PEMODELAN SISTEM DUA MASSA

PEGAS HORISONTAL

Disusun oleh:

1. Arvilisa Kusfitriasari 24010110120059

2. Beni Pridika Utama 24010110120060

3. Rahardian Widiarso 24010110130064

4. Fitriana Hasnani 24010110130065

5. Amilia Yuniarti 24010110130066

6. Rizkullilah 24010110130069

7. Hesti Rahayu 24010110130071

8. Rustania A L S 24010110130072

9. Rochani Puspitasari 24010110130074

10. Agustin Ayu Kusumawati 24010110130075

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG

A. TUJUAN

Mengontruksi persamaan differensial yang menjelaskan system dua massa-pegas

horizontal.

B. LATAR BELAKANG

Dalam pemodelan ini, kita ingin membahas problem yang dikenal dengan sistem

massa pegas, di mana suatu massa yang diikatkan pada pegas yang diilustrasikan

secara horizontal seperti pada gambar di bawah ini.

Sebelum menyelesaikan problem ini, akan dijelaskan terlebih dahulu beberapa teori

dan prinsip-prinsip dasar fisika yang terkait dengan fenomena ini. Sistem massa pegas

ini tidak dapat terselesaikan tanpa memformulasikan persamaan yang menjelaskan

gerakan ini. Berdasarkan Hukum Newton II, gerakan suatu titik massa dijelaskan dengan

formula

)vm(dt

dF

dimana F

adalah jumlahan vektor semua gaya yang digunakan untuk titik massa yang

mempunyai massa m. Gaya F

sama dengan laju perubahan momentum vm

, dimana v

kecepatan massa. Jika x

adalah posisi massa, maka dt

xdv

Asumsikan massa m konstan, maka

am)vm(dt

dF

dengan a

adalah vector percepatan massa

2

2

dt

xd

dt

vda

Gaya pegas pada permasalahan ini, bergantung pada elastisitas pegas dan dinyatakan

secara linier oleh posisi massa terhadap posisi setimbang. Hubungan ini didekati

secara linier yang dikenal dengan hukum Hooke, hubungan ini dinyatakan dengan

persamaan

F = -k x

Dimana k adalah konstanta pegas, dan x adalah posisi massa terhadap posisi

setimbang. Dengan menggunakan hukum Hooke dan Hukum Newton II model

matematika paling sederhana tentang sistem massa pegas dinyatakan oleh

kxdt

xdm

2

2

.

Identifikasi variabel

Variabel

Waktu : t

Jarak : x

Parameter

Gaya : F

Massa : m

Konstanta pegas : k

C. APROKSIMASI DAN IDEALISASI

a. massa konstan

b. tidak ada gaya gesek luar yang mempengaruhi pergerakan pegas

c. Gaya luar yang beraksi pada massa satu dan massa dua tidak ada kecuali gaya pegas

d. massa bergerak dari kiri ke kanan (dimensi satu)

D. MODEL

Gerakan kedua massa ini dinyatakan dalam arah sumbu X. misalkan

𝑥1, 𝑥2 menyatakan gerakan massa satu dan massa dua yang dihitung dari dinding kiri.

Pada kondisi saat waktu t yang digambarkan ini, menunjukkan bahwa

Rentang pegas satu sebesar 𝑥1 − 𝑙1 (> 0)

Rentang pegas dua sebesar 𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙2(> 0) oleh karena itu besarnya gaya pegas

yang bereaksi pada masing-masing massa adalah sebagai berikut:

Gaya pada massa satu:

𝐹2𝑘𝑖𝑟𝑖 = 𝑘2 𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙1 , 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝐹1

+ 𝐹2𝑘𝑖𝑟𝑖 = −𝑘1(𝑥1 − 𝑙1) + 𝑘2(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙2)

Gaya pada massa dua:

𝐹2𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 = −𝑘2(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙2)

Sehingga menurut hukum Newton II, diperoleh persamaan gerak massa satu,

𝑚1

𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= 𝐹1 + 𝐹2𝑘𝑖𝑟𝑖 = −𝑘1 𝑥1 − 𝑙1 + 𝑘2(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙2)

Persamaan gerak massa dua,

𝑚2

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= 𝐹2𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 = −𝑘2(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙2)

