sistemes de p-grups amb cohomologia en dimensio …agondem/research_files... · en canvi, la...

SISTEMES DE p-GRUPS AMB COHOMOLOGIA ENDIMENSIO PETITA FIXADA

Alex Gonzalez

3

“And therefore education at the University mostly worked by the age-old method of putting a lot of young people

in the vicinity of a lot of books and hoping that something would pass from one to the other, while the actual

young people put themselves in the vicinity of inns and taverns for exactly the same reason.”

“It is often said that before you die

your life passes before your eyes.

It is in fact true.

It’s called living.”

Terry Pratchett

“DON MENDO:Siempre fuisteis enigmatico

y epigramatico y aticoy gramatico y simbolico,

y aunque os escucho flematico,sabed que a mi lo hiperbolico,

no me resulta simpatico”

Pedro Munoz Seca, “La Venganza de Don Mendo”

“En cohomologia de grups, si alguna cosa pot anar malament, anira malament.”Dita popular

Index

1 Introduccio 9

1.1 Organitzacio del treball i resultats mes importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Agraıments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Problema motivador 17

2.1 El cas particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 El cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Definicions basiques i situacio inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Sistemes de p-grups associats a torres de fibracions . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 La famılia de fibracions associada a {Ys} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.4 Una condicio i demostracio del resultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Preliminars i notacio 41

3.1 Grups nilpotents, p-grups i coclasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 L’algebra de Steenrod, Ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 L’eina basica: successions espectrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 Successions espectrals en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2 La successio espectral de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

La transgressio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

S.E.S. de fibracions associades a extensions de grups . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3 La successio espectral de Bockstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.4 La successio espectral d’Eilenberg-Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4 El Functor T de Lannes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5

6 INDEX

3.5 Grups profinits i pro-p-grups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Coclasse i cohomologia 79

4.1 Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Contant cohomologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 “Root groups” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3.1 La famılia Dn,j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3.2 La famılia Ln,j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3.3 La importancia dels “root groups” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4 El teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5 El cas p senar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 El sistema C(L) des del punt de vista de la coclasse 99

5.1 La coclasse dins d’una extensio central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1.1 Notacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1.2 Construint la u.c.s. a partir del cocicle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 El sistema C(L) des del punt de vista de la cohomologia 107

6.1 Alguns sistemes de tipus finit: sistemes de tipus p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.1.1 La cohomologia del grup inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Morfisme restriccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Anul·ladors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.1.2 Sobre els grups del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.1.3 Sobre els profinits del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.1.4 Cohomologia dins del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.1.5 Cadenes infinites dins del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Una situacio molt concreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1.6 Un exemple de sistema de tipus p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Notacio i estrategia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Cohomologia del grup inicial del sistema. Pas previ . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Cohomologia del grup inicial del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

INDEX 7

Bocksteins a la cohomologia del grup inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Cadenes infinites dins del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.1.7 Sistemes de tipus p-adic amb grup inicial extraespecial . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2 Sistemes i subsistemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2.1 Un criteri per descartar sistemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2.2 Subsistemes d’un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.2.3 Combinant sistemes coneguts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Bibliografia 155

Index alfabetic 159

8 INDEX

Capıtol 1

Introduccio

La topologia algebraica tracta el problema de diferenciar espais topologics a traves d’invariantsde tipus algebraic. Depenent de la situacio, l’estudi d’un determinat invariant sera mes o menyscomplicat, i fins i tot, potser, impossible de calcular.

Afortunadament pels topolegs algebraics, tambe trobem, de tant en tant, alguna relacio entrediferents invariants associats a un mateix espai, que ens permet fer servir informacio sobre un deter-minat invariant per estudiar-ne d’altres.

Un bon exemple es el conegut morfisme de Hurewicz, en realitat una famılia de morfismes, {hn},entre el n-essim grup d’homotopia i el n-essim grup d’homologia entera d’un mateix espai. Ambaquest morfisme, Hurewicz demostra el seguent teorema (teorema 4.37 a [Hat1]):

Teorema. de Hurewicz

Si X es un espai n-connex per n ≥ 1, es a dir, si πi(X) = 0 per i ≤ n, llavors Hi(X;Z) = 0 per i ≤ n, i

πn+1(X) ∼= Hn+1(X;Z).

Pel que fa al primer grup d’homotopia, o grup fonamental, tambe tenim un resultat forca interes-sant, relacionant-lo amb el primer grup d’homologia entera (teorema 2A.1 de [Hat1]):

Teorema.

El morfisme de Hurewicz, h1 : π1(X) → H1(X;Z), es un epimorfisme, i el seu nucli, Ker(h1), es elsubgrup de commutadors de π1(X), es a dir,

Ker(h1) = [π1(X), π1(X)] = {x−1y−1xy | x, y ∈ π1(X)}.

En la situacio, forca particular, de que H1(X;Z) = 0, observem que el teorema anterior ens diuque π1(X) = [π1(X), π1(X)]. Es a dir, o be el grup π1(X) no es soluble, o be es trivial. Si, a mes,suposem que l’espai X es p-complet (en el sentit de [BoKa]), llavors π1(X) es necessariament soluble,perque es un p-grup, i per tant es trivial.

En general, pero, coneixer l’homologia no implica coneixer l’homotopia, i viceversa.

De fet, no es imprescindible treballar amb (co)homologia entera, ja que el Teorema dels Coe-ficients Universals (en les seves diferents versions), ens permet passar de treballar amb coeficients

9

10

sobre Z a treballar amb coeficients sobre un anell R qualsevol.

Si enlloc d’un espai X tenim una fibracio, F → X → B, d’espais connexos, llavors els grups d’ho-motopia es comporten molt be. En particular, fruit d’aquest bon comportament, tenim una successioexacta llarga:

. . . → πi(F ) → πi(X) → πi(B) → πi−1(F ) → . . . → π1(F ) → π1(X) → π1(B) → 1.

En canvi, la (co)homologia resulta ser mes esquerpa quan treballem sobre una fibracio. En aquest casno tenim una successio exacta llarga, si no una successio espectral (de Serre), que, mirada amb bonsulls, es pot pensar com una mena de successio exacta llarga, pero molt mes complicada.

Tot i aixo, en dimensions baixes, aquesta successio espectral tambe te un bon comportament:existeix una successio exacta en cohomologia, pero mes curta ([Ev]):

0 → H1(B;R) → H1(X; R) → H1(F ; R)π1(B) d2→ H2(B; R) → H2(X;R),

on H1(F ; R)π1(B) es el subgrup d’invariants de H1(F ; R) per l’accio de π1(B), i d2 es la diferencial ala successio espectral.

A partir d’aquesta ultima successio exacta es pot veure que H1(F ; R)π1(B) = 0 si i nomes siH1(B; R) = H1(X;R) i H2(B;R) ⊆ H2(X; R). En general, pero, aixo no implica que H1(F ; R) = 0.

Suposem, a mes, que F , X i B son espais p-complets, i fixem R = Fp, el cos de p elements, per p

un nombre primer. Suposem tambe que B = K(P, 1), un espai d’Eilenberg-MacLane per un p-grupfinit P . En particular, B satisfa π1(B) = P , i πi(B) = 0 per i > 1.

En aquest cas, de cop, obtenim molta informacio de la situacio anterior. D’una banda, π1(B) = P

es un p-grup, i H1(F ;Fp) es un Fp-espai vectorial. En aquesta situacio,

H1(F ;Fp)P = 0 ⇐⇒ H1(F ;Fp) = 0.

D’altra banda, fent servir el Teorema dels Coeficients Universals, obtenim que H1(F ;Fp) = 0 si inomes si H1(F ;Z) = 0. A mes, π1(F ) es un (pro-)p-grup. Tal com hem vist abans, aixo implica queπ1(F ) = 0. Finalment, fent servir la successio exacta llarga d’homotopia, es dedueix que

π1(X) ∼= π1(B) = P.

En aquest treball ens plantegem estudiar la questio seguent: donat un espai p-complet X , delqual practicament nomes coneixem la (co)homologia, quan podem construir una fibracio d’espaisp-complets, F → X → B, de manera que B = K(P, 1), on P es un (pro-)p-grup, i tal que F sigui1-connex (es a dir, π1(F ) = 0).

De fet, exactament volem estudiar si, donat un espai p-complet X del que nomes coneixem la(co)homologia, existeixen un (pro-)p-grup P i una aplicacio contınua π : X → B = K(P, 1) tals queH1(B;Fp) = H1(X;Fp) i H2(B;Fp) ⊆ H2(X;Fp).

Aquest estudi ens portara a estudiar un cert tipus de sistemes de p-grups, C(L), que agrupen totsels p-grups P tals que la seva cohomologia satisfa les condicions anteriors.

Arguments similars als que farem servir per estudiar aquest problema ja s’han fet servir a [AgBrSa]per determinar certes situacions en que el functor T de Lannes calcula la cohomologia de l’espai defuncions Map(BV,X), on V es un p-grup abelia elemental.

1. Introduccio 11

1.1 Organitzacio del treball i resultats mes importants

Aquest treball esta organitzat de la seguent manera.

El capıtol 2 estudia el problema central d’aquest treball: donar informacio sobre el grup fona-mental d’un cert tipus d’espais a partir d’informacio sobre la seva cohomologia. Aquest estudi s’harealitzat en dues parts: primer hem plantejat una situacio sencilla, gairebe inmediata, en que els grupsfonamentals resulten ser finits, i despres hem generalitzat aquesta situacio al cas profinit.

Aixı, aquest capıtol conte, basicament un teorema a destacar:

Teorema. 2.2.24

Sigui X un espai connex definit per X = holim Xs, on, per tot s, πi(Xs) es finit, i tal que A∗ =lim−→H∗(Xs) es de tipus finit.

Aleshores, si A∗ es finitament Tor-representable, llavors X es p-bo i existeix una cadena P0 l P1 l . . . aC(L) tal que

π1(X∧p ) ∼= P = lim←−Ps.

Tot i que aquest capıtol fa servir conceptes i tecniques molt profunds, hem preferit presentar-lo enprimer lloc per diverses raons. En primer lloc, el segon capıtol conte realment el problema que motivala resta d’aquest treball, i pensem, per tant, que devia presentar-se al comencament. En segon lloc,creiem que es una questio de coherencia, ja que tant el capıtol dedicat als preliminars (capıtol 3) comla resta de capıtols d’aquest treball estan dedicats a estudiar els sistemes de p-grups que es presentenal capıtol 2. A mes, conceptes com la p-completacio (al segon capıtol) no es poden presentar amb elmateix nivell de concrecio que la resta de preliminars sense estendre de manera indiscriminada aquesttreball. Per mes detalls sobre els conceptes que es fan servir al capıtol 2, es pot consultar [BoKa], [Bo]o [Sh].

El capıtol 3 introdueix els objectes amb que treballarem, les diferents eines que farem servir alllarg del treball i els resultats que emprarem i que no s’expliquen als cursos de doctorat. Aixı, la seccio3.1 esta dedicada a introduir els p-grups i el concepte de coclasse. Tot i que es tracta de conceptesgairebe elementals en la teoria de grups, creiem oportu presentar-los en aquest capıtol d’una bandaper comencar per conceptes facils d’assimilar, i d’altra banda perque seran el centre d’atencio d’aquesttreball. Aixı, qualsevol llibre de teoria de grups podria resultar valid com a bibliografia d’aquestaseccio. En recomanem, per exemple, [Ha] o [Ro].

Les seccions 3.2 i 3.3 estan dedicades a l’algebra de Steenrod i a les successions espectrals re-spectivament. Aquestes seran, com veurem, les eines de treball mes importants del treball. En elcas de l’algebra de Steenrod, nomes parlarem breument de la definicio. Pel que fa a les successionsespectrals, en donarem la definicio (comu a totes les successions espectrals), i en descriurem ambmes detall les tres que utilitzarem en aquest treball: les successions espectrals de Serre, de Bocksteini d’Eilenberg-Moore. Dues bones fonts bibliografiques son [Hat2] i [Mc].

La seguent seccio d’aquest capıtol, 3.4, esta dedicada a parlar del functor T , introduit per Lannesa [La], i de l’article [AgBrSa]. Sobre el functor T parlarem tambe de manera breu ja que no es la inten-cio d’aquest treball estudiar-lo, tot i que, com veurem, els resultats que obtindrem hi estan relacionats

12 1.1. Organitzacio del treball i resultats mes importants

en alguns casos. Son les darreres seccions de [AgBrSa] les quines ens interessen realment, i d’on sor-tiran els nostres objectes de treball: sistemes de p-grups relacionats entre ells per la seva cohomologiaen dimensions baixes.

La darrera seccio, 3.5, esta dedicada als grups profinits i en particular als pro-p-grups. Pot sem-blar poc coherent deixar aquesta seccio pel final en lloc de parlar dels pro-p-grups despres dels p-grups, pero tenim els nostres motius: la teoria dels pro-p-grups es lleugerament diferent a la delsp-grups, sobretot en aspectes topologics, i el seu estudi dins d’aquest treball ve motivat precisamentper l’estudi dels sistemes introduits a 3.4.

El capıtol 4 es concentra en el treball de Carlson ([Ca1]) referent a la cohomologia i la coclassedels diferents p-grups. Pensem que val la pena presentar aquest article en un capıtol independentper diverses raons. En primer lloc, volem detallar els arguments emprats en aquest article, ja queson complicats i en farem servir alguns d’ells mes endavant. En segon lloc, la idea original d’aquesttreball consistia en combinar els resultats de [Ca1] amb un estudi dels sistemes de [AgBrSa] des delpunt de vista de la coclasse.

Aquest capıtol, o mes aviat l’article [Ca1], conte resultats com a mınim sorprenents. D’entretots els teoremes que hem presentat en aquest capıtol val la pena destacar-ne dos que enunciem acontinuacio.

Teorema. 4.2.1

Siguin k un cos finit, R = R∗ una k-algebra graduada tal que R0 = k, i F ∗(R) una filtracio decreixent imultiplicativa de R tal que F j(Ri) = 0 si j > i.

Sigui tambe S =∑

i,j≥0 Si,j =∑

i,j≥0 F i(Ri+j)/F i+1(Ri+j). Notem que, per ser F una filtraciomultiplicativa, S es una k-algebra (bigraduada).

Aleshores, l’estructura de k-algebra de R esta determinada per l’estructura de k-algebra de S entre unnombre finit de possibilitats.

Teorema. 4.4.1

Sigui k un cos de caracterıstica 2. Aleshores, per tot nombre natural r hi ha nomes un nombre finit dek-algebres graduades, R, tals que R ∼= H∗(G; k), on G es un 2-grup de coclasse r.

El capıtol 4 finalitza amb una discusio sobre la possible extensio d’aquest ultim teorema al cas p

senar.

Finalment, els capıtols 5 i 6 corresponen a l’estudi propiament dit dels sistemes de p-grupsdefinits a [AgBrSa]. El capıtol 5 estudia aquests sistemes des del punt de vista de la coclasse, i elcapıtol 6 ho fa des del punt de vista de la cohomologia.

El capıtol 5 estudia, de fet, com evoluciona la coclasse dins d’una extensio central. El tipusde resultats obtinguts en aquest capıtol son interessants ja que son valids per una extensio centralqualsevol, pero no son gaire adequats pel problema que ens plantejavem. Heus aquı el teoremaprincipal d’aquest capıtol:

1. Introduccio 13

Teorema. 5.1.4

Sigui A → E → G una extensio central de p-grups, amb |A| = pm. Aleshores, tenim desigualtats

nilp(G) ≤ nilp(E) ≤ nilp(G) + 1 i cc(G) + m− 1 ≤ cc(E) ≤ cc(G) + m.

El capıtol 6 segueix un plantejament completament diferent. Aquest capıtol consta de dues sec-cions principals.

A la primera seccio, 6.1, s’estudia un cert tipus de sistemes que resulten ser de tipus finit sempre,els anomenats sistemes de tipus p-adic. Aquests sistemes resulten ser una mena de generalitzaciodels sistemes cıclic i dihedric.

L’estudi d’aquests sistemes resulta forca extens, pero cal destacar els seguents resultats

Teorema. 6.1.10

Si el sistema de p-grups C(L) es de tipus p-adic, llavors es de tipus finit en el sentit de [AgBrSa].

Com a consequencia d’aquest teorema, tenim el seguent corol·lari referent als possibles grupsprofinits definits dins del sistema

Corol·lari. 6.1.11

Si el sistema C(L) es de tipus p-adic, i P = lim←−Ps es un grup profinit tal que Ps ∈ C(L) per tot s, llavorsH∗(P ;Fp) es una Fp-algebra finitament generada, i, per tant, un anell noetheria.

De fet, els sistemes de tipus p-adic guarden mes sorpreses:

Teorema. 6.1.16

Sigui C(L) un sistema de tipus p-adic, i sigui P0 el correponent grup inicial. Aleshores, per tot P ∈ C(L),P no maximal, podem construir un isomorfisme (abstracte) de Fp-algebres

H∗(P ) ∼= H∗(P0).

Pel que fa als grups maximals del sistema,

Corol·lari. 6.1.24

Hi ha un nombre finit d’estructures de Fp-algebra tals que, per tot P ′ ∈ C(L), un grup maximal delsistema, H∗(P ′;Fp) te una (i nomes una) d’aquestes estructures.

Es a dir, tots els grups no maximals d’aquest sistema tenen la mateixa cohomologia com a Fp-algebres. Queda, pero, com a pregunta oberta, determinar si l’accio de l’algebra de Steenrod o lescorresponents successions espectrals de Bockstein permetrien diferenciar dos grups P , P ′ no maxi-mals, i similarment amb els grups maximals del sistema.

Finalment, a la segona seccio, 6.2, s’estudien certs tipus de relacions entre sistemes i es presentendos criteris per descartar sistemes que no son de tipus finit.

Tots dos criteris son forca intuitius. El primer d’ells s’enuncia d’aquesta manera.

14 1.2. Agraıments

Proposicio. 6.2.1

Siguin C(L) un sistema qualsevol i P un profinit definit dins del sistema. Si P conte un subgrup normaltancat d’ındex finit, K, tal que H∗(K;Fp) no es de tipus finit, llavors H∗(P ;Fp) tampoc es de tipus finit.

El segon criteri fa servir la nocio de subsistema, definida en aquesta mateixa seccio.

Proposicio. 6.2.5

Si el sistema C(L) admet un subsistema C(L′) que no es de tipus finit en el sentit de [AgBrSa], llavorsC(L) tampoc es de tipus finit.

El capıtol 6 finalitza amb l’estudi de la combinacio de sistemes per obtnir-ne de nous. Es departicular interes i simplicitat el cas en que es combina un sistema de tipus finit amb un sistemaelemental (es a dir, que nomes conte un grup)

Teorema. 6.2.7

Siguin C(L1) un sistema de tipus finit i C(L2) un sistema elemental, amb grups inicials P0,1 i P0,2

respectivament.

Aleshores, el sistema C(L1 ⊗ L2) tambe es de tipus finit. A mes, tot profinit P ∈ C(L1 ⊗ L2) es isomorf aP ′ × P0,2, per algun profinit P ′ ∈ C(L1).

1.2 Agraıments

Aquesta hauria de ser sens dubte la part mes extensa d’aquest treball, ja que realment sense l’ajutde moltes persones aquesta tesina no hagues vist mai la llum, i paradoxalment potser sera la part mescurta.

Muchas gracias a mis padres, Juan Miguel y Ana Mari, a mis hermanos, Cesar, Carlos y Alberto, ya Malili (un oasis de tranquilidad y alegrıa en este “infierno” matematico). ¡Cuantas tonterıas me hantenido que aguantar! Y cuantas veces me han animado a tirar adelante, sobretodo teniendo en cuentaque este trabajo les debe sonar a chino... Gracias tambien al trıo calavera, Josep, Fran y David, queme aguantan las tonterıas desde la adolescencia, y siempre con buena cara... y tambien sin entendernada.

De la uni, crec q els tres mosqueters, Natalia, Jerome i Wolf, mereixen tambe molt mes que lameva gratitut, per aguantar les meves divagacions durant aquests dos (llarguıssims) anys de succes-sions espectrals i altres fantasmades. Tambe el Carles, que m’ha ensenyat que puc treure del meu capmoltes mes coses de les que em pensava.

A los “Adoradores del Triangulo Eterno”, uno no podrıa desear tener mejor ambiente de trabajoy de no-trabajo (bueno, tal vez sin mosquitos tigre ni aire acondicionado...). Al Dani especialmentvull agrair-li cada cop q se m’ha endut a tocar el sostre del mon.

Let me also thank all the Aberdunians, who helped me during my stage, not only about maths,but also about ales... specially, I would like to thank agents McMalagan, McPatri and McCharo for

1. Introduccio 15

their support and happiness, far away from home...

Finalment, a la gent de secretaria, que, tot i la seva vida nomada, sempre s’han pres seriosamentfins i tot els problemes mes ridıculs (que pels no iniciats sempre semblen muntanyes).

Se que falta molta gent en aquesta llista, i espero q els qui no vegin el seu nom aquı no m’hotinguin (gaire) en compte. Moltes gracies a tots!

16 1.2. Agraıments

Capıtol 2

Problema motivador

En aquest capıtol estudiarem el problema que ha motivat la realitzacio d’aquest treball. Com jahem comentat a la introduccio, a grans trets ens plantegem el calcul del grup fonamental d’un certtipus d’espais (p-complets).

Comencarem per presentar un cas particular del problema que volem resoldre en que el resultates dedueix directament (proposicio 2.1.3), i despres estudiarem la situacio mes general, amb el resultatprincipal d’aquesta capıtol (teorema 2.2.6).

2.1 El cas particular

En aquesta seccio estudiarem un cas particular del problema que ens plantejavem resoldre enaquest treball. Veurem que, a partir d’aquesta situacio concreta resulta gairebe natural l’enfoc del casgeneral.

Per simplificar notacio, la cohomologia d’un espai X amb coeficients a Fp, H∗(X;Fp), la deno-tarem per H∗(X).

Definicio 2.1.1.

Sigui k un cos, i A∗ una k-algebra graduada. Diem que A∗ es de tipus finit si, per cada i, dimkAi esfinita. En el cas particular que A∗ = H∗(X; k) per algun espai X , llavors direm tambe que X es un espai dek-tipus finit, o simplement, de tipus finit, quan es sobreentengui qui es k.

Els seguents conceptes estan relacionats amb el functor de p-completacio de Bousfield-Kan, i enslimitarem a definir-los.

Definicio 2.1.2.

Diem que un espai X es p-bo en el sentit de [BoKa] si satisfa H∗(X) ∼= H∗(X∧p ), on X∧

p denota elp-completat de X ([BoKa], I.4 i I.5).

Diem que X es p-complet si X∧p∼= X (es a dir, si el functor de p-completacio de Bousfied-Kan indueix

una equivalencia homotopica).

17

18 2.1. El cas particular

Diem que un espai es p-dolent si H∗(X) 6∼= H∗(X∧p ).

Com es pot veure a [BoKa], un espai X es p-bo si i nomes si el seu p-completat es p-complet:X∧

p ' (X∧p )∧p . Igualment, X es p-dolent si i nomes si X∧

p 6' (X∧p )∧p .

Suposem, doncs, que tenim una fibracio d’espais connexos,

F −→ Yπ−→ B. (2.1)

En aquesta situacio, tenim el seguent resultat.

Proposicio 2.1.3.

Suposem que la fibracio (2.1) satisfa les condicions seguents: B es p-complet, amb π1(B) un p-grup finit,H∗(Y ) es de Fp-tipus finit, i F es connex. Suposem tambe que l’aplicacio π∗ : H∗(B) → H∗(Y ) es unisomorfisme en dimensio 1 i un monomorfisme en dimensio 2.

Aleshores, Y es p-bo, i π1(Y ∧p ) ∼= π1(B).

Demostracio. Considerem la successio espectral de Serre associada la fibracio anterior, amb termeE∗,∗

2∼= H∗(B;H∗(F )). Recordem que tenim isomorfismes:

E∗,02

∼= H∗(B) E0,∗2

∼= H∗(F )π1(B).

Aixı, si π∗ : H∗(B) → H∗(Y ) es isomorfisme en dimensio 1 i monomorfisme en dimensio 2, llavorses dedueix que H1(F )π1(B) = 0, i el lema 2.1.4 a continuacio ens diu que H1(F ) = 0.

Aixı, π1(F ) es Fp-perfecte, i la proposicio VII, 3.2 de [BoKa] ens diu que F es p-bo i F∧p (el p-completat de F ) es 1-connex. Aixı, de la successio exacta llarga d’homotopia aplicada a la fibracioF∧p → Y ∧

p → B es dedueix que π1(Y ∧p ) ∼= π1(B).

A mes, tenim un diagrama de fibracions

F

²²

// F∧p

²²Y //

²²

Y ∧p

²²B B,

de manera que l’aplicacio F → F∧p indueix isomorfisme en cohomologia. En particular, d’aquı es veuque l’aplicacio Y → Y ∧

p indueix un isomorfisme en cohomologia, i, per tant, Y es p-bo.

Lema 2.1.4.

Sigui V , un Fp-espai vectorial, i sigui G un p-grup finit actuant de manera linial sobre V de manera queV G = 0. Aleshores, V = 0.

2. Problema motivador 19

Demostracio. Suposem primer que V es un Fp-espai vectorial finit, i sigui v1, . . . , vr una base de V .Aixı, V =

⋃i G(vi)

⋃G(0), on G(x) = {gx|g ∈ G} es la orbita per G de l’element x. Per tant,

pn = |V | =∑

i

|G(vi)|+ |G(0)|.

D’altra banda, tenim igualtats |G(x)| = |G|/|Gx| per tot x, on Gx = {g ∈ G|gx = x}, i enparticular, |G(0)| = 1. De fet, si G es p-grup, aleshores, per tot x, |G(x)| = prx per cert rx ≥ 0.Observem, a mes, que si V G = 0, aleshores |G(vi)| = pri > 1 per tot i.

Aixı, modul p, tenim0 ≡

∑

i

|G(vi)|+ 1 ≡ 1,

que es impossible. Per tant, V = 0.

En el cas que V no sigui finit, suposem que existeix x ∈ V , x 6= 0. Considerem l’orbita de x,G(X). Per ser G finit, G(x) tambe es finit. Considerem tambe < G(x) >≤ V , el subespai vectorial(finit) generat per G(x). Es clar que G(x)G = 0, ja que V G = 0 per hipotesi, i per tant, G(x) = 0. Aixosucceeix per tot x ∈ V , i, per tant, V = 0.

2.2 El cas general

Ens agradaria ara poder estendre els resultats de la proposicio 2.1.3 a altres situacions mes gener-als. Per exemple, suposem que, en comptes d’una fibracio F → X → B tenim un sistema projectiu defibracions: una famılia de fibracions {Fs → Xs → Bs} d’espais connexos, juntament amb aplicacionsentre cada parell de fibracions, tals que, per cada r ≤ s ≤ t, el diagrama

Ft//

²²

~~}}}}

}}}}

Xt//

²²

}}||||

||||

Bt

²²

~~||||

||||

Fs//

ÃÃAAA

AAAA

A Xs//

!!BBB

BBBB

B Bs

ÃÃBBB

BBBB

B

Fr// Xr

// Br

es commutatiu. Per simplicitat, suposem tambe que, per cada s, πi(Fs), πi(Xs) i πi(Bs) son grupsfinits per tot i.

Donat que tots els grups d’homotopia son finits, els sistemes projectius {πi(Fs)}, {πi(Xs)} i{πi(Bs)} satisfan la condicio de Mittag-Leffler per cada i, i tindrem una fibracio (llevat d’homotopia)

F −→ X −→ B,

on F = holim Fs, X = holim Xs i B = holim Bs.

Ara, pero, no podem tractar aquesta fibracio com a la seccio anterior, ja que en aquesta situaciosorgeixen nous problemes que, en el cas “finit” no havıem de considerar. Per exemple, si π1(B) no

20 2.2. El cas general

es finit, llavors el lema 2.1.4 no es necessariament cert. Igualment, no tindrem necessariament unisomorfisme H∗(F ) ∼= lim−→H∗(Fs) (equivalentment, H∗(F ) ∼= lim−→H∗(Fs)).

Es clar, per tant, que ens cal simplificar la situacio. Abans, pero, introduim una mica de notacio idefinicions basiques que farem servir al llarg dels seguents apartats.

2.2.1 Definicions basiques i situacio inicial

En els propers apartats treballarem sobretot amb grups profinits i espais definits com lımits ho-motopics. En aquest apartat, per tant, volem presentar de manera breu alguns conceptes relacionatsamb lımits inversos.

Definicio 2.2.1.

Un sistema projectiu, o torre de grups, {Gs}, es una famılia de grups Gs, s ∈ N, juntament ambmorfismes ψs+1

s : Gs+1 → Gs per tot s, de manera que, per tot r ≤ s ≤ t, el diagrama

Gt

ψtr

ÃÃBBB

BBBB

Bψt

s

~~||||

||||

Gsψs

r

// Gr

es commutatiu, on ψts = ψs+1

s ◦ . . . ◦ ψtt−1 (respectivament per ψs

r i ψtr). De manera similar, definim una

torre de fibracions, {Xs}, com una famılia d’espais Xs, juntament amb fibracions Xs+1 → Xs per tot s ambdiagrames commutatius similars als corresponents a una torre de grups.

Igualment, podem definir un sistema directe o dirigit com una famılia de grups {Bs}, juntament ambmorfismes hs+1

s : Bs → Bs+1 tals que, per tot r ≤ s ≤ t tenim un diagrama commutatiu

Bs

hts

!!BBB

BBBB

B

Br

hsr

>>||||||||

htr

// Bt,

on hts = ht

t−1 ◦ . . . ◦ hs+1s (respectivament per hs

r i htr).

Sigui {Gs} un sistema projectiu. Aleshores, es natural considerar el lımit invers d’aquest sistema.Aixo dona lloc a un nou grup, G = lim←−Gs, anomenat grup profinit. Igualment, donat un sistemadirecte {Bs}, podem considerar el corresponent lımit directe, B = lim−→Bs. A continuacio, defnimaquests dos nous grups.

Siguin {Gs, ψts} i {Bs, h

tr} un sistema projectiu i un sistema directe respectivament. Els correspo-

nents lımits projectiu i directe es defineixen per

G = lim←−Gs = {(gs) ∈∏

s Gs | ψss−1(gs) = gs−1 per tot s},

B = lim−→Bs = (∐

s Bs)/{xr ∼ xs | existeix t ≥ r, s tal que htr(xr) = ht

s(xs)}.

Donades dues torres de grups, sembla natural intentar compararles. Aixo ens porta a la seguentdefinicio:


Definicio 2.2.2.

Siguin {Gs, ψss−1}, {Hs, φ

ss−1} dues torres de grups. Un morfisme entre torres, f : {Gs} → {Hs},

consisteix d’una famılia de morfismes fs : Gs → Hs tal que, per tot s ≤ t, el diagrama

Gtft //

ψts

²²

Ht

φts

²²Gs

fs

// Hs

es commutatiu. De manera similar es defineix un morfisme entre torres de fibracions o entre sistemes directes.

Un morfisme f : {Gs} → {Hs} entre torres de grups es un pro-isomorfisme si, per tot grup D, indueixun isomorfisme

lim−→Hom(Gs, D) ∼= lim−→Hom(Hs, D).

Aixı, diem que una torre {Gs} es pro-trivial si es pro-isomorfa a la torre trivial, {1}. Un pro-monomorfisme(respectivament pro-epimorfisme) es un morfisme f = (fs) entre torres tal que la torre {Ker(fs)} es pro-trivial (respectivament la torre {Coker(fs)}). Direm que la torre {Gs} es pro-constant si es pro-isomorfa auna torre constant.

Donades torres de fibracions {Zs} i {Ys}, una aplicacio entre torres, {Zs} → {Ys} es una pro-equivalenciahomotopica feble si, per cada i, indueix un pro-isomorfisme {πi(Zs)} → {πi(Ys)}.

L’observacio seguent, extreta de [BoKa], reinterpreta les nocions de pro-isomorfisme i pro-equiva-lencia homotopica feble.

Observacio 2.2.3. Sigui f : {Hs} → {Gs} un pro-isomorfisme. Aleshores, per la proposicio III, 2.6 de[BoKa], f indueix un isomorfisme de grups profinits

lim←−Hs∼= lim←−Ps.

De manera similar, una pro-equivalencia homotopica feble entre torres de fibracions, {Zs} → {Ys}, indueixuna equivalencia homotopica feble

lim←−Zs ' lim←−Ys.

El problema mes important que trobarem en aquest treball relacionat amb el lımit homotopicd’una torre de fibracions {Zs} es veure quan l’homologia commuta amb els lımits inversos, es a dir,quan tenim un isomorfisme

H∗(holim Zs) ∼= lim←−H∗(Zs).

En general no tindrem aquest isomorfisme, tot i que, sota certes condicions sobre els espais Zs dis-posem d’alguns resultats que ens asseguren la commutativitat de l’homologia amb el lımit invers. Enparticular, treballant amb espais nilpotents, hi ha un resultat de [Bo] que ens resultara util.

Definicio 2.2.4.

Sigui Z un espai connex. Diem que Z es nilpotent (en el sentit de [BoKa]) si, per tot i, l’accio deπ = π1(Z) sobre G = πi(Z) es nilpotent, es a dir, si existeix una successio finita de subgrups de G,

G(1) = G ≥ G(2) ≥ . . . ≥ G(n) = 1G

tal que, per cada j,


i) Gj es tancat per l’accio de π (l’accio de π envia Gj dins de Gj),

ii) Gj+1 es subgrup normal de Gj i Gj/Gj+1 es abelia, i

iii) l’accio de π induida sobre Gj/Gj+1 es trivial.

Per R un anell, diem que Z es R-nilpotent si Z es nilpotent i, per tot i ≥ 1, G = πi(Z) es R-nilpotent,es a dir, te una successio finita de subgrups

G(1) = G ≥ G(2) ≥ . . . ≥ G(n) = 1G

tal que cada quocient Gj/Gj+1 admet una estructura de R-modul.

Ara podem enunciar el seguent lema ([Bo], 9.3), que resol, en particular, el problema de la com-mutativitat del lımit invers amb l’homologia, sota certes condicions de nilpotencia:

Lema 2.2.5.

Per un anell R ⊂ Q o un cos Fp, sigui {Zm} una torre de fibracions tal que Zm es R-nilpotent per tot m,i sigui Z el seu lımit invers, Z = holim Zm.

Si la torre de grups {Hi(Zm;R)} es pro-trivial per i ≤ 1 i pro-constant per i > 1, llavors Z es simplementconnex i l’aplicacio {Hi(Z; R)} → {Hi(Zm;R)} es un pro-isomorfisme per cada i.

Sigui, per tant, X un espai connex, definit com el lımit homotopic d’una torre de fibracions, {Xs},tal que πi(Xs) es finit per tot i i tot s, i suposem que lim−→H∗(Xs) es de tipus finit.

Donat un espai X amb aquestes propietats, veurem que podem associar a A∗ = lim−→H∗(Xs) unsistema de p-grups, C(L), i, en particular, un grup profinit P = lim←−Ps tal que Ps ∈ C(L) per tot s. Latorre de grups {Ps} ens permetra construir un sistema projectiu de fibracions {F ′s → Xs → BPs} comabans. En concret, demostrarem el seguent resultat:

Teorema 2.2.6.

Sigui X un espai connex definit per X = holim Xs, on, per tot s, πi(Xs) es finit, i tal que lim−→H∗(Xs)es de tipus finit.

Suposem tambe que el sistema C(L) associat a lim−→H∗(Xs) es de tipus finit, i que, per tot P , profinit definita C(L), i tota aplicacio H∗(P ) → lim−→H∗(Xs), el Fp-espai vectorial

TorH∗(BP )(lim−→H∗(Xs),Fp)

es finit en cada grau total.

Aleshores, X es p-bo i existeix una torre de grups, {Ps}, amb Ps ∈ C(L) per tot s, tal que

π1(X∧p ) ∼= P = lim←−Ps.

Sens dubte crida l’atencio la condicio sobre TorH∗(BP )(lim−→H∗(Xs),Fp). A [AgBrSa], seccio 6,es pot consultar un exemple d’espai pel qual no es satisfa la condicio sobre Tor, tot justificant aixıaquesta condicio a l’enunciat.


A continuacio, donem una idea de l’estrategia que seguirem per demostrar el teorema anterior.En primer lloc, associarem a A∗ = lim−→H∗(Xs) un sistema de p-grups C(L). Veurem que, donadauna torre {Xs}, podem, a mes, associar-li una torre de grups {Ps} i aplicacions Xs → BPs per tot s,seguint les instruccions de [AgBrSa].

Observem que els espais Xs son p-bons per tot s, ja que πi(Xs) es finit per tot i ([BoKa], proposicioVII.4.3). Aixı, les aplicacions Xs → (Xs)∧p = Ys indueixen isomorfismes en cohomologia. Per tant,

lim−→H∗(Xs) ∼= lim−→H∗(Ys).

Per tant, el sistema associat a la torre {Xs} es el mateix que el sistema associat a la torre {Ys}.

Un cop construida la torre {Ps}, podrem construir fibracions Fs → Xs → BPs, i el corresponentsistema projectiu de fibracions. Observem que, si els espais Xs son p-complets, llavors els espais Fs

tambe ho son.

El seguent pas es estudiar si la torre {Fs} satisfa les condicions per aplicar-hi el lema 2.2.5. Enparticular, aquest lema demana que els espais Fs siguin nilpotents. Observem que, treballant ambla torre {Ys}, aquesta condicio es satisfa de manera inmediata (veurem que en aquest cas, Fs es p-complet per tot s). Finalment, veurem que Y = holim Ys es p-complet, i X∧

p = Y .

Aixı, ens interessa treballar directament amb la torre {Ys}. Comencem per veure algunes propi-etats d’aquesta torre.

Lema 2.2.7.

Per tot s, Xs es p-bo, i Ys = (Xs)∧p es p-complet, amb πi(Ys) un p-grup finit per tot i.

Demostracio. Per hipotesi, πi(Xs) es finit per tot i. Per la proposicio VII, 4.3 de [BoKa], Xs es p-bo, iYs = (Xs)∧p es p-complet, amb grups d’homotopia πi(Ys) = πi((Xs)∧p ) finits per tot i.

Observem que hi ha una aplicacio natural entre les torres de fibracions {Xs} i {Ys}, f = {fs}, onfs : Xs → Ys es l’aplicacio natural entre un espai i la seva p-completacio ([BoKa]).

Lema 2.2.8.

L’aplicacio f : {Xs} → {Ys} indueix un isomorfisme

lim−→H∗(Xs) ∼= lim−→H∗(Ys).

Demostracio. Sabem que Xs es p-bo per tot s, aixı que, per definicio, H∗(Xs) ∼= H∗((Xs)∧p ) = H∗(Ys).Per tant, els sistemes dirigits {H∗(Xs)} i {H∗(Ys)} son isomorfs en el sentit de que, per tot r ≤ s ≤ t,


tenim un diagrama commutatiu entre els dos sistemes

H∗(Yr)∼=f∗r

//

²²

{{vvvvvvvvvvH∗(Xr)

²²

zzuuuuuuuuuuu

H∗(Ys)∼=f∗s

//

##HHHHHHHHHHH∗(Xs)

$$IIIIIIIIIII

H∗(Yt)∼=f∗t

// H∗(Xt).

Ara, l’enunciat es dedueix inmediatament.

2.2.2 Sistemes de p-grups associats a torres de fibracions

Sigui {Ys} una torre de fibracions tal que A∗ = lim−→H∗(Ys) es de tipus finit. En aquest apartatdescriurem el procediment de [AgBrSa] per associar, a A∗, un sistema de p-grups amb cohomologia“similar” a A∗ en dimensions baixes. La notacio emprada aquı es la mateixa que a [AgBrSa].

De fet, nomes presentarem aquests sistemes de manera mes aviat breu, ja que per raons de co-herencia tornarem a presentar amb mes detall aquests sistemes a la seccio 3.4.

Aixı, aquest apartat s’estructura en dos blocs: en primer lloc veurem com associar, a una algebrainestable sobre l’algebra de Steenrod i de Fp-tipus finit, el corresponent sistema de p-grups, i en segonlloc estudiarem com associar, a una determinada torre de fibracions, un profinit concret dins delsistema.

Comencem per definir l’anomenat functor d’algebres inestables lliures,

U : E −→ K,

de la categoria dels Fp-espais vectorials graduats, E , a la categoria de les Fp-algebres inestables K.Aquest functor es defineix com el functor adjunt esquerra del functor oblit, O, que envia una algebrainestable K∗ a O(K∗), el Fp-espai vectorial graduat subjacent a K∗, i satisfa les seguents propietats:

i) Donat un Fp-espai vectorial, K, podem pensar K com l’espai vectorial graduat K∗ tal que: K1 =K, Ki = 0 per i 6= 0. Aleshores,

U(K) = H∗(K∗),

on K∗ denota el dual de l’espai vectorial K. Per simplicitat, denotarem U(K) = U(K).

ii) Donats A∗ una algebra inestable, K un espai vectorial, i K → Ai un morfisme d’espais vectorials,aquest morfisme esten a un morfisme d’algebres inestables

U(K) −→ A∗.


La idea es, donada una algebra inestable A∗, construir una nova algebra inestable, L∗, juntamentamb un morfisme (d’algebres inestables) φ : L∗ → A∗, de manera que φ es isomorfisme en dimensio1 i monomorfisme en dimensio 2. En general, un morfisme satisfent aquestes dues condicions diremque es una 2-equivalencia.

En general, parlarem de l’algebra L enlloc de L∗, i nomes farem referencia al superındex quanvolguem remarcar que es tracta d’una algebra (inestable) graduada o quan parlem d’un determinatgrau dins de L.

Un cop definida L∗, associarem a A∗ el sistema de p-grups C(L) format per tots els p-grups P

tals que existeix una 2-equivalencia ρP : L → H∗(P ). Es a dir, tots els p-grups P amb cohomologia“similar” a A∗ en dimensions baixes. Finalment, estudiarem el cas particular en que A∗ = lim−→H∗(Ys),amb {Ys} coneguda.

Siguin doncs W ∗1 , un Fp-espai vectorial isomorf a A1, i W ∗

1 → A1 el corresponent isomorfismed’espais vectorials. Per les propietats del functor U , aquest isomorfisme esten a un morfisme d’algebresinestables

ϕ : U(W ∗1 ) −→ A∗.

Sigui ara Q2 el Fp-espai vectorial dual a Ker(ϕ : U(W ∗1 )2 → A2), el nucli en dimensio 2 del morfisme

ϕ. Aixı, la inclusio Q∗2 ↪→ U(W ∗1 )2 esten a un morfisme d’algebres inestables

ψ : U(Q∗2) −→ U(W ∗1 ).

Finalment, la composicio

U(Q∗2)

ψ−→ U(W ∗1 )

ϕ−→ A∗

indueix un morfisme φ : L∗ = U(W ∗1 )//U(Q∗

2) → A∗ que es, per construccio, una 2-equivalencia, jaque L1 ∼= W ∗

1∼= A1, i L2 ∼= H2(W1)/Q∗2.

Aixı, fixada L, podem definir el sistema de p-grups seguent

C(L) = {P p-grup finit | existeix una 2-equivalencia ρP : L → H∗(P )},format pels p-grups P (o classes d’isomorfia de p-grups P ) satisfent la condicio anterior. Podem dotarC(L) de l’estructura de conjunt parcialment ordenat mitjancant la relacio d’ordre “l” definida per:P l P ′ si existeix un epimorfisme π : P ′ ³ P . De fet, tal com es pot veure a [AgBrSa], aquestepimorfisme indueix un diagrama commutatiu

LρP ′

##GGGG

GGGG

GρP

||yyyy

yyyy

y

H∗(P )π∗

// H∗(P ′).

De la construccio de L es dedueix, a mes, una extensio central que jugara un paper forca impor-tant en el sistema C(L). Recordem que

L = U(W ∗1 )//U(Q∗2),

on W ∗1 i Q∗2 son p-grups abelians elementals, de manera que U(W ∗

1 ) ∼= H∗(W1), i l’espai vectorialQ∗2 es definia, precisament, com cert subespai vectorial de H2(W1). Aixı, el dual de la inclusio Q∗

2 ⊂H2(W1), H2(W1) → Q2, defineix una classe ω ∈ H2(W1; Q2), i per tant una extensio central

Q2 −→ P0 −→ W1. (2.2)


A continuacio detallem les propietats mes importants que satisfa aquest sistema, tal com es potveure a [AgBrSa]:

i) Siguin P ∈ C(L) i una extensio central V → P ′ → P , determinada per una inclusio V ∗ ⊂ H2(P ),on V es p-grup abelia elemental. Aleshores, P ′ ∈ C(L) si i nomes si V ∗⋂

ρP (L2) = 0.

ii) Una relacio P l P ′ es pot refinar a una cadena P = P1 l P2 l . . . l Ps = P ′ tal que Pi ∈ C(L)per i = 1, . . . , s, i tal que Pi encaixa en una extensio central Vi → Pi → Pi−1, on Vi es abeliaelemental, per i = 2, . . . , s.

iii) El grup P0, definit per l’extensio central (2.2), es element inicial del sistema C(L), en el sentit deque, per tot P ∈ C(L), tenim una desigualtat P0 l P .

iv) Un element P ∈ C(L) es maximal si i nomes si la corresponent 2-equivalencia ρP : L → H∗(P )es un isomorfisme en dimensio 2.

Definicio 2.2.9.

Diem que el sistema C(L) es de tipus finit si, per tota cadena infinita,

Pλ1 l Pλ2 l . . .l Pλs l . . . ,

H∗(P ) es de tipus Fp-finit, on P = lim←−Pλs i H∗(P ) ∼= lim−→H∗(Pλs).

Notem que una cadena dins de C(L) es pot veure tambe com una torre de grups {Ps, πts}, amb

P = lim←−Ps el grup profinit determinat per aquesta cadena.

Observem tambe que, per la proposicio 6.5.5 de [RiZa], si P = lim←−Pλs es un grup profinit, llavorsH∗(P ) ∼= lim−→H∗(Pλs), i per tant la segona condicio es satisfa de manera inmediata. Es la primeracondicio la que es difıcil de verificar (segons com sigui el sistema, podem definir molts profinitsdiferents dins del sistema). A [AgBrSa] es poden consultar alguns exemples de sistemes de tipusfinit.

Considerem una cadena (infinita) dins de C(L). Donat que C(L) te un element inicial, podemsuposar que aquesta cadena comenca per P0, l’element inicial:

P0 l P1 l . . .l Ps l . . . ,

i siguin tambe, per cada s, ρs : L → H∗(Ps) i φs : P → Ps, respectivament, la 2-equivalencia ila projeccio corresponents. Els seguents lemes tecnics demostren algunes de les propietats de lescadenes dins d’un sistema C(L).

Lema 2.2.10.

Per tot s ≥ 1, la composicio

Lρs−1 // H∗(Ps−1)

(πss−1)

∗// H∗(Ps)

es una 2-equivalencia per H∗(Ps). En particular, tenim isomorfismes

ρ0(L2) ∼= π∗0(H2(W1)),ρs(L2) ∼= (πs

s−1)∗(ρs−1(L2)),

per tot s ≥ 1, on π0 : P0 ³ W1.


Demostracio. Suposem, per simplicitat i sense perdua de generalitat, que la cadena P0 l P1 l . . . esrefinada, de manera que per tot s ≥ 1, Ps encaixa en una extensio central

Vs// Ps

πss−1 // Ps−1,

on Vs es abelia elemental. Si Ps ∈ C(L) per tot s, llavors de la successio espectral de Serre apli-cada a l’extensio anterior es dedueixen la primera part de l’enunciat i els isomorfismes ρs(L2) ∼=(πs

s−1)∗(ρs−1(L2)).

Per P0, considerem l’extensio central que definia a P0:

Q2// P0

π0 // W1.

Igualment, de la successio espectral de Serre es veu l’isomorfisme ρ0(L2) ∼= π∗0(H2(W1)).

Lema 2.2.11.

Sigui P un grup profinit definit dins de C(L) per una torre {Ps, πts}. Aleshores, existeix una 2-equivalencia,

ρP : L −→ H∗(P ),

tal que, per tot t ≥ s, el diagrama seguent es commutatiu:

H∗(P ) H∗(Pt)φ∗too H∗(Ps)

(πts)∗oo

L.

ρs

OO

ρt

YY

ρP

dd

Demostracio. Definim el morfisme d’algebres seguent:

ρP = φ∗0 ◦ ρ0 : L −→ H∗(P0) −→ H∗(P ),

i volem comprovar que es isomorfisme en dimensio 1 i monomorfisme en dimensio 2.

Es clar que es isomorfisme en dimensio 1, ja que

H1(P ) ∼= lim−→H1(Ps) ∼= lim−→H1(W1) ∼= H1(W1) ∼= H1(P0)

per construccio del sistema. Veiem ara que es un monomorfisme en dimensio 2: sigui µ ∈ L2.Fent servir els isomorfisme del lema anterior, es veu que ρ0(µ) ∈ H2(P0) representa una classe alim−→H2(Ps) = H2(P ).

La commutativitat dels diagrames es inmediata per construccio.

