sistemi elettronici: vademecum

8/14/2019 Sistemi elettronici: vademecum

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Vademecum per la risoluzione

degli esercizi di Sistemi Elettronici LS

Beta version

Ing. Pazzocon la collaborazione di Riccardo Crociani e Andrea Piolanti

7 febbraio 2010


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Si consiglia di affiancare il materiale presente in questo riassunto agli appunti presi a lezione. Que-sto perch (ovviamente!) non si vuole avere alcuna presunzione di esaustivit, n di assoluta corret-tezza: nonostante le revisioni finora effettuate, potrebbero infatti essere ancora presenti molti errori eimprecisioni.

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Indice

1 Considerazioni a frequenza nulla (s = 0) 51.1 P-MOS ed N-MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Calcolo di tensioni e correnti di polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Potenza dissipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Parametri di piccolo segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Le capacit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Matrice ammettenza, matrice impedenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Circuito ai piccoli segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Calcolo di parametri notevoli: guadagno di corrente/tensione, resistenza duscita, resisten-

za dingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1 Stadi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Cascode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.3 Coppia differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Considerazioni a s = 0 132.1 Effetti reattivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 I nodi principali del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Poli e zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Guadagno, frequenza a 3dB e frequenza di guadagno unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1 Metodo delle costanti di tempo e formula di Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.2 Frequenza di guadagno unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Stabilit e phase margin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6.1 Polo non dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Cose turche 17

3.1 CMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Band narrowing e pole splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Band narrowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.2 Pole splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Slew rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Accorgimenti generici 19

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4 INDICE

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Capitolo 1

Considerazioni a frequenza nulla (s = 0)

1.1 P-MOS ed N-MOS

. . . questi sconosciuti (figura 1.1). Non c molto da dire, basta semplicemente applicare le formule.

Figura 1.1: N-MOS e P-MOS con relative relazioni

1.2 Calcolo di tensioni e correnti di polarizzazione

In genere la prima o le prime domande del compito riguardano il calcolo di tensioni e correnti di

polarizzazione. Spesso si fornisce il valore di tensione di alcuni nodi importanti o, in alternativa, latensione dingresso Vi o quella duscita Vo.Per rispondere a tale quesito spesso ci si appoggia sul calcolo della corrente mediante Vgs. Nella

stragrande maggioranza dei casi (per non dire nel 100% delle eventualit) tutti i transistor del circuitolavorano in saturazione: ci significa che vale la formula

ID =n2

Sn(Vgs VTn )2

oppure, per i p-mos:

ID =p

2Sp(Vsg + VT p)

2

Questa formula spesso un ottimo strumento per calcolare ID oppure S, a seconda di quale parametro ci

manchi. La Vgs, infatti, fissa la corrente in maniera precisa. Dopodich si pu ricorrere ad altri strumenti(legge di Ohm, legge di Kirchhoff per le correnti, etc. . . ) per ricavare eventuali altre grandezze a noirichieste.

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6 CAPITOLO 1. CONSIDERAZIONI A FREQUENZA NULLA (S = 0)

Si preme sottolineare che, mentre il legame fra la corrente e la Vgs sicuro, nulla possiamo direriguardo alla Vds. Spesso, nel calcolo delle quantit di polarizzazione, si evita di considerare il parametro, cio quello che si riferisce alla modulazione di canale. Esso infatti generalmente dellordine di 102:questo significa che la variazione della corrente dovuta a tale parametro dellordine dell1 per cento 1.La Vds potrebbe diventare importante solo nel caso in cui il transistor si rivelasse essere in regione lineare,cosa che - come abbiamo detto poco sopra - non accade praticamente mai.

Se dunque viene richiesto il calcolo della tensione ad un certo nodo del circuito, oppure della correntein un determinato ramo, si faccia affidamento sugli appigli sicuri:

altri nodi sicuramente determinati (ad esempio massa o VDD );

le Vgs;

legge di Ohm;

leggi di Kirchhoff;

presenza generatori di tensione/corrente di polarizzazione indipendenti: i generatori impongono lapresenza di una determinata corrente in un ramo e possono essere utili per il calcolo dei fattori di

forma dei transistor; presenza di configurazioni a specchio (di corrente);

transistor connessi a diodo: tali dispositivi sono sicuramente in saturazione e ci permettono diraggiungere, mediante il calcolo della loro Vgs, nodi anche distanti rispetto ai nostri riferimenti2.

