homologia, rozdział i
DESCRIPTION
Homologia, Rozdział I. „Przegląd”. Homologia. Pozwala na podstawie lokalnych obserwacji wnioskować na temat całości, Narzędzie łączące w sobie algebrę, kombinatorykę, matematykę obliczeniową oraz topologię,. Przykład – otaczanie. (Slajd 1). Rys 1.1. Nasuwające się pytanie:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Homologia, Rozdział 1 1
Homologia, Rozdział I
„Przegląd”
Homologia, Rozdział 1 2
Homologia Pozwala na podstawie lokalnych
obserwacji wnioskować na temat całości,
Narzędzie łączące w sobie algebrę, kombinatorykę, matematykę obliczeniową oraz topologię,
Homologia, Rozdział 1 3
Przykład – otaczanie. (Slajd 1)
Rys 1.1
Homologia, Rozdział 1 4
Nasuwające się pytanie:Czy możemy rozwinąć algebraiczne narzędzie, które zdeterminuje ile regionów jest otoczonych przez zbiór linii? Rys 1.2
Homologia, Rozdział 1 5
Cele tej książki: Nauczyć, jak dopasować do danej
przestrzeni topologicznej sekwencję obiektów zwanych ‘grupami homologicznymi’,
Uzyskanie informacji na temat topologii całej przestrzeni.
Homologia, Rozdział 1 6
Grafy
Graf jako sposób definiowania prostych obiektów, Definicja (1.1) graf – podzbiór R3 na który składają się:
{V1, ..., vn} , vi R – zbiór wierzchołków {X R3 | x = tv0 + (1-t)v1, 0 t 1} – zbiór krawędzi
łączących wierzchołki (v0 ,v1) grafu spełniające warunki: Przecięcie dwóch różnych krawędzi jest zbiorem pustym lub
dokładnie jednym wierzchołkiem Jeżeli krawędź oraz wierzchołek przecinają się to ten
wierzchołek jest punktem końcowym tej krawędzi. Inne definicje: ścieżka, pętla, graf połączony, drzewo.
Homologia, Rozdział 1 7
Graf kombinatoryczny. Definicja (1.2) graf
kombinatoryczny: Para (V,E) gdzie:
V – skończony zbiór wierzchołków E – skończony zbiór krawędzi
Krawędź o wierzchołkach v1, v2 to: e = [v1,v2]
Homologia, Rozdział 1 8
Różne reprezentacje tych samych zbiorów w R3 (przykład).
G = [0,1] R. Reprezentacje kombinatoryczne:
V1 = {0,1}, E1 = {[0,1]} – naturalny V2 = {0,1/2,1}, E2={[0,1/2],[1/2,1]} Vn := {j/n | j = 0, ..., n}
En := {[j/n, (j+1)/n] | j = 0, ..., n-1}
Homologia, Rozdział 1 9
Różne reprezentacje grafów a niezmienność homologii.
Do udowodnienia: Czy różne kombinatoryczne reprezentacje tych samych grafów będą miały tą samą homologię?
Homologia, Rozdział 1 10
Ograniczenia topologiczne i algebraiczne. Rys1.4
Homologia, Rozdział 1 11
Ograniczenia topologiczne i algebraiczne. (tabele)
- „operator graniczny” Odwzorowanie liniowe: Dla I:
Homologia, Rozdział 1 12
Dodawanie modulo 2. Inna reprezentacja I:
E’(I) = {[a,c],[c,d],[d,e]}; V’(I) = {a,c,d,e} Wtedy: Co może być prawdą tylko dla
Wyjście: arytmetyka mod2 Wtedy otrzymujemy odpowiednio równania:
Dla I:
Dla 1 równanie 1.1
Homologia, Rozdział 1 13
Dodawanie modulo 2. (wniosek i wyjątek)
Przestrzenie z cyklami sumują się do 0.
Wyjątek – Wypełnione obszary przestrzeni.
Cykle, które są ograniczeniami powinny być ignorowane.
Homologia, Rozdział 1 14
Śledzenie kierunków. Alternatywa dla arytmetyki mod2. Założenia: I oraz 1 są podzbiorami R2
Homologia, Rozdział 1 15
Gdy kierunek krawędzi jest zgodny z kierunkiem osi to: [a,b] to algebraiczne [a,b]
Gdy kierunek krawędzi jest przeciwny do kierunku osi to: [c,d] to algebraiczne –[c,d]
Wtedy mając krawędź biegnącą z {a} do {b}: [a,b]:= b – a Gdzie jest liniowe.
Redefinicja ‘’
Homologia, Rozdział 1 16
Przykłady. Dla I mamy:
Dla 1 mamy:
Homologia, Rozdział 1 17
Wnioski. Algebra odpowiadająca
interesującej topologii jest cyklem – suma ograniczeń algebraicznych obiektów jest równa 0.
Ponownie: cykle, które ograniczają jakiś obszar nie są interesujące.
Homologia, Rozdział 1 18
Homologia ‘mod 2’ grafów. G = (V,E) – dany graf Dwie przestrzenie wektorowe:
C0(G,Z2); C1(G,Z2);
V – baza przestrzeni C0(G,Z2) E – baza przestrzeni C1(G,Z2) Przestrzenie Ck(G,Z2) zwane są k-
tym łańcuchem dla G