sistpart2012

[email protected] DEPARTAMENTO DE FISICA - UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE CARRERA: LIC . QUIMICA. DEPARTAMENTO DE FISICA PROFESORA: CECILIA TOLEDO V FACULTAD DE CIENCIA SEGUNDO SEMESTRE DEL 2012

SISTEMA DE PARTICULAS

INTRODUCCION Hasta el momento se ha analizado cuerpos tomados como partículas, estudiando la cinemática, la dinámica de los cuerpos considerados como partículas. Este modelo de partícula nos permite resulta útil ya que se ha trabajado principalmente con traslación. La situación no resulta tan fácil de analizar cuando el cuerpo se ve sometido a vibración, a rotación. Para esta situación se debe orientar el análisis como un sistema de partículas Ahora analizaremos el movimiento de un sistema de partículas, éste puede estar formado por dos o más partículas sometidas a fuerzas internas debida a la interacción entre ellas, y a fuerzas externas debido a la acción de agentes externos al sistema. DEFINICIONES CENTRO DE MASA (C.M.) Para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas, se define un punto representativo del sistema llamado centro de masa, el cual se comporta como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en él y las fuerzas externas estuviesen actuando sobre ese punto. POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA CM(r )

Consideremos un sistema de n partículas cada una de masa constante nm ,m ,...,m ,1 2 cuyas respectivas posiciones en un instante t son nr ,r ,...,r ,1 2

respecto de

un sistema de referencia inercial. La posición del centro de masa está dada por:

1r

2r

3r

4r

cmr

nr

m1

m2 m3

mn O

m4

n nCM

n

m r .. ..... m rrm m ..... m

1 1

1 2


2

(1)

n

i ii

CM n

ii

m rr

m

1

1

Esta ecuación es válida para una distribución discreta de masa. La ubicación del centro de masa es independiente del sistema de coordenadas que se usa para localizarlo, sólo depende de las masas de las partículas y de las posiciones relativas de las partículas entre sí.

El vector posición del centro de masa depende del sistema de referencia que se usa para localizarlo. Para una distribución continua de masa, como lo es el sistema de partículas que forman un cuerpo rígido, también se puede determinar el centro de masa. Para obtenerlo, supongamos que se divide el cuerpo en n pequeños elementos de masa im , cuyas posiciones son aproximadamente ir

. Luego, la posición del centro

de masa de acuerdo a la ecuación (1) es:

n

i ii

CM n

ii

m rr

m

1

1

Para un valor más exacto de la posición del centro de masa, se aumenta el número n de pequeños elementos, disminuyendo la masa de los mi . Cuando n tiende a infinito, mi tiende a cero y la posición del centro de masa es:

i

i iCM CMm

i

r dmm rr lim r ; dm M

m dm

0

En coordenadas cartesianas, las componentes toman la forma:

CM CM CMx x dm ; y y dm ; z z dmM M M

1 1 1

De acuerdo a la definición de la densidad( ) , el diferencial de masa se puede expresar como dm dV expresión que será útil para poder determinar el centro de masa de los cuerpos.

O ir

im


3

El centro de masa de cuerpos homogéneos que tienen punto, línea o plano de simetría, se encuentra en el punto de simetría, o en un punto de la línea de simetría , o en un punto del plano de simetría. Demuestre que para una barra delgada homogénea de masa M y largo L, el centro de masa se encuentra en L/2. Determine la posición del centro de masa de los siguientes cuerpos homogéneos : una placa triangular, un cono, una pirámide. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA Analizaremos el movimiento de un sistema de n partículas de masa nm , m ,....., m1 2 y cuya masa total es M, siendo iM m Sean nr , r ,...........r1 2

las respectivas

posiciones en un instante t respecto de un sistema de referencia inercial. De la definición de c.m. dada en la ecuación (1) se tiene que: CM n nM r m r m r .....m r 1 1 2 2

derivando esta ecuación respecto del tiempo y recordando que mi es constante, se obtiene:

CM nn

dr dr dr drM m m ..... mdt dt dt dt

1 21 2

En esta ecuación:

CMCM i

dr driv y vdt dt

luego:

(2) CM i iMv m v

, entonces i iCM

m vvM

Recordemos que el producto mv

es el momentum lineal o cantidad de movimiento lineal de

una partícula, luego la ecuación (2), se puede expresar como: CM iM v p

m1 m2

m3 m4 mn

m5

x y

z

o


4

Si i sistp P

, entonces

(3) sist. CMP M v

Siendo sistP

el momento lineal del centro de masa del sistema de partículas.

