VILNIAUS UNIVERSITETAS

LinasPETKEVIČIUS

Skaitinis ir simbolinisreakcijos-difuzijos procesųbioreaktoriuose modeliavimas

DAKTARO DISERTACIJOS SANTRAUKA

Gamtos mokslai,informatika N 009

VILNIUS 2020

Disertacija rengta 2015–2019 metais Vilniaus universitete. Diser-tacijos rengimą iš dalies parėmė projektas „Kompiuterinis atvirųbiologinių sistemų modeliavimas: augančios bakterijos ir mikro-reaktoriai“, finansuojamas Lietuvos mokslo tarybos (Mokslinin-kų grupių projektai) lėšų (projekto Nr. S-MIP-17-98) ir LMTstipendija P-DAP-19-337.

Mokslinis vadovas – prof. dr. Romas Baronas (Vilniausuniversitetas, gamtos mokslai, informatika – N 009).

Gynimo taryba:

Pirmininkė – prof. dr. Olga Kurasova (Vilniausuniversitetas, gamtos mokslai, informatika – N 009).

Nariai:

prof. habil. dr. Gintautas Dzemyda (Vilniausuniversitetas, gamtos mokslai, informatika – N 009),

prof. dr. Dalius Navakauskas (Vilniaus Gedimino technikosuniversitetas, technologijos mokslai, informatikos inžinerija –T 007),

prof. habil. dr. Minvydas Ragulskis (Kauno technologijosuniversitetas, gamtos mokslai, informatika – N 009),

prof. dr. Tautgirdas Ruzgas (Malmės universitetas, Švedija,gamtos mokslai, biochemija – N 004).

Disertacija ginama viešame Gynimo tarybos posėdyje 2020 m.birželio mėn. 22 d. 10 val. Vilniaus universiteto Matematikosir informatikos fakulteto informatikos instituto 211 auditorijoje.Adresas: Didlaukio g. 47, LT-08303 Vilnius, Lietuva.Disertacijos santrauka išsiuntinėta 2020 m. gegužės 22 d.

Disertaciją galima peržiūrėti Vilniaus universitetobibliotekoje, Vilniaus universiteto interneto svetainėje adresu:www.vu.lt/lt/naujienos/ivykiu-kalendorius.

VILNIUS UNIVERSITY

LinasPETKEVIČIUS

Numerical and Symbolic Modelingof Reaction-Diffusion Processes inBioreactors

SUMMARY OF DOCTORAL DISSERTATION

Natural Sciences,Informatics N 009

VILNIUS 2020

This dissertation was written between 2015 and 2019 at VilniusUniversity. Doctoral dissertation preparation was partially fun-ded by the Research Council of Lithuania (Researcher groupsprojects Grant), project „Computational modelling of open bio-logical systems: bacteria grow and microreactors“(Grant No. S-MIP-17-98), and scholarship given by Research Council of Lithu-ania (No. P-DAP-19-337).

Academic supervisor: – Prof. Dr. Romas Baronas(Vilnius University, Natural sciences, Informatics – N 009).

Dissertation Defence Panel:

Chairman: – Prof. Dr. Olga Kurasova (Vilnius University,Natural Sciences, Informatics– N 009).

Members:

Prof. Habil. Dr. Gintautas Dzemyda (Vilnius University,Natural Sciences, Informatics – N 009),

Prof. Dr. Dalius Navakauskas (Vilnius Gediminas Techni-cal University, Technology Sciences, Informatics Engineering – T007),

Prof. Habil. Dr. Minvydas Ragulskis (Kaunas Universityof Technology, Natural Sciences, Informatics – N 009),

Prof. Dr. Tautgirdas Ruzgas (Malmo University, Sweden,Natural Sciences, Biochemistry – N 004).

The dissertation shall be defended at a public meeting of theDissertation Defence Panel at 10:00 a. m. on the 22nd of June,2020 in the auditorium 211 of the Institute of Computer Scienceof Vilnius University. Address: Didlaukio str. 47, LT-08303Vilnius, Lithuania. The text of this dissertation can be accessedat the Library of Vilnius University, as well as on the website ofVilnius University: www.vu.lt/lt/naujienos/ivykiu-kalendorius

Įvadas

Tiriamoji problema ir jos aktualumas

Cheminės reakcijos supa mus visus įvairiose gyvenimo situ-acijose. Vis dėlto medžiagos nepradeda sąveikauti viena su kitair cheminės reakcijos prasideda tik tada, jei visos būtinos sąlygosyra įvykdytos. Įvairių sričių, tarp jų chemijos, aplinkos, mais-to ir farmacijos, pramonei, norint paspartinti chemines reakcijas,reikia specialių medžiagų, vadinamų fermentais. Pats įgalinimo/ spartinimo procesas vadinamas katalizės procesu. Pastarai-siais metais pasirodė reikšmingų taikymų, pavyzdžiui, atrastasfermentas, skaidantis plastiką [40, 60]. Bioreaktoriai (specialiaplinka / įrenginys) atlieka svarbų fermentų panaudojimo vaid-menį, į save talpindami / įmobilizuodami fermentą [22, 48, 56].

Disertacijoje nagrinėjami bioreaktoriai, sudaryti iš mažų mik-robioreaktorių. Praktikoje jie naudojami, nes yra patikimi ir neb-rangūs, bei taikomi įvairiose chemijos, aplinkos, maisto ir farma-cijos pramonės šakose [22, 48, 56].

Mikroreaktoriais grįstos bioreaktorių sistemos pastaruoju me-tu taip pat sulaukė mokslininkų dėmesio – tiriamas tokių sistemųefektyvumas [10, 12, 13]. Vis dėlto mokslinėje literatūroje papras-tai nagrinėjami matematiniai modeliai gerokai supaprastinami –laikoma, jog reakcijos dalis yra tiesinė.

2015–2018 m. Vilniaus universiteto Gyvybės mokslų centreatlikti eksperimentai su mikrokatalizatoriais, kurių metu buvonaudojama nespecifinė gliukozės dehidrogenazė (GDH) ir deguo-nį redukuojanti lakazė (LAC) [42, 43]. Minėtų eksperimentų me-tu, pasitelkus laisvuosius elektronus, buvo sukonstruota tokia sis-tema, kuri per anglies / aukso nanovamzdelius sujungia skirtingas

1

nepriklausomas chemines reakcijas. Vienas pagrindinių diserta-cijos uždavinių – pasiūlyti matematinį modelį bei kompiuterinęmodelio realizaciją tokiai sistemai.

Tyrimo objektas, darbo tikslas ir uždaviniai

Šios disertacijos tyrimo objektas – matematiniai ir kompiute-riniai bioreaktorių cheminės kinetikos modeliai, aprašantys che-minę kinetiką bioreaktoriuose, grįstuose mikrobioreaktoriais.

Šio darbo tikslas yra tinkamai imituoti ir optimizuoti mikro-bioreaktoriais grįstas bioreaktorių sistemas, pasiūlant originaliustaikomuosius matematinius ir kompiuterinius modelius.

Tyrimo tikslui pasiekti keliami tokie uždaviniai:

1. Apibendrinti esamus bioreaktorių matematinius modelius.2. Pasiūlyti matematinį ir kompiuterinį mikrobioreaktorių,

kurių pagrindą sudaro anglies nanovamzdeliai, modelį.3. Pasiūlyti algoritmą, grįstą homotopijos perturbacijos meto-

du, apytiksliams analiziniams sprendimams rasti anksčiaunenagrinėtiems modeliams, įvertinti aproksimacijų tikslu-mą dviejų sluoksnių biokatalizės sistemose.

4. Sukurti skaitinį modelį daugiakriteriniam optimizavimo už-daviniui, kuris leidžia ieškoti optimalių bioreaktorių konfi-gūracijų.

5. Išanalizuoti atvirų ir uždarų bioreaktorių sistemas pasiūly-tais matematiniais ir skaitiniais modeliais.

Tyrimo metodaiDisertacijoje naudojame skaitinius metodus (baigtinių skir-

tumų metodas) iš matematinio modeliavimo teorijos, perturbaci-jos metodus iš aproksimacijos teorijos, lygiagretinimo analizę iš

2

lygiagretaus skaičiavimo teorijos, daugiatikslį optimizavimą ieš-kant Pareto fronto metodų iš optimizacijos teorijos.

Darbo naujumas ir praktinė jo vertėŠiame darbe aprašyto tyrimo rezultatai leidžia efektyviau

kurti bioreaktorius jų projektavimo stadijoje. Disertacijoje pa-teiktos substrato koncentracijos pasiskirstymo analizinės aproksi-macijos ribiniais atvejais. Analizinės aproksimacijos leidžia nag-rinėti sistemos savybes išreikštiniu pavidalu. Naudojant sukurtasprogramas galima modeliuoti mikrobioreaktorių veikimą, siste-mos laikinio efektyvumo ir išeigos faktorių priklausomybes nuoįvairių parametrų.

Dalis doktorantūros metu gautų rezultatų panaudoti įgyven-dinant projektą „Atvirų biologinių sistemų skaičiavimas: bakte-rijos auga ir mikroreaktoriai“, finansuotą dotacijos projekto Nr.S-MIP-17-98 (Lietuvos mokslo taryba, mokslininkų grupių pro-jektai). Mokslinis naujumas ir jo svarba:

1. Mikrobioreaktorių matematinis modelis, atsižvelgiantis įpapildomus mikrobioreaktoriaus sluoksnius ir pradines beikraštines sąlygas.

2. Mikroreaktoriaus su anglies nanovamzdeliais matematinismodelis.

3. Homotopijos perturbacijos metodo apribojimai ir pateiktosnaudojimo rekomendacijos.

4. Kompiuterinis modelis daugiakriteriniam optimizavimui ieš-kant optimalių mikrobioreaktorių konfigūracijų.

5. Išgautos naujos žinios apie bioreaktorių parametrus, su ku-riais didėja nagrinėtų sistemų laikinis efektyvumas.

3

Ginamieji teiginiai1. Pasiūlytas trijų sluoksnių matematinis modelis gali būti

sėkmingai taikomas modeliuojant cheminę kinetiką mikro-reaktoriuose su anglies nanovamzdeliais.

2. Prie didelio laiko uždaros sistemos bioreaktorių laikinisefektyvumo koeficientas artėja prie atviros sistemos laiki-nio efektyvumo koeficiento.

3. Analizinės aproksimacijos, gautos homotopijos perturbaci-jos metodu, ribiniams atvejams yra teisingos tik tada, jeimetodo „mažas“parametras patenka į konvergavimo sritį.Skirtingoms bioreaktoriaus konfigūracijoms būtinas skirtin-gas pradinis lygties ištiesinimas, norint gauti tikslias aprok-simacijas.

4. Bioreaktoriaus, grįsto nesąveikaujančiais mikrobioreakto-riais, cheminė kinetika gali būti sėkmingai modeliuojama,vienos dimensijos erdvėje nagrinėjant vienetinį mikrobiore-aktorių su išoriniu (difuzijos) sluoksniu.

Rezultatų aprobavimas

Trys straipsniai paskelbti žurnaluose su citavimo indeksu Cla-rivate Analytics Web of Knowledge duomenų bazėje (WoS) [A1],[A3], [A4], ketvirtasis rankraštis [A2] yra recenzavimo stadijoje,viena publikacija išleista periodiniame, recenzuojamame žurnale[A5]. Pagrindiniai disertacijos rezultatai, paskelbti mokslo žur-naluose, apima skaitinę modelių analizę bei simbolinius modeliųsprendimus ir analizę įvairiais pjūviais. Rezultatai taip pat pub-likuoti tarptautinių konferencijų darbuose [A6–A9].