Infine, si ricorda che per il calcolo delle quantit di polarizzazione necessario cortocircuitare le indut-tanze ed aprire le resistenze (componenti che diventano invece importanti nellanalisi in frequenza, vedicapitolo 2).

1.2.1 Potenza dissipata

Per un generico circuito si ha che la potenza dissipata pari a

PD = VDD IDD VSS ISS

dove VDD la tensione pi alta e VSS la tensione pi bassa del circuito (spesso massa e dunque VSS = 0),mentre IDD e ISS sono le correnti che rispettivamente fuoriescono ed entrano nei nodi riferiti a VDD e VSS .Si presti attenzione che, se la VSS negativa, si ha:

PD = VDD IDD + |VSS|ISS

Visto che VDD si conosce sempre, la specifica sulla potenza dissipata pu essere utile per ricavare lecorrenti che fluiscono nel dispositivo.

1.3 Parametri di piccolo segnale

I parametri di piccolo segnale sono:

la (trans)conduttanza gm: sempre presente ed dovuta alleffetto transistore.

gm =

2IDnS

la conduttanza gmb: presente solo in caso di presenza di effetto Body.

gmb = gm dove =

22F + Vsb1Ed precisamente dell1% la Vds di 1 V e = 0,01 V

1.2Grazie al fatto che hanno cortocircuitati il gate e il drain (ricordiamo che la Vds non sarebbe stata affidabile per determinare la

Vdrain).

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CAPITOLO 1. CONSIDERAZIONI A FREQUENZA NULLA (S = 0) 7

la conduttanza gd: presente solo in caso di presenza di effetti di modulazione di canale.

gd = ID

Si noti che tutti questi parametri dipendono da ID: dunque sar importante conoscere il valore dellacorrente per poterli correttamente determinare.

1.3.1 Le capacit

Ogni dispositivo MOS porta con se in dote diversi contributi capacitivi:

Cgs che si instaura fra gate e source. Essa pari a:

Coverlap

gs = Cgs0W se il transistor spento;

12 WLCox + C

overlapgs se il transistor acceso e in zona lineare;

23 WLCox + C

overlapgs se il transistor acceso e saturo.

Cgd che si instaura fra gate e drain. Essa pari a:

Coverlap

gd = Cgd0W se il transistor acceso o saturo;

12 WLCox + C

overlapgd se il transistor acceso e in zona lineare.

Cjdb che la capacit di giunzione lato drain;

Cjsb che la capacit di giunzione lato source.

Fra queste capacit riveste in genere grande importanza la Cgd , visto che si interpone fra ingresso e uscitae va modellata a parte mediante la regola di Miller (paragrafo 2.5.1).

1.3.2 Matrice ammettenza, matrice impedenzaTalvolta si chiede si ricavare, per il circuito, i coefficienti della matrice ammettenza o della matrice

impedenza: in tal caso basta ricordarsi dei seguenti sistemii1 = Y11v1 + Y12v2

i2 = Y21v1 + Y22v2

v1 = Z11i1 + Z12i2

v2 = Z21i1 + Z22i2

ove si sostituiranno le quantit aventi pedice 1 con quelle dingresso e le quantit contraddistinte dapedice 2 con quelle duscita. Per ricavare le equazioni dei sistemi soprascritti sar necessario fare affi-damento sullo schema ai piccoli segnali e sulle regole di base per lanalisi dei circuiti (leggi di Kirchhoff,leggi di Ohm, etc. . . quindi niente di complicato).

Nel caso si stia facendo un analisi a frequenza nulla (s = 0) non sar necessario introdurre gli effettireattivi (capacit e induttanze); in caso contrario bisogner agire come illustrato in paragrafo 2.1.