La ecuación (3) expresa que el momento lineal del sistema es el mismo que el de una partícula de masa M que se mueve con la velocidad del centro de masa. Si se deriva la ecuación (2), respecto del tiempo, se encuentra que: CM i iM a m a

De acuerdo con el segundo Principio de Newton, se tiene que i i im a F

es la fuerza resultante sobre la partícula iésima, luego:

M a F F ..... Fc.m n

M a Fc.m i

1 2

Es decir, la masa del sistema de partículas multiplicada por la aceleración de su centro de masa, es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas internas y externas, que obran sobre el grupo de partículas. De acuerdo al tercer Principio de Newton, las fuerzas internas actúan de a pares y su resultante es nula. Luego, la sumatoria de las fuerzas iF

representa solamente la resultante

de las fuerzas externas que obran sobre el sistema de partículas y la designaremos por ext.F

, luego:

(4) ext. CMF M a

Esta ecuación expresa que el centro de masa de un sistema de masa constante M, se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en dicho punto y todas las fuerzas externas se aplicaran en él.

Como CMCM

dvadt

y M es constante, la ecuación (3), puede escribirse de la

forma siguiente:

sist. CMCM ext.

d P d(Mv ) d (M v ) Fdt dt dt

ó


5

(5) sist

ext.dP F

dt

Esta ecuación expresa que sólo las fuerzas externas pueden cambiar la cantidad de movimiento lineal del sistema de masa constante.

PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL O MOMENTUM LINEAL

Analicemos un sistema sobre el cual la fuerza externa sea nula ext.(F ) 0

luego en la

ecuación (5)

dPdt

0

esto implica que la cantidad de movimiento lineal del sistema P

es constante, lo que a su vez

implica que el centro de masa del sistema permanece en reposo, o se moverá con movimiento rectilíneo uniforme (v cte.)

. Este principio es aplicable a muchas situaciones físicas

importantes. El principio de conservación de la cantidad de movimiento linealP

, es correcto aún en la

física atómica y nuclear, aún cuando la mecánica newtoniana no lo es (Revisar capítulo 9.6 del Resnick). El principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal es el segundo de los grandes principios de conservación. El primero que se analizó, fue el de la conservación de la energía mecánica, ambos principios tienen algo semejante: ''en un sistema que esté cambiando, existe algún aspecto que permanece inalterado''. En el caso del principio de conservación de la energía mecánica, su valor permanece constante cuando las fuerzas que actúan sobre el sistema son conservativas, y las fuerzas no conservativas no realizan trabajo. En la conservación de la cantidad de movimiento lineal P

, ésta se conserva si la fuerza externa resultante es nula.

CHOQUES Se analizará la mecánica de los choques de las partículas, ésto se hará a partir del principio de conservación de la cantidad de movimiento y de la conservación de la energía mecánica.


6

En el estudio físico, son importantes los fenómenos de choque; así es como gran parte de la información que se tiene acerca de las partículas atómicas y nucleares se obtiene a partir de ellos. A una mayor escala, las propiedades de los gases se pueden entender mejor en función de los choques entre las partículas. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cuando se produce un choque entre partículas, durante éste actúa una gran fuerza en un lapso breve de tiempo. Esta fuerza varía con el tiempo de una manera compleja que, en general, no es posible determinar. A este tipo de fuerza se les llama fuerzas impulsivas. El gráfico muestra cómo puede variar el módulo de una fuerza impulsiva de dirección constante, en función del tiempo. De la ecuación (5) tenemos que : ext.dp F dt

De aquí podemos obtener el cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo durante un choque integrando en el tiempo que dura el choque, esto es:

