sistemas dinámicos - semana 15

SISTEMAS DINÁMICOS: CAPITULO 4 - PROPIEDADES DE SISTEMAS.

Ing. Gerardo Becerra B. M.Sc.

Propiedades de sistemas.

Objetivos: 1. Explicar el sistema por su comportamiento y efectos (CDIO 2.3.1.1)

2. Clasificar las interacciones externas al sistema y el impacto en el comportamiento del mismo (CDIO 2.3.1.4)

3. Explicar las propiedades funcionales y de comportamiento (intencional y no intencional) que surgen de un sistema. (CDIO 2.3.2.2)

4. Clasificar los factores críticos, efectos colaterales, métricas y variables adicionales que complementan el modelo propuesto. (CDIO 2.3.3.2)

5. Identificar los factores generadores del comportamiento del sistema (CDIO 2.3.3.3)

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Clase 16

Contenido: 1. Definir Margen de Ganancia y Margen de Fase

2. Evaluar el impacto del tiempo muerto sobre la estabilidad

3. Evaluar estabilidad de sistemas realimentados empleando Lugar de las raíces.

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Temas para repasar

• Polos y ceros (Circuitos en frecuencia)

• Respuesta en frecuencia (Circuitos en frecuencia)

• Respuesta en el tiempo (Circuitos en frecuencia)

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Margen de ganancia y margen de fase

• Margen de ganancia: es el factor por el cual se debe incrementar la ganancia para que el sistema en malla cerrada sea marginalmente estable. Esto es equivalente a que el sistema tenga polos en el eje imaginario y a que el diagrama polar de GH pasa por el punto -1+j0 = 1-180°

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• Margen de fase: es la cantidad de retardo de fase, a la frecuencia wg para la cual la ganancia es 1, que es necesario adicionar al sistema para que el diagrama de GH pase por el punto -1+j0

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• f : frecuencia para la cual la fase es -180°

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• g : frecuencia de cruce de ganancia

• Si m es positivo el sistema es estable.

• Si m es negativo el sistema es inestable.

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Estabilidad relativa

• En un diagrama de Bode el punto -1+j0 corresponde a:

20 log | G(j) H(j)| = 20 log (1) = 0 dB

() = -180°

• La proximidad del lugar de G(j) H(j) al punto -1+j0 es una medida de la estabilidad relativa.

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Punto (-1,0) en diagrama de Bode

• Eje real negative para el gráfico de Nyquist corresponde a un ángulo de -180º.

• Magnitud igual a la unidad corresponde a 0 dB.

• Para margen de fase se debe encontrar el ángulo de fase en 0 dB.

• Para márgen de ganancia se debe encontrar la magnitud en -180º.

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• Para:

• El margen de ganancia en dB es negativo, el sistema es inestable.

• Para:

• El margen de ganancia en dB es positivo y el sistema es asintóticamente estable

El margen de ganancia solo no garantiza una buena estabilidad del sistema es necesario introducir también el margen de fase.

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Ejemplo 21

• Encontrar el diagrama de bode, MF, MG empleando MATLAB:

)20)(5(

1000

)120/)(15/(

10

ssssssGH

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Estabilidad sistemas con retardo de transporte

• La ecuación característica:

1 + G(s)H(s) = 0

NO es polinomial.

• Los métodos de solución no aplican

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1

*1

1

*

)(0

0

s

ek

s

ek

R

YsG

sT

sT

01

*1

0

s

eksT

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Estabilidad sistemas con retardo de transporte • Aproximación de Padé:

• Aproximación de primer orden:

...48

)(

8

)(

21

...48

)(

8

)(

21

32

32

TosToss

To

TosToss

To

e sTo

sTo

sTo

e sTo

21

21

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Estabilidad sistemas con retardo de transporte • Respuesta de frecuencia:

• La magnitud es constante, independiente de la frecuencia, y la fase se hace más negativa a medida que w aumenta; la tasa de caída depende de To: a mayor To mayor decrecimiento de fase.

wTo

jwG

ejwG

jws

esG

jwTo

sTo

1|)(|

)(

)(

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• Cuando el corrimiento de fase llegue a -180°, G(jω) deja de ser positivo: la realimentación se convierte en positiva llevando al sistema al borde de la inestabilidad.

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Ejemplo 22

Un intercambiador de calor, se puede representar por una función de transferencia de segundo orden:

La temperatura del producto de salida se mide aguas abajo, de tal forma que se adiciona un tiempo muerto de 4s, el medidor tiene una constante de tiempo τm = 30s y una ganancia en estado estable de 1 (%/%).