1.4 Circuito ai piccoli segnali

Il circuito a piccoli segnali (detto anche alle piccole variazioni) richiesto nella stragrande maggio-ranza dei casi: esso infatti utile per il calcolo della resistenza duscita, della resistenza dingresso, dellatransconduttanza, del guadagno, etc. . . Il circuito ai piccoli segnali, come suggerisce il nome, riporta tuttele piccole variazioni in corrente e in tensione allinterno del nostro schema. Non andranno quindi ripor-tate le quantit di polarizzazione nonch quelle dovute a generatori indipendenti. Le tensioni fisse (VDD ,ad esempio) andranno poste a massa, mentre le correnti costanti dovranno essere omesse. Vanno invecesempre riportate:

la corrente io (per convenzione entrante dal nodo duscita del circuito) e la tensione vo (sempre sulnodo duscita);

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la tensione dingresso vi ed, eventualmente, la corrente ii (questa per non va sempre riportata: selingresso sul gate, infatti, tale nodo sar flottante e non potr scorrervi corrente3;

le resistenze che vengono riportate ai grandi segnali.

Per ogni transistor (indifferentemente dal tipo) va incluso:

un generatore comandato di tensione gmbvs che inietta corrente (attenzione: negativa) dal drainal source, ma solo nei casi in cui vi sia effetto Body (source non a tensione costante e = 0). Se nelleipotesi si dice di trascurare leffetto Body ( = 0), questi generatori non andranno riportati;

un generatore comandato di tensione gmvgs che inietta corrente dal drain al source;

una resistenza rd (o conduttanza gd), da includere solo se = 0, cio se non si dice di trascurareleffetto di modulazione di canale.

Altri accorgimenti:

un transistor connesso a diodo pu essere schematizzato, ai piccoli segnali, come una sempliceconduttanza GD;

sui talvolta presenti rami di polarizzazione, quelli che per intenderci contengono tutti quei bellissimitransistor connessi a diodo (e che costituiscono la met connessa a VDD della configurazione aspecchio utile a convogliare le correnti volute sui vari rami del circuito), generalmente non scorrecorrente ai piccoli segnali;

induttanze e capacit vanno riportate solo se stiamo facendo unanalisi in frequenza;

in genere, per ogni transistor, conviene disegnare due lunghe linee parallele rappresentanti il sourcee il drain: fra questi due riferimenti, la cui tensione devessere ben individuata, andremo a porre inparallelo (se presenti) gli elementi descritti nellelenco precedente questo. Cos davvero impossibile

sbagliarsi!

1.5 Calcolo di parametri notevoli: guadagno di corrente/tensione, re-

sistenza duscita, resistenza dingresso

Bisogner calcolare:

la resistenza duscita Ro ponendo vi = 0;

il guadagno di tensione Av ponendo io = 0;

il guadagno di corrente Ai ponendo vo = 0;

resistenza dingresso Ri ponendo io = 0.

Il calcolo della resistenza duscita Ro uno dei momenti pi delicati perch da esso dipende la buonariuscita dellesercizio. Dalla resistenza duscita derivano infatti importanti quantit come, ad esempio, ilguadagno di tensione:

Av = gmRo

Tale parametro pu essere ricavato facendo riferimento allo schema ai piccoli segnali, ma a volte tutto cisi rivela macchinoso. Spesso risulta pi semplice applicare le formule relative agli stadi elementari (sourcecomune, drain comune, gate comune), visto che grazie alla combinazione di queste configurazioni che si

progettano gli amplificatori multi-stadio pi complessi.

3Consideriamo il gate come perfettamente isolante, senza effetti di leakage.

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1.5.1 Stadi elementari

In figura 1.2 vediamo il guadagno di corrente e di tensione nonch le resistenze dingresso e duscitaper i principali stadi elementari. Qualche semplice osservazione:

la configurazione a source comune (e la conseguente source comune doppio carico) sono invertenti4

ed hanno un grande guadagno;

la configurazione a drain comune guadagna poco, ma ha una bassa resistenza duscita e dunquefornisce ottimamente corrente al carico. Ci la rende particolarmente appetibile come stadio duscita;

se lingresso sul gate, la Ri infinita;

ricordiamo che GT = gm + gmb + gr;

le resistenze indicate con RD o RS rappresentano ci che si vede rispettivamente ai nodi di draine source. In base alla struttura del circuito andremmo a sostituire a tali parametri le resistenze cheeffettivamente vediamo presso tali nodi: potrebbe non esservi nulla, oppure potremmo trovare leresistenze dingresso/duscita di un altro stadio elementare. In questultimo caso importante nonconsiderare due volte tale apporto nel calcolo complessivo del guadagno. Ad esempio: immaginia-

mo di spezzare il guadagno in due contributi, il primo corrispondente alla configurazione elementareA (duscita) e il secondo corrispondente alla configurazione elementare B (dingresso).