Dengan demikian persamaan model gerakan massa satu dan massa dua secara

simultan dinyatakan sebagai berikut,

𝑚1

𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘1 𝑥1 − 𝑙1 + 𝑘2(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙2)

𝑚2

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −𝑘2(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙2)

E. SOLUSI MODEL

Jika 𝑥1∗, 𝑥2

∗ adalah posisi setimbang masing-masing dari massa satu dan massa dua

yang diukur terhadap dinding kiri, maka harus dipenuhi 𝑑2𝑥1

𝑑𝑡 2 (𝑥1∗, 𝑥2

∗)=0 dan

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡 2(𝑥1

∗, 𝑥2∗)=0. Dari persamaan ini, maka

-𝑘1 𝑥1∗ − 𝑙1 + 𝑘2(𝑥2

∗ − 𝑥1∗ − 𝑙2)=0

-𝑘2(𝑥2∗ − 𝑥1

∗ − 𝑙2)=0

diperoleh posisi setimbang 𝑥1∗ = 𝑙1 dan 𝑥2

∗ = 𝑙1 + 𝑙2

Jika gerakan massa dinyatakan terhadap masing-masing posisi setimbangnya, maka perlu

melakukan transformasi koordinat yang berpusat diposisi setimbangnya. Transformasi

ini misalkan 𝑧1 = 𝑥1 − 𝑥1∗ = 𝑥1 − 𝑙1 dan 𝑧2 = 𝑥2 − 𝑙1 − 𝑙2. Dari transformasi

koordinat ini, maka 𝑑2𝑥1

𝑑𝑡 2 =𝑑2𝑧1

𝑑𝑡 2 dan 𝑑2𝑥2

𝑑𝑡 2 =𝑑2𝑧2

𝑑𝑡 2 . Sehingga diperoleh system

persamaan diferensial berikut;

𝑚1

𝑑2𝑧1

𝑑𝑡2= − 𝑘1 + 𝑘2 𝑧1 + 𝑘2𝑧2

𝑚2

𝑑2𝑧2

𝑑𝑡2= 𝑘2𝑧1 − 𝑘2𝑧2

Jika diberikan 𝑚1 = 2, 𝑚2 = 1 dan 𝑘1 = 4, 𝑘2 = 2, maka persamaan di atas menjadi,

2𝑑2𝑧1

𝑑𝑡2= −6𝑧1 + 2𝑧2

𝑑2𝑧2

𝑑𝑡2= 2𝑧1 − 2𝑧2

Atau

𝑑2𝑧1

𝑑𝑡 2= −3𝑧1 + 𝑧2 (a)

𝑑2𝑧2

𝑑𝑡 2 = 2𝑧1 − 2𝑧2 (b)

Untuk menyelesaikan persamaan di atas, dilakukan dengan cara substitusi sebagai

berikut. Dari persamaan (a), maka 𝑧2 =𝑑2𝑧1

𝑑𝑡 2 + 3𝑧1, kemudian didiferensialkan ke t

dua kali diperoleh , 𝑑2𝑧2

𝑑𝑡 2 =𝑑4𝑧1

𝑑𝑡 4 + 3𝑑2𝑧1

𝑑𝑡 2 , dan kemudian disubstitusi ke persamaan (b),

maka diperoleh persamaan diferensial dalam 𝑧1 dan t, sebagai berikut :

𝑑4𝑧1

𝑑𝑡 4+ 5

𝑑2𝑧1

𝑑𝑡 2+ 4𝑧1 = 0 (c)

Jika dinyatakan dalam bentuk operator D = 𝑑

𝑑𝑡, maka persamaan (c) dalam bentuk

operator dituliskan oleh,

(𝐷4 + 5𝐷2 + 4)𝑧1 = 0 (d)

Solusi dari persamaan ini adalah 𝑧1= 𝑒𝑟𝑡 , maka persamaan particular untuk persamaan

ini adalah,

𝑟4 + 5𝑟2 + 4 = 0 atau (𝑟2 + 1)(𝑟2 + 4)=0

Dan diperoleh akar – akar karakteristik : 𝑟1,2=±i dan 𝑟3,4=±2i. jadi solusi umum untuk

