sistemas de equações lineares (sel ) – parte ii · 2018. 10. 26. · motivação ii tendência...
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U F C G
S U P R A O M N I S L U X LU C
I S
U F C G
S U P R A O M N I S L U X LU C
I S
Sistemas de Equações Lineares (SEL ) – Parte II
Cálculo Numérico
-
■ Motivação I ■ Ocorrência em larga escala de sistemas lineares em
cálculos de Engenharia e modelagem científica
■ Exemplos: ■ Simulações de processos químicos ■ Simulações de dispositivos e circuitos ■ M o d e l a g e m d e p r o c e s s o s g e o c i e n t í f i c o s e
geoambientais ■ Análise estrutural ■ Biologia estrutural ■ Modelagem de processos físicos
2
Métodos Iterativos
-
■ Motivação II ■ Tendência à existência de matrizes de coeficientes à
grandes e esparsas ■ Grandes ⇨ Comum para n > 100.000
■ Esparsas ⇨ Maioria dos coeficientes nulos
■ Resolução de sistemas esparsos por métodos diretos ■ Processos de triangularização e fatoração ⇨
Onerosos, por não preservarem a esparsidade original, que pode ser útil por facilitar a resolução do sistema.
3
Métodos Iterativos
-
■ Motivação III
■ Métodos mais apropriados para a resolução de sistemas de natureza esparsa ⇨ Métodos iterativos ■ Gauss-Jacobi ■ Gauss-Seidel
4
Métodos Iterativos
-
■ A partir de uma estimativa inicial xi0, consistem em
encontrar uma seqüência de estimativas xik que convirja
p a r a u m a s o l u ç ã o d o S E L a p ó s u m n ú m e r o suficientemente grande de iterações.
5
Métodos Iterativos
!!!!!!!!!
"
#
$$$$$$$$$
%
&
)0(n
)0(3
)0(2
)0(1
x
x
x
x
!
!!!!!!!!!
"
#
$$$$$$$$$
%
&
)1(n
)1(3
)1(2
)1(1
x
x
x
x
!
!!!!!!!!!
"
#
$$$$$$$$$
%
&
)2(n
)2(3
)2(2
)2(1
x
x
x
x
!
!!!!!!!!!
"
#
$$$$$$$$$
%
&
)k(n
)k(3
)k(2
)k(1
x
x
x
x
!
!
-
■ Vantagem ⇒ Menos suscetíveis ao acúmulo de erros de arredondamento do que o método de Eliminação de Gauss.
■ Lembretes importantes:
■ Como todo processo iterativo, estes métodos sempre apresentarão um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real conforme o número de iterações realizadas.
■ Além disto, também é preciso ter cuidado com a convergência destes métodos.
6
Métodos Iterativos
-
Métodos Iterativos
■ Transformação do sistema linear Ax=b em x = Cx +g ■ A: matriz dos coeficientes, n x m ■ x: vetor das variáveis, n x 1; ■ b: vetor dos termos constantes, n x 1; ■ C: matriz, n x n; e ■ g: vetor, n x 1.
■ Métodos a estudar ■ Gauss-Jacobi ■ Gauss-Seidel
7
Sistemas de Equações Lineares
-
Método de Gauss-Jacobi
■ Conhecida a estimativa inicial, x(0), obtém-se consecutivamente os vetores:
8
o)aproximaçã ésima-(k ,gCxx
o)aproximaçã (segunda ,gCxx
o)aproximaçã (primeira ,gCxx
)1k()k(
)1()2(
)0()1(
+=
+=
+=
−
!
▪ De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada pela fórmula:
x(k+1) = C x(k)+g, k=0, 1, ...
Método de Gauss-Jacobi
-
9
▪ Método de Gauss-Jacobi
▪ Da primeira equação do sistema:
a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n x2 = b1
obtém-se: x1 = (1/a11) (b1 - a12 x2 - ... -a1n x2)
e, analogamente,
x2 = (1/a22) (b2 - a21 x1 - ... -a2n xn)
xn = (1/ann) (bn - an1 x1 - ... - ann-1 xn-1)
!
Método de Gauss-Jacobi
-
10
▪ Método de Gauss-Jacobi
▪ Desta forma, para x = C x + g, obtém-se:
!!!!!!!!!!!!!!
