sistemas de control avanzado - notas de aula · respuesta de sistemas mimoelementos del...

Sistemas de Control AvanzadoNotas de Aula

Juan Carlos Cutipa Luque

Departamento Académico de Ingeniería Electrónica

4 de junio, 2019

Respuesta de sistemas MIMO Elementos del compensador Recuperación

Introducción

Contenidos:

1 Control LQG/LTR.

2 Control H innito.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation


Control LQG/LTR

El método aplicado aquí se aplica a sistemas de fase mínima. Los temasrequeridos para está sección son, control óptimo LQR y estimadores deestado. Sea el sistema dinámico denido por:

x = Ax+Bu,

y = Cx,(1)

cuya función de transferencia puede ser:

G(s) = C(sI −A)−1B, (2)

donde:Φ(s) = (sI −A)−1. (3)

La dupla [A,B] es estabilizable, que quiere decir que todos los modosinestables son controlables. La dupla [A,C] es detectable, que quiere decirque todos los modos inestables en el sistema son observables.



Control LQG/LTR

Supongamos que GA(s) representa la planta real con incertidumbres detipo multiplicativa:

GA = [I + ∆(s)]G(s), (4)

donde ∆(s) representa el error multiplicativo y tiene la restricciónsiguiente:

σ(∆(s)) ≤ em(ω) (5)



Sensibilidad

Consideremos el sistema con disturbio en la salida d y ruidos en lossensores n. La salida se expresa por:

y = GNK(I +GNK)−1(r − n) + (I +GNK)−1d (6)

y = (I +GNK)−1(r − d) +GNK(I +GNK)−1n. (7)

La sensibilidad del sistema es:

∆Hcl = (I +GRK)−1∆Hol, (8)

y representa las variaciones del sistema en lazo cerrado frente avariaciones de sistema en lazo abierto, causado por variaciones en laplanta GR = (I + ∆)GN .



Sensibilidad

La restricción de sensibilidad para SISO es:

|1 + g(jω)k(jω)|−1 ≤ 1/p(ω),∀ω ≤ ω0, (9)

donde p(ω) son las especicaciones de desempeño y ω0 es el rango defrecuencia del sistema.

σ((I +G(jω)K(jω))−1

)<< 1. (10)

oσ(S) << 1. (11)



Especicaciones de robustez para sistemas SISO

El buen tracking o acompañamiento de la señal de referencia estáespecicado por αr; el rechazo a los disturbios por αd y el rechazo aruidos de los sensores por αn. Además, el error de modelado por eM quecrece con la frecuencia. La función de transferencia en lazo abierto esgNk.



Condición de estabilidad robusta SISO




Sigue la demostración de condición deestabilidad robusta:

|gRk − gNk|

|gNk|<|1 + gNk||gNk|

(12)

Denimos error multiplicativoεM = (gR − gN )/gN , de donde:

|εM (jω)| < 1

|TN (jω)|. (13)

Siendo que |εM (jω)| ≤ eM (ω):

|TN (jω)| < 1

eM (ω). (14)




la planta real es expresada por el error multiplicativo en relación a laplanta nominal.:

gR = (1 + εM )gN (15)

Limitando |εM | ≤ eM (ω) y por el teorema de Nyquist (asumiendo que el# de pólos inestables en malla abierta es el mismo para gN y gR):

gR(jω)k(jω) 6= 1. (16)

sustituyendo:(1 + εM (jω))gN (jω)k(jω) 6= 1. (17)

multiplicando y organizando:

1 + gNk + εMgNk 6= 0, (18)

1 + εMgNk

1 + gNk6= 0, (19)

1 + εMTN 6= 0, (20)




donde TN es la función de transferencia en lazo cerrado. Asumiendo loslimites |ε(jω)| ≤ eM (w), se tiene

la condición de robustez de la estabilidad

|TN (jω)| < 1

eM (w),∀ω. (21)

El error de modelado eM (ω) crece con la frecuencia y se debe buscar queTN sea aún más pequeño en alta frecuencia.