P t

P tdp F dt

2 2

1 1

; t

tP P Fdt

2

12 1

Al segundo miembro de la ecuación se le llama impulso y se designa con I

, es decir

t

tI F dt

2

1

De la expresión I p

podemos decir que el impulso I

que recibe un cuerpo es igual al

cambio de la cantidad de movimiento lineal de él. Se debe hacer notar que el efecto de cualquier otra fuerza no impulsiva, en ese intervalo de tiempo, puede no considerarse, pues su efecto es despreciable. FENOMENO DE CHOQUE O COLISIONES Cuando dos partículas se aproximan, la interacción mutua que se provocan altera su movimiento, el cual produce un intercambio de cantidad de movimiento lineal y energía, entonces se dice que ha habido una colisión, lo que no significa necesariamente que hayan estado en contacto físico en un sentido microscópico. El choque de dos esferas de billar o

t t1

I

F

t2 0


7

dos carros, en el cual se produce contacto físico, corresponde a una colisión macroscópica (Revisar el capítulo 9-7 del Alonso y Finn). Analizaremos los tipos de choques desde el punto de vista macroscópico. Consideremos dos esferas de masas m1 y m2 que se interactúan durante un intervalo de tiempo t . Durante ese lapso de tiempo y de acuerdo al tercer Principio de Newton ambas esferas se ejercen fuerzas de igual módulo y dirección, pero de sentido opuesto. El cambio de momentum lineal para cada partícula es:

t

tp F dt

2

11 21

(6)

t

tp F dt

2

12 12

(7)

Si no actúan otras fuerzas sobre las partículas, p 1

y p 2

representan el cambio total del

momentum lineal de cada partícula. Como F F 12 21

al reemplazar en (6) se tiene:

t

tp F dt

2

11 12

y sumando esta expresión con la ecuación (7), obtenemos: p p 1 2 0

Este resultado expresa que la cantidad de movimiento total del sistema se conserva constante. Si p1

y p2

son los momentum de las esferas inmediatamente antes del choque y,p'1

y

p'2

los momentum inmediatamente después del choque, entonces la última ecuación se expresa como: p p p' p ' 1 2 1 2

Esta ecuación expresa que la cantidad de momentum lineal del sistema se conserva constante en ausencia de fuerzas externas, de esto se deduce que las fuerzas que actúan

12F

21F

m m


8

durante el choque son fuerzas internas, es decir, no cambia el momentum lineal p

del sistema. En la realidad, en todo choque existen fuerzas externas como la fuerza de gravedad, la fuerza de fricción, pero es admisible no tomar en cuenta dichas fuerzas durante el choque y suponer la conservación de la cantidad de movimiento, inmediatamente antes y después del choque, las fuerzas externas se puedan despreciar frente a las fuerzas impulsivas de choque. CLASIFICACION DE CHOQUES I. Los choques pueden clasificarse de acuerdo a la línea de choque, entendiendo por línea de choque a la recta perpendicular común a las superficies de contacto durante el choque, Esta clasificación es: a) Choque Central: Es aquel que ocurre cuando el centro de masa de los cuerpos, están sobre la línea de choque.

b) Choque Excéntrico: Los centros de masas no están en la línea de choque

(figura 1 y 2 ) El choque central se puede a su vez clasificar en : a.1) Choque Frontal : Es aquel en que las velocidades de las partículas antes y después del impacto tienen la dirección de la línea de choque. a.2) Choque Lateral u Oblicuo: Es aquel en que una o ambas partículas se mueven en direcciones diferentes en la línea de choque.

cm

c

cm cm (1 (2

m1

m2 cm cm

1v

2v

m1 m

1v

2v


9

II. Los choques también pueden clasificarse comparando la energía mecánica del sistema justo antes y justo después del choque. a) Choque Elástico: La energía mecánica del sistema inmediatamente antes y después del choque son iguales. b) Choque inelástico y choque plástico o perfectamente inelástico: En estos choques, no hay conservación de la energía cinética. Para el caso del choque plástico los cuerpos después del impacto tiene la misma velocidad (siguen juntos). Esta última clasificación es válida para todo tipo de choque central. Los choques elástico, inelástico y plástico pueden ser identificados por medio del coeficiente de restitución ''e'' el cual permite medir el grado de elasticidad de un choque. La relación que define el coeficiente de restitución, fue propuesta por Newton y es de

la siguiente forma: 21

'2

'1

vvvve

Siendo 21 v,v las componentes de las velocidades de las partículas inmediatamente antes del choque, en la dirección de la línea de choque; v1