Ens interessa considerar el cas especial en que A∗ = lim−→H∗(Ys), per una determinada torre {Ys}.En aquest cas, a part d’associar-li a A∗ un sistema C(L), tambe podem associar-li un profinit P ∈ C(L)concret, tal com veurem a continuacio. Per veure-ho, primer, construirem una torre de grups, {Ps}, apartir de A∗ i de la torre {Ys}, de manera que P = lim←−Ps, i llavors comprovarem que efectivament,Ps ∈ C(L) per tot s.


Passem doncs a construir la torre {Pj}. Considerem primer W ∗1 = A1 = lim−→H1(Ys). Per hipotesi,

A1 es finit, i per tant existeix s−1 tal que, per tot γ ∈ A1, γ esta representat a H1(Ys−1), i per tantW ∗

1 ⊆ H1(Ys−1).

Sigui llavors ψ−1 : Ys−1 → BW1 una aplicacio realitzant la inclusio H1(BW1) ∼= W ∗1 ↪→ H1(Ys−1),

i considerem la situacio seguent:

Ys−1

ψ−1

²²BP0

Bπ// BW1 ι

// B2Q2.

Recordem que Q2 es definia com el dual de Ker(H2(W1) → A2). Per tant, com que A2 es finit perhipotesi, es clar que existeix s0 tal que, per tot µ ∈ H2(B2Q2), la composicio

H2(B2Q2)ι∗ // H2(BW1)

ψ−1 // H2(Ys−1)(hs0

s−1)∗

// H2(Ys0)

envia µ a zero, d’on es dedueix que la composicio ι ◦ ψ−1 ◦ hs0s−1

es nulhomotopa, i, per tant, queexisteix ψ0 : Ys0 → BP0 fent commutatiu el diagrama seguent:

Ys0

ψs0

²²

hs0s−1 // Ys−1

ψ−1

²²BP0

Bπ// BW1 ι

// B2Q2.

Considerem ara l’aplicacio induida H∗(BP0) → A∗, i sigui K1 el Fp-espai vectorial dual deKer(H2(BP0) → A2). La inclusio K∗

1 ⊂ H2(BP0) defineix una nova extensio central,

K1 −→ P1π1−→ P0,

i podem considerar la situacioYs0

ψ0

²²BP1

Bπ1

// BP0 ι1// B2K1.

De nou, existeix s1 ≥ s0 tal que la composicio ι1 ◦ ψ0 ◦ ht0s0

es nulhomotopa, i per tant tenim unaaplicacio ψ1 : Xs1 → BP1 tal que el seguent diagrama es commutatiu:

Ys1

hs1s0 //

ψ1

²²

Ys0

ψ0

²²BP1

Bπ1

// BP0.

De manera recurrent es construeixen extensions centrals Kj → Pj → Pj−1, i aplicacions contınuesψj : Xsj → BPj , formant diagrames commutatius

Ysj

hsjsj−1 //

ψj

²²

Ysj−1//

ψj−1

²²

. . . // Ys1

hs1s0 //

ψ1

²²

Ys0

ψ0

²²BPj

Bπj

// BPj−1 // . . . // BP1Bπ1

// BP0.


En particular, amb aquest proces construim una torre de grups {Pj}, i, per tant, un profinit P = lim←−Pj .

Definicio 2.2.12.

Donada una torre de fibracions {Ys}, definim el profinit associat a {Ys} com el profinit P = lim←−Pj

determinat per la torre de grups {Pj}.

Volem veure ara que els grups Pj que hem construit inductivament pertanyen al sistema C(L)associat a A∗.

Lema 2.2.13.

Els grups Pj definits abans pertanyen al sistema C(L) per tot j.

Demostracio. Per P0 sabem que, per la mateixa construccio del sistema associat a A∗, P0 ∈ C(L). Enparticular, considerem la projeccio π : P0 → W1. Llavors, el morfisme induit en cohomologia perπ, π∗ : H∗(W1) → H∗(P0), dona lloc a una 2-equivalencia ρ0 : L → H∗(P0), que satisfa ρ0(L2) =π∗(H2(W1)).

Suposem ara que hem comprovat que Pi ∈ C(L) per i ≤ j, i volem comprovar que Pj+1 ∈ C(L).En particular, per Pi ∈ C(L), i ≤ j, si denotem πi : Pi → Pi−1 la corresponent projeccio de grups,llavors

ρi = π∗i ◦ ρi−1 : L −→ H∗(Pi−1) −→ H∗(Pi)

es una 2-equivalencia.

Sigui Kj+1 el dual de Ker(H2(BPj) → A2). El grup Pj+1 es defineix per l’extensio central

Kj+1 −→ Pj+1πj+1−→ Pj ,

definida per la inclusio K∗j+1 ⊂ H2(Pj) i, tal com es pot veure a [AgBrSa] (propietat iv) dels sistemes

de p-grups), Pj+1 ∈ C(L) si i nomes si K∗j+1

⋂ρj(L2) = 0, on ρj denota la 2-equivalencia corresponent

a Pj dins del sistema.

Sigui µ ∈ ρj(L2) = π∗j (ρj−1(L2)) un element qualsevol (no trivial). Existeix µ′ ∈ H2(Pj−1) talque π∗j (µ′) = µ. El seguent diagrama il·lustra la situacio en que ens trobem:

A2 H2(Ysj )h∗sjoo H2(Ysj−1)

(hsjsj−1 )∗

oo

H2(BPj)

ψ∗j

OO

H2(BPj−1).

ψ∗j−1

OO

Bπ∗joo

Observem ara que, si π∗j (µ′) 6= 0, llavors, per construccio, µ′ 6∈ Ker(H2(BPj−1) → A2) (elrecıproc es igualment cert). Per naturalitat, tenim

(h∗sj◦ ψ∗j )(µ) = (h∗sj

◦ (hsjsj−1

)∗ ◦ ψ∗j−1)(µ′) 6= 0,

es a dir, µ 6∈ K∗j+1 = Ker(H2(BPj) → A2), i per tant, Pj+1 ∈ C(L).


Observem que les aplicacions induides en cohomologia per ψj , ψ∗j : H∗(BPj) → H∗(Ysj ) donenlloc, en el lımit, a un morfisme ψ∗ : H∗(BP ) ∼= lim−→H∗(BPj) → lim−→H∗(Ysj ) ∼= A∗, i per tant A∗ te unaestructura natural de H∗(P )-modul.

Lema 2.2.14.

El seguent diagrama es commutatiu:

H∗(P )ψ∗ // A∗

L,

ρP

bbFFFFFFFFF φ

>>~~~~~~~~

on ρP es la 2-equivalencia del lema 2.2.11 i φ es el morfisme que existeix per construccio del sistema C(L). Esa dir, φ = ψ∗ ◦ ρP .

Demostracio. Els morfismes ρP i φ son, per construccio, 2-equivalencies, i L esta generat per elementsde dimensio 1. Aixo demostra l’enunciat.

La seguent propietat cohomologica de la torre {Pj} ens resultara util mes endavant:

Lema 2.2.15.

L’aplicacio entre torres de fibracions ψ = {ψj} : {Ysj} → {BPj} indueix un isomorfisme

lim−→H1(BPj) ∼= lim−→H1(Ysj ).

Demostracio. Es dedueix del lema anterior, ja que els morfismes φ i ρP son 2-equivalencies (i, enparticular, isomorfismes en dimensio 1).

Observacio 2.2.16.

Es clar que dues torres de fibracions, {Zs} i {Z ′s}, poden donar lloc a la mateixa algebra lim−→H∗(Zs) =A∗ = lim−→H∗(Z ′s). Aixı, si nomes suposem coneguda l’algebra A∗, nomes podem determinar quin sera elsistema C(L) associat a A∗.

L’anterior observacio motiva el seguent lema.

Lema 2.2.17.

Donada una torre de fibracions {Ys} tal que A∗ = lim−→H∗(Ys) es de Fp-tipus finit, existeixen una successio{sj}, i una torre de grups {Pj} tal que Pj ∈ C(L), el sistema associat a A∗, amb aplicacions ψj : Ysj −→ BPj ,tals que el corresponent diagrama

H∗(P )ψ∗ // A∗

L

ρP

bbEEEEEEEEE φ

??~~~~~~~~

es commutatiu.


2.2.3 La famılia de fibracions associada a {Ys}

Donada una torre {Ys} amb A∗ = lim−→H∗(Ys) de Fp-tipus finit, ja hem vist com associar-li elcorresponent profinit, P ∈ C(L), i ara volem construir fibracions Fj → Ysj → BPj amb espai basel’espai classificador del grup Pj , i espai total Ysj

. Aquestes fibracions donaran lloc a una torre defibracions, {Fj}, que sera el nostre objecte d’estudi en aquest apartat. La intencio es veure quanpodem aplicar el lema 2.2.5 (9.3 de [Bo]) a la torre {Fj}, de manera que, al seguent apartat, podremdemostrar el teorema 2.2.6.

Considerem, per tant, una torre {Ys} amb A∗ = lim−→H∗(Ys) de Fp-tipus finit, i suposem, a mes,que Ys es p-complet amb πi(Ys) p-grup finit per tot i i tot s. Per exemple, podem prendre Ys = (Xs)∧p ,on Xs satisfa πi(Xs) finit per tot i, s. Ja hem vist a l’inici d’aquesta seccio que en aquest cas tenim unisomorfisme

lim−→H∗(Ys) ∼= lim−→H∗(Xs),

ja que els espais Xs (amb grups d’homotopia finits) son p-bons, i per tant l’aplicacio natural Xs → Ys

([BoKa]) indueix un isomorfisme en cohomologia per tot s.

Ara, podem associar a A∗ = lim−→H∗(Ys) el corresponent sistema de p-grups, i a {Ys} la correspo-nent torre de p-grups {Pj} que hem construit a l’apartat anterior.

Sigui Fj la fibra homotopica de ψj : Ysj → BPj per cada j. El tipus de propietats que volemprovar sobre la torre {Fj} requereixen l’us de la successio espectral de Serre sobre les fibracions Fj →Ysj → BPj , aixı que abans de provar cap propietat ens cal veure que Fj es connex per tot j.

Lema 2.2.18.

Per tot j, Fj es connex, p-complet, i, πi(Fj) es un p-grup finit per tot i.

Demostracio. El primer pas es veure que Fj es connex. Fent servir la successio exacta llarga d’homo-

topia sobre la fibracio Fj → Ysj

ψj→ BPj , aixo es equivalent a veure que l’aplicacio (ψj)∗ : π1(Ysj ) →π1(BPj) = Pj es un epimorfisme. Aixo ho veurem per induccio: suposarem que es epimorfisme perk ≤ j, i llavors ho comprovarem per j + 1. Al llarg d’aquest argument d’induccio farem servir laconstruccio de la torre {Pj} i les propietats que hem vist a l’apartat anterior.

Recordem que, tal com hem construit la torre {Pj}, existeixen s−1 i πs−1 : Ys−1 → BW1 talsque l’aplicacio induida ψ∗s−1

: H1(BW1) → H1(Ys−1) es un monomorfisme. Dualitzant, tenim unepimorfisme

H1(Ys−1) ³ H1(BW1),

i, fent servir el morfisme de Hurewicz, tenim un diagrama commutatiu

π1(Ys−1) //

h

²²

π1(BW1)

h

²²H1(Ys−1) // H1(BW1).

Recordem que, a nivell del grup fonamental, el morfisme de Hurewicz es un epimorfisme: per totespai Z, H1(Z) = π1(Z)ab = π1(Z)/π1(Z)′, l’abelianitzat de π1(Z), on π1(Z)′ = [π1(Z), π1(Z)] es el


subgrup dels commutadors de π1(Z). En el cas particular de BW1, π1(BW1) ∼= W1, i el morfisme deHurewicz h : π1(BW1) → H1(BW1) es la identitat. Per tant, es dedueix que tenim un epimorfisme

π1(Ys−1) ³ π1(BW1).

En particular, tenim epimorfismes π1(Ysj) ³ π1(BW1) per tot j.

Demostrar que tenim el corresponent epimorfisme pel grup P0 es una mica mes delicat. Consi-derem l’extensio Q2 → P0 → W1, determinada per la inclusio Q∗

2 ⊆ H2(W1), i volem veure queexisteix una projeccio π1(Ys0) ³ P0.

Suposem primer que Q2∼= Z/p. Tenim un diagrama commutatiu

π1(Ys0) //

(ψ0)∗

²²

&&LLLLLLLLLLπ1(Ys−1)

(ψ−1)∗

²²²²

Im((ψ0)∗)

xxqqqqqqqqqqq

&&MMMMMMMMMMM

Q2// P0

// // W1.

D’aquest diagrama es veu que tenim un epimorfisme Im((ψ0)∗) ³ W1.

En aquest cas, o be Im((ψ0)∗) = P0, i ja estem, o be Im((ψ0)∗) ∼= W1, d’on es dedueix queP0

∼= W1 o Z/p. Aixo, pero, es contradiu amb la hipotesi de que P0 ∈ C(L), ja que per tot P ∈ C(L),H1(P ) ∼= H1(W1).

Suposem ara que Q2∼= (Z/p)m. En aquest cas, Q2 te una serie central

Q2,0 = 1 ≤ Q2,1 = Z/p ≤ . . . ≤ Q2,i = (Z/p)i ≤ . . . ≤ Q2,m = Q2,

de manera que per tot i Q2,i+1 = Q2,i × Z/p. Si ara considerem les extensions Q2,i → P0,i → W1

determinades per les inclusions Q∗2,i ⊆ Q∗2 ⊆ H2(W1), llavors tenim, per tot i, diagrames commutatius

Z/p

²²

Z/p

²²Q2,i+1 //

²²

P0,i+1 //

²²

W1

Q2,i // P0,i // W1.

D’aquests diagrames es dedueix que H1(P0,i+1) ≥ H1(P0,i) per tot i. Observem, pero, que P0,0 = W1

i P0,m = P0, i H1(P0) ∼= H1(W1). Per tant, H1(P0,i+1) = H1(P0,i) per tot i.

Considerem ara l’aplicacio (ψ0)∗ : π1(Ys0) → P0. O be Im((ψ0)∗) = P0, i ja estem, o be, deldiagrama commutatiu seguent

π1(Ys0)

fm

²²

π1(Ys0)

fm−1

²²

. . . π1(Ys0)

f0

²²P0,m // P0,m−1 // . . . // P0,0 = W1,


es dedueix que existeix i de manera que l’aplicacio fi es un epimorfisme pero l’aplicacio fi+1 no esepimorfisme. En aquest cas, tenim un diagrama commutatiu

π1(Ys0)

fi+1

²²

%%LLLLLLLLLLπ1(Ys0)

fi

²²²²

Im(fi+1)

yyrrrrrrrrrr

%%LLLLLLLLLL

Z/p // P0,i+1 // // P0,i,

d’on es veu que Im(fi+1) ∼= P0,i, i P0,i+1∼= P0,i o Z/p, en contradiccio amb el fet que H1(P0,i+1) ∼=

H1(P0,i). Per tant, tenim un epimorfisme

π1(Ys0) ³ π1(BP0).

Finalment, per BPj+1, tenim un diagrama commutatiu

π1(Ysj+1) //

(ψj+1)∗

²²

''NNNNNNNNNNNπ1(Ysj )

(ψj)∗

²²²²

Im((ψj+1)∗)

wwppppppppppp

&&MMMMMMMMMMMM

Z/p // Pj+1 // // Pj ,

d’on es veu que, o be Im((ψj+1)∗) = Pj+1, i ja estem, o be Im((ψj+1)∗) ∼= Pj , i Pj+1∼= Pj o Z/p, en

contradiccio amb el fet que Pj+1 ∈ C(L). Per tant, Fj es connex per tot j.

Aplicant la successio exacta llarga d’homotopia a la fibracio Fj → Ysj → BPj es dedueix ara queπi(Fj) es un p-grup finit per tot i, ja que, pel lema 2.2.8, πi(Ysj ) es un p-grup finit per tot i, i Pj es unp-grup finit. En particular, Fj es p-bo.

Finalment, per veure que Fj es p-complet, Considerem el diagrama de fibracions

Fj //

²²

Ysj// BPj

(Fj)∧p // Ysj// BPj ,

on les aplicacions verticals son les aplicacions de p-completacio. Per hipotesi, els espais Ysj son p-complets, i els espais BPj son p-bons perque Pj es p-grup finit per tot j. Per tant, Fj es p-complet.

Notem, a mes, que podem construir aplicacions ϕj+1j : Fj+1 → Fj , de manera que tenim aplica-


cions entre fibracions

Fj+1

ϕj+1j //

²²

Fj

²²Ysj+1

//

ψj+1

²²

Ysj

ψj

²²BPj+1

Bπj+1

// BPj .

(2.3)

Es a dir, tenim una famılia de fibracions, {Fj → Ysj→ BPj}.

De fet, tenim definida una torre de fibracions {Fj}. Les propietats que volem que satisfaci aquestatorre son: per tot j, Fj es Fp-nilpotent (segons la definicio 2.2.4), la torre {H1(Fj)} es pro-trivial, ila torre {Hi(Fj)} es pro-constant per i > 1. Les dues primeres propietats, com veurem en els lemesseguents, es satisfan per construccio. Respecte a la tercera propietat, haurem d’imposar certa condicioadicional.

Lema 2.2.19.

Per tot j, Fj es Fp-nilpotent.

Demostracio. Fent servir que, per tot i, πi(Fj) es p-grup finit, es clar que l’accio de π1(Fj) sobre πi(Fj)es nilpotent, i que cada πi(Fj) es Fp-nilpotent.

Lema 2.2.20.

La torre {H1(Fj)} es pro-trivial.

Demostracio. Es equivalent demostrar que la torre (ascendent) {H1(Fj)} es pro-trivial.

Observem que, de les fibracions

Fj // Ysj

ψj // BPj ,

tenim una accio de Pj sobre H∗(Fj). Aixı, l’estrategia que seguirem sera la seguent: veurem primerque la torre {H1(Fj)Pj} es pro-trivial, i llavors, aplicant el lema 4 de [AgBrSa], provarem l’enunciat.

Considerem la fibracio Fj → Ysj

ψj→ BPj , i sigui α ∈ H1(Fj)Pj . Volem veure que existeix k > j

tal que l’aplicacio (ϕkj )∗ : H1(Fj)Pj → H1(Fk)Pk envia la classe α a zero. Farem servir la successio

espectral sobre aquesta fibracio per veure’n l’existencia.

Sigui, per tant, la successio espectral de la fibracio anterior, amb terme E2:

E∗,∗2

∼= H∗(BPj ; H∗(Fj)),

amb les habituals identificacions dels eixos E∗,02 i E0,∗

2 amb H∗(BPj) i H∗(Fj)Pj respectivament. Enparticular, considerem d2(α) ∈ H2(BPj).


Si d2(α) = µ 6= 0, llavors µ satisfa ψ∗j (µ) = 0 i µ ∈ K∗j+1 = Ker(H2(BPj) → A2). Per construccio,

Bπ∗j+1(µ) = 0 ∈ H2(BPj+1):

A2 ∼= lim−→H2(Ysj ) H2(Ysj+1)oo H2(Ysj )oo

H2(BPj+1)

ψ∗j+1

OO

H2(BPj).Bπ∗j+1

oo

ψ∗j

OO

Tenim un diagrama commutatiu:

H1(Fj+1)Pj+1

d2

²²

H1(Fj)Pj

d2

²²

(ϕj+1j )∗

oo

α′_

²²

αÂoo _

²²

H2(BPj+1) H2(BPj)Bπ∗j+1

oo

0 µ,Âoo

i notem que si α′ 6= 0, llavors H1(BPj+1) 6∼= H1(Ysj+1).

Fent servir que lim−→H1(BPj) ∼= lim−→H1(Ysj ) (lema 2.2.15), es clar que existeix k ≥ j + 1 tal quel’aplicacio induida en cohomologia per ϕk

j : Fk → Fj envia la classe α a zero.

Suposem que d2(α) = 0. Aleshores, existeix α′ ∈ H1(Ysj ) tal que resYsj

Fj(α′) = α. Fent servir que

lim−→H1(BPj) ∼= lim−→H1(Ysj ) (lema 2.2.15), deduim que existeix k > j tal que l’aplicacio induida encohomologia per Ysk

→ Ysj envia la classe α′ a zero. Tenim un diagrama commutatiu:

H1(Ysj )

²²

// H1(Fj)Pj

²²

α′_

²²

Â // α_

²²

H1(Ysk) // H1(Fk)Pk

0 Â // 0.

Per tant, la torre {H1(Fj)Pj} es pro-trivial i, pel lema 4 de [AgBrSa], tambe ho es la torre {H1(Fj)}.

Veure que la torre {Hi(Fj)} es pro-constant per tot i > 1 es equivalent a veure que lim←−Hi(Fj) esfinit per tot i > 1, o, tambe equivalentment, veure que lim−→Hi(Fj) es finit per tot i > 1. Sabem, pellema anterior, que lim−→H1(Fj) = 0. Per tant, la condicio anterior es equivalent a veure que lim−→H∗(Fj)es de tipus finit.


Sigui P = lim←−Pj el profinit associat a A∗. Observem que el fet que A∗ ∼= lim−→H∗(Ysj ) i H∗(P ) ∼=lim−→H∗(Pj) siguin de tipus finit no es garantia de que lim−→H∗(Fj) sigui de tipus finit.

Recordem que les aplicacions ψj : Ysj→ BPj indueixen, en el lımit, un morfisme

H∗(P ) ∼= lim−→H∗(Pj)ψ∗−→ A∗ ∼= H∗(Ysj ),

i per tant A∗ te una estructura natural de H∗(P )-modul.

Lema 2.2.21.

Suposem que H∗(P ) es de Fp-tipus finit i que el Fp-espai vectorial bigraduat

Tor∗,∗H∗(P )(A∗,Fp)

es finit en cada grau total. Llavors, la torre {Hi(Fj)} es pro-constant per i > 1.

Demostracio. Demostrarem que, amb la condicio de l’enunciat, el lımit lim−→Hi(Fj) es finit per toti > 1. Considerem la fibracio Fj → Ysj

→ BPj , per cada j. Per [Dw], la corresponent successioespectral d’Eilenberg-Moore, amb terme E∗,∗

2∼= TorH∗(BPj)(H

∗(Ysj),Fp), convergeix fortament a

H∗(Fj).

L’exactitut del functor lim−→( ) dona lloc a una successio espectral tal que

E∗,∗2

∼= Torlim−→H∗(BPj)(lim−→H∗(Xsj ),Fp) = TorH∗(BP )(A∗,Fp),

i convergint a lim−→H∗(Fj).

La condicio de finitut sobre el terme E2 d’aquesta nova successio espectral demostra l’enunciat.

Finalment, sigui F = holim Fj . Els lemes anteriors ens permeten provar el seguent resultat

Lema 2.2.22.

Sota les condicions del lema anterior, F es p-complet, simplement connex, i satisfa H∗(F ) ∼= lim←−H∗(Fj).

Demostracio. Els lemes 2.2.19, 2.2.20 i 2.2.21 demostren que, amb les condicions del lema anterior,la torre {Fj} satisfa les condicions del lema 2.2.5 (lema 9.3 de [Bo]), i per tant, F = holim Fj essimplement connex, i satisfa H∗(F ) ∼= lim←−H∗(Fj).

Falta veure que F es p-complet. Siguin, per un espai Z, {RjZ} la torre de p-completacio deBousfield-Kan de Z, i fj : Z → RjZ, l’aplicacio de p-completacio corresponent. En particular, tenimde manera natural una aplicacio entre torres de fibracions,

f : {Fj} → {RjFj},

i, fent servir que Fj es p-complet per tot j (lema 2.2.18), es veu que aquesta aplicacio es una pro-equivalencia d’homotopia feble, i per tant F es p-complet.


2.2.4 Una condicio i demostracio del resultat principal

En aquest darrer apartat donarem la demostracio del resultat principal. Abans, pero, ens caldefinir una certa condicio per poder aplicar els raonaments dels apartats anteriors.

Fins ara hem argumentat suposant coneguda la torre de fibracions {Ys}. La intencio ara es su-posar que nomes coneixem A∗. Sota aquest suposit, ara ja no podem parlar d’un grup profinit concretassociat a A∗. Recordem l’observacio 2.2.16: dues torres {Ys}, {Y ′

s}, no necessariament isomorfes,poden donar lloc a la mateixa algebra A∗. Els lemes 2.2.14 i 2.2.21 motiven la seguent definicio.

Definicio 2.2.23.

Diem que l’algebra inestable A∗ = lim−→H∗(Ysj) es finitament Tor-representable si satisfa les condicions

seguents:

i) el corresponent sistema associat, C(L), es de tipus finit i,

ii) per tot P , grup profinit definit a C(L), i tota aplicacio ω : H∗(P ) → A∗ tal que el diagrama seguent escommutatiu

H∗(P ) ω // A∗

L,

ρP

bbFFFFFFFFF φ

>>~~~~~~~~

el Fp-espai vectorial bigraduat Tor∗,∗H∗(P )(A∗,Fp) es finit en cada grau total.

Ara ja tenim totes les peces per demostrar el teorema 2.2.6, que reformulem de la seguent manera:

Teorema 2.2.24.

Sigui X un espai connex definit per X = holim Xs, on, per tot s, πi(Xs) es finit, i tal que A∗ =lim−→H∗(Xs) es de tipus finit.

Aleshores, si A∗ es finitament Tor-representable, llavors X es p-bo i existeix una cadena P0 l P1 l . . . aC(L) tal que

π1(X∧p ) ∼= P = lim←−Ps.

Per demostrar aquest enunciat ens cal el seguent lema de [Sh] (2.6):

Lema 2.2.25.

Donada una aplicacio entre torres {Zj} → {Z ′j}, l’aplicacio induida entre torres de grups {H∗(Zj)} →{H∗(Z ′j)} es un pro-isomorfisme si i nomes si l’aplicacio entre torres de fibracions {RjZj} → {RjZ

′j} es una

pro-equivalencia homotopica feble, on {RjZj} es la torre de p-completacio de Bousfield-Kan ([BoKa]) (respecti-vament per {RjZ

′j}).

Demostracio. del teorema 2.2.24.

Considerem la famılia de fibracions que hem construit a l’apartat anterior (2.3),

{Fj −→ Ysj

ψj−→ BPj}.


Observem que per tot i, πi(Fj), πi(Ysj ) i πi(BPj) son p-grups finits. Per tant, per cada i ≥ 1, les torres{πi(Fj)}, {πi(Ysj )} i {πi(BPj)} satisfan la condicio de Mittag-Leffler, i per tant, els respectius lımitssuperiors son trivials. Aixı, en el lımit, tenim una fibracio

F −→ Y −→ BP,

on F = holim Fj i Y = holim Ysj .

Ara, pel lema 2.2.22, sabem que F es simplement connex, i per tant, aplicant la successio exactad’homotopia a la fibracio anterior, tenim

π1(Y ) ∼= π1(BP ) = P.

Ens falta veure que efectivament (X)∧p ' Y . Sigui, per un espai Z, {RjZj} la torre de p-completacio de Bousfield-Kan, i considerem les torres de fibracions {RjXsj

}, {Ysj} i {RjYsj

}. Llavors,fent servir que Ysj es p-complet per tot sj es veu que l’aplicacio natural entre torres {Ysj} → {RjYsj}es una pro-equivalencia homotopica feble (indueix pro-isomorfismes entre les torres {πi(Ysj

)} i {πi(RjYsj)}

per tot i), es a dir, Y es un espai p-complet.

Observem ara que tenim un isomorfisme lim−→H∗(Xsj ) ∼= A∗ ∼= lim−→H∗(Ysj ) (lema 2.2.8). Per tant,pel lema 2.2.25, l’aplicacio {RjXsj} → {RjYsj} es una pro-equivalencia homotopica feble, i per tant,

(X)∧p = holim RjXsj ' holim RjYsj ' holim Ysj ' Y,

d’on es dedueix que X es p-bo.

Corol·lari 2.2.26.

Sota les hipotesis del teorema anterior, l’espai F = holim Fj es el recobridor universal de Y = (X)∧p .

Observacio 2.2.27.

El teorema 3 de [AgBrSa] es pot veure com un cas particular del teorema 2.2.24. Efectivament, sigui Z unespai 1-connex de tipus finit, i sigui f : BV → Z una aplicacio contınua, on V es un p-grup abelia elemental.

En aquest cas, podem considerar Ys = Map(BV,PsX∧p )fs , on PsZ

∧p denota la s-essima peca de Postnikov

de l’espai Z∧p , i el subındex fs denota que estem considerant nomes la component connexa de Map(BV,PsX∧p )

que conte a fs.

Es pot comprovar ara que els espais Ys son p-complets, amb πi(Ys) finit per tot i i tot s ([AgBrSa]), d’ones veu que efectivament, el teorema 3 de [AgBrSa] es un cas particular de 2.2.24.

Donat que volem determinar π1(X∧p ), podrıem haver plantejat el problema des del punt de vista

seguent: intentar construir la cadena {Pj} a partir de H∗(Bπ1(X∧p )) ∼= lim−→H∗(Bπ1((Xs)∧p )) enlloc de

construir-la a partir de lim−→H∗((Xs)∧p ).

Voldrıem comentar aquest punt de vista abans de tancar aquest capıtol. Es pot comprovar que,efectivament, el sistema C(L) associat a B∗ = lim−→H∗(Bπ1((Xs)∧p )) es el mateix que associem a A∗ =lim−→H∗((Xs)∧p ). Ara be, no tenim manera de concloure que B∗ es de tipus finit nomes a partir de lahipotesi de que A∗ es de tipus finit.


En tot cas, podem construir la cadena {Pj} a partir de B∗ i de la torre {Bπ1((Xs)∧p )}, ja quenomes ens cal coneixer aquesta algebra en dimensions 1 i 2, al menys per realitzar els primers passosde l’argument.

Per hipotesi, π1((Xs)∧p ) es un p-grup finit, ja que estem considerant que πi(Xs) es p-grup finit pertot i i tot s (en particular, per i = 1). Per tant, per cada j, la fibra de Bπ1((Xsj

)∧p ) → BPj es l’espaiclassificador d’un p-grup finit (Fj es p-complet per tot j).

Aixı, en el lımit, tenim una fibracio

BF −→ Bπ1(lim←−(Xsj)∧p ) −→ BP,

on BF = lim←−BFj i P = lim←−Pj (totes les torres satisfan les condicions de Mittag-Leffler), i es potcomprovar que H1(BF ) = 0. D’aquesta situacio es pot deduir que π1(lim←−(Xsj

)∧p ) ∼= P , pero encaraqueda el problema d’estudiar la commutativitat de π1( ), lim←−( ) i ( )∧p per poder arribar als resultatsdel teorema 2.2.6.

Capıtol 3

Preliminars i notacio

En aquest capıtol volem fixar les notacions que farem servir al llarg d’aquest treball, aixı comdonar les nocions necessaries per entendre’l. En la majoria dels casos, es tracta de resultats classics, i,en general, no trivials.

S’ha intentat organitzar els preliminars de manera ordenada segons la seva complexitat. Es do-nen per conegudes les nocions de cohomologia i d’espai classificador d’un grup. Recordem, pero,que podem definir la cohomologia d’un grup G amb coeficients a R, H∗(G;R), o be com els functorsderivats del functor Hom( ; R), o be com la cohomolgia de l’espai classificador BG amb coeficientsa R, H∗(BG; R), i que totes dues definicions son equivalents ([Brow]). Aixı mateix, no demostraremaquı els resultats exposats, atesa la complicacio de la majoria d’ells, pero indicarem la referencia opor-tuna en cada cas.

D’aquesta manera, el capıtol queda ordenat de la seguent manera: la primera seccio tracta elsconceptes de coclasse i nilpotencia d’un p-grup. A la segona seccio introduim l’algebra de Steenrod,necessaria per poder presentar, a la tercera seccio, les eines basiques d’aquest treball: les successionsespectrals. Continuem amb una seccio dedicada al functor T de Lannes i els resultats de l’article[AgBrSa], i finalment, a la darrera seccio, parlarem de grups profinits, i la seva topologia i cohomolo-gia.

Donat que, en general, treballarem amb cohomologia amb coeficients sobre el cos Fp, adoptaremla notacio seguent: H∗(X) := H∗(X;Fp), i nomes ens referirem als coeficients en casos particulars oquan volguem enfatitzar que ens trobem amb coeficients sobre un modul, anell, cos, etc., determinat.

3.1 Grups nilpotents, p-grups i coclasse

La intencio d’aquesta seccio es presentar el concepte de coclasse d’un p-grup i els resultats basicsque farem servir als seguents capıtols. Per p-grup s’enten un grup (finit) G tal que |G| = pn, per certn ∈ N, on p es un nombre primer.

Per tal de presentar el concepte de coclasse de manera coherent, pero, comencarem parlant, demanera superficial, dels grups nilpotents i la classe de nilpotencia, i de series centrals.

41

42 3.1. Grups nilpotents, p-grups i coclasse

A diferencia de la coclasse, que nomes s’aplica a p-grups, la classe de nilpotencia, com veurems’aplica a una classe mes gran de grups, els grups nilpotents, i apareix molt abans en l’estudi delsgrups finits. Aquests grups estan estretament lligats al concepte de series centrals:

Definicio 3.1.1.

Sigui G un grup (finit). una serie central a G es una cadena finita de subgrups

G(0) ¢ G(1) ¢ . . . ¢ G(n),

de manera que, per tot i, G(i) es subgrup normal de G i cada factor G(i+1)/G(i) esta contingut a Z(G/G(i)),on Z(G) denota el centre del grup G.

Diem que G es nilpotent si admet una serie central tal que G(0) = 1 i G(n) = G.

La classe de nilpotencia de G es defineix llavors com la longitut de la serie central mes curta possibleassociada a G.

En el cas dels p-grups, el fet que tot p-grup (finit) tingui centre no trivial ens dona el seguentresultat ([Ro], 5.1.3):

Observacio 3.1.2.

Tot p-grup (finit) es nilpotent.

Donat un grup G, sempre podem construir dues series centrals per aquest grup: la “lower centralseries” i la “upper central series”. Totes dues juguen un paper important en la teoria de grups i, enparticular, en aquest treball.

Definicio 3.1.3.

La “lower central series” (l.c.s.) d’un grup G es defineix de la seguent manera: sigui G0 = G, i definimrecursivament

Gi = [Gi−1, G] =< g−1h−1gh|g ∈ Gi−1, h ∈ G > .

Es un calcul sencill veure que efectivament es compleix que Gi/Gi+1 ⊆ Z(G/Gi+1).

De manera similar, la “upper central series” (u.c.s.) de G es defineix com: sigui G0 = 1, i definimrecursivament Gi de manera que Gi+1/Gi = Z(G/Gi). D’aquesta manera, es compleix de manera trivial lacondicio de centralitat.

Per J ≤ H dos grups, el subgrup [J,H] =< j−1h−1jh|j ∈ J, h ∈ H > s’anomena el commutadorde J dins de H .

Fixem a partir d’aquest punt la notacio seguent. Denotarem els termes de la l.c.s. i de la u.c.s. deG per Gi i Gi respectivament, sense lloc a confusio.

Es possible que el grup G contingui alguna serie central G(0) ≤ G(1) ≤ . . . ≤ G(n), pero nomesen el cas que G(0) = 1 i G(n) = G podrem dir que G es nilpotent.

De fet, els termes de la l.c.s. i la u.c.s. d’un grup son subgrups amb “bones” propietats ([Ro]):

3. Preliminars i notacio 43

Observacio 3.1.4.

Els termes de la l.c.s., Gi, son, de fet, subgrups completament invariants, i.e.,

(Gi)α ≤ Gi per tot α ∈ End(G).

Igualment, els termes de la u.c.s., Gi, son, de fet, subgrups caracterıstics, i.e.,

(Gi)α ≤ Gi per tot α ∈ Aut(G).

Les propietats de completament invariant i caracterıstic ens diuen entre altres coses que els sub-grups Gi i Gi son subgrups normals de G per tot i. Especial importancia te el subgrup G1, doncs, perdefinicio, es tracta de Z(G). Es igualment important el factor G0/G1 = GAb, l’abelianitzat de G.

Veiem-ne un parell d’exemples, un elemental i un segon no tant elemental:

Exemple 3.1.5.

1) Sigui G = Z/pn, el p-grup cıclic de pn elements. Anem a construir les corresponents u.c.s. i l.c.s.

La construccio de la u.c.s. comenca pel subgrup G0 = {0}, i definim recursivament G1/G0 =Z(G/G0), es a dir: G1 = Z(G/G0) = Z(G) = G, ja que G es abelia. Ja tenim construida la u.c.s. de G.

La construccio de la l.c.s. comenca per G0 = G. Ara, G1 = [G0, G] = {g+h−g−h|g, h ∈ G} = {0},perque G es abelia. La l.c.s. esta, per tant, construida.

Aixı, el grup Z/pn te nilpotencia 1. De fet, per construir-ne la u.c.s. o la l.c.s. no hem fet servirl’estructura de subgrups de Z/pn, nomes el fet que aquest grup es abelia. De fet, per definicio, elsgrups abelians son els grups de classe de nilpotencia 1.

2) Sigui ara G = D8 =< g, h|g4 = 1, h2 = 1, gh = hg3 >, el dihedric de 8 elements.

Jugant amb els elements, es facil trobar que nomes te un element central no trivial, g2, i que pertant, Z(G) =< g2 >∼= Z/2.

Aixı, si construim la u.c.s. de G: G0 = {1}, G1 = Z(G) ∼= Z/2, i ara tenim que G2 es tal queG2/G1 = Z(G/G1). Pero G/G1 = G/ < g2 >∼= Z/2×Z/2, es a dir, G/G1 es abelia, Z(G/G1) = G/G1,i per tant G2 = G. La u.c.s es per tant:

{1} ≤ Z(G) =< g2 >≤ G = D8 =< g, h|g4 = 1, h2 = 1, gh = hg3 > .

Construim ara la l.c.s: G0 = G, i G1 = [G0, G] =< g−1h−1gh|g ∈ G0, h ∈ G >. Fent els calculspertinents, obtenim que G1 =< g2 > (= Z(G)), i es facil veure, per tant, que G2 = [G1, G] = {1}. Lal.c.s. queda, per tant, igual que la u.c.s.

En general, definim la longitut d’una serie central de la seguent manera: sigui G(0) ≤ G(1) ≤. . . ≤ G(n) la serie central en questio. Si tots els sungrups G(i) son diferents, diem que n es la longitutd’aquesta serie central.

La proposicio seguent fa palesa la importancia de les series centrals ([Ro], 5.1.9):

44 3.2. L’algebra de Steenrod, Ap

Proposicio 3.1.6.

Sigui 1 = H(0) ≤ H(1) ≤ . . . ≤ H(n) = G una serie central d’un grup nilpotent G. Aleshores escompleix:

i) Per tot i, Gi ≤ H(n− i).

ii) Per tot i, H(i) ≤ Gi.

iii) Tant la l.c.s. com la u.c.s. tenen longitut igual a la classe de nilpotencia de G.

Ara ja podem introduir la nocio de coclasse per un p-grup:

Definicio 3.1.7.

Sigui G un p-grup d’ordre |G| = pn, i amb u.c.s.

1 = G0 ≤ G1 ≤ . . . ≤ Gs = G.

Definim la coclasse de G com la diferenciaccG = n− s.

Recordant l’exemple 3.1.5, obtenim que la coclasse de Z/pn es cc = n−1, i la coclasse de D8 = D23

es, per tant, cc = 3− 2 = 1.

Observem a la definicio de coclasse que, per la proposicio 3.1.6, es indiferent fer servir la u.c.s. ola l.c.s. Al capıtol 5 veurem alguns resultats mes referents a la coclasse.

3.2 L’algebra de Steenrod, Ap

L’algebra de Steenrod, Ap, va ser introduida originalment per Steenrod al seu treball [St]. Es im-possible en aquest treball donar una mınima idea de la importancia deAp, ja que la seva trascendenciaarriba molt mes enlla de l’estudi de la cohomologia modul p. La importancia de Ap en aquest treballes fara palesa a la seccio seguent, dins de l’ambit de les successions espectrals, que, gracies a l’acciode Ap, resulten ser eines molt potents.

Al llarg d’aquesta seccio en donarem la definicio i les propietats basiques, i introduirem les cate-gories K i U de les algebres i els moduls inestables sobre l’algebra de Steenrod.

Tot comenca per l’estudi de les operacions cohomologiques:

Definicio 3.2.1.

Una operacio cohomologica de tipus (G,n, H,m) es una transformacio natural, θ : Hn( ; G) →Hm( ; H), de manera que per tot parell d’espais, X i Y , i f : X → Y , existein morfismes θX , i θY tals que eldiagrama seguent es commutatiu:

Hn(X;G)θX // Hm(X; H)

Hn(Y ;G)θY

//

f∗

OO

Hm(Y ; H).

f∗

OO


El seguent teorema classifica les operacions cohomologiques (consulteu, per exemple, [Mc], 4.43):

Teorema 3.2.2.

Hi ha una correspondencia bijectiva de conjunts

Oper(G,n, H,m)∼=−→ [K(G, n),K(H,m)],

on Oper(G,n, H,m) es el conjunt de totes les operacions cohomologiques de tipus (G,n, H, m), i el con-junt [K(G,n),K(H, m)] denota les classes d’homotopia d’aplicacions entre els espais d’Eilenberg-MacLaneK(G, n) i K(H, m).

Es un resultat classic que [X, K(H, m)] ∼= Hm(X; H) (per exemple, [Sp]), aixı que, en particu-lar, tenim [K(G,n), K(H,m)] ∼= Hm(K(G, n); H). Es a dir, estudiar les operacions cohomologiquesequival a estudiar la cohomologia dels espais d’Eilenberg-MacLane. Aquest problema va ser resoltper en Serre p = 2 i en Cartan per p senar a [Se1] i [Car1] respectivament, i no hi entrarem en aquesttreball.

Esta fora de l’abast d’aquest treball fer un estudi exhaustiu de les operacions cohomologiques,pero sı que ens cal parlar d’un tipus d’operacions en particular:

Definicio 3.2.3.

Fixem i ∈ N, i sigui {θn} ⊆ Oper(k, n, k, n + i) una successio d’operacions cohomologiques. Aleshores,{θn} determina una operacio cohomologica estable de grau i, θ : H∗(−; k) → H∗+i(−; k), si, per tot espaiX i tot n, el diagrama seguent commuta:

Hn(X; k)E //

θn

²²

Hn+1(SX; k)

θn+1

²²Hn+i(X; k)

E// Hn+i+1(SX; k),

on E : Hm(X; k) → Hm+1(SX; k) es l’isomorfisme suspensio.

Steenrod va introduir una famılia d’operacions estables per k = Fp que, juntament amb la com-posicio i el producte, formaven l’anomenada algebra de Steenrod, denotada perAp. Molt importantsa les definicions i resultats seguents son els treballs de Cartan [Car2] i Adem [Ad], complementaris altreball de Steenrod (veieu tambe [Mc]).

Els elements de Ap s’acostumen a anomenar “quadrats de Steenrod” per p = 2 i “potenciesde Steenrod” pel cas senar. Aquesta notacio te a veure amb una de les propietats que veurem acontinuacio, quan estudiem amb deteniment Ap: en determinats casos, Sqn(α) = α2 i Pn(α) = αp

respectivament. Existeixen diferencies entre les definicions de A2 i de Ap per p senar que fan quesigui raonable definir-les per separat.

El morfisme Bockstein jugara un paper important en tots dos casos:

Definicio 3.2.4.

Considerem la successio exacta curta

0 → Z/p −→ Z/p2 −→ Z/p → 0

46 3.2. L’algebra de Steenrod, Ap

per p un primer, i considerem tambe la successio exacta llarga de coeficients induida per aquesta successio exactacurta:

. . . → Hn(X;Z/p) −→ Hn(X;Z/p2) −→ Hn(X;Z/p) ∂−→ Hn+1(X;Z/p) → . . .

Definim el morfisme Bockstein primari com l’aplicacio “connecting”, ∂, d’aquesta successio exacta llarga, i eldenotarem per β.

Normalment ens referirem al morfisme Bockstein primari simplement com el Bockstein.

L’Algebra de Steenrod per p = 2: A2.

L’algebra A2 es potser el cas sencill. Els seus elements, els quadrats de Steenrod, son les opera-cions cohomologiques estables

Sqi : H∗(−;F2) → H∗+i(−;F2),

per i ≥ 0, tals que satisfan les propietats seguents:

i) Sq0 = id.

ii) Sqi(α) = α2, si i = |α|.

iii) Sqi(α) = 0, si i > |α|.

iv) Sqi(f∗(α)) = f∗(Sqi(α)), per f : X → Y .

v) Sqi(α + γ) = Sqi(α) + Sqi(γ).

vi) Formula de Cartan: per tot α, γ ∈ H∗(X;F2),

Sqi(α ` γ) =∑

j

Sqj(α) ` Sqi−j(γ).

vii) Sq1 es el morfisme Bockstein, β.

viii) Relacions d’Adem: si 0 < a < 2b,

Sqa ◦ Sqb =∑

j

(b− j − 1a− 2j

)Sqa+b−j ◦ Sqj ,

on els monomis son modul 2.

Aixı, l’algebra A2 es defineix com l’algebra generada per {Sqi}, amb la composicio i la multipli-cacio.

L’Algebra de Steenrod per p senar: Ap.

Per p senar, la correspont famılia d’operacions, les potencies de Steenrod, es defineixen com lesoperacions cohomologiques estables

P i : H∗(−;Fp) → H∗+2i(p−1)(−;Fp),

per i ≥ 0, tals que satisfan les propietats seguents:


i) P 0 = id.

ii) P i(α) = αp si 2i = |α|.

iii) P i(α) = 0 si 2i > |α|.

iv) P i(f∗(α)) = f∗(P i(α)), per f : X → Y .

v) P i(α + γ) = P i(α) + P i(γ).

vi) Formula de Cartan: per tot α, γ ∈ H∗(X;Fp),

P i(α ` γ) =∑

j

P j(α) ` P i−j(γ).

vii) Relacions d’Adem: si 0 < a < bp,

P aP b =[a/p]∑

j=0

((p− 1)(b− j)− 1

a− pj

)P a+b−jP j ,

i, si a ≤ pb, aleshores tambe es compleix

P aβP b =[a/p]∑

j=0

((p− 1)(b− j)

a− pj

)βP a+b−jP j +

+[(a−1)/p]∑

j=0

(−1)a+j−1

((p− 1)(b− j)− 1

a− pj − 1

)P a+b−jβP j ,

on els monomis son modul p, [a/p] denota la part entera de a/p, i β es el Bockstein.

De manera similar, doncs, tenim que Ap, per p senar, es l’algebra generada per {P i} q {β}, ambla composicio i la multiplicacio.

Abans de continuar parlant de l’algebra de Steenrod, ens cal introduir alguns conceptes d’algebresgraduades (podeu consultar [Mc]):

Definicio 3.2.5.

Siguin k un cos i H un k-espai vectorial graduat amb un morfisme multiplicacio, ϕ : H ⊗H → H , unmorfisme comultiplicacio, ∆ : H → H ⊗ H , un morfisme unitat, η : k → H , i un morfisme augmentacio,ε : H → k.

Aleshores, H es una algebra de Hopf sobre k si satisfa:

i) (H, ϕ, η) es una algebra sobre k, es a dir, satisfa

ϕ ◦ (ϕ⊗ id) = ϕ ◦ (id⊗ ϕ), ϕ ◦ (η ⊗ id) = id = ϕ ◦ (id⊗ η).

ii) (H, ∆, ε) es una coalgebra sobre k, es a dir, satisfa

(∆⊗ id) ◦∆ = (id⊗∆) ◦∆, (ε⊗ id) ◦∆ = id = (id⊗ ε) ◦∆

iii) Es satisfa la igualtatε ◦ η = id.

48 3.3. L’eina basica: successions espectrals

iv) El diagrama seguent commuta:

H ⊗Hϕ //

∆⊗∆

²²

H∆ // H ⊗H

H ⊗H ⊗H ⊗Hid⊗T⊗id // H ⊗H ⊗H ⊗H,

ϕ⊗ϕ

OO

on T (a⊗ b) = (−1)|a||b|b⊗ a.

Un algebra de Hopf diem que es cocommutativa si, a mes, el diagrama seguent commuta:

H∆

##HHHH

HHHH

H∆

{{wwww

wwww

w

H ⊗HT

// H ⊗H.

Milnor, al seu treball [Mil], observa que de fet, l’algebra de Steenrod, Ap, te estructura d’algebrade Hopf cocommutativa per tot p. A partir d’aquesta observacio es inmediat veure que per tot X ,H∗(X;Fp) es un modul sobre l’algebra de Hopf Ap.

Les respectives propietats iii) de les definicions deA2 iAp acostumen a rebre el nom de propietatd’inestabilitat. Aixı, un Ap-modul, M , s’anomena inestable si satisfa la corresponent propietat iii).Obviament, per X un espai qualsevol, H∗(X) es un Ap-modul inestable. Denotem per U la categoriadelsAp-moduls inestables, obviant fer referencia al nombre primer p que correspongui, ja que semprees fixat.