Av = AvAAvB =vovx

vxvi

Possiamo allora iniziare ricavando il guadagno AvA : supponiamo sia quello di un source comune edunque pari a

AvA = gm

gd + GD

Il parametro GD corrisponde allinverso della resistenza che vediamo al drain dello stadio A: se perqualche ragione tale nodo corrispondesse alluscita (cio al source) di un drain comune (lo stadiodamplificazione che abbiamo chiamato B), dovremo appunto sostituire GD con la conduttanza

duscita dello stadio drain comune. Quando per andremo a scrivere il valore di AvB

AvB =gm

GT + GS

non sar necessario riportare il valore di GS, trattandosi della conduttanza vista al source dello stadiodamplificazione B, contributo che per abbiamo gi considerato visto che, per il nostro calcolo,siamo proprio partiti da quel nodo, cio dalla configurazione a source comune (A). Sar quindisufficiente scrivere:

AvB =gmGT

Tale discorso rimane valido anche effettuando il percorso opposto: potevamo partire dal calcolo delguadagno AvB e scrivere per intero la relativa GS, per poi non considerarla nel calcolo di AvA , ove

compare una GD che abbiamo tuttavia e in tal modo gi messo in conto.

1.5.2 Cascode

Il cascode una configurazione che compare talmente spesso da meritare un capitolo a parte. Sicostruisce impilando un source comune con un gate comune ed contraddistinta da unalta resistenzaduscita (riportata in figura 1.3). Fatte le ipotesi di avere un unico transistore al di sotto del gatecomune e di considerare gmb gm, rd1 = rd2 si ha:

Ro gmr2d

Se i transistori impilati fossero tre avremmo, sotto le stesse ipotesi

Ro g2mr3d

4Abbiamo cio Av < 0

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Figura 1.4: Coppia differenziale

possibile mettere a massa il nodo X nel circuito ai piccoli segnali. Considerando invece un ingressodi modo comune, ci non pi possibile da farsi, almeno in linea generale.

Per la coppia differenziale sono definiti quattro tipi di guadagno:

vod = Admvid + Acmdmvicvoc = Admcm vid + Acm vic

Adm =vodvid

con vic = 0 devessere grande

Acm =vodvic

con vid = 0 devessere piccolo

Admcm =vocvid

con vic = 0 devessere piccolissimo

Acmdm =vocvid

con vid = 0 devessere piccolo

Si definisce inoltre il CMRR (Common Mode Rejection Ratio) nel seguente modo:

CMRR =

AdmAcm

Nelle nostre intenzioni, il CMRR devessere il pi grande possibile.

Infine ricordiamo che, se il circuito perfettamente simmetrico, si ha Acmdm = 0: basta per una

piccola R per far lievitare tale guadagno.

Semicircuito (half-circuit)

Fatta lipotesi di applicare un ingresso di modo comune alla nostra coppia, possibile sfruttare ilcosiddetto semicircuito, il quale altro non se non un source comune doppio carico avente come RSla Rbias, come RD una resistenza pari a met di quella presente su entrambi i rami della coppiaoriginaria, e infine - in mezzo fra queste due resistenze - un unico transistor avente S doppia rispettoa quella dei MOS della coppia originaria (e aventi sul gate il segnale in ingresso).

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Capitolo 2

Considerazioni a s = 0

2.1 Effetti reattivi

Quando s non pi inchiodata a zero per ipotesi, le capacit e le induttanze iniziano a scocciare. Gliinduttori non si vedono praticamente mai nei compiti desame, mentre le capacit sono molte vistoche dobbiamo considerare sia quelle presenti nello schema che quelle parassite dei transistori (vediparagrafo 1.3.1). Salvo indicato diversamente, ogni MOS infatti responsabile dellintroduzione diben 4 capacit.

Nel circuito ai piccoli segnali le capacit vanno riportate: in genere lesercizio stesso che consigliadi raggruppare tutti gli effetti reattivi presenti ad uno stesso nodo e di inglobarli, per semplicit, inuna unica capacit. Ai fini dellutilizzo della leggi fondamentali dellanalisi dei circuiti, si ricordiche a una capacit C corrisponde una conduttanza sC e unimpedenza 1sC .