Para expresar en función dela lazo abierto y considerando queeM (ω) >> 1 en alta frecuencia, podemos reescribir:

la condición de robustez de la estabilidad

|gN (jω)k(jω)| < 1

eM (ω),∀ω > ω0. (22)



Condición de desempeño robusto SISO

La especicación de desempeño del sistema es dada por p(ω) denida enel rango 0 ≤ ω ≤ ω0 (buen tracking y buen rechazo a disturbios).Considerando el error de modelado eM (ω) < 1 en baja frecuencia, setiene:

|gR(jω)k(jω)| ≥ p(ω),∀ω : 0 ≤ ω ≤ ω0 (23)

Sustituyendo la planta real:

|1 + εM ||gNk| ≥ p. (24)

Por hipótesis |εM | ≤ eM ⇒ 1− |εM | ≥ 1− eM . Luego por desigualdades|1 + εM | ≥ 1− |εM | ≥ 1− eM ≥ 0.Luego, se tiene:

(1− eM )|gNk| ≥ p, (25)

que lleva al resultado de:

la condición de desempeño robusto SISO

|gN (jω)k(jω)| > p(w)

1− eM (ω),∀ω ≤ ω0. (26)



Respuesta en frecuencia de sistemas MIMO

Sea el sistema multivariable:

G(s) =

1

s+ 10

010

3s+ 1

(27)

No es posible ahora gracar el Bode, y nos ayudamos con los valoressingulares:

Valores singulares

σ(G) = max‖x‖=1 ‖Gx‖ =√λmax[G∗G]

σ(G) = mın‖x‖=1 ‖Gx‖ =√λmin[G∗G]

Código Gnu-Octave

https://octave-online.net/bucket~5pxLqTeavMU3D2ciSwMC3b


https://octave-online.net/bucket~5pxLqTeavMU3D2ciSwMC3b


Modelo nominal

El método aplicado aquí se aplica a sistemas de fase mínima. Los temasrequeridos para está sección son, control óptimo LQR y estimadores deestado. Sea el sistema dinámico denido por:

x = Ax+Bu,

y = Cx,(28)

cuya función de transferencia puede ser:

G(s) = C(sI −A)−1B, (29)

donde:Φ(s) = (sI −A)−1. (30)

La dupla [A,B] es estabilizable, que quiere decir que todos los modosinestables son controlables. La dupla [A,C] es detectable, que quiere decirque todos los modos inestables en el sistema son observables.



Ceros de transmisión

Reescribiendo la dinámica:[sI −A −BC 0

] [xu

]=

[0y

](31)

s = zk es un cero de transmisión si un dado estado inicial x(0) = x0 ysiendo la entrada u(t) = u0e

−zkt para (t ≥ 0), entonces y(t) = 0 para(t ≥ 0). [

zkI −A −BC 0

] [x0u0

]= 0 (32)

zk es un cero del sistema A,B,C cuando el sistema de ecuaciones tienesolución no trivial, o sea la matriz anterior sea singular o:

det

[zkI −A −B

C 0

]= det(zkI −A)︸︷︷︸

6=0

det[C(zkI −A)−1B]︸︷︷︸=0

= 0 (33)

Finalmente:det[G(zk)] = 0 (34)



Ejemplo: calcule los pólos y ceros de transmisión

G(s) =1

s+ 2

[s− 1 44,5 2(s+ 1)

](35)

El rango norma de G(s) es 2. Calculamos la determinante de G(s):

detG(s) =2(s− 1)2 − 18

(s+ 2)2= 2

s− 4

s+ 2. (36)

Si igualamos el numerador a cero, obtenemos un cero de transmisión enZk = 4 en el SPD (semiplano derecho). Luego, el sistema también tieneun pólo en s = 2 en el SPI (semiplano izquierdo).

Código Gnu-Octave

https://octave-online.net/bucket~8eR6NbvAR8H2DxiPKKNhEg


https://octave-online.net/bucket~8eR6NbvAR8H2DxiPKKNhEg


Condición de estabilidad robusta MIMO

Extendemos (demostración, ver [2]) lo desarrollado en SISO para MIMO y

la condición de estabilidad robusta es

σ(TN (jω)) <1

eM (ω),∀ω, (37)

donde σ(εM (jω)) ≤ eM (ω).La aproximación para frecuencias altas, también es válida y podemostambién expresar

la condición de estabilidad robusta como

σ(GN (jω)K(jω)) <1

eM (ω),∀ω > ω0 o cuando eM >> 1. (38)



Condición de estabilidad robusta MIMO

Grácamente:la condición de estabilidad robusta como

σ(GN (jω)K(jω)) <1

eM (ω),∀ω > ω0 o cuando eM >> 1. (39)



Desempeño robusto MIMO: tracking

Del diagrama de bloques con el sistema nominal, el error:

e = [I +GNK]−1r − [I +GNK]−1d− [I +GNK]−1n. (40)

La relación de buen tracking es la relación entre e y y:

e = [I +GNK]−1r, (41)

especicada por αr << 1 y que ocurre en un rango de frecuenciaΩr = ω := ω ≤ ωr.



