski fakultet sveu cili sta u zagrebu...

Documents