' y v2' componentes de las

velocidades después del choque, en la dirección de la línea de choque. El coeficiente de restitución toma valores entre 0 y 1. a) Para un choque elástico e = 1 b) Para un choque inelástico 1e0 c) Para un choque plástico e = 0

En un choque frontal elástico hay conservación de la cantidad de movimiento lineal P

y de

la energía del sistema, a partir de esto, ''demuestre'' que la velocidad relativa de la partícula conserva su magnitud pero cambia de sentido y que el coeficiente de restitución vale 1. Demuestre que cuando se deja caer una pelota desde una altura 1h chocando contra el suelo y esta rebota verticalmente hasta una altura 2h , el coeficiente de restitución es:


10

1h2

he

Demuestre que la energía disipada en un choque plástico frontal entre dos cuerpos de masas m1 y m2 cuyas rapideces antes del choque son v1 y v2 respectivamente, es:

212

21

21

21 )vv(

mmmm

Averigue acerca del péndulo balístico (Revisar capítulo 10.4 del Resnick). EJEMPLO 1 Un sistema está formado pordos partículas A y B de masas mA=4kg y mB=2kg ubicadas en un plano horizontal suave OXY. En t = 0, las posiciones y las velocidades de las partículas son (4,0) m ; ((5,0)m/s para la partícula A y (6.0)m ; (-2,0) m/s para la partícula B. Si las partículas chocan frontal e inelásticamente siendo e = 0,6 el coeficiente de restitución, calcule: a) Posición y velocidad del centro de masa en t = 0. b) Fuerza media que actúa sobre Bm durante el choque, si el tiempo que dura la interacción es de 0,01 s . c) Variación de energía cinética del sistema. DESARROLLO

a) c.m CM

nm ri i m r m ri A A B Br ; rM m mA B

1

CM CM( , ) ( , )r r , m

4 4 0 2 6 0 14 0

6 3

CM

n

i ii

CM

m v m v m vA A B Bv ; vM m mA B

1

CM CM( , ) ( , )v v , m/ s

4 5 0 2 2 0 8 0

6 3

Plano

y

x A B


11

b) La definición de impulso nos da la siguiente expresión: I F dt

Si consideramos la fuerza media que actúa sobre la partícula, se tiene que

MI F t

luego: MIFt

Por otra parte, el impulso se puede medir a través de la variación de la cantidad de movimiento que experimenta la partícula impactada, es decir: I p

Para calcular la fuerza media que actúa sobre Bm , es necesario entonces, de acuerdo a los datos dados, calcular el impulso a través de la variación de la cantidad de movimiento que éste experimenta. Necesitamos conocer la velocidad de Bm después del impacto. En el choque hay conservación del momentum lineal, luego: B B A A A A B Bm v m v m v' m v'

A b( , ) ( , ) ( v ' , ) ( v' , ) 4 5 0 2 2 0 4 0 2 0 A Bv ' v ' 16 4 2 (1) Por otra parte, el coeficiente de restitución e nos permite encontrar otra ecuación con las mismas incógnitas de (1).

' ' ' 'A B A B

A B

v v (v v )e ,v v ( )

0 6

5 2

' '

A B, v v 4 2 (2) De (1) y (2), se tiene que: '

Av , m/ s 1 27 y 'Bv , m/ s 5 47

Luego, B B Bp m (v ' v )

B

B

p ( , ; ) ( ; )

p ( , ; ) kg m/ s

2 5 47 0 2 0

14 94 0


12

Luego MB MB( , ; )F F ( , )N

.

14 94 0 1494 00 01

¿Cuánto es el valor de la fuerza media que actúa sobre la partícula A ? c) El choque es inelástico, luego '

sist. sistK K

' 'o A A B B final A A B BK m v m v K m v m v 2 2 2 21 1 1

2 2 2

Reemplazando los valores para las masas y las rapideces se tiene que la energía cinética inicial es de 54J y la final es de 33,15J. Luego hay una pérdida de 20,85 J debido a la colisión. EJEMPLO 2 Un cuerpo se mueve con velocidad ˆv vi

, y en el

instante que pasa por el origen O, se desintegra en dos fragmentos m1 y m2 los cuales salen formando los ángulos y que muestra la figura. Determine las rapideces de los fragmentos después de la desintegración y la energía liberada en la desintegración. DESARROLLO El cuerpo se desintegra debido a la acción de un agente interno, puede llamársele explosivo, el cual libera energía, produciendo fuerzas internas. Se cumple que el momentum lineal A(P )

del sistema inmediatamente antes de la desintegración es igual al momentum lineal D(P )

inmediatamente después de la desintegración. 1. A DP P

Despreciando la masa del explosivo: 2. AP mv ; m m m 1 2

3. DP m v m v 1 1 2 2

en esta ecuación.

