Coordenadas polares

EDDA RODRIGUEZ23488756

Las coordenadas polares• Es un sistema de referencia constituido por un eje que

pasa por el origen, la primera coordenada es la distancia que existe entre el origen y el punto y la segunda es el ángulo que forma al eje y la recta que pasa por ambos puntos.

• Son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia. En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio.

• De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia.

• Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P alorigen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P

El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Sistema de coordenadas polares• Es un conjunto que nos permite definir la posición

de cualquier punto en espacio geográfico con respecto al punto de origen. El sistema de referencia se encuentra en los ejes, puntos y planos.

Conversión de coordenadas• La representación de un punto en el plano o en el

espacio , se puede hacer mediantes varios sistemas de coordenadas que son sistema de coordenadas rectangulares y polares. la ecuación Ѳ = -π/4 y r = cos Ѳ son las ecuaciones polares de dos lugares geométricos planos .

• Para efectuar tal Y transformación debemos conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto ,X,A . Se obtienen Y relaciones particularmente simples cuando el polo y el eje polar del sistema polar se hacen coincidir , respectivamente , con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular. Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares (x, y) y por coordenadas polares (r,Ѳ) Entonces se deducen inmediatamente las relaciones

• x = r cos Ѳ• y = r sen Ѳ• x²+ y² = r²• Ѳ = arc tg y/x• r = ± √x²+y²• sen Ѳ = ± y/√x²+y²• cos Ѳ = ± x/√x²+y²

Grafica de una ecuación polar • La gráfica de una ecuación polar en el plano xy de todos los

puntos de coordenadas polares cumpliendo satisfactoriamente la ecuación dada también se puede decir que es grafica de ecuación r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los cuales

x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). La curva resultante consiste en una serie de puntos formados.

• Con respecto al sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.

Nota Tomando en cuenta con la dependencia de r con

respecto a θ. Recordemos que θ es la variable independiente y

generalmente va de 0 a 2π.Ahora que sabemos graficar coordenadas polares no

solo graficaremos puntos sino funciones.

Circunferencia• Un círculo con ecuación (θ) = 1.• La ecuación general para

una circunferencia con centro en (0, φ) y radio es

• En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:

• R(θ)=a

Rosa polar• Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.• La rosa polar es una famosa curva matemática que parece

una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple, para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa. Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo para , la gráfica de la ecuación: Es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la gráfica es una circunferencia de radio

Área de una región en el plano de coordenadas polares

• Para calcular el área se determina los limites de integración para poder hallar el area de una región polar.

• El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área.