Desempeño nominal MIMO: tracking

Expresamos la relación del erro en función de la especicación αr. Elerror es:

‖e‖ = ‖(I +GNK)−1r‖≤ ‖(I +GNK)−1‖.‖r‖, (42)

‖e‖‖r‖≤ ‖(I +GNK)−1‖= σ((I +GNK)−1). (43)

Luego de usar desigualdad triangular y la denición ‖G‖ = σ(G). Ahorausamos la propiedad σ(G−1) = 1/σ(G)

‖e‖‖r‖≤ 1

σ(I +GNK). (44)

Además por especicación ‖e‖/‖r‖ ≤ αr << 1, es suciente que:

1

σ(I +GNK)≤ αr. (45)



Desempeño nominal MIMO: rechazo a disturbios

σ(I +GNK) ≥ 1

αr. (46)

Usando la prop. σ(G)− 1 ≤ σ(I +G) ≤ σ(G) + 1 y como 1/αr >> 1:

σ(GN (jω)K(jω)) ≥ 1

αr,∀ω ∈ Ωr. (47)

Análogamente, para la especicación de rechazo a disturbios αd << 1que ocurre en un rango de frecuencia Ωd = ω := ω ≤ ωd:

σ(GN (jω)K(jω)) ≥ 1

αd,∀ω ∈ Ωd. (48)



Desempeño nominal MIMO: rechazo a ruidos

El rechazo a ruidos de la medida se deduce de la relación de diagrama debloques:

y = −(I +GNK)−1GNKn. (49)

Aplicando norma y sus relaciones:

‖y‖ = ‖ − (I +GNK)−1GNKn‖ ≤ ‖(I +GNK)−1GNK‖.‖n‖≤ ‖(I +GNK)−1‖.‖GNK‖.‖n‖.

(50)

Aplicando la denición de norma:

‖y‖‖n‖≤ σ((I +GNK)−1).σ(GNK), (51)

y la relación σ(G−1) = 1/σ(G), se tiene:

‖y‖‖n‖≤ 1

σ(I +GNK).σ(GNK). (52)



Desempeño nominal MIMO: rechazo a ruidos

La especicación de rechazo a ruidos es dada por ‖y‖/‖n‖ ≤ αn << 1en Ωr = ω := ω ≥ ωn. Por tanto es suciente:

σ(GNK)

σ(I +GNK)≤ αn. (53)

Suponiendo que GNK pequeño, entonces σ(I +GNK) ≈ 1 y:

σ(GN (jω)K(jω)) ≤ αn,∀ω > ωn. (54)



Desempeño robusto MIMO

Sustituimos la planta nominal GN por la planta real GR = (I + εM )GN yusando propiedades de valores singulares podemos llegar a las relaciones:

la condición de desempeño robusto en baja frecuencia

σ(GN (jω)K(jω)) ≥ p(ω)

1− eM, (55)

donde ‖εM (jω)‖ = σ(εM ) ≤ eM . Sustituyendo el modelo real en laecuación de desempeño nominal de rechazo a ruidos (54), se tiene:

σ((I + εM )GNK) ≤ αn. (56)

Después de la utilización de propiedades de valores singulares, se tiene:

la condición de desempeño robusto en alta frecuencia

σ(GN (jω)K(jω)) ≤ αn1 + eM

. (57)



Estabilidad y desempeño robustos MIMO

Podemos visualizar las condiciones dadas σ(GN (jω)K(jω)) ≥ p(ω)

1− eM(baja

frecuencia) y σ(GN (jω)K(jω)) ≤ αn

1 + eM(alta frecuencia) en el siguiente

gráco.