4

1. Matematinis cheminės kinetikosbioreaktoriuose modeliavimas

1.1. Bioreaktoriai

Bioreaktorių pradžia yra laikoma 1944 metai, kai De Bezeir Lybmanas mielių gamybai panaudojo pirmąją didelę fermentųtalpyklą. 1950 m. Monodas, Novickis ir Šilardas sukūrė nuo-lat maišomą talpyklą – (bio)reaktorių koncepciją [38, 39]. Šikoncepcija tapo labai populiari ir iki šiol taikoma pramoniniuosetyrimuose.

Ilgą laiką medžiagos buvo maišomos reaktoriuose, taip ga-minant produktą. 1974 m. buvo pristatyti mikrobioreaktorių(granulių) pagrindu sukurti bioreaktoriai [58]. Nauja sistemasusidarė iš talpykloje patalpintų mikrobioreaktorių (dažniausiaikatalizatorių), kurie įgalina produkto gamybą. Nuolat maišomibioreaktoriai iki šiol atlieka svarbų vaidmenį, jie naudojami kine-tiniams tyrimams, lengvai galima tirti temperatūros, katalizato-riaus dalelių savybes ir kitų parametrų įtaką [58]. Prie nuolatiniomaišymo cheminiai procesai nusistovi, todėl įmanoma nagrinėtisupaprastintą cheminių reakcijų grandinę [2, 52]. Tokios siste-mos paprastai grindžiamos fermentais (pavienių arba daugelio),ląstelėmis (pvz., bakterijos), ląstelių organizmais arba audiniais[19].

1.1.1. Nuolat pildomi ir maišomi reaktoriai

Nuolat pildomų ir maišomų reaktorių kinetika kartais vadi-nama „juodosios dėžės“modeliu, nes visos reakcijos yra sujungia-mos į vieną bendrą reakciją [35]. Tipiškos lygtys, apibūdinančios„juodosios dėžės“modelius, yra labai panašios į fermentinę ki-

5

netiką. Tiek fermentinei, tiek šio reaktoriaus kinetikai būdingatai, kad vienoje reakcijoje dažnai yra vienas substratas ir vienasproduktas.

1.1.2. Nuolat maišomi uždari reaktoriai

Nuolat maišomi uždari reaktoriai nėra pildomi, jų pranašu-mas yra jų paprastumas ir universalumas [17]. Skirtingai neinuolat pildomuose bioreaktoriuose, nepildomuose nėra nuolat pa-pildoma substratu. Tokioje talpykloje nuolat maišant į sistemąneįleidžiamas naujas substratas, todėl ji žinoma kaip uždara sis-tema.

1.1.3. Mikrobioreaktoriai su anglies nanovamzdeliais

Neseniai atlikti eksperimentai pademonstravo mikroreakto-rių (dirbtinių katalizatorių) su anglies nanovamzdeliais koncep-ciją ir veikimą [42, 43]. Eksperimentuose sukonstruotos dirbtinės(gamtoje nesutinkamos) cheminės reakcijos, demonstruojančioslaisvųjų elektronų sujungimo mechanizmą. Nespecifinė gliukozėsdehidrogenazė (GDH) ir deguonį redukuojanti lakazė (LAC) bu-vo sujungtos per anglies nanovamzdelius arba aukso nanodaleles,cheminius procesus įgalinant laisvųjų elektronų pernašą. Sistemaparodė veiksmingą angliavandenių vertimą į produktą be tarpiniųmedžiagų.

Modeliuodami tokią sistemą atsižvelgiame į šias biochemines

6

reakcijas, vykstančias mikroreaktoriuje:

L + E1oxk1−→ P + E1red, (1)

E1redk2−→ E1ox + 2e−, (2)

E2ox + 4e− k3−→ E2red, (3)

E2red + O2k4−→ E2ox + 2H2O, (4)

čia L – laktozė, O2 – deguonis, H2O – vanduo, Ei,ox ir Ei,red

oksiduotos ir redukuotos fermentų formos Ei, i = 1, 2, E1 žymiGDH, E2 – LAC, P yra reakcijos produktas, k1 ir k4 yra fermentųreakcijų konstantos, o k2, k3 elektronų pernašos konstantos. Lai-kysime, jog abu katalizuojantys procesai (1)–(2) ir (3)–(4) vykstapagal Michaelio–Menten kinetiką.

Šiame darbe pasiūlytas tokios sistemos matematinis ir kom-piuterinis modelis. Kadangi tokia sistema nauja ir nebuvo tirta,laikinio efektyvumo tyrimas, taip pat proceso trukmės tyrimasnagrinėjamas disertacijoje. Pasiūlyto modelio rezultatai palygin-ti su eksperimentiniais duomenimis.

1.2. Matematinis modelis

Matematinis biocheminių procesų modeliavimas laikomas svar-biu ir naudingu įrankiu įvairių medžiagų ir procesų analizei, pro-jektavimui bei optimalių medžiagų paieškai, įskaitant fermentus,baltymus ir biokurą [26, 36, 44]. Kompiuterinis modeliavimo me-todas leidžia optimizuoti mikroreaktorių konfigūracijas, žymiaisutrumpinti jų kūrimo laiką ir kainą [36, 41, 55]. Nagrinėsi-me sferinį mikroreaktorių, įdėtą į talpyklą su tirpalu, talpinančiusubstratą. Fermentu pripildytame mikroreaktoriuje analizuosimefermentu katalizuojamą reakciją:

7

S E−→ P, (5)

čia substratas (S) jungiasi prie fermento (E) ir paverčiamas pro-duktu (P) [20, 22]. Šiame darbe mažosiomis raidėmis žymėsimedimensinius dydžius, pvz., koncentraciją s = s(r, t), o didžio-siomis – bedimensius dydžius. Pavyzdžiui, r0 – MR spindulys,atstumas nuo mikroreaktoriaus centro, metrais. Kvazistaciona-rumo atveju fermentų reakcijų kinetiką gerai aprašo Michaelio-Menten lygtis:

v(s) = Vmaxs

KM + s, (6)

čia s = s(r, t) substrato koncentracija, v – tūrinis reakcijos grei-tis yra funkcija nuo koncentracijos s, Vmax maksimalus fermentogreitis, KM Michaelio konstanta [27, 49].

1.2.1. Pagrindinės lygtys

Paprasčiausias koncentracijos pasiskirstymas mikrobioreakto-riuje yra modeliuojama antros eilės dalinių išvestinių lygtimis:

∂sm∂t

= Dm · 4sm + VmaxsmKM + sm

(7)

čia sm – substrato koncentracija mikrobioreaktoriuje, t – laikas,r – atstumas iki dalelės centro, Dm – medžiagos difuzijos koe-ficientas, KM – Michaelio konstanta ir 4 – Laplaso operatoriussferinėse koordinatėse. Mikroreaktoriaus sritis vienmačiu atvejuapibrėžiama intervale 0 < r < r0 [2].

Pirmoji diferencialinės lygties dalis nusako medžiagos difuzijąpagal antrą Fiko dėsnį [24]. Antroji lygties dalis nusako cheminęreakciją. Ši dalis reikalinga, jei cheminė medžiaga reaguoja kaipreagentas. Pradinėse sąlygose apibrėžiamos medžiagų koncentra-cijos mikroreaktoriaus viduje ir išorėje:

8

sm(r, 0) = f(r), r ∈ Ω, sm(r, 0) = g(r), r ∈ Γ, (8)

čia Ω – srities vidus, Γ – srities kraštas su žinomomis funkcijomisf ir g [5, 49]. Atvirose sistemose yra užrašoma taip:

sm(r, 0) = 0, 0 < r < r0, sm(r, 0) = s0, r = r0, (9)

t. y. substrato nėra dalelėse, o pastovi koncentracija tirpaleant dalelės krašto [2, 11]. Paprasčiausia kraštinė sąlyga, kaimedžiagos koncentracija yra pastovi ir laikui bėgant nesikeičias∣∣∣Γ

= const, dažnai sm(r0, t) = s0, t > 0.

1.2.2. Bedimensis modelisAnksčiau aprašyta sistema turi dimensinius matavimo viene-

tus. Praktikoje, ypač matematiniame formulavime, dažnai dėlpaprastumo nagrinėjami bedimensiai modeliai. Apibrėžkime be-dimensį modelį lygtims (7)-(9), kur dimensinis kintamasis r ir ne-žinoma koncentracija sm(r) yra keičiama į bedimensius dydžius:

R = r

r0, Sm = sm

KM, S0 = s0

KM, T = Dmt

r20, (10)

čia R – bedimensis atstumas iki centro, Sm(R) – bedimensė kon-centracija, S0 – bedimensė pradinė koncentraciija, T – bedimensislaikas. Pagrindinės lygtys (7) bedimensėje srityje (0 < R < 1)tampa:

∂Sm∂T

= 4Sm − σ2 Sm1 + Sm

, (11)

čia σ2 = VmaxR20/(KMDS,m) yra difuzijos modulis [25, 50, 56].

Difuzijos modulis σ2 palygina reakcijos greitį (Vmax/KM) su di-fuzija per fermentu pripildytą mikroreaktorių (DS, m/R

20). Jei

9

σ2 1, fermento kinetiką valdo reakcijos narys. Difuzija valdoprocesą, kai σ2 1. Kai KM s0, t. y. kai reakcija elgia-si tiesiškai koncentracijos atžvilgiu ir procesas yra nusistovėjęs∂Sm/∂T = 0, žinomas analizinis sprendinys:

S(R) = S0 sinh(σR)R sinh(σ) . (12)

1.3. Mikroreaktorių veikimo charakteristikosLaikinis efektyvumo faktorius apibūdina mikroreaktorių

difuzijos ir reakcijų sąveiką [8, 21]. Produktas / substratas turiprasiskverbti per išorinį difuzijos sluoksnį, per poras, kad prasi-dėtų reakcija, todėl tikrasis greitis gali būti apribotas difuzijosgreičio, kuriuo difuziniai reagentai pasiekia katalizatorių [57],

ηt = 3∫ r0

0 v(sm, s(r, t))r2drr3

0 v(s0, t). (13)

Laikinį efektyvumą nusistovėjus žymėsime ηo = limt→∞ ηt. Čiaηo dar žinomas kaip bendras laikinis efektyvumo koeficientas,randamas nusistovėjus procesui, η∗ – žymimas efektyvumo koe-ficientas, priklausantis nuo bedimensio laiko.

Proceso trukmė yra dar viena svarbi biotechnologinių pro-cesų savybė [28]. Biotechno- loginių procesų kūrėjai dažnai sie-kia kuo labiau sumažinti laiko sąnaudas [53]. Proceso laikas thir atitinkamas bedimensis laikas Th – tai laikas, reikalingas vi-sam substrato, bandymo pradžioje įpilto į reaktoriaus sistemą,fermentiniam virsmui į produktą,

th =t :∫ t

0

∫ r0

0v(sm(r, t)) r2 dr dt = (r3

1 − r30)s0

3

. (14)

10

1.4. Homotopijos perturbacijos metodas

Kai kurios netiesinės reakcijos-difuzijos lygtys gali būti ana-litiškai sprendžiamos taikant homotopijos perturbacijos metodą(HPM) [29, 32, 47].