Suposem, a mes,que podem definir aplicacions µ : M ⊗M → M i η : Fp → M de manera que M

esta dotat d’una estructura de Fp-algebra. Si la resta de propietats deAp es compleixen per M , llavorsdiem que M es una Ap-algebra inestable. Aixı que, de fet, H∗(X) es una Ap-algebra. Denotem per Kla categoria de les Ap-algebres inestables.

La formula de Cartan en cada cas (p = 2 o p senar) ens serveix per, donats M ,N ∈ Obj(U), dotara M ⊗N de l’estructura de Ap-modul (inestable).

Per un estudi mes detallat de les categrories K o U podeu consultar [Sc].

3.3 L’eina basica: successions espectrals

Per abordar qualsevol problema fan falta eines especıfiques, aquest es el paper que jugaran lessuccessions espectrals al llarg d’aquest treball.

Mes concretament, farem servir, sobretot les successions espectrals de Serre (S.E.S.) i del Bock-stein (S.E.B.). Tambe estudiarem, mınimament, la successio espectral d’Eilenberg-Moore, ja que tot ino fer-la servir explıcitament, esta forca relacionada amb els arguments del capıtol anterior.

Donat que les successions espectrals tambe son un tema molt extens, en aquesta seccio nomesdedicarem un breu apartat a definir les successions espectrals i alguns conceptes relacionats, i dedi-carem tota la resta de la seccio a introduir les successions espectrals amb les que mes treballarem: les


successions espectrals de Serre, de Bockstein, i d’Eilenberg-Moore. De fet, ja que farem servir sobretotla successio espectral de Serre, l’apartat dedicat a aquesta successio espectral sera mes extens que elsdedicats a les altres.

3.3.1 Successions espectrals en general

La definicio de successio espectral en si no te cap tipus de complicacio:

Definicio 3.3.1.

Una successio espectral es una successio de moduls diferencials (bi)graduats (en general, algebres oobjectes de la categoria en la que ens trobem), (Er, dr), d2

r = 0, de manera que Er+1 = H(Er, dr) =Ker(dr)/Im(dr).

El modul Er s’anomena la r-essima pagina de la successio espectral. Es a dir, cada pagina es l’homologiade la pagina anterior.

Aixı, podem pensar les successions espectrals com el “lımit” de les pagines. Sota aquest punt devista, el seguent pas es definir que s’enten per convergencia d’una successio espectral. Per parlar dela convergencia d’una successio espectral ens cal parlar de filtracions:

Definicio 3.3.2.

Sigui R un anell, i A un R-modul (podem considerar estructures algebraiques mes complexes per A). Unafiltracio decreixent d’A es una famılia de submoduls {F ∗(A)}, de manera que

F p(A) ≤ F p−1(A)

per tot p. De manera similar es defineix una filtracio creixent.

Notem que, si l’objecte A es graduat, llavors la filtracio esdeve bigraduada de manera natural.

Diem que el terme Ep,qr estabilitza si Ep,q

s = Ep,qr per tot s ≥ r. En aquest cas direm que existeix

un terme estable Ep,q∞ = Ep,q

r . La convergencia d’una successio espectral es defineix de manera formalde la seguent manera:

Definicio 3.3.3.

Una successio espectral {Er, dr} diem que convergeix a H∗ si existeixen termes estables Ep,q∞ , i una

filtracio F ∗ de H∗ tal queEp,q∞ ∼= F p(Hp+q)/F p+1(Hp+q)

per tot p, q.

En el cas especial en que existeixi r tal que les diferencials ds siguin trivials sobre tota la paginaEs, per s ≥ r, direm que la successio espectral col·lapsa a la pagina Er: Er = E∞. A la practica, lessuccessions espectrals amb les que treballarem, basicament les de Serre i de Bockstein, tindran termesestables per tot p i q, i sempre podrem parlar de convergencia.


Observem, pero, que hi ha problema quan es treballa amb successions espectrals, i que s’intueixde la mateixa definicio: la diferencial dr+1 no ve induida per la diferencial dr, i en general no hi hacap procediment per obtenir aquesta nova diferencial a partir de dr. Aixı, en cada cas en particulars’haura de tractar aquest problema.

Tot i que, per comoditat i per enfatitzar l’objectiu d’una determinada successio espectral, nor-malment s’acostuma a dir que “la successio espectral convergeix a l’objecte A”, en realitat notem quel’objecte que tenim en el lımit de la successio espectral es “lleugerament” diferent de A: per cada n, elque tenim en realitat es

En∞ = ⊕p+q=nEp,q

∞ ,

el grup graduat associat a An.

Aixo planteja un altre problema: quina diferencia hi ha entre An i En∞? es a dir, podem recuperar

An a partir de En∞. Aquesta questio es coneix com el problema d’extensio.

En el cas particular en que l’anell de coeficients sigui un cos k i que la filtracio F ∗ sigui finita encada grau (es a dir, per cada n, hi ha un nombre finit de passos de la filtracio diferents), llavors, podemassegurar que, com a k-espais vectorials, An ∼= En

∞ (nomes cal sumar les dimensions de cada Ep,q∞ amb

p+q = n i veure que efectivament coincideix amb la dimensio de An com a k-espai vectorial). Aquestes el cas, per exemple, de la successio espectral de Serre amb coeficients sobre Fp, i sera el cas meshabitual en aquest treball.

Malauradament, encara s’ens planteja un segon problema relacionat amb el grup graduat asso-ciat: suposem que A i les pagines E∞ estan dotats de productes que preserven la graduacio (perexemple, si treballem amb la successio espectral de Serre i A = H∗(X; R), la cohomologia de l’espaiX amb coeficients sobre l’anell R). Llavors, en general, el producte definit sobre la pagina E∞ no escorrespon amb el producte definit sobre A. Aquest problema no te una solucio directa, ni tan sols enel cas en que treballem amb coeficients sobre un cos.

En tot cas, tot i els problemes que podem trobar treballant amb successions espectrals, tambe esmolta la informacio que en podem extreure.

3.3.2 La successio espectral de Serre

La successio espectral de Serre, S.E.S. en endavant, vindria a ser, en certa manera, l’equivalent ala successio exacta llarga dels grups d’homotopia que es dedueix d’una fibracio, donat que no existeixuna successio exacta llarga dels grups de (co)homologia associada a una tal fibracio.

En general, la S.E.S. s’aplica a una fibracio F → X → B d’espais connexos per calcular la(co)homologia de X (en coeficients a una anell R fixat), conegudes les (co)homologies de B i F .

En aquest apartat veurem el cas de la S.E.S. en cohomologia, que es el quin realment ens interessaja que ens permet aplicar una estructura d’algebra a cada pagina, a part d’altres avantatges que tambeveurem. Dues bones referencies per aquest apartat son [Mc] o a [Hat2]. Al llarg d’aquest apartat, R

sera un anell commutatiu amb unitat.


Aixı, considerem una fibracioF −→ X

π−→ B

d’espais connexos. Hi ha una manera natural de definir una accio del grup fonamental π1(B) sobrela cohomologia de la fibra, H∗(F ;R): siguin b1, b2 ∈ B, i F1 = π−1(b1) i F2 = π−1(b2) les respectivesfibres. Aleshores, un camı γ : I → B unint b1 i b2 dona lloc a una equivalencia homotopica F1 ' F2.

En el cas particular que b1 = b2 = b0, el punt base de B, llavors un llac γ : I → B (γ(0) =γ(1) = b0) dona lloc a una equivalencia Lγ : F → F , de manera que es satisfa la seguent condicio denaturalitat: Lγ·γ′ ' Lγ′ ◦ Lγ , on γ · γ′ denota la multiplicacio de camins (en aquest cas, llacos).

D’aquesta manera, l’aplicacio induida en cohomologia per Lγ es un isomorfisme. L’accio deπ1(B) sobre H∗(F ; R) queda definida d’aquesta manera:

π1(B)×H∗(F ;R) // H∗(F ; R)

(γ, α) Â // L∗γ(α).

El teorema principal d’aquest apartat el devem al mateix Serre ([Se2]), tot i que l’enunciat quedonem aquı es lleugerament diferent a l’original ([Mc]):

Teorema 3.3.4. Teorema de la successio espectral de Serre

Sigui F → Xπ→ B una fibracio, amb B arc-connex, i denotem T = H∗(X; R).

Si π1(B), el grup fonamental de B, actua trivialment sobre H∗(F ; R), aleshores hi ha una successio espec-tral, {Ep,q

r , dr} tal que:

i) La diferencial dr te bigrau (r, 1− r): dr : Ep,qr → Ep+r,q−r+1

r , i

Ep,qr+1 = Ker(dr)/Im(dr).

ii) Existeixen termes estables Ep,q∞ , amb p+q = n, isomorfs als successius quocients F p(T p+q)/F p+1(T p+q),

en una filtracio0 ≤ F p+q(T p+q) ≤ . . . ≤ F 1(T p+q) ≤ F 0(T p+q) = T p+q.

iii) La pagina E2 te la forma seguent:Ep,q

2∼= Hp(B; Hq(F ; R)).

Hi ha una versio d’aquest teorema pel cas en que π1(B) no actua trivialment sobre H∗(F ), quees pot consultar a [Mc], per exemple.

La versio cohomologica de la S.E.S. ens permet dotar a les pagines de la successio espectral ambl’estructura d’algebra. La seguent proposicio ens diu exactament com:

Proposicio 3.3.5.

Per cada r, tenim productes bilineals Ep,qr × Es,t

r → Ep+s,q+tr , que satisfan les seguents propietats:

i) Cada diferencial dr satisfa

dr(x ` y) = (dr(x)) ` y + (−1)p+qx ` (dr(y)),


per x ∈ Ep,qr i y ∈ Es,t

r . Aixı, el producte Ep,qr ×Es,t

r → Ep+s,q+tr indueix un producte Ep,q

r+1×Es,tr+1 →

Ep+s,q+tr+1 , que es el producte a Er+1 (el producte a E∞ es l’induit pels productes a Er, per r finit).

ii) Per r = 2, el producte Ep,q2 × Es,t

2 → Ep+s,q+t2 es (−1)q·s vegades el producte cup ”estandard”:

Hp(B; Hq(F ;R))×Hs(B;Ht(F ; R)) → Hp+s(B;Hq+t(F ;R)),

que envia un parell de cocicles (ϕ, ψ) a ϕ ` ψ, on els coeficients es multipliquen via el producte cupHq(F ; R)×Ht(F ; R) → Hq+t(F ; R).

iii) El producte cup a T = H∗(X; R) es restringeix a aplicacions F p(T p+q)×F s(T s+t) → F p+s(T p+q+s+t).Aquestes aplicacions indueixen igualment aplicacions

F p(T p+q)/F p+1(T p+q)× F s(T t+s)/F s+1(T s+t) −→ F p+s(T p+q+s+t)/F p+s+1(T p+q+s+t),

que coincideixen amb els productes a la pagina E∞.

En particular, observem que el producte de dos elements sobre E∗,0r dona un nou element sobre

E∗,0r , per tot r, i respectivament per l’eix vertical de cada pagina. Aixo dota els eixos de cada pagina

de l’estructura de subalgebra.

Com caldria esperar, la S.E.S. es natural respecte a morfismes de fibracions, tal com ens diu laseguent proposicio:

Proposicio 3.3.6.

Suposem que tenim dues fibracions i un morfisme entre elles formant un diagrama commutatiu com acontinuacio

F //

²²

X //

f

²²

B

f

²²F ′ // X ′ // B′,

i suposem tambe que les condicions del teorema principal es satisfan per totes dues fibracions. Aleshores, essatisfan les seguents propietats de naturalitat:

i) Existeixen aplicacions induides f∗r : E′p,qr −→ Ep,q

r que commuten amb les diferencials, de manera quef∗r+1 es l’aplicacio induida en cohomologia per f∗r .

ii) L’aplicacio f∗ : H∗(X ′;R) −→ H∗(X; R) preserva filtracions, i per tant indueix una aplicacio en elssuccessius grups quocients, que coincideix amb l’aplicacio f∗∞.

iii) Sota els isomorfismes Ep,q2

∼= Hp(B;Hq(F ; R)) i E′p,q2

∼= Hp(B′;Hq(F ′; R)), l’aplicacio f∗2 correspon al’aplicacio induida per B −→ B′ i F −→ F ′.

Una consequencia important de la naturalitat de la S.E.S. son els anomenats morfismes eix quedescrivim a continuacio:

Observem que sempre podem considerar la seguent composicio:

Hp(B; R) ∼= Ep,02 ³ Ep,0

∞ ∼= F p(T p) ↪→ T p = Hp(X;R). (3.1)


No es difıcil veure, fent servir la naturalitat entre les fibracions F → Xπ→ B i ∗ → B → B, que

aquesta composicio es correspon amb l’aplicacio induida en cohomologia π : X → B:

π∗ : H∗(B;R) −→ H∗(X; R).

Cosiderem ara l’eix vertical E0,∗∞ . Tenim E0,p

∞ = T p/F 1(T p), i per tant hi ha una projeccio obvia

Hp(X; R) = T p ³ T p/F 1(T p). Comparant ara les S.E.S. de les fibracions Fj→ X → B i F → F →

{x}, es veu facilment que la composicio

Hp(X;R) = T p ³ T p/F 1(T p) = E0,p∞ ↪→ E0,∗

2∼= Hp(F ; G) (3.2)

correspon al morfisme induit en cohomologia per la inclusio j : F → X :

j∗ : H∗(X;R) −→ H∗(F ; R).

Observacio 3.3.7.

Es natural preguntar-se si, de manera similar als productes, l’estructura d’algebra sobre l’algebra de Steen-rod commuta amb la S.E.S. Malauradament, la resposta a aquesta pregunta es que en general aixo no es possible.Es podem consultar contraexemples a [Mc] o [Hat2], en els quals es veu clarament com, tot i coneixer l’accio d’Ap sobre les cohomologies de la base i de la fibra, ens resulta completament impossible detectar quina es l’accioper l’espai total.

La seguent propietat de la S.E.S. ens resultara molt util al capıtol 6: la S.E.S. aplicada a fibracioF

i→ Xπ→ B, ens dona una successio exacta de 5 termes (corol·lari 7.2.3. a [Ev]):

0 → H1(B; R) π∗−→ H1(X; R) i∗−→ H1(F ; R)π1(B) d2−→ H2(B; R) π∗−→ H2(X; R). (3.3)

Un aspecte forca important de la S.E.S es la transgressio, que, d’una manera molt imprecisa,equivaldria al morfisme “connecting” de la successio exacta llarga d’homotopia de la fibracio. Latransgressio, un cop ben definida, ens permetra enunciar alguns dels resultats que mes farem serviren aquest treball.

La transgressio

Hem presentat la S.E.S. aplicada a la fibracio F = π−1(b0)i−→ X

p−→ B, en certa manera, comun analeg de la successio exacta llarga dels grups d’homotopia dels espais de la fibracio:

. . . → πn(F ) i∗−→ πn(X)p∗−→ πn(B) δ−→ πn−1(F ) → . . .

Seguint amb aquesta idea, podem preguntar-nos a que equivalen llavors les aplicacions “con-necting” πn(B) δ→ πn−1(F ). Per veure-ho, ens servirem del teorema de Hurewicz (la demostracio delqual es pot consultar, per exemple, a [Hat1]).

Pensem πn(X, A, x0), per n > 0, com [(Dn, ∂Dn, s0), (X, A, x0)], el grup de classes d’homotopiad’aplicacions f : (Dn, ∂Dn, s0) → (X, A, x0), i sigui α un generador fixat de Hn(Dn, ∂Dn) ∼= Z.


Proposicio 3.3.8. Teorema de Hurewicz

L’aplicacio de Hurewicz

πn(X, A, x0)h // Hn(X, A)

[f ] Â // f∗(α)

es un homomorfisme per n > 1.

Aixı, si considerem les fibracions seguents:

F // F // ∗F // X

p0 // B

i l’aplicacio entre parells

(X, F )p // (B, ∗),

llavors tenim el seguent diagrama:

. . . // πl(F ) //

h

²²

πl(X) //

h

²²

&&MMMMMMMMMMMMπl(B) ∼= πl(B, ∗) δ //

∼=²²

πl−1(F ) //

h

²²

. . .

πl(X, F )

h

²²

88ppppppppppppp

. . . // Hl(F ) //

²²

Hl(X) //

²²

Hl(X, F ) δ //

p∗

²²

Hl−1(F ) //

²²

. . .

. . . // Hl(∗) // Hl(B)

33

j∗ // Hl(B, ∗) // Hl−1(∗) // . . .

El fet que existıs aquesta aplicacio τ : Hl(B) −→ Hl−1(F ) donaria lloc a l’existencia d’una succes-sio exacta llarga en homologia similar a l’existent en homotopia. Aquest, pero, no es el cas: aquestaaplicacio nomes esta ben definida sobre un subgrup d’Hl(B). Estudiem una mica mes a fons quinaes la situacio.

Per j > 0, el morfisme τ : Hl(B) → Hl(B, ∗) es un isomorfisme. No tenim doncs cap problemaen fer aquest pas. El problema esta en que, a diferencia del cas d’homotopia, p∗ no es isomorfisme.

Aixı, nomes tindra sentit definir τ per aquells elements pels que tingui sentit fer-ne l’antiimatgeper p∗: (j∗)−1(Im(p∗)) ⊆ Hl(B), i la transgressio en homologia queda definida aixı:

(j∗)−1(Im(p∗))τ // Hl−1(F )/δ(Ker(p∗))

x Â // δ(p−1∗ (j∗(x))) + δ(Ker(p∗)).

Un cop vist com es defineix en homologia, i via el corresponent diagrama:

. . . // H l−1(∗) //

²²

H l(B, ∗) j∗ //

p∗

²²

H l(B) //

²²

H l(∗) //

²²

. . .

. . . // H l−1(F )∂

//

55

H l(X, F ) // H l(X) // H l(F ) // . . . ,


es facil definir la transgressio en cohomologia:

∂−1(Im(p∗)) τ // H l(B)/j∗(Ker(p∗))

x Â // j∗((p∗)−1(∂(x))) + j∗(Ker(p∗)).

Els elements al domini de la transgressio s’anomenen transgressius. La seguent proposicio dona unadefinicio equivalent de la transgressio en termes de la S.E.S. ([Hat1] o [Mc]):

Proposicio 3.3.9.

i) La transgressio en homologia correspon exactament amb la diferencial dn : Enn,0 → En

0,n−1.

ii) La transgressio en cohomologia correspon exactament amb la diferencial dn : E0,n−1n → En,0

n .

Sota aquest nou punt de vista, un element transgressiu en cohomologia no es altra cosa que unelement de Hn−1(F ) que sobreviu a totes les diferencials excepte potser a dn.

La importancia de la transgressio apareix quan introduim dins de la S.E.S., en la mesura delpossible, l’accio de l’algebra de Steenrod. Ara, pero, ja no podem treballar amb coeficients qualssevol,si no que hem de passar a Fp. A partir d’aquest punt i fins el final de l’apartat sobre la S.E.S., fixem lanotacio seguent:

H∗(Y ) = H∗(Y ;Fp).

Els seguents resultats il·lustren prou be quin paper hi juguen la transgressio i l’algebra de Steenroddins de la S.E.S.:

Teorema 3.3.10.

Siguin α ∈ Hn(F ) un element transgressiu, i θ ∈ Ap, un element de grau k de l’algebra d’Steenrod.Aleshores es compleix la igualtat

dn+k(θ(α)) = θ(dn(α)).

El seguent diagrama il·lustra el teorema:

θ(α)

dn+k

%%

α

dn

$$JJJJJJJJJJJJJJJ

θ

CC

Fp dn(α)

θ

66θ(dn(α))

Teorema 3.3.11. Teorema de la Transgressio de Kudo

Sigui α ∈ E0,2i2

∼= H2i(F ), un element transgressiu tal que transgredeix a ω ∈ E2i+1,02

∼= H2i+1(B).

Aleshores, es compleix:


i) P i(α) = αp es un element transgressiu. A mes, d2pi+1(αp) = P i(ω) (recordem que P i es la i-essimapotencia de Steenrod).

ii) ω ⊗ αp−1 es un element transgressiu, en el sentit de que sobreviu a totes les diferencials excepte potser ad2(p−1)i+1. A mes, d2(p−1)i+1(ω ⊗ αp−1) = −βP i(ω) (β es el morfisme Bockstein mod p).

αp

ÂÂ

ω ⊗ αp−1

##

α3

((PPPPP

α2

((QQQQQ ω ⊗ α2

α

''PPPPPPP ω ⊗ α

Fp ω P i(ω) −βP i(ω)

Abans de presentar el darrer resultat, cal aclarir que en el seu enunciat intervenen els anomenatsBocksteins d’ordre superior. Tot i que aquests no han estat definits encara, per raons de coherenciadeixem la seva definicio per mes endavant (3.3.16) i donem l’enunciat del teorema a continuacio:

Teorema 3.3.12. Lema del Bockstein

Sigui Fj→ X

p→ B una fibracio, α ∈ E0,n2

∼= Hn(F ) un element transgressiu, i suposem que per certi ≥ 1 i cert ω ∈ En,0

2 = Hn(B) es compleix βi(ω) = τ(α).

Aleshores, la classe βi+1(p∗(ω)) esta ben definida a H∗(X), i a mes es compleix la igualtat

j∗(βi+1(p∗(ω))) = β(α).

β(α)

α

dn

%%KKKKKKKKKKKKKKKK

Fp ω

βi

::

XX

τ(α)

Obviament, el teorema de Kudo per p = 2 es exactament el teorema 3.3.10. La referencia per a lademostracio de 3.3.11 es [Ku], i el lema del Bockstein es pot consultar a [MoTa].


S.E.S. de fibracions associades a extensions de grups

En aquest treball estudiarem sobretot fibracions associades a extensions de grups: donada unaextensio del tipus F → G → Q, on F , G i Q son grups finits, llavors podem construir la fibraciod’espais d’espais classificadors seguent:

BF −→ BG −→ BQ

Recordem que, si G es finit, llavors BG ' K(G, 1), i H∗(G;Fp) ∼= H∗(BG;Fp).

Des d’un punt de vista algebraic, l’estudi de les possibles extensions, donats dos grups Q i F iuna accio determinada de Q sobre F , es ja classic. Una bona referencia es [Brow]. En el nostre cas,ens interessa treballar amb extensions on el grup F es abelia, i tal com es veu a [Brow], aquestesextensions estan classificades (llevat d’isomorfisme) per les classes α ∈ H2(Q;F ).

En el cas en que F = (Z/p)m es un subgrup abelia elemental de G tenim un isomorfisme

H2(Q;F ) = H2(Q; (Z/p)m) ∼= H2(Q;Z/p)⊕ . . .m) ⊕H2(Q;Z/p),

es a dir, la suma directa de m copies de H2(Q;Z/p), i podem dir que l’extensio F → G → Q estadeterminada per α1, . . . , αm ∈ H2(Q;Z/p).

Al llarg d’aquest treball estudiarem, sobretot, la S.E.S. associada a una fibracio del tipus BF →BG → BQ, on, a mes, F ≤ G es un subgrup central abelia elemental. A continuacio detallemalgunes propietats de la S.E.S. que es dedueixen d’aquesta situacio tan especial, i que farem servirmes endavant.

Recordem que el teorema 3.3.4, aplicat a la fibracio BF → BG → BQ, ens dona un isomorfisme

E∗,∗2

∼= H∗(Q;H∗(F ; R)).

En el cas particular en que R = k es un cos (per exemple, k = Fp), i l’accio de π1(BQ) = Q sobreH∗(F ; k) es trivial (per exemple, si F ≤ G es central), llavors, tenim un isomorfisme

E∗,∗2

∼= H∗(Q; k)⊗H∗(F ; k). (3.4)

Suposem, per tant, que F → G → Q es una extensio central de p-grups, on F = (Z/p)m es abeliaelemental, i escrivim

H∗(F ;Fp) ∼={F2[a1, . . . , am], si p = 2,

Λ(a1, . . . , am)⊗ Fp[b1, . . . , bm], si p > 2

(consulteu [AdMi], corol·laris 4.2 i 4.3, i teorema 4.4).

De l’isomorfisme (3.4) es dedueixen isomorfismes

E∗,02

∼= H∗(Q;Fp)⊗ 1 ∼= H∗(Q;Fp),E0,∗

2∼= 1⊗H∗(F ;Fp) ∼= H∗(F ;Fp),

de manera que podem veure la diferencial d2 : E0,12 → E2,0

2 com un morfisme

d2 : H1(F ;Fp) =< a1, . . . , am >−→ H2(Q;Fp).


Notem que, d’aquesta manera, la diferencial d2 estara completament determinada per la imatge delsgeneradors a1, . . . , am, d2(a1), . . . , d2(am): els elements a1, . . . , am son transgressius per definicio, iper tant, fent servir que bi = β(ai), el teorema 3.3.10 ens diu que els elements b1, . . . , bm son trans-gressius, i per tant d2(bi) = 0 per tot i (respectivament per a2

i ).

Per tant, ens interessa determinar la imatge de ai per d2, per tot i. Recordem que si F = (Z/p)m,llavors l’extensio F → G → Q esta classificada per α1, . . . , αm ∈ H2(Q;Z/p). En aquesta situacio,[Ev] ens diu que

d2(ai) = αi.

Observem que, si les classes α1, . . . , αm son linialment independents dins de H2(Q;Fp), llavors,la diferencial d2 : H1(F ;Fp) → H2(Q;Fp) es injectiva, i podem dir que l’extensio esta determinadaper una inclusio F ∗ ∼= H1(F ;Fp) ↪→ H2(Q;Fp).

Al llarg del capıtol 6 farem servir la interpretacio mes adient en cada cas.

A continuacio veurem un exemple on aplicarem alguns del teoremes que acabem de veure:

Exemple 3.3.13.

Anem a calcular la cohomologia del grup Q8, el grup quaternionic de 8 elements. Una possiblepresentacio d’aquest grup es

Q8 =< g, h|g2 = h2, g4 = 1, hg = g3h > .

Si estudiem una mica el grup, podem veure que el centre de Q8 es Z(Q8) =< g2 >∼= C2, de maneraque Q8/Z(Q8) =< g, h >∼= C2 ×C2, on C2 es el grup cıclic de 2 elements. Es a dir, el grup Q8 encaixaen una successio exacta curta

1 → C2 −→ Q8π−→ C2 × C2 → 1,

on π(g) = g i π(h) = h. En aquesta situacio, sabem que aquesta extensio esta classificada per unaclasse α ∈ H2(C2 × C2; C2).

De fet, ens podem mirar el subgrup < g2 >≤ Q8 com el cos F2 de 2 elements. Aixı, si

H∗(C2 × C2;F2) ∼= F2[x1, x2],

amb |x1| = |x2| = 1, llavors la classe α ha de ser de la forma

α = r1x21 + r2x1x2 + r3x

22,

on r1, r2, r3 ∈ F2. Determinarem la classe α fent servir restriccions a subgrups mes petits.

Considerem els subgrups K1 =< g >, K2 =< h >, K3 =< gh > ¢C2 × C2, i els subsgrupsH1 =< g >, H2 =< h >, H3 =< gh > ¢Q8. Observem que tenim diagrames commutatius

C2// Q8

// C2 × C2

C2// Hi

//

OO

Ki

OO

per i = 1, 2, 3. Es pot comprovar facilment que Hi correspon al pull-back de Ki → C2 × C2 ← Ki

per tot i. Per tant, l’extensio inferior del diagrama esta determinada per la restriccio de α ∈ H2(C2 ×C2, C2) a H2(Ki;C2).


Notem que Hi∼= C4, es a dir, l’extensio C2 → Hi → Ki no es trivial, i per tant, resC2×C2

Ki(α) 6= 0

per tot i. Per tant, α = x21 + x1x2 + x2

2.

En aquest cas concret podrıem haver calculat la classe α pel procediment de construir explıcita-ment el cocicle corresponent (seguint les instruccions de [Brow]).

Ja podem comencar a calcular la S.E.S. per Q8. Com ja hem vist, tenim

E∗,∗2

∼= H∗(C2 × C2;H∗(C2;F2)) ∼= H∗(C2 × C2;F2)⊗H∗(C2;F2).

Aixı, si posem

H∗(C2;F2) ∼= F2[a],

i identifiquem H∗(C2 × C2) ∼= E∗,02 i H∗(C2) ∼= E0,∗

2 , llavors tenim:

d2(a) = x21 + x1x2 + x2

2,

d2(aγ) = (x21 + x1x2 + x2

2)γ 6= 0 per tot γ,

d2(a2) = 2d2(a)a ≡ 0,

i la pagina E3 queda determinada per

E∗,∗3

∼= H∗(C2 × C2)/(x21 + x1x2 + x2

2)⊗ F2[a2],

on (x21 + x1x2 + x2

2) es l’ideal de H∗(C2 × C2) generat per la classe x21 + x1x2 + x2

2 ∈ H2(C2 × C2). Acontinuacio detallem la pagina E3 en dimensions baixes:

⊗ ⊗ ⊗

a4 x1a4 x2

1a4

x2a4 x2

2a4

⊗ ⊗ ⊗ ⊗

a2

))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS x1a2 x2

1a2 x2

1x2a2

x2a2 x2

2a2 x1x

22a

2

⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

F2 x1 x21 x2

1x2 x31x2 x3

1x22

,

x2 x22 x1x

22 x1x

32 x2

1x32

on el sımbol “⊗” a la posicio (i, j) denota que Ei,j3 = 0.

Per saber que passa amb la diferencial d3 ens cal fer servir el teorema 3.3.10, ja que tenim Sq1(a) =β(a) = a2. El teorema ens diu en aquest cas que la classe a2 es transgressiva, ja que la classe a eratransgressiva, i

d3(a2) = d3(β(a)) = β(d2(a)) = β(x21 + x1x2 + x2

2) = x21x2 + x1x

22 = (x1x2)(x1 + x2),

d3(a2γ) = (x21x2 + x1x

22)γ 6= 0 per tot γ,

d3(a4) = 2d3(a2) ≡ 0,


i tenim la pagina E4 determinada per

E∗,∗4

∼= H∗(C2 × C2)/(x21 + x1x2 + x2

2, x21x2 + x1x

22)⊗ F2[a4].

Observem ara que E4 = E5: d4(a4) = 0, ja que tenim d4 : E0,44 → E4,1

4 = 0. De nou aplicant elteorema 3.3.10, en aquest cas a a4 = Sq2(a2), tenim

d5(a4) = d5(Sq2(a2)) = Sq2(d3(a2)) = Sq2(x21x2 + x1x

22) = x4

1x2 + x1x42 = (x1x2)(x3

1 + x32) ≡ 0,

ja que d3(a2(x21 + x2

2)) = (x1x2)(x1 + x2)(x21 + x2

2) = (x1x2)(x31 + x3

2 + x21x2 + x1x

22) ≡ (x1x2)(x3

1 + x32)

(observem que x21x2 + x1x

22 ≡ 0 a Er per r ≥ 4).

Volem veure ara que, en aquest punt tenim E5 = E∞. Sigui v ∈ H4(Q8) una classe que representaa a4 ∈ E0,4

∞ . Fent servir el morfisme eix (3.2), sabem que resQ8C2

(v) 6= 0. D’altra banda, sabem que laimatge de la restriccio es una subalgebra de H∗(C2). Per tant, es clar que no podem matar cap mesclasse sobre l’eix vertical E0,∗

5 , d’on es dedueix que totes les diferencials dr son trivials per r ≥ 5. A3.3.14 formalitzarem aquesta idea per donar un criteri de convergencia.

Encara no hem acabat de determinar H∗(Q8): recordem que hi havia un possible problema d’ex-tensio entre el terme E∞ i H∗(Q8). En aquest cas, pero, no hi ha aquest problema, ja que el termeE∞ es lliure com a E∗,0

∞ -modul, on, recordem, E∗,0∞ = π∗(H∗(C2 × C2)) ≤ H∗(Q8) pel morfisme eix

(3.1). Segons [Ca1], nomes podem construir una F2-algebra graduada a partir d’aquest terme E∞, ies, precisament,

H∗(Q8) ∼= F2[x1, x2, v]/(x21 + x1x2 + x2

2, x21x2 + x1x

22),

on el generador v es de grau 4 i correspon a la classe a4 a la S.E.S. Deixarem, pero, l’estudi delsarguments de [Ca1] pel capıtol 4.

Observem que aquest es un exemple de cohomologia periodica (amb periode 4): H∗(Q8) satisfa

Hi(Q8) ∼=

Z/p, si i ≡ 0 (mod4),(Z/p)2, si i ≡ 1, 2 (mod4),Z/p, si i ≡ 3 (mod4).

A [AdMi] es pot trobar una caracteritzacio dels 2-grups amb cohomologia periodica.

Per tancar l’estudi de la S.E.S., donarem un criteri de convergencia que farem servir al llarg delcapıtol 6. Tot i que les condicions d’aquest criteri son forca restrictives, la situacio que planteja aquestenunciat resultara forca habitual.

Lema 3.3.14.

Sigui

Z/pi −→ G −→ Q (3.5)

una extensio de p-grups, de manera que Q actua trivialment sobre H∗(Z/p), i considerem la S.E.S. de (3.5).

Aleshores, si totes les diferencials

dr : E0,2r → Er,3−r

r

son trivials per r = 2, 3, llavors la successio espectral col·lapsa, com a molt, a la pagina E3.


Observem que la S.E.S. sobre l’extensio (3.5) es una successio espectral de primer quadrant. Pertant, les uniques diferencials dr : E0,2

r → Er,3−rr que poden ser no trivials son d2 i d3.

Demostracio. Fixem la notacio

H∗(Z/pi) ∼={F2[a], si p = 2 i i = 1,

Λ(ai)⊗ Fp[bi], altrament.

Sota la condicio de que Q actui trivialment sobre H∗(Z/pi), tenim

E∗,∗2

∼= H∗(Q)⊗H∗(Z/pi)

a la corresponent S.E.S. Notem, per tant, que si α1, . . . , αn ∈ H∗(Q) son un sistema de generadorshomogenis de H∗(Q) com a Fp-algebra, llavors la pagina E2 esta generada, com a Fp-algebra, perα1 ⊗ 1, . . . , αn ⊗ 1, 1⊗ ai, 1⊗ bi.

Observem, tambe, que totes les diferencials seran trivials sobre els generadors αj ⊗ 1. Per tant, ladiferencial d2 esta completament determinada per la imatge dels elements 1⊗ ai i 1⊗ bi (respectiva-ment 1⊗ a2).

Per hipotesi, d2(1 ⊗ bi) = 0 (respectivament d2(1 ⊗ a2) = 0). Per tant, nomes ens cal coneixerd2(1⊗ ai) per determinar la diferencial d2: denotem d2(1⊗ ai) = ω ⊗ 1, per cert ω ∈ H2(Q).

Aixı, la pagina E3, per p > 2 o i > 1, te la forma seguent:

E∗,∗3

∼= (H∗(Q)/(ω)⊕ [Ann(ω)⊗ ai])⊗ Fp[bi],

on (ω) es l’ideal de H∗(Q) generat per ω, i

[Ann(ω)⊗ a] = {[γ ⊗ a] ∈ E3|γ ∈ Ann(ω)}

(Ann(ω) denota l’anul·lador de la classe ω a H∗(Q)). Per p = 2 i i = 1 hi ha una expressio similar,substituint bi per a2.

Es clar a partir d’aquesta descripcio que la pagina E3 esta generada per elements a les files E∗,03 i

E∗,13 , i per l’element 1⊗ bi ∈ E0,2

3 (respectivament, 1⊗ a2 ∈ E0,23 , per p = 2 i i = 1).

Suposem, per tant, que la diferencial d3 es trivial sobre E0,23 . Com a consequencia, E4 = E3, i, en

particular, la classe 1⊗ bi ∈ E0,23 (respectivament 1⊗ a2) sobreviu a E∞.

Sigui µ ∈ H2(G) una classe que representa a 1⊗ bi ∈ E0,2∞ . Aleshores, fent servir el morfisme eix

(3.2), obtenim resGZ/pi(µ) = bi ∈ H2(Z/pi) (respectivament, a2).

Observem que Im(resGZ/pi) es una subalgebra de H∗(Z/pi). D’aquı es dedueix que µj 6= 0 a

H∗(G) i resGZ/pi (µj) = bj

i (respectivament a2j) per tot j ≥ 1. En particular, totes les possibles diferen-cials dr, r ≥ 3 son trivials sobre l’eix vertical E0,∗

r , d’on es dedueix que Er+1 = Er per r ≥ 3.


3.3.3 La successio espectral de Bockstein

La successio espectral de Bockstein (S.E.B. a partir d’ara) s’aplica en un context forca diferent alde la S.E.S.: en aquest cas, donat un espai X , la S.E.B. ens calcula la p-torsio de H∗(X;Z) sota certeshipotesis sobre H∗(X), tal com ens diu el seguent teorema ([Mc], 10.3).

Teorema 3.3.15. Teorema de la successio espectral del Bockstein

Sigui X un espai connex de Fp-tipus finit. Aleshores hi ha una successio espectral {Br, dr}, naturalrespecte a espais i aplicacions contınues, de manera que Bn

1∼= Hn(X;Fp), d1 = β, el morfisme Bockstein, i tal

que convergeix a (H∗(X;Z)/torsio)⊗ Fp.

En particular, observem que les pagines d’aquesta successio espectral no son bigraduades. Po-dem pensar cada una d’aquestes pagines com una fila. Com veurem a continuacio, a mes, totes lesdiferencials tenen el mateix grau. Abans, pero, ens cal introduir els anomenats Bocksteins d’ordresuperior.

Recordem que a (3.2.4) hem definit el Bockstein com l’aplicacio “connecting” de la successioexacta llarga de coeficients induida per la successio exacta curta

0 → Z/p·p−→ Z/p2 −→ Z/p → 0,

identificant Z/p amb pZ/p2. La seguent definicio esten la definicio del Bockstein, 3.2.4.

Definicio 3.3.16.

Considerem, per cada r, la successio exacta curta de coeficients

0 → Z/p −→ Z/pr+1 −→ Z/pr → 0,

i sigui ∂ : H∗( ;Z/pr) → H∗+1( ;Z/p) l’aplicacio “connecting” a la corresponent successio exacta llarga decohomologia induida per aquesta successio exacta curta. Sigui tambe i : Z/p → Z/pr la inclusio del subgruppr−1Z/pr.

Aleshores, definim Bockstein superior d’ordre r, βr, com la composicio

βr : H∗( ;Z/p) i∗−→ H∗( ;Z/pr) ∂−→ H∗+1( ;Z/p).

Aquesta definicio ens permet ara enunciar la seguent proposicio ([Mc], 10.4):

Proposicio 3.3.17.

A cada pagina Br de la S.E.B., podem identificar la diferencial dr amb el Bockstein d’ordre r, βr. Enparticular, les diferencials de la S.E.B. tenen grau +1.

Amb el teorema 3.3.15 i la proposicio anterior ens podem fer una bona idea de quina forma teaquesta successio espectral. Volem dedicar la resta d’aquesta apartat a argumentar la importancia dela S.E.B. en l’estudi de H∗(G), per G un p-grup finit.

El seguent resultat, ja classic, ens dona una pista (veieu [Brow], proposicio III.10.1):


Proposicio 3.3.18.

Siguin M un G-modul i H ≤ G un subgrup d’ındex finit tal que Hn(H;M) = 0 per algun n. Aleshores,els elements del grup Hn(G; M) son, com a molt, d’ordre (G : H). En particular, si (G : H) es invertible aM , llavors Hn(G; M) = 0.

En el cas particular en que H = {1G}, podem deduir el seguent corol·lari:

Corol·lari 3.3.19.

Per tot G, p-grup finit, la cohomologia entera de G, H∗(G;Z), es tota de torsio, per ∗ > 0.

D’aquesta manera, aplicant la S.E.B. a la cohomologia d’un p-grup G, sempre sabem de ha deconvergir a zero en un nombre finit de passos, i.e., Br = B∞ = {0} per cert r < ∞.

Finalment, volem exposar alguns dels resultats de [Bro], que ens donen una bona interpretaciodel comportament de la S.E.B. en termes de la cohomologia entera d’un p-grup ([Bro], proposicio 1.2):

Proposicio 3.3.20.

Siquin G un p-grup finit, i sigui m = dimFpIm(βr : Hn(G) → Hn+1(G)). Aleshores, Hn+1(G;Z)conte m sumands directes Z/pr.

Tancarem aquest apartat amb un exemple, tal com hem fet amb la successio espectral de Serre.De fet, en aquest cas farem servir els calculs que hem realitzat a l’exemple 3.3.13 per calcular la S.E.B.de H∗(Q8).

Exemple 3.3.21.

Considerem el grup quaternionic de vuit elements, Q8, definit per

Q8 =< g, h|g2 = h2, g4 = 1, hg = g3h > .

A continuacio fem un resum dels calculs que havıem fet a l’exemple 3.3.13 sobre H∗(Q8). Recordemd’aquest exemple que aquest grup encaixa en una extensio central

C2 −→ Q8π−→ C2 × C2,

de manera que H∗(Q8) ∼= F2[x1, x2, v]/(x21 + x1x2 + x2

2, x21x2 + x1x

22), on |x1| = 1 = |x2| i |v| = 4. Si

denotem H∗(C2 × C2) ∼= F2[x1, x2], llavors sabem que π∗(xi) = xi, i = 1, 2. Recordem tambe quehavıem vist que H∗(Q8) es periodica amb periode 4.

Aixı, en particular, tenim

H1(Q8) =< x1, x2 > H2(Q8) =< x21, x

22 >

H3(Q8) =< x21x2 > H4(Q8) =< v > .

De fet, tal com es pot veure a [BrLe], determinant els Bocksteins sobre aquests quatre elements deter-mina tota la successio espectral de Bockstein.

En primer lloc, notem que per la naturalitat de la S.E.B., tenim β(π∗(xi)) = π∗(β(xi)) = π∗(x2i ) =

x2i per i = 1, 2. Igualment, la naturalitat de la S.E.B. ens diu que β(x2

1x2) = 0. El seguent diagrama


pot ser d’ajuda per visualitzar aquesta successio espectral:

H∗(Q8) '&%$Ã!"#1 '&%$Ã!"#2 '&%$Ã!"#3 '&%$Ã!"#4 '&%$Ã!"#5 . . .

x1β // x2

1 x21x2

βi // v x1vβ // . . .

x2β // x2

2x2v

β // . . .

Ja sabem que aquesta successio espectral ha de col·lapsar en un nombre finit de passos, i de maneraque B∗

∞ = 0, ja que estem estudiant la cohomologia d’un p-grup finit (3.3.18). Es a dir, existeix i > 1tal que βi(x2

1x2) = v.

Com veurem a continuacio, tot i tenir una bona descripcio de la S.E.B., estudiar la successioespectral d’una fibracio amb coeficients enters es forca complicat. En aquest cas, per determinar quies i tal que βi(x2

1x2) = v haurem de fer servir una altra successio espectral!

De la presentacio de Q8 que tenim es veu que aquest grup conte un subgrup normal cıclic d’ordre4, < g > ¢Q8. Aixı, podem considerar l’extensio

C4 =< g >−→ Q8 −→ C2.

Observem, pero, que < g > no es central en Q8. Per tant, en aquest cas hi ha una accio no trivial deC2 sobre C4, o, equivalentment, un morfisme

C2 =< h >ψ−→ Aut(C4) ∼= Z/2. (3.6)

Es clar que aquest morfisme envia l’element h a ψh : C4 → C4, de manera que ψh(g) = g3.

Volem estudiar la successio espectral de Serre amb coeficients a Z d’aquesta nova extensio. Comveurem, els resultats que obtindrem, juntament amb el teorema 3.3.20 ens permetran deduir com esel Bockstein que ens falta per determinar a la S.E.B. de H∗(Q8).

Considerem, per tant, la S.E.S. amb coeficients enters de l’extensio (3.6). La pagina E2 d’aquestasuccessio espectral te la forma seguent:

E∗,∗2

∼= H∗(C2; H∗(C4;Z)ψ),

on H∗(C4;Z)ψ denota els invariants de H∗(C4;Z) per l’accio ψ. En particular, tenim E∗,02

∼= H∗(C2;Z)i E0,∗

2∼= H∗(C4;Z)ψ, on

H∗(C2k ;Z) ∼= Z[e]/(2ke),

amb |e| = 2. En particular, H∗(C4;Z)ψ es

H∗(C4;Z)ψ ∼=

Z, si i = 0,

0, si i ≡ 1 (mod2),Z/2 si i ≡ 2 (mod4), i > 0,

Z/4, si i ≡ 0 (mod4), i > 0,

ja que ψ(ej) = 3jej .

Ara, calcular E∗,i2 es forca sencill. A continuacio donarem la forma de la pagina E3, els detalls es

poden consultar a [AdMi] (exemple II.3.8):

E∗,02

∼= H∗(C2;Z), E0,∗2

∼= H∗(C4;Z)ψ,

Ei,2j2

∼= Z/2, Ei,2j+12

∼= Z/2,


per i > 0. El seguent diagrama il·lustra la forma de la pagina E3 en dimensions baixes:

⊗

Z/4

''NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN Z/2 Z/2 Z/2

⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Z/2

''NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN Z/2

''NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN Z/2

&&NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN Z/2

&&MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM Z/2

⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Z ⊗ Z/2 ⊗ Z/2 ⊗ Z/2 ,

on el sımbol “⊗′′ a la posicio (i, j) denota que Ei,j3 = 0.

Volem determinar el termeE4∞ = ⊕i+j=4E

i,j∞ ,

per despres resoldre el problema d’extensio i calcular aixı H4(Q8;Z). Per aixo ens cal deduir com sonles diferencials d’aquesta successio espectral, i aixo ho farem a partir del coneixement (parcial) que jatenim de la S.E.B. de H∗(Q8).

Observem que els termes E3,1∞ i E1,3

∞ son trivials. Estudiem ara el terme E4,0∞ . Ja sabem que

H3(Q8;Z) = 0, perque βr : H2(Q8) → H3(Q8) es trivial per tot r. Per tant, la diferencial

d3 : E1,23

∼= Z/2 −→ E4,03

∼= Z/2

es un isomorfisme, i E4,0∞ = 0.

Notem tambe que la diferencial

d3 : E2,23 −→ E5,0

3 = 0

es trivial, i per tant E2,2∞ ∼= Z/2.

Nomes ens falta determinar E0,4∞ . El terme E0,4

3 es veu afectat per dues diferencials possiblementno trivials:

d3 : E0,43

∼= Z/4 −→ E3,23 , d5 : E0,4

5 −→ E5,05 .

Fent servir que H5(Q8;Z) = 0 i H6(Q8;Z) ∼= (Z/2)2, es dedueix que les diferencials d3 : E1,43 → E4,2

3 id3 : E3,2

3 → E6,03 son isomorfismes, i per tant, les diferencials que afecten a la posicio (0, 4) son trivials,

i E0,4∞ = 0.

Es a dir, E4∞ ∼= Z/2 ⊕ Z/4. Per determinar H4(Q8;Z) a partir de E4

∞ nomes cal observar quenomes hi ha un Bockstein no trivial entre H3(Q8) i H4(Q8), es a dir, H4(Q8;Z) ha de ser cıclic:

H5(Q8;Z) ∼= Z/8,

i β3(x21x2) = v.


3.3.4 La successio espectral d’Eilenberg-Moore

En aquest apartat volem presentar breument una successio espectral que farem servir nomes demanera puntual en aquest treball: la successio espectral d’Eilenberg-Moore.

Aquesta successio espectral s’aplica a un context forca similar al de la S.E.S.: a una fibracioF → X → B, pero a diferencia d’aquesta ultima, la successio espectral d’Eilenberg-Moore, S.E.E.M.,calcula la (co)homologia de F conegudes les (co)homologies de X i B.

Siguin, doncs, F −→ Xπ−→ B una fibracio, E un espai topologic, i E

f−→ B una aplicaciocontınua, i considerem el seguent diagrama

F // Xπ // B

F // Xf //

OO

E,

f

OO

on Xf es el pull-back de X → B ← E. En aquesta situacio, la S.E.E.M. calcula la cohomologia deXf conegudes les cohomolgies de B, X i E (i les aplicacions π∗ i f∗). De nou, el grup fonamental del’espai B, π1(B), actua sobre H∗(F ), tal com succeıa a la S.E.S.

Observem que, en aquesta situacio, les aplicacions π∗ i f∗ doten a H∗(X; R) i H∗(E; R) respec-tivament d’estructures de H∗(B)-moduls. En aquesta situacio, tot i que no donarem detalls (podeuconsultar [CaEi] o [Mc]), podem definir un complex bigraduat

Tor∗,∗H∗(B;R)(H∗(E; R),H∗(X; R)).

La construccio es una extensio forca natural del functor Tor.

Teorema 3.3.22. Teorema de la successio espectral d’Eilenberg-Moore

Sigui F → Xπ→ B una fibracio tal que π1(B) actua trivialment sobre H∗(F ). Sigui tambe f : E → B

una apliacio contınua, i Xf el corresponent pull-back.

Aleshores, hi ha una successio espectral, {E∗,∗r , dr}, convergint a H∗(Xf ;R), i tal que

E∗,∗2

∼= Tor∗,∗H∗(B;R)(H∗(E;R), H∗(X; R)).