2.2 Funzione di trasferimento

La generica funzione di trasferimento, legante luscita con lingresso, pu essere espressa come diseguito:

H(s) =H0

1 sp1

1 sp2

. . .

1 spn

= H01 + a1s + a2s2 + . . . + ansn

Nel caso di n = 3 i coefficienti a si possono trovare molto comodamente:

a1 =1

p1+

1

p2+

1

p3

1

p1

a2

=1

p1p3+

1

p1p2+

1

p2p3

a1

p2

a3 =1

p1p2p3

a2p3

Si noti che le quantit p hanno dimensione di pulsazione ([rad/s]).

Nel caso di n = 2 abbiamo, per il denominatore della funzione di trasferimento:

D (s) = 1s

p1+

s2

p1p2, |p2| |p1|

2.3 I nodi principali del circuito

Altro quesito frequente quello che impone di ricercare i nodi principali del circuito per potervipoi associare una resistenza e una capacit complessiva che tenga conto di tutti gli effetti reattivi

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14 CAPITOLO 2. CONSIDERAZIONI A S = 0

ivi riscontrabili. In genere risolvere questo punto non mai fatica sprecata, perch pu facilitaredi molto la formulazione del metodo delle costanti di tempo (vedi 2.5.1). Comunque sia possiamoaffermare che:

in genere il ramo di sola polarizzazione, quello cio in cui sono presenti i MOS connessi a diodoche servono a formare gli specchi di corrente, non contiene questi famigerati nodi importanti;

il nodo duscita del circuito sicuramente un nodo importante e ad alta impedenza: se cosnon fosse, lamplificatore dato in consegna sarebbe inutile perch avrebbe un pessimo guadagno(Av gm Ro!!);

nove volte su dieci lingresso su un gate. Un nodo cos sicuramente poco interessante e nonandr considerato;

per trovare gli altri nodi notevoli bisogna scorrere tutti gli stadi elementari intermedi: dalluscitaallingresso saranno sicuramente presenti almeno un gate/source/drain comune. In tal caso,dunque, tutti1 i nodi di ingresso/uscita di tali stadi saranno importanti.

2.3.1 Poli e zeri

Come possiamo trovare i poli associati a ciascuno di questi nodi importanti? Semplice: sufficientericavare i termini resistivi Ri e capacitivi Ci da associare a ciascun nodo i e poi calcolare

p,i =1

RiCi

Di ci si parler pi diffusamente nel paragrafo 2.5.1.

In generale, per trovare poli e zeri si deve ricavare la funzione di trasferimento H(s). A tal propositosi pu fare affidamento sulespressione del guadagno:

Av(s) =Vo(s)

Vi(s)

2.4 Diagrammi di Bode

I diagrammi di Bode sono due: quello delle ampiezze e quello delle fasi. Per poterli correttamentedisegnare bisogna anzitutto conoscere le pulsazioni di zeri e poli, nonch i loro segni. Generalmentenei compiti non viene richiesto di disegnare tali diagrammi in maniera quantitativa cosicch omet-teremo il procedimento per il calcolo preciso dellandamento delle fasi. Ci limiteremo a considerarelandamento asintotico e a dire che:

in ampiezza uno zero fornisce un contributo di +20 dB/decade, mentre un polo si manifestacon una variazione di -20 dB/decade;

nelle fasi uno zero positivo/negativo fornisce un contributo di -/+ 90, mentre con un polopositivo/negativo si ha un contributo di +/- 90. Il punto intermedio (45) di questo calo o diquesta crescita di fase corrisponde alla pulsazione dello zero o del polo in questione. Comunquesia, come dicevamo, il grafico delle fasi va tratteggiato in maniera molto qualitativa.

2.5 Guadagno, frequenza a 3dB e frequenza di guadagno unitario

2.5.1 Metodo delle costanti di tempo e formula di Miller

Il metodo delle costanti di tempo serve a ricavare unapprossimazione per la frequenza di taglio,ovvero quella del polo dominante. Risulta quindi anche unutile metodologia per ricavare la bandadi un determinato sistema damplificazione.

1O quasi tutti: vedi i due punti precedenti.

