sistemas hiperestáticos método de cross def
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Método útil para resolver problemas con sistemas hiperestáticos relacionados a la mecánica de materiales.TRANSCRIPT
CÁLCULO DE SISTEMAS HIPERESTÁTICOS
(Método de Cross)
Introducción:
El cálculo de estructuras hiperestáticas se puede efectuar planteando un sistema
general de ecuaciones. En estructuras reticulares de edificación, con nodos
rígidos, este método conduce a un elevado número de ecuaciones e incógnitas,
cuya aparición antes de los ordenadores y calculadoras de gran capacidad era
prácticamente imposible.
El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo
integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez
comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen
a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de
memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de
transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata
de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas
uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas. El
método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no signifique
sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser
tan elevado como lo desee el calculista. El método permite seguir paso a paso el
proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy
claro a las operaciones matemáticas que se realizan.
Desarrollo:
Desarrollado por Hardy Cross fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE.
Es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y
marcos/pórticos planos el método sólo calcula el efecto de los momentos
flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines
prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras
comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el
método de redistribución de momentos fue el más ampliamente usado en la
práctica.
En el método de redistribución de momentos, para analizar cada articulación o
nodo de la estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar
los Momentos en los Extremos Fijos. Después cada articulación fija se considera
liberada secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de
ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros adyacentes hasta
que el equilibrio es alcanzado.
Problema Descriptivo
Consideremos una estructura reticular cargada. En primer lugar se procede a
retirar las cargas que actúan sobre sus piezas. A continuación bloqueamos los
nudos, impidiéndoles todo giro. Se vuelve ahora a aplicar las cargas exteriores,
que actúan sobre una estructura alterada, ya que tiene impedido los giros de sus
nudos. En este sentido no representa a la estructura verdadera, cuyos nudos
hubieran girado bajo la acción de las cargas hasta alcanzar su posición de
equilibrio.
En la estructura alterada es muy fácil determinar los momentos de empotramiento,
pues al estar los nudos bloqueados dichos momentos son los de empotramiento
perfecto.
La suma de los momentos de empotramiento de las piezas concurrentes en cada
nudo no será nula, por lo que el nudo no estará en equilibrio. Dicha suma es, en
realidad, un momento de desequilibrio.
Se aplica al nudo un momento equilibrante, que es un momento de igual valor y
de signo opuesto al momento de desequilibrio. Esto equivale a desbloquear el
nudo.
El momento equilibrante se repartirá entre los extremos de las distintas piezas
concurrentes en el nudo en proporción a sus rigideces, puesto que al girar el nudo
todas las piezas concurrentes giran el mismo ángulo.
La relación de la parte de momento equilibrante que se lleva cada pieza con el
momento equilibrante total es lo que se denomina coeficiente de reparto o
coeficiente de distribución, y es igual al cociente de la rigidez de la pieza
considerada entre la suma de las rigideces de todas las piezas que concurren en
el nudo.
Por tanto, se distribuye el momento equilibrante entre las distintas piezas
concurrentes en el nudo y se transmite el momento al extremo opuesto.
En los demás nudos de la estructura se procede análogamente, por lo que
también se habrán introducido momentos equilibrantes, distribuyéndose a las
extremidades de sus piezas concurrentes, las cuales transmitirán una parte a sus
extremidades opuestas.
De esta manera se opera cíclicamente.
Si en una fase posterior de cálculo volvemos a obtener en un nudo previamente
equilibrado el momento de desequilibrio, éste será cada vez menor, de igual modo
que las magnitudes de las transmisiones. Los nudos van equilibrándose
paulatinamente y la estructura se va acercando a su posición de equilibrio.
El método de Cross es un método que permite alcanzar la precisión que se desee
mediante aproximaciones sucesivas.
El método de Cross es muy usual que se aplique en vigas y en losas.
Para utilizar el método de Cross como para otros métodos es necesario conocer
los momentos de empotramiento perfecto y reacciones de las vigas, esto según el
tipo de carga y formas de los apoyos.
Las más comunes en la práctica del cálculo estructural están en la siguiente tabla:
De donde las tres primeras columnas corresponden a cargas uniformemente
repartidas: en voladizo, doble empotrada y empotrada apoyada. Las dos últimas
columnas corresponden a cargas puntuales en viga doble empotrada y empotrada
apoyada.
Desarrollo de problemas hasta obtener los momentos definitivos de apoyos.
Ejemplo:
Las filas del siguiente ejemplo son:
a) rigideces de las vigas
b) los coeficientes de distribución
c) los momentos isostáticos de apoyo
d) los procesos de aproximación sucesiva
e) los momentos definitivos de apoyo
Ahora se desarrollara paso a paso para saber de dónde procede cada valor:
Obtención de reacciones definitivas: una vez obtenidos los momentos definitivos
de apoyo se procede a calcular los momentos máximos de tramo, para obtener la
armadura final de las vigas a la flexión. Las filas de la figura muestran los
siguientes valores:
A continuación calcularemos los momentos máximos de tramo:
Así quedan los diagramas de corte y momentos flectores:
Aplicaciones o demostraciones
MÉTODO DE CROSS PARA SISTEMAS HIPERESTÁTICOS
(Nudos no desplazables, rígidos)
Rigidez
K= J/L
J= Momento de inercia. L= Longitud del tramo de la vía. K= Rigidez.