Elementos del compensador

Asumiendo la planta LIT:

x = Ax+Bu,

y = Cx,(58)

y si todos los estados están disponibles C = I. Por tanto, una ley decontrol simples es u = −Gx. Luego el sistema realimentado queda:

x = (A−BG)x, (59)

con la matriz G constante es ajustada de tal manera que los autovaloresλi(A−BG) estén en el SPI o tengan parte real negativa.



Estimador de estados

Consideremos la propia dinámica de la planta como estimador:

˙x = Ax+Bu. (60)




Siendo que el error de estimación de estados es ex = x− x, su dinámicaserá:

ex = x− ˙x. (61)

Luego, sustituyendo las dinámicas del sistema y del estimador, se tiene:

ex = Aex. (62)

Quiere decir que la convergencia del error está limitada por la dinámicade la planta (los autovalores).




Podemos usar la información adicional, denida como innovación y − ypara formar un estimador:

˙x = Ax+Bu+H(y − y), (63)

donde y = Cx y la matriz de ganancia H es constante que permitiráalocar los autovalores de la dinámica del error.

ex = Aex −H(y − y) = Aex −H(Cx− Cx) (64)




La dinámica del error (62) se convierte en:

ex = Aex −H(y − y) = Aex −H(Cx− Cx) (65)

ex = (A−HC)ex (66)

Podemos alocar los autovalores de A−HC para una rápidaconvergencia del error, escogiendo apropiadamente la matriz H.



Estructura del compensador LQG

Una vez denido el controlador G y el estimador H, nuestrocompensador queda en la forma:



Lazo cerrado en espacio de estados

El modelo en espacio puede ser obtenido del diagrama de bloques. Delbloque compensador K(s):

v(t) = −e(t)− Cz(t) (67)

z(t) = Az(t) +Hv(t) +Bu(t) (68)

u(t) = −Gz(t) (69)

Sustituyendo (67) y (69) en (68), podemos reescribir la dinámica delcompensador K(s):

z(t) = (A−HC −BG)z(t)−He(t) (70)

u(t) = −Gz(t). (71)

Aplicando Laplace:

K(s) = G(sI −A+HC +BG)−1H. (72)




Ahora, cerramos la malla con e(t) = r(t)− y(t) = r(t)− Cx(t) y laplanta (58). Obtenemos la malla cerrada:

x(t) = Ax(t)−BGz(t) (73)

z(t) = (A−HC −BG)z(t) +HCx(t)−Hr(t) (74)

y(t) = Cx(t) (75)

y en la forma matricial:[x(t)z(t)

]=

[A−BG −BGHC A−HC −BG

] [x(t)z(t)

]+

[0

−H

]r(t)(76)

y(t) =[C 0

] [ x(t)z(t)

](77)




Realizamos la transformación de variables de estado:

x(t) = x(t) (78)

w(t) = x(t)− z(t), (79)

para escribir nuevamente la dinámica en lazo cerrado:[x(t)w(t)

]=

[A−BG BG

0 A−HC

] [x(t)w(t)

]+

[0

H

]r(t) (80)

y(t) =[C 0

] [ x(t)w(t)

]. (81)

Esta última representación nos permite usar la propiedad de separaciónde forma que separadamente proyectamos el controlador y el observadorde estados, respectivamente:

λi(A−BG), (82)

λi(A−HC). (83)




G es calculado por la solución de la ecuación de Ricatti y H es calculadopor le ltro de kalman. Las funciones disponibles en Matlab yGnu-Octave son lqr y kalman.La función de transferencia en el dominio de Laplace se puede calcularfácilmente:

TN (s) =[C 0

](sI −

[A−BG BG

0 A−HC

])−1 [0H

](84)

Usando transformaciones algebraicas simples, se llega a:

TN (s) = C(sI −A+BG)−1BG(sI −A+HC)−1H (85)



Procedimiento de Recuperación LTR

El LTR (o Loop Transfer Recovery) es valido para sistema cuyos ceros detransmisión sean de fase mínima.