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CAPITOLO 2. CONSIDERAZIONI A S = 0 15

Per metterlo in pratica occorre innanzitutto individuare i nodi ad alta impedenza del circuito: fraquesti sar sicuramente presente il nodo duscita e inoltre bisogner considerare tutti i nodi presentifra ingresso e uscita e appartenenti agli stadi elementari intermedi.

Per ogni nodo si devono individuare tutti gli elementi capacitivi, sia quelli parassiti (Cgs, Cjsb, Cjdb,etc. . . ) che quelli presenti nello schema (ad esempio la CL). Particolare attenzione va fatta nel caso in

cui compaiano delle capacit direttamente collegate fra ingresso e uscita di uno stesso stadio. Questecapacit, infatti, vanno spezzate mediante la formula di Miller; consideriamo ad esempio la capacitCgd presente fra ingresso (nodo X) e uscita (nodo Y) di uno stadio a source comune. Tale capacitandr suddivisa in due termini:

una capacit C = Cgd(1 + |Av|) presso il nodo X e verso massa;

una capacit C = Cgd(1 +1|Av |

) presso il nodo Y e verso massa.

In questo modo abbiamo rimosso la capacit che si trova lungo il percorso del segnale e labbiamospezzata in due contributi pi facilmente manipolabili. Nelle formule soprastanti |Av| il guadagnodello stadio a cavallo del quale era presente la Cgd (cio del source comune).

Dopodich, sempre per ogni nodo, bisogner ricavare la resistenza associata: per calcolarla bisognaimmaginare di porsi esattamente su quel nodo e di guardare al suo interno. In genere vedremo:

la resistenza duscita dello stadio amplificatore cui siamo collegati (si tenga presente che spessoin tale espressione saranno incluse le gd (rd) associate ai MOS che hanno il drain collegato a quelnodo);

le resistenze gi presenti nello schema ai grandi segnali (RL, RD, RS, etc...).

Una volta trovate le capacit e le resistenze, bisogner calcolare le costanti di tempo, che sono pari a:

i = RiCi

Infine, queste costanti di tempo vanno sommate e la frequenza f3dB potr essere calcolata cos:

f3dB =1

2

1

i

RiCi

Attenzione!

La frequenza cos calcolata non coincide con la frequenza del primo polo del circuito, bens conla frequenza a 3dB che consideriamo prendendo per buona lapprossimazione a polo dominante. Lafrequenza di p1 e la frequenza a 3dB coincidono analiticamente soltanto nei sistemi aventi un unicopolo.

2.5.2 Frequenza di guadagno unitario

La frequenza di guadagno unitario fu , come suggerisce il nome, la frequenza per la quale

Av(s) = 1

Esiste un comodo legame fra la fu e la f3dB , ma necessita della conoscenza del guadagno a frequenzanulla Av:

fu = f3dBAv

In alternativa, se si conosce il margine di fase e la pulsazione del polo non dominante:

u =nd

tan PM

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16 CAPITOLO 2. CONSIDERAZIONI A S = 0

2.6 Stabilit e phase margin

Il parametro di cui bisogna tenere conto per formulare considerazioni sulla stabilit il phase margin(PM): esso definito nel seguente modo

PM = Pulsazione a guadagno unitario + 180

Il suo valore ci dice quanto pu essere valida lapprossimazione a polo dominante per il nostrocircuito. Nel caso super-ideale si ha PM 90: ci implica che il secondo polo cos lontano danon influire minimamente sul diagramma delle fasi. Tanto pi il phase margin vicino a 0 e tantopeggiore sar invece la bont di tale approssimazione, perch significher che il polo non dominante cos vicino da far sentire il suo effetto sulle fasi. Questo vorrebbe altres dire che il dispositivo molto pi simile ad un sistema di secondo grado (oscillante) piuttosto che a un bel sistema di primogrado. Nella pratica si tollera un PM 75.

2.6.1 Polo non dominante

A volte conoscere il margine di fase pu risultare molto utile per ottenere la pulsazione del polo nondominante: si ha infatti che

u =nd

tan PM

da cui:nd = u tan PM

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Capitolo 3

Cose turche

3.1 CMR

Il CMR (o Common Mode Range) lintervallo di valori che pu avere la tensione di modo comunenella coppia differenziale. Per calcolarlo bisogna in genere fissare due condizioni: una per il limitesuperiore e una per il limite inferiore. Entrambe si ottengono imponendo la saturazione per dueparticolari transistori:

il primo transistore quello appartenente alla configurazione a specchio (p-MOS o n-MOS)che quasi sicuramente polarizza la coppia differenziale;

il secondo transistore uno dei due MOS che formano la coppia e, precisamente, quello chenon si trova dal lato delluscita (la coppia con carico polarizzato ha luscita solo da un lato, adifferenza della coppia differenziale classica che ha due ingressi e due uscite).