Tarkime, turime netiesinę diferencialinę lygtį srityje Ω su ne-žinoma koncentracija S = S(r):

A(S) = f(b), b ∈ Ω, B(S, Sb) = 0, b ∈ ∂Ω, (15)

čia A – diferencialinis operatorius, f(b) – žinoma analitinė funk-cija, B – kraštinis operatorius, ∂Ω yra srities Ω kraštas. AtskyręA(S) į tiesinę L(S) ir netiesinę N(S) dalis, gauname:

A(S) = L(S) +N(S). (16)

Naudodami homotopijos apibrėžimą [30] sukonstruojame homo-topiją su parametru ε taip, kad būtų tenkinama sąlyga:

H(u, ε) = (1− ε) · [L(u)− L(uin)]︸ ︷︷ ︸tiesinė dalis

+ε · [A(u)− f(b)]︸ ︷︷ ︸sprendinys

= 0. (17)

Taigi tolygiai keičiant parametrą ε turėtų būti užtikrintas tolygusperėjimas nuo pradinio sprendinio prie lygties (15). Parametroε kitimas nuo 0 iki 1 daro įtaką S transformacijai iš uin(r) įu(r). Kai parametro ε > 0 reikšmė yra maža, jis dažnai lai-komas mažuoju parametru ir tada sprendinys, pagal klasikinęperturbavimo techniką, gali būti parašytas kaip ε laipsnių sekau = u(r) =

∑∞i=0 ui(r)εi. Kai vietoje ε įstatome vienetą (ε = 1),

turėtume gauti lygties sprendinį (15)

S(r) = S = limε→1

∞∑i=0

ui(r)εi =∞∑i=0

ui(r). (18)

11

Esant nedideliems netiesiškumams, eilutė u(r) konverguoja, otaškas ε = 1 yra konvergavimo srityje ir aproksimacija tinka.Skyriuje 3.2.2 parodysime, kad praktikoje aproksimacijos dažnaiyra nepriimtinos. Daugeliu atvejų rasti bendrą ui(r) formą yrasudėtinga, todėl autoriai dažnai pateikia Sk(r) =

∑ki=0 ui(r) va-

dinamą k – eilės HPM lygties artiniu (15).

1.5. Skaitinis modeliavimas

Nagrinėjame vienmatį, matematinį bioreaktoriaus modelį.Kintamieji r ir t yra apibrėžti srityje: Ωh = 0 6 r 6 r0, 0 6

t 6 T. Tolydi sritis Ω pakeičiama diskrečiu taškų rinkiniu Ωh.Viena iš paprasčiausių ir dažniausių realizacijų yra dviejų diskre-čių sričių diskretizavimas [6, 34]:

r = ih, i = 0, 1, ..., N,N = r0h, t = jτ, j = 0, 1, ...,M,M = T

τ.

Mazgai dalija sritį Ω į tolygius stačiakampius. Tų taškų rinkinystaip pat vadinamas tinkleliu, o sankirtos – mazgais. O h ir τ ati-tinkamai vaizduoja žingsnius erdvėje ir laike. Tinklelis ir mazgaisudaro atskirą rinkinį Ωh. Mazgai (i, j), kai i = 1, 2, .., N − 1ir j = 1, 2, ..,M , vadinami vidiniais mazgais. Kiekvienam vidi-niam mazgui sudaromos baigtinių skirtumų schemos lygtys, čiakraštiniai atvejai i = 0, N ir j = 0 turi tenkinti kraštines sąlygas.

Išreikštinė schema leidžia suformuluoti schemos lygtį tokiatvarka, kad kiekvienas vidinis taškas priklauso tik nuo ankstes-nių laiko verčių. Tokio tipo lygtys leidžia lengvai pritaikyti kraš-tines sąlygas. Po kiekvienos iteracijos nustatytu laiku t galimaapskaičiuoti kitą žingsnį t+ τ . Nors aiškus schemos skaičiavimoalgoritmas lengvai įgyvendinamas, tačiau siekiant sėkmingai nau-doti šią schemą būtina įvykdyti stabilumo sąlygą: τ 6 h2/(2D)

12

[6]. Ši sąlyga turi būti įvykdyta kiekvienai lygčių sistemai.

1.6. Kitų autorių tyrimai

Sferinių vieno ar dvisluoksnių mikroreaktorių matematiniaimodeliai nėra nauji [4, 22, 49, 54]. Vis dėlto substrato pasiskirs-tymas dažnai modeliuojamas laikant, jog reakcijos narys tiesinis[22, 33, 44]. Vienas iš šio darbo tikslų – išsamiai ištirti fizikiniųir kinetinių parametrų įtaką netiesinėms bioreaktorių sistemoms,kurios grįstos mikrobioreaktoriais.

Nuolat maišomų nepildomų bioreaktorių sistemos dažniausiailyginamos, kai koncentracijos dinamika pasiekia kvazistacionaru-mą – nusistovi. Vis dėlto, net ir tiesinės reakcijos nario atveju,yra stebima netiesinė laikinio efektyvumo dinamika [10, 12]. Vie-nas iš šio darbo tikslų realizuoti nepildomo bioreaktoriaus kom-piuterinį modelį ir ištirti laikinio efektyvumo dinamiką, kai re-akcijos narys netiesinis. Taip pat ištirti fizinių ir kinetinių para-metrų įtaką laikiniam bioreaktoriaus efektyvumui.

Neseniai buvo pasiūlyti dirbtiniai mikrokatalizatoriai, užtik-rinantys dvi reakcijas su laisvųjų elektronų pernaša [42, 43]. Eks-perimentų metu naudojama nespecifinė gliukozės dehidrogenazėir deguonis išsiskiria redukuojant laktozę – šie procesai įgalin-ti naudojant anglies nanovamzdelius. Vienas iš šio darbo tikslų– pasiūlyti mikrobioreaktoriaus matematinį modelį bei sukurtikompiuterinę modelio realizaciją tokiam nuolat maišomam ne-pildomam bioreaktoriui. Taip pat ištirti fizikinių ir kinetinių pa-rametrų įtaką laikiniam bioreaktoriaus efektyvumui.

13

2. Mikroreaktorių dalelėmis grįstų bioreaktoriųmatematiniai modeliai

Šiame skyriuje nagrinėjami trys matematiniai mikrobioreak-torių modeliai. Pirmųjų dviejų modelių analizė aprašyta pub-likacijose [A1, A3]. Siūlomas mikrobioreaktorių, pagrįstų ang-lies nanovamzdeliais, matematinis modelis pateiktas rankraštyje[A2].

2.1. Nuolat pildomo ir maišomo reaktoriaus modelis2.1.1. Pagrindinės lygtys

Darant prielaidą, kad mikroreaktoriai yra sferinės dalelės iryra simetriškos, galima srities homogenizacija imobilizuoto fer-mento pasiskirstymo mikrobioreaktoriaus viduje. Tada substratokoncentraciją galima modeliuoti vienmatėje erdvėje (0 < r < r0,t > 0),

∂sm∂t

= Dm∆sm − v(sm), (19)

čia sm = sm(r, t) – koncentracija mikroreaktoriaus viduje, ∆ –Laplaso operatorius, r0 – mikroreaktoriaus spindulys, Dm – difu-zijos koeficientas mikroreaktoriuje [7, 49]. Daroma prielaida, kadtirpalas nuolat maišomas, ir taikoma Nernsto sluoksnio prielaida(plonas sferinis apvalkalas, esantis šalia MR paviršiaus). Subst-rato koncentracija aprašoma (r0 < r < r1, t > 0),

∂sd∂t

= Dd∆sd, (20)

čia sd = sd(r, t) – koncentracija difuziniame apvalkale, Dd –difuzijos koeficientas apvalkale, h = r1 − r0 – apvalkalo sto-ris [7, 15, 56].

14

2.1.2. Pradinės ir kraštinės sąlygos

Laikoma, jog pradžioje (t = 0) mikroreaktoriaus viduje kon-centracija yra pasiskirsčiusi tolygiai:

sm(r, 0) = 0, 0 ≤ r ≤ r0. (21)

Reakcija prasideda, kai mikroreaktorius įpilamas į indą, ku-riame yra šiek tiek substrato, kuris pasiskirstęs tolygiai už mik-roreaktoriaus ribų,

sd(r, 0) = s0, r0 ≤ r ≤ r1, (22)

čia s0 – pagrindinė substrato koncentracija tirpale. Dėl simetri-jos sferinio mikroreaktoriaus centrui nustatoma tolygaus srautosąlyga (t > 0),

Dm∂sm∂r

∣∣∣r=0

= 0. (23)

Dėl maišymo ir sistemos atvirumo substrato koncentracija tirpaleišlieka pastovi visais laiko momentais (t > 0) [18, 21, 45],

sd(r1, t) = s0. (24)

Pasiskirstymo koeficientas φ naudojamas nustatyti trūkį tarpdviejų gretimų regionų (t > 0),

Dm∂sm∂r

∣∣∣r=r0

= Dd∂sd∂r

∣∣∣r=r0

, sm(r0, t) = φsd(r0, t). (25)

Pasiskirstymo koeficientas φ yra mažesnis už vienetą, nes vi-dutinė substrato koncentracija mikroreaktoriuje neviršija kon-centracijos tirpale [16, 54]. Laikysime, kad sistema nusisto-vi, kai t → ∞, t. y. sm, s(r) = limt→∞ sm(r, t), sd,s(r) =limt→∞ sd(r, t).

15

2.2. Nuolat maišomo uždaro reaktoriaus modelis2.2.1. Pagrindinės lygtys

Uždaros sistemos atveju lygtys mikroreaktoriuje ir apvalka-le išlieka tokios pat, skiriasi tik tirpalo kraštinės sąlygos. Dėlintensyvaus tirpalo maišymo laikoma, kad substratas pasiskirstotolygiai difuzijos apvalkalo išorėje, o jo koncentracija priklausotik nuo laiko [21, 45]. Tada greitis, kuriuo substratas paliekamikroreaktorių 4π(r3

2−r31)/3, visada lygus greičiui, kuriuo jis pa-

tenka į difuzijos apvalkalą per srities paviršių, kurio plotas 4πr21,

dsbdt = −1

qDd

∂sd∂r

∣∣∣r=r1

, t > 0, (26)

čia sb(t) – substrato koncentracija tirpale (konvekcinis apval-kalas, r1 ≤ r ≤ r2), q yra konvekcinio gaubto tūrio santykis(r1 ≤ r ≤ r2) į difuzinio apvalkalo išorinio paviršiaus plotą(r = r1), q = 4π(r3

2 − r31)/3/(4πr2

1) = (r32 − r3

1)/(3r21). Reikš-

mė 1/q gali būti laikoma absorbavimo koeficientu [10, 11]. Čiah2 = r2 − r1 – konvekcinio apvalkalo storis.

2.3. Mikrobioreaktorius su anglies nanovamzdeliaisNagrinėkime vienodų sferinių mikroreaktorių, esančių tirpa-

le, kuriame yra laktozės ir deguonies, modelį. Jei VS yra visostalpyklos tūris, kurioje yra N identiški sferiniai R0 spindulio mik-roreaktoriai, tūris lygus VS/N , o spindulys R lygus 3

√3V/(4Nπ).

Nagrinėjamuose eksperimentuose VS = 2, 4 cm3, R0 = 0, 25 mm,N = 981 ir R ≈ 0, 84 mm. Realiuose eksperimentuose porėtimikroreaktoriai buvo paruošti iš silicio dioksido ir užpildyti bien-zymu. Turint bendrą mikroreaktorių tankį ρr ir silicio dioksi-do tankį ρc, poringumas gali būti apskaičiuojamas taip [3, 59]:φ = 1− ρr/ρc. Mūsų atveju ρr = 0, 96 g/cm3, ρc = 2, 2 g/cm3 irφ ≈ 0, 56.

16

2.3.1. Pagrindinės lygtysDarant prielaidą, kad abu fermentų katalizavimo procesai

(1)–(2) ir (3)–(4) vyksta pagal Michaelio–Menten kinetiką, ga-lima užrašyti 0 < r < R0, t > 0:

V1 = V1(Lm) = VLLmKL + Lm

, V2 = V2(Om) = VOOmKO +Om

, (27)

čia Lm(r, t) ir Om(r, t) – laktozės ir deguonies koncentracijos mik-robioreaktoriuje, VL = 2k2E10 ir VO = 4k3E20 – fermentų greičiai,KL = 2k2/k1 ir KO = 4k3/k4 – Michaelio konstantos, E10 ir E20

– fermento koncentracijos. Kvazistacionarios būklės tūrinės reak-cijos greitis V gali būti išreikštas laktozės ir deguonies funkcija,

V = V (Lm, Om) = 2V1V2V1 + 2V2

. (28)

Atsižvelgiant į (28) reakcijas, gaunamos šios reakcijos-difuzijoslygtys (0 < r < R0, t > 0) [3]:

∂Lm∂t

= DL, m∆Lm − V,∂Pm∂t

= DP, m∆Pm + V,

∂Om∂t

= DO, m∆Om −V

2 , (29)

čia Pm(r, t) produkto koncentracija, DL,m, DP,m ir DO,m atitin-kami difuzijos koeficientai [14, 51].