Del diagrama de bloques abriendo o lazo después de GN (s), tenemos lafunción de transferencia en lazo abierto GN (s)K(s)



Control LQR

Dado o sistema (58), o control LQR consiste en minimizar el funcional:

J =

∫ ∞0

(yT (t)y(t) + uT (t)Ru(t))dt, (86)

donde R = RT > 0. Otra forma puede ser:

J =

∫ ∞0

(xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)

)dt. (87)

Para nuestro caso Q = CTC > 0. Siendo que el control u = −Gx(t), elproblema se reduce en calcular G = R−1BTX resolviendo la EcuaciónAlgebraica de Ricatti (ARE).

0 = −XA−ATX − CTC +XBR−1BTX, (88)

donde X es n× n es la única variable desconocida.



Control LQR

La ecuación Ricatti en Matlab/Gnu-Octave se resuelve con are, donde elcontrol barato ('cheap control') se alcanza con un ρ→ 0+ en:

R = ρI =

ρ. . .

ρ

(89)

De modo que el control queda en la forma:

G =1

ρBTX (90)

Código en Gnu-Octave



Lema 1: si los ceros de transmisión de lazo cerrado C(sI −A)−1Bpertenecen al SPI, entonces:

lımρ→0+

X = 0. (91)

Lema 2: sobre las condiciones del Lema 1, se tiene:

lımρ→0+

X = 0. (92)

lımρ→0+

√ρG = WC, (93)

donde W es una matriz ortogonal (WWT = I).



Demostración de Lema 2: sabiendo que

G =1

ρBTX ⇒ GT =

1

ρXTB =

1

ρXB, se tiene:

0 = −XA−ATX − CTC +XB1

ρρ

1

ρBTX, (94)

0 = −>0

XA−AT>0

X − CTC +GT

XB1

ρρ>

G1

ρBTX, (95)

GT√ρ√ρG ≈ CTC. (96)

Considerando una matriz ortogonal WT = W = I:

(√ρG)T

√ρG ≈ CTWTWC. (97)

Finalmente queda demostrado:

√ρG→WC. (98)



Teorema Fundamental LTR

Si:

A,B es controlable y A,C es observable,

GN (s) es cuadrada,

los ceros de transmisión de GN (s) son de fase mínima (∈ SPI),

la matriz de ganancia del controlador es calculada porG = 1/ρBTX con ρ > 0, y donde X es la solución de la ARE,

entonces:

lımρ→0+

K(s) = [C(sI −A)−1B]−1C(sI −A)−1H, (99)

lımρ→0+

GN (s)K(s) = C(sI −A)−1H (100)



Teorema Fundamental LTR

lımρ→0+

K(s) = [C(sI −A)−1B]−1C(sI −A)−1H, (101)

lımρ→0+

GN (s)K(s) = C(sI −A)−1H (102)

El teorema quiere decir que el sistema de control se aproxima al de lagura:



Inversión de matrices

El siguiente es un Lema de inversión de matrices:

(A+BCD)−1 = A−1 −A−1B(C−1 +DA−1B)−1DA−1 (103)

Dada las matrices:

Φ(s) = (sI −A)−1, (104)

Φ(s) = (sI −A+HC)−1, (105)

podemos expresar el Lema siguiente:

Φ(s) = Φ(s)− Φ(s)H (I + CΦ(s)H)−1CΦ(s) (106)

La demostración es trivial y se realiza usando (103):

Φ(s) = (sI −A︸︷︷︸A

+ H︸︷︷︸B

I︸︷︷︸C

C︸︷︷︸D

)−1, (107)



Demostración del teorema fundamental

Aplicando la denición (105) a la ecuación del compensador (72):

K(s) = G(sI −A+HC +BG)−1H, (108)

y transformaciones algebraicas:

= G(

Φ−1

+BIG)−1

H, (109)

= G(Φ− ΦB(I +GΦB)−1GΦ

)H, (110)

=(GΦ−GΦB(I +GΦB)−1GΦ

)H, (111)

=(I −GΦB(I +GΦB)−1

)GΦH, (112)

=((I +GΦB)(I +GΦB)−1 −GΦB(I +GΦB)−1

)GΦH,(113)

=((I +GΦB)−GΦB

)(I +GΦB)−1GΦH, (114)

= (I +GΦB)−1GΦH, (115)

= (I +GΦB)−1(√ρ)−1√ρGΦH. (116)




Continuando con la inclusión de ρ→ 0:

lımρ→0+

K(s) = (*0√ρI +

*WC√ρGΦB)−1

*WC√ρGΦH, (117)