Observem que, en el cas en que E ' {∗} i f es la inclusio, tenim Xf ' F , i aquesta successioespectral convergeix a H∗(F ;R). En aquest cas, a mes, el terme E2 de la S.E.E.M. es simplifica molt:

E∗,∗2

∼= Tor∗,∗H∗(B;R)(H∗(X;R), ∗).

La manera habitual de construir el complex Tor∗,∗H∗(B;R)(H∗(E; R),H∗(X; R)) es la seguent: grad-

uacio negativa sobre la primera coordenada, i positiva sobre la segona. Aixo permet que les diferen-cials siguin “de tipus cohomologic”, es a dir, dr te bigrau (r, 1 − r), tal com succeeix a la successioespectral de Serre. D’aquesta manera, els termes Ei,j

2 seran zero per i > 0 i j < 0.

Com sempre, en general treballarem amb coeficients a R = Fp, i per tant, omitirem els coeficientssempre que no hi hagi lloc a confusio.


Estudiem ara la convergencia d’aquesta successio espectral. El treball de Dwyer, [Dw], en aquestcas resol la questio de la convergencia sota certes condicions que especificarem a continuacio. Comveurem, les situacions que considerem en aquest treball satisfan aquestes condicions.

Sigui F → X → B una fibracio d’espais connexos, i recordem que en aquesta situacio tenim unaaccio de π1(B) sobre H∗(F ;R) definida de manera natural.

Definicio 3.3.23.

Diem que un grup π actua nilpotentment sobre un grup G si hi ha una serie de subgrups de G:

1 = Gn ⊂ . . . ⊂ Gj ⊂ . . . ⊂ G1 = G,

de manera que per cada j es satisfan les seguents condicions:

i) Gj es tancat sota l’accio de π,

ii) Gj+1 es un subgrup normal de Gj tal que Gj/Gj+1 es abelia, i

iii) l’accio induida sobre Gj/Gj+1 es trivial.

Aquesta nocio va ser introduida a [BoKa] com a generalitzacio del concepte de grup nilpotent:un grup G es nilpotent si i nomes si l’accio de G sobre ell mateix per conjugacions es nilpotent.

Notem que, en el cas en que els grups π i G son p-grups (finits), llavors tota possible accio de π

sobre G es nilpotent.

El teorema seguent ([Dw], 1) explica com es la convergencia de la S.E.E.M. en el cas en que l’accionatural de π1(B) sobre H∗(F ;R) es nilpotent:

Teorema 3.3.24.

La S.E.E.M. amb coeficients a R convergeix a H∗(F ; R) si i nomes si π1(B) actua nilpotentment sobreHn(F ; R), per tot n ≥ 0, es a dir, si i nomes si es satisfan les condicions seguents:

i) per tot parell i, j tal que i + j ≥ 0, existeix R finit tal que

Ei,jR = Ei,j

∞ ,

ii) els termes estables Ei,j∞ son isomorfs als successius quocients F i(Hi+1(F ;R))/F i+1(Hi+j(F ; R)) en una

filtracio finita F ∗(H∗(F ; R)).

De la construccio del terme TorH∗(B;R)(H∗(E;R), H∗(X; R)) es pot veure que, de fet, aquestterme te ben definits productes que el doten d’una estructura d’algebra.

Corol·lari 3.3.25.

La S.E.E.M. es una successio espectral d’algebres que convergeix com a algebra.

Recordem que aixo no succeeix en general amb la S.E.S.

68 3.4. El Functor T de Lannes

3.4 El Functor T de Lannes

Un problema gairebe classic en topologia algebraica es, donats dos espais topologics X i Y , estu-diar l’espai funcional Map(X, Y ). Aquest problema va comencar a estar al nostre abast en certs casosquan Miller va demostrar la conjectura de Sullivan ([Mi]).

Arran de l’estudi d’aquests espais de funcions, el functor T va ser introduit per Lannes al seutreball [La], i volem comentar-lo una mica ja que es en aquest context on van apareixer per primercop els sistemes de p-grups dels que parlavem al capıtol 2 i que volem estudiar en aquest treball.

Sigui C una de les categories K o U de les algebres inestables (respectivament moduls) sobrel’algebra de Steenrod. Lannes va veure que, per K ∈ Obj(C) de tipus finit, el functor

C // CN // K ⊗N

admet un adjunt a esquerra, el funtor T

C // CM // T (M),

on, seguint la notacio de [La], T (M) es denota per (M : K)C . Es a dir, que per tot M i N ∈ C tenim unisomorfisme

HomC(M, K ⊗N) ∼= HomC((M : K)C , N).

Aquest functor T te molt bones propietats, pero no ens cal detallar-les pel nostre treball (es podenconsultar a [La]).

La relacio d’aquest functor amb els espais funcionals es inmediata si, donats X , Y dos espaistopologics, considerem l’aplicacio evaluacio:

X ×Map(X; Y ) ev // Y

(x, f) Â // ev(x, f) := f(x).

Aquesta aplicacio indueix en cohomologia un morfisme sobre C (recordem que H∗( ) = H∗( ;Fp)),

H∗(Y ) −→ H∗(X)⊗H∗(Map(X; Y )),

i ara nomes cal aplicar el funtor T de Lannes: tenim un C-morfisme

(H∗(Y ) : H∗(X))C −→ H∗(Map(X;Y )). (3.7)

Lannes demostra al seu treball [La] que aquest morfisme es, sota certes condicions, un isomorfisme, iper tant el functor T calcularia la cohomologia de l’espai funcional Map(X; Y ) en aquests casos.

En concret, els casos coneguts pels quals el morfisme (3.7) es isomorfisme es donen per X = BV ,on V es un p-grup abelia elemental, i BV denota el seu espai classificador, i sota certes condicions so-bre l’espai Y . En aquest cas, el functor T ens dona H∗(Map(BV ; Y ∧

p )), on Y ∧p denota la p-completacio

de l’espai Y en el sentit de Bousfield-Kan ([BoKa]).


Fixada una aplicacio f : BV → Y , sovint resulta util restringir l’estudi de l’espai Map(BV, Y ∧p )

a la component connexa que conte a f . A nivell del functor T podem “restringir-nos” a aquestacomponent connexa, fent servir la transformacio natural:

Γ : Tf (H∗(Y )) = T (H∗(Y ))⊗(T (H∗(Y )))0 Ffp → H∗(Map(BV, Y ∧

p )f ),

on les cohomologies son totes amb coeficients a Fp.

Aquı, T (H∗(Z)))0 es la part de dimensio zero de l’algebra (graduada) T (H∗(Z))), i Ffp es Fp vist

com a modul sobre T (H∗(Z)))0 via la restriccio a grau zero de l’adjunta de l’aplicacio f∗ : H∗(Z) →H∗(Y ). Finalment, Map(Y, Z)f es el subespai de Map(Y, Z) que conte totes les aplicacions g : Y → Z

tals que g∗ = f∗ : H∗(Z) → H∗(Y ).

L’article de Aguade-Broto-Saumell, [AgBrSa], generalitzava diversos metodes anteriors fets servirper determinar situacions en les que efectivament el C-morfisme (3.7) es un isomorfisme (veieu [AgBrKiSa],[AgBrNo] i [BrLe2]). En aquest aspecte, la part mes important de l’article [AgBrSa] es la que fa re-ferencia a la condicio de T -representabilitat:

Definicio 3.4.1.

Diem que una aplicacio f : BV → Y es T -representable si existeix una successio creixent, {α(s)}, i unaaplicacio entre torres de fibracions, g : {Eα(s)} → {Bs} tal que:

i) Bs = K(Gs, 1), i Gs es un p-grup finit per tot s.

ii) g indueix un pro-isomorfisme en H1 i un pro-epimorfisme en H2.

iii) H∗(lim←−Gs) ∼= lim−→H∗(Gs), induit per l’aplicacio natural,

on Es = Map(BV, PsY∧p )fs , {PsY

∧p } es la torre de Postnikov de l’espai Y ∧

p i fs es l’aplicacio induida per f .En aquest cas, diem que g : {Eα(s)} → {Bs} es una T -representacio.

Si tenim una T -representacio g : {Eα(s)} → {Bs}, denotem B∞ = holimBs i G∞ = lim←−Gs. Comque els p-grups Gs son finits, tenim la igualtat B∞ = K(G∞, 1).

Definicio 3.4.2.

Diem que l’aplicacio f : BV → Y es finitament T -representable si Tf (H∗(Y ;Fp)) es de tipus finit i hiha una T -representacio {Eα(s)} → {Bs} de manera que alguna de les seguents condicions es compleix:

i) G∞ es un p-grup finit.

ii) H∗(G∞;Fp) es de tipus finit i Tor∗,∗H∗(G∞;Fp)(TfH∗(Y ;Fp),Fp) es de dimensio finita en cada grau total.

Amb aquestes dues definicions podem enunciar el resultat principal de [AgBrSa]:

Teorema 3.4.3.

Si Y es un espai de Fp-tipus finit tal que H1(Y ;Fp) = 0 i f : BV → Y es finitament T -representable,llavors tenim un isomorfisme

Γ : Tf (H∗(Y ;Fp))∼=−→ H∗(Map(BV, Y ∧

p )f ;Fp).


A mes, l’espai Map(BV, Y ∧p )f es p-complet i, si la torre de p-grups {Gs} ens dona una T -representacio,

aleshores tenim un isomorfismeπ1(Map(BV, Y ∧

p )f ) ∼= G∞,

on G∞ = lim←−Gs.

A partir d’aquest punt, l’article estudia la manera d’obtenir la condicio de T -representabilitata partir d’una algebra inestable donada. Siguin, per tant, A i B dues algebres sobre l’algebra deSteenrod donades. Direm que una K-aplicacio f : B → A es una n-equivalencia si es bijectiva en totsels graus r < n i es injectiva en grau n. De forma similar, una successio d’algebres sobre l’algebra deSteenrod C → B → A es una n-aproximacio d’A si la composicio es trivial en graus positius i indueixuna n-equivalencia B//C → A.

Aixı, donada una algebra inestable sobre l’algebra de Steenrod, A (per exemple, si consideremA = Tf (H∗(Y ;Fp))), hi ha un procediment estandard de construir una 2-aproximacio. Sigui W1 elFp-espai vectorial dual a A1. La Fp-aplicacio lineal W ∗

1 → A esten a un homomorfisme de K-algebres:

ϕ : U(W ∗1 ) → A,

on U es el functor que associa a un Fp-espai vectorial graduat, V , una algebra inestable, U(V ∗), demanera que U es l’adjunt esquerra del functor oblit,O, que envia una algebra inestable, K, al Fp-espaivectorial (graduat) subjacent a K, a la categoria E dels espais vectorials graduats:

HomE(W ∗1 ,O(K)) ∼= HomK(U(W ∗

1 ), K).

En particular, per V un Fp-espai vectorial, U(V ∗) ∼= H∗(V ).

Si ara denotem per Q2 el Fp-espai vectorial dual al nucli de ϕ en grau 2, llavors tenim la nostra2-aproximacio:

U(Q∗2)ψ−→ U(W ∗

1 )ϕ−→ A, (3.8)

o, equivalentment, una 2-equivalencia:

L = U(W ∗1 )//U(Q∗2) −→ A.

Podem enunciar el seguent resultat, tambe de [AgBrSa]:

Teorema 3.4.4.

Si la 2-aproximacio (3.8) associada a A = Tf (H∗(X;Fp))es una 3-aproximacio, aleshores f es finitamentT -representable.

Tot i aixo, si la 2-aproximacio (3.8) no es una 3-aproximacio, [AgBrSa] encara ens permet diralguna cosa.

La 2-aproximacio (3.8) ens dona una extensio central de p-grups finits: sigui H2(W1) → Q2 duala la inclusio Q∗

2 ⊂ U2(W ∗1 ) ∼= H2(W1). Aixo defineix un element ω ∈ H2(W1;Q2), i per tant defineix

una extensio (central) de p-grups finits

1 −→ Q2i−→ P

π−→ W1 −→ 1 (3.9)

Es pot veure, amb un argument de successions espectrals, que π indueix una 2-aproximacio

U(Q∗2)

ψ−→ U(W ∗1 ) Bπ∗−→ H∗(P )


Fixem l’algebra L = U(W ∗1 )//U(Q∗2), i associem a L el sistema (de classes d’isomorfia) de p-grups

seguent:C(L) = {P p-grup finit | hi ha una 2-equivalencia ρ : L → H∗(P ;Fp)}. (3.10)

La seguent observacio demostra que efectivament el sistema C(L) esta ben definit:

Observacio 3.4.5.

Suposem que W1 = (Z/p)n,

H∗(W1) ∼={F2[x1, . . . , xn], si p = 2,

Λ(x1, . . . , xn)⊗ Fp[z1, . . . , zn], si p > 2,

i siguin γ ∈ Ln, n ≥ 1, i P ∈ C(L) un grup qualsevol, amb la corresponent 2-equivalencia ρP : L → H∗(P ).

Aleshores, per p = 2, la imatge de γ per ρP esta totalmente determinada per la imatge per ρ de les classesxi, 1 ≤ i ≤ n, i xixj , 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Igualment, per p > 2, la imatge de γ per ρP esta totalment determinada per la imatge per ρP de les classesxi, 1 ≤ i ≤ n, zi, 1 ≤ i ≤ n, i xixj , 1 ≤ i < j ≤ n.

Per tant, donades dues possibles 2-equivalencies, ρP , ρ′P : L → H∗(P ), pel mateix grup P , hi ha isomor-fismes

ρP (Ln) ∼= ρ′P (Ln),

per tot n.

Demostracio. Per p = 2, es clar que les classes xi, 1 ≤ i ≤ n, i xixj , 1 ≤ i ≤ j ≤ n son un sistemade generadors de L ∼= H∗(W1)//H∗(Q2), i per tant es clar que la classe γ ∈ Ln s’expressa com acombinacio linial d’aquestes classes, i per tant la seva imatge per ρP esta completament determinadaper la imatge del sistema de generadors.

De manera similar, en el cas p > 2, les classes xi, 1 ≤ i ≤ n, zi, 1 ≤ i ≤ n, i xixj , 1 ≤ i < j ≤ n

formen un sistema de generadors per L.

L’existencia dels isomorfismes ρP (Ln) ∼= ρ′P (Ln) es llavors directa.

Ara es facil veure que C(L) es un “poset” amb la relacio d’ordre definida d’aquesta manera:P l P ′ si hi ha un epimorfisme π : P ′ ³ P . Observem que l’existencia d’aquest epimorfisme indueixel diagrama commutatiu seguent:

L

ρP

~~}}}}

}}}}

}ρP ′

ÃÃBBB

BBBB

BB

H∗(P ;Fp)π∗

// H∗(P ′;Fp)

(3.11)

El sistema C(L) satisfa, a mes, les seguents propietats, demostrades a [AgBrSa]:


i) Si P ∈ C(L), i 1 → V → P ′ → P → 1 es una extensio central, amb V un p-grup abelia elemental,determinat per una inclusio V ∗ ⊂ H2(P ), aleshores P ′ ∈ C(L) si i nomes si V ∗ ∩ ρ(L2) = {0}.

ii) Una relacio P l P ′ es pot refinar a una cadena P = P1 l P2 l . . . l Pr = P ′ a C(L) de maneraque, per cada k, hi ha una extensio central 1 → Vk → Pk → Pk−1 → 1, amb Vk un p-grup abeliaelemental.

iii) Hi ha un element inicial: el grup definit per l’extensio (3.9).

iv) Un element P de C(L) es maximal si i nomes si la 2-equivalencia ρ : L → H∗(P ) es, de fet, unisomorfisme en dimensio 2.

En general, quan parlem d’una cadena dins d’un sistema C(L) ens referirem a una successio

P1 l P2 l . . .l Ps l . . .

d’elements del sistema, ja sigui finita o infinita.

Per emfatitzar la propietat d’inicialitat del grup P definit per l’extensio central Q2 → P → W1,denotarem a aquest grup per P0.

Lema 3.4.6.

P0 es el grup mes petit a C(L), i per qualsevol altre grup P ∈ C(L) existeix una projeccio P ³ P0.

Aquesta demostracio es pot trobar a [AgBrSa], pero la transcrivim a continuacio donada la im-portancia d’aquesta condicio en l’estudi del corresponent sistema.

Demostracio. Sigui P0 el grup inicial del sistema, definit per l’extensio central Q2 → P0 → W1, i siguiP ∈ C(L) un grup qualsevol al sistema, amb ρP : L → H∗(P ) la corresponent 2-equivalencia.

Recordem que L es definia per L = U(W ∗1 )//U(Q∗

2).

Donat que ρP es un isomorfisme en dimensio 1, tenim un isomrfisme W ∗1∼= H1(P ), que indueix

un epimorfisme P ³ W1∼= H1(P ). Sigui K = Ker(P → W1). De la S.E.S. aplicada a l’extensio

K → P → W1 es dedueix una successio exacta de 5 termes (veure (3.3), 53):

0 → H1(W1)∼=−→ H1(P ) −→ H1(K)W1 −→ H2(W1) −→ H2(P ).

De fet, donat que H1(W1) ∼= H1(P ), tenim una successio exacta 0 → H1(K)W1 → H2(W1) → H2(P ).

Notem que el morfisme H2(W1) → H2(P ) factoritza a traves de H2(W1) ³ L2 ↪→ H2(P ): al’observacio 3.4.5 hem vist que ρP esta determinada per la imatge de L1 ∼= H1(W1).

Observem que Q∗2 es pot veure com Q∗2 = Ker(H2(W1) → L2). Aixı, tenim la situacio seguent:

Q∗2))TTTTTTTTT

H1(K)W1 // H2(W1) //

(( ((QQQQQQH2(P ).

L2

66nnnnnn


Sigui γ ∈ Q∗2. La classe γ va a zero a L2, i per tant, a H2(P ). Per tant, γ ∈ H1(K)W1 = Ker(H2(W1) →

H2(P )). D’altra banda, si µ ∈ H1(K)W1 , llavors, fent servir que ρP es monomorfisme en dimensio 2,es veu que µ va a zero a L2, i per tant, que µ ∈ Q∗2. Es a dir, Q∗2 ∼= H1(K)W1 ⊂ H1(K).

L’isomorfisme Q∗2 ∼= H1(K)W1 ens permet deduir que tenim un epimorfisme K ³ Q2. A mes, sipensem ara en termes de fibracions,

BP

Bφ

²²BP0

// BW1 ι// B2Q2,

llavors la composicio ι ◦ Bφ es nulhomotopa, i existeix una aplicacio BP → BP0. De fet, tenim unmorfisme entre extensions,

0 // K //

²²

P //

²²

W1// 0

0 // Q2// P0

// W1// 0,

d’on es veu, pel lema dels cinc, que efectivament P → P0 es una projeccio.

De fet, podem pensar el sistema C(L) com la categoria definida per

Obj(C(L)) = {P | existeix una 2− equivalencia ρP : L → H∗(P )},HomC(L)(P, P ′) = { classes d’isomorfia de projeccions P ′ ³ P}.

Sota aquest punt de vista, P0 es efectivament un objecte inicial de la categoria C(L), en el sentit deque per tot P ∈ C(L), HomC(L)(P0, P ) conte un unic element, la classe d’isomorfia de les projeccionsP ³ P0. De totes maneres, al llarg d’aquest treball no farem servir la definicio categorica de C(L).

Considerem ara P0 i P ∈ C(L), i sigui π : P → P0 una projeccio. En aquesta situacio, hi ha una2-equivalencia evident

ρP : Lρ0−→ H∗(P0)

π∗−→ H∗(P ). (3.12)

De fet, sempre que parlem d’una 2-equivalencia ρP per P ∈ C(L) podem pensar que es tracta d’aque-sta 2-equivalencia en concret.

Observem tambe que un tal element maximal del sistema es, de fet, un p-grup que no podemestendre sense obtenir un nou p-grup que ja no es dins del sistema, es a dir, qualsevol cadena quecontingui un element maximal sera finita.

Finalment, cal fer la seguent observacio

Observacio 3.4.7.

Cada p-grup P pertany a un unic sistema C(L).

Demostracio. Considerem H∗(P ) com a algebra inestable. Com a Fp-espais vectorials, H1(P ) =<

x1, . . . , xn >∼= (Z/p)n i H2(P ) =< {β(xj)}, {xjxk} > /R× < u1, . . . , us >, per certes classes ui, onR =< r1, . . . , rm > son certes relacions entre els elements β(xj), xjxk.

74 3.5. Grups profinits i pro-p-grups

Es clar que P pertany al sistema C(L) per L definida per W1 = (Z/p)n =< x1, . . . , xn > i Q2 =(Z/p)m =< r1, . . . , rm >.

Suposem que P pertany a un altre sistema, C(L′), per L′ 6∼= L. Per definicio del sistema C(L′),L′ es de la forma L′ = H∗((Z/p)n′)//H∗((Z/p)m′

), per certes n′, m′, de manera que H1((Z/p)m′) ⊆

H2((Z/p)n′).

A mes, sabem que existeix un morfisme ρ′ : L → H∗(P ) de manera que ρ′ es isomorfisme endimensio 1 i monomorfisme en dimensio 2. Per tant, es facil veure que n′ = n a la definicio de L′.

De les condicions H1((Z/p)m′) ⊆ H2((Z/p)n′) i ρ′ monomorfisme en dimensio 2 es dedueix

que < r1, . . . , rm >⊆ H1((Z/p)m′). Pero si H1((Z/p)m′

) conte algun altre element γ ∈ H2((Z/p)n),γ /∈< r1, . . . , rm >, llavors ρ′ no es monomorfisme.

Per tant, P pertany unicament al sistema C(L).

Direm que el sistema C(L) es de Fp-tipus finit si, per qualsevol cadena infinita P1 l P2 l . . . lPs l . . ., amb Pi ∈ C(L), la cohomologia amb coeficients Fp del p-grup profinit P∞ = lim←−Ps es detipus finit i H∗(P∞) ∼= lim−→H∗(Ps).

En aquesta situacio, [AgBrSa] ens diu:

Teorema 3.4.8.

Siguin X , un espai de tipus Fp-tipus tal que H1(X;Fp) = 0, i f : BV → X , una funcio. Suposem que

U(Q∗2)ψ−→ U(W ∗

1 )ϕ−→ Tf (H∗(X;Fp))

es una 2-aproximacio de Tf (H∗(X;Fp)) i fixem L = U(W ∗1 )//U(Q∗

2).

Si el sistema C(L) es de tipus finit, aleshores f : BV → X es T-representable.

La intencio d’aquest treball es estudiar aquests sistemes de p-grups associats a una K-algebradonada , i mes en particular, estudiar com son les possibles cadenes infinites.

3.5 Grups profinits i pro-p-grups

Acabem de veure que el nostre objecte d’estudi seran les possibles cadenes infinites que espuguin construir dins d’un sistema C(L) fixat. En particular, donada una cadena de C(L),

P1 l P2 l . . .l Ps l . . . ,

ens interessa obtenir el maxim d’informacio de P∞ = lim←−Ps i de H∗(P∞).

La importancia dels grups profinits apareix en un primer moment en l’estudi de grups de Galoisi, de manera mes en general, en el camp de la teoria de nombres, tot i que no entrarem en aquestsaspectes en aquest treball. En tot cas, fruit de la seva definicio, els grups profinits gaudeixen d’una


estructura bastant rıgida, i que sera l’objecte d’aquesta seccio. Les referencies basiques d’aquestaseccio seran [RiZa] o [Wi].

Recordem del capıtol 2 les definicions de sistema projectiu i grup profinit:

Definicio 3.5.1.

Sigui (I,≤) un “poset” dirigit:

∀i, j ∈ I ∃k ∈ I tal que i, j ≤ k.

Definim un sistema projectiu de grups indexat per I com una col·leccio de grups, {Gi}, juntament amb unacol·leccio de morfismes de grups, {ϕij : Gi → Gj}, definits sempre que i ≥ j, de manera que si i ≥ j ≥ k,llavors tenim un diagram commutatiu:

Giϕik //

ϕij ÃÃBBB

BBBB

B Gk

Gj ,

ϕjk

==||||||||

i tals queϕii = id : Gi → Gi.

Definicio 3.5.2.

Un grup profinit es un grup topologic, G, isomorf a un lımit projectiu

G ∼= lim←−Gi = {(γi) ∈∏

i

Gi|∀i, j ∈ I, j ≤ i, ϕij(γi) = γj}.

on cada Gi es un grup finit, i {Gi, ϕij}i,j∈I es un sistema projectiu.

Definicio 3.5.3.

Sigui P1 ← P2 ← . . . ← Ps ← . . . un sistema invers de p-grups. Definim un pro-p-grup com el lımitprojectiu (colımit) d’un tal sistema,

P = lim←−s

Ps.

Topologicament parlant, que podem dir dels grups profinits? Observem que podem veure ungrup finit com a grup profinit, simplement pensant-lo com el lımit projectiu del sistema trivial. Pertant, des d’un punt de vista topologic, hi ha certes propietats dels grups finits propies d’un grupprofinit qualsevol. Si ens mirem un grup finit, H , com a grup topologic (amb la topologia discreta),trobem que: H es compacte, Hausdroff totalment disconnex. Observem que aquestes propietats sonindependents de l’estructura de grup de H :

Proposicio 3.5.4.

Els seguents enunciats son equivalents:

i) G es un grup profinit.

ii) G es compacte, Hausdorff, i l’element unitat te una base d’entorns formada per subgrups normals oberts itancats.


iii) G es compacte, Hausdorff i totalment disconnex.

En general, pero, un grup profinit no te la topologia discreta, si no que esta dotat de l’anomenadatopologia profinita. Tal com es pot veure a [RiZa], si G es un grup profinit, llavors

N = {N ¢ G|G/N es p-grup finit}

es un sistema fonamental d’entorns al voltant de l’element neutre, 1G ∈ G, que genera la topologiade G. Amb aquesta topologia, tot subgrup (normal) obert es tancat, i tot subgrup (normal) tancatd’ındex finit es obert.

Com a exemple basic tenim:

Exemple 3.5.5.

Considerem els nombres p-adics, Z∧p . Primer els definirem com a lımit invers del corresponentsistema, per despres donar una base de subgrups normals oberts i tancats al voltant de l’unitat.

Sigui per tant (I,≤) = (N,≤) el “poset” dirigit, Gi = Z/pi, i ϕij : Z/pi → Z/pj la projeccionatural. Amb aquest sistema projectiu, els nombres p-adics es defineixen com

Zp = lim←−Z/pi,

i tambe els podem veure com

Zp = {(xi)|xi ∈ Z/pi, xi ≡ xj ( mod pj)}.

Siguin ara, per tot n,

Hn = pnZp = {(pnxi)|(xi) ∈ Zp}.

Es clar que Hn es subgrup normal per tot n. Tenim, a mes, successions exactes curtes

0 → Zpϕn=·pn

−→ Zp −→ Z/pn,

on els morfismes ϕn son, de fet, aplicacions contınues. Observem que Im(ϕn) = Hn, i per tant, tenim

(Zp : Hn) = |Z/pn| = pn < ∞,

es a dir, els subgrups Hn son subgrups normals d’ındex finit. A mes, es clar que Hn es tancat, i pertant, es obert (un subgrup tancat d’ındex finit es automaticament obert, [RiZa], lema 2.1.2), i ja tenimla base de subgrups normals oberts i tancats al voltant de l’element unitat.

A continuacio donem una altra caracteritzacio dels grups profinits:

Proposicio 3.5.6.

Sigui G un grup profinit, i siqui I una base filtrada de subgrups normals tancats de G: es a dir, unacol·leccio de subgrups normals tancats tal que per tot K1, K2 ∈ I , existeix K3 ∈ I tal que K3 ⊆ K1

⋂K2.

Suposem que I satisfa que⋂

(N |N ∈ I) = {1}. Aleshores,

G ∼= lim←−G/N.


La seguent proposicio ens dona un nou punt de vista dels morfismes de grups profinits, on espot veure on interve l’estructura profinita:

Proposicio 3.5.7.

Siguin G, H , dos grups profinits. Aleshores,

Hom(G,H) ∼= lim←−V ∈J

lim−→U∈I

Hom(G/U,H/V ),

on I i J son bases filtrades de subgrups normals tancats de G i H respectivament.

Demostracio.

Fent servir la proposicio anterior, escribim G = lim←−U∈IG/U , i H = lim←−V ∈J

H/V , i consideremHom(G;H).

• Volem veure primer que

Hom(G,H) = Hom(G, lim←−V

H/V ) =? = lim←−V

Hom(G,H/V ).

Obviament, un morfisme f : G → H ens dona un morfisme ψV ◦ f : G → H/V per tot V .

Suposem ara que tenim fV : G → H/V per tot V , de manera que els fV son morfismes compati-bles amb l’estructura de lımit projectiu de H . Aleshores, per la propietat universal del lımit projectiu,tenim un morfisme f : G → H .

• Volem veure ara que

Hom(G,H/V ) = Hom(lim←−U

G/U,H/V ) =? = lim−→U

Hom(G/U,H/V ).

De manera similar al cas anterior, si tenim morfismes fU : G/U → H/V per tot U de maneraque siguin compatibles amb l’estructura de lımit directe de lim−→U

Hom(G/U,H/V ), llavors tenim unmorfisme f : G → H/V .

Suposem que tenim ara f : G → H/V . El grup ker(f) es un subgrup normal de G, i, perser I una base filtrada, existeix U ∈ I tal que U ≤ Ker(f), de manera que tenim una projeccioG/U → H/V . Aixı, a partir d’aquest U , i fent servir la base filtrada I , obtenim el nostre element delim−→U

Hom(G/U,H/V ).

Pel que fa a la cohomologia, tenim la seguent proposicio ([RiZa], proposicio 6.5.5):

Proposicio 3.5.8.

Sigui G = lim←−Gi un grup profinit, i I una base filtrada de subgrups normals tancats. Aleshores,

Hn(G;Fp) = lim−→Hn(Gi;Fp) = lim−→U

Hn(G/U ;Fp),

per tot n, es a dir, els grups Hn(G) son grups de torsio per tot n.


Finalment, per tancar aquesta seccio, volem presentar un resultat de [MinSy] (corol·lari 2) quefarem servir mes endavant:

Teorema 3.5.9.

Els seguents enunciats son equivalents:

i) H∗(G) es finitament generada.

ii) G conte un subgrup normal obert (en la topologia induida pel lımit projectiu) U lliure de torsio tal queH∗(U) es finita.

iii) Existexi un subgrup obert K ≤ G tal que H∗(K) es finitament generada.

iv) H∗(K) es finitament generada, per tot subgrup obert K ≤ G.

Observem que H∗(G) finitament generada es condicio suficient per tenir H∗(G) de tipus finit, irecordem que una de les condicions del teorema 3.4.8 es que el sistema C(L) en questio sigui de tipusfinit, es a dir, que per tota cadena infinita P1lP2l . . .lPsl . . . a C(L), tinguem H∗(lim←−Ps) de tipusfinit.

Hem definit els grups profinits com lımits inversos de sistemes de grups finits. El functor lim←−( )es exacte per l’esquerra, pero, en general, no ho es per la dreta, i l’existencia del seu derivat, lim←−

1( )pot ser un inconvenient en determinades situacions. Es per aquesta rao que, per tancar aquesta seccio,enunciarem una important condicio per decidir quan lim←−

1 es fa zero (consulteu, per exemple,[At],[Hat1] o [We]):

Definicio 3.5.10.

Sigui {Pn} un sistema invers de grups finits. Diem que el sistema satisfa la condicio de Mittag-Lefflersi, per cada n, existeix j ≤ n tal que Im(Pi → Pn) = Im(Pj → Pn), per tot i ≥ j.

Aquesta condicio es satisfa, per exemple, si totes les aplicacions Pn+1 → Pn son epimorfismes.En general, direm que el sistema {Pn} es Mittag-Leffler per indicar que satisfa aquesta condicio. A[Je] o [Sh], per exemple, podem veure diverses situacions on aquesta condicio es satisfa.

Proposicio 3.5.11.

Si el sistema {Pn} satisfa la condicio de Mittag-Leffler, aleshores

lim←−1Pn = 0.

Capıtol 4

Coclasse i cohomologia

Suposem que tenim un p-grup, P , i considerem la seva coclasse, cc(P ), i la seva cohomologia,H∗(P ). Com es possible que hi pugui haver algun tipus de relacio entre cc(P ) i H∗(P )?

No oblidem que la coclasse no es altra cosa que un invariant que podem associar a cada p-grup, iper tant, podem mirar de classificar els p-grups segons la coclasse. Be, aquesta possible classificacio jas’ha estudiat, en una serie d’articles que culminen amb [LeeNe], on es presenten serie de conjectures,anomenades pels autors Conjectures A, B, C, D i E, ordenades en grau decreixent de forca.

La demostracio de l’anomenada conjectura A dona lloc a aquesta classificacio dels p-grups segonsla coclasse. En el cas p = 2, aquesta classificacio es particularment explıcita (teorema 4.0.13), i permet(no pas de manera inmediata) arribar al teorema 4.

La rao per la qual dediquem tot un capıtol a explicar aquest article es la seguent. Inicialment, laintencio d’aquest treball era combinar els resultats de [Ca1] amb un estudi de la coclasse dins d’unsistema C(L) fixat, per tal de poder decidir si el sistema en questio era de tipus finit o no. Tot i quefinalment no hem seguit aquesta lınia de treball, els arguments que es fan servir a [Ca1] per “contar”el nombre de cohomologies possibles en diferents situacions es faran servir al llarg de tot el capıtol 6.

Heus aquı el teorema principal de [Ca1] (teorema 5.1 de [Ca1]):

Teorema.


Per demostrar-ho, Carlson fa servir dos resultats, extrets de [Lee] (la “Conjectura E” i el teorema7.6, respectivament). Tot i que encara no disposem de les definicions necessaries per entendre elsenunciats d’aquests teoremes, creiem oportu presentar-los ara per raons de coherencia. El segonresultat apareix reescrit a l’article de Carlson amb l’enunciat que donem aquı:

Teorema 4.0.12. Conjectura E

Hi ha nomes un nombre finit de classes d’isomorfia de pro-p-grups infinits de coclasse r fixada.

79

80 4.1. Definicions

Teorema 4.0.13. Teorema de classificacio dels 2-grups segons la coclasse

Sigui r un nombre enter positiu, i sigui Gr el conjunt de tots els 2-grups de coclasse r. Llavors,

Gr = G′r ∪ G′′r ,

on G′r i G′′r satisfan les seguents propietats:

i) G′′r te un nombre finit d’elements.

ii) Si G ∈ G′r, aleshores existeixen N ≤ G, un subgrup normal, S, un “uniserial 2-adic space group” decoclasse r, i A, un subgrup normal de S tals que:

(a) A esta contingut al “translation subgroup” de S,

(b) |N | ≤ 22r−1(2r−1+r+3), i

(c) G/N ∼= S/A.

Deixant de banda la manca de les definicions necessaries per entendre aquest segon teorema (ique tot seguit donarem), sorgeix una pregunta natural: per que el teorema es valid per p = 2 i nodiem res del cas p senar? Deixarem aquesta discussio pel final del capıtol, pero ja podem avancar araque en aquest segon cas hi ha alguns “problemes” amb els “p-adic space groups” per p senar que fanque no tinguin les mateixes propietats que per p = 2.

La estructura d’aquest capıtol sera, doncs, la seguent: comencarem donant les definicions neces-saries per seguir l’article. Despres venen dues seccions una mica tecniques, on d’una banda veuremalguns teoremes sobre les possibles estructures d’anell (k-algebra) de la cohomologia d’un p-grup G

a partir del modul bigraduat E∗,∗∞ relatiu a una extensio del tipus H → G → G/H , i d’altra banda es-

tudiarem uns “2-adic space groups” en particular, anomenats “root groups”. Finalment, posarem encomu les seccions anteriors i el teorema de classificacio dels 2-grups segons la coclasse per demostrarel teorema 4. En una ultima seccio discutirem el cas p senar i veurem fins a quin punt son valids elsresultats d’aquest capıtol quan p > 2.

Al llarg d’aquest capıtol, a menys que ho indiquem expressament, k sera un cos de caracterısticap, per p un primer.

4.1 Definicions

En aquesta seccio presentarem els conceptes necessaris no nomes per entendre el teorema 4.0.13,si no per poder entendre tot l’article [Ca1].

Sigui P1 ← P2 ← . . . ← Ps ← . . . un sistema invers de p-grups, i P = lim←−Ps el pro-p-grupdefinit pel sistema. En aquest cas, diem que P te coclasse igual al lımit de les coclasses dels Ps:cc(P ) = lim cc(Ps).

Recordem que, donats H ≤ G, el subgrup [H, G] dels commutadors de H a G es defineix com[H, G] = {hgh−1g−1|h ∈ H, g ∈ G}. Aixı, en el cas en que H sigui invariant per conjugacio perelements de G (G-invariant), llavors [H, G] ≤ H .

4. Coclasse i cohomologia 81

Definicio 4.1.1.

Siguin G i P dos (pro-)p-grups tals que G actua sobre P . Diem que G actua sobre P de manera uniserialsi |H : [H,G]| = p per tot subgrup H de P tancat i G-invariant.

Aixı, un “uniserial p-adic space group” es un pro-p-grup G tal que

i) Existeixen T ≤ G i d ∈ N tals que T ∼= (Z∧p )d, i

ii) P = G/T es un p-grup finit actuant de manera fidel i uniserial sobre T .

El subgrup T s’anomena “translation subgroup” de G, i B = G/T es l’anomenat “point group”. Engeneral, G un pro-p-grup diem que es un “p-adic space group” si satisfa les condicions i) i ii) amb l’excepcioque ara nomes demanem que l’accio de P sobre T sigui fidel.

La seguent definicio ens caldra a la tercera seccio d’aquest capıtol. Es tracta del conegut “wreathproduct” de dos grups (en el nostre cas, dos p-grups). Aquı nomes donarem una definicio concreta(extreta de [Ev]), pero es poden trobar definicions equivalents i mes generals per exemple a [Ro] o a[Su].

Definicio 4.1.2.

Sigui X un conjunt, Y un grup, i siguin S ⊂ S(X) i H = Y ⊂ S(Y ) (podem veure cada elementde H com la permutacio corresponent a la multiplicacio per l’esquerra per aquest element) dos subgrups delsrespectius grups de permutacions. Sigui tambe HX =

∏x∈X H , el producte directe de |X| copies de H .

Definim el “wreath product” de HX per S com W = HX o S, el producte semidirecte de HX i S, i esdenota per W = S oH .

El grup W es pot veure tambe des d’un altre punt de vista, com a subgrup del grup de permutacionsS(X × Y ). Un element s ∈ S(X × Y ) que permuti les columnes x × Y actua sobre X × Y de la maneraseguent:

s(x, y) = (s(x), hx(y)),

on s ∈ S(X) i hx ∈ S(Y ). d’aquesta manera, podem veure W com el subgrup de S(X × Y ) generat peraquests elements s tals que s ∈ S i hX ∈ H per tot x ∈ X .

El “wreath product” de dos grups ha estat llargament estudiat. Cohomologicament parlant,el resultat mes important es l’anomenat teorema de Nakaoka, que presentem a continuacio, i quedetermina exactament la cohomologia amb coeficients a un cos d’un “wreath product” de dos grups(es poden consultar aquest resultat i la seva demostracio a [Ev]):

Teorema 4.1.3. Teorema de Nakaoka

Sigui k un cos, i siguin X , S i H = Y com abans i finits. Aleshores, tenim un isomorfisme d’anells

H∗(S oH; k) ∼= TotH∗(S; H∗(H; k)⊗X),

on H∗(H; k)⊗X =⊗

x∈X H∗(H; k), i, per un anell bigraduat, A∗,∗, TotA∗,∗ =⊕

n(⊕p+q=nAp,q).

Tanquem aquesta seccio amb dos lemes que ens donen propietats sobre els “uniserial 2-adic spacegroups”, i que ens caldran a la seccio 4.3. Per demostrar el primer farem servir conceptes elementals

82 4.2. Contant cohomologies

de teoria de representacions de grups que es poden consultar per exemple a [AlBe] o a [JaLi]. El segonlema l’hem extret de [McK] (lema 1.2).

Lema 4.1.4.

Sigui S un “uniserial 2-adic space group” amb “translation subgroup” T = (Z∧2 )t, per cert t ≥ 1.Aleshores, t = 2n per cert n ≥ 0.

Demostracio. Tenim, per definicio, que T = (Z∧2 )t i que P = S/T es tal que |P | = 2r, per cert r.

A mes, l’accio de P sobre T es irreductible. Si posem V = T ⊗Q∧2 = (Q∧2 )t, l’accio irreductible estradueix en el fet que ρ : P −→ Aut(V ) es una representacio irreductible de P de dimensio t.

D’altra banda, per ser P un 2-grup, sabem que el seu centre, Z(P ), no es trivial, i. e., |Z(P )| = 2m,per cert m ≥ 1, i |P : Z(P )| = 2r−m.

Ara, per [Se3] (capıtol 8), sabem que donat A ≤ G, A abelia, la dimensio de cada representacioirreductible de G divideix a |G : A|.

Per tant, t = dim(ρ) divideix a |P : Z(P )| = 2r−m, es a dir, t|2r−m, i per tant t = 2n per cert n ≥ 0.

Direm que un “uniserial p-adic space group” es racional si apareix com la completacio p-adicad’un “space group” ordinari. Per p senar tots els “uniserial p-adic space groups” son racionals, peroen el cas p = 2 n’hi ha un altre tipus: els quaternionics. El seguent lema caracteritza els “point groups”dels “uniserial p-adic space groups” (lema 1.2 de [McK]):

Lema 4.1.5.

Siguin W (ρ) = Cp o . . .ρ) oCp (ρ copies de Cp) , WQ(2) = Q16 i WQ(ρ) = Q16 oC2 o . . .ρ−1) oC2 (aquestultim nomes per ρ ≥ 2). Aleshores

i) El “point group” d’un “uniserial p-adic space groups” racional de dimensio pρ−1(p − 1) es isomorf a unsubgrup de W (ρ).

ii) El “point group” d’un “quaternionic uniserial 2-adic space group” de dimensio 2ρ, per ρ ≥ 2, es isomorf aun subgrup de WQ(ρ).

4.2 Contant cohomologies

En aquesta seccio veurem com, donada una extensio de grups H → G → G/H , les possiblesestructures d’anell (o de k-algebra) de H∗(G; k) estan limitades a un nombre finit en funcio de lesestructures d’anell de H∗(H; k) i H∗(G; k). Estudiarem aquesta idea des de diversos punts de vista,aixı com algunes variants d’aquesta situacio.

El primer teorema que veurem estudia el problema des d’un punt de vista general, deixant debanda que l’objecte d’estudi siguin cohomologies. Es tracta, de fet, de veure de quantes maneres


es pot reconstruir una k-algebra graduada, R, a partir d’una k-algebra bigraduada, S, construidamitjancant una filtracio de R.

Mes concretament, sigui k un cos finit, i sigui R = ⊕i≥0Ri una k-algebra graduada commutativa

i finitament generada tal que R0 = k (en particular, Ri te dimensio finita sobre k per tot i).

Sigui tambe F∗ una filtracio decreixent de R tal que F j(Ri) = 0 si j > i, i tal que F i(R) ·F j(R) ⊆F i+j(R) per tot i, j.

Podem construir S, una k-algebra bigraduada, a partir de F∗ de la seguent manera:

S =∑

i,j≥0

Si,j , on Si,j = F i(Ri+j)/F i+1(Ri+j),

on el producte esta definit de la seguent manera:

(x + F i+1(Rm))(y + F j+1(Rn)) = xy + F i+j+1(Rm+n),

per x ∈ F i(Rm) i y ∈ F j(Rn).

Teorema 4.2.1.

Siguin k, R i S com abans. Aleshores, l’estructura com a k-algebra de R esta determinada per l’estructurade S entre un nombre finit de possibilitats.

Demostracio. La demostracio consisteix en veure que donada una presentacio de S en termes de gen-eradors i relacions respecte a una k-algebra lliure determinada, F , aquesta presentacio ens determinales possibles presentacions de R entre un nombre finit de possibilitats.

Aixı, aquesta demostracio es distribueix en dues parts, la primera de les quals fa referencia alspossibles generadors de totes dues algebres (S i R), i la segona de les quals tracta les possibles rela-cions.

Veurem, per tant, primer que un sistema de generadors homogenis de S dona lloc a un sistemade generadors de R. Sigui per tant s1, . . . , St ∈ S un sistema de generadors homogenis de S. Tenim,per tot i, si ∈ Sji,ki per certs ji, ki, que determinen el bigrau de cada generador.

Ara, per cada i, sigui ri ∈ Rji+ki un representant de la classe de si, es a dir, ri + F ji(R) = si.Veurem que els ri formen un sistema de generadors per R.

Sigui, per tant, r ∈ F i(Rn) tal que r /∈ F i+1(Rn). Com a element de S, la classe r + F i+1(Rn) escombinacio linial dels si, es a dir:

r + F i+1(Rn) = f(s1, . . . , st),

per un cert polinomi f , i d’aquesta manera, r − f(r1, . . . , rt) ∈ F i+1(Rn). Repetint aquest proces unnombre de passos finit acabem obtenint un polinomi g tal que r − g(r1, . . . , rt) = 0 a R (fent servir lapropietat de que F j(Ri) = 0 si j > i), i per tant es veu que r1, . . . , rt forma un sistema de generadorsper R, tal com volıem.

Veiem ara que passa amb les relacions.

Sigui F =< α1, . . . , αt >k, amb |αi| = ji + ki, la k-algebra lliure commutativa generada pels αi.De fet, els αi nomes satisfan les relacions αiαj = (−1)|αi|·|αj |αjαi, de manera que F es noetheriana.


La seguent reinterpretacio de F ens sera util: si prenem cada αi com un generador de bigrau (ji, ki),llavors podem veure F com una k-algebra bigraduada.

Observem tambe que per com hem definit F existeixen morfismes graduats de k-algebres

Fψ // S F

θ // R

αiÂ // si αi

Â // ri,

i que aquests morfismes son exhaustius.

Siguin per tant I = Ker(ψ) i K = Ker(θ), i sigui f1, . . . , fn ∈ F un sistema minimal de gener-adors homogenis de I , amb bigraus (ai, bi) per cada i (podem assegurar que I es finitament generatperque es ideal de F , i F es noetheriana). Tenim fi = fi(α1, . . . , αj), ja que α1, . . . , αt es sistema degeneradors de F . Aixı, tenim fi(r1, . . . , rt) ∈ Fai+1(Rai+bi).

La idea es que ara, donat aquest sistema de generadors de I , podem trobar nomes un nombrefinit de possibles sistemes de generadors per K.

Fent servir un argument semblant al que feiem servir per veure que els ri eren generadors deR, obtenim que per cada i existeixen fi,1, . . . , fi,bi

∈ F , de bigraus (ai + 1, bi − 1), . . . , (ai + bi, 0)respectivament, tals que

fi(r1, . . . , rt)−bi∑

k=1

fi,k(r1, . . . , rt) = 0,

es a dir, gi = fi +∑

k fi,k ∈ K = Ker(θ).

Si ara considerem G =< gi, . . . , gn >⊆ F , afirmem que G = K (ho demostrarem a contin-uacio). Aixı, donat el sistema de generadors de I , f1, . . . , fn, trobem un sistema de generadors per K,g1, . . . , gn. La clau de la demostracio esta ara en el fet que per cada fi tenim nomes un nombre finitde possibles gi = fi +

∑k fi,k, i. e., nomes un nombre finit de possibles fi,1, . . . , fi,bi .

Aixı, nomes ens queda demostrar que K = G =< g1, . . . , gn >. De fet, es clar que G ⊆ K, aixıque nomes ens queda demostrar la inclusio contraria. Sigui per tant h = h(α1, . . . , αt) ∈ K, on h esun polinomi homogeni de grau m. Podem escriure h com h = hl + hl+1 + . . . + hm, on cada hj eshomogeni de bigrau (j,m− j) i l es un enter entre 0 i m tal que hl 6= 0.

D’aquesta manera,

hl(s1, . . . , st) = h(r1, . . . , rt) + F l+1(Rm) = 0,

es a dir, hl ∈ I = ker(ψ), i per tant hl =∑n

k=1 βkfk, on βk es un element homogeni de bigrau(l− ak, m− l− bk). A mes, h−∑

k βkgk ∈ K, i, de fet, h−∑k βkgk es suma de polinomis homogenis

de bigrau (u,m− u) per u ≥ l.

Prenem h′ = h−∑k βkgk, i repetim el proces per h′. Despres d’un nombre finit de passos acabem

obtenint que h es combinacio linial dels gi, i per tant, que K ⊆ G, tal com volıem.

Considerem ara el cas de R = H∗(G; k) per G un p-grup i k un cos, i sigui H ≤ G. El pa-per de l’algebra bigraduada el jugara E∗,∗

2 , la segona pagina de la S.E.S. corresponent a l’extensioH → G → G/H . El seguent teorema ens diu que les possibles estructures d’algebra de H∗(G) estan


“controlades” per H∗(H) i H∗(G/H), i que, de fet, no ens cal informacio de H i G/H , nomes de lesseves cohomologies.

Teorema 4.2.2.