"
#
$$$$$$$$$$$$$$
%
&
=
nn
n
33
3
22
2
11
1
ab
ab
ab
ab
g
!!!!!!!!!
"
#
$$$$$$$$
%
&
−−−
−−−
−−−
−−−
=
0aaaaaa
aa0aaaa
aaaa0aa
aaaaaa0
C
nn3nnn2nnn1n
33n333323331
22n222232221
11n111131112
!
"#!
#""
!
!
e
Método de Gauss-Jacobi
-
11
▪ Método de Gauss-Jacobi
▪ Distância entre duas iterações
▪ Critério de Parada
x - x max d 1)-(ki(k)i
(k) =
x max
d d )k(
i
(k)(k)r ε<
""=
Método de Gauss-Jacobi
-
12
▪ Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13
▪ Seja o sistema:
▪ Determinação de C e g6 10x 3x 2x 8 x 5x x 7 3x 2x x 10
321
321
321
=++
=++
=++
!!!!!!!!
"
#
$$$$$$$$
%
&
=
106
58
107
g!"#
$%&=
03/10 –1/5-1/5-01/5-3/10 -2/10 -0C
Método de Gauss-Jacobi
-
13
▪ Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13
▪ Assim, considerando como estimativa inicial:
e ε = 0,05, obtém-se:
e
!!
"
#
$$
%
&=0,61,6-0,7
x0
!!
"
#
$$
%
&=+=
0,941,340,84
g Cx x (0)(1)|x1(1) – x1(0)| = 0,14
|x2(1) – x2(0)| = 2,94
|x3(1) – x3(0)| = 0,34
Método de Gauss-Jacobi
-
14
▪ Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13
▪ Assim:
⇒
e, analogamente:
⇒
!!
"
#
$$
%
&=+=
0,0301,2440,150
g Cx x (1)(2) ε>== 0,7315 1,2440,91 d (2)r
0,19681,56400,4422
g Cx x (2)(3)!!
"
#
$$
%
&=+= ε>== 0,2046
1,56400,32 d (3)r
Método de Gauss-Jacobi
-
15
▪ Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13
▪ Igualmente:
⇒
e, finalmente:
⇒
!!
"
#
$$
%
&=+=
0,04241,47220,3282
g Cx x (3)(4) ε>== 0,1049 1,4722 0,1544 d (4)r
!!
"
#
$$
%
&=+=
0,09271,52590,3929
g Cx x (4)(5) ε
-
Método de Gauss-Seidel
■ Similarmente ao método de Gauss-Jacobi, conhecida a estimativa inicial, x(0), obtém-se consecutivamente os vetores x(1), x(2), ..., x(k)
▪ Todavia, ao se calcular xj(k+1), usa-se todos os valores x1(k+1), x2(k+1), ..., xj-1(k+1) que já foram calculados e os valores xj+1(k), xj+2(k), ..., xn(k) restantes.
16
Método de Gauss-Seidel
-
Método de Gauss-Seidel ■ Descrição I
■ Seja o seguinte sistema de equações:
17
nnnn1n1nn33n22n11n
3nn31n1n3333232131
2nn21n1n2323222121
1nn11n1n1313212111
b x.a x.a x.a x.a x.a
b x.a x.a x.a x.a x.a
b x.a x.a x.a x.a x.a
b x.a x.a x.a x.a x.a
=+++++
=+++++
=+++++
=+++++
−−
−−
−−
−−
!"#"
!!!
Método de Gauss-Seidel
-
Método de Gauss-Seidel ■ Descrição II
■ Isolando xi a partir da linha i, tem-se:
18
( )
( )
( )
( )1n1nn22n11nnnn
n
nn31n1n3232231333
3
nn21n1n2323121222
2
nn11n1n1313212111
1
x.ax.ax.aba1x
x.ax.ax.ax.aba1x
x.ax.ax.ax.aba1x
x.ax.ax.ax.aba1x
−−
−−
−−
−−
−−−−=
−−−−−=
−−−−−=
−−−−−=
!"
!
!
!