4. ˆ ˆv v cos i v sen j 1 1 1

5. ˆ ˆv v cos i v sen j 2 2 2

Combinando las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (5), se obtiene:

O

m

x

y

m

v


13

(m m ) v m v cos m v cos

m v sen m v sen

1 2 1 1 2 2

1 1 2 20

Resolviendo este sistema, se obtienen expresiones para calcular v1 y v2 . b) Sea K la energía liberada en la desintegración.

D AK K K , siendo AK la energía cinética del sistema justo antes de la desintegración y DK la energía cinética del sistema justo después de la desintegración. Las respectivas expresiones de DK y AK , son:

DK m v m v 2 21 1 2 2

1 12 2

y AK (m m )v 21 2

12

Compruebe que v (m/ s)1 11 y v (m/ s)2 21 y K J 50 si:

v m / s ºm g ºm g

1

2

1 3 5 63 7 0 2 14 5 0

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Sobre una superficie horizontal suave se desplazan con velocidades constantes tres partículas A, B y C de masas 3, 4 y 1 kg. , respectivamente. En t=0 las velocidades de A y B son [5;0] y [-3,0] m/s respectivamente y la posición de C es (0;4) m. En t=2 s las tres partículas chocan en el punto O (0,0) en un choque plástico. Calcular: a) Velocidad de la partícula B después del impacto. b) Fuerza media que actúa sobre la partícula A durante el choque si este duró s 32 10 . 2. Una barra AB de largo L = 0,5 m y masa despreciable, une a las esferas A y B de masas

Am kg 1 y Bm kg 3 . El sistema se encuentra inicialmente en reposo sobre una mesa suave. En el instante t = 0, se aplican sobre las partículas las fuerzas A

ˆF i N 16

y

BˆF j N 20

como se indica en la figura. Si las fuerzas AF

y BF

se mantienen constantes

en magnitud y dirección, independiente del movimiento del sistema, determinar: a) La aceleración del centro de masa. b) La posición del centro de masa 2 s después de aplicadas las fuerzas. c) La dirección del movimiento del centro de masa. 3. El isótopo Ra226 de Radio, tiene una masa de , g223 8 10 .

y

x

FB

FA


14

Este núcleo atómico se desintegra radiactivamente, dando una partícula (núcleo de He, masa , g246 7 10 ) y el isótopo RN222 del Radón (m , g) 223 7 10 . En esta explosión la partícula sale disparada con una velocidad de , cm/ s 91 5 10 . ¿Cuál es la rapidez del isótopo de radón? 4. A un extremo de una barra de 40 cm de longitud y masa despreciable se fija una masa m kg1 3 , y al otro extremo una masam kg2 1 . La barra se coloca verticalmente sobre un plano horizontal sin rozamiento en un punto P y se suelta. A qué distancia de P choca la masa m1al suelo, si cae en el sentido indicado con la flecha? 5. Un hombre de masa M está parado en el extremo de un tablón de masa m=M/3 y largo L en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Si el hombre camina hacia el otro extremo del tablón, demostrar que habría recorrido una distancia D = L/4 respecto de la superficie. 6. La figura muestra un bloque A de masa 2 kg. que se encuentra comprimiendo 0,1 m a un resorte de constante elástica k por medio de la fuerzaF

. En t=0 deja de actuar la fuerza

F

y el bloque se desplaza por la pista "suave" OQ para ir a impactar frontalmente con una velocidad de i m/ s4 a otro bloque, B de masa 2 kg. el cual se desplaza con velocidad constante de i m/ s8 . Si el coeficiente de restitución es 0,5. Calcule: a) Cantidad de movimiento lineal del sistema después del impacto. b) Av'

y Bv'

después del impacto. c) Impulso que actúa sobre A durante el choque. d) Variación de energía cinética del sistema, durante el choque.