Entrambi questi transistor devono essere saturi per un corretto funzionamento della coppia differen-ziale. Se i calcoli verranno eseguiti correttamente, dovremmo ottenere una condizione per il limiteinferiore e una per il limite superiore: a quel punto baster cercare lintersezione di questi valori perottenere il CMR.

3.2 Band narrowing e pole splitting

Queste due tecniche sono adottate per far s che lapprossimazione a polo dominante, cos prezio-sa, abbia un poco di senso: solo negli amplificatori a singolo stadio, infatti, questa condizione

realistica. Con pi stadi, invece, dobbiamo sudarcela.

3.2.1 Band narrowing

Trattasi di una metodologia molto semplice, che assicura un margine di fase eccellente e una grandestabilit. Per contro, effettuare il band narrowing ci priva di una bella dose di banda, come suggeriscedaltronde il nome.

Mettere in pratica questo metodo significa far s che, mediante un effetto reattivo in uscita 1, il dia-gramma di Bode delle ampiezze si sposti verso sinistra cosicch la pulsazione di guadagno unitariosia inferiore a quella dei poli non dominanti.

1Il nodo duscita devessere quello a pi alta impedenza se vogliamo guadagnare molto: questo significa che anche quelloresponsabile del polo dominante. Per spostare questultimo verso valori bassi necessario pompare leffetto reattivo associato alnodo di OUT: dunque il band narrowing pu essere realizzato aggiungendo una capacit in uscita

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18 CAPITOLO 3. COSE TURCHE

3.2.2 Pole splitting

Questo metodo consiste nellintroduzione di una capacit fra ingresso e uscita di un elemento diguadagno, come pu essere ad esempio uno stadio amplificatore (il source comune gettonatissimo).Cos facendo allontaniamo fra loro i poli associati al nodo duscita e a quello dingresso dello stadioduscita. Dobbiamo tuttavia stare attenti perch lintroduzione di una capacit lungo il percorso

del segnale, come sappiamo, responsabile dellintroduzione di uno zero: questo zero ha tuttaviasegno positivo e non ci aggrada, visto che nelle fasi si comporta come un polo. Per questo motivosi preferisce introdurre, in luogo della semplice capacit C, la serie fra C e una resistenza R: inquesto modo rendiamo indipendente tale contributo capacitivo (abbiamo rotto la maglia in cui sitrovava), spostiamo il polo non dominante molto a destra nel diagramma di Bode e possiamo infineregolare il valore dello zero agendo direttamente su R. Volendo fare gli sburni, possiamo addiritturascegliere R affinch cancelli uno dei nostri poli! Cos facendo la banda si allargherebbe a dismisurae noi faremmo $oldi a palate: tuttavia nella pratica impossibile realizzare perfettamente questacondizione, visto che non si cos abili nel controllare il valore di poli e zeri.

Attenzione: perch leffetto Miller, sul quale si basa questa tecnica, funzioni, necessario che lostadio a cavallo del quale inseriamo la capacit C sia invertente.

3.3 Slew rate

La velocit di risposta, o slew rate (SR), una grandezza che indica la velocit di risposta di un di-spositivo o circuito elettronico sollecitato da un ingresso molto intenso o molto rapido. Eccitazionidel genere darebbero idealmente luogo a segnali di uscita che variano troppo rapidamente per poteressere effettivamente riprodotti: infatti, qualunque apparato fisico in grado di erogare esclusiva-mente correnti finite, e non pu quindi far altro che limitarsi a generare variazioni di tensione chenon eccedono una determinata quantit, che appunto la velocit di risposta. Essa si esprime in voltsu microsecondo ed quantificabile nel seguente modo:

SR = max

dvout (t)dt

Nel caso di segale sinusoidalev(t) = A sin(2f0t)

abbiamo:

SR = max

dv(t)

dt

= 2f0A max {cos(2f0t)}

Dunque si ricava semplicemente:SR = 2f0A

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Capitolo 4

Accorgimenti generici

In questo capitolo riporteremo qualche accorgimento sempre valido: al buon lettore potranno sem-brare consigli ovvi ma, in tal caso, meglio cos.