Analizar el sistema en malla cerrada sin y con tiempo muerto

)13)(110(

8.0)(

sssGP

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Estabilidad sin tiempo muerto

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HE sin tiempo muerto

Frequency (rad/s)

10-3

10-2

10-1

100

101

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

System: GHFrequency (rad/s): 0.218Phase (deg): -180

Phase (

deg)

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

System: GHGain Margin (dB): 27.5At frequency (rad/s): 0.219Closed loop stable? Yes

Magnitu

de (

dB

)

Estabilidad con tiempo muerto

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10-3

10-2

10-1

100

101

-2520

-2160

-1800

-1440

-1080

-720

-360

0

Phase (

deg)

HE con T muerto

Frequency (rad/s)

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

System: HEdelGain Margin (dB): 19.1At frequency (rad/s): 0.131Closed loop stable? Yes

System: HEdelFrequency (rad/s): 0.00137Magnitude (dB): -1.95

Magnitu

de (

dB

)

..\Soporte\Punto_m\html\word\Clase_16_Ejemplo_22.docx

../Soporte/Punto_m/html/word/Clase_16_Ejemplo_22.docx











Lugar de las raíces4,5,6,7

• Grafica de los ceros y polos de una función racional en el plano s.

• Muestra la ubicación de las raíces cuando algún parámetro de la función de sistema varía.

• Generalmente se grafica el lugar de las raíces de la ecuación característica del sistema en malla cerrada.

• Método para análisis y diseño.

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Lugar de las raíces

• Definición: el lugar de las raíces es el conjunto de valores de s para los cuales se satisface la ecuación:

Cuando K varía desde 0 hasta +∞

0KG(s)H(s)1

0]asa......sas

bsb......sbs[K1

01

1n

1n

n

01

1m

1m

m

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Un punto estará sobre el lugar de las raíces si satisface:

I. Ecuación de magnitud:

II. Ecuación de fase:

K

1

ps

zs

)s(H)s(Gn

1j

i

m

1i

i

...2,1,0);12(18011

kkn

jjp

m

i

zi

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Reglas de construcción

1. El número de ramas N del lugar de las raíces es el mayor entre P (#polos finitos) y Z (# ceros finitos): N = mayor(P,Z)

2. Las ramas del lugar de las raíces empiezan, en los polos en malla abierta. (puntos K = 0)

3. Las ramas del lugar de las raíces terminan, en los ceros en malla abierta. (puntos K = ∞)

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4. El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje real.

5. Las ramas del lugar de las raíces son asintóticas a líneas rectas, que tienen ángulos respecto al eje real dados por:

)1ZP(,...,1,0k;ZP

)k21(k

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6. Las asíntotas se interceptan sobre el eje real en un punto dado por:

7. Sobre el eje real se encuentran porciones del lugar en tramos que estén a la izquierda de un número IMPAR de polos y ceros.

Z-P

GH CerosGH Polos

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8. Las ramas del lugar de las raíces se separan del eje real en puntos de ruptura definidos por:

9. Intersección con el eje imaginario se calcula empleando el criterio de Routh - Hurwitz

0|])()(

1[| ss

sHsGds

dK

ds

d

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10. Angulo de salida o de arribo de polos o ceros complejos se calcula a partir del criterio II

11. Ganancia correspondiente a un punto sobre el lugar se calcula a partir del criterio I

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Ejemplo 23

Graficar el lugar de las raíces para la ganancia de malla K. Realimentación unitaria. Emplear las reglas anteriores.

𝐺 𝑆 𝐻 𝑠 = 𝑠 + 7

𝑠(𝑠 + 5)(𝑠 + 15)(𝑠 + 20)

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-20 -15 -10 -5 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

System: sysGain: InfPole: -7Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/s): 7

System: sysGain: 0Pole: -15Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/s): 15



System: sysGain: 0Pole: 0Damping: -1Overshoot (%): 0Frequency (rad/s): 0

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Imagin

ary

Axis

(seconds

-1)

Temas para el futuro

• Estabilidad: Controles y Sistemas Lineales

• Diseño empleando Root Locus: Controles

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Referencias

1. DORF Richard and BISHOP Robert. Modern Control Systems. 10th Edition. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. 2005.

2. FRANKLIN J.D; POWELL J.D, and ENAMI-NAEINI A. Feedback control of dynamic systems. 4th ed. Upper Saddle River, New Jersey : Prentice Hall, 2002.

3. SMITH Carlos A. and CORRIPIO Armando. Principles and practice of Automatic Process control 2nd Edition. New York: John Wiley and sons. 1997.

4. Peter Woolf. Dynamical Systems Analysis IV: Root Locus Plots & Routh Stability. Michigan Chemical Process Dynamics and Controls. Open Textbook

5. http://www.engin.umich.edu/group/ctm/home.text.html

6. Heather Malko. Matlab Tutorial : Root Locus. The University of Utah

7. http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node48.html

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http://www.engin.umich.edu/group/ctm/home.text.html

http://www.engin.umich.edu/group/ctm/home.text.html

http://www.atp.ruhr-uni-bochum.de/rt1/syscontrol/node48.html





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