K1= 1/5 = 0.2 K2= 1/8 = 0.125 K3= 1/4 = 0.25
Factor de distribución
F= K/∑KT
F= Factor de distribución. K= Rigidez del tramo. K/∑KT= Sumatoria de las
rigideces que concurren al nudo.
F= 0.2/0.2 = 1
F= 0.2/(0.125+0.2) = 0.62
F= 0.125/(0.2+0.125) = 0.38
F= 0.125/(0.125+0.25) = 0.33
F= 0.25/(0.125+0.25) = 0.66
Vigas totalmente
empotradas en
los nudos.
5 m 8 m 4 m
0.2 0.125 0.25
F= 0.25/0.25 = 1
1 0.62 0.38 0.33 0.66 1
Cálculo de los momentos de cada uno de los tramos
(Empotrado a ambos lados)
*Según la tabla de momentos flectores y esfuerzos cortantes (para este caso)
M=PL2/12
*Suponiendo que P= 2T/m
Tramo 1 = (2T/m)(52)/12 = 4.16
Tramo 2 = (2T/m)(82)/12 = 10.66
Tramo 3 = (2T/m)(42)/12 = 2.66
Definir los sentidos de los momentos en cada extremo de cada uno de los tramos
1 0.62 0.38 0.33 0.66 1
+4.16 -4.16 +10.66 -10.66 +2.66 -2.66
-4.16 -6.5 +8 2.66
-4.16 -4.03 -2.47 2.64 5.28 2.66
2T/m 2T/m 2T/m
5 m 8 m 4 m
+ -
Factor de
distribución
Momentos de
cada tramo Resolver
sumas y
cambiar
signo
Momentos distribuidos a cada lado de los
apoyos. (Multiplicar resultados de la fila
anterior por el factor de distribución).
Distribuciones a los puntos opuestos
Coeficiente de transmisión o acarreo)
½ (Se acarrea la mitad de las magnitudes)
-4.16 -4.03 -2.47 2.64 5.28 2.66 -2.01 -2.08 1.32 -1.235 1.33 2.64 2.01 0.76 -0.095 -2.64
Multiplicar los valores obtenidos por los factores de distribución
2.01 0.47 0.28 -0.03 -0.06 -2.64 0.23 1.005 -0.015 0.14 -1.32 -0.03 -0.23 -0.99 1.18 0.03
Suma de los valores de los momentos a cada lado de los puntos de
apoyo
0.23 -8.79 9.775 -9.145 7.89 -0.03
Diagrama de carga
Resolver
sumas y
cambiar
signo
0.23 Ton -0.03 Ton
-8.79 Ton 9.77 Ton -9.14 Ton 7.89 Ton
Cálculo de las reacciones en los apoyos
*Cuando en un soporte están actuando dos
reacciones, éstas se suman.
R= PL/2 = 2 x 5 /2 = 5 Ton
R= PL/2 = 2 x 8 /2 = 8 Ton
R= PL/2 = 2 x 4 /2 = 4 Ton
5 m 8 m 4 m
2T/m 2T/m 2T/m
RA= 5 Ton RB= 13 Ton RC= 12 Ton RC= 4 Ton
Conclusión
Siempre que se realiza alguna construcción se emplean para ello componentes
que estarán sometidos a esfuerzos. Resulta de gran importancia calcular las
cargas a las que se encontrará sometida, ya que si a las partes que lo conforman
se les aplica una carga mayor que la que puede soportar se produciría una falla
que tal vez resulte lamentable o catastrófica para las personas en cuanto a
pérdidas humanas, financieras o ambientales.
El método de Cross para el cálculo de vigas y losas es una manera bastante
exacta y no tan complicada en cuanto a cálculos matemáticos para determinar los
momentos y las reacciones a las que están sometidos los apoyos en una
estructura. Por lo que por mucho tiempo fue la manera más popular de efectuar
este tipo de operaciones, hasta que las computadoras fueron programadas para
obtener los mismos resultados utilizando otras técnicas diferentes.
Existen otros métodos que tal vez resulten más rápidos para personas con
experiencia, pero si somos principiantes en el tema podemos emplear este
método, que aunque resulte complejo por su laboriosidad debido a que
necesitamos efectuar tantas aproximaciones como sea posible, es fácil de
comprender, y más aún si contamos con datos proporcionados por tablas de datos
como la de momentos flectores y esfuerzos cortantes.
Fuentes bibliográficas
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_distribuci%C3%B3n_de_momentos
http://www.uclm.es/area/ing_rural/trans_const/temas6y7.pdf
http://metododecross1031.blogspot.mx/
http://www.youtube.com/watch?v=QRpZaOMb9fo
http://www.youtube.com/watch?v=5Q2P54sy2rY
http://www.youtube.com/watch?v=fgB-k-dYP1s
http://www.youtube.com/watch?v=yElY4fD7cVE
http://www.youtube.com/watch?v=ess_8VHVx24
http://www.youtube.com/watch?v=uDTI_5hcl_8