Siguin G un p-grup, i k un cos de caracterıstica p. Siguin tambe

i) H ≤ G, un subgrup normal de G, amb H∗(H) ∼= S com a k-algebra graduada finitament generada.

ii) G/H tal que la seva accio sobre H es trivial (per exemple si H es central), i amb H∗(G/H) ∼= T com ak-algebra graduada finitament generada.

iii) b ∈ N finit tal que la S.E.S. de l’extensio H → G → G/H col·lapsa com a molt a la pagina b (i. e.Eb = E∞).

Aleshores, hi ha un nombre finit de possibles k-algebres R tals que R ∼= H∗(G).

Demostracio. Fent servir el teorema 4.2.1 nomes ens caldra demostrar que nomes hi ha un nombrefinit de possibles k-algebres bigraduades E∞(G) per la S.E.S. de H → G → G/H . Es a dir, volemveure que, a partir de S i T podem construir nomes un nombre finit de pagines E∞(G) en nomes b

passos.

Per ser trivial l’accio de G/H sobre H , tenim un isomorfisme d’anells

E∗,∗2

∼= H∗(G/H)⊗H∗(H),

on podem identificar E0,∗2 amb H∗(H)⊗ 1 ∼= H∗(H) i E∗,0

2 amb 1⊗H∗(G/H) ∼= H∗(G/H).

Siguin ara γ1, . . . , γu ∈ H∗(H) un sistema homogeni de parametres de H∗(H), es a dir, H∗(H) esun modul finitament generat sobre el subanell de polinomis que generen γ1, . . . , γu.

Fent servir que la S.E.S. col·lapsa com a molt a la pagina Eb i el teorema de Kudo, obtenim queels elements σi = γpb

satisfan dj(σi) = 0, ∀j i ∀i. Es a dir, els σi son cicles universals, estan al nucli detotes les diferencials.

Sigui ara σu+1, . . . , σv un sistema de generadors de H∗(G/H). Com abans, H∗(G/H) es un modulfinitament generat sobre el subanell polinomial generat per σu+1, . . . , σv .

Per tant, la pagina E∗,∗2 es un modul finitament generat sobre W =< σ1, . . . , σv >. Observem

tambe que dj(σi) = 0, ∀j i ∀i, i que per tant les diferencials dj son morfismes de W -moduls per tot j.A mes, E∗,∗

j es un W -modul finitament generat per tot j, on podem escollir els generadors de manerahomogenia.

Ara, si α1, . . . , αq es un sistema de generadors de E∗,∗j , llavors el morfisme dj queda determinat

completament per l’eleccio de les imatges dj(α1), . . . , dj(αq). Pero observem que, si αi te bigrau(ai, bi), llavors

dj : Eai,bi

j → Eai+j,bi−j+1j ,

i per cada αi tenim nomes un nombre finit de possibles imatges dj(αi), ja que Eai+j,bi−j+1j es finit.

Per tant, a cada pas j tenim un nombre finit de generadors α1, . . . , αq i un nombre finit de pos-sibles dj(αi) per a cada αi. Aixo ens dona un nombre finit de possibles estructures de E∗,∗

j+1 com aW -moduls.


Finalment, sabent que la S.E.S. col·lapsa en b passos (on b es finit), obtenim que nomes hi ha unnombre finit de possibles estructures de E∗,∗

∞ com a W -modul. El teorema 4.2.1 aplicat a E∗,∗∞ ens

dona el resultat que volıem.

Observem, pero, que la cota que dona aquest teorema pel nombre d’estructures d’anell d’H∗(G)es molt gran, ja que depen de tres aspectes de la S.E.S. molt lliures en general:

i) El nombre de generadors, α1, . . . , αq , de cada pagina, Ej , de la S.E.S. com a modul finitamentgenerat.

ii) El nombre de possibles imatges, dj(αi), per cada i i cada j.

iii) El nombre de passos, b, que fem fins que la S.E.S. col·lapsa.

Es clar que a cada pas es podria buscar un sistema de generadors per Ej que fos minimal enel nombre d’elements, pero igualment la cota seria molt alta. Evidententment, les possibles imatges,dj(αi), depenen del sistema de generadors escollit, pero tambe depenen dels diferents Er,s

j , i en aquestaspecte no hi ha res a fer. Respecte al nombre de passos que triga la S.E.S. en col·lapsar, els seguentsdos lemes ens donen possibles cotes. El primer lema es de [AdMi] (capıtol IV, lema 1.13), i el segoncorrespon al lema 3.2 de [Ca1].

Lema 4.2.3.

Sigui H = Cp (cıclic d’ordre p) i H → G → G/H una extensio central. Aleshores, la S.E.S. corresponentcol·lapsa com a molt a la pagina 2|G/H|, i. e., E2|G/H| = E∞.

Lema 4.2.4.

Siguin H = Cp (cıclic d’ordre p) i A p-grup abelia tals que H ⊆ A ⊆ G i |G : A| = pn. Aleshores, laS.E.S. corresponent a H → G → G/H col·lapsa com a molt a la pagina 2(pn + 1), i. e., E2(pn+1) = E∞.

Recordem que tot p-grup te centre no trivial, aixı que sempre podem trobar un subgrup H = Cp

que sigui central. Suposem que |G| = pm per cert m. Aleshores, el primer lema ens diu que la S.E.S.col·lapsa com a molt a la pagina 2pm−1 = 2|G/H|, mentre que el segon lema ens diu que col·lapsacom a molt despres de 2(pn + 1) passos, i sabem que pm = |G| ≥ pn = |A|, i per tant m ≥ n. Aixı,la primera cota es millor que la segona nomes si m = n o m = n + 1. De tota manera, ja es prouinteressant veure que, per G p-grup finit, la S.E.S. sempre col·lapsa en un nombre finit de passos.

Demostracio. (Lema 4.2.3). Considerem el morfisme de Frobenius associat a la inclusio H = Cp ↪→ G,i que es defineix de la seguent manera:

Gλ // H o S|G/H|

g Â // (hσ−1g (1), . . . , hσ−1

g (|G/H|), σg),

on S|G/H| es el grup de permutacions de |G/H| elements que es pot veure com el grup de permuta-cions de les classes laterals de G/H , σg es la permutacio que consisteix a multiplicar per g cada rep-resentant de les classes laterals de G/H , i els hj son els elements de H .


Recordem que H∗(H) = H∗(Cp) ∼= Λ(x)⊗Fp[y], on |x| = 1 i |y| = 2. Per la descripcio del “wreathproduct” i el teorema de Nakaoka, tenim que λ∗(y ⊗ . . .|G/H| ⊗ y) es diferent de zero a H∗(G), i esrestringeix a y|G/H| ∈ H∗(H) via la inclusio H ↪→ G perque H es central.

Aixo vol dir que y|G/H| es un cicle universal (sobreviu a totes les diferencials) a la S.E.S. deH → G → G/H . Observem finalment que podem escriure la pagina E2 com

E2 = Fp[y|G/H|]⊗ (E∗,02 ⊕ . . .⊕ E

∗,2|G/H|2 ),

i aixo ens dona el resultat.

Demostracio. (Lema 4.2.4). Sabem que H∗(H) = H∗(Cp) ∼= Λ(x) ⊗ Fp[y], i, a mes, si H ↪→ A, amb A

abelia, sabem que existeix η ∈ H2(A) tal que la seva restriccio a H∗(H) es diferent de zero, ja que lacohomologia dels p-grups abelians es coneguda.

La “Evens norm map”, N (podeu consultar [Ev] per una descripcio acurada de la seva construc-cio i de les propietats mes importants) , ens envia la classe η a la cohomologia de G, on les propietatsde la “Evens norm map” ens asseguren que va a parar a una classe diferent de zero, i tenim el diagra-ma seguent:

H2(A) // H2pn

(G) // H2pn

(H)

η Â // N (η) Â // resGH(N (η)) 6= 0.

Aixı, si posem σ = N (η), σ ∈ Im(resGH). Identificant resG

H : H2pn

(G) → H2pn

(H) amb elmorfisme eix de la S.E.S., obtenim que Im(resG

H) ∼= E0,2pn

∞ . Per tant, podem pensar σ com un elementde E0,2pn

∞ , i de fet aixo vol dir que σ sobreviu a totes les diferencials, i, en particular, sobreviu aτ : E0,2pn

2pn → E2pn+1,02pn , que es la ultima diferencial que podria afectar-li.

D’aquesta manera, si t ≥ 2pn + 2 i µ ∈ Er,a(2pn)+bt per certs a ≥ 1 i b positiu tal que 0 ≤ b < 2pn,

llavors µ = (σ)aµ′ per cert µ′ ∈ Er,bt , i tenim

dt(µ) = dt((σ)aµ′) = dt((σ)a)µ′ + (σ)adt(µ′) = 0,

ja que dt((σ)a) = 0, i dt(µ′) = 0 perque dt : Er,bt → Er+t,b−t+1

t = 0 si t ≥ 2pn + 2 i b < 2pn:

Et) per qualsevol element aquı¦¦¦¦ totes les diferencials son zero si t ≥ 2pn + 2.

``

¨¨

¨¨

¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦

¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

σ

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦

¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦

¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦

££££££££££££££££

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

¢¢¢¢¢¢¢¢¢

££££££ ¥¥¥

Fp


Ja hem comentat a l’inici d’aquesta seccio que enfocarıem el problemes de les possibles estruc-tures d’anell de H∗(G) des de diversos punts de vista. Els seguents dos teoremes donen precisamentels dos punts de vista des dels que podem abordar aquest problema.

Teorema 4.2.5.

Sigui H → G → Q = G/H una extensio de p-grups finits tals que

i) |H| ≤ n = pm per cert m.

ii) H ≤ A ≤ G, amb A abelia i |G : A| ≤ f per cert f .

Aleshores, l’anell H∗(G) esta determinat per H∗(Q) entre un nombre finit de possibilitats.

Demostracio. El cas que H = Cp ja sabem que es cert pel teorema 4.2.2 i el lema 4.2.4, i de fet podemdir que en aquest cas H∗(G) esta determinada per H∗(Q) ja que H∗(Cp) es conegut.

Per H tal que |H| ≤ pm, amb m > 1, podem considerar la successio d’extensions seguent:

Cp // G1// Q

Cp // G2// G1

...

Cp // G // Gn,

i aplicant el lema 4.2.4 i el teorema 4.2.2 a cada pas obtenim el resultat.

Teorema 4.2.6.

Sigui H → G → Cp una extensio de p-grups finits tal que la corresponent S.E.S. col·lapsa a la pagina m

per cert m finit.

Aleshores, H∗(G) esta determinat per H∗(H) entre un nombre finit de possibilitats.

Demostracio. Observem en primer lloc que hi ha nomes un nombre finit de possibles accions de Cp

sobre H∗(H), ja que una tal accio correspon a l’eleccio d’un automorfisme (extern) de H , i Aut(H) esfinit. Per tant no importa la informacio que tinguem sobre cada possible accio en concret. Suposemper tant escollida una accio de Cp sobre H∗(H).

Sigui ara γ1, . . . , γt un sistema de generadors (homogenis) de H∗(H)Cp , es a dir, H∗(H)Cp es unmodul finitament generat sobre el subanell de polinomis generat per γ1, . . . , γt, i siguin σi = γp

i .

Els σi sobreviuen a E∞, ja que les diferencials son derivacions, i per tant dj(σi) = dj(γpi ) =

pdj(γi)p−1 = 0 per tot j perque |Cp| = p, i la multiplicacio per l’ordre del grup es zero en cohomologiaa coeficients sobre Fp (podeu consultar aquest resultat a [Brow]). De fet, els σi formen tambe unsistema de generadors homogenis per H∗(H).

Considerem ara S, el subanell de E2 generat per σ1, . . . , σt, µ, on H2(Cp) =< µ >Fp . Observemque totes les diferencials son zero sobre aquests elements, es a dir, que totes les diferencials son mor-fismes d’S-moduls, i que a mes la pagina E2 es un modul finitament generat sobre S.


Sabem que la cohomologia de Cp es periodica, amb perıode 2. Aixı, ja que hem escollit el gener-ador de dimensio 2 de H∗(Cp) com a generador de S, tenim que podem suposar que els generadorsde E2 com a S-modul els podem trobar a les “columnes” E0,∗

2 i E1,∗2 .

Sigui, per tant, α1, . . . , αw un sistema de generadors homogenis de E∗,∗2 com a S-modul. LLavors

tenim que, per cada j, i pel fet que els generadors estan a E0,∗2 i a E1,∗

2 , nomes tenim un nombre finitde possibilitats per d2(αj). Per tant, E∗,∗

3 , per ser l’homologia de E∗,∗2 , esta determinada per E∗,∗

2 entreun nombre finit de possibilitats. Repetint de nou el proces per E∗,∗

3 , tenim que E∗,∗4 esta determinat

per E∗,∗2 entre un nombre finit de possibilitats. Continuant fins a E∗,∗

m , tenim que E∗,∗m esta determinat

per E∗,∗2 entre un nombre finit de possibilitats.

Nomes ens cal ara veure que de fet E∗,∗2 = H∗(Cp; H∗(H; k)), com a modul sobre l’anell generat

per σ1, . . . , σt, esta determinat per l’accio de Cp escollida i H∗(H), pero no per H .

Per tant, E∗,∗2 esta determinat per H∗(H) i l’accio de Cp. Al principi de la demostracio ja hem

vist que no era rellevant de quina accio es tractes, aixı que de fet tenim que E∗,∗2 esta determinada per

H∗(H), i en consequencia, E∗,∗m = E∗,∗

∞ esta determinada com a S-modul per H∗(H) entre un nombrefinit de possibilitats. El teorema 4.2.1 completa la demostracio.

Per tancar aquesta seccio, volem estudiar el problema de les possibles estructures d’anell desd’un punt de vista diferent. De fet, aquest punt de vista seria un cas dual al teorema que acabem deveure: sigui

H → G → G/H = Cp,

una extensio de grups. Al teorema 4.2.6 estudiavem el problema de determinar H∗(G) com a k-algebra a partir de H∗(H). Ara el que volem es veure si podem determinar H∗(H) a partir de H∗(G).

Abans d’enunciar el resultat, pero, presentem el lema d’Eckmann-Shapiro, ja que ens fara falta ala demostracio.

Proposicio 4.2.7. Lema d’Eckmann-Shapiro

Considerem k com a kH-modul, i denotem per k↑GH = HomkH(kG, k) el modul induit per la inclusio deH en G. Aleshores, tenim un isomorfisme:

H∗(G; k↑GH ) ∼= H∗(H; k).

Una versio d’aquesta proposicio, la seva construccio i la demostracio es poden trobar a [Ev],capıtol 4.

Teorema 4.2.8.

Sigui H → G → Q una extensio de grups tal que |G : H| ≤ pn i tal que la corresponent S.E.S. col·lapsaa la pagina m < ∞, i sigui H∗(G) ∼= S, com a k-algebra finitament generada.

Aleshores, H∗(H) com a k-algebra esta determinada per H∗(G) entre un nombre finit de possibilitats.

Demostracio. Podem suposar com a hipotesi d’induccio que G/H ∼= Cp. Es clar que H∗(H) es unmodul finitament generat sobre H∗(G), i de fet, pel Lema d’Eckmann-Shapiro, tenim l’isomorfismeH∗(H; k) ∼= H∗(G; k↑GH ).


Aixı, volem veure si, donada H∗(G) = H∗(G; k), tenim determinada H∗(G; k↑GH ). Com veurem acontinuacio, tenim una successio de submoduls:

0 = M0 ⊆ M1 ⊆ . . . ⊆ Mp = k↑GH ,

de manera que Mi/Mi−1∼= k.

Sigui, per tant, I l’idel d’augmentacio de k(G/H) → k. I esta generat pels elements de la formag− 1, per g ∈ G/H (podeu consultar, per exemple, [Brow]). Volem veure que I es nilpotent. Aixı, percada g ∈ G/H tenim

(g − 1)p =p∑

i=0

(p

i

)gp−i1i = gp − 1 = 1− 1 = 0,

ja que k es cos de caracterıstica p (i per tant els coeficients son zero excepte per i = 0 i i = p), i gp = 1perque G/h ∼= Cp per hipotesi. Per tant, Ip = 0. Notem que I es un G modul.

Observem ara que, per N un G-modul qualsevol, N/IN = 0 implica que N = 0, ja que N/IN = 0vol dir que N ∼= IN , i, multiplicant per I successivament a banda i banda de la igualtat, acabemobtenint N ∼= IpN = 0.

Aixı, podem considerar la successio de submoduls seguent

0 = M0 = IpMp ⊆ M1 = Ip−1Mp ⊆ . . . ⊆ Mp = I0Mp,

i es facil veure que Mi/Mi−1 6= 0 per tot i. A mes, Mp = ⊕g∈G/Hgk ([Brow]). Per tant, es clar queMi/Mi−1

∼= k.

Aixı, tenim successions exactes curtes 0 → Mi−1 → Mi → k → 0 per cada i, que donen succes-sions exactes llargues de coeficients

. . . → Hr(G; Mi−1) → Hr(G; Mi) → Hr(G; k) δ→ Hr+1(G,Mi−1) → . . .

Volem veure per induccio que H∗(G; Mi) esta determinat per H∗(G) entre un nombre finit depossibilitats. Aixı, considerem el cas i = 2. Tenim M1 = k, i la corresponent successio exacta llarga decoeficients es

. . . → Hr(G; k) → Hr(G;M2) → Hr(G; k) δ→ Hr+1(G, k) → . . .

D’aquı es veu que hi ha nomes un nombre finit de possibles morfismes “connecting” δ per unatal successio exacta llarga, i cada possible δ dona lloc a una successio exacta curta de H∗(G; k)-moduls

0 → Coker(δ) → H∗(G;Mi) → Ker(δ) → 0.

Per tant, hem de veure que ExtH∗(G;k)(Ker(δ), Coker(δ)) es finit.

Siqui, doncs,. . . P2 → P1 → P0 → Ker(δ) → 0

una resolucio projectiva de Ker(δ), on podem suposar que P1 es finitament generat per ser H∗(G; k)noetheria. Si apliquem el functor HomH∗(G;k)(−, Coker(δ)) a aquesta resolucio, llavors el termeExtH∗(G;k)(Ker(δ), Coker(δ)) ve determinat per HomH∗(G;k)(P1, Coker(δ)).

Pero els possibles morfismes P1 → Coker(δ) ha de ser, de fet, un morfisme graduat. Per tant, siP1 es finitament generat, nomes hi ha un nombre finit de possibles imatges per cada generador de P1,i per tant ExtH∗(G;k)(Ker(δ), Coker(δ)) es finit.


Ara, per hipotesi d’induccio, i repetint aquest argument, obtenim que H∗(G;Mi) esta determinatcom a H∗(G; k)-modul entre un nombre finit de possibilitats. El teorema 4.2.1 acaba la demostracio.

4.3 “Root groups”

Tal com avancavem a la introduccio d’aquest capıtol, en aquesta seccio estudiarem amb mesprofunditat alguns “2-adic space groups” concrets, i que resultaran fonamentals en la demostracio delteorema principal. En realitat, es tracta d’estudiar dues famılies d’aquests grups, molt relacionadesamb els grups dihedrics i quaternionics, tal com veurem a continuacio. Recordem que

H∗(D2n ;F2) ∼= F2[x, y, z]/(xy),

on x i y tenen grau 1 i z te grau 2.

Els “root groups” seran, per tant, els “2-adic space groups” que definirem i estudiarem en aquestaseccio.

4.3.1 La famılia Dn,j

Comencem per definir D1 com l’extensio escindida

0 → T1 −→ D1 −→ C2 → 1,

on T1 = Z∧2 es una copia dels 2-adics, i C2 es el grup cıclic d’ordre 2 vist multiplicativament i actuantsobre T1 per multiplicacio per −1. Es a dir, D1 = T1 o C2.

Recordant la definicio de “2-adic space group” es facil veure que D1 n’es un d’ells, amb “trans-lation subgroup” T1 = Z∧2 i “point group” P1 = C2. De fet, es tracta d’un “uniserial 2-adic spacegroup”.

Amb el grup D1 definit podem definir recursivament Dn = Dn−1 o C2, que resulten ser de nou“uniserial 2-space groups” amb “translation subgroup” Tn = (Z∧2 )2

n−1i “point group” el “wreath

product” iterat Pn = C2 o . . .n) o C2.

Ja podem definir els elements de la famılia que estem estudiant. DefinimDn,j = Dn/2jTn. Clara-ment, per n = 1 tenim que el grup D1,j = D2j+1 , el grup dihedric d’ordre 2j+1. El seguent lema esinmediat a partir de les definicions:

Lema 4.3.1.

Per n ≥ 2 i j ≥ 1, tenim un isomorfisme de grups:

Dn,j∼= Dn−1,j o C2.

92 4.3. “Root groups”

Finalment, la seguent proposicio ens dona la cohomologia dels elements d’aquesta famılia:

Proposicio 4.3.2.

Per tot n ≥ 1 i per tot i, j ≥ 2, tenim el seguent isomorfisme d’anells:

H∗(Dn,i; k) ∼= H∗(Dn,j ; k).

Demostracio. Observem que el cas n = 1 es en realitat un resultat classic sobre la cohomologia delsdihedrics. La demostracio en el cas general consisteix, per tant, en aplicar un argument d’inducciosobre n, l’isomorfisme que hem vist al lema anterior, Dn,j

∼= Dn−1,j o C2, i el teorema de Nakaoka.

Com hem comentat, per n = 1, la proposicio es un resultat classic, consultable per exemple a[AdMi], i que no demostrarem aquı. Aixı, suposem certa la proposicio per n − 1, i anem a provar-laper n.

El teorema de Nakaoka, en aquest cas en que tenim H = C2, es pot reinterpretar com que lacohomologia de Dn,j

∼= Dn−1,j o C2 es isomorfa com a anell a la pagina E2 de la S.E.S. de l’extensio

1 → Dn−1,j ×Dn−1,j −→ Dn,j −→ C2 → 1.

Aixı, fent servir la hipotesi d’induccio i aquesta interpretacio del teorema de Nakaoka per lesextensions 1 → Dn−1,i × Dn−1,i −→ Dn,i −→ C2 → 1 i 1 → Dn−1,j × Dn−1,j −→ Dn,j −→ C2 → 1,tenim la proposicio demostrada per n.

4.3.2 La famılia Ln,j

Aquesta segona famılia resulta ser lleugerament mes complicada que la primera. Comencem perdefinir L1, de manera similar a D1, com l’extensio escindida

0 → T1 −→ L1 −→ Q16 → 1,

on ara Q16 es el grup quaternionic d’ordre 16, i T1 = (Z∧2 )4 es la suma directa de 4 copies dels enters2-adics. L’accio de Q16 sobre T1 es la que es descriu a [LeeMcKPl2], i no la reproduirem aquı, jaque realment no resulta d’interes pels resultats que volem provar. En tot cas, podem veure L1 comL1 = T1 oQ16.

De manera similar a la primera famılia que hem estudiat, podem definir de forma recursiva Ln =Ln−1 o C2. Els Ln resulten ser tambe “uniserial 2-adic space groups”, amb “translation subgroups”Tn = (Z∧2 )2

n+1i “point group” Bn = Q16 o C2 . . .n−1) o C2.

Ja podem definir els elements d’aquesta famılia. Definim Ln,j = Ln/2jTn. El seguent lema tambees inmediat.

Lema 4.3.3.

Per n ≥ 2 i j ≥ 1 tenim un isomorfisme de grups:

Ln,j∼= Ln,j−1 o C2.


Ens agradaria poder provar una proposicio similar a 4.3.2 per aquesta nova famılia. Donat queno ens es possible, la seguent proposicio es l’equivalent a 4.3.2 en aquest cas.

Proposicio 4.3.4.

Per cada n, hi ha nomes un nombre finit de possibles estructures d’anell de cohomologia per H∗(Ln,j ; k),∀j ≥ 2.

En el cas delsDn,j , recordem que l’isomorfisme H∗(D2r ) ∼= H∗(D2s) per tot r i s jugava un paperimportant juntament amb el fet que D1,j

∼= D2j+1 . En el cas dels Ln,j , pero, no tenim una situacio tanprecisa com l’anterior, i ens caldra fer alguns passos de mes per arribar al nostre resultat.

Demostracio. Per demostrar aquesta proposicio, intentarem emular els passos seguits a la demostraciode 4.3.2. Per tant, sembla logic que el primer pas sigui estudiar els grups del tipus L1,j .

Considerem abans, pero, el subgrup de L1 definit per l’extensio escindida T1 → S → C8, onT1 = (Z∧2 )4 i C8 es el subgrup cıclic maximal d’ordre 8 dins de Q16. Siguin tambe Lj = S/2jT1.Observem que S ⊆ D3 = D1 o C2 o C2 = Z∧2 o C2 o C2 o C2, que S i D3 tenen el mateix “translationsubgroup”, i que |D3 : S| = 24 = 16.

Aixı, podem considerar l’extensio S → D3 → Q, on |Q| = 16, i, passant a quocients, les extensions

Sj = S/2jT1 → D3,j = D3/2jT1 → Q.

Ara be, d’una banda, per 4.3.2, tenim que H∗(D3,j) ∼= H∗(D3,1), ∀j, i d’altra banda, pel lema 4.2.8,tenim que H∗(Sj) esta determinada per H∗(D3,j) entre un nombre finit de possibilitats. Per tant,H∗(Sj) esta determinada, per tot j, per H∗(D3,1) entre un nombre finit de possibilitats.

Passem ara a estudiar els grups L1,j , per j ≥ 2. Considerem, doncs, els respectius subgrupsSj ⊆ L1,j , i tenim les extensions seguents:

Sj −→ L1,j −→ C2.

Seguint els passos de la demostracio de 4.3.2, ens agradaria veure que nomes hi ha un nom-bre finit de possibles estructures de k-algebra per totes les cohomologies H∗(L1,j). Tindrem aquestresultat si podem aplicar el teorema 4.2.6, i per poder aplicar-lo ens cal veure primer que la S.E.S.d’aquestes extensions col·lapsen en un nombre finit de passos.

Fixem j, i observem q a la S.E.S. de l’extensio Sj −→ L1,j −→ C2, tenim E1,0∞ = E1,0

2∼=

H1(C2) =< x >F2 . Considerem ara el diagrama commutatiu seguent entre extensions:

Sj = S/2jT1// L1,j = L/2jT1

// C2

T1//

OO

L1//

OO

Q16 = L1/T1

OO

i recordem que H∗(Q16) ∼= F2[x, y, v]/(xy, x3). Llavors, aquesta classe x ∈ H1(C2) satisfa

H∗(L1,j)

²²

H∗(C2)oo

²²

x_

²²

xÂoo _

²²H∗(L1) H∗(Q16)oo

x x.Âoo

94 4.3. “Root groups”

Si ens mirem la classe x a H∗(Q16), tenim x3 = 0, i per tant, per commutativitat del diagrama, tenimx3 ∈ E4(L1,j).

D’altra banda, del fet que H∗(C2) ∼= F2[x], i que E∗,∗2 (L1,j) = H∗(C2;H∗(Sj)), tenim que Er,s

2 =x ⊗ Er−1,s

2 . Per tant, Er,s4 = 0 per r > 3, es a dir, E4 = E∞, i la S.E.S. col·lapsa en un nombre finit

de passos. Ara podem aplicar 4.2.6, i per tant tenim que nomes hi ha un nombre finit de possiblesestructures d’anell per H∗(L1,j), independentment de j.

Finalment, l’ultim pas consisteix a fer servir que tenim controlades les possibles estructuresd’anell de H∗(L1,j) per veure que nomes tenim un nombre finit de possibles estructures per H∗(Ln,j),per n ≥ 1. Pero fent servir el lema 4.3.3, nomes es tracta de refer els arguments de 4.3.2.

4.3.3 La importancia dels “root groups”

Per tancar aquesta seccio, el seguent resultat reflecteix la importancia d’aquestes famılies queacabem d’estudiar.

Teorema 4.3.5.

Sigui S un “uniseral 2-adic space group” amb “translation subgroup” T ∼= (Z∧2 )2n−1

i “point group “P”.Aleshores, o be S ⊆ Dn o be S ⊆ Ln−2. Es a dir, S es isomorf a un subgrup de Dn o de Ln−2, i la inclusio estal que T es un subgrup normal del “translation subgroup” de Dn o de Ln−2 segons correspongui.

Demostracio. D’una banda, pel lema 4.1.5, el “point group”, P , de S, es isomorf a un subgrup del“point group” Q de Dn o de Ln−2 segons correspongui, aixı que podem veure P com subgrup de Q.D’altra banda, considerem T , el “translation subgroup” de S, i V = T ⊗ Q∧2 = (Q∧2 )2

n−1. D’aquesta

manera, podem veure T com un reticle de V .

Sigui ara T ⊆ V un super-reticle Q-invariant de V , es a dir, T ⊆ T ⊆ V . Podem suposar que hemescollit T de manera que l’extensio escindida R, definida per T → R → Q, es isomorfa a Dn o Ln−2

segons correspongui.

Si considerem l’extensio escindida

V −→ X −→ Q,

aleshores es pot veure S ⊆ R com a subgrups de X , i el fet que el “translation subgroup” de S estiguicontingut al “translation subgroup” de Dn o de Ln−2 ve donat per la condicio d’uniserialitat ([Ca1]).


4.4 El teorema principal

Amb la feina feta fins ara podem enunciar el teorema principal d’aquest capıtol:

Teorema 4.4.1.


Si recordem el teorema 4.0.13 que enunciavem a l’inici del capıtol, els grups de coclasse r fixadapodien estar o be a G′r o be a G′′r , on G′r i G′′r satisfan les seguents propietats:

i) G′′r te un nombre finit d’elements.

ii) Si G ∈ G′r, aleshores existeixen N ≤ G, un subgrup normal, S, un “uniserial 2-adic space group”de coclasse r, i A, un subgrup normal de S tals que:

(a) A esta contingut al “translation subgroup” de S,

(b) |N | ≤ 22r−1(2r−1+r+3), i

(c) G/N ∼= S/A.

Aixı, si G esta G′′r , no ens preocupa, ja que aquest conjunt es finit. Aixı doncs donat G ∈ G′r, elseguent lema ens dona algunes propietats adicionals de G:

Lema 4.4.2.

Sigui r un enter fixat. Llavors existeixen enters γ(r) i δ(r) satisfent les condicions seguents. Si G ∈ G′rtal que el “translation subgroup” del “uniserial 2-adic space group” associat a G te dimensio 2n−1. Aleshores,

i) Existeix N , un subgrup normal de G tal que |N | ≤ γ(r).

ii) G/N ≤ Q, on Q es o be Dn,j o be Ln−2,j per algun j, de manera que |Q : G/N | ≤ δ(r).

Demostracio. Pel teorema 4.0.13 sabem que existeix S, un “uniserial 2-adic space group” de coclasser, N ′ ≤ G, un subgrup normal de G, i A ≤ S tals que G/N ′ ∼= S/A. A mes, pel teorema 4.3.5, S ≤ R,on R ∼= Dn o R ∼= Ln−2, de manera que A ≤ T , per T el “translation subgroup” de R. Per tant, tenim

G/N ′ ∼= S/A ≤ R/a, i |R/A : G/N ′| = |R : S|.

Fent servir ara el teorema 4.0.13, tenim |R : S| ≤ B(r), on B(r) nomes depen de r, i no de G o de N ′.

Ara, per la condicio d’uniserialitat, existeix j tal que 2j+1T ≤ A ≤ 2jT i |2jT : A| < 2n. Observemque R/2jT ∼= Dn,j o R/2jT ∼= Ln−2,j . Considerem, per tant, l’aplicacio

ϕ : G → G/N ′ ∼=→ S/A → R/A → R/2jT,

i sigui N = Ker(ϕ). Tenim |N/N ′| ≤ 2n i |R/2jT : G/N | ≤ B(r).

96 4.5. El cas p senar

Del teorema 4.0.13 sabem, a mes, que |N ′| ≤ 22r−1(2r−1+r+3). Per tant, tenim |N | ≤ 2u|N ′| =2u22r−1(2r−1+r+3), on 2u es el maxim de les dimensions dels “translation subgroups” de tots els “unis-erial 2-adic space groups” de coclasse r.

El lema queda demostrat doncs per γ(r) = 2u22r−1(2r−1+r+3) i δ(r) = B(r).

Ja podem demostrar el teorema 4.4.1:

Demostracio. Ja hem comentat que no ens cal preocupar-nos dels grups G ∈ G′′r . Sigui, per tant,G ∈ G′r. El lema 4.4.2 ens diu, en aquesta situacio, que existeix N , subgrup normal de G, tal que G/N

es isomorf a un subgrup de Dn,j o de Ln−2,j , on n esta acotada per ser la dimensio del “translationsubgroup” d’algun “uniserial 2-adic space group” de coclasse r.

Pero les proposicions 4.3.2 i 4.3.4 ens diuen en cada cas que hi ha un nombre finit de possiblesanells de cohomologia per Dn,j o Ln−2,j (segons correspongui), i per tant, pel teorema 4.2.8, sabemque nomes hi ha un nombre finit de possibles anells de cohomologia H∗(G/N).

Finalment, fent servir ara el teorema 4.2.5 amb la cota per |N | que ens dona el lema 4.4.2, obtenimque H∗(G) esta determinat com a anell entre un nombre finit de possibilitats.

4.5 El cas p senar

En aquesta darrera seccio volem parlar dels metodes i tecniques emprats per demostrar 4.4.1, idiscutir fins a quin punt son valids els resultats als que arribem per p = 2 quan passem a p senar.

Existeixen diferencies notables entre els dos casos a contemplar. Basicament, ens trobem ambdos problemes que fan que la demostracio de 4.4.1 no serveixi en el cas general:

i) En primer lloc, el teorema de classificacio dels p-grups de coclasse r fixada es lleugerament dife-rent pel cas p senar.

En particular, les propietats que satisfan els elements de G′′r son mes febles per p senar. Amb tot,aquest problema es podria resoldre, ja que com es veu a [Ca1], es redueix a un problema d’extensions“twisted”.

ii) En segon lloc, no hi ha resultats equivalents a 4.3.2 o 4.3.4 per p senar.

Es aquest segon problema el quin realment complica la situacio per p senar. Si be es cert que espoden construir “uniserial space groups”Rn de manera semblant als espais Dn i Ln del cas p = 2, noesta clar si podem donar informacio equivalent per aquests nous espais.


En particular, la construccio seria la seguent. Sigui T1 = (Z∧p )p−1, considerem Cp actuant sobreT1 via la matriu

M =

0 0 . . . . . . . . . −11 0 . . . . . . . . . −10 1 . . . . . . . . . −1...

.... . . −1

......

. . . −10 0 . . . . . . 1 −1

,

i sigui R1 l’extensio escindida0 → T1 −→ R1 −→ Cp → 1

amb l’accio de Cp donada. Finalment, definim inductivament Rn = Rn−1 o Cp, amb “translationsubgroup” Tn = (Z∧p )(p−1)pn−1

, i Rn,j = Rn/(pjTn).

En aquesta situacio, [Ca1] proposa, com a pas previ per abordar el problema de generalitzarel teorema 4.4.1, intentar resoldre les questions seguents: fixat n = 1, es possible que els anells decohomologia H∗(R1,j), variant j, siguin isomorfs? En cas que aixı sigui, que podrıem dir en el casn > 1?

[Ca1] tambe proposa una altra via per abordar el problema: donada una extensio de p-grups

1 → H −→ G −→ Cp → 1,

es cert que nomes hi ha un nombre finit de possibles estructures d’anell per H∗(G)? Es a dir, H∗(G)com a anell esta determinat entre un nombre finit de possibilitats a partir de H∗(H)?

98 4.5. El cas p senar

Capıtol 5

El sistema C(L) des del punt de vista dela coclasse

Fixem ara un algebra inestable L com a la seccio 3.4, i p un nombre primer. Considerem tambe

P1 l P2 l . . .l Ps l . . . , (5.1)

una cadena refinada infinita a C(L).

En aquest capıtol volem estudiar la possible evolucio de la coclasse dins d’una cadena d’aquesttipus. La intencio es evident: si podem controlar la coclasse dins d’un sistema fixat, llavors podemfer servir els resultats de [Ca1], que hem presentat al capıtol anterior per determinar si el sistema esde tipus finit.

Aquest estudi comenca, pero, per l’estudi del comportament de la coclasse dins d’una extensiocentral, ja que estem suposant que la cadena (5.1) es refinada, i per tant, que per tot s tenim unaextensio central

Z/p −→ Ps+1 −→ Ps.

De fet, hem estes l’estudi a una extensio central qualsevol A → E → G.

El problema radica en traduir aquest possible control de la coclasse en termes de cohomolo-gia. Per [Brow], sabem que una extensio central A → E → G esta determinada per una classeα ∈ H2(G;A), es a dir, el grup E (llevat d’isomorfisme) esta determinat per la classe α. Semblaraonable doncs suposar que de la classe α es pugui extreure informacio sobre la coclasse d’E. Comveurem, pero, el tipus d’informacio que podrem extreure no resulta gaire util en el nostre problema.

Tot i que, com hem comentat, els resultats d’aquest capıtol son valids per una extensio centralen general, aquest capıtol esta inspirat en el comportament dels sistemes cıclic i dihedric, estudiats a[AgBrSa]:

Exemple 5.0.1.

1) El sistema cıclic. Tal com es pot veure a [AgBrSa], aquest sistema esta format unicament pels grupscıclics Z/pn, de manera que per n ≥ 2, Z/pn+1 encaixa en una extensio central (un pas)

Z/p −→ E = Z/pn+1 π−→ G = Z/pn.

99

100

Calcular les respectives u.c.s. per G = Z/pn i E = Z/pn+1 es gairebe inmediat per ser tots dosgrups abelians:

0 = G0 ≤ G1 = Z(G) = G = Z/pn,

0 = E0 ≤ E1 = Z(E) = E = Z/pn+1.

Aixı, tots els p-grups dins de la cadena tenen la mateixa nilpotencia, tZ/pn = 1, i per tant, la coclassesempre creix:

cc(Z/pn) = n− 1.

Observem que, a part de ser una tautologia, tenim π(E1) = G1. En un sentit que explicitaremmes endavant, podem pensar que la u.c.s. (i la l.c.s.) de Z/pn+1 es construeix a partir de la u.c.s.(respectivamen la l.c.s.) de Z/pn.

2) El sistema dihedric (p = 2). Aquest sistema esta format pels grups dihedrics D2n , els grups quater-nionics Q2n+1 , i els grups semidihedrics SD2n+1 , per n ≥ 3 (veieu [AgBrSa]).

Podem donar una presentacio de cada un d’aquests grups:

D2n =< g, h|g2n−1= 1 = h2, hg = g2n−1−1h >,

Q2n =< g, h|g2n−2= h2, g2n−1

= 1, hg = g2n−1−1h >, i

SD2n =< g, h|g2n−1= 1 = h2, hg = g2n−2−1h > .

Tal com es pot veure, per exemple, a [AdMi], per n ≥ 3, si E es un dels grups D2n+1 , Q2n+1 oSD2n+1 , llavors E encaixa en una extensio central

Z/2 −→ Eπ−→ G = D2n .

Comencem per calcular la u.c.s. de G = D2n . A partir de la presentacio que hem donat d’aquestgrup, es tracta de calculs purament rutinaris. Tenim

G1 = Z(G) =< g2n−2>∼= Z/2,

i ara, fent servir que G/Z(G) = G/(Z/2) ∼= D2n−1 , es facil calcular recursivament la u.c.s. de G:

1 = G0 ≤ G1 = Z(G) =< g2n−2>≤ G2 =< g2n−3

>≤ . . . ≤ Gn−2 =< g2 >≤ Gn−1 = D2n ,

es a dir, G = D2n te nilpotencia s = n− 1, i per tant, te coclasse 1 (observem que no depen de n).

Estudiant ara els grups D2n+1 , Q2n+1 i SD2n+1 , obtenim, respectivament, que els respectius cen-tres son

Z(D2n+1) =< g2n−1>, Z(Q2n+1) =< g2n−1

>, Z(SD2n+1) =< g2n−1> .

I ara, fent servir que E/Z(E) ∼= D2n , independentment de qui sigui E, obtenim que la nilpotencia deE es t = n, i per tant la coclasse de E es, de nou, 1. Es a dir

cc(D2n+1) = cc(Q2n+1) = cc(SD2n+1) = 1, ∀n.

5. El sistema C(L) des del punt de vista de la coclasse 101

Considerem en particular el cas que E = D2n+1 . La u.c.s. de E s’obte facilment a partir del’expressio que hem donat per la u.c.s. de G, nomes cal substituir n per n + 1.

De fet, comparant la u.c.s. de E = D2n+1 amb la de G = D2n , s’observa un fenomen similar alque ja comentavem a l’exemple del sistema cıclic: la projeccio π envia els termes de la u.c.s de E alstermes de la u.c.s. de G, pero desplacats en una unitat.

5.1 La coclasse dins d’una extensio central

Considerem, per tant, una extensio central

A −→ Eπ−→ G, (5.2)

determinada per una certa classe α ∈ H2(G; A), i suposem conegudes les coclasses de G i A, cc(G) icc(A). Que podem dir de la coclasse de E?

En aquesta seccio estudiarem una determinada serie central que podem construir per E. De l’es-tudi d’aquesta serie podrem deduir que la coclasse de E es troba acotada inferiorment i superiormenten termes de cc(G)( i cc(A)). Tancarem aquesta seccio estudiant dos casos particulars d’aquesta serie.

Comencem per fixar la notacio que farem servir al llarg d’aquesta seccio, i recordar alguns fetsreferents a la nilpotencia i la coclasse d’un grup abelia.

Recordem que si A es un p-grup abelia amb |A| = pm, m ≥ 0, llavors la nilpotencia d’A es 1, i lacoclasse es cc(A) = m − 1. Es per aixo que practicament podem oblidar-nos del grup A i pensar quevolem determinar la coclasse d’E a partir de la de G.

5.1.1 Notacio

Farem servir la notacio seguent al llarg d’aquesta seccio: el grup G te ordre |G| = pn, classe denilpotencia nilp(G) = s i coclasse cc(G) = n − s, i el grup E tindra ordre |E| = pn+m, nilpotencianilp(E) = t, desconeguda, i coclasse cc(E) = n + m− t. Denotarem la u.c.s. de G per

1 = G0 ≤ G1 ≤ . . . ≤ Gs−1 ≤ Gs = G

i la corresponent u.c.s. de E per

1 = E0 ≤ E1 ≤ . . . ≤ Et−1 ≤ Et = E.

Recordem que, donades una extensio com (5.2) i una seccio de conjunts s : G → E, [Brow] ensproporciona una “recepta” per construir el cocicle corresponent,

f : G×G −→ A,

tal que [f ] = α ∈ H2(G; A) (f es un cocicle a la resolucio cobar. Es pot consultar mes sobre aquestaresolucio a [We]).

102 5.1. La coclasse dins d’una extensio central

No reproduirem aquı la construccio del cocicle f ni la comprovacio de que efectivament f es uncocicle a la resolucio cobar (podeu consultar [Brow], teorema IV.3.12). Nomes recordarem que, uncop construit f , podem considerar el grup Ef = Aof G, amb un producte ∗ definit per

(v, g) ∗ (w, h) = (v + w + f(g, h), gh).

Es pot veure llavors que E ∼= Ef . Per comoditat, suposarem que E = Ef .

Considerem, en aquesta situacio, el pull-back de Eπ−→ G ←↩ Gj , E(j), per j = 0, . . . , s: E(j) ∼=

{(x, h) ∈ E × Gj | π(x) = h}. Si ens fixem, per un element x ∈ E, x = (a, g) per certs a ∈ A i g ∈ G,tenim π(x) = g. Per tant, es clar que, com a subgrup de E,

E(j) = {(a, g) | a ∈ A, g ∈ Gj}.

Observem que, en particular, E(0) ∼= A i E(s) = E. Notem tambe que podem veure cada E(j) com elpull-back de E(j + 1) → Gj+1 ← Gj :

A // E // G

A // E(s− 1)

OO

// Gs−1

OO

......

OO

...

OO

A // E(1)

OO

// G1 = Z(G)

OO

A // E(0)

OO

// G0 = 1.

OO

5.1.2 Construint la u.c.s. a partir del cocicle

En aquest apartat veurem, d’una banda, que els subgrups E(j) formen una serie central per E.D’altra banda, construirem la u.c.s. del grup E a partir del cocicle f que “determina” l’extensio (5.2).

Tot aixo ens permetra acotar els subgrups E(j) en funcio dels termes de la u.c.s. de E, i deduird’aquı que la coclasse de E esta acotada en termes de la coclasse de G.

Considerem doncs la serie

1 = E(−1) ≤ E(0) ≤ E(1) ≤ . . . ≤ E(s− 1) ≤ E(s) = E. (5.3)

Proposicio 5.1.1.

La serie (5.3) es una serie central pel grup E.

Demostracio. Veurem primer que, per tot j, E(j) es subgrup normal de E(j + 1). Per construccio, es


clar que E(j) ≤ E(j +1) per tot j, pero a mes, tambe per construccio, tenim un diagrama commutatiu

E(j)j2 //

π2

²²

E(j + 1)

π1

²²

ϕ

&&MMMMMMMMMM

Gjj1

// Gj+1ψ

// Gj+1/Gj ,

d’on es veu que E(j) ≤ Ker(ϕ).

Sigui ara e ∈ E(j+1) tal que ϕ(e) = 0. De la commutativitat del diagrama es veu que g = π1(e) ∈Ker(ψ), es a dir, g ∈ Gj . Si ens mirem E(j) com el pull-back de E(j + 1) → Gj+1 ← Gj , aixo voldir precisament que l’element (e, g) pertany a E(j). Es a dir, E(j) = Ker(ϕ), i per tant es subgrupnormal de E(j + 1).

Per veure que E(j) es subgrup normal de E els arguments son els mateixos, nomes cal fer servirel diagrama commutatiu seguent:

E(j)j2 //

π2

²²

E(s) = E

π1

²²

ϕ

%%LLLLLLLLLL

Gjj1

// Gs = Gψ

// Gs/Gj .

Finalment, comprovem la condicio de serie central. Per construccio, i fent servir el primer teore-ma d’isomorfia per grups, tenim isomorfismes

E(j + 1)/E(j) ∼= (E(j + 1)/A)/(E(j)/A) ∼= Gj+1/Gj = Z(G/Gj),E/E(j) ∼= (E/A)/(E(j)/A) ∼= G/Gj ,

d’on es dedueix que E(j + 1)/E(j) = Z(E/E(j)).

Passem ara a construir la u.c.s. de E. Com sabem, el primer terme de la u.c.s. es E1 = Z(E), elcentre de E. Comencem, per tant, per determinar aquest subgrup. Considerem un element (a, h) ∈ E

qualsevol. Si imposem que sigui central, llavors s’ha de complir

(a + b + f(h, g), hg) = (a, h) ∗ (b, g) = (b, g) ∗ (a, h) = (a + b + f(g, h), gh)

per tot (w, g) ∈ E. Es a dir, per ser central, (v, h) ha de satisfer{

h ∈ Z(G), if(h, g) = f(g, h) per tot g ∈ G.

En el cas dels termes superiors de la u.c.s. cal treballar amb una mica mes de compte: el termeEj , j ≥ 2 es definia com el subgrup de E tal que Ej/Ej−1 = Z(E/Ej−1). Aixı, un element (a, h) ∈ E

pertany a Ej si satisfa(a, h) ∗ (b, g)Ej−1 = (b, g) ∗ (a, h)Ej−1,

es a dir, si per cada (b, g) existeix (ah,g, kh,g) ∈ Ej−1 tal que (a, h) ∗ (b, g) = ((b, g) ∗ (a, h)) ∗ (ah,g, kh,g)a E (com veurem, (ah,g, kh,g) nomes depen de h i g).


Si desenvolupen les dues parts de la igualtat, obtenim

(a + b + f(h, g), hg) = (ah,g + a + b + f(g, h) + f(gh, kh,g), ghkh,g),

es a dir, l’element (ah,g, kh,g) esta definit per{

ah,g = f(h, g)− f(g, h)− f(gh, kh,g), ikh,g = h−1g−1hg = [h, g],

(5.4)

el conmutador de h amb g.

Suposem primer el cas j = 2: anem a determinar el terme E2. Sigui (a, h) ∈ E. En aquest cas, calque, per tot (b, g) ∈ E, l’element (ah,g, kh,g) definit abans pertanyi a Z(E). Pero ja sabem com son elselements del centre de E: (a, h) ∈ E2 si i nomes si

{kh,g = [h, g] ∈ Z(G), if(kh,g, g

′) = f(g′, kh,g),

per tot g, g′ ∈ G. Observem que l’element ah,g ∈ V no interve en aquestes condicions. A mes, notemque la condicio kh,g ∈ Z(G) per tot g ∈ G es equivalent a dir que h ∈ G2.

Per j = 3 es veu ara que (a, h) ∈ E3 si i nomes si l’element (ah,g, kh,g) definit a (5.4) pertany a E2

per tot g ∈ G, es a dir, si per tot g′, g′′ ∈ G, kh,g,g′ = [[h, g], g′] ∈ Z(G) i f(kh,g,g′ , g′′) = f(g′′, kh,g,g′).

De nou, la condicio de que kh,g,g′ ∈ Z(G) per tot g, g′ ∈ G es equivalent a dir que h ∈ G3.