Jokios fermentinės ir ET reakcijos nevyksta už MR ribų (R0 <

r < R). Darydami prielaidą, kad tirpalas nuolat maišomas, irtaikydami Nernsto apvalkalo sluoksnio prielaidą, turime (R0 <

r < R1, t > 0),

∂Cd∂t

= DC, d∆Cd, C = L,P,O, (30)

17

čia Ld(r, t), Pd(r, t) ir Od(r, t) laktozės, produkto ir deguonieskoncentracijos mikrobioreaktoriuje, R1 −R0 yra Nernsto sluoks-nio storis. Toliau nuo difuzijos apvalkalo tirpalas maišomas irvisų tirpių rūšių koncentracijos yra vienodos apvalkalo išorėje irpriklauso tik nuo laiko [12, 46]. Tirpalo tūris, iš kurio substratasper laiko vienetą patenka į talpyklą, kurios tūris 4π(R3 −R3

1)/3,visada lygus tam, kuriuo jis palieka difuzijos apvalkalą per sritiespaviršių 4πR2

1,

dCbdt = −1

qDC,d

∂Cd∂r

∣∣∣r=R1

, C = L,P,O, (31)

čia Lb(t), Pb(t) ir Ob(t) yra laktozės, reakcijos produkto irdeguonies koncentracijos tūrio masėje (R1 ≤ r ≤ R), q =4π(R3 −R3

1)/(12πR21) = R3 −R3

1/(3R21). Vertė 1/q taip pat gali

būti laikoma absorbcijos koeficientu [10, 11].

2.3.2. Pradinės sąlygosLaikysime, kad iš pradžių ištirpęs deguonis tolygiai pasiskirs-

to MR, o jame nėra laktozės ir išskaidyto produkto (0 ≤ r ≤ R0),

Lm(r, 0) = 0, Pm(r, 0) = 0, Om(r, 0) = φO0, (32)

čia O0 – deguonies koncentracija, o φ – pasiskirstymo koeficien-tas [31, 54], dar žinomas kaip porėtumo koeficientas [14, 61]. Re-akcija prasideda, kai laktozė pilama į tirpalą, kuriame yra mikro-reaktorius. Laikoma, jog visi tirpūs junginiai pasiskirsto tolygiaiir už mikroreaktoriaus ribų:

Ld(r, 0) = 0, Pd(r, 0) = 0, Od(r, 0) = O0, R0 ≤ r ≤ R1,

Lb(0) = L0, Pb(0) = 0, Ob(0) = O0.

(33)

18

2.3.3. Kraštinės sąlygosDėl simetrijos MR centre yra apibrėžtos nulinio srauto kraš-

tinės sąlygos (r = 0, t > 0),

DC, m∂Cm∂r

∣∣∣r=0

= 0, C = L,P,O. (34)

Dėl išorinės ir vidinės difuzijos srautas per difuzijos apvalkalą tu-ri būti lygus srautui, patenkančiam į mikroreaktoriaus paviršių.Pasiskirstymo koeficientas φ yra naudojamas apibūdinti jungi-nių koncentracijos pasiskirstymą tarp dviejų sričių (t > 0, C =L,P,O),

DC, m∂Cm∂r

∣∣∣r=R0

= DC, d∂Cd∂r

∣∣∣r=R0

, Cm(R0, t) = φCd(R0, t).(35)

Visoms medžiagoms buvo taikomas tas pats pasiskirstymo koe-ficientas φ [31, 54]. Srityje tarp difuzijos ir konvekcinių sričių(r = R1) reikalingas koncentracijų tolygumas (t > 0),

Cd(R1, t) = Cb(t), C = L,P,O. (36)

Ribinės sąlygos (36) ir pagrindinės lygtys (31) būdingos tikuždaroms sistemoms [A1].

3. Simbolinis ir skaitinis modeliavimas

Šiame skyriuje pateikiami matematinių modelių analiziniaisprendiniai ribiniais atvejais, analizinės aproksimacijos, skaitinissprendimas, skaičiavimų lygiagretinimas bei formuluotė daugia-kriteriniam optimizavimui. Skyriaus rezultatai yra publikuoti[A3,A4,A6].

19

3.1. Analiziniai sprendiniaiNagrinėkime atvirą nuolat pildomo ir maišomo reaktoriaus

modelį, apibrėžtą skyriuje 2.1, ribiniu atveju, procesui nusisto-vėjus, t. y. prie didelio laiko. Tokiu atveju kai kurie analiziniaisprendiniai prie šių sąlygų gali būti rasti analiziškai.

3.1.1. Pirmos eilės analizinis sprendinys

Prie mažų substrato koncentracijų (s0 KM) Michaelio-Menten kinetika artėja prie pirmos eilės kinetikos, v(sm) ≈Vmaxsm/KM. Darant nusistovėjimo prielaidą, lygtis (19) tampaDm∂/∂r

(r2∂sm, s/∂r

)= r2Vmaxsm, s/KM. Tokia lygtis su kraš-

tinėmis ir pradinėmis sąlygomis yra sprendžiama ir gaunamasanalizinis sprendinys [A3] 0 ≤ r ≤ r0:

sm, s(r) = φs0r1r× θr0 sinh(σr/r0)θr1 sinh σ + φ(r1 − r0)(σ cosh σ − sinh σ) ,

(37)

bei srityje r0 ≤ r ≤ r1:

sd, s(r) = s0r1r× θr sinh σ + φ(r − r0)(σ cosh σ − sinh σ)θr1 sinh σ + φ(r1 − r0)(σ cosh σ − sinh σ) .

(38)

Analizinės laikinio efektyvumo išraiškos taip pat gali būti iš-skaičiuotos turint analizinę išraišką,

η = 3σ2 (σ coth σ − 1), (39)

čia β = θr1/(r1 − r0) = Dd(r0 + h)/(Dmh).

20

3.1.2. Nulinės eilės analizinis sprendinys

Prie didelių koncentracijų (s0 KM) Michaelio-Menten ki-netika artėja prie nulinės eilės kinetikos v(sm) ≈ Vmax. Ta-da pagrindinės lygtys (19) koncentracijai nusistovint artėja prieDm

∂∂r

(r2 ∂sm, s

∂r

)= Vmax r

2. Lygčių (3.1.2) su kraštinėmis sąlygo-mis analizinis sprendinys gaunamas:

sm, s(r) = φs0 −Vmax6Dm

(r2

0 − r2 + 2φr20

β

), (40)

sd, s(r) = s0 −Vmaxr

30

3Dd

(1r− 1r1

). (41)

3.2. Analizinės aproksimacijos homotopijos perturbacijosmetodu

3.2.1. Analizinės aproksimacijosModelį (19) taip pat nagrinėjo Radžendranas ir kiti [23, 37],

kurie siūlė naudoti mažą parametrą ε ir pateikė pirmosios ei-lės apytikslius sprendinius. Panagrinėkime nežinomą koncent-raciją S(r), išreikštą per mažą parametrą [9] S(r, ε) = S0(r) +∑∞n=1 Sn(r)εn. Kai ε = 0, turime pradinį paprastesnės lygties

sprendinį, kai ε = 1, gauname tikrą sprendinį. Problemos yradvi: pirma – mažo parametro reikšmė 1 ne visada patenka į kon-vergavimo sritį, antra – dažniausiai dėl sudėtingos skaičiavimoprocedūros pateikiama k-tosios eilės analizinė aproksimacija, one galutinis sprendinys.

Srityje 0 < r < 1 įvedame mažą parametrą ε [9]. Pademonst-ruosime, jog aproksimacijai didžiulę įtaką turi pradinis lygtiesištiesinimas. Panagrinėkime skirtingus modelius:(

S′′(r) + 2rS′(r)

)− ε σ

2S(r)1 + S(r)

= 0, (M1)

21

(S′′(r) + 2

rS′(r)

)(1 + S(r)

)− εσ2S(r) = 0, (M2)

S′′(r) + 2rS′(r)− σ2S(r) + Sε(r)

(S′′(r) + 2

rS′(r)

)= 0, (M3)

(S′′(r) + 2

rS′(r)

)− σ2 + ε

σ2

1 + S(r)= 0, (M4)

(S′′(r) + 2

rS′(r)

)(1 + εS(r)

)− σ2S(r) = 0. (M5)

Nors mažo parametro įvedimas į lygtis (M2) ir (M5) yra apra-šytas mokslinėje literatūroje [23, 37], tačiau modeliai (M1), (M3)dar nėra analizuoti.

Išsprendę modelius homotopijos perturbacijos metodu (M1),gauname analizines aproksimacijas:

SM1, n(r) =

n∑i=0

Cir2i, 0 < r < 1,

Cn+1 + Cn+21r, 1 < r < 1 + ν.

(42)

Analogiškai modeliai (M2) – (M5) turi išraiškas:

22

SM2, 0(r) =

φS0,

S0,(43)

SM2, 1(r) =

σ2φS0

((1 + ν)γr2 − 2(1 + ν)φ− (1 + ν)γ + 2φ

)/(

6γ(1 + ν)(φS0 + 1)),

−σ2φS0((1 + ν)− r)/(3γ(1 + ν)(φS0 + 1)r),

(44)

SM3, 0(r) =

C1 sinh((1/2)

√2r)

r,

C2 + C3r,

(45)

SM4, 0(r) =

((1+ν)γr2σ2+6(1+ν)γS0+2σ2)

(6γ(1+ν)) ,

C5 + C6r,

(46)

SM5, 0(r) =

C4 sinh(σ2r)

r,

C7 + C8r.

(47)

konstantos Ci, i = 1, . . . , 8 randamos sprendžiant kraštines są-lygas. Konstantos tekste nepateiktos dėl didžiulių jų išraiškų.Nagrinėkime (M1) n-tosios eilės sprendinį srityje 0 < r < 1 ieš-kodami sprendinio pavidalu:

SmM6(r) =m∑n=0

anr2n. (M6)

Randame narių an išraiškas:

an = 1n!

a0εn∑n

i=0 biai0∑2n+1

j=0(2n+1

j

)aj0. (48)

23

Išsprendę lygtį su kraštinėmis sąlygomis randame:

a0 = φS0 −16σ

2φS02(1 + ν)φ+ (1 + ν)γ − 2φ

(1 + ν)γ(φS0 + 1),

a1 = 16 ·

εa01 + a0

, a2 = 1120 ·

ε2a0a3

0 + 3a20 + 3a0 + 1

, ..

3.2.2. Analizinės aproksimacijos

Nagrinėdami artinių radimą homotopijos perturbacijos meto-du (19)–(25) modeliui gauname analizinę aproksimaciją [A3]:

sm, s(r) ≈ sm, H(r) = s0φ−Pσ2φs0

2

(1− r2

r20

+ 2φβ

(49)

+ 3P 2σ2

20

(8 φβ

(1 + 5φ

β

)− 3(

1− r4

r40

)+ 10

(1 + 2φ

β

)(1− r2

r20

))),

sd, s(r) ≈ sd, H(r) = s0 −Pσ2φs0r0

θ

(1r− 1r1

)(1 + 3P 2σ2

5

(1 + 5 φ

β

)),

(50)

čia P = KM/(3(φs0+KM)) = 1/(3(φS0+1)) . Nors išraiška (49)-(50) sudėtinga, jos analizinė aproksimacija veikia gerai, tačiautikrai ne visur. 1 lentelėje pateikiamos koncentracijos reikšmėstaškuose R = 0 ir R = 1. Absoliutinė procentinė paklaida žy-mima e(R) = (|Sm, s(R)− Sm, H(R)|/Sm, s(R))× 100%, čia Sm, s

koncentracija paskaičiuota skaitiniais metodais, Sm, H koncentra-cijos reikšmė analizinės aproksimacijos.