𝑧1adalah 𝑧1 𝑡 = 𝑎1𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑎2𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑏1𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑏2𝑠𝑖𝑛2𝑡. Dengan cara yang sama

dilakukan untuk mendapatkan solusi 𝑧2. Dan diperoleh solusi

𝑧2 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑐2𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑑1𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑑2𝑠𝑖𝑛2𝑡

Jika 𝑧1dan 𝑧2 disubstitusikan ke (a),

0 = 𝐷2𝑧1 + 3𝑧1 − 𝑧2

0 = -𝑎1 cos 𝑡 - 𝑎2 sin 𝑡 - 4𝑏1cos 2t -4𝑏2 sin 𝑡 + 3(𝑎1 cos t + 𝑎2 sin 𝑡 + 𝑏1cos 2t +

𝑏2 sin 𝑡) + -(𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sin 𝑡 + 𝑑1 cos 2𝑡 + 𝑑2 sin 2𝑡)

0 = (2𝑎1-𝑐1 ) cos t +(2𝑎2-𝑐2) sin t + (-𝑏1-𝑑1 )cos 2t + (-𝑏2 - 𝑑2) sin 2t

Karena cost, sint, cos2t, sin2t adalah bebas linier, maka koefisien-koefisien harus

sama dengan nol, yaitu diperoleh:

𝑐1 = 2𝑎1 𝑑1 = −𝑏1

dan

𝑐2 = 2𝑎2 𝑑2 = −𝑏2

Jadi solusi umum: 𝑧1(t) = 𝑎1 cos 𝑡 + 𝑎2 sin 𝑡 + 𝑏1cos 2t + 𝑏2 sin 𝑡

𝑧2(t) = 2𝑎1 cos 𝑡 + 2𝑎2 sin 𝑡 − 𝑏1cos 2t - 𝑏2 sin 𝑡

Solusi ini dapat ditulis dalam bentuk yang lain sebagai berikut:

𝑧1(t) = A cos (t-𝜙) + B cos (2t- 𝜃)

𝑧2(t) = 2A cos (t-𝜙) + 2B cos (2t- 𝜃)

Dengan A= 𝑎12 + 𝑎2

2 , tan 𝜙 = 𝑎2

𝑎1 , B= 𝑏1

2 + 𝑏2 2 dan tan 𝜙 =

𝑏2

𝑏1

Dengan masalah syarat awal: 𝑧1(0) = -1, 𝑧1(0) = 0, dan 𝑧2(0) = 2, 𝑧2(0) = 0. Dengan

menggunakan syarat awal ini,

-1 = a1 + b1

0 = a2 + 2b2

2 = 2a1 – b1

0 = 2a2 – 2b2

Dari hubungan ini diperoleh, a2 = 0, b2 = 0, a1 = 1 3 , b1 = −43

Jadi solusi eksak z1,z2 adalah

z1(t) = 1

3 cos t -

4

3 cos 2t

z2(t) = 2

3 cos t +

4

3 cos 2t

grafik solusi digambarkan sebagai berikut :

Dari grafik diatas, dapat disimpulkan bahwa massa 1 dan massa 2 akan bergerak terus

menerus tanpa pernah berhenti.

F. INTERPRETASI

Model yang didapat dari pembahasan diatas adalah

𝑚1

𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘1 𝑥1 − 𝑙1 + 𝑘2(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙2)

𝑚2

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −𝑘2(𝑥2 − 𝑥1 − 𝑙2)

Solusi yang didapat dari pembahasan di atas adalah sebagai berikut

𝑚1

𝑑2𝑧1

𝑑𝑡2= − 𝑘1 + 𝑘2 𝑧1 + 𝑘2𝑧2

𝑚2

𝑑2𝑧2

𝑑𝑡2= 𝑘2𝑧1 − 𝑘2𝑧2

dengan m1, m2 : Massa balok

k1, k2 : Konstanta pegas

t : Waktu

z1 (t) : rentang pegas satu (bergantung pada waktu)

z2(t) : rentang pegas satu (bergantung pada waktu)

artinya rentang pegas satu dan dua dalam system pegas dua massa bergantung pada

waktu, dan dipengaruhi oleh besar massa, konstanta pegas dan panjang pegas.