En general, tenim el seguent lema

Lema 5.1.2.

El j-essim terme de la u.c.s. de E, Ej , es el subgrup seguent:

Ej = {(a, h) | h ∈ Gj i f(kh,g1,...,gj−1 , gj) = f(gj , kh,g1...,gj−1) per tot g1, . . . , gj ∈ G},

on kh,g1,...,gj−1 = [[. . . [[h, g1], g2], . . .], gj−1]. En el cas j = 1, kh = [h] = h per tot h ∈ G1.

Demostracio. Es directa, fent servir induccio sobre j.

Combinant la proposicio 5.1.1 i el lema anterior, tenim el seguent lema

Lema 5.1.3.

Per j = 0, . . . , s, el terme E(j) esta acotat per

Ej ≤ E(j) ≤ Ej+1.

Demostracio. D’una banda, pel lema anterior, es clar que E(j) ≥ Ej per tot j: els elements de E(j)son parelles (a, h) tals que a ∈ A i h ∈ Gj , i els elements de Ej son parelles (a, h) tals que a ∈ A,h ∈ Gj i tals que f(kh,g1,...,gj−1 , gj) = f(gj , kh,g1...,gj−1) per tot kh,g1,...,gj−1 i tot gj ∈ G.

D’altra banda, per la proposicio 3.1.6 ([Ro], proposicio 5.1.9), i fent servir que E(0) ∼= A ≤ Z(E) =E1, tenim, per tot j, E(j) ≤ Ej+1.


Ara es facil veure com podem acotar la coclasse de E a partir de la de G

Teorema 5.1.4.

Sigui A → E → G una extensio central, amb |A| = pm. Aleshores,

nilp(G) ≤ nilp(E) ≤ nilp(G) + 1 i cc(G) + m− 1 ≤ cc(E) ≤ cc(G) + m.

Demostracio. Recordem que, si G te ordre |G| = pn i nilpotencia nilp(G) = s, llavors la coclasse de G

es cc(G) = n− s.

Considerem la serie central 1 = E(−1) ≤ E(0) = A ≤ E(1) ≤ . . . ≤ E(s− 1) ≤ E(s) = E. Com aserie central, te longitut s + 1, on s = nilp(G). Per tant, la nilpotencia de E satisfa

nilp(E) ≤ s + 1 = nilp(G) + 1.

D’altra banda, pel lema 5.1.3, tenim E1 = Z(E) ≤ E(1) ≤ E2. Observem que si E1 = E(1),llavors la serie central dels E(j) es refinable a 1 ≤ E(1) ≤ . . . ≤ E(s) = E. Notem tambe que, com amolt, podrem refinar la serie dels E(j) en un pas. Per tant,

nilp(E) ≥ s = nilp(G).

Observem ara que |E| = |G| · |A| = pn+m. Aixı, si nilp(E) = nilp(G), llavors cc(E) = n+m− s =cc(G) + m, i si nilp(E) = nilp(G) + 1, llavors cc(E) = n + m− s− 1 = cc(G) + m− 1.

La demostracio de la proposicio 5.1.1, juntament amb el lema 5.1.3 ens permeten tambe enunciarel seguent corol·lari:

Corol·lari 5.1.5.

Sigui A → E → G una extensio central com (5.2).

Si per algun l < s sabem que E(l) = El, llavors E(j) = Ej per j = l, . . . , s. En particular, es dedueixque nilp(E) = nilp(G) i cc(E) = cc(G) + m.

Si per algun l < s sabem que E(l) = El+1, llavors E(j) = Ej+1 per j = l, . . . , s. En particular, esdedueix que nilp(E) = nilp(G) + 1 i cc(E) = cc(G) + m− 1.

Demostracio. Pel lema 5.1.3 sabem que, per tot j, Ej ≤ E(j) ≤ Ej+1.

Suposem, doncs, que E(l) = El per algun l. De la demostracio de 5.1.1 hem vist que, per totj, Z(E/E(j)) = E(j + 1)/E(j). Aixı, si E(l) = El, llavors E(l + 1) correspon, per definicio de lau.c.s., al terme El+1, i podem continuar inductivament. En particular, obtenim que Es = E, i per tant,nilp(E) = nilp(G). Pel teorema anterior, cc(E) = cc(G) + m, on |A| = pm.

Suposem ara que E(l) = El+1. De nou es dedueix que E(j) = Ej+1 per j = l, . . . , s pels mateixosarguments. En particular, tenim Es < E i Es+1 = E, d’on es dedueix que nilp(E) = nilp(G) + 1 icc(E) = cc(G) + m− 1.


La idea que hi ha darrera del lema 5.1.3 i del corol·lari anterior es la seguent: si, donada una seriecentral A → E → G, podem comparar part de la u.c.s. de E amb part de la u.c.s. de G, llavors podemdonar informacio sobre la coclasse de E en funcio de la coclasse de G.

El problema el trobem a l’hora de decidir si l’extensio A → E → G satisfa algun dels casos delcorol·lari anterior nomes a partir de la u.c.s. de G i del cocicle f . De fet, la idea ara seria trobarcondicions sobre la classe α ∈ H2(G; A) per poder decidir si l’extensio (5.2) satisfa el lema anterior enalguna de les seves variants.

De la construccio que hem fet de la u.c.s. a partir del cocicle, pero, ja es pot veure que el ti-pus de condicions que podem demanar no son gaire adequades per estudiar els problemes que ensplantegem en aquest treball, i es per aquest motiu que abandonem aquesta via d’estudi dels sistemesC(L).

Observacio 5.1.6.

Al llarg d’aquesta seccio no hem fet servir enlloc que els grups G i E pertanyin a un determinat sistemaC(L). Es a dir, els resultats que hem presentat en aquesta seccio son valids per una extensio central A → E → G

qualsevol.

Capıtol 6

El sistema C(L) des del punt de vista dela cohomologia

En aquest capıtol enfocarem l’estudi d’una cadena del tipus (5.1), P0lP1l . . ., Ps ∈ C(L), des delpunt de vista de la cohomologia. De nou, la motivacio son els exemples dels sistemes cıclic i dihedric,que ja hem comentat al capıtol anterior.

Farem servir la mateixa notacio emprada a les seccions 4 i 5 de l’article [AgBrSa], on es defineixenels sistemes C(L) que tractem en aquest treball. En particular, per P un p-grup de C(L), denotaremper ρP : L → H∗(P ) la 2-equivalencia que existeix per definicio del sistema C(L).

L’objectiu d’aquest capıtol es doble. D’una banda estudiarem un cert tipus de sistemes que re-sultaran ser de tipus finit sempre, i d’altra banda donarem alguns criteris per veure si un sistema noes de tipus finit.

Sigui, per tant, C(L) un sistema qualsevol, i sigui P0 el seu grup inicial, amb ρ0 : L → H∗(P0) lacorresponent 2-equivalencia. Recordem que P0 encaixa en una extensio central

Q2 −→ P0π−→ W1,

on W1 i Q2 son p-grups abelians elementals. El seguent lema es inmediat a partir de la definicio deP0:

Lema 6.0.7.

La 2-equivalencia ρ0 satisfa ρ0(L2) = π∗(H2(W1)).

Hi ha un tipus especial de sistemes que son sempre de tipus finit, pero que no son de gaireinteres en aquest treball: es tracta del cas en que P0 es maximal en el sentit de [AgBrSa], es a dir, quanρ0 : L2 → H2(P0) es un isomorfisme. En aquest cas, qualsevol extensio (central) Z/p → P1 → P0 donalloc a un p-grup P1 /∈ C(L), i el sistema C(L) nomes te un unic element, P0, que es inicial i maximalalhora. Direm en aquest cas que C(L) es un sistema elemental.

En particular, tenim

Proposicio 6.0.8.

Tots els sistemes C(L) elementals son de tipus finit en el sentit de [AgBrSa].

107

108 6.1. Alguns sistemes de tipus finit: sistemes de tipus p-adic

En particular, els sistemes C(L), per L ∼= H∗(V ), V un p-grup abelia elemental son elementals,amb grup inicial P0

∼= V .

Demostracio. Es inmediata.

Per tant, ens interessa estudiar sistemes no elementals, i, mes concretament, fixat un sistema C(L)i donada una cadena Pλ1 l Pλ2 l . . . a C(L), volem estudiar H∗(P ), on P = lim←−Pλs .

Recordem del lema 3.4.6 que per tot P ∈ C(L) existeix una projeccio P ³ P0, es a dir, P0lP . Pertant, tota cadena P l P1 l . . . l Ps l . . . a C(L) es pot estendre a una cadena que comenci per P0. Ames, les propietats del sistema ens permeten considerar que sempre es tracta d’una cadena refinada,es a dir, que per tot s, Ps encaixa en una extensio central

Z/p −→ Ps −→ Ps−1.

A menys que especifiquem el contrari, totes les cadenes que considerem seran refinades i comencaranper P0.

6.1 Alguns sistemes de tipus finit: sistemes de tipus p-adic

En aquesta seccio estudiarem un cert tipus de sistemes C(L) que, com veurem, resultaran sersempre de tipus finit. Aquesta, pero, sera nomes la primera part del treball que realitzarem en aquestaseccio, ja que, degut a l’excepcional comportament d’aquests sistemes, podrem estudiar amb moltmes detall els grups que el comformen.

Les condicions que demanem sobre aquests sistemes, pero, son forca restrictives. Siguin P0 elgrup inicial del sistema, i ρ0 : L → H∗(P0) la corresponent 2-equivalencia. Recordem que P0 esdefinia per una extensio central

Q2 −→ P0π−→ W1.

Definicio 6.1.1.

Direm que el sistema C(L) es de tipus p-adic si existeix τ0 ∈ H2(P0) tal que satisfa

i) H2(P0) = ρ0(L2)⊕ < τ0 >, i

ii) resP0Q2

(τ0) 6= 0.

En aquest cas, direm que la classe τ0 es la classe distingida de H2(P0).

Recordem que la 2-equivalencia ρ0 es monomorfisme en dimensio 2. Aixo vol dir que ρ0(L2)es un Fp-subespai vectorial de H2(P0). La primera condicio no diu altra cosa que la codimensio deH2(P0) respecte al subespai ρ0(L2) es 1.

6. El sistema C(L) des del punt de vista de la cohomologia 109

Fent servir el lema 6.0.7, es facil veure ara que si resP0Q2

(τ0) 6= 0, llavors resP0Q2

(τ0 + µ) 6= 0 per totµ ∈ ρ0(L2) = π∗(H2(W1)).

La segona condicio de la definicio no es innecessaria. Per exemple, per p > 2, sigui P el p-grup definit per l’extensio (central) Q2 → P → W1, on Q2 = (Z/p)2, W1 = (Z/p)3, amb H∗(W1) ∼=Λ(x1, x2, x3) ⊗ Fp[z1, z2, z3], i classificada per α1 = x1x2 i α2 = x1x3. Es facil comprovar que H∗(P )satisfa la primera condicio, pero no la segona.

Com veurem, sota aquestes condicions, si P es un grup profinit qualsevol definit dins de C(L),llavors P encaixa en una extensio (no necessariament central)

Z∧p −→ P −→ P0,

d’aquı el nom d’aquest tipus de sistemes. Per aquest tipus de sistemes tenim dos exemples molt ricsque ja hem explotat en capıtols anteriors: els sistemes cıclic i dihedric ([AgBrSa], exemples 12 i 13.Recordem tambe l’exemple 5.0.1 al capıtol 5):

Exemple 6.1.2.

1) El sistema cıclic. Com ja sabem, el sistema cıclic, C(L) amb L ∼= Λ(x), esta format pels grups Z/ps,per s ≥ 2.

A [AgBrSa] es veu que dins d’aquest sistema nomes hi ha una cadena refinada infinita (llevatd’isomorfisme):

P0 = Z/p2 l P1 = Z/p3 l . . .l Ps = Z/ps+2 l . . . ,

on H∗(Ps) ∼= Λ(x)⊗ Fp[zs], i βs+2(x) = zs, per tot s, i que aquest sistema es de tipus finit.

A mes, com a Fp-algebres, H∗(Ps) ∼= H∗(P0) per tot s ≥ 0, tot i que aquest isomorfisme nove induit per la projeccio Ps → P0. De fet, no es difıcil adonar-se que aquest isomorfisme es unisomorfisme d’algebres inestables sobre l’algebra de Steenrod, ja que β(zs) = 0 per tot s. Tot i aixo, elBockstein βs+2 permet “distingir” el grup Ps dels grups Pt per t 6= s. De fet, BPs, l’espai classificadorde Ps, esta completament determinat per la seva cohomologia en el sentit de [BrLe].

2) El sistema dihedric. Per p = 2, el sistema dihedric, C(L) amb L ∼= F2[x, y]/(x2 + xy), conte elsgrups D2s , Q2s+1 i SD2n+1 per n ≥ 3 (veure exemple 5.0.1 per mes detalls sobre aquests grups).

A [AgBrSa] es veu tambe que aquest sistema nomes conte una unica cadena refinada infinita,

P0 = D23 l P1 = D24 l . . .l Ps = D2s+3 l . . . ,

on H∗(Ps) ∼= F2[x, y, zs]/(x2 + xy), de manera que β(zs) = yzs, i βs+2(xzs) = z2s per tot s (podeu

consultar [BrLe]).

De nou ens trobem en el cas en que aquest sistema es de tipus finit, i per tot s tenim isomorfismesde F2-algebres, H∗(Ps) ∼= H∗(P0) (no induits per les projeccions Ps → P0), que resulten ser isomor-fismes d’algebres inestables. Igualment, tal com es veu a [BrLe], el Bockstein βs+2 permet veure queBPs esta completament determinat per la seva cohomologia.

Observem que en tots dos exemples, la classe zs ∈ H2(Ps) es regular (es a dir, Ann(zs) = 0), i hiha un subgrup cıclic Hs ≤ Ps, isomorf a Z/ps+2, que detecta la classe zs (en el cas del sistema cıclic,Hs = Ps), i tal que detecta el Bockstein βs+2 que permet diferenciar cada grup Ps de la resta.


Inspirats per aquests exemples, en aquesta seccio hi ha dos objectius fonamentals. D’una banda,volem demostrar que els sistemes C(L) de tipus 1−Z∧p son sempre de tipus finit. I d’altra banda, volemestudiar fins a quin punt podem estendre les propietats dels sistemes cıclic i dihedric a aquest cas mesgeneral. Observem, pero, que aquest estudi depen molt fortament de la descripcio de H∗(P0), i, engeneral, no disposem d’aquesta informacio. Al llarg d’aquesta seccio, els sistemes que consideraremseran de tipus p-adic.

Tots els resultats que presentarem en aquest capıtol seran valids per tot primer p ≥ 2, a menysque indiquem el contrari. Tot i aixo, per no fer tant farragos aquest treball, sovint nomes presentaremla versio per p senar, deixant les modificacions oportunes per p = 2 pel lector.

En particular, sovint estudiarem successions espectrals del tipus Z/pi → P ′ → P , on, a part de lesmodificacions pertinents per distingir els cassos p = 2 i p senar, farem servir el criteri de convergencia3.5.

6.1.1 La cohomologia del grup inicial

En aquest primer apartat volem estudiar algunes propietats de H∗(P0). Tot i que es clar quecalcular aquesta cohomologia esta fora del nostre abast (fins i tot com a Fp-algebra), la condicio detipus p-adic ens permet deduir algunes propietats sobre H∗(P0) que ens resultaran forca utils mesendavant.

En particular, ens interessa estudiar certes propietats de la classe distingida, τ0. La primerad’aquestes propietats te a veure amb la restriccio de τ0 a H∗(Q2), i la segona es sobre l’anul·ladord’aquesta classe dins de H∗(P0).

Morfisme restriccio

Recordem que P0 encaixa en una extensio central Q2 → P0 → W1, on W1 i Q2 son abelianselementals, i tal que esta determinada per una inclusio Q∗

2 ⊂ H2(W1).

Lema 6.1.3.

Existeix α ∈ H1(Q2) tal que

resP0Q2

(τ0) = β(α),

on β es el morfisme Bockstein.

Demostracio. Denotem H∗(Q2) ∼= Λ(a1, . . . , am) ⊗ Fp[b1, . . . , bm] per p senar (per p = 2 s’haurien defer les modificacions oportunes), on β(ai) = bi, i considerem la S.E.S. de l’extensio Q2 → P0 → W1.

La pagina E2 d’aquesta successio espectral satisfa

E∗,∗2

∼= H∗(W1)⊗H∗(Q2),


ja que l’extensio es central. A mes, la diferencial d2 esta completament determinada per la imatgesobre els elements 1⊗ ai i 1⊗ bi.

En aquest cas, la imatge de d2 esta determinada per la classe de l’extensio, o, equivalentment, perla inclusio Q∗2 ⊂ H2(W1) que determina l’extensio Q2 → P0 → W1.

Es a dir, d2(1⊗ ai) = αi ⊗ 1 ∈ E2,02

∼= H2(W1)⊗ 1, de manera que d2(1⊗ ai) 6= d2(1⊗ aj) si i 6= j.La imatge de d2 sobre els elements 1 ⊗ bi esta determinada pel teorema 3.3.10, ja que recordem quebi = β(ai): els elements 1⊗ bi son transgressius, i d2 es trivial sobre ells.

D’aquı es dedueix que E0,23 =< 1⊗ bi >∼= {β(α)|α ∈ H1(Q2)}. Per tant, si resP0

Q2(τ0) 6= 0, llavors

existeix α ∈ H1(Q2) tal que resP0Q2

(τ0) = β(α).

Observem que el criteri de convergencia 3.5 s’aplica en aquest cas (amb les modificacions opor-tunes), i per tant les classes [1⊗ β(α)i] sobreviuen a E∞ per tot i. Es a dir, τ i

0 6= 0 per tot i a H∗(P0).

Anul·ladors

Continuem ara estudiant la successio espectral de l’extensio Q2 → P0 → W1, amb la intencioara d’estudiar com es comporta la classe τ0 dins de l’algebra H∗(P0). Tot i que hem vist que τ i

0 6= 0per tot i, en general no ens sera possible veure que τ0 es un element regular de H∗(P0) (es a dir, queAnn(τ0) = 0).

L’estudi que farem a continuacio de l’anul·lador de τ0 pot semblar mınim, pero veurem mesendavant que amb les propietats que demostrarem a continuacio es suficient per avancar en l’estudidels sistemes de tipus p-adic. A mes, les propietats que veurem a continuacio es veuran reforcades amesura que avancem en l’estudi del sistema.

Lema 6.1.4.

L’anul·lador Ann(τ0) no conte elements de grau 1.

Demostracio. Considerem l’extensio Q2 −→ P0π−→ W1, i la corresponent successio espectral. Si

denotem H∗(Q2) ∼= Λ(a1, . . . , am) ⊗ Fp[b1, . . . , bm] (per p senar, per p = 2 s’haurien de fer les modifi-cacions oportunes), llavors la pagina E2 satisfa

E∗,∗2

∼= H∗(W1)⊗H∗(Q2).

Recordem que H1(P0) ∼= H1(W1). Per tant, la diferencial d2 es injectiva sobre E0,12 . A mes, pel

que hem vist al lema 6.1.3, podem suposar que resP0Q2

(τ0) = b1 ∈ H2(Q2). Fent servir tambe queH2(P0) = ρ0(L2)⊕ < τ0 >, i que ρ0(L2) = π∗(H2(W1)). es dedueix que, a la successio espectralanterior,

E0,1∞ E1,1

∞ = 0 E0,2∞ =< [1⊗ b1] > .


Denotem T = H∗(P0). Per estudiar l’anul·lador de τ0 farem servir la filtracio de T que ens donala successio espectral. Recordem del teorema 3.3.4 que existeix una filtracio decreixent de T , F ∗(T ),tal que, si denotem S = E∞, llavors:

i) F 0(T ′i) = T i per tot i,

ii) F j(T i) = 0 si j > i, i

iii) Si,j = F i(T i+j)/F i+1(T i+j) per tot i, j.

Aixı, d’una banda tenim isomorfismes

Si,0 = F i(T i)/F i+1(T i) ∼= F i(T i)S0,i = F 0(T i)/F 1(T i+1) ∼= T i/F 1(T i+1)

per tot i. Notem, en particular, que els elements sobre l’eix horitzontal S∗,0 representen classes aH∗(P0), no sobre els quocients de la filtracio! D’altra banda, el morfisme eix (3.1) ens diu que Si,0 =π∗(Hi(W1)) per tot i.

Veurem primer que la classe [1 ⊗ b1] ∈ S0,2 no te anul·ladors de grau total 1 a S∗,∗, i despresestudiarem l’anul·lador a T ∗.

Per hipotesi, a la successio espectral, dr([1 ⊗ b1]) = 0 per tot r. A mes, hem vist que S0,1 = 0 iS1,0 ∼= H1(W1). Suposem, per tant, que existeix σ ∈ S1,0 tal que σ ⊗ [1 ⊗ b1] = 0. Aquest element σ

sera de la forma σ = γ ⊗ 1 per algun γ ∈ H1(W1), i per tant, σ ⊗ [1⊗ b1] = [γ ⊗ b1].

Ara be, la classe [γ ⊗ b1] ∈ S1,2 nomes pot ser zero si d2(γ ⊗ b1) 6= 0 o d3([γ ⊗ b1]) 6= 0, pero aixoes impossible si dr([1 ⊗ b1]) = 0 per tot r (les diferencials sobre els elements de la forma ω ⊗ 1 sontrivials). Per tant, [1⊗ b1] no te anul·ladors de grau 1.

Ara, estudiem la filtracio F ∗ en grau total 1. Tenim 0 = S0,1 = F 0(T 1)/F 1(T 1) = T 1/F 1(T 1),d’on es dedueix que T 1 = F 1(T 1), i tenim S1,0 = F 1(T 1) ∼= H1(W1).

Aixı, si γ ∈ T 1 = H1(P0) es tal que γτ0 = 0, llavors, a S∗,∗, el producte [γ ⊗ 1]⊗ [1⊗ b1] = 0, d’ones veu que la classe [γ ⊗ 1] = 0, o, equivalentment, que γ = 0.

6.1.2 Sobre els grups del sistema

En aquest apartat volem donar una primera caracteritzacio dels grups que formen un sistema detipus p-adic. Com veurem, per tot P ∈ C(L), o be P es maximal, o be H2(P ) = ρP (L2)⊕ < τP >.Tancarem l’apartat estudiant propietats de la classe τP similars a les de τ0.

Per fer-ho, argumentarem per induccio: estudiarem primer que succeeix per un grup P1 ∈ C(L)definit per una extensio central Z/p → P1 → P0, i despres estudiarem un grup qualsevol P ∈ C(L).

Comenem per estudiar que succeeix dins d’una extensio central del tipus

K1 = Z/p −→ P1π1−→ P0 (6.1)


classificada per ω1 ∈ H2(P0), tal que P1 ∈ C(L). Sigui, per tant,

ρ1 : Lρ0−→ H∗(P0)

π∗1−→ H∗(P1) (6.2)

la corresponent 2-equivalencia de H∗(P1) dins del sistema.

Per les propietats de P0 i del sistema, sabem que la classe ω1 que determina l’extensio anterior esde la forma ω1 = τ0 + µ0, per certa µ0 ∈ ρ0(L2).

Estudiem la S.E.S. de (6.1). Si H∗(K1) ∼= Λ(a)⊗ Fp[b], llavors

E∗,∗2

∼= H∗(P0)⊗H∗(K1),

on la diferencial d2 esta determinada per d2(a) = ω1 = τ0 + µ0, i d2(b) = 0.

En consequencia, la pagina E3 tindra la forma seguent:

E∗,∗3

∼= (H∗(P0)/(ω1)⊕ [Ann(ω1)⊗ a])⊗ Fp[b], (6.3)

on (ω1) es l’ideal de H∗(P0) generat per ω1, [Ann(ω1)⊗ a] = {[γ ⊗ a] ∈ E∗,13 |γω1 = 0}, i la diferencial

d3 esta determinada per d3(b) = β(ω1) (teorema 3.3.10).

A mes, ω1 = τ0 + µ0 per certa µ0 ∈ ρ0(L2), i Ann(ω1) = Ann(τ0 + µ0) = Ann(τ0) ∩ Ann(µ0). Pellema 6.1.4, Ann(τ0) no conte elements d’ordre 1, i per tant Ann(ω1) tambe satisfa aquesta propietat.En particular, E1,1

∞ = 0.

D’aquı es dedueixen els seguents lemes

Lema 6.1.5.

La 2-equivalencia ρ1 satisfa

ρ1(L2) = π∗1(ρ0(L2)) = π∗1(H2(P0)).

Demostracio. Observem que, pel fet que ρi es monomorfisme en dimensio 2, tenim

dimFpρ1(L2) = dimFpρ0(L2) = (dimFpH2(P0))− 1.

Per tant, per una questio de dimensions d’espais vectorials, tenim l’enunciat.

Lema 6.1.6.

O be el grup P1 es maximal, o be existeix H2(P1) = ρ1(L2)⊕ < τ1 >, de manera que

resP1K1

(τ1) 6= 0,

on K1 = Ker(P1 ³ P0).

Demostracio. Considerem l’extensio (6.1), i l’expressio per la pagina E3 de la corresponent S.E.S.,(6.3). En grau total 2 tenim:

E0,23

∼=< 1⊗ b >, E1,13 = 0 E2,0

3∼= H2(P0)/ < ω1 > .


A mes, observem que, aplicant el morfisme eix (3.1), a la pagina E∞ tindrem

π∗1(H2(P0)) ∼= E2,0∞ = E2,0

3∼= H2(P0)/ < ω1 >,

ja que la posicio E2,03 no es veu afectada per cap mes diferencial.

Recordem ara que, pel teorema 3.3.10, la diferencial d3 esta totalment determinada per d3(1⊗b) =β(ω1). Aixı, pel lema anterior, si d3(1⊗ b) 6≡ 0 a la pagina E3, llavors P1 es maximal.

Suposem, en canvi, que d3(1⊗ b) ≡ 0 a la pagina E3. Aixı, la diferencial d3 es trivial, i s’aplica elcriteri 3.3.14, i

E∗,∗∞ ∼= (H∗(P0)/(ω1)⊕ [Ann(ω1)⊗ a])⊗ Fp[b].

En particular, E0,2∞ =< 1⊗ b > 6= 0, i per tant existeix τ1 ∈ H2(P1) representant a 1⊗ b ∈ E0,2

∞ tal que,pel morfisme eix (3.1)

resP1K1

(τ1) = β(a) 6= 0.

Fent servir el lema anterior, es inmediat que τ1 6∈ ρ1(L2).

Suposem, per tant, que el grup P1 definit per l’extensio (6.1) no es maximal. Volem veure ara unanaleg del lema 6.1.4 sobre l’anul·lador de la classe τ1 ∈ H2(P1).

Lema 6.1.7.

L’anul·lador AnnT (τ1) no conte elements de grau 1.

Aquesta demostracio es practicament identica a la demostracio de 6.1.4.

Demostracio. Considerem la successio espectral de l’extensio (6.1), igual que a la demostracio dellema anterior. Ja hem vist que la classe τ1 representa a la classe 1 ⊗ b ∈ E0,2

∞ , i es facil veure queaquesta classe no te anul·ladors de grau 1 a la pagina E∞.

Observem, a mes, que, pel lema 6.1.4, E1,1∞ = 0. Pels mateixos arguments que hem fet servir al

lema 6.1.4, es dedueix que la classe τ1 ∈ H2(P1) no te anul·ladors d’ordre 1.

Sigui ara P ∈ C(L) un grup qualsevol. Recordem que, per les propietats del sistema, existeix unaprojeccio P ³ P0 per tot P ∈ C(L). La seguent proposicio generalitza els lemes 6.1.7 i 6.1.6.

Proposicio 6.1.8.

Donats P ∈ C(L), amb 2-equivalencia ρP , i P ³ P0 una projeccio, el subgrup K = Ker(P ³ P0) escıclic d’ordre |P |/|P0|.

A mes, o be P es maximal, o be satisfa les seguents propietats:

i) H2(P ) = ρP (L2)⊕ < τP >,

ii) l’anul·lador Ann(τP ) no conte elements de grau 1, i


iii) la restriccio de τs a H∗(K) es no trivial:

resPK(τP ) 6= 0.

Demostracio. Argumentarem per induccio sobre l’ordre de P . Aixı, el cas |P | = |P0| es trivial, ja queen aquest cas P ∼= P0. Igualment, el cas |P | = p|P0| correspon als lemes 6.1.6 i 6.1.7.

Considerem ara el cas general |P | = ps|P0|, i sigui P0 l P1 l . . . l Ps = P una cadena refinadaunint el grup P amb P0. Es a dir, per cada j ≥ 1, Pj encaixa en una extensio central

Z/p −→ Pjπj−→ Pj−1.

Observem que, en particular, els grups Pj , per j < s son no maximals. Aixı, per hipotesi, Pj satisfales propietats seguents:

i) H2(Pj) ∼= ρj(L2)⊕ < τj >,

ii) l’anul·lador Ann(τj) no conte elements de grau 1, i

iii) Pj conte un subgrup normal Kj∼= Z/pj tal que res

Pj

Kj(τj) 6= 0 i tal que Kj = Ker(Pj → P0).

Considerem, en particular, l’extensio

Z/p −→ Ps = Pπs−→ Ps−1, (6.4)

classificada per ωs ∈ H2(Ps−1). De fet, per la propietat H2(Ps−1) = ρs−1(L2)⊕ < τs−1 >, el grup Ps

pertany al sistema si i nomes si ωs = τs−1 + µs−1 per alguna µs−1 ∈ ρs−1(L2). Sigui

ρs : Lρs−1−→ H∗(Ps−1)

π∗s−→ H∗(Ps). (6.5)

Per les propietats del sistema, sabem que la 2-equivalencia ρP es isomorfa a ρs en el sentit de queρP (Li) = ρs(Li) per tot i (recordem la seccio 3.4).

Volem estudiar la successio espectral de l’extensio (6.4), de manera similar a com hem fet en elcas de |P | = p|P0|. Aixı, si denotem H∗(Z/p) ∼= Λ(a)⊗ Fp[b], llavors la pagina E2 d’aquesta successioespectral satisfa

E∗,∗2

∼= H∗(Ps−1)⊗H∗(Z/p),

on la diferencial d2 esta determinada per d2(a) = ωs i d2(b) = 0 (pel teorema 3.3.10, la classe b = β(a)es transgressiva).

D’aquesta manera, la pagina E3 tindra la forma seguent

E∗,∗3

∼= (H∗(Ps−1)/(ωs−1)⊕ [Ann(ωs−1)⊗ a])⊗ Fp[b],

on, com sempre, (ωs−1) es l’ideal de H∗(Ps−1) generat per ωs−1, [Ann(ωs−1) ⊗ a] = {[γ ⊗ a] ∈E∗,1

3 |γωs−1 = 0}, i la diferencial d3 esta determinada per d3(b) = β(ωs−1) (de nou pel teorema 3.3.10).

Ens interessa estudiar que passa en grau total 2 a la pagina E∞.

Notem que E2,0∞ = E2,0

3 . D’altra banda, fent servir el morfisme eix (3.1), tenim π∗s (H2(Ps−1)) =E0,2∞ . Per una questio de dimensions d’espais vectorials, es dedueix que

ρs(L2) = πs(H2(Ps−1)).


Pel que fa a la posicio E1,1∞ , de la propietat de que Ann(τs−1) no conte elements de grau 1, es veu

que 0 = E1,13 = E1,1

∞ (recordem que Ann(γ + γ′) = Ann(γ)⋂

Ann(γ′)).

Finalment, tenim E0,22 =< b >∼= Z/p, i per tant, depenent de la diferencial d3, o be E0,2

∞ = 0, o beE0,2∞ =< b >.

Per tant, podem deduir que o be Ps es maximal, o be H2(Ps) = ρs(L2)⊕ < τs >, on la classe τs

representa a b ∈ E0,2∞ .

Pel que fa a l’anul·lador de τs, els mateixos arguments del lema 6.1.7 s’apliquen en aquest cas (jaque la posicio E1,1

∞ es trivial).

Finalment, sigui Ks definit com el pull-back de Ks−1 → Ps−1 ← Ps. El grup Ks encaixa en undiagrama d’extesions (centrals)

Z/p // Ps// Ps−1 (1)

Z/p // Ks//

OO

Ks−1.

OO

L’extensio (1) esta determinada per la classe ωs = τs−1 + µs−1. Per tant, fent servir les hipotesisd’induccio de que res

Ps−1Ks−1

(τs−1) 6= 0 i que Ks−1∼= Z/ps−1, es dedueix que Ks

∼= Z/ps. A mes, perconstruccio, Ks es subgrup normal de Ps.

Del diagrama anterior, a mes, es dedueix que resPs

Ks(τs) 6= 0, ja que indueix un diagrama com-

mutatiu

b_

²²

τsÂoo_

²²

H2(Z/p)

²²

H2(Ps)oo

²²b ωÂoo

H2(Z/p) H2(Ks),oo

on ω = resPs

Ks(τs).

Ens falta veure que Ks = Ker(Ps ³ P0). Observem que la projeccio Ps ³ P0 factoritza a travesde la projeccio Ps−1 ³ P0, d’on es dedueix que efectivament Ks = Ker(Ps ³ P0).

6.1.3 Sobre els profinits del sistema

En aquest apartat veurem com, amb les propietats que hem vist sobre els grups del sistema tenimsuficient per demostrar que si el sistema es de tipus p-adic, llavors el sistema C(L) es de tipus finit.

SiguiP0 l P1 l . . .l Ps l . . . (6.6)


una cadena refinada infinita dins del sistema. Aixı, per tot s, Ps encaixa en una extensio central

Z/p −→ Ps+1πs+1−→ Ps

com (6.4). En particular, observem que els grups Ps+1 son no maximals, i per tant gaudeixen de lespropietats detallades al lema 6.1.8.

En el cas particular s = 1 podem construir el diagrama commutatiu seguent

Z/p

²²

Z/p

²²K2

//

²²

P2ϕ2 //

π2

²²

P0

K1// P1 π1

// P0,

on ϕ2 = π1 ◦ π2. De fet, inductivament, podem construir diagrames commutatius

Z/p

²²

Z/p

²²Ks

//

²²

Psϕs //

πs

²²

P0 (2)

Ks−1// Ps−1 ϕs−1

// P0, (1)

(6.7)

on ϕs = π1 ◦ . . . ◦ πs = ϕs−1 ◦ πs.

Recordem que Ks∼= Z/ps (lema 6.1.8). D’aquesta manera, podem veure cada grup Ps com una

extensio (no necessariament central)

Ks∼= Z/ps −→ Ps

ϕs−→ P0.

Finalment, sigui P = lim←−Ps el grup profinit definit per la cadena (6.6). Observem que les torres{Ks}, {Ps} i {P0} (la torre constant) satisfan la condicio de Mittag-Leffler (3.5.10), i per tant, en ellımit, tenim una successio exacta curta

0 → K −→ Pϕ−→ P0,

on K = lim←−1 Ks

∼= Z∧p .

Lema 6.1.9.

La cohomologia (modul p) dels p-adics es

H∗(Z∧p ) ∼= Λ(a),

on |a| = 1.

Demostracio. Els p-adics es poden veure com el lımit invers Z∧p = lim←−Z/ps. Denotem

H∗(Z/ps) ∼= Λ(as)⊗ Fp[bs],


i considerem l’extensio central Z/p −→ Z/ps πs−→ Z/ps−1. Estudiant la corresponent S.E.S., es facilveure que π∗s (as−1) = as i π∗s (bs−1) = 0 per tot s, d’on es dedueix l’enunciat.

Teorema 6.1.10.

Si el sistema C(L) es de tipus p-adic, llavors es de tipus finit.

Demostracio. Considerem l’extensio (central) K1 = Z/p → P1 → P0. Es clar que tenim un diagramad’extensions

K //

²²

Pϕ //

φ1

²²

P0

K1// P1 π1

// P0,

(6.8)

on recordem que K1 = Z/p.

Denotem H∗(K) ∼= Λ(a) com al lema anterior, i H∗(K1) ∼= Λ(a)⊗ Fp[b]. Si apliquem la successioexacta de cinc termes (3.3) a les files del diagrama (6.8) obtenim un diagrama commutatiu:

0 // H1(P0) // H1(P1) //

²²

H1(K1)d2 //

²²

H2(P0) // H2(P1)

²²0 // H1(P0) // H1(P ) // H1(K)P−1

d′2

// H2(P0) // H2(P ),

on d2 i d′2 son les respectives diferencials a les S.E.S. de les files de (6.8). D’aquest diagrama es dedueixque H1(K)P0 = H1(K), es a dir, que l’accio de P0 sobre H∗(K) es trivial.

Considerem, en particular, la successio espectral de l’extensio K → P → P0. Fent servir quel’accio de P0 sobre H∗(K) es trivial, la pagina E2 te la forma seguent

E∗,∗2

∼= H∗(P0)⊗H∗(K).

Observem que, del diagrama anterior es dedueix que la diferencial d′2 d’aquesta successio espectralesta determinada per la diferencial d2 de la successio espectral de l’extensio K1 → P1 → P0, i aquestadiferencial esta determinada per la classe de l’extensio, ω1 ∈ H2(P0). Per tant,

d′2(a) = ω1.

Observem, a mes, que aquesta S.E.S. nomes pot tenir una diferencial no trivial. Per tant,

E∗,∗∞ = E∗,∗

3∼= H∗(P−1)/(ω1)⊕ [Ann(ω1)⊗ a],

on (ω1) es l’ideal de H∗(P0) generat per ω1 i [Ann(ω1) ⊗ a] = {[γ ⊗ a] ∈ E3|γω1 = 0}. En particular,fent servir que Ann(omega1) no conte elements de grau 1 (lema 6.1.7), es veu que E1,1

∞ = 0, i

H2(P ) ∼= ϕ∗(H2(P0)) ∼= H2(P0)/ < ω1 > .

En particular, si denotem En∞ =

⊕i+j=n Ei,j

∞ , llavors dimFpHn(P ) = dimFpEn∞ es finita per tot

n, i per tant, el sistema es de tipus finit.


El seguent corol·lari es dedueix de la demostracio del teorema anterior.

Corol·lari 6.1.11.

H∗(P ) es finitament generada, i per tant, es un anell noetheria.

Observem que tant el teorema 6.1.10 com el corol·lari anterior es poden deduir, practicament demanera inmediata, del teorema 3.5.9 aplicat a l’extensio K → P → P0, ja que H∗(K) ∼= Λ(a) es finita.

Tot i que, per definicio el sistema C(L) no conte grups profinits (recordem la definicio (3.10)), acontinuacio veurem que els profinits definits dins del sistema gaudeixen de propietats similars a lesdels grups del sistema.

Corol·lari 6.1.12.

Per cada profinit P = lim←−Ps definit a C(L) (i.e., Ps ∈ C(L) per tot s), existeix una 2-equivalencia

ρP : L → H∗(P )

tal que ρP (Li) ∼= Hi(P ) per i = 1, 2, i tal que ρs ◦ φ∗s = ρP per tot s, on φs : P → Ps es la projeccio natural.

Demostracio. Sigui P un profinit dins de C(L), i considerem la composicio ρP = ρ0 ◦ φ∗0 : L →H∗(P0) → H∗(P ). Es facil veure que ρP es un isomorfisme en dimensio 1.

Per hipotesi, si C(L) es de tipus p-adic, llavors H2(P0) = ρ0(L2)⊕ < τ0 >. A mes, de la de-mostracio anterior, sabem que H2(P ) ∼= H2(P0)/(ω1), on ω1 = τ0 + µ0 per cert µ0 ∈ ρ0(L2) (recordemque la classe ω1 ha de tenir aquesta forma ja que el grup P1 pertany al sistema).

Per tant, per una questio de dimensions d’espais vectorials, ρP es un isomorfisme en dimensio 2,i, en particular, una 2-equivalencia.

Finalment, es facil veure que ρP = ρs ◦ φ∗s : observem que, per les propietats del sistema C(L),tenim les igualtats seguents:

φ∗s = φ∗s+1 ◦ π∗s+1, ρs+1 = π∗s+1 ◦ ρs

per tot s ≥ 0, on π∗s+1 es el morfisme induit en cohomologia per la projeccio πs+1 : Ps+1 → Ps. Perinduccio

ρP = φ∗0 ◦ ρ0 = (φ∗1 ◦ π∗1) ◦ ρ0 = φ∗1 ◦ ρ1 = . . . = φ∗s ◦ ρs

per tot s.

Aixı, tot i que estrictament parlant el sistema C(L) no conte cap profinit, direm que P ∈ C(L),P = lim←−Ps, si Ps ∈ C(L) per tot s.


6.1.4 Cohomologia dins del sistema

En aquest apartat volem estudiar amb mes deteniment com evoluciona la cohomologia dins delsistema. De fet, centrarem aquest estudi en els grups no maximals del sistema. Com veurem, enaquest cas tindrem isomorfismes de Fp-algebres

H∗(P ) ∼= H∗(P0)

per tot P ∈ C(L) no maximal, tal com succeeix als sistemes cıclic i dihedric. Aquests isomorfismes,com veurem, no venen donats per la projeccio P ³ P0 del diagrama (6.7), i ens cal construir-los demanera abstracta.

En primer lloc, compararem la dimensio de Hi(P ) amb la dimensio de Hi(P0) per tot i ≥ 0 itot P ∈ C(L) no maximal, d’on deduirem igualtats entre aquestes dimensions. Gracies a aquestesigualtats veurem que la pagina E∞ de certes successions espectrals (de Serre) nomes ens permetconstruir una estructura de Fp-algebra per H∗ (en aquest punt farem servir els arguments de [Ca1]).Un cop construits aquests isomorfismes, dedicarem la resta de l’apartat a estudiar l’aplicacio induidaen cohomologia per la projeccio Ps → P0 de (6.7), i a donar una expressio per H∗(P ), on P es unprofinit dins del sistema.

Sigui P ∈ C(L) un grup no maximal del sistema, i sigui P0 l P1 l . . . l Ps = P una cadenarefinada unint P amb P0. Considerem tambe els diagrames

Z/p

²²

Z/p

²²Kj //

²²

Pjϕj //

πj

²²

P0 (2)

Kj−1 // Pj−1 ϕj−1// P0, (1)

on ϕj = π1 ◦ . . . ◦ πj = ϕj−1 ◦ πj com a (6.7). D’aquests diagrames podem deduir el seguent lema:

Lema 6.1.13.

Si Ps no es maximal, llavors per tot i ≥ 0

dimFpHi(Ps) = dimFpHi(P1).

Demostracio. Recordem, de la proposicio 6.1.8, que al diagrama anterior tenim Kj∼= Z/pj . Per

diferenciar les corresponents cohomologies, denotarem H∗(Kj) ∼= Λ(aj)⊗Fp[bj ], amb βj(aj) = bj , onβj es el morfisme Bockstein d’ordre j.

Comencem considerant el cas s = 2. En aquest cas, tenim el diagrama seguent:

K2//

²²

P2//

²²

P0 (2)

K1// P1

// P0, (1)


on recordem que l’extensio (1) es central (ja que estem considerant que la cadena es refinada). Siapliquem la successio exacta de 5 termes (3.3) a les files del diagrama anterior, obtenim un nou dia-grama commutatiu

0 // H1(P0) // H1(P1) //

²²

H1(K1)d2 //

²²

H2(P0) // H2(P1)

²²0 // H1(P0) // H1(P2) // H1(K2)P0

d′2

// H2(P0) // H2(P2),

on les aplicacions d2 i d′2 son les diferencials de les successions espectrals de cada fila.

Del fet que P0, P1 i P2 ∈ C(L), tenim isomorfismes H1(P0) ∼= H1(P1) ∼= H1(P2), de manera que,al diagrama anterior, les aplicacios d2 i d′2 son injectives.

Aixı, del diagrama anterior es dedueix que

d2(a1) = ω1 = d′2(a2),

on ω1 ∈ H2(P0) es la classe que determina l’extensio (1). En particular, aixo implica que H1(K2)P0 =H1(K2). Ara, fent servir que H2(K2) =< β2(a2) >, es dedueix que H2(K2)P0 = H2(K2) (l’acciocommuta amb el Bockstein). Es a dir, l’accio de P0 es trivial sobre els generadors de H∗(K2), i per tant

H∗(K2)P0 = H∗(K2).

Ara nomes cal argumentar per induccio per veure que a la successio espectral de Serre de l’ex-tensio Kj → Pj → Pj−1 l’accio de P0 sobre H∗(Kj) es trivial i la diferencial d2 satisfa d2(aj) = ω1.

Sigui, per tant, un diagrama

Kj //

²²

Pjϕj //

πj

²²

P0 (2)

Kj−1 // Pj−1 ϕj−1// P0, (1)

i considerem les corresponents successions espectrals. Les pagines E2 de les S.E.S. de (1) i (2) satisfan,respectivament,

E∗,∗2

∼= H∗(P0)⊗H∗(Kj),E′∗,∗2

∼= H∗(P0)⊗H∗(Kj+1),

on recordem que H∗(Kj) ∼= Λ(aj)⊗ Fp[bj ] (respectivament per Kj+1).

Ja hem determinat com funcionen les diferencials d2 i d2 sobre els elements aj i aj+1 respectiva-ment. Ens cal determinar el comportament de les diferencials sobre bj i bj+1.

Recordem que, per hipotesi, Pj es no maximal per tot j ≤ s. Per la proposicio 6.1.8, aixo voldir, en particular, que la classe bj ∈ E0,2

2 sobreviu a E0,2∞ per tot j. Per tant, totes les diferencials son

trivials sobre aquest element.

En particular, fent servir que d2(aj) = ω1 per tot j, obtenim que les pagines E3 i E′3 son isomorfes:

E∗,∗3

∼= (H∗(P0)/(ω1)⊗ [Ann(ω1)⊗ aj ])⊗ Fp[bj ]

∼= (H∗(P0)/(ω1)⊗ [Ann(ω1)⊗ aj+1])⊗ Fp[bj+1] ∼= E′∗,∗3 .


A mes, el criteri 3.3.14 s’aplica a totes dues S.E.S., ja que les classes bj i bj+1 han de sobreviure. Pertant, totes dues successions espectrals col·lapsen a la pagina E3, i per tant les corresponents paginesE∞ son isomorfes. En particular, tenim igualtats

dimFpHi(Pj) = dimFp

Hi(Fj+1)

per tot i ≥ 0 i tot j ≥ 1.

Aixı, si tenim una extensio centralZ/p → P ′ → P , amb |P | > |P0| i tal que P , P ′ son no maximals,llavors tenim igualtats dimFpHi(P ) = dimFpHi(P ′) per tot i.

El lema anterior nomes contempla el cas d’una extgensio central Z/p → P ′ → P amb |P | ≥ p|P0|,es a dir, no contempla el cas Z/p → P1 → P0. Em deixat aquest cas a part ja que tot i que, com veurema continuacio, hi ha un analeg del lema 6.1.13, la situacio es lleugerament diferent.

Considerem l’extensioQ2 −→ P0

π−→ W1.

Del lema 6.1.3, sabem que la classe τ0 ∈ H2(P0) satisfa resP0Q2

(τ0) = β(α) per cert α ∈ H1(Q2) (β es elmorfisme Bockstein), i per tant podem construir el seguent diagrama commutatiu

< α >∗

²²

< α >∗

²²Q2

//

²²

P0//

²²

W1

Q′2 // P ′ π// W1, (∗)

on < α >∗∼= Z/p es el dual de < α >≤ H1(Q2) ∼= Q∗2, Q2∼=< α >∗ ⊕Q′

2, i l’extensio (∗) estadeterminada per la inclusio Q

′∗2 ⊆ Q∗2 ⊆ H2(W1). Es clar que resP0

<α>∗(τ0) 6= 0. Observem quel’extensio < α >∗→ P0 → P ′ es central.

Sigui Z/p → P1 → P0 una extensio central. Recordem que, si P1 ∈ C(L), llavors la classeω1 ∈ H2(P0) que determina aquesta extensio ha de ser de la forma ω1 = τ0+µ0 per algun µ0 ∈ ρ0(L2).

Ara, podem considerar el diagrama commutatiu (similar als diagrames (6.7) que consideravemabans)

Z/p

²²

Z/p

²²H //

²²

P1//

²²

P ′ (2)

Z/p // P0 π// P ′, (1)

(6.9)

on H es el pull-back de < α >∗∼= Z/p → P0 ← P1. Fent servir que resP0<α>∗(τ0) = β(α) i que

resP0<α>∗(µ0) = 0 (perque µ0 ∈ π∗(H2(W1))), es veu facilment que H ∼= Z/p2.


Lema 6.1.14.

Si P1 no es maximal, aleshores, per tot i, tenim igualtats

dimFpHi(P1) = dimFp

Hi(P0).

Demostracio. Observem que tenim un isomorfisme (abstracte) de Fp-algebres, H∗(< α >∗) ∼= H∗(H),al diagrama anterior.

Si P1 no es maximal, ja sabem que existeix τ1 ∈ H2(P1) tal que resP1Z/p(τ1) 6= 0 pel lema 6.1.6.