HPM gautos substrato koncentracijos analizinės aproksima-cijos yra pakankamai tikslios tada, kai fermento kinetika valdoMR veikimą. Kitaip tariant, kai σ < 1, bei nėra neatsižvelgiamaį Biot skaičių β ir substrato koncentraciją S0. Analizinė aprok-

24

1 lentelė: Koncentracijos reikšmės suskaičiuotos skaitiniais metodais irhomotopijos perturbacijos metodu

S0 β σ2 Sm, s(0) Sm, H(0) e(0)10 10 0,1 4,99 4,98 0,130,1 10 0,1 0,05 0,05 0,7210 0,1 0,1 4,94 4,85 1,850,1 0,1 0,1 0,05 0,04 8,751 1 1 0,45 0,40 10,4110 10 10 4,13 3,53 14,560,1 10 10 0,02 0,06 22310 0,1 10 0,95 -2,90 4060,1 0,1 10 0,00 12,94 366162

simacija yra praktiškai bevertė, kai MR veikia difuzijos valdymobūdu, ypač esant žemoms β reikšmėms.

3.2.3. Analizinių sprendinių palyginimas

Kai randame apytikslį analizinį sprendinį S∗(r), norėtumegauti jo skaitinį tinkamumą. Panagrinėkime kvadratinės paklai-dos funkciją E :

E = E(S∗)

=∫ 1

0

(D∗(r)∆S∗(r)− a∗(r) σ

2S∗(r)1 + S∗(r)

)2dr. (51)

Kadangi žinome, jog nagrinėjamas operatorius A(S)− f(b) = 0vienmatis, galime nagrinėti kvadratinę paklaidą integruodamiper visą dominančią sritį. Nuostolių funkcija E priklauso netik nuo sistemos kintamojo, bet ir nuo sistemos hiperparamet-rų E(S0, φ, ν, γ, σ

2), ir, jei mes nustatome sistemos parametrųsritį, tada galime sužinoti bendrą aproksimacijos paklaidą, kuriągalima apskaičiuoti taip:

25

ET = ET (S∗, φ, ν, γ, σ2) (52)

=∫ S0,v

0

∫ φv

0

∫ νv

0

∫ γv

0

∫ σ2v

0Edνdγdσ2dφdS0.

Fiksuokime prasmingus bioreaktoriaus sistemos parametrus S0,v =10, φv = 1, νv = 1, γv = 10, σ2

v = 10. Nagrinėjamų modelių (M1)– (M6) paklaida pateikta 2 ir 3 lentelėje. Atvejai ’-’ rodo, jog dėleksponentiškai augančių skaičiavimų resursų ir didelių analiziniųišraiškų nebuvo galima jų apskaičiuoti.

2 lentelė: Paklaidos ET analizinių išraiškų, gautų iš modelių (M1) –(M6) .

0-eilės 1-eilės 2-eilės(M1) 3, 7× 104 3,8× 103 8, 12× 102

(M2) 3, 7× 104 3,8× 103 –(M3) 3, 2× 105 – –(M4) 3, 3× 103 8, 8× 105 –(M5) 2,24× 102 – –(M6) 7, 9× 104 2, 1× 104 2,7× 102

Iš 2 lentelės galima pastebėti, kad skirtingų modelių klaidosgali skirtis net keliomis eilėmis. Pirmiausia verta paminėti, kadmodeliai (M3) ir (M4) veikia ženkliai prasčiau. Jei pažvelgtume įmodelį (M5), paklaida būtų mažiausia pirmosios eilės analizinėsaproksimacijos. Vis dėlto šis modelis yra labai sudėtingas. Ki-ta vertus, modelis (M6) turi bendrą aproksimacijos formą (48),kuria galima apskaičiuoti k-osios eilės apytikslius narius.

Iš 3 lentelės matyti, kad, kai turime fiksuotus sistemos para-metrus S0, φ, ν, γ, σ

2, paklaida E reikšmingai skiriasi. Skirtingaiįvedus nedidelį parametrą ε, nulinės ar pirmosios eilės aproksi-macijos paklaidų eilė gali būti skirtingo dydžio. Pirma, pažvelgęį (M3) ir (M4) modelius, pamatėme, kad nulinės eilutės aproksi-

26

3 lentelė: Analizinių aproksimacijų (M1) – (M6) paklaidos prie fiksuotųparametrų: S0 = 100, φ = 0.5, σ2 = γ = ν = 1

0-eilės 1-eilės 2-eilės(M1) 9, 6× 10−1 2, 12× 10−9 5× 10−10

(M2) 9, 6× 10−1 2, 12× 10−9 1,6× 10−14

(M3) 4, 4× 102 1, 59× 102 –(M4) 9,7× 10−5 9, 7× 10−1 –(M5) 1, 46× 103 – –(M6) 9, 6× 10−1 1× 10−9 4× 10−10

macija veikia gerai, o pirmosios eilės aproksimacija pateikia blo-gesnius rezultatus. Toks elgesys suponuoja, jog mažo parametroε reikšmė „vienas“nepatenka į konvergavimo sritį.

3.3. Lygiagretinimas

Disertacijoje atliktiems skaičiavimams pasitelktas R paketasskaičiavimams vizualizuoti ir lygiagretinti. Šiame darbe mesnaudojame plačiai paplitusį R paketą parallel , nors yra irkitų alternatyvų, tokių kaip foreach ir doParallel (dok-torantūros metu autorius naudojo R versijas 3.2–3.4.4). Pag-rindinė lygiagretaus skaičiavimo paketo parallel funkcija yramclapply, ji atlieka tą patį funkcionalumą kaip lapply, bet skai-čiavimai yra lygiagretinami. Tyrėjams metodas lapply lei-džia atlikti tam tikras funkcijas f(.) su nurodytais argumen-tais arba parametrų sąrašu p = (p1, p2, ..., pN ) ir sukuria sąra-šą y = (f(p1), f(p2), ..., f(pN )). Natūralu, kad jei parametrai pnusakomi kaip nepriklausomos užduotys, jos lengvai lygiagretina-mos. Skaitinės schemos buvo realizuotos C++ kalba ir vykdomoslygiagrečiai R kalboje.

27

3.4. Formuluotė optimalių konfigūracijų paieškai

Jei norėtume rasti pageidaujamas mikroreaktorių konfigūra-cijas, turinčias tam tikrų savybių, ar norėtume rasti nežinomussistemos parametrus, turėtume išspręsti optimizavimo uždavinį.Kadangi yra keletas sistemos hiperparametrų, turėtume daugia-kriterinį optimizavimo uždavinį [62]. Suformuluokime daugiakri-terinio optimizavimo uždavinį bioreaktoriui optimizuoti.

3.4.1. Trijų tikslų optimizavimas

Nagrinėjame biokatalitinį mikroreaktorių, aprašytą 2.2 sky-riuje. Į MR pripildyto fermento koncentracija yra lygi e0, o mik-roreaktoriaus tūris lygus (Vr = 4πr03/3). Norint turėti fermen-to koncentracijos išraišką, dekomponuosime maksimalų reakcijosgreitį Vmax = kcate0, čia kcat yra reakcijos greitis. Visas panaudo-to fermento kiekis yra e0VrN , čia N yra mikroreaktorių skaičius.Suformuluosime daugiakriterinio optimizavimo uždavinį su tri-mis tikslo funkcijomis,

ϕ1(r0, e0, s0, r2) = t0,9 = t : sb(t) = 0, 1s0,

ϕ2(r0, s0, r2) = 0, 9s0r3

2 − (r0 + h1)3

r32

, (53)

ϕ3(r0, r0, r2) = e0r30

r32,

čia ϕ1(·) reiškia darbo laiką t0,9, reikalingą sunaudoti 90 % pra-dinio substrato kiekio [A1], ϕ2(·) – substrato tūrio vienetas, rei-kalingas pagaminti produktui, o ϕ3(·) – bendras fermento kiekis,sunaudotas reaktoriaus tūrio vienete. Pirmasis ir trečiasis tikslaiturėtų būti kuo mažesni, o antrasis – maksimalus.

Kintamųjų intervalai pateikti 4 lentelėje. Darant prielaidą,kad reaktorius labai maišomas, jo storis h1 nekinta [A1, A3]. Ta-

28

4 lentelė: Optimizavimo kintamieji x = (r0, h2, e0, s0)T bioreaktoriuioptimizuoti

Kintamasis Aprašymas Intervalas Vienetair0 MR spindulys [10−4, 10−3] mh2 Apvalkalo sluoksnis [10−4, 10−3] me0 Fermento koncentracija [10−8, 10−4] Ms0 Substrato koncentracija [10−5, 10−1] M

da spindulys r2 gali būti išreikštas per (nepriklausomus) spren-dimo kintamuosius r0, h2 ir h1 taip: r2 = r0 + h1 + h2.

Nagrinėjama optimizavimo problema yra daugiakriterinis op-timizavimas su trijų tikslų (54) optimizavimu. Kintamieji pa-teikti 4 lentelėje. Dėl patogesnio normalizavimo pereisime prielogaritminės skalės, kuri palengvina nagrinėjamų sričių tinkamąpadalijimą. Tada kintamieji keičiami:

x = (x1, .., x4)T , x1 = lg r0, x2 = lg e0, x3 = lg s0, x4 = lg h2 ,ir sritimi

A = x : −4 6 x1, x4 6 −3,−8 6 x2 6 −4,−5 6 x3 6 −1.(54)

Detalesnis formulavimas, įskaitant ir dvitikslę optimizaciją,yra pateiktas publikacijoje [A4].

4. Kompiuterinio modeliavimo taikymasbioreaktorių savybių tyrimui

Kompiuterinio modeliavimo rezultatai ir bioreaktorių sąvybiųtyrimai pateikti publikacijose [A1-A3, A5-A9].

29

4.1. Nuolat pildomo ir maišomo reaktoriaus savybės

Atliekant visus kompiuterinio modeliavimo eksperimentus,šios modelio parametrų vertės buvo laikomos pastoviomis: [1,20, 22],

Dd = 600µm2/s, Dm = 200µm2/s,

KM = 100µM, r0 = 250µm, φ = 0, 6. (55)

Daugelyje skaitinių eksperimentų, atliktų šiame darbe, laikasth buvo žymiai didesnis nei nusistovėjimo laikas tss (kvazis-tacionarumas). Pasiekus koncentracijos nusistovėjimo būseną,substrato koncentracija sm(r, t), taip pat fermento reakcijos grei-tis v(sm(r, t)) laikui bėgant praktiškai nesikeičia, v(sm(r, t)) =v(sm, s(r)) kai t > tss.

4.1.1. Skaičiavimų eiga

Ištirta vidinės ir išorinės masės mainų įtaka mikroreaktoriųefektyvumui, taip pat substrato sunaudojimo trukmei. Mikro-reaktoriaus veiksmas tiriamas prie skirtingų modelio parametrųreikšmių. Kaip pagrindinis MR efektyvumo rodiklis naudojamasbendras efektyvumo koeficientas ηo, o proceso trukmės matas –bedimensis laikas Th.

4.1.2. Įtaka proceso efektyvumui

Apskaičiuotas faktorius ηo skirtingoms difuzijos modulio σ,Biot skaičiaus β reikšmėms bei prie skirtingos S0 koncentracijos.1c paveikslėlis rodo koeficiento kitimą ηo, priklausomybę nuo σir β. 1c paveikslėlyje galima pastebėti, jog bendras efektyvumokoeficientas ηo didėja mažėjant difuzijos moduliui σ ir artėja priepastovios reikšmės, kuri beveik nekinta visoms Biot skaičiaus β

30

reikšmėms.