Método de Gauss-Seidel
-
Método de Gauss-Seidel ■ Descrição III
■ O processo iterativo se dá a partir das equações:
19
( )
( )
( )
( )1k 1n1n,n1k22n1k11nnnn
1kn
knn3
k1n1n,3
1k232
1k1313
33
1k3
knn2
k1n1n,2
k323
1k1212
22
1k2
knn1
k1n1n,1
k313
k2121
11
1k1
x.a...x.ax.aba1x
x.ax.a...x.ax.aba1x
x.ax.a...x.ax.aba1x
x.ax.a...x.ax.aba1x
+−−
+++
−−+++
−−++
−−+
−−−−=
−−−−−=
−−−−−=
−−−−−=
Método de Gauss-Seidel
-
Método de Gauss-Seidel ■ Critério de Parada I
■ Diferença relativa entre duas iterações consecutivas, dada por:
20
!!!!!
"
!!!!!
#
$
!"
!#$
≠
=
=
≠−
=
+
+
++
+
≤≤
+ =
0 x
0 x se , 1
0 x x se , 0
0 x se , x
xx .Máx
M
ki
1ki
ki
1ki
1ki1k
i
ki
1ki
ni1
1kR
Método de Gauss-Seidel
-
Método de Gauss-Seidel ■ Critério de Parada II
■ F im do processo i te ra t ivo ⇨ Va lor de MRk+1 suficientemente pequeno para a precisão desejada
21
Método de Gauss-Seidel
-
22
▪ Método de Gauss-Seidel – Exemplo 14
▪ Resolver:
▪ Solução: .10.5 M com,0z6y3x3
6zy4x35zyx5
2kR
−≤=++
=++
=++
( )
( )
( ) ( )yx21zy3x3
61z
zx3641y
zy551x
+−=⇒−−=
−−=
−−=
Método de Gauss-Seidel
-
23
▪ Método de Gauss-Seidel – Exemplo 14
▪ Quadro de resultados do processo iterativo
kx kxMky kyM kz kzM
kRM
-1 - 0 - 1 - -
0,8 2,25 0,65 1 -0,725 2,379 2,379
1,015 0,212 0,92 0,293 -0,967 0,250 0,293
1,009 0,006 0,985 0,066 -0,997 0,030 0,066
1,002 0,007 0,998 0,0013 -1 0,003 0,0013
x = 1,002 y = 0,998 z = -1
Método de Gauss-Seidel
-
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▪ Método de Gauss-Seidel – Exemplo 14
▪ Verificação (substituição no sistema)
x = 1,002 y = 0,998 z = -1
5.(1,002) + 1.(0,998) + 1.(-1) = 5,008 ≅ 5 OK 3.(1,002) + 4.(0,998) + 1.(-1) = 5,998 ≅ 6 OK 3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0 OK
Método de Gauss-Seidel
-
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▪ Critérios de Convergência
▪ Processo iterativo ⇨ Convergência para a solução exata não garantida para qualquer sistema.
▪ Necessidade de determinação de certas condições que devem ser satisfeitas por um SEL para a garantia da convergência do método.
▪ Critérios de determinação das condições de convergência
▪ Critério de Sassenfeld ▪ Critério das Linhas
Método de Gauss-Seidel
-
26
▪ Critério de Sassenfeld I
▪ Sejam as quantidades βi dadas por:
n - ordem do sistema linear que se deseja resolver aij - coeficientes das equações do sistema
Método de Gauss-Seidel
para i = 2, 3, ..., n
∑=
⋅=βn
2j
j111
1 aa1
!!!
"
#
$$$
%
&+β⋅⋅=β ∑∑
+=
−
=
n
1ij
ij
1i
1j
jijii
i aaa1
e
-
27
▪ Critério de Sassenfeld II
▪ Este critério garante que o método de Gauss-Seidel convergirá para um dado SEL se a quantidade M, definida por:
for menor que 1 (M
-
28
▪ Critério de Sassenfeld III
▪ Exemplo 15: Seja A a matriz dos coeficientes e b o vetor dos termos constantes, dados por:
for menor que 1 (M
-
29
▪ Critério de Sassenfeld IV
▪ Exemplo 15: Seja A a matriz dos coeficientes e b o vetor dos termos constantes, dados por:
Mostrar que a solução do SEL a seguir convergirá pelo método de Gauss-Seidel.