Per arguments similars als del lema 6.1.13 es veu, primer, que l’accio de P ′ es trivial sobre H∗(H),i llavors que les successions espectrals de les extensions < α >∗→ P0 → P ′ i H → P1 → P ′ tenenpagines E3 isomorfes i que, de fet, totes dues successions espectrals col·lapsen a la pagina E3, d’on esdedueix l’enunciat.

Sigui, per tant, Z/p → P ′ → P una extensio central a C(L).

Lema 6.1.15.

Sigui ω ∈ H2(P ) la classe que determina l’extensio anterior. Si P no es maximal, llavors Ann(ω) = 0.

Demostracio. L’extensio Z/p → P ′ → P es central. Per tant, si considerem la corresponent S.E.S., lapagina E2 satisfa

E∗,∗2

∼= H∗(P )⊗H∗(Z/p).

A mes, si denotem H∗(Z/p) ∼= Λ(a) ⊗ Fp[b], amb b = β(a), llavors, sabem pel teorema 3.3.10 que ladiferencial d2 satisfa d2(a) = ω, d2(b) = 0. La pagina E3 tindra, per tant, la forma

E∗,∗3

∼= (H∗(P )/(ω)⊕ [Ann(ω)⊗ a])⊗ Fp[b],

on (ω) es l’ideal de H∗(P ) generat per ω i [Ann(ω) ⊗ a] = {[γ ⊗ a] ∈ E3|γω = 0}. Observem que elsgeneradors d’aquesta pagina estan tots sobre les files E∗,0

3 o E∗,13 , o a E0,2

3 . Per tant, nomes ens caldeterminar com afecta la diferencial d3 a b ∈ E0,2

3 .

Ara be, per hipotesi, P ′ es no maximal, i, tal com hem vist a la demostracio de 6.1.8, aixo vol dirque H2(P ′) conte una classe τP ′ tal que resP ′

Z/p(τP ′) 6= 0. Es a dir, d3(b) = 0. Per tant, el criteri deconvergencia 3.3.14 s’aplica, i aquesta successio espectral col·lapsa a la pagina E3.

Sigui ara γ ∈ Ann(ω) un element de grau mınim, posem |γ| = d. Es clar que la classe [γ ⊗ a]sobreviura a la posicio Ed,1

∞ . Tambe es clar que Ei,j∞ = 0 per i < d i j ≡ 1 (mod2), ja que γ es de grau

mınim. Si estudiem amb una mica mes detenidament com es E∞ en grau total d + 1 (fent servir ladescripcio de E3 = E∞ que tenim), obtenim

Ed+1,0∞ ∼= Hd+1(P )/ < µω|µ ∈ Hd−1(P ) >,

Ed,1∞ ≥< [γ ⊗ a] >,

Ed−i,i+1∞ ∼=

{< [µ⊗ b(i+1)/2]|µ ∈ Hd−i(P ) > /Hi, si i + 1 ≡ 0 (mod2),0, si i + 1 ≡ 1 (mod2),

per i = 2, . . . , d, on el grup Hi =< [µ⊗ b(i+1)/2]|µ = µ′ω ∈ Hd−i−2(Ps−1) >.


Si ara sumem les corresponents dimensions, independentment de la paritat de d, obtenim ladesigualtat seguent

dimFp(Hd+1(Ps)) =∑

s+t=d+1

dimFp(Es,t∞ ) > dimFp(Hd+1(Ps−1)),

en contradiccio amb els lemes 6.1.13 o 6.1.14 segons correspongui. Per tant, Ann(ω) = 0, i la paginaE∞ de la S.E.S. de l’extensio Z/p → P ′ → P te la forma seguent:

E∗,∗∞ ∼= H∗(P )/(ω)⊗ Fp[b]. (6.10)

Els arguments de [Ca1] ens permeten ara establir el seguent teorema.

Teorema 6.1.16.

Sigui P ∈ C(L) un grup no maximal. Aleshores

H∗(P ) ∼= H∗(P0)

com a Fp-algebres.

Demostracio. Notem que nomes ens cal provar el resultat pel cas que P1 no es grup maximal, on P1

encaixa en una extensio central

Z/p −→ P1π1−→ P0. (6.11)

Per comparar un grup no maximal P qualsevol amb P0, nomes ens caldra llavors considerar unacadena P0 l P1 l . . .l Ps = P , i aplicar el cas de P1 per induccio.

Sabem que l’extensio (6.11) esta classificada per una classe ω1 ∈ H2(P0) de la forma ω1 = τ0 +µ0,per certa µ0 ∈ ρ0(L2). Per hipotesi, a mes, Ann(ω1) = 0.

Ja sabem que la pagina E∞ de la S.E.S. de (6.11) te la forma seguent ( per (6.10)):

E∗,∗∞ ∼= H ∗ (P0)/(ω1)⊗ Fp[b].

En particular, es veu facilment que la classe 1⊗ b ∈ E0,2∞ no te anul·lador.

En aquest punt volem aplicar els arguments de [Ca1]. Siguin R = H∗(P0), T = H∗(P1) i S = E∞a la S.E.S. de (6.11).

Recordem del teorema 3.3.4 que T admet una filtracio decreixent F ∗(T ) que satisfa les seguentspropietats:

i) F 0(T ) = T ,

ii) F j(T i) = 0 si j > i,

iii) Si,j ∼= F i(T i+j)/F i+1(T i+j) per tot i, j.


En particular, notem que Si,0 ∼= F i(T i) i S0,j ∼= T j/F 1(T j) per tot i, j.

Seguint els passos de [Ca1], volem veure quantes estructures d’algebra es poden formar a partirde S. Com veurem, en aquest cas tan particular, i amb la hipotesi de que P0 es grup no maximal,nomes una estructura es possible.

Sigui per tant s1, . . . , st un sistema de generadors de S com a algebra bigraduada. Podem escolliraquest sistema de generadors de manera que si ∈ S∗,0 = R/ < ω1 > ⊗1 per i = 1, . . . , t − 1, ist = 1⊗ b ∈ S0,2. Aixı, els si tindran bigrau (ji, 0) per i = 1, . . . , t− 1, i (0, 2) per i = t.

Siguin r1, . . . , rt generadors de T de manera que cada ri tingui grau igual al grau total de si, i talque, si si te bigrau (ji, ki), llavors ri + F ji+1(T ) = si.

En particular, observem que π∗1(R) ∼= R/(ω1) ∼= S∗,0 es subalgebra de T . Per tant, fent lesidentificacions oportunes, podem escollir ri = si, i = 1, . . . , t− 1 com a generadors de T .

Pel que fa al generador rt, podem escollir τ1 ∈ H2(P1) = T 2 com a tal, ja que per hipotesi,τ1 6∈ ρ1(L2) = π∗1(R2) = F 2(T 2) (per la propietat (6.1.5)).

Aixı, [Ca1] ens diu que r1, . . . , rt formen un sistema de generadors de T . Les diferents possiblesestructures d’algebra de T apareixen quan estudiem les relacions que satisfan els generadors s1, . . . , st

i intentem obtenir les relacions que satisfan r1, . . . , rt a partir de les relacions dels si.

Estudiem per tant que passa amb les relacions. Sigui tambe A = Fp < ζ1, . . . , ζt >, un algebralliure commutativa i graduada amb generadors ζi de graus |ζi| = |ri|. Donat que A es lliure, tenimmorfismes de Fp-algebres

Aθ

sshhhhhhhhhh ψ

++VVVVVVVVVV

T ζi(

sshhhhhhhhhh ¹++VVVVVVVVVV S

ri si

(recordem de 4.2.1 que podıem veure A com una algebra bigraduada fent servir els bigraus delsgeneradors si de S).

Siguin I = Ker(ψ), K = Ker(θ), i f1, . . . , fn un sistema minimal de generadors homogenis deI ≤ A vist com a algebra bigraduada, de manera que cada fi es combinacio lineal dels generadors deA, fi = fi(ζ1, . . . , ζt), i te bigrau (ai, bi).

Observem queψ(fi(ζ1, . . . , ζt)) = fi(s1, . . . , st) = 0

a Sai,bi = F ai(T ai+bi)/F ai+1(T ai+bi), es a dir, que θ enviara cada fi a fi(r1, . . . , rt) ∈ F ai+1(T ai+bi).

Recordem, pero, que Ann(st) = Ann(1⊗ b) = 0 a E∞. Per tant, els generadors fi son combinaciolineal nomes de ζ1, . . . , ζt−1, fi = fi(ζ1, . . . , ζt−1). D’aquesta manera, el bigrau de cada fi es en realitat(ai, 0), ja que els generadors ζ1, . . . , ζt−1 tenen bigraus (ji, 0).

Aixı, el morfisme θ envia cada fi(ζ1, . . . , ζt−1) a fi(r1, . . . , rt−1) ∈ F ai+1(T ai) = 0 per definiciode F , i per tant els elements fi ∈ L tambe son elements de K. En aquesta situacio, [Ca1] ens diu que,de fet, K =< f1, . . . , fn >, es a dir, que

T ∼= A/K = A/I ∼= S.

Observem, a mes, que en aquest cas no hi ha cap llibertat en l’eleccio dels generadors de K a


partir dels generadors de I . Es a dir, a partir de l’estructura de d’algebra de S = E∞ nomes espossible obtenir una estructura d’algebra per T = H ∗ (P1):

H∗(P1) ∼= H∗(P0)/(ω1)⊗ Fp[τ1]

com a Fp-algebres. En particular, Ann(τ1) = 0.

Tornem a R = H∗(P0). Obviament, Fp[ω1] ∼= Fp[τ1]. Volem veure que

R ∼= R/(ω1)⊗ Fp[ω1]

com a Fp-algebres.

Recordem que AnnR(ω1) = 0. Considerem Ψ : R → R/(ω1) la projeccio natural. Tot r ∈ R es potescriure de manera unica com:

r =

{a0r0 + a1r1ω1 + . . . + ak−1rk−1ω

k−11 + akωk

1 , si |r| = 2k,

a0r0 + a1r1ω1 + . . . + akrkωk1 , si |r| = 2k + 1,

on ai ∈ Fp, ri 6∈ (ω1) tals que |riωi1| = |r|. Observem que Ψ(r) = a0r0, independentment del grau de

r.

Sigui ϕ : R → R/(ω1)⊗ Fp[ω1] el morfisme de Fp-algebres definit per

ϕ(r) =

{a0(r0 ⊗ 1) + a1(r1 ⊗ ω1) + . . . + ak(1⊗ ωk

1 ), si |r| = 2k,

a0(r0 ⊗ 1) + a1(r1 ⊗ ω1) + . . . + ak(rk ⊗ ωk1 ), si |r| = 2k + 1.

• ϕ es injectiu: sigui r ∈ R tal que |r| = 2k, r = a0r0 + a1r1ω1 + . . . + akωk1 , i suposem que

ϕ(r) = a0(r0 ⊗ 1) + a1(r1 ⊗ ω1) + . . . + ak(1⊗ ωk1 ) = 0

Es facil veure que o be ri = 0 o be ai = 0 per i = 1, . . . , k − 1 i ak = 0, ja que 1⊗ ωi1 6= 0 per i ≥ 0. Per

tant, r = 0, i el mateix succeeix per r tal que |r| = 2k + 1. Es a dir, ϕ es injectiu.

• ϕ es exhaustiu: sigui r ⊗ ωk1 ∈ R/(ω1) ⊗ Fp[ω1], i sigui r una antiimatge de r per Ψ, r =

a0r0 + a1r1ω1 + . . . + akrkωk1 (rk = 1 si |r| = 2k). Observem que r = Ψ(r) = a0r0. Per tant,

ϕ(a0r0ωk1 ) = r ⊗ ωk

1 . Es a dir, ϕ es exhaustiu.

Per tant, tenim isomorfismes de Fp-algebres

H∗(P0) = R ∼= R/(ω1)⊗ Fp[ω1] ∼= R/(ω1)⊗ Fp[τ1] ∼= T = H∗(P1).

Abans de continuar cal fer la seguent observacio

Observacio 6.1.17.

Obviament aquests isomorfismes no venen induits pels morfismes projeccio

Piπi−→ Pi−1,

ja que aixo contradiria els resultats de [Mis], que diuen que un morfisme de grups que indueix isomorfisme encohomologia es un isomorfisme de grups.


Els seguents corol·laris es dedueixen de la demostracio del teorema anterior i l’estudi que hemfet de les successions espectrals que hi intervenen.

Corol·lari 6.1.18.

Per tot P ∈ C(L), P 6= P0 no maximal amb classe distingida τP ∈ H2(P ), les classes τP +µ son regularsper tot µ ∈ ρP (L2), es a dir,

Ann(τP + µ) = 0.

Demostracio. Sigui P ∈ C(L), P 6= P0, i sigui tambe P0lP1l . . .lPs = P una cadena refinada unintP amb P0.

A partir de la demostracio del teorema anterior es clar que la classe τP ∈ H2(P ) es regular, i pertant, tambe ho es τP + µ, ja que

Ann(τP + µ) = Ann(τP )⋂

Ann(µ) = 0.

Notem que aquest corol·lari no s’aplica a P0: el teorema 6.1.16 es dedueix de comparar H∗(P )amb H∗(P0), pero no ens diu res en el cas P = P0.

L’observacio 6.1.17 ens diu que, donada una extensio Z/p → P ′ π→ P amb P , P ′ ∈ C(L) nomaximals, el morfisme π∗ induit en cohomologia no ens dona l’isomorfisme que hem construit alteorema 6.1.16. Per tant, volem estudiar com es aquest morfisme π∗ : H∗(P ) → H∗(P ′). El seguentcorol·lari tambe es dedueix de la demostracio del teorema 6.1.16.

Corol·lari 6.1.19.

Sigui Z/p → P ′ π→ P una extensio central de grups no maximals, amb classes distingides τP i τP ′

respectivament, i classificada per ω = τP + µ ∈ H2(P ).

Aleshores, l’aplicacio induida en cohomologia per π satisfa

Ker(π∗) = (ω) Coker(π∗) ∼= Fp[τP ′ ].

Demostracio. Pel teorema 6.1.16, sabem que H∗(P ′) ∼= H∗(P )/(ω) ⊗ Fp[τP ′ ]. Ara, es facil deduirl’enunciat.

En particular, si P0lPs es una certa relacio dins del sistema unint un grup no maximal qualsevol,Ps, amb el grup inicial P0, ens interessa estudiar com es l’aplicacio induida en cohomologia per laprojeccio ψs : Ps → P0. Com veurem, aixo ens permetra donar una expressio de la cohomologia delsprofinits del sistema en funcio de H∗(P0).

La seguent proposicio detalla com son les aplicacions induides en cohomologia per les projec-cions dins del sistema:


Proposicio 6.1.20.

Siguin P ∈ C(L) un grup no maximal, P 6= P0, ψ : P → P0 la corresponent projeccio, i P0lP1l . . .lPs = P una cadena refinada a C(L). Aleshores, l’aplicacio induida en cohomologia per ψ satisfa

Ker(ψ∗) =< ω1 > Coker(ψ∗) ∼= Fp[τP ],

on ω1 ∈ H2(P0) determina l’extensio (central) Z/p → P1 → P0, i τP ∈ H2(P ) n’es la classe distingida.

Demostracio. Sigui P0 l P1 l . . . l Ps = P la cadena refinada unint P amb P0 dins de C(L). Enparticular, notem que Pj es no maximal per tot j.

Considerem primer l’extensio Z/p −→ P1π1−→ P0, classificada per ω1 = τ0 + µ0 ∈ H2(P0). Del

teorema 6.1.16 ja sabem que H∗(P1) ∼= H∗(P0)/(ω1)⊗ Fp[τ1], i del corol·lari anterior sabem que

Ker(π∗1) =< ω1 >, Coker(π∗1) ∼= Fp[τ1],

on τ1 es la classe distingida de H∗(P1).

Considerem ara l’extensio Z/p −→ P2π2−→ P1, classificada per ω2 = τ1 + µ1 ∈ H2(P1). D’una

banda, tenim un isomorfisme de Fp-algebres

H∗(P1) ∼= H∗(P0)/(ω1)⊗ Fp[τ1 + µ1],

ja que la classe ω2 = τ1 + µ1 tambe es regular a H∗(P1). Aixı, si considerem l’ideal (ω2) ≤ H∗(P1),llavors es veu que

H∗(P1)/(ω2) ∼= (H∗(P0)/(ω1)⊗ Fp[ω2])/(ω2) ∼= H∗(P0)/(ω1).

D’altra banda, aplicant el teorema 6.1.16, tenim un isomorfisme

H∗(P2) ∼= H∗(P1)/(ω2)⊗ Fp[τ2].

Per tant, si considerem l’aplicacio ψ2 = π1 ◦ π2 : P2 → P0, llavors, l’aplicacio induida en cohomologia

H∗(P0)ψ∗2−→ H∗(P0)/(ω1)⊗ Fp[τ2]

satisfa, efectivament,

Ker(ψ∗2) =< ω1 >, Coker(ψ∗2) ∼= Fp[τ2],

Argumentant per induccio, es demostra l’enunciat.

Corol·lari 6.1.21.

Sigui P ∈ C(L) un grup no maximal, P 6= P0, amb classe distingida τP , i sigui P0 l P1 l . . .l Ps = P

una cadena refinada unint P amb P0. Aleshores, tenim un isomorfisme de Fp-algebres

H∗(P ) ∼= H∗(P0)/(ω1)⊗ Fp[τP ],

on ω1 ∈ H2(P0) determina l’extensio Z/p → P1 → P0.


Ara ja podem estudiar la cohomologia dels profinits del sistema com a Fp-algebres. Suposem,per tant, que el sistema conte una cadena refinada infinita, i sigui P = lim←−Ps el corresponent profinit.

Teorema 6.1.22.

El grup profinit P te cohomologia H∗(P ) ∼= H∗(P0)/(ω1), on ω1 ∈ H2(P0) es la classe que determinal’extensio Z/p → P1 → P0.

Demostracio. Considerem la cadena refinada infinita P0 l P1 l . . .l Ps l . . . que defineix el profinitP , i recordem que H∗(P ) es defineix com

H∗(P ) ∼= lim−→H∗(Ps).

Per cada s, sigui τs ∈ H2(Ps) la corresponent classe distingida. Aixı, cada extensio Z/p →Ps+1 → Ps esta classificada per ωs+1 = τs + µs ∈ H2(Ps), per certa µs ∈ ρs(L2).

Combinant la proposicio 6.1.21 i el corol·lari 6.1.18, tenim isomorfismes

H∗(Ps) ∼= H∗(P0)/(ω1)⊗ Fp[ωs]

per tot s, de manera que, pel corol·lari 6.1.19, l’aplicacio induida en cohomologia per πs : Ps → Ps−1

satisfa

Ker(π∗s ) = (ωs).

Igualment, si denotem ψs = π1 ◦ . . . ◦ πs : Ps → P0, llavors, de la proposicio 6.1.20 es dedueix queψ∗s (x) 6= 0 per tot x ∈ H∗(P0), x 6∈ (ω1).

Per tant, es clar que, efectivament,

H∗(P ) ∼= H∗(P0)/(ω1).

Corol·lari 6.1.23.

Si P , P ′ son dos profinits diferents definits dins del mateix sistema C(L), llavors hi ha un isomorfisme deFp-algebres

H∗(P ) ∼= H∗(P ′).

Demostracio. Posem P = lim←−Ps i P ′ = lim←−P ′s. En particular, tenim extensions central

Z/p −→ P1π1−→ H∗(P0),

Z/p −→ P ′1π′1−→ H∗(P0),

classificades per ω1, ω′1 ∈ H2(P0), de manera que H∗(P ) ∼= H∗(P0)/(ω1) i H∗(P ′) ∼= H∗(P0)/(ω′1).En particular, com que P1, P ′1 son grups no maximals del sistema, sabem que ω1, ω′1 son elementsregulars de H∗(P0) (pel lema 6.1.4). D’aquı es dedueix l’isomorfisme (abstracte) de Fp-algebres.


Finalment, per tancar aquest apartat, volem parlar una mica sobre la cohomologia dels grupsmaximals del sistema. Tot i que ja hem comentat que en general no hi dedicarem gaire atencio, el teo-rema 6.1.16, combinat amb els resultats de [Ca1], ens permeten dir alguna cosa sobre la cohomologiadel grups maximals dins del sistema:

Corol·lari 6.1.24.

Hi ha un nombre finit d’estructures de Fp-algebra de manera que, per tot P ′ ∈ CC(L), un grup maximaldel sistema, H∗(P ′) te una (i nomes una) d’aquestes estructures.

Demostracio. El grup P ′ encaixa en una extensio central Z/p → P ′ → P , on P ∈ C(L) es no maximal,i pel teorema 6.1.16, sabem que H∗(P ) ∼= H∗(P0) com a Fp-algebra.

Ara, pel teorema 3.3 de [Ca1], es veu que nomes podem construir un nombre finit d’estructuresde Fp-algebra a partir de l’estructura d’algebra de H∗(P ) ∼= H∗(P0), que es independent de P .

6.1.5 Cadenes infinites dins del sistema

Recordem l’exemple sobre els sistemes cıclic i dihedric. En tots dos casos, els respectius sistemesadmeten una unica cadena refinada infinita, donant lloc a un unic profinit (llevat d’isomorfisme).Succeeix el mateix per un sistema C(L) de tipus p-adic en general? Si no, “quants” profinits diferentspodem definir dins del sistema? Els podem diferenciar?

Observem que, amb el que hem vist fins ara, no es gens clar que el sistema C(L) admeti ni tansols una cadena (refinada) infinita. De fet, no podem assegurar, en el cas general, que una tal cadenaexisteixi.

Considerem el grup inicial del sistema, P0, amb classe distingida τ0 ∈ H2(P0), i sigui

Z/p −→ P1π1−→ P0

una extensio central amb P1 ∈ C(L), es a dir, classificada per una classe ω1 = τ0 + µ0 per certaµ0 ∈ ρ0(L2). Per l’estudi que hem fet fins ara, sabem que P1 sera no maximal si i nomes si H2(P1)conte una classe τ1 tal que

resP1Z/p(τ1) 6= 0.

En termes de la S.E.S. de l’extensio Z/p → P1 → P0, aquesta propietat te una interpretacio queresulta mes util. Denotem H∗(Z/p) ∼= Λ(a)⊗ Fp[b]. La pagina E2 d’aquesta S.E.S. satisfa

E∗,∗ ∼= H∗(P0)⊗H∗(Z/p),

on la diferencial d2 esta determinada per d2(1⊗ a) = ω1 i d2(1⊗ b) = 0. Aixı, la pagina E3 te la formaseguent:

E∗,∗3

∼= (H∗(P0)/(ω1)⊕ [Ann(ω1)⊗ a])⊗ Fp[b],

on (ω1) es l’ideal de H∗(P0) generat per ω1 i [Ann(ω)⊗a] = {[γ⊗a] ∈ E3|γ ∈ Ann(ω)}. Observem queaquesta pagina esta generada per elements a les files E∗,0

3 i E∗,13 , i per 1⊗ b ∈ E0,2

3 . Aixı, la diferenciald3 esta completament determinada pel teorema 3.3.10: d3(1⊗ b) = β(ω1)⊗ 1.


Per tant, P1 sera maximal si β(ω1) 6= 0 i β(ω1) 6= γω1 per tot γ ∈ H1(P0).

En general, suposem que tenim una cadena (refinada), P0 l P1 l . . .l Ps−1, amb Pj no maximalper tot j, i volem estendre-la via una extensio central

Z/p −→ Psπs−→ Ps−1.

De nou, aquesta extensio esta classificada ωs ∈ H2(Ps−1), ωs = τs−1+µs−1, per certa µs−1 ∈ ρs−1(L2).Pels mateixos arguments que hem fet servir per P1, Ps sera maximal si i nomes si β(ωs) 6= 0 i β(ωs) 6=γωs per tot γ ∈ H1(Ps−1).

No podem afegir gran cosa, ja que no podem dir, en general, com sera β(τ0), i menys encara,β(τ0 + µ0) per µ0 ∈ ρ0(L2). Per tant, en aquest punt, el seguent pas per estudiar un sistema d’aquesttipus seria estudiar l’estructura d’algebra inestable sobre l’algebra de Steenrod de H∗(P ) per P ∈ C(L)no maximal (observem que ni tan sols disposem d’una descripcio de H∗(P ) com a Fp-algebra!). Tot iaixo, la naturalitat del Bockstein ens dona el seguent lema.

Lema 6.1.25.

Suposem que β(τ0) 6= 0. Aleshores, no existeix cap µ ∈ ρ0(L2) tal que β(τ0) = β(µ).

Demostracio. Recordem que P0 encaixa en una extensio central Z/p −→ P0π0−→ P ′0, i recordem tambe

que, a H∗(P ′0), la naturalitat de la S.E.B. implica que β(γ) 6= 0 per tot γ ∈ H1(P ′0).

A mes, sabem que H2(P0) ∼= π∗0(H2(P ′0))⊕ < τ0 >∼= H2(P ′0)/ < α > ⊕ < τ0 >, on α ∈ H2(P ′0)determina l’extensio Z/p → P0 → P ′0.

Aixı, per tot γ ∈ H1(P0), β(γ) = π∗0(β(γ)). Si π∗0(β(γ)) = 0 vol dir que β(γ) = α a H∗(P ′0), i pertant, pel lema del Bockstein, β2(γ) = τ0 a H∗(P0). Recordem, pero, que per hipotesi β(τ0) 6= 0, i pertant β(γ) 6= 0 a H∗(P0) per tot γ ∈ H1(P0).

Si ara suposem que existeix µ ∈ H2(P0) tal que β(τ0) = β(µ), llavors β(τ0 − µ) = 0, i per tantexisteix γ ∈ H1(P0) tal que β(γ) = τ0 − µ. Es a dir: τ0 = β(γ) + µ ∈ π∗0(H2(P ′0)), en contradiccio ambel fet que resP0

Z/p(τ0) 6= 0.

Una situacio molt concreta

Ja hem vist que en general no podem assegurar l’existencia de cadenes infinites dins del sistema.Hi ha, pero, una situacio molt concreta en la que podem assegurar, com a mınim, l’existencia d’unacadena infinita.

Considerem l’extensioQ2 → P0 → W1,

determinada per una inclusio i : H1(Q2) ↪→ H2(W1). Per hipotesi, existeixen τ0 ∈ H2(P0) i α ∈H1(Q2) tals que resP0

Q2(τ0) = β(α), on β es el morfisme Bockstein. Si denotem H∗(Q2) ∼= Λ(a1, . . . , am)⊗

Fp[b1, . . . , bm], llavors (via un canvi de variables si cal) podem suposar que α = a1.


La successio espectral d’aquesta extensio satisfara

E∗,∗2

∼= H∗(W1)⊗H∗(Q2),

ja que l’extensio es central. A mes, sabem que, en particular, la diferencial d2 satisfara d2(a1) = i(a1).

Suposem, doncs, que existeix γ ∈ H1(W1) tal que β(γ) = i(a1). En aquest cas, el lema delBockstein (teorema 3.3.12) s’aplica a aquesta S.E.S., i, a H∗(P0) tenim

β2(γ) = τ0,

on τ0 ∈ H2(P0) n’es la classe distingida. En consequencia, β(τ0) = 0. Aquest es, per exemple, el casdel sistema cıclic.

Aixı, si considerem l’extensio Z/p → P1 → P0 classificada per τ0 ∈ H2(P0), llavors s’aplica denou el lema del Bockstein, i

β3(γ) = τ1

a H∗(P1), on τ1 ∈ H2(P1) n’es la corresponent classe distingida. Per tant, β(τ1) = 0. Observem, pertant, que en aquest cas el teorema 6.1.16 no ens dona nomes un isomorfisme de Fp-algebres, si no unisomorfisme d’algebres inestables.

Proposicio 6.1.26.

Si existeix γ ∈ H1(P0) tal que β2(γ) = τ0, llavors, el sistema conte al menys una cadena (refinada)infinita,

P0 l P1 l . . .l Ps l . . . , (6.12)

on els isomorfismes H∗(Ps) ∼= H∗(P0) del teorema 6.1.16 son isomorfismes de Fp-algebres i d’algebres inesta-bles.

Demostracio. Nomes ens cal considerar, de manera inductiva, les extensions

Z/p −→ Ps −→ Ps−1,

classificades per τs−1 ∈ H2(Ps−1). Es clar que Ps no sera element maximal del sistema perqueβ(τs−1) = 0. A mes, en cada pas, el lema del Bockstein (teorema 3.3.12) s’aplica, i per tant βs+2(γ) = τs

per tot s.

Fent servir que τs es element regular de H∗(Ps) i que β(τs) = 0 per tot s, es clar per tant que elsisomorfismes de 6.1.16 son isomorfismes d’algebres inestables.

Al seguent apartat veurem un exemple de la situacio que acabem de plantejar.

6.1.6 Un exemple de sistema de tipus p-adic

En aquest apartat volem estudiar un sistema de tipus p-adic concret, per p senar, on il·lustraremalgunes de les situacions que hem anat plantejant al llarg de l’estudi d’aquests sistemes.


En aquest exemple no comprovarem explıcitament que el sistema es de tipus finit, ja que per serde tipus p-adic satisfa aquesta condicio automaticament (teorema 6.1.10).

Sigui, doncs, p > 2 un nombre primer, i considerem l’algebra L seguent

L ∼= Λ(x1, x2, x3)⊗ Fp[z3],

amb l’accio de l’algebra de Steenrod donada per β(x1) = 0, β(x2) = −x1x3 i β(x3) = z3, i consideremel corresponent sistema C(L).

Siguin tambe W1 = (Z/p)3 i Q2 = (Z/p)2, amb

H∗(W1) ∼= Λ(x1, x2, x3)⊗ Fp[z1, z2, z3]H∗(Q2) ∼= Λ(a1, a2)⊗ Fp[b1, b2],

on β(xi) = zi i β(aj) = bj . Aleshores, el grup inicial d’aquest sistema, P0, esta determinat perl’extensio central

Q2 −→ P0π−→ W1 (6.13)

classificada per la inclusio Q∗2 =< z1, z2 + x1x3 >⊂ H2(P0; Q2).

Notacio i estrategia

Abans d’iniciar l’estudi d’aquest exemple, fixarem mınimament la notacio que farem servir.

Denotarem H∗(Z/p) ∼= Λ(a) ⊗ Fp[b], amb β(a) = b. Aixı, donada una extensio central Z/p →P ′ → P , classificada per ω ∈ H2(P ), la corresponent successio espectral satisfara

E∗,∗2

∼= H∗(P )⊗H∗(Z/p).

Aixo ens permet fer les identificacions seguents: H∗(P ) ∼= H∗(P ) ⊗ 1 ∼= E∗,02 i H∗(Z/p) ∼= 1 ⊗

H∗(Z/p) ∼= E0,∗2 . D’aquesta manera, les diferencials d2 i d3 estan determinades per d2(a) = ω, d2(b) =

0 i d3(b) = β(ω), tal com indica el teorema 3.3.10.

Sigui π : P ′ → P , la projeccio entre dos grups dins d’una cadena. Si una classe µ ∈ H∗(P ′) provede H∗(P ), µ = π∗(ξ) per alguna classe ξ ∈ H∗(P ), llavors identificarem les notacions, i parlarem dela classe ξ ∈ H∗(P ′) sense possibilitat de confusio.

Hem dividit aquest exemple en un seguit de passos que comentem de manera breu a continuacio.

En primer lloc, estudiarem la cohomologia del grup inicial, H∗(P0). Per fer-ho, plantejarem duesextensions centrals, Z/p → P−1 → W1 i Z/p → P0 → P−1. D’aquesta manera resulta molt mes sencilll’estudi de H∗(P0), sobretot pel que fa a la corresponent S.E.B.

Un cop tinguem tota la informacio possible sobre H∗(P0), sera inmediat comprovar que efec-tivament el sistema C(L) es de tipus p-adic. Vist aixo, ens centrarem en la construccio de diferentscadenes infinites dins del sistema C(L), en concret, en presentarem dues de diferents. La construcciode la segona cadena fa pensar que es possible l’existencia d’altres cadenes (infinites) dins d’aquestsistema.


Cohomologia del grup inicial del sistema. Pas previ

Recordem que l’extensio (6.13) estava determinada per la inclusio Q∗2 =< z1, z2 + x1x3 >⊂H2(W1).

Siguin Q′∗2 =< z1 >, Q

′′∗2 =< z2 + x1x3 >≤ Q∗

2, i siguin Q′2 ∼= Z/p i Q′′2 ∼= Z/p els corresponentsduals. Observem que Q2

∼= Q′2 ×Q′′2 , i podem construir un diagrama commutatiu

Q′′2

²²

Q′′2

²²Q2

//

²²

P0//

²²

W1

Q′2 // P−1// W1,

(6.14)

on P−1 esta determinat per l’extensio

Z/p −→ P−1π−1−→ W1

classificada per la inclusio Q′∗2 =< z1 >≤ Q∗2 ⊂ H2(W1).

Per tant, per estudiar H∗(P0) podem intentar estudiar la S.E.S. aplicada a l’extensio (6.13), o estu-diar les successions espectrals sobre les extensions Z/p → P−1 → W1 i Z/p → P0 → P−1. L’avantatgeen aquest segon procediment es que el grup P−1 es molt facil de determinar (llevat d’isomorfisme).

Efectivament, no costa gaire adonar-nos de que l’extensio Z/p → P−1 → W1 classificada perz1 ∈ H2(W1) dona lloc al grup P−1

∼= (Z/p)2 × Z/p2, amb

H∗(P−1) ∼= Λ(x1, x2, x3)⊗ Fp[τ0, z2, z3].

De fet, en aquest cas fins i tot podem descriure completament la S.E.B. de H∗(P−1): esta totalmentdeterminada per β2(x1) = τ0, β(x2) = z2 i β(x3) = z3.

Com que mes endavant ens fara falta, especificarem tambe com son els grups de cohomologiaamb coeficients enters en dimensions baixes (≤ 6) pel grup P−1 (coenguda la S.E.B. aixo no es gairecomplicat, fent servir el teorema 3.3.20):

H1(P−1;Z) = 0 H2(P−1;Z) ∼= (Z/p)2 × Z/p2 H3(P−1;Z) ∼= (Z/p)3

H4(P−1;Z) ∼= (Z/p)6 × Z/p2 H5(P−1;Z) ∼= (Z/p)8 H6(P−1;Z) ∼= (Z/p)12 × Z/p2.

Per tant, hem reduit el problema a estudiar una extensio central del tipus Z/p → P0 → P−1.

Cohomologia del grup inicial del sistema

Considerem, per tant, l’extensio central

Z/p −→ P0π0−→ P−1. (6.15)


Per la commutativitat del diagrama (6.14), la classe que determina aquesta extensio no es altra queπ∗−1(z2 + x1x3) = z2 + x1x3 ∈ H2(P−1), on recordem que P−1

∼= (Z/p)2 × Z/p2.

Comencem per estudiar la S.E.S. amb coeficients a Fp de l’extensio (6.15). La corresponent paginaE2 satisfa

E∗,∗2

∼= H∗(P−1)⊗H∗(Z/p),

amb d2(a) = z2 + x1x3 i d2(b) = 0. Observem que la classe z2 ∈ H2(P−1) satisfa Ann(z2) = 0, i pertant Ann(z2 + x1x3) = 0. D’aquı es dedueix que

d2 : Ei,2j+12 −→ Ei+2,2j

2 es injectiva ∀i, j ≥ 0d2 : Ei,2j

2 −→ Ei+2,2j−12 es trivial ∀i, j ≥ 0.

Per tant, la pagina E3 te la forma seguent

E∗,∗3

∼= H∗(P−1)/(z2 + x1x3)⊗ Fp[b],

on (z2 + x1x3) denota l’ideal de H∗(P−1) generat per la classe z2 + x1x3. A mes, tenim determinadala diferencial d3 per d3(b) = β(z2 + x1x3) = −x1z3.

Amb les dades sobre les diferencials d2 i d3 que tenim podem calcular com sera la pagina E4 finsa dimensio total 5. Observem que, per i ≤ 5, no hi ha cap diferencial que pugui afectar a la posicioEi,0

4 , i per tant, fent servir el morfisme eix (3.1), tenim

Ei,04 = Ei,0

∞ ∼= π∗0(Hi(P−1)).

A continuacio il·lustrem la pagina E4 en les dimensions que ens interessen

⊗ ⊗

⊗ u

''OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

⊗ ⊗ ⊗ ⊗

⊗ t x2t, x3t τ0t, z3t, x2x3t

⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Fp E1,04 E2,0

4 E3,04 E4,0

4 E5,04 E6,0

4,

on el sımbol “⊗” a la posicio (i, j) significa que Ei,j4 = 0, i on t = [x1 ⊗ b], u = [x1 ⊗ b2] (classes a la

pagina E4).

Es possible que la diferencial d4 : E1,44 → E6,0

4 sigui trivial, pero aixo no afecta en cap cas alsresultats que volem veure en aquest exemple.


Els calculs realitzats ens permeten ara detallar a continuacio els grups Hi(P0) per i ≤ 5:

H1(P0) = < x1, x2, x3 >= π∗0(H1(P−1)),H2(P0) = < τ0, z3, x1x2, x1x3, x2x3 >= π∗0(H2(P1−)),H3(P0) = < x1τ0, x2τ0, x3τ0, x2z3, x3z3, x1x2x3, t >= π∗0(H3(P−1))⊕ < t >,

H4(P0) = < τ20 , τ0z3, z

23 , x1x2τ0, x1x3τ0, x2x3τ0, x2x3z3, x2t, x3t >= π∗0(H4(P−1))⊕ < x2t, x3t >,

H5(P0) = < x1τ20 , x2τ

20 , x3τ

20 , x2τ0z3, x3τ0z3, x2z

23 , x3z

23 , x1x2x3τ0, τ0t, z3t, x2x3t > ⊕H5 =

= π∗0(H5(P−1))⊕ < τ0t, z3t, x2x3t > ⊕H5,

on la classe t representa a la classe [x1 ⊗ b] ∈ E1,2∞ , i el subgrup H5 ≤ H5(P0) depen de la diferencial

d4 : E1,44 → E6,0

4 .

Malauradament, de l’estructura multiplicativa de H∗(P0) nomes coneixem la part referent aπ∗0(H∗(P−1)) ≤ H∗(P0).

Observem que, en particular, H2(P0) = ρ0(L2)⊕ < τ0 >, i que la classe τ0 satisfa les condicionsa la definicio de sistema de tipus p-adic. Per tant, el sistema C(L) es de tipus p-adic. En particular, esde tipus finit.

Bocksteins a la cohomologia del grup inicial

Com veurem mes endavant, del coneixement de part de la S.E.B. de H∗(P0) depen la construcciode cadenes infinites dins del sistema, i aquest es el veritable interes d’aquest exemple.

Per estudiar l’accio dels morfismes Bockstein sobre H∗(P0) farem servir, d’una banda, que conei-xem la S.E.B. de H∗(P−1) i la naturalitat d’aquesta successio espectral, i d’altra banda, la successioespectral de Serre amb coeficients sobre Z. Tot i que no podrem completar la S.E.B. de H∗(P0) fins adimensions gaire altes, els calculs en aquest subapartat seran suficients pels nostres interessos.

Comencem per aplicar la naturalitat de la S.E.B. i el morfisme π∗0 . Fins a dimensio 4, podemrepresentar part de la successio espectral de Bockstein amb el seguent diagrama

H∗(P0) '&%$Ã!"#1 '&%$Ã!"#2 '&%$Ã!"#3 '&%$Ã!"#4 . . .

x1Â

β2 // τ0 x1τ0Â

β2 // τ20

x2

βJJJJJ

%%JJJJJ

z3 x2τ0¨

βGGG

GGGGG

##GGGGGG

GG

τ0z3

x3) βiiiii

44iiiiix1x2 x3τ0

' βggggg

33ggggg

z23

x1x3 x2z3 x1x2τ0

x2x3' βggggg

33gggggx3z3

/βoooooo

77ooooooo

x1x3τ0

x1x2x3 x2x3τ0

t x2x3z3

x2t

x3t

A mes, per naturalitat, tenim

β(x1x2) = β(π∗0(x1x2)) = π∗0(β(x1x2)) = 0.


Per tant, es clar que existeix i > 1 tal que βi(x1x2) 6= 0. Farem servir la successio espectral de Serreamb coeficients enters sobre l’extensio (6.15), Z/p → P0 → P−1, per determinar aquest nombre i.

La pagina E2 d’aquesta successio espectral satisfa

E∗,∗2

∼= H∗(P−1; H∗(Z/p;Z)),

on recordem que, per p > 2,

H∗(Z/p;Z) ∼=

Z, si ∗ = 0,

0, si ∗ ≡ 0 (mod2),Z/p, si ∗ ≡ 1 (mod2).

Per tant, tenimE∗,0

2∼= H∗(P−1;Z),

E∗,2j+12 = 0, per tot j ≥ 0,

E∗,2j2

∼= H∗(P−1), per tot j ≥ 1.

En particular, es clar que les diferencials d2 son trivials, i E2 = E3. A continuacio il·lustrem la paginaE3 d’aquesta successio espectral.

⊗

p

))RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR (3× p)

))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS. . .

⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Z ⊗ (2× p)× p2 (3× p) (6× p)× p2 ,

on el sımbol “⊗” a la posicio (i, j) vol dir que que Ei,j3 = 0, i (n× p)× p2 a la posicio (i, j) vol dir que

Ei,j3∼= (Z/p)n × p2.

De la naturalitat de la S.E.B. i del morfisme eix (3.1) sabem que (Z/p)2 × Z/p2 ∼= π∗0(H2(P−1)) =H2(P0;Z), d’on es dedueix que la diferencial d3 : E0,2

3 → E3,03 es injectiva, i E3,0

4 = E3,0∞ ∼= (Z/p)2.

D’altra banda, de nou per la naturalitat de la S.E.B., tenim π∗0(H3(P−1;Z)) ∼= Z/p, corresponent aβ(x2x3) (fent servir la interpretacio dels Bocksteins que ens dona el teorema 3.3.20).

A mes, observant la S.E.B. per H∗(P0), es clar que H3(P0;Z) ha de ser de la forma Z/p × Z/pi,on i es tal que βi(x1x2) 6= 0 (de nou fent servir el teorema 3.3.20). D’aquı es dedueix, per tant, que ladiferencial d3 : E1,2

3 → E4,03 satisfa Ker(d3) = Z/p = E1,2

∞ .

Aixı, en grau total 3, tenim E3,0∞ ∼= Z/p × Z/p, E2,1

∞ = 0, E1,2∞ ∼= Z/p i E0,3

∞ = 0. Sabent, a mes,quina forma ha de tenir el grup H3(P0;Z) es facil resoldre el problema d’extensio en aquest cas, ideduir que

H3(P0;Z) ∼= Z/p× Z/p2,

i per tant que β2(x1x2) 6= 0. Notem, pero, que estudiar mes a fons aquesta successio espectral, ambaquest procediment, es forca complicat. Aixı, hem vist quin morfisme Bockstein afecta a la classex1x2 ∈ H2(P0), pero no ens es possible deduir qui es β2(x1x2).


Cadenes infinites dins del sistema

Ja tenim tota la informacio que ens caldra sobre H∗(P0), i per tant podem comencar a construircadenes infinites a C(L).

De fet, es forca facil veure que, com a mınim, podem construir una cadena infinita. Recordemque, a H∗(P0), tenim β2(x1) = τ0, i per tant el sistema C(L) satisfa les condicions de la proposicio6.1.26. Mes concretament, si considerem l’extensio

Z/p −→ P1 −→ P0

classificada per τ0 ∈ H2(P0), llavors es facil veure que la corresponent S.E.S. col·lapsa a la pagina E3,i que P1 no es maximal dins del sistema. Pel teorema 6.1.16, tenim

H∗(P1) ∼= H∗(P0)/(τ0)⊗ Fp[τ1],

on, pel lema del Bockstein (3.3.12), β3(x1) = τ1.

Reiterant aquest proces, construim una cadena infinita,

P0 l P1 l P2 l . . .l Ps l . . . , (6.16)

de manera que, si τs ∈ H2(Ps) es la classe distingida de H∗(Ps), llavors βs+2(x1) = τs, per tot s. Ensreferirem a aquesta cadena com la cadena principal del sistema.

Observem, a mes, que per tot s, l’isomorfisme H∗(Ps) ∼= H∗(P0) es un isomorfisme d’algebresinestables sobre l’algebra de Steenrod.

Ja tenim una cadena dins del sistema. Ara volem comprovar si en podem construir d’altres. Esclar que una cadena infinita haura de comencar per una extensio (central)

Z/p −→ P ′1π′1−→ P0, (6.17)

determinada per una certa classe ω1 ∈ H2(P0). Recordem, a mes, que P ′1 ∈ C(L) si i nomes si ω1 =τ0 + µ0, on µ0 ∈ ρ0(L2), i per ser C(L) un sistema de tipus p-adic ja sabem que ρ0(L2) = H2(P0)/ <

τ0 >=< z3, x1x2, x1x3, x2x3 >.

A mes, sabem que β(z3) = β(x1x2) = β(x1x3) = 0 i β(x2x3) = x2z3 a H∗(P0). Per tant, lesuniques extensions (6.17) amb P ′1 no maximal son les determinades per les classes τ0 + µ0, on µ0 ∈<

z3, x1x2, x1x3 >.

En aquest punt sorgeix una pregunta que deixem oberta: es possible que l’extensio determinadaper τ0 sigui isomorfa a alguna de les extensions determinades per les classes τ0 + z3, τ0 + x1x3 oτ0 + z3 + x1x3? Amb la informacio de H∗(P0) de que disposem resulta impossible respondre aquestapregunta.

El que sı podem assegurar es que les extensions determinades per τ0 i per τ0 + x1x2 no sonisomorfes. Efectivament, considerem l’extensio

Z/p −→ P ′1π′1−→ P0, (6.18)


classificada per τ0 + x1x2 ∈ H2(P0). Es facil veure que la corresponent successio espectral de Serrecol·lapsa a la pagina E3, perque β(τ0 + x1x2) = 0, i per tant, que P ′1 no es maximal dins del sistema.Per tant, pel teorema 6.1.16, tenim

H∗(P ′1) ∼= H∗(P0)/(τ0 + x1x2)⊗ Fp[τ ′1] ∼= H∗(P0),

pero, per naturalitat de la S.E.B., a H∗(P ′1) tenim β2(X1) = −x1x2.

Per veure si podem continuar estenent P ′1 arbitrariament, ens cal primer estudiar la imatge de τ ′1pel morfisme Bockstein.

Fent servir el poc que coneixem sobre la S.E.B. de H∗(P0) i la naturalitat d’aquesta successioespectral, podem reconstruir mınimament la S.E.B. de H∗(P ′1):

H∗(P0) '&%$Ã!"#1 '&%$Ã!"#2 '&%$Ã!"#3 '&%$Ã!"#4 . . .

x1 ©

β2

HHHH

H

##HHHH

H

τ ′1 x1τ′1 τ

′21

x2 ©

βHHH

HHH

$$HHHHH

z3 x2τ′1¥

βDDDDDDD

!!DDDDDDD

τ ′1z3

x3* βjjjjj

55jjjjj

x1x2 x3τ′1

( βhhhhh

44hhhhh

z23

x1x3 x2z3 x1x2τ′1

x2x3

) βiiiii

44iiiiix3z3

1βqqqqqq

88qqqqqqq

x1x3τ′1

x1x2x3 x2x3τ′1

t x2x3z3

x2t

x3t

A mes, tal com hem fet en el cas de H∗(P0;Z), podem estudiar la S.E.S. amb coeficients entersde l’extensio (6.18). De manera similar a la S.E.S. per H∗(P0;Z), aquesta successio espectral satisfaE2 = E3. A mes, la pagina E3, en dimensions baixes, te la forma seguent:

⊗

p

((RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR (3× p)

))RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR. . .

⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Z ⊗ (2× p)× p2 p× p2 E4,03

,

fent servir la mateixa notacio que en el cas anterior.

Observem primer que (Z/p)2 × Z/p2 ∼= π′∗1 (H2(P0;Z)) = H2(P ′1;Z), fent servir la naturalitat de

la S.E.B. Per tant, la diferencial d3 : E0,23 → E3,0

3 es injectiva. Aixı, o be E3,0∞ = E3,0

4∼= Z/p× Z/p, o be

E3,0∞ = E3,0

4∼= Z/p2.


Observem ara que H3(P ′1;Z) conte un sumand directe isomorf a Z/p, corresponent a β(x2x3).En particular, aquest sumand directe pertany a π

′∗1 (H3(P0;Z)), per naturalitat de la S.E.B. A mes,

H3(P ′1;Z) conte un altre sumand directe, isomorf a Z/pj per certa j ≥ 1, corresponent a βj(τ ′1), i noconte cap altre sumand directe.

Per tant, fent servir el morfisme eix (3.1), podem descartar l’opcio E3,0∞ = E3,0

4∼= Z/p2. A mes, a la

pagina E∞, en grau total 3, les uniques posicions que poden ser no trivials son E3,0∞ i E1,2

∞ . Recordemque H3(P ′1;Z) ha de ser de la forma Z/p× Z/pj .