Esant mažai substrato koncentracijai (S0 1) ir mažomsreikšmėms σ, turime, jog coth(σ) ≈ (1/σ + σ/3), o koeficientasηo artėja prie φ visoms galimoms β reikšmėms, t. y. ηo ≈ φ,kai S0 1 ir σ < 1. 1c paveikslėlis parodo, jog ηo artėjaprie maksimumo, kuris yra šiek tiek didesnis nei φ, ηo reikšmė0, 75 > φ = 0, 6. Taip yra dėl mažos substrato koncentracijos(S0 = 1). 1a paveikslėlis rodo ηo kitimą nuo koncentracijos S0

ir difuzijos modulio σ prie Biot skaičiaus reikšmės β = 10, o 1bpaveikslėlis rodo ηo kitimą nuo S0 ir β prie σ = 1.

S0

0.010.1

110

100

σ

0.1

1

10

100

η 0

0.1

0.40.60.81

a)β

1

10

100

S0

0.010.1

110

100

η 0

0.50.60.70.80.91.0

b)

1 pav.: Laikinio efektyvumo ηo priklausomybė nuo bedimensės kon-centracijos S0 keičiant difuzijos modulį σ (a), ir Biot skaičių β (b) beikeičiant σ ir Biot skaičių β (c)

1 paveikslėlis rodo, jog mikroreaktoriaus efektyvumą galimažymiai pagerinti padidinant substrato koncentraciją (S0), taippat sumažinant difuzijos modulį σ, t. y. sumažinant daleliųdifuzijos pasipriešinimą. Efektyvumą taip pat galima šiek tiek

31

pagerinti didinant Biot skaičių β, t. y. mažinant išorinę difuzijosvaržą.

4.1.3. Įtaka proceso trukmei

Norint nustatyti difuzijos apribojimų ir pradinės substratokoncentracijos įtaką proceso trukmei, buvo imituotas mikroreak-toriaus veikimas ir apskaičiuotas bedimensis laikas Th keičiantdifuzijos modulio σ, Biot skaičiaus β ir bedimensės koncentraci-jos S0 reikšmes. 2c paveikslėlyje parodytos apskaičiuotos laikovertės Th, priklausomai nuo σ ir β, esant bedimensei koncentra-cijai S0 = 1. Th priklausomybė nuo substrato koncentracijos yraparodyta 2c. Kaip galima pastebėti 2c paveikslėlyje, laikas Th

didėja mažėjant tiek difuzijos moduliui σ, tiek Biot skaičiui β.2a paveikslėlyje parodytas laikas Th, keičiant difuzijos modulio σties, β = 10, o 1b paveikslėlis rodo Th, priklausomybę nuo S0 irβ su difuzijos modulio reikšme σ = 1.

2 paveiksluose galima pamatyti netiesinį laiko padidėjimą Th,padidėjus substrato koncentracijai S0. Detalesnė analizė buvopateikta ir publikuota straipsnyje [A3].

4.2. Nuolat maišomo uždaro reaktoriaus savybėsAtliekant visus kompiuterinio modeliavimo eksperimentus,

šios tipinės modelio parametrų vertės buvo pastovios [1, 20, 22]:

Dd = 600µm2/s, Dm = 200µm2/s, KM = 100µM,

r0 = 250µm, φ = 0, 6 . (56)

32

S0

0.010.1

110

100

σ

0.1

1

10

T h

110100100010000100000

a) β

110

100

S0

0.010.1

110

100

T h

10

100

800

b)

2 pav.: Bedimensė laiko Th priklausomybė nuo bedimensės koncentraci-jos S0 keičiant difuzijos modulį σ (a) ir Biot skaičių β (b), bei difuzijosmodulį σ ir Biot skaičių β

4.2.1. Laikinio efektyvumo koeficiento netiesinė dinamika

Bendro trumpalaikio efektyvumo koeficiento η∗o dinamikakaip bedimensio laiko T funkcija yra parodyta 3 paveikslėly-je. Efektyvumo koeficientas η∗o buvo apskaičiuotas prie skirtingųpradinių substrato koncentracijų S0 (3a paveikslėlis), difuzijosmodulio σ (3b paveikslėlis), Biot skaičiaus β (3c paveikslėlis), at-virkštinės adsorbcijos koeficiento θ (3d paveikslėlis) ir pasiskirs-tymo koeficiento φ (3e paveikslėlis) reikšmių. Kiti modeliavimoparametrai buvo tokie patys kaip ir pradiniame eksperimente.Paryškintos raudonos linijos 3 paveikslėlyje rodo konkretų efek-tyvumo koeficiento η∗o atvejį. Nusistovėjusios laikinio efektyvumokoeficiento ηo,ss vertės pavaizduotos vientisomis juodomis linijo-mis. Spalva nurodo normalizuotą likutinę koncentraciją.

Kaip galima pamatyti 3a paveikslėlyje, laikinis efektyvumo

33

S0

10−210−1

100101

102

T10−4

10−2100

102103

η* o(T)

00.10.30.50.70.91

(a)0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Sb/S0

σ

10−2

10−1

100

101 T10−4

10−2100

102103

η* o(T)

00.10.30.50.70.91

(b)0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Sb/S0

β

100

101

102

T10−4

10−2100

102103

η* o(T)

00.10.30.50.70.91

(c)0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Sb/S0θ

10−1

100

101

T10−4

10−2100

102103

η* o(T)

00.10.30.50.70.91

(d)0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Sb/S0

ϕ

0.10.3

0.50.7

0.91

T10−4

10−2100

102103

η* o(T)

00.10.30.50.70.91

(e)0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Sb/S0

3 pav.: Laikinio efektyvumo koeficiento η∗o priklausomybė nuo skir-

tingos pradinės koncentracijos S0 (a), difuzijos modulio σ (b), Biotskaičiaus β (c), santykio θ (d) ir pasiskirstymo koeficiento φ (e)

koeficientas įgyja didesnes reikšmes proceso eigoje esant žemaisubstrato koncentracijai, kai Michaelio-Menten kinetika artėjaprie pirmosios eilės kinetikos (S0 1, s0 KM), o ne esant dide-lėms koncentracijoms, kai MR veikia pagal nulinės eilės fermentokinetiką (S0 1, s0 KM). Be to, esant vidutinėms ir dide-lėms koncentracijoms, bendras efektyvumo koeficientas η∗o(T ) yranemonotoninė laiko T funkcija, o efektyvumo maksimumas pasie-kiamas maždaug tuo pačiu metu, kai pastoviosios būklės veiks-

34

mingumas pasiekiamas esant mažoms koncentracijoms. Esantdidelėms koncentracijoms, trumpalaikis efektyvumo koeficientasη∗o pasiekia maksimalų ir palaiko aukščiausią efektyvumą (η∗o ar-ti vieneto). Kurį laiką vėliau jis drastiškai mažėja ir artėja priepastoviosios reikšmės.

3a ir 3b paveikslėlyje parodyta, jog MR efektyvumas tamtikrą laiką gali būti žymiai padidintas, pvz., padidinant pradinęsubstrato koncentraciją S0 ar sumažinant difuzijos modulį σ, t.y. mažinant dalelių difuzijos varžą. Visos vientisos juodos li-nijos 3 paveikslėlyje sutampa su laikinio efektyvumo koeficientoη∗o nusistovėjusiomis vertėmis (T = 103), išskyrus vertes, mode-liuojamas mažiausiomis difuzijos modulio reikšmėmis, σ < 0, 1.Tolesni skaičiavimai (T > 103) parodė, kad ηo,ss vis dėlto taippat pasiekiama ir prie σ < 0, 1, ηo,ss ≈ η∗o, kai T > 106.

4.2.2. Substrato sunaudojimo trukmė

Kaip galima pamatyti 3d paveikslėlyje, laikas, kurio reikiasunaudoti pradiniam substrato kiekiui (Sb/S0 = 0, 1), t. y. 90%,gali būti keliomis eilėmis didesnis prie θ = 10 nei prie θ = 0, 1.Dešimtkart sumažėjus difuzijos moduliui σ, daugiau nei dešimtkartų padidėja laikas, reikalingas tam tikram substrato kiekiuikonvertuoti ( 3b paveikslėlis).

Detalesnis eksperimentų tyrimas ir analizė pateikta straips-nyje [A1].

4.3. Anglies nanovamzdeliais grįsto mikroreaktoriaussavybės

Nagrinėjamas matematinis modelis apibrėžtas (29)–(36).

35

4.3.1. Simuliacijų eiga

Kompiuterinis modeliavimas buvo atliktas parenkant para-metrus, suderintus su fiziniais eksperimentais, atliktais prie pen-kių skirtingų laktozės koncentracijų L0 : 2, 5, 10, 20 ir 50 mM.Kiti modelio parametrai buvo parinkti tokie [42, 43]:

KL = 9, 6 mM, VL = 0, 019 mM/s,

KO = 0, 5 mM, VO = 1, 170 mM/s, O0 = 0, 25 mM,

DL,m = DP,m = 2, 2× 10−10 m2/s, DO,m = 0, 67× 10−9 m2/s,

DL,d = DP,d = 6, 6× 10−10 m2/s, DO,d = 2, 0× 10−9 m2/s,

R0 = 225µm, R1 = 305µm, R = 840µm, φ = 0, 56.(57)

Deguonis kaip lakazės substratas buvo eksperimentiškai ma-tuotas selektyviu Klarko tipo elektrodu. Imituojant fermentokatalizuojamo proceso dinamiką (4), matuojama buvo deguonieskoncentracija Ob [43].

4 paveikslėlyje pavaizduota eksperimentinės ir simuliuotosdeguonies koncentracijos dinamika. Eksperimentai pateikia de-guonies koncentracijos dinamiką tiesinėje skalėje per pirmas 4000(s), kol vyko fiziniai eksperimentai. Logaritminė skalė rodo pra-tęstus simuliacijos rezultatus.

4 paveikslėlyje parodyta, kad pasiūlytas matematinis mo-delis gana tiksliai atspindi fizinius eksperimentus. Jei laktozėskoncentracija yra 2, 5, 10 ir 20 mM, santykinė paklaida tarpskaitinio sprendimo ir eksperimento duomenų, vidutiniškai ap-skaičiuota nuo 0 iki 4000 s, yra mažesnė nei 5 %.

36

10 2

10 3

10 4

10 5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

O2

,b,m

M

t, s

L0 = 2mM L0 = 5mM L0 = 10mM L0 = 20mM L0 = 50mM

0 10min 30min 1h

0.1

50.2

00.2

5

4 pav.: Deguonies koncentracijos dinamika, vykusi eksperimentiniųduomenų ir simuliacijos metu

L 0,mM

10−1100

101102

103

t, s

100102

104106

ηt

0.0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ob/O0

L 0,mM

10−1100

101102

103

t, s

10−2100

102104

106

ηt

0.0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ob/O0

L 0,mM

10−1100

101102

103

t, s

100102

104106

ηt

0.0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ob/O0

L 0,mM

10−1100

101102

103

t, s

100102

104106

ηt

0.0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ob/O0

a) b)

c) d)

5 pav.: Laikinis efektyvumas ηt keičiant pradinę koncentraciją L0

4.3.2. Laktozės įtaka efektyvumui

Laikinis efektyvumo koeficientas ηt pateiktas 5 paveikslėly-je, keičiant pradinę laktozės koncentraciją L0 (a) ΦL = 0, 1, (b)

37

ΦL

10−1

100

101 t, s10−2

100102

104106

η t

0.10.20.30.40.50.60.7

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ob/O0

a)

ΦL

10−1

100

101 t, s10−2

100102

104106

η t

0.10.2

0.3

0.4

0.5

0.85

0.95

1.00

Ob/O0

b)

ΦL

10−1

100

101 t, s10−2

100102

104106

η t

0.10.20.30.40.50.60.7

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ob/O0

ΦL

10−1

100

101 t, s10−2

100102

104106

η t

0.10.2

0.3

0.4

0.5

0.85

0.95

1.00

Ob/O0

a) b)

c) d)

6 pav.: Laikinio efektyvumo faktoriaus ηt priklausomybė, keičiant di-fuzijos modulį ΦL prie koncentracijų L0: 10 (a) ir 0,1 (b) mM

ΦL = 0, 67, (c) ΦL = 1, (d) ΦL = 10. 5b paveikslėlyje paro-dytas nemonotoniškas laikinio efektyvumo faktoriaus ηt elgesysesant didelėms ir vidutinėms pradinėms laktozės koncentracijoms(L0 > 0, 5 mM = 2 O0). Tuo tarpu esant mažoms koncent-racijoms efektyvumo koeficientas ηt yra monotoniškai didėjantilaiko funkcija. Esant bet kokiai laktozės koncentracijai, laikinisefektyvumo koeficientas ηt(t) (t → ∞) artėja prie pastoviosiosreikšmės.