Sarebbe abbastanza stupido sbagliare un intero esercizio perch si copiano male i dati del testo.Cosa costa rileggere i dati una volta in pi? Potremmo non esserci accorti che bisogna trascurareleffetto Body, che abbiamo confuso dei femto con dei pico, che la VDD 3,3 V piuttosto che 3V, etc. . .

Attenzione ai p-mos! Spesso compaiono e bisogna dare loro la stessa dignit degli n-mos. Inparticolare, quando si copia lo schematico del disegno, si faccia attenzione e si disegnino itransistor nella loro versione corretta.

Si presti attenzione alleffetto Body! Bisogna sempre chiedersi se un MOS soffre o meno diquesto effetto di non idealit: in tal caso, infatti, sar necessario ricalcolare il valore della sogliaperch da essa dipende il valore della corrente che scorre su quel transistore e quindi mille altrecose.

VTn = VTn0 + n(

2F + VSB

2F)

Si diceva qualche pagina fa che i transistori saranno quasi sicuramente in saturazione. Que-sto potrebbe non essere sempre vero, quindi - visto che controllare proprio un attimo - non male spendere qualche secondo in pi per vedere se Vds > V

satds . A volte questa verifica

esplicitamente richiesta, mentre obbligatoria se per qualche motivo dovesse essere necessariorisolvere unequazione di secondo grado avente come incognita Vd, Vds o Vgs: se essa risol-vibile ed caratterizzata da = 0, vi saranno due soluzioni ma non necessariamente sarannoentrambe accettabili. In tal caso la condizione sulla saturazione del MOS coinvolto nel calcolopu sciogliere lambiguit.

In figura 4.1 vengono riassunti i legami principali fra le grandezze in gioco. Tale schema nonvuole essere eccessivamente esaustivo (mancano le grandezze relative ai componenti reattivi

nonch tutto ci che riguarda le capacit parassite dei MOS), tuttavia ha il pregio di coagularein poco spazio le dipendenze matematiche che compaiono in circa 2/3 delle domande di ognicompito.

Spesso una domandina viene riservata alla progettazione del circuito di polarizzazione. Altrevolte si chiede lutilit di alcune parti del circuito dato in consegna. Per non risultare imprepa-rati a queste domande, occorre conoscere a grandi linee alcuni schemi notevoli, che riportiamoin figura 4.2: nel leggere e interpretare le immagini si tenga conto del fatto che a colore ugualecorrisponde un componente avente analoga funzione. Molto brevemente:

specchio di corrente: serve a specchiare una corrente da un ramo del circuito ad un altro;

specchio di corrente cascode: come lo specchio di corrente, ma ha una resistenza duscitamolto pi grande. Per contro si subisce un errore nel rapporto di specchiatura, dovuto alla

diversit delle Vds nei rami, e un peggioramento dello swing; amplificatore cascode: amplificatore dotato di grande resistenza duscita. Soffre di effetto

Body;

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20 CAPITOLO 4. ACCORGIMENTI GENERICI

Figura 4.1: Legami fra le grandezze

amplificatore folded cascode: configurazione ripiegata che integra, ai pregi del cascodesemplice, una pi facile polarizzazione;

coppia differenziale: luscita dipende dalla differenza degli ingressi;

coppia differenziale autopolarizzata: uno specchio di corrente realizza le resistenze RD;

coppia differenziale con folded cascode: schema complesso di amplificazione che unisce ipregi del folded cascode alla necessit di unalta resistenza duscita e di una facile polarizza-zione.

I guadagni espressi in dB vengono ricavati nel seguente modo:

20log10 Av = Av [dB] Av = 10Av [dB]

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CAPITOLO 4. ACCORGIMENTI GENERICI 21

Figura 4.2: Alcuni schemi notevoli

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22 CAPITOLO 4. ACCORGIMENTI GENERICI

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Elenco delle figure

1.1 N-MOS e P-MOS con relative relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Parametri fondamentali per gli stadi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Cascode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Coppia differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1 Legami fra le grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Alcuni schemi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

sistemi elettronici: vademecum

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