= (CΦB)−1W−1WCΦH, (118)

= (CΦB)−1CΦH. (119)

Sustituyendo φ del Lema (106):

=(C(

Φ− ΦH (I + CΦH)−1CΦ)B)−1

CΦH, (120)

=(CΦB − CΦH (I + CΦH)

−1CΦB

)−1CΦH. (121)

=((I − CΦH (I + CΦH)

−1)CΦB

)−1CΦH. (122)




Realizando el articio de la matriz identidad:

=((

(I + CΦH) (I + CΦH)−1 − CΦH (I + CΦH)

−1)CΦB

)−1CΦH.(123)

=(

(I + CΦH)−1CΦB

)−1CΦH, (124)

= (CΦB)−1

(I + CΦH)CΦH, (125)

Sustituyendo nuevamente φ del Lema (106):

= (CΦB)−1

(I + CΦH)C(

Φ− ΦH (I + CΦH)−1CΦ)H, (126)

= (CΦB)−1

(I + CΦH)(CΦH − CΦH (I + CΦH)

−1CΦH

),(127)

= (CΦB)−1

(I + CΦH)(I − CΦH (I + CΦH)

−1)CΦH. (128)

Realizando nuevamente el articio en la matriz identidad:

= (CΦB)−1

(I + CΦH) (I + CΦH)−1CΦH, (129)

= (CΦB)−1

(I + CΦH) (I + CΦH)−1CΦH, (130)




Finalmente:

lımρ→0+

K(s) = (CΦB)−1CΦH. (131)

De manera que el proyecto de control se traduce en formatearGNK ≈ (CΦB) (CΦB)

−1CΦH = CΦH.

A este resultado también se le conoce como planta del ltro de KalmanGKF :

Finalmente:

GKF = CΦH = C(sI −A)−1H. (132)

De manera que será suciente escoger H para atender lasespecicaciones de proyecto.



Malla objetivo

La estructura de la malla objetivo presenta C y Φ de la planta, y unamatriz constante H que llamaremos ganancia del ltro.La función de transferencia de esta estructura es:

GKF (s) = CΦ(s)H. (133)

Para estabilidad robusta se debe garantizar que:

σ(TKF ) ≤ 1

em(ω)(134)



Malla objetivo

La función de sensibilidad de la malla objetivo es:

SKF (s) = (I +GKF (s))−1. (135)

La sensibilidad complementaria:

TKF (s) = (I +GKF (s))−1GKF (s). (136)



El ltro de Kalman

El sistema es perturbado por un ruido en los estados ξ ∈ <m y por ruidosen la medida v(t):

x(t) = Ax(t) + Lξ(t), (137)

y(t) = Cx(t) + v(t). (138)

Además, los ruidos son del tipo blanco gausiano y no son correlacionadosentre si (ti y ti+1):

E[ξ(t)] = 0 (139)

E[ξ(t)ξT (t)] = Ξ.δ(t− T ), (140)

donde Ξ = ΞT es la matriz de intensidad de ruido en el estado yδ(t− T ) es el ruido blanco gausiano.

E[v(t)] = 0 (141)

E[v(t)vT (t)] = Θ.δ(t− T ) (142)

donde Θ = ΘT es la matriz de intensidad de ruido en la medida.Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation


El ltro de Kalman

La estructura del ltro de Kalman es:

La dinámica del ltro:

˙x(t) = Ax(t) +H (y(t)− Cx(t)) . (143)

cuyo objetivo es minimizar:

mın

n∑i=1

E

[xi(t)− xi(t)]2, (144)



El ltro de Kalman

Se presenta la dualidad entre el KF y el LQR:LQR A B Q = CTC R X G

KF AT BT LΞLT Θ Σ HT

Por analogía con el LQR (G = R−1BTX):

HT = Θ−1(CT )TΣ. (145)

HT = ΣCTΘ−1. (146)

De la misma analogía (√ρG→WC para R = ρI y ρ→ 0), se tiene√

µHT →WLT , Θ = µI y:

√µH → LWT (147)

Esta dualidad permite obtener fácilmente un H tal queλi(A−HC) ∈ SPI.