Kai vyrauja pirmasis procesas (1) – (2) (V1(Lm) V2(Om))dviejų fermentų katalizuojamo proceso metu (4), procesas tamparibojamas deguonies ir V (Lm, Om) tampa beveik nekintamas lak-

38

ΦO

10−1

100

101 t, s100102

104106

η t

0.10.20.30.40.50.60.7

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ob/O0

a)

ΦO

10−1

100

101 t, s100102

104106

η t

0.10.20.30.40.50.6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ob/O0

β

100

101

102

t, s10−1

101103

105

ηt

0.10.20.30.40.50.60.7

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ob/O0

b)

β

100

101

102

t, s10−1

101103

105

ηt

0.05

0.10

0.15

0.20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ob/O0

β

100

101

102

t, s10−1

101103

105

ηt

0.10.20.30.40.50.6

0.4

0.5

0.8

1.0

Ob/O0

b)a)

c)d)

e)

7 pav.: Laikinis efektyvumo faktorius ηt priklausomybė keičiant difuzi-jos modulį ΦO (a–b) ir Biot skaičių β = βL = βO (c–e)

tozės koncentracijos atžvilgiu, V (Lm, Om) ≈ 2V2(Om). Priešinguatveju, kai vyrauja kitas procesas (4) – (3) (V2(Om) ggV1(Lm)),ribojimas atsiranda iš laktozės. 5b paveikslėlis parodo, kad,

39

esant didelėms ir vidutinėms pradinėms laktozės koncentracijoms(L0 & 2O0), po santykinai trumpo laiko (102 −−103 s) deguo-nies koncentracija ir efektyvumo koeficientas pradeda drastiškaimažėti. Deguonies koncentracija tampa tokia maža, kad V2(Om)tampa daug mažesnė nei V1(Lm) ir tada procesas vyksta riboto-mis deguonies sąlygomis, V (Lm, Om) ≈ 2V2(Om). Esant tokiomsmažoms deguonies koncentracijoms kaip Om KO, netiesinėsreakcijos terminas V2(Om) sumažinamas iki pirmosios eilės re-akcijos V2(Om) ≈ OmVO/KO. Kaip galima pastebėti 5b pa-veikslėlyje, pradinė laktozės koncentracija gali būti tokia maža(L0 . 2O0), kad deguonį galima sumažinti tik iš dalies, o pro-cesą (4) valdo laktozė. Esant tokioms, labai mažoms laktozėskoncentracijoms, (Lm KL), V1(Lm) artėja prie pirmos eilėskinetikos V1(Lm) ≈ LmVL/KL. Tokiais tiesiniais atvejais pasto-vaus efektyvumo koeficientą galima apskaičiuoti analitiškai [A3].Taikant šią formulę dviem tiesiniams reakcijos greičio V (Lm, Om)atvejams, gaunamos dvi pastoviosios būsenos efektyvumo fakto-riaus išraiškos – viena laktozei (ηL), kita – deguoniui (ηO),

ηC = 3βCφ(ΦC coth ΦC − 1)Φ2C(βC + φ(ΦC coth ΦC − 1))

, C = L,O. (58)

4.3.3. Difuzijos įtaka laikiniam efektyvumui

6 paveikslėlis demonstruoja laikinio efektyvumo faktoriausηt dinamiką, esant skirtingoms difuzijos modulio ΦL reikšmėmsir dviem pradinėms laktozės koncentracijoms L0 : 10 ir 0, 1 mM.ηt raidos priklausomybės nuo kito difuzijos modulio ΦO ir Biotskaičiaus β = βL = βO pavaizduoti 7 paveikslėlyje (taip pat 6 c-

40

6d paveikslėlyje).

Norint parodyti, kad difuzijos modulis ΦL tikrai gali turėtiįtakos laikinio efektyvumo faktoriaus dinamikai, reaktoriaus sis-tema buvo modeliuojama prie 100 kartų mažesne laktozės kon-centracija L0 = 0, 1 mM, kai procesas vyksta ribotomis lakto-zės sąlygomis nuo pradžios iki nusistovėjimo. 6b paveikslėlyjeparodyta, kad nusistovėjęs laikinis efektyvumo koeficientas mo-notoniškai didėja mažėjant difuzijos moduliui ΦL ir tai gali būtiišreikšta kaip funkcija ηL = ηL(ΦL), apskaičiuota iš (58), žr.pavaizduota raudona punktyrine linija. Esant L0 = 0, 1 mM,laikinis faktorius ηt monotoniškai didėja laikui bėgant visoms ΦL

reikšmėms, kurių vertė kinta nuo 0, 1 iki 10 (žr. 6b paveikslėlis),o ηt yra nemonotoninė laiko funkcija, kai L0 = 10 mM, kaipparodyta 6 a. 6b paveikslėlyje taip pat parodyta, kad tik nedi-delė deguonies dalis yra sunaudojama esant tokiai žemai laktozės(L0 = 0, 1 mM) koncentracijai.

6 ir 7a -7e paveikslėliai parodo, kad MR efektyvumas gali būtižymiai padidintas, bent jau tam tikrą laiką, mažinant difuzijosmodulį, t. y. mažinant dalelių difuzijos varžą.

Detalesnis tyrimas ir išvados pateiktos rankraštyje [A2].

41

Bendrosios išvados

1. Pasiūlytas mikroreaktoriaus su anglies nanovamzdeliais ma-tematinis ir kompiuterinis modelis, grįstas cheminės reak-cijos įgalinimu per laisvųjų elektronų pernašą. Modelis galibūti sėkmingai naudojamas realaus bioreaktoriaus kineti-nėms savybėms tirti.

2. Laikinis uždaros bioreaktoriaus sistemos efektyvumas priedidelio laiko artėja prie atviros bioreaktoriaus sistemos lai-kinio efektyvumo. Pateiktos atviros sistemos analizinėscharakteristikos, kurios galioja ir uždaroms sistemoms.

3. Homotopijos perturbacijos metodas, prie fiksuotų sistemoshiperparametrų, gali leisti rasti analizines aproksimacijassu mažesne nei 10−10 paklaida. Toks paklaidos dydis mode-liavimo praktikoje yra laikomas priimtinu praktikoje. Ana-lizinės aproksimacijos, gautos taikant homotopijos pertur-bacijos metodus, validžios tik tada, jei mažas parametraspatenka į konvergavimo sritį. Taigi, norint taikyti šį meto-dą, skirtingas sistemos pradinis ištiesinimas yra būtinas.

4. Bioreaktoriaus, grįsto nesąveikaujančiais mikrobioreakto-riais, cheminė kinetika gali būti sėkmingai modeliuojama,vienos dimensijos erdvėje nagrinėjant vienetinį mikrobiore-aktorių su išoriniu (difuzijos) sluoksniu.

42

Literatūra

[1] Illanes Andrés. Enzyme Biocatalysis: Principles and Appli-cations. Springer, Dordrecht, 2008.

[2] Rutherford Aris. The Mathematical Theory of Diffusion andReaction in Permeable Catalysts: The theory of the steadystate, volume 1. Clarendon Press, 1975.

[3] R. Baronas, F. Ivanauskas, and J. Kulys. Modelling a bio-sensor based on the heterogeneous microreactor. J. Math.Chem., 25:245–252, 1999.

[4] Romas Baronas, Feliksas Ivanauskas, and Juozas Kulys. Mat-hematical modeling of biosensors based on an array of enzymemicroreactors. Sensors, 6(4):453–465, 2006.

[5] Romas Baronas, Feliksas Ivanauskas, and Juozas Kulys. Mat-hematical Modeling of Biosensors. Springer, Dordrecht, 2010.ISBN 978-90-481-3242-3. URL http://www.springer.com/chemistry/book/978-90-481-3242-3.

[6] Romas Baronas, Feliksas Ivanauskas, and Juozas Kulys. Mat-hematical Modeling of Biosensors, volume 9 of Springer Se-ries on Chemical Sensors and Biosensors. Springer Ne-therlands, Dordrecht, 2010. ISBN 978-90-481-3242-3, 978-90-481-3243-0. URL http://link.springer.com/10.1007/978-90-481-3243-0.

[7] Philip N. Bartlett. Bioelectrochemistry: Fundamentals,Experimental Techniques and Applications. John Wiley &Sons, Chichester, UK, 2008. ISBN 978-0-470-84364-2.

[8] Laurence A. Belfiore. Transport Phenomena for ChemicalReactor Design. John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey,2003.

[9] Carl M. Bender and Steven A. Orszag. Advanced Mathemati-

43

cal Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Met-hods and Perturbation Theory. Springer Science & BusinessMedia, 2013.

[10] Claudia Maria Bidabehere and Ulises Sedran. Transient ef-fectiveness factors in the dynamic analysis of heterogeneousreactors with porous catalyst particles. Chem. Eng. Sci., 137:293–300, 2015.

[11] Claudia Maria Bidabehere, Juan Rafael Garcia, and UlisesSedran. Use of stirred batch reactors for the assessment of ad-sorption constants in porous solid catalysts with simultaneousdiffusion and reaction. Theoretical analysis. Chem. Eng. Sci.,61(6):2048–2055, 2006.

[12] Claudia Maria Bidabehere, Juan Rafael Garcia, and Uli-ses Sedran. Transient effectiveness factor in porous catalystparticles. application to kinetic studies with batch reactors.Chem. Eng. Res. Des., 118:41–50, 2017.

[13] Claudia Maria Bidabehere, Juan Rafael Garcia, and UlisesSedran. Transient effectiveness factor. simultaneous deter-mination of kinetic, diffusion and adsorption equilibrium pa-rameters in porous catalyst particles under diffusion controlconditions. Chem. Eng. J., 345:196–208, 2018.

[14] Katarzyna Bizon and Bolesław Tabiś. Dynamics of an iso-thermal catalyst pellet with simultaneous chemical reactionand adsorption. Chem. Eng. Res. Des., 115:221–229, 2016.

[15] Dieter Britz and Jörg Strutwolf. Digital Simulation in Ele-ctrochemistry. Monographs in Electrochemistry. Springer,Cham, 4 edition, 2016. ISBN 978-3-319-30290-4.

[16] Liliane Coche-Guerente, Piere Labbé, and Virginie Menge-aud. Amplification of amperometric biosensor responses byelectrochemical substrate recycling. 3. Theoretical and exper-

44

imental study of the phenol-polyphenol oxidase system immo-bilized in laponite hydrogels and layer-by-layer self-assembledstructures. Anal. Chem., 73(14):3206–3218, 2001.

[17] A Kayode Coker. Modeling of chemical kinetics and reactordesign. Gulf Professional Publishing, 2001.

[18] John Crank. The Mathematics of Diffusion. Oxford Univer-sity Press, London, 1975.

[19] James Davis, D Huw Vaughan, and Marco F Cardosi. Ele-ments of biosensor construction. Enzyme Microb. Technol.,17(12):1030–1035, 1995.

[20] Mark E. Davis and Robert J. Davis. Fundamentals of che-mical reaction engineering. McGraw-Hill, New York, 2003.

[21] Duong D. Do and Paul F. Greenfield. The concept of aneffectiveness factor for reaction problems involving catalystdeactivation. Chem. Eng. J., 27(2):99–105, 1983.