444434241
334333231
224232221
114131211
b a a a ab a a a ab a a a ab a a a a
( )
( )
( )
( )34324214144
4
3423213133
3
242312122
2
14131211
1
aaaa1
aaaa1
aaaa1
aaaa1
β+β+β⋅=β
+β+β⋅=β
++β⋅=β
++⋅=β
Método de Gauss-Seidel
-
30
▪ Critério de Sassenfeld V
▪ Exemplo 15:
Método de Gauss-Seidel
0,10x0,4x8,0x2,1x4,00,1x2,0xx2,0x1,08,7x3,0x6,0x3x6,04,0x2,0x2,0xx0,2
4321
4321
4321
4321
−=⋅+⋅+⋅+⋅
=⋅++⋅−⋅−
−=⋅−⋅−⋅+⋅
=⋅+⋅−+⋅
-
31
( )
( )
( )
( ) 2736,0358,08,044,02,17,04,041
358,02,044,02,07,01,011
44,03,06,07,06,031
7,02,02,0121
4
3
2
1
=⋅+⋅+⋅⋅=β
=+⋅+⋅⋅=β
=++⋅⋅=β
=++⋅=β
M < 1 ⇒ Convergência da solução do sistema a partir do método de Gauss-Seidel
10.0- 4.0 0.8 1.2 0.4 1.0 0.2 1.0 0.2- 0.1-7.8- 0.3- 0.6- 3.0 0.6
0.4 0.2 0.2- 1.0 2.0
A b
Método de Gauss-Seidel
▪ Critério de Sassenfeld VI
▪ Exemplo 15: Solução
7,0M imaxni1 == β≤≤
-
32
Método de Gauss-Seidel
▪ Critério das Linhas
▪ Segundo este critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
n. ..., 3, 2, 1,i para ,aa iin
ij1j
ij =
-
33
Método de Gauss-Seidel
▪ Critério das Linhas
▪ Exemplo 16: O SEL do Exemplo 14 satisfaz o Critério das Linhas, sendo a verificação quase imediata, se for observado que:
4,28,02,14,0aaa4a
5,02,02,01,0aaa1a
5,13,06,06,0aaa3a
4,12,02,01aaa2a
43424144
34323133
24232122
14131211
=++=++>=
=++=++>=
=++=++>=
=++=++>=
4. 3, 2, 1,i para aa iin
ij1j
ij =
-
■ Tanto o Critério de Sassenfeld quanto o Critério das Linhas são condições suficientes, porém não necessárias, para a convergência do método de Gauss-Seidel para um dado SEL
■ Um dado SEL pode não satisfazer estes critérios e ainda convergir
■ Um sistema pode não satisfazer o Critério das Linhas, porém sua convergência será garantida se satisfizer o Critério de Sassenfeld
34
Considerações Finais
-
35
Método de Gauss-Seidel
▪ Critério das Linhas x Critério de Sassenfeld
▪ Exemplo 17: Seja o seguinte SEL:
▪ O Critério das Linhas não é satisfeito, visto que:
▪ Todavia, o Critério de Sassenfeld é satisfeito, uma vez que:
18x2x623xx10
21
21
=⋅+⋅
=+⋅
6a2a 2122 =
-
36
Método de Gauss-Seidel
▪ Critério das Linhas x Critério de Sassenfeld
▪ Exemplo 17: Assim sendo, a convergência do SEL é garantida.
-
■ Embora não altere a solução do SEL, a ordem de aparecimento das equações pode alterar sua convergência pelo método da Gauss-Seidel. ■ Exemplo 18: Seja o SEL:
■ Observa-se que na ordem atual de aparecimento das equações, o SEL não satisfaz o Critério das Linhas (verificar!!!); logo, sua convergência não é garantida.
■ A inversão da ordem das duas equações do SEL fará com que o Critério das Linhas seja satisfeito e sua convergência pelo método de Gauss-Seidel garantida (verificar também!!! ).
37
Considerações Finais
15x3x519x10x4
21
21
=⋅+⋅
=⋅+⋅−
-
■ Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais. MAKRON Books, 1996, 2ª ed.
■ Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Fundamentos e Aplicações. Departamento de Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.
■ Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Numéricos. DI/UFPR, 2006.
■ Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, Notas de aula, SE/ DM/ IST [Online] http://w w w . m a t h . i s t . u t l . p t / s t a t / p e / q e b /semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso 07 de Junho de 2007].
38
Bibliografia