El ltro de Kalman

Análogamente, tenemos que encontrar H a partir de la ecuación deRicatti:

HT = ΣCTΘ−1, (148)

0 = −AΣ −ATΣ − LΞLT +ΞCTΘ−1CΣ. (149)

Para resolver la ecuación arriba, necesitamos de L, Ξ, Θ, y losparámetros de la planta. Por simplicación Ξ = I y Θ = µI. Por tanto,solo falta ver como los valores de L y µ inuencian en los valoressingulares de GKF . Para eso, será necesario usar la identidad de Kalman:

[I +GKF (s)]Θ [I +GKF (s)]T

= Θ +GMA(s)ΞGTMA(−s), (150)

donde GMA(s) = C(sI −A)−1L y GKF (s) = C(sI −A)−1H. Para sudemostración, ver [2].



Aplicación de la Identidad de Kalman

Siendo Ξ = I, Θ = µI, y GH(jω) = GT (−jω), los autovalores:

λi

[I +GKF (jω)] [I +GKF (jω)]

H

= λi

I +

1

µGMA(jω)ΞGHMA(jω)

.

(151)Aplicando identidades λi(A

HA) = λi(AAH) = σ2

i (A) yλi(I +A) = 1 + λi(A), se tiene:

σ2i [I +GKF (jω)] = 1 + λi

1

µGMA(jω)GHMA(jω)

, (152)

σ2i [I +GKF (jω)] = 1 + λi

1

µGMA(jω)GHMA(jω)

, (153)

σ2i [I +GKF (jω)] = 1 + σ2

i

1

µGMA(jω)GHMA(jω)

, (154)

σi [I +GKF (jω)] =

√1 +

1

µσ2i [GMA(jω)], (155)



Desempeño y estabilidad de la malla objetivo

De (155) y siendo que σ[GKF (jω)] >> 1 (buen desempeño):

σi [GKF (jω)] ≈ 1√µσi[GMA(jω)],∀ω ∈ Ω. (156)

De (155) y siendo que CL es no singular y µ << 1 (estabilidad):

σi [GKF (jω)] ≈ 1√µσi[GMA(jω)],∀ω ∈ Ω. (157)

O sea, tanto para el desempeño como para la estabilidad, la regla es lamisma en relación a escoger µ y L de manera que GKF respete lasbarreras de desempeño y estabilidad. µ puede ser usado para ajustar lafrecuencia de cruzamiento.



Selección de los parametros del proyecto

Se procede a denir la malla objetivo:

escoger µ y L,

resolver la ARE para obtener Σ,

calcular la matriz de ganancia H del ltro de Kalman.

Hay muchas maneras de escoger LL (L en bajas frecuencias), unaalternativa es:

LL = −CT (CA−1CT )−1, (158)

y asumiendo para bajas frecuencias

GMA(jω) = C(j>0

ωI −A)−1L = −CA−1L = I:

LL = −ACT (CCT )−1. (159)

Escogemos LH (L en altas frecuencias) que torna

GMA(jω) = C(jωI −A)−1L =1

jωCL =

1

jωI:



Selección de los parametros del proyecto

Escogemos LH (L en altas frecuencias) que torna

GMA(jω) = C(jωI −A)−1L =1

jωCL =

1

jωI:

LH = CT (CCT )−1. (160)

Y si la matriz es de la forma L = MN donde N ∈ Rn×n y M ∈ Rn×m.De modo que CL = CNM = I y M = CT (CNCT )−1. Luego:

LH = NCT (CNCT )−1, (161)

que nos permite exibilidad en la elección de LH a través de Ncualquiera.



Selección de parametros (inclusión de I/s)

Adicionando un integrados a la planta:

GN (s) = Cp(sI −Ap)−1BpI/s, (162)

las matrices del modelo en espacio de estados queda:

A =

[0 0Bp Ap

], B =

[I0

], C =

[0 Cp

]. (163)

De forma que se escogen L =[LL LH

]Ten baja frecuencia y en alta

frecuencia como sigue:

LL = −(CpA−1p Bp)

−1, (164)

LH = CTp (CpCTp )−1. (165)



Referencias

1 M. Athans. A tutorial on the LQG/LTR method. American ControlConference. 1986.

2 J. da Cruz. Controle Robusto Multivariável. EDUSP. 1996.


sistemas de control avanzado - notas de aula · respuesta de sistemas mimoelementos del...

Documents