[22] Pauline M. Doran. Bioprocess Engineering Principles. Aca-demic Press, Waltham, MA, 2 edition, 2013.

[23] A. Eswari and L. Rajendran. Analytical solution of steadystate current at a microdisk biosensor. J. Electroanal. Chem,641(1):35–44, 2010. URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1572665710000184.

[24] Adolph Fick. On liquid diffusion. J. Membrane Sci., 100(1):33–38, 1995.

[25] David J. Fink, Tsungyen Na, and Jerome S. Schultz. Effec-tiveness factor calculations for immobilized enzyme catalysts.Biotechnol. Bioeng, 15(5):879–888, 1973.

[26] Rafael F. Fonseca, Caio C. B. Melo, Beatriz, B. C. P. San-ches, Victor Bertucci-Neto, Cristiane S. Farinas, and Wu H.Kwong. Modelling of solid-state fermentation over wide ope-rational range for application in process optimization. Can.

45

J. Chem. Eng, 96:1723–1734, 2018.[27] H. Gutfreund. Kinetics for the Life Sciences. Cambridge

University Press, Cambridge, 1995.[28] Peter Harriott. Chemical Reactor Design. Marcel Dekker,

New York, 2003.[29] Ji-Huan He. Homotopy perturbation technique. Comp.

Meth. Appl. Mech. Eng., 178(3–4):257–262, 1999.[30] Ji-Huan He. Homotopy perturbation method: a new non-

linear analytical technique. Appl. Math. Comput., 135(1):73–79, 2003.

[31] Badr Kaoui, Marco Lauricella, and Giuseppe Pontrelli. Me-chanistic modelling of drug release from multi-layer capsules.Comput. Biol. Med., 93:149–157, 2018.

[32] O.M. Kirthiga and L. Rajendran. Approximate analyticalsolution for non-linear reaction diffusion equations in a mono-enzymatic biosensor involving Michaelis-Menten kinetics. J.Electroanal. Chem., 751:119–127, 2015.

[33] Aikaterini Konti, Diomi Mamma, Dimitios G. Hatziniko-laou, and Dimitris Kekos. 3-Chloro-1,2-propanediol biodegra-dation by Ca-alginate immobilized pseudomonas putida DSM437 cells applying different processes: mass transfer effects.Bioprocess. Biosyst. Eng., 39(10):1597–1609, 2016.

[34] Bronius Kvedaras and Mifodijus Sapagovas. Skaičiavimo me-todai. Vilnius:" Mintis, 1974.

[35] William L Luyben. Chemical reactor design and control.John Wiley & Sons, 2007.

[36] Gheorghe Maria. Enzymatic reactor selection and derivationof the optimal operation policy, by using a model-based mo-dular simulation platform. Comput. Chem. Eng., 36:325–341,2012.

46

[37] A. Meena and L. Rajendran. Analytical solution ofsystem of coupled non-linear reaction diffusion equations.Part II: Direct reaction of substrate at underlying micro-disc surface. J. Electroanal. Chem, 650(1):143–151, 2010.URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1572665710003401.

[38] J Monod et al. Thetechnique of continuous culture. Ann.Inst. Pasteur, 79:390–410, 1950.

[39] Jacques Monod. Recherches sur la croissance des culturesbacteriennes. 1942.

[40] Gottfried J Palm, Lukas Reisky, Dominique Böttcher, Hen-rik Müller, Emil AP Michels, Miriam C Walczak, LeonaBerndt, Manfred S Weiss, Uwe T Bornscheuer, and Gert We-ber. Structure of the plastic-degrading ideonella sakaiensismhetase bound to a substrate. Nature communications, 10(1):1–10, 2019.

[41] Sarunas Petronis, Michael Stangegaard, Claus Bo Vöge Ch-ristensen, and Martin Dufva. Transparent polymeric cell cul-ture chip with integrated temperature control and uniformmedia perfusion. Biotechniques, 40(3):368–376, 2006.

[42] Dalius Ratautas, Liucija Marcinkevičienė, Rolandas Meškys,and Juozas Kulys. Mediatorless electron transfer in glucosedehydrogenase/laccase system adsorbed on carbon nanotu-bes. Electrochim. Acta, 174:940–944, 2015.

[43] Dalius Ratautas, Eimantas Ramonas, Liucija Marcinkevičie-nė, Rolandas Meškys, and Juozas Kulys. Wiring gold nano-particles and redox enzymes: A self-sufficient nanocatalyst forthe direct oxidation of carbohydrates with molecular oxygen.Chem. Cat. Chem., 10:971–974, 2018.

[44] Ursula Rinas, Hesham El-Enshasy, Markus Emmler, Andrea

47

Hille, Dietmar C. Hempel, and Harald Horn. Model-basedprediction of substrate conversion and protein synthesis andexcretion in recombinant Aspergillus niger biopellets. Chem.Eng. Sci., 60(10):2729–2739, 2005.

[45] Abraham Sagiv. Exact solution of mass diffusion into a finitevolume. J. Membr. Sci., 186(2):231–237, 2001.

[46] Abraham Sagiv. Exact solution of mass diffusion into a finitevolume. J. Membr. Sci., 186:231–237, 2001.

[47] J. Saranya, L. Rajendran, L. Wang, and C. Fernandez. Anew mathematical modelling using Homotopy perturbationmethod to solve nonlinear equations in enzymatic glucose fuelcells. Chem. Phys. Let., 662:317–326, 2016.

[48] Daniel Schäpper, Muhd Nazrul Hisham Zainal Alam, Nico-las Szita, Anna Eliasson Lantz, and Krist V. Gernaey. App-lication of microbioreactors in fermentation process develop-ment: A review. Anal. Bioanal. Chem., 395(3):679–695, 2009.

[49] T. Schulmeister. Mathematical modelling of the dynamicbehaviour of amperometric enzyme electrodes. Sel. ElectrodeRev., 12:203–260, 1990.

[50] Th Schulmeister. Mathematical modelling of the dynamicbehaviour of amperometric enzyme electrodes. Sel. ElectrodeRev., 12(2):203–260, 1990.

[51] Szymon Skoneczny and Monika Cioch-Skoneczny. Mathe-matical modelling and approximate solutions for microbiolo-gical processes in biofilm through homotopy-based methods.Chem. Eng. Res. Des., 139:309–320, 2018.

[52] Ernest W Thiele. Relation between catalytic activity andsize of particle. Ind. Eng. Chem., 31(7):916–920, 1939.

[53] Nestor V. Torres. Application of the transition time of meta-bolic systems as a criterion for optimization of metabolic pro-

48

cesses. Biotechnol. Bioeng., 44(3):291–296, 1994.[54] Momchil Velkovsky, Rachel Snider, David E. Cliffel, and

John P. Wikswo. Modeling the measurements of cellularfluxes in microbioreactor devices using thin enzyme electro-des. J. Math. Chem., 49(1):251–275, 2011.

[55] Guillermo Vidriales-Escobar, Raul Renterıa-Tamayo, Feli-pe Alatriste-Mondragón, and Omar Gonzalez-Ortega. Mat-hematical modeling of a composting process in a small-scaletubular bioreactor. Chem. Eng. Res. Des., 120:360–371, 2017.

[56] John Villadsen, Jens Nielsen, and Gunnar Lidén. Bioreac-tion Engineering Principles. Monographs in Electrochemist-ry. Springer, New York, 3 edition, 2011. ISBN 978-1-4419-9687-9.

[57] H. J. Vos, P. J. Heederik, J. J. M. Potters, and K. Ch. A. M.Luyben. Effectiveness factor for spherical biofilm catalysts.Bioprocess Eng., 5(2):63–72, 1990.

[58] Vern W Weekman. Laboratory reactors and their limita-tions. AIChE J., 20(5):833–840, 1974.

[59] Stephen Whitaker. The Method of Volume Averaging, volu-me 13. Springer Science & Business Media, 2013.

[60] Shosuke Yoshida, Kazumi Hiraga, Toshihiko Takehana, IkuoTaniguchi, Hironao Yamaji, Yasuhito Maeda, Kiyotsuna To-yohara, Kenji Miyamoto, Yoshiharu Kimura, and Kohei Oda.A bacterium that degrades and assimilates poly (ethylene te-rephthalate). Science, 351(6278):1196–1199, 2016.

[61] Li-Tao Zhu, Wang-Yu Ma, and Zheng-Hong Luo. Influenceof distributed pore size and porosity on MTO catalyst particleperformance: Modeling and simulation. Chem. Eng. Res.Des., 137:141–153, 2018.

[62] Antanas Žilinskas and Gražina Gimbutienė. A hybrid of

49

bayesian approach based global search with clustering aidedlocal refinement. Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simul.,78:104857, 2019.

Doktoranto publikacijos disertacijos tema

[A1] R. Baronas, J. Kulys, and L. Petkevičius. Computatio-nal modeling of batch stirred tank reactor based on spheri-cal catalyst particles. Journal of Mathematical Chemistry,57(1):327–342, 2019.

[A2] R. Baronas, J. Kulys, and L. Petkevičius. Modelingcarbohydrates oxidation by oxygen catalyzed by bienzymeglucose dehydrogenase/laccase system immobilized into mic-roreactor with carbon nanotubes. Journal of MathematicalChemistry, 2019. (recenzuojamas)

[A3] R. Baronas, J. Kulys, and L. Petkevičius. Modelling theenzyme catalysed substrate conversion in a microbioreactoracting in continuous flow mode. Nonlinear Analysis: Mo-delling and Control, 23(3):437–456, 2018.

[A4] A. Žilinskas, R. Baronas, L. Litvinas, and L. Petkevi-čius. Multi-objective optimization and decision visualiza-tion of batch stirred tank reactor based on spherical cata-lyst particles. Nonlinear Analysis: Modelling and Control,24(6):1019-1033, 2019.

[A5] L. Petkevičius and R. Baronas. Modeling and simulationof enzyme-catalysed substrate conversion in a microbiore-actor. International Journal on Advances in Systems andMeasurements, 11(1 & 2):173–182, 2018.

[A6] L. Petkevičius. Applying homotopy perturbation methodto non-linear differential equations. In 33rd annual Euro-

50

pean Simulation and Modelling Conference (ESM 2019),page 1-3. Eurosis, 2019.

[A7] L. Petkevičius and R. Baronas. Modeling and simulationof porous multi layer microbioreactors. In 33rd Internatio-nal Conference on Modelling and Simulation (ECMS 2019),page 190-196. SCS-Europe, 2019.

[A8] L. Petkevičius and R. Baronas. Numerical analysis ofthe dynamics of reactant conversion in batch stirred tankreactor. In 2018 IEEE 6th Workshop on Advances in In-formation, Electronic and Electrical Engineering (AIEEE),pages 1–6. IEEE, 2018.

[A9] L. Petkevičius and R. Baronas. Numerical simulationand analysis of enzyme-catalysed substrate conversion in amicrobioreactor. In SIMUL 2017: The Ninth InternationalConference on Advances in System Simulation, pages 8–12,2017.

51

Trumpos žinios apie doktorantą

Linas Petkevičius gimė 1990 m. spalio 9 d. 2009 m. baigėPavenčių vidurinę mokyklą, 2009–2015 m. Vilniaus universite-te įgijo statistiko bakalauro ir magistro laipsnius. 2015–2019 m.studijavo informatikos doktorantūros studijose Vilniaus universi-tete. Nuo 2010 m. Linas dirba Vilniaus universiteto Matematikosir informatikos fakultete, nuo 2015 m. dėsto. Linas taip pat yraLietuvos dirbtinio intelekto asociacijos (lithuania.ai) steigėjas irvaldybos narys.

52

UŽRAŠAMS

53

UŽRAŠAMS

54

UŽRAŠAMS

55

Vilniaus universiteto leidyklaSaulėtekio al. 9, LT-10222 Vilnius

El. p. info@leidykla.vu.lt,www.leidykla.vu.lt

Tiražas 30 egz.