Observem que si E1,2∞ = 0, llavors, pel morfisme eix, tenim Z/p × Z/p ∼= E3,0

∞ ∼= π′∗1 (H3(P0)) ∼=

Z/p, que es impossible. Per tant, no hi ha cap altra possibilitat que E1,2∞ ∼= Z/p, i H3(P ′1;Z) ∼=

Z/p × Z/p2, es a dir, β2(τ ′1) 6= 0. En particular, observem que l’isomorfisme H∗(P ′1) ∼= H∗(P0) esun isomorfisme d’algebres inestables.

Ara, podem considerar l’extensio

Z/p −→ P ′2π′2−→ P ′1,

classificada per τ ′1 ∈ H2(P ′1). Estudiant la corresponent S.E.S., i fent servir que β(τ ′1) = 0, podemveure que P ′2 no es maximal, i

H∗(P ′2) ∼= H∗(P ′1)/(τ ′1)⊗ Fp[τ ′2] ∼= H∗(P ′1).

De nou, els arguments que hem fet servir per estudiar com es β(τ ′1) s’apliquen en aquest cas, iobtenim que H3(P ′2;Z) conte un sumand directe isomorf a Z/p2 corresponent al fet que β2(τ ′2) 6= 0.

Iterant aquest procediment, podem construir una cadena infinita dins del sistema,

P0 l P ′1 l P ′2 l . . .l P ′s l . . .

Volem comprovar que aquesta nova cadena es diferent a la cadena principal (6.16).

Observem que, dins d’aquesta cadena tambe tenim isomorfismes d’algebres inestables

H∗(P ′s) ∼= H∗(P0)

per tot s. Per tant, l’accio de l’algebra de Steenrod no ens serveix per diferenciar la cadena principal,(6.16) d’aquesta nova cadena.

Recordem que, dins de la cadena principal, per cada s, si τs ∈ H2(Ps) es la corresponent classedistingida, llavors βs+2(x1) = τs. D’altra banda, dins de la nova cadena, tenim, per tot s, β2(x1) =−x1x2 a H∗(P ′s). Es clar, per tant, que Ps no pot ser isomorf a P ′s, per tot s.

Ara be, tot i que, per cada s, Ps 6∼= P ′s, podria ser que els profinits definits per cada cadena fossinisomorfs. Siguin P = lim←−Ps i P ′s = lim←−P ′s els grups profinits definits per cada cadena. Pel teorema6.1.22, sabem que

H∗(P ) ∼= H∗(P0)/(τ0), H∗(P ′) ∼= H∗(P0)/(τ0 + x1x2).

En aquest cas, podem veure que P 6∼= P ′ mitjancant les respectives S.E.B.: a H∗(P ), no existeix capr < ∞ tal que βr(x1) 6= 0, mentre que a H∗(P ′) tenim β2(x1) = −x1x2.


Tanquem aquest exemple amb dues preguntes. La primera pregunta esta relacionada amb lasegona cadena que hem construit: podem diferenciar els grups P ′s mitjancant les corresponents S.E.B.?Recordem que els isomorfismes

H∗(P ′s) ∼= H∗(P ′t)

son isomorfismes d’algebres inestables sobre l’algebra de Steenrod, i no nomes isomorfismes de Fp-algebres.

La segona pregunta fa referencia al “nombre” de cadenes que podem definir dins del sistema.Donat s ≥ 1, es possible construir una nova cadena infinita a partir del grup Ps (a la cadena principal)?

6.1.7 Sistemes de tipus p-adic amb grup inicial extraespecial

Per tancar aquesta seccio sobre els sistemes de tipus p-adic, volem estudiar un cas especiald’aquests sistemes. En concret, la condicio que afegim es que el grup inicial, P0, sigui extraespecial,es a dir, P0 encaixa en una extensio central

Q2 −→ P0 −→ W1

on Q2 = Z/p.

En aquest cas, com veurem a continuacio, no hi ha “gaires” grups P0 diferents, i els sistemesresultants estan forca controlats. Comencarem per veure com poden ser els grups inicials en aquestcas amb dues proposicions, una per p = 2 i una altra per p senar, i despres comentarem mınimamentels corresponents sistemes.

Proposicio 6.1.27.

Suposem p = 2, i sigui C(L) un sistema de tipus p-adic tal que el seu grup inicial P0 es extraespecial.Aleshores

P0∼=

{Z/4× (Z/2)n−1, o beD8 × (Z/2)n−2.

Proposicio 6.1.28.

Suposem p senar, i sigui C(L) un sistema de tipus p-adic tal que el seu grup inicial P0 es extraespecial.Aleshores

P0∼= Z/p2 × (Z/p)n−1.

Nomes farem la demostracio d’aquesta ultima proposicio, ja que la proposicio 6.1.27 es inmediataa partir del teorema 5.3 de [BenCa], aixı que omitim la demostracio.

Tal com veurem a la propera seccio, aquests son exemples de combinacio d’un sistema de tipusfinit (el cıclic o el dihedric, segons correspongui) amb un sistema elemental.

Demostracio. Considerem l’extensio Z/p → P0 → (Z/p)n = W1 que determina el grup P0, i denotemH∗(W1) ∼= Λ(x1, . . . , xn) ⊗ Fp[z1, . . . , zn]. Aquesta extensio esta classificada per una classe no nul·la,ω ∈ H2(W1).


Si denotem Λ2(x1, . . . , xn) =< {xixj}i<j >≤ H2(W1), llavors H2(W1) ∼= Λ2(x1, . . . , xn)⊕ <

z1, . . . , zn >. D’aquesta manera, la classe ω es pot expressar d’una (i nomes una) de les tres formesseguents: z ∈< z1, . . . , zn >, γ ∈ Λ2(x1, . . . , xn), o z + γ.

Es facil veure que si ω = z, llavors P0∼= Z/p2 × (Z/p)n−1. Per tant, ens cal estudiar els dos casos

restants. Del lema 6.1.29 (despres de la demostracio) sabem que si ω = γ o ω = z +γ, llavors β(ω) 6= 0i β(ω) /∈< ω >. En particular, a la S.E.S. de l’extensio Z/p → P0 → W1, es facil veure que E0,2

∞ = 0, iper tant el p-grup resultant, P0, no es de tipus p-adic.

Tot i que encara no hem tractat de manera formal la combinacio de dos sistemes coneguts (perraons de coherencia hem deixat aquest tema per la seccio seguent), es facil veure que en aquest cas tanparticular, es facil veure que el sistema satisfa les seguents propietats: conte una unica cadena refinadainfinita, P0 l P1 l . . .l Ps l . . ., on, per tot s, o be Ps

∼= Z/ps+2 × (Z/p)n−1, o be Ps∼= D8 × (Z/2)n−2

segons correspongui.

Aixı, es facil veure que per tot s, H∗(Ps) ∼= H∗(P0) com a algebres inestables, i de manera que BPs

te el tipus d’homotopia completament determinat per la seva cohomologia (en el sentit de [BrLe]).

Tancarem aquest apartat justificant, de manera cohomologica (sense cap tipus d’argument ge-ometric) l’existencia del sistema dihedric en el cas p = 2.

Lema 6.1.29.

Sigui W1 = (Z/p)n un p-grup abelia elemental amb n ≥ 2, i denotem

H∗(W1) ∼= F2[x1, . . . , xn], si p = 2,

H∗(W1) ∼= Λ(x1, . . . , xn)⊗ Fp[z1, . . . , zn], si p es senar.

Per p = 2 les uniques classes ω ∈ H2(W1) que satisfan β(ω) ∈ (ω) son les classes de la forma ω = xy,per x, y ∈ H1(W1), on (ω) denota l’ideal de H∗(W1) generat per ω.

Per p senar no existeix cap classe ω ∈ H2(W1) tal que β(ω) ∈ (ω).

Demostracio. Comencem suposant p = 2. Es facil veure que les classes de la forma ω = xy, per x,y ∈ H1(W1) satisfan β(xy) = xy(x + y) ∈ (ω).

Tenim H∗(W1) ∼= F2[x1, . . . , xn]. Aixı, podem veure {xixj}i≤j com una base de H2(W1). Sigui,doncs, ω ∈ H2(W1). Observem que si ω satisfa β(ω) ∈ (ω), i W ′

1 es qualsevol subgrup de W1, llavorsla classe resW1

W ′1(ω) ∈ H2(W ′

1) o be es zero, o be tambe satisfa la corresponent propietat.

Si ω = xixj , per i 6= j, ja sabem que β(ω) ∈ (ω). Suposem ara que ω = xixj + xkxl, de maneraque xi 6= xk, xl, i xj 6= xk, xl. Aixı, tenim

β(ω) = xixj(xi + xj) + xkxl(xk + xl),

pero sota les restriccions sobre xi, xj , xk i xl, es clar que β(ω) 6∈< ω >. Es a dir, si β(ω) ∈< ω >,llavors hem de tenir alguna de les seguents igualtats: xi = xk, xi = xl, xj = xk o xj = xl.

Suposem ara que ω = xixj + xkxl + xrxs, i sigui W ′1 = (Z/2)4 el subgrup de W1 que realitza les

classes xi, xj , xk i xl. Aleshores, ja sabem que alguna de les igualtats seguents s’ha de donar: xi = xk,xi = xl, xj = xk o xj = xl. Suposem, per simplicitat, que xi = xk.


Aixı, ω = xi(xj + xl) + xrxs. Fem el seguent canvi de variables a H∗(W1): xm = xm, per m 6= j,i xj = xj + xm. Sota aquest canvi de variable, tenim ω = xixj + xrxs, i podem aplicar la hipotesid’induccio.

En general, si ω s’escriu com a suma de m productes xixj , reduint a subgrups de W1 que detectinnomes m−1 d’aquests productes, i fent els corresponents canvis de varibles, podem reduir-nos al casque ω s’escriu com a suma de dos productes xixj , i ja estem.

Suposem ara el cas p senar. Igual que en el cas p = 2, si ω ∈ H2(W1) satisfes la condicio β(ω) ∈(ω), llavors la restriccio de ω a qualsevol subgrup de W1 hauria de ser zero o satisfer la corresponentcondicio.

Aixı, considerem el cas W1 = (Z/p)2. En aquest cas, H2(W1) =< z1, z2, x1x2 >, i es facil veureque no existeix ω tal que β(ω) ∈ (ω) (de fet, β(z1) = 0 = β(z2), β(x1x2) = z1x2 − z2x1). Per tant,per W1 = (Z/p)n, si existeix ω ∈ H2(W1) tal que β(ω) ∈ (ω), llavors, la restriccio de ω a qualsevolsubgrup W ′

1 ≤ W1, W ′1∼= (Z/p)2, dona la classe zero, i per tant, ω = 0.

6.2 Sistemes i subsistemes

Sigui C(L) un sistema qualsevol, amb L = U(W ∗1 )//U(Q∗2). El grup inicial d’aquest sistema esta

determinat per l’extensio centralQ2 −→ P0 −→ W1,

classificada per la inclusio Q∗2 ⊂ H2(W1).

Es clar, en aquesta situacio, que qualsevol subgrup Q′2 ≤ Q2 donara lloc a una algebra L′ =

U(W ∗1 )//U(Q

′∗2 ), a un sistema C(L′), i al corresponent grup inicial P ′0, determinat per

Q′2 −→ P ′0 −→ W1,

extensio central classificada per la inclusio Q′∗2 ≤ Q∗

2 ⊂ H2(W1).

Quina relacio hi ha en aquest cas entre el sistema C(L) i el sistema C(L′)?

Aquesta situacio es similar a la seguent: siguin L′ = U(W′∗1 )//U(Q

′∗2 ) i L′′ = U(W

′′∗1 )//U(Q

′′∗2 )

dues algebres, amb els corresponents sistemes C(L) i C(L′). Llavors, podem considerar L = L′ ⊗ L′′,i el sistema C(L). De nou, ens plantegem quina es la relacio entre els sistemes C(L), C(L′) i C(L′′).

La intencio d’aquesta seccio es estudiar aquestes relacions. Aixo ens portara a la definicio desubsistemes, i ens permetra donar alguns criteris per determinar si un sistema no es de tipus finit.

Comencarem presentant el primer criteri per descartar sistemes que no siguin de tipus finit. Estracta de veure que, per tot profinit P definit dins de C(L), si P conte un subgrup normal K tal queH∗(K) no es de tipus finit, llavors H∗(P ) no pot ser de tipus finit.

Dedicarem el segon apartat a definir subsistemes d’un sistema. Com veurem, gairebe tot sistemaes subsistema d’algun sistema. L’avantatge d’aquesta situacio es que, en un sentit que definirem de

144 6.2. Sistemes i subsistemes

manera mes precisa, les cadenes d’un subsistema “s’eleven” a cadenes al sistema que el conte. Enaquest apartat tambe presentarem el segon criteri per descartar sistemes: buscarem subsistemes queno siguin de tipus finit.

El tercer apartat d’aquesta seccio estara dedicat a estudiar la segona situacio que hem plantejat:la combinacio de dos sistemes coneguts. En aquest sentit, veurem que la combinacio d’un sistema detipus finit amb un sistema elemental dona lloc a un nou sistema de tipus finit.

6.2.1 Un criteri per descartar sistemes

Sigui, per tant, C(L) un sistema per L una algebra fixada. Siguin tambe

P0 l P1 l . . .l Ps l . . .

una cadena infinita dins de C(L), P = lim←−Ps el corresponent profinit, amb K = Ker(P ³ P0). Siguintambe Ks = Ker(Ps → P0), per tot s. Observem que, via els diagrames commutatius

Z/p

²²

Z/p

²²Ks

//

²²

Ps//

²²

P0

Ks−1// Ps−1

// P0,

podem veure K com un grup profinit: K = lim←−Ks. Vist d’aquesta manera, tenim una extensio

K −→ P −→ P0,

ja que les torres {Ks}, {Ps} i {P0} satisfan la condicio de Mittag-Leffler.

Suposem que H∗(K) no es de tipus finit. Sembla molt poc natural que, en aquest cas, H∗(P )sigui de tipus finit. En aquest apartat demostrarem la seguent proposicio

Proposicio 6.2.1.

Suposem que P conte un subgrup normal tancat d’ındex finit, K, tal que H∗(K) no es de tipus finit.Aleshores, H∗(P ) tampoc es de tipus finit.

La idea d’aquest criteri es la seguent: si tenim un sistema pel qual no sabem determinar si es detipus finit o no, llavors potser resulta mes facil trobar un subsgrup K tal que la seva cohomologia nosigui de tipus finit enlloc d’estudiar tots els possibles profinits del sistema.

Per demostrar la proposicio anterior ens caldra un lema de [Re] (lema 7.7). Abans, pero, hemd’introduir la notacio que es fa servir a l’enunciat d’aquest lema.

Sigui X = BP , per P = lim←−Ps un grup profinit, si sigui M un P -modul continu. En aquest cas,la cohomologia (contınua) de X amb coeficients a M es defineix per

H∗(X;M) := lim−→n

H∗(Xn;MUn),


on Un = Ker(π1(X) → π1(Xn)).

Suposem que, a mes, tenim l, un conjunt de nombres primers donat. Diem que M es un sistemade l-coeficients si M es un l-grup abelia finit (l’ordre M es un producte de potencies dels primers del) i l’accio de π1(X), π1(X) → Aut(M), factoritza a traves d’algun sub-l-grup de Aut(M).

El lema de [Re] que ens interessa s’enuncia de la seguent manera

Lema 6.2.2. Sigui X → Y → Z una fibracio d’espais connexos tal que

i) π1(Z) es un l-grup finit,

ii) Z es de tipus finit.

iii) Hi(Y ;M) es finit per tot i ≥ 0 i tot M sistema finit de l-coeficients.

Aleshores, Hi(X;Z/p) es finit per tot i ≥ 0 i tot p ∈ l, on l es un conjunt de nombres primers.

En el nostre cas, el conjunt de primers que estem considerant es l = p (nomes un primer), i, siP = lim←−Ps conte un subgrup normal tancat, K, dındex finit, llavors tenim una fibracio

BK −→ BP −→ BP ′,

on P ′ = P/K es un p-grup finit. De fet, podem veure el subgrup K com un profinit: si ψs : P → Ps

son les projeccions naturals del lımit invers, llavors K = lim←−ψs(K) ([RiZa], corol·lari 1.1.8).

Ja podem demostrar la proposicio 6.2.1:

Demostracio. Suposem que el pro-p-grup P = lim←−Ps conte un subgrup normal tancat d’ındex finit,K, i considerem l’extensio

K −→ P −→ P ′,

on P ′ = P/K es un p-grup finit d’ordre |P ′| = [P : K]. Farem servir el lema anterior sobre la fibracioBK → BP → BP ′ per veure que si H∗(P ) es de tipus finit, llavors H∗(K) tambe es de tipus finit.

Observem que les condicions i) i ii) es satisfan automaticament en el nostre cas. Ens cal veureque la condicio iii) tambe es compleix.

Sigui M un p-grup abelia finit i tambe un P -modul continu (P = π1(BP )). Considerem, per tots, ψs : P → Ps la projeccio natural, i sigui Us = Ker(P → Ps).

Es facil veure que per tot s tenim Us ≤ Us−1, ja que, si considerem la composicio seguent:

P → Ps → Ps−1,

llavors es veu clar que si x ∈ P pertany a Us, llavors tambe pertany a Us−1. Com a consequencia,tenim MUs ≥ MUs−1 . D’altra banda, M es finit, i per tant, existeix s0 tal que MUs = MUs0 per s ≥ s0.Per simplicitat, podem suposar que s0 = 0 (si no, fem que la cadena de p-grups comenci per Ps0 . Aixono afecta a P ). Denotem U = U0 i M ′ = MU0 . Descartem el cas M ′ = 0 per ser un cas trivial.

Suposem que |M | = pr com a grup (M es p-grup abelia i modul), i suposem que la condicio iii)de 6.2.2 es satisfa per tot N amb |N | ≤ pr−1 (|N | = p es el cas M = Fp, que es trivial i coincideix ambla hipotesi de que BP es de tipus finit).


Aixı, si M conte un subgrup M ′ tal que |M ′| < |M |, llavors M ′ entra dins de les hipotesis d’in-duccio: H∗(BP ; M ′) es de tipus finit. Observem que M es un p-grup finit, i per tant conte algunelement v ∈ M tal que < v >∼= Z/p.

Podem considerar la successio exacta curta de P -moduls

0 →< v >incl−→ M

proj−→ C → 1.

Aquesta successio exacta curta dona lloc a una successio exacta llarga en cohomologia:

. . . → Hi(BP ;< v >) incl∗−→ Hi(BP ;M)proj∗−→ Hi(BP ;C) → . . . ,

on, per hipotesi d’induccio sobre l’ordre de M , els moduls Hi(BP ; < v >) i Hi(BP ; C) son finits pertot i. En particular, de la successio exacta llarga anterior es dedueix una successio exacta curta,

Ker(proj∗) → Hi(BP ;M) → Im(proj∗).

Notem que Im(proj∗) es submodul de Hi(BP ;C), i per tant es finit. Pel que fa a Ker(proj∗), ob-servem que, per exactitut de la successio exacta llarga,

Ker(proj∗) ∼= Im(incl∗) = Hi(BP ;< v >)/Ker(incl∗),

i per tant, tambe es finit. Per tant, Hi(BP ;M) es finit.

Hem vist, doncs, que es satisfan les condicions de 6.2.2, i per tant, si BP es de tipus finit, llavorsBK tambe es de tipus finit, tal com volıem veure.

6.2.2 Subsistemes d’un sistema

En aquest apartat definirem el concepte de subsistema C(L′) d’un sistema C(L) donat. Comveurem, d’una manera forca elemental, obtindrem cadenes a C(L) a partir de les cadenes de C(L′).

La situacio inicial en aquest apartat es la mateixa que plantejavem a l’inici de la seccio. Sigui C(L)un sistema qualsevol, amb L = U(W ∗

1 )//U(Q∗2). El grup inicial d’aquest sistema esta determinat per

l’extensio centralQ2 −→ P0 −→ W1,

classificada per la inclusio Q∗2 ⊂ H2(W1).

Sigui tambe Q′2 ≤ Q2 un subgrup de Q2, i siguin L′ = U(W ∗

1 )//U(Q′∗2 ) i C(L′). Aquest nou

sistema te com a grup inicial el p-grup P ′0, determinat per

Q′2 −→ P ′0 −→ W1,

extensio central classificada per la inclusio Q′∗2 ≤ Q∗

2 ⊂ H2(W1).

En aquesta situacio, es facil veure que existeix un morfisme d’algebres inestables π : L′ → L quees, de fet, exhaustiu.


Definicio 6.2.3.

Un sistema C(L′) definit a partir de C(L) seguint aquest procediment direm que es un subsistema deC(L).

La justificacio d’aquesta notacio es troba a la seguent proposicio:

Proposicio 6.2.4.

Sigui C(L′) un subsistema de C(L). Aleshores, qualsevol cadena P ′0 lP ′1 l . . .lP ′s l . . . a C(L′) s’elevaa una cadena P0 lP1 l . . .lPs l . . . a C(L), en el sentit de que existeixen projeccions de grups Ps ³ P ′s pertot s de manera que el diagrama seguent es commutatiu:

P0

²²

P1oo

²²

. . .oo Psoo

²²

. . .oo

P ′0 P ′1oo . . .oo P ′soo . . .oo

De fet, per cada s ≥ 1, Ps es el pull-back de Ps−1 → P ′s−1 ← P ′s.

Demostracio. Sigui P ′0lP ′1l . . .lP ′sl . . . una cadena de C(L′). Sense perdua de generalitat podemsuposar que aquesta cadena es refinada.

Observem que, per construccio de P ′0 tenim un diagrama commutatiu d’extensions (centrals)

Q2//

²²

P0//

²²

W1

Q′2 // P ′0 // W1,

d’on es veu, en particular, que P0 es projecta sobre P ′0.

Sigui, per tant, per cada s ≥ 1, Ps el pull-back de Ps−1 → P ′s−1 ← P ′s.

Volem veure que efectivament la cadena P0 l P1 l . . . es una cadena dins de C(L), es a dir, quetots els Ps pertanyen a C(L). Aquesta comprovacio es fa per induccio. Ja sabem que P0 pertany alsistema, ja que de fet n’es l’element inicial.

Comprovem ara que P1 pertany al sistema. Per definicio, P1 ∈ C(L) si i nomes si existeix una2-equivalencia ρ1 : L → H∗(P1). Considerem doncs la 2-equivalencia ρ0 : L → H∗(P0), i el morfismeinduit en cohomologia per π1, π∗1 : H∗(P0) → H∗(P1). La composicio ens dona un morfisme ρ1 : L →H∗(P1), i volem comprovar si es realment una 2-equivalencia.

Sigui Z/p → P1 → P0 una extensio central determinada per una inclusio H1(Z/p) ∼= (Z/p)∗ ⊂H2(P0). Aleshores, per les propietats del sistema ([AgBrSa]), sabem que P1 ∈ C(L) si i nomes siH1(P1) ∼= L1 i H1(L)

⋂ρ0(L2) = 0, i aixo es equivalent a veure que ρ1 es una 2-equivalencia.

Per construccio de P1, tenim un diagrama commutatiu d’extensions (centrals)

Z/p // P1//

²²

P0

²²Z/p // P ′1 // P0.


Aplicant la successio exacta de cinc termes (3.3) a les files d’aquest diagrama, obtenim

0 // H1(P ′0)

²²

// H1(P ′1)

²²

// H1(Z/p)d2 // H2(P ′0)

²²

// H2(P ′1)

²²0 // H1(P0) // H1(P1) // H1(Z/p)

d2 // H2(P0) // H2(P1),

d’on es dedueix que L1 ∼= H1(P0) ∼= H1(P1), fent servir que H1(P ′0) ∼= H1(P ′1).

D’aquest diagrama es veu tambe que el morfisme H1(Z/p) → H2(P0) es una inclusio. Aquestmorfisme es correspon, de fet, amb la diferencial d2 : E0,1

2 → E2,02 de la S.E.S. aplicada a la fibracio

Z/p → P1 → P0.

A nivell dels H2, tenim el diagrama commutatiu seguent

L′2ρ′0

{{wwwww

wwww

π

ªª

H1(Z/p) Â Ä // H2(P ′0)

²²H1(Z/p) Â Ä // H2(P0)

L2,

ρ0

ccGGGGGGGGG

de manera que H1(Z/p)⋂

ρ′0(L′2) = 0 per hipotesi.

Suposem, per tant que existeix γ ∈ H1(Z/p)⋂

ρ0(L2), γ 6= 0, i pensem aquest element com unelement de L2 (l’aplicacio ρ0 es una inclusio en grau 2). Donat que el morfisme d’algebres inestablesπ es epimorfisme, existeix γ ∈ L

′2 tal que π(γ) = γ. D’aquesta manera, obtenim que l’element γ

pertany a la interseccio H1(Z/p)⋂

ρ′0(L′2), una contradiccio. Per tant, P1 pertany al sistema C(L).

Ara es facil, per induccio, veure que Ps ∈ C(L) per tot s.

Sigui ara C(L′) un sistema amb L′ = U(W ∗1 )//U(Q

′∗2 ). Recordem que podem veure Q

′∗2 com

a subconjunt de H2(W1) = U(W ∗1 ). Aixı, si dimFpQ

′∗2 < dimFpH2(W1), podem considerar Q∗

2 ⊂H2(W1) tal que Q

′∗2 ≤ Q∗

2.

D’aquesta manera es veu que el sistema C(L′) es subsistema de C(L) per L = U(W ∗1 )//U(Q∗

2). Esa dir, gairebe tot sistema es subsistema d’algun sistema.

En general, donats C(L′) ≤ C(L), no es possible obtenir una cadena a C(L′) per cada cadena aC(L).

Ja podem presentar el segon criteri per descartar sistemes de tipus no finit

Proposicio 6.2.5.

Si el sistema C(L) admet un subsistema C(L′) de tipus no finit, aleshores C(L) tambe es de tipus no finit.


Demostracio. Acabem de veure que si C(L′) es subsistema de C(L), llavors cada cadena de C(L′)dona lloc a una cadena de C(L).

Suposem ara que el subsistema C(L′) no es de tipus finit, i sigui P ′0lP ′1l . . . una cadena refinadadins de C(L′) tal que P ′ = lim←−P ′s satisfa que H∗(P ′) no es de tipus finit. Considerem la corresponentcadena a C(L), P0 l P1 l . . .

Per construccio de P ′0, la projeccio P0 ³ P ′0 te nucli K un p-grup abelia elemental (de fet, essubgrup de Q2). A mes, K es subgrup central de P0, ja que Q2 es central.

Aixı, elevant la cadena P ′0 l P ′1 l . . . a C(L), tenim un diagrama commutatiu

K

²²

K

²²

K

²²

. . .

P0

²²

P1oo

²²

P2oo

²²

. . .oo

P ′0 P ′1oo P ′2oo . . .oo

(6.19)

Observem que cada Ps encaixa en un diagrama commutatiu

Ki

²²

Ki

²²Z/p // Ps

//

²²

Ps−1

²²Z/p // P ′s // P ′s−1,

(6.20)

d’on es veu que K es subgrup central de Ps per tot s.

Considerem doncs el lımit invers de les extensions K → Ps → P ′s. Observem que les torres {K}(la torre constant), {Ps} i {P ′s} satisfan la condicio de Mittag-Leffler. Per tant, en el lımit, tenim unaextensio

K −→ P −→ P ′,

on P = lim←−Ps i P ′ = lim←−P ′s, i on, per hipotesi, H∗(P ′) no es de tipus finit. Observem que aquestanova extensio es central, ja que totes les extensions K → Ps → P ′s ho eren.

Si considerem la S.E.S. d’aquesta extensio, obtenim que la pagina E2 te la forma

E∗,∗2

∼= H∗(P ′)⊗H∗(K).

Sigui t el mınim nombre natural tal que Ht(P ′) te dimensio infinita (per hipotesi n’existeix un, ja queestem suposant que H∗(P ′) no es de tipus finit).

Si identifiquem H∗(P ′) ⊗ 1 amb E∗,02 , llavors, les uniques diferencials que toquen a Ht(P ′) ⊗ 1

son les diferencials dq : Et−q,q−1q → Et,0

q per q ≤ t. Observem, pero, que els grups Et−q,q−12 , q ≤ t,

tenen dimensio finita. Per tant, ∞ = dimF−p(Et,0∞ ) = dimFp(π∗(Ht(P ′))) ≤ dimFp(Ht(P )), i H∗(P )

tampoc es de tipus finit.


6.2.3 Combinant sistemes coneguts

Hem vist al principi d’aquest capıtol que el sistema C(L) corresponent a L = H∗(V ) per V =(Z/p)r, es a dir, per V un abelia elemental, es un sistema amb un unic element, inicial i maximal(proposicio 6.0.8). Sembla que es natural esperar que la combinacio d’un sistema de tipus finit conegutamb un sistema elemental tambe hauria de ser de tipus finit.

Comencem aquest apartat per estudiar la relacio entre dos sistemes qualssevol, C(L1), C(L2), i elsistema C(L) amb L = L1 ⊗ L2. Observem que en aquest cas tenim epimorfismes πi : L → Li ambseccions si : Li → L per i = 1, 2.

Siguin, per tant, C(L1) i C(L2) dos sistemes amb grups inicials P0,1 i P0,2 respectivament, amb 2-equivalencies ρ1 i ρ2 respectivament, i considerem el sistema C(L) per L = L1 ⊗ L2, amb grup inicialP0 i 2-equivalencia ρ0.

Lema 6.2.6.

El sistema C(L) te grup inicialP0∼= P0,1 × P0,2,

i la 2-equivalencia ρ0 es isomorfa a ρ1 ⊗ ρ2.

Demostracio. Per construccio ([AgBrSa]), els grups P0,1 i P0,2 es defineixen, respectivament, comextensions

Q2,i −→ P0,i −→ W1,i,

classificades per αi ∈ H2(W1,i; Q2,i), de manera que Li = U(W ∗1,i)//U(Q∗2,i), per i = 1, 2. Igualment,

P0 esta definit com una extensioQ2 −→ P0 −→ W1,

classificada per α ∈ H2(W1; Q2), de forma que L = U(W ∗1 )//U(Q∗2).

Per hipotesi, pero, tenim

U(W ∗1 )//U(Q∗2) = L = L1 ⊗ L2 = U(W ∗

1,1)//U(Q∗2,1)⊗ U(W ∗

1,2)//U(Q∗2,2).

Per simplificar la notacio, denotem

Ai = U(W ∗1,i)//U(Q∗2,i), per i = 1, 2,

B = (U(W ∗1,1)⊗ U(W ∗

1,2))//(U(Q∗2,1)⊗ U(Q∗2,2)).

No es difıcil veure, en aquesta situacio, que A1 ⊗A2∼= B, d’on es dedueix que

W1∼= W1,1 ×W1,2, Q2

∼= Q2,1 ×Q2,2,

i per tant, queP0∼= P0,1 × P0,2.

Observem, per tant, que H∗(P0) ∼= H∗(P0,1) ⊗ H∗(P0,2), i ρ0∼= ρ1 ⊗ ρ2 en el sentit de que ρ0(Li) ∼=

(ρ1 ⊗ ρ2)(Li) per tot i.


Observem que, tal com hem definit la combinacio de dos sistemes, C(Li), i = 1, 2, tenim projec-cions

πi : L = L1 ⊗ L2 −→ Li (6.21)

i inclusions

si : Li −→ L = L1 ⊗ L2. (6.22)

Ens interessa considerar el cas particular en que C(L1) es un sistema de tipus finit i C(L2) es unsistema elemental. En aquest cas, el sistema C(L1 ⊗ L2) funciona tal com cabria esperar

Teorema 6.2.7.

Siguin C(L1) un sistema de tipus finit i C(L2) un sistema elemental, amb grups inicials P0,1 i P0,2

respectivament.

Aleshores, el sistema C(L1 ⊗ L2) tambe es de tipus finit. A mes, tot profinit P ∈ C(L1 ⊗ L2) es isomorf aP ′ × P0,2, per algun profinit P ′ ∈ C(L1).

Demostracio. Recordem que el sistema C(L) = C(L1 ⊗ L2) te grup inicial P0 = P0,1 × P0,2, tal comhem vist al lema 6.2.6.

Considerem, per tant, una cadena infinita (refinada) P0 l P1 l . . .l Ps l . . . a C(L). Veurem queaquesta cadena dona lloc a una cadena P0,1lP1,1l . . .lPs,1l . . . a C(L1), de manera que, de fet, elsgrups Ps son isomorfs a Ps,1 × P0,2, d’on es deduira l’enunciat de manera inmediata.

Argumentarem per induccio sobre s. Considerem el primer pas de la cadena a C(L), l’extensiocentral Z/p → P1 → P0. Considerem tambe la inclusio P0,1 ↪→ P0, i sigui P1,1 el pull-back deP1 → P0 ← P0,1. Tenim un diagrama commutatiu d’extensions

P0,2 P0,2

Z/p // P1

OO

// P0

OO

Z/p // P1,1

OO

// P0,1.

OO

Per veure que P1,1 ∈ C(L1), apliquem la successio exacta de 5 termes, (3.3), a les dues filesinferiors del diagrama anterior. Obtenim un nou diagrama commutatiu

0 // H1(P0,1)

²²

// H1(P1,1)

²²

// H1(Z/p)d2 // H2(P0,1)

²²

// H2(P1,1)

²²0 // H1(P0) // H1(P1) // H1(Z/p)

d2 // H2(P0) // H2(P1),

on les aplicacions d2 corresponen a les diferencials a les pagines E2 de les respectives successionsespectrals. D’aquest diagrama es dedueix, d’una banda, que H1(P0,1) ∼= H1(P1), i d’altra banda, qued2 : H1(Z/p) → H2(P0,1) es una inclusio.


Ara podem plantejar el diagrama

L2

ρ0zzuuuuuuuuu

π1

H1(Z/p) Â Ä // H2(P0)

²²H1(Z/p) Â Ä // H2(P0,1)

L21,

ρ0,1

ccHHHHHHHHH

on π1 : L → L1 es la projeccio (6.21). Recordem que, per les propietats del sistema, P1,1 ∈ C(L1) sii nomes si ρ0,1(L2

1)⋂

H1(Z/p) = 0. Aixı, amb aquest nou diagrama es comprova que, efectivament,P1,1 ∈ C(L1) si i nomes si P1 ∈ C(L): efectivament, si γ ∈ ρ0,1(L2

1)⋂

H1(Z/p) = 0, llavors tenim6= 0γ ⊗ 1 ∈ ρ0(L2)

⋂H1(Z/p), es a dir, P1not ∈ C(L).

Ara, tal com es pot veure a [Brow] (teorema 6.6), el fet que l’extensio P0,1 → P0 → P0,2 ex-isteixi (respectivament l’extensio P1,1 → P1 → P0,2) implica que el grup de les extensions de P0,2

per P0,1 esta en correspondencia bijectiva amb el grup H2(P0,2; Z(P0,1)) (respectivament per ambH2(P0,2;Z(P1,1)).

En particular, per naturalitat, l’extensio P1,1 → P1 → P0,2 es escindida, ja que l’extensio P0,1 →P0 → P0,2 ho es, es a dir,

P1,1∼= P1,1 × P0,2.

Repetint inductivament aquests arguments obtenim una cadena P0,1 l P1,1 l . . . l Ps,1 l . . . aC(L1), de manera que els grups Ps satisfan

Ps∼= Ps,1 × P0,2

per tot s. Si P ′ = lim←−Ps,1, llavors tenim un isomorfisme P ∼= P ′ × P0,2, on P = lim←−Ps. Es clar que siel sistema C(L1) es de tipus finit, llavors H∗(P ′) es de tipus finit, i per tant H∗(P ′ × P0,2) tambe es detipus finit.

En particular,

Corol·lari 6.2.8.

Siguin C(L1) un sistema de tipus finit, i C(L2) tal que L2 = H∗(V ), per V un p-grup abelia elemental.Aleshores, el sistema C(L) per L = L1 ⊗ L2 tambe es de tipus finit.

Volem tancar aquest capıtol i el treball amb un comentari sobre la combinacio de dos sistemesqualssevol. Tot i que no ha estat possible, degut a la complicacio dels calculs, sembla forca probableque, en general, la combinacio de dos sistemes de tipus finit, C(L1) i C(L2) no sigui de tipus finit.

El cas que volıem estudiar es el de la combinacio de dues copies del sistema cıclic, es a dir,el sistema C(L), per L = Λ(x, y). El grup inicial d’aquest sistema es facil de determinar: es P0

∼=


Z/p2×Z/p2. Sembla que dins d’aquest sistema es podria construir una cadena infinita, P0lP1l . . .,tal que el corresponent profinit no tindria cohomologia de tipus finit.

Malauradament, hi ha un problema amb la S.E.S. en un dels passos Z/p → Ps → Ps−1 perdeterminar l’estructura multiplicativa de H∗(Ps) a partir de la multiplicacio definida a la pagina E∞de la corresponent S.E.S.

Bibliografia

[Ad] J. Adem, “The relations on Steenrod powers of cohomology classes, in Algebraic Geometryand Topology”, Princeton Univ. Press, 1957, 191-238 (373).

[AdMi] A. Adem, R. J. Milgram, “Cohomology of Finite Groups. Second edition.”, Grundlehrender Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 309.Springer-Verlag, Berlin, 2004.

[AlBe] J. L. Alperin, R. B. Bell, “Groups and Representations”, Graduate Texts in Mathematics, 162.Springer-Verlag, New York, 1995.

[AgBrKiSa] J. Aguade, C. Broto, N. Kitchloo, L. Saumell, “Cohomology of classifying spaces of cen-tral quotients of rank two Kac-Moody groups.”, J. Math. Kyoto Univ. 45 (2005), no. 3, 449–488.

[AgBrNo] J. Aguade, C. Broto, D. Notbohm, “Homotopy classification of spaces with interestingcohomology and a conjecture of Cooke. Part I.”, Topology 33 (1994), 455-492.

[AgBrSa] J. Aguade, C. Broto, L. Saumell, “The Functor T and the Cohomology of Maping Spaces”,Progress in Mathematics, Vol. 215, 1-20.

[At] M. F. Atiyah, “Characters and cohomology of finite groups”,Publications mathematiques del’I.H.E.S., tome 9 (1961), 23-64.

[BenCa] D. J. Benson, J. F. Carlson, “The cohomology of extraspecial groups”, Bull. London Math.Soc. 24 (1992), no. 3, 209–235.

[Bo] A. K. Bousfield, “On the homology spectral sequence of a cosimplicial space”, Amer. J. Math.109 (1987), no. 2, 361–394.

[BoKa] A. K. Bousfield, D. M. Kan, “Homotopy limits, completions and localizations”, Lecture Notesin Math., 304, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972.

[BrLe] C. Broto, R. Levi, “On the homotopy type of BG for certain finite 2-groups G”, Trans. Amer.Math. Soc. 349 (1997), no. 4, 1487–1502.

[BrLe2] C. Broto, R. Levi, “Loop structures on homotopy fibres of self maps of spheres”, Amer. J.Math., 122 (2000), 547-580.

[Bro] W. Browder, “Torsion in H-spaces”, Ann. of Math. (2) 74 1961 24–51.

[BroPa] W. Browder, J. Pakianathan, “Cohomology of Uniformly Powerful p-Groups”, Trans. Amer.Math. Soc. 352 (2000), no. 6, 2659–2688.

155

156 BIBLIOGRAFIA

[Brow] K. S. Brown, “Cohomology of Groups”, Graduate Texts in Mathematics, 87. Springer-Verlag,New York, 1994.

[Ca1] J. F. Carlson, “Coclass and Cohomology”, J. Pure Appl. Algebra 200 (2005), no 3, 251–266.

[Ca2] J. F. Carlson, calcul dels 2-grups d’ordre ≤ 64, disponibles a l’adreca electronicahttp://www.math.uga.edu/ jfc/

[Car1] H. Cartan, “Sur les groupes d’Eilenberg-Mac Lane. II”, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 40, (1954).704–707.

[Car2] H. Cartan, “Sur l’iteration des operations de Steenrod”, Comm. Math. Helv. 29 (1955), 40-58.

[CaEi] H. Cartan, S. Eilenberg, “Homological Algebra”, Princeton Landmarks in Mathematics.Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999.

[Cas] N. Castellana, “Functor T i teoria K”, treball de recerca per a l’obtencio del D.E.A. a la U.A.B.,1996.

[Dw] W. G. Dwyer, “Strong convergence of the Eilenberg-Moore spectral sequence”, Topology 13(1974), 255–265.

[EiSt] S. Eilenberg, N. Steenrod, “Foundations of Algebraic Topology”, Princeton University Press,Princeton, New Jersey, 1952.

[Ev] L. Evens, “The Cohomology of Groups”, Oxford Mathematical Monographs. Oxford SciencePublications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1991.

[Ha] M. Jr. Hall, “The Theory of Groups”, The Macmillan Company, New york, 1970.

[Hat1] A. Hatcher, “Algebraic Topology”. Distribucio lliure consultable a la plana webww.math.cornell.edu/ hatcher/.

[Hat2] A. Hatcher, “Spectral Sequences in Algebraic Topology”. LLibre en construccio, consultable awww.math.cornell.edu/ hatcher/.

[JaLi] G. James, M. Liebeck, “Representations and Characters of Groups, Second edition”, Cam-bridge University Press, New York, 2001.

[Je] C. U. Jensen, “Les foncteurs derives de lim←− et leurs applications en theorie des modules”,Lecture Notes in Mathematics, Vol. 254. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972.

[Ku] T. Kudo, “A transgression theorem”, Mem. Fac. Sci. Kyusyu Univ. Ser. A. 9 (1956), 79-81.

[La] J. Lannes, “Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un p-groupe abelienelementaire”, Publ. Math. I.H.E.S., 75 (1992), 135-244.

[Lea] I. J. Leary, “The Cohomology of Certain Groups”, Ph.D. Thesis, 1992. Consultable ahttp://www.maths.abdn.ac.uk/ bensondj/html/archive/leary.html

[Lee] C. R. Leedham-Green, “The structure of finite p-groups”, J. London Math. Soc. (2) 50 (1994),no. 1, 49-67.

[LeeMcKPl1] C. R. Leedham-Green, S. McKay, W. Pleskyn, “Space groups and groups of prime-power order. V. A bound to the dimension of space groups with fixed coclass”, Proc. LondonMath. Soc. (3) 52 (1986), no. 1, 73-94.

BIBLIOGRAFIA 157

[LeeMcKPl2] C. R. Leedham-Green, S. McKay, W. Pleskyn, “Space groups and groups of prime powerorder. VI. A bound to the dimension of a 2-adic space group with fixed coclass”, J. LondonMath. Soc. (2) 34 (1986), no. 3, 417-425.

[LeeNe] C. R. Leedham-Green, F. Newman, “Space groups and groups of prime power order I.”,Arch. Math. (Basel) 35 (1980) 193-202.

[Ma] J. P. May, “Matric Massey products”, J. Algebra 12 1969 533–568.

[Mi] H. Miller, “The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces”, Ann. of Math. (2) 120(1984), no. 1, 39–87.

[Mil] J. Milnor, “The Steenrod algebra and its dual”, Ann. Math. 67 (1958), 150-171.

[MinSy] P. A. Minh, P. Symonds, “Cohomology and finite subgroups of profinite groups”, Proc.Amer. Math. Soc. 132 (2004), no. 6, 1581–1588.

[Mis] G. Mislin, “On group homomorphisms inducing mod-p cohomology isomorphisms”, Com-ment. Math. Helv., 65 (1990), no 3, 454-461.

[Mc] J. McCleary, “A User’s Guide to Spectral Sequences”, Cambridge Studies in Advanced Math-ematics, 58. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

[McK] S. McKay, “The Precise Bound to the Coclass of Space Groups”, J. London Math. Soc. (2) 50(1994), no. 3, 488-500.

[MoTa] R. E. Mosher, M. C. Tangora, “Cohomology Operations an Aplications in Homotopy Theory”,Harper & Row, Publishers, New York-London, 1968.

[Qu] D. Quillen, “The mod-2 cohomology rings of extra-special 2-groups and the spinor groups”,Math. Ann. 194 1971 197–212.

[Re] D. L. Rector, “Homotopy theory of rigid profinite spaces I”, Pacific J. Math. 85 (1979), no. 2,413–445.

[RiZa] L. Ribes, P. Zalesskii, “Profinite groups”, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and RelatedAreas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 40. Springer-Verlag, Berlin,2000.

[Ro] D. J. S. Robinson, “A Course in the Theory of Groups”, Grad. Texts in Math., 80, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1982.

[Sc] L. Schwartz, “Unstable Modules over the Steenrod Algebra and Sullivan’s Fied Point Set Con-jecture”, Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1994.

[Se1] J. P. Serre, “Cohomologie Modulo 2 des Complexes d’Eilenberg-MacLane”, Comment. Math.Helv. 27 (1953), 198-232.

[Se2] J. P. Serre, “Homologie singuliere des espaces fibres. I. La suite spectrale”, C. R. Acad. Sci. Paris231, (1950). 1408–1410.

[Se3] J. P. Serre, “Linear Representations of Finite Groups”, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42.Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

158 BIBLIOGRAFIA

[Sh] B. E. Shipley, “Pro-isomorphisms of homology towers”, Math. Z. 220 (1995), no. 2, 257–271.

[Sp] E. Spanier, “Algebraic Topology”, McGraw-Hill Book Co., New York-Toronto, Ont.-London,1966.

[St] N. E. Steenrod, D. B. A. Epstein, “Cohomology Operations”, Princeton University Press, 1962.

[Su] M. Suzuki, “Group Theory I”, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamen-tal Principles of Mathematical Sciences], 247. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982.

[Sw] R. M. Switzer, “Algebraic Topology - Homology and Homotopy”, Classics in Mathematics.Springer-Verlag, Berlin, 2002.

[We] C. A. Weibel, “An introduction to homological algebra”, Cambridge Studies in AdvancedMathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

[Wi] J. S. Wilson, “Profinite groups”, London Mathematical Society Monographs. New Series, 19.The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998.

Index alfabetic

2-adic space group, 87, 88uniserial, 90, 91

2-aproximacio, 66, 702-equivalencia, 22, 25, 66, 67, 69, 103, 109, 115, 147k-algebra

de tipus finit, 15n-aproximacio, 66n-equivalencia, 66p-adic space group, 77

uniserial, 77, 78algebra finitament Tor-representable, 34, 35

accio nilpotent, 63accio uniserial, 77aplicacio

T -representable, 65, 70T -representacio, 65, 66finitament T -representable, 65, 66

base filtrada, 72Bockstein

lema del, 52primari, 42, 52, 58superior, 52, 58teorema de la successio espectral de, 58

cadena de p-grups, 68refinada, 104, 128

coclasse, 40, 75, 76, 91, 97, 101d’un pro-p-grup, 75, 76

commutador, 38conjectura E, 75

Eckmann-Shapirolema d’, 85

Eilenberg-Mooreteorema de la successio espectral de, 62

elements transgressius, 51espai

R-nilpotent, 20p-bo, 15, 16, 20p-complet, 15, 16, 64, 66p-dolent, 16de tipus finit, 15nilpotent, 19

filtraciocreixent, 45decreixent, 45, 79

functor d’algebres inestables lliures, 22

grup2-grup, 91p-grup, 37, 81, 84, 92

extraespecial, 137dihedric, 39, 87, 96inicial, 23nilpotent, 38, 63pro-p-grup, 71, 75, 77, 125profinit, 18, 19, 71

cohomologia, 73morfismes, 73

profinit associat, 26quaternionic, 87, 96semidihedric, 96

Hopfalgebra de, 43

Hurewiczmorfisme de, 50teorema de, 50

Kudoteorema de la transgressio de, 51

159

160 INDEX ALFABETIC

lımitdirecte, 18projectiu, 18

modul induit, 85Mittag-Leffler

condicio de, 17, 74, 113

Nakaoka, teorema de, 77nilpotencia

classe de, 38, 97, 101

operacio cohomologica, 40estable, 41

point group, 77, 78, 87, 88pro-epimorfisme, 19pro-equivalencia homotopica feble, 19pro-isomorfisme, 19pro-monomorfisme, 19

root groups, 87

serie central, 38longitut, 39lower central series, 38upper central series, 38, 97, 100

Serreteorema de la successio espectral de, 47

sistema de p-grups, 67associat, 23cıclic, 95, 105de tipus p-adic, 104, 114

classe distingida, 104, 106, 109, 110, 123,124

de tipus finit, 20, 24, 70, 114, 141, 145, 146,148

dihedric, 96, 105element inicial, 68, 147element maximal, 68, 69, 103, 109, 110, 126,

127elemental, 103, 146subsistema, 143, 145

sistema directe, 18sistema projectiu, 18, 71Steenrod

algebra de, 41, 51potencies de, 42, 52

quadrats de, 42subgrup

caracterıstic, 39completament invariant, 39

successio espectral, 45r-essima pagina, 45convergencia, 45, 56, 59, 63, 82grup graduat associat, 46morfisme eix, 48problema d’extensio, 46

successio exacta de 5 termes, 49

teorema de classificacio dels 2-grups..., 76topologia profinita, 72torre

de fibracions, 18, 19de grups, 18morfisme entre torres, 18pro-trivial, 19

transgressioen cohomologia, 51en homologia, 50, 51

translation subgroup, 77, 78, 87, 88, 91

wreath product, 77

sistemes de p-grups amb cohomologia en dimensio …agondem/research_files... · en canvi, la...

Documents