y

L

O x F

A B

Q

P

m

m


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7. Un proyectil se dispara con un cañón que forma un ángulo de 45º con la horizontal y con una rapidez de salida de 400 m/s. En el punto más alto de su trayectoria, el proyectil explota en dos fragmentos de igual masa, un fragmento cae verticalmente. A qué distancia del cañón cae el otro fragmento al suelo? 8. Un resorte liviano de largo natural L = 18 cm y constante elástica k=2 N/cm está unido por sus extremos a dos bloques A y B de masas Am kg 2 y Bm kg 3 , tal como lo indica la figura. El resorte se comprime en o cm 6 y se deja libre al sistema sobre una mesa horizontal suave. Determinar las velocidades de los bloques A y B en el instante en que el resorte recupera su largo natural . 9. Un bloque A de masa Am kg 2 desliza, sin roce en una mesa, con velocidad A

ˆv i m/ s 10

. Directamente en frente a él y moviéndose en la misma dirección y sentido hay un bloque B de masa Bm kg 5 que se mueve con rapidez Bv m/ s 3 . A la parte posterior de B va fijo un resorte sin masa, de constante elástica K=1120 N/m, tal como se observa en la figura. Cuál es la máxima compresión que sufre el resorte, cuando chocan los bloques dado que el resorte no se dobla y siempre obedece la Ley de Hooke? 10. Un neutrón y su núcleo de carbono chocan frontal y elásticamente. La masa del neutrón es m y la del núcleo de carbono es M = 12m. Si el neutrón incide con o

ˆv v i

sobre el núcleo de carbono en reposo, determine la velocidad del neutrón después del choque. 11. La figura muestra una pista horizontal con el tramo AB liso y BC rugoso. El bloque m kg1 4 impacta frontalmente con una rapidez de 5 m/s al bloque m2 el que está en reposo en el punto 0. Las velocidades de los bloques m1 y m2 inmediatamente después del impacto son ˆ, i m / s3 4 y ˆ, i m / s6 4 respectivamente. Si el coeficiente de roce cinético entre los bloques y el tramo BC es 0,2 , calcule: a) Coeficiente de restitución del choque. b) Velocidad del centro de masa del sistema, justo después del choque. c) Distancia a que se encuentran separados los bloques cuando se detienen en el plano rugoso.

B A O C

m m

A B

x

A B x

V B


16

12. Un péndulo de largo l = 1.8 m y masa Am kg 4 ,se encuentra en reposo, como muestra la figura. Una partícula Bm kg 6 se desplaza sobre una superficie horizontal lisa, siendo su energía cinética equivalente a 1/6 de la energía potencial del péndulo. Cuando se encuentra en la posición (1.8,0) se suelta Am y luego impacta frontalmente a Bm en el punto P, siendo el coeficiente de restitución de 0,5. Calcule: a) las velocidades de A y B inmediatamente después del choque. b) Energía disipada durante el choque. c) Altura que alcanza A después del choque. 13. Un carrito B de masa 2 kg. está en reposo sobre una pista horizontal a 10m de una pared rígida C. El carrito A de masa m= 10 kg., se mueve con velocidad constante de i m/ s10 chocando con B que, posteriormente, choca con C. (Considerar choques elásticos). ¿ Dónde chocarán A y B por segunda vez? ¿Cuál es la velocidad de B después del segundo choque con A? RESPUESTAS 1. a) (3/8 ; -1/4)m/s 2. a) (4 ; 5) m/s2 b) [8,375 ; 10]m b) [-6937,5 ; - 375]N c) 51° 20' 3. 2.72 x 10-7 cm/s 4. - 10 cm 6. a) -8 i kg m/s b) A' : 5 i m/s ; B' :1 i m/s c) -18 i Ns d) -54 J 7. 24 km 8. A: -0,47 i m/s ; B : 0,31 i m/s 9. 0,25 m 10) a) (-1,6 ; -1,2)m ; b) 0,465 i m/s. c) - 1.35 i N.s 11. - 11/13 v0 12. a) 0.6 b) 4 i m/s c) 7,35 m 13. a) A : 1,2 i m/s ; B : -2,8 i m/s b) 57,6 J c) h = 0,072 m 14. d = 4,286 m de C ; B" : 200/9 i m/s

A B

C

x

g x

y A

B P

0

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