sinai's walk via stochastic calculus by zhan shi universit ‰e paris vi summary. sinai's...

25

Upload: others

Post on 09-Feb-2022

15 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

����������� � �� �� ����� ����������������� ���� ����� ��

!#"

$&%('*),+�%(-.0/2143*57698714:2;5=<?>*6@1A8CBED

FHG�ICIKJMLON(PRQMSUTWVXSZY\[^]_VX`ba�cZd(e�fg�hji�k&SU[lVnmpo@qOr#msmpo@T�tT#o@Vumso@[vtxwyT#o@Sbz|{~}(�|r#mmsVXT��#�|��]�VX`ba��|T��CS�T�m�VXTW�#�|��o@T��MSbmp�|T���o@T�tO�#VXTW��SU[�mpoO��r#tvo@�����Xm�Sbtp[�o9�*w�XtpSUq�[p`b��]������Xo@��o@T~tO�_d�e���c�`b�XzHgEk��u�MVX[�g�zX�~o@[�tv��SUT#��TWSbty�X�&��{#o��Wmpo@[vo@T~t��Vu�(oOm?[prW����VumsSb Oo@[�tp{#o�Vu�W�Wmp�|VXq�{¡�*SUV�[vtv�Mqs{WVX[ptpSUq=qOVX`UqOrW`UrW[nSUT¢tp{#o=[vtprW�#��X�QMSUTWVXS4Y\[R]_VX`ba��0�£{#o¤��VXSUT�tv�*�|`2SU[�tp{#o¦¥£V7�|§~¨¦T�Sbz|{�t_tp{#oO�Xmso@��]£{WSUq�{��#o9w[pq9m�Sb}(o@[?tp{#o�`b�MqOVX`tpSU��o���mp�*q9o@[s[¦�X�ª©�mp�7]£T�SUVXT����XtpSb�|T�[vtv�X�W�(o@��Vut«[p�|��o[v�(o@qOSUVX`�msVXT��#�|��tpSU��o@[O�0��{Wo?��oOtp{#�*��S�[_�XoOmp���(��]RoOmp��rW`4�¬#�Xm£o9�MVX����`boX�WSbtVX`U`U�7]£[¤tv�Kc�S�kno@[vtpVu}�`USU[p{�VX`�`tp{#o��(�|[p[pSU}�`bo�­?®oO�*��qO`UVX[p[vo@[¯���Xm�QMSUTWVXS4Y\[?]_VX`ba�°c�SUSAkn�#oOtvoOms��SUTWo�tp{#o�o@[pqOVu�(o�m�Vutvo��X�_�AV7�X�|r#msSbtvo�[pSbtvo@[O��±²t«SU[¦SUT~tvoOmpo@[vtpSUTWz�tv���o@T~tpSb�|T³tp{WVut�tp{Wo«`UVutvtvoOm?�Wmp�X}�`bo@��mpo@��VXS�TW[��X�(o@T��A�Xmntp{#o�r�[prWVX`2msVXT��#�|�]_VX`ba���´µT~r��¯}(oOm��X�=rWTWVXTW[v]�oOmpo@��¶*r#o@[vtpSb�|TW[@��]£{�SUqs{�q9�|TWq9oOmsT·�¸VumsSU�|rW[VX[v�M���Wtv�XtpS�q��Wmp�X�(oOmptpSUo@[��X�«QMSUTWVXSZY\[�]�VX`Ua���Vumpo¢`USU[vtvo@�¹Vut�tp{Wo³o@TW�º�X�¤tp{#o��Vu�(oOm@�»�¼ NR½¯¾*L�¿(À�PÁ¥�VXTW�#�|�Â]_VX`baÃSUTÃm�VXTW�#�|�Âo@T~�MSbmp�|TW��o@T~tO�ª�WSÅÄ2rW[pSb�|TÃS�TjVmsVXT��#�|�Æ�(�Xtvo@T�tpSUVX`Z�W¥£V@��§~¨¦TWSUz|{�t�tp{WoO�Xmpo@���ÇÉÈ�È�È¢Ê J(ËsÌ ¼ IKJ(ËsÍyÎ�À�FHG^Ï~Ð ¼ Î~Ë�ÑnÒ4JMÀ@À7ÍAÓHÎuJ(ËsÍy¾MÔRP�Õui�Ö¤×uiM�2Õui|Ø�ÕuiM�

Ù Ú0ÛÝÜ_Þªß�àÃáÃâ¦Ü_ã¸ß³Û

äå�æ¯çéèëê4çHìxí¦î¤ï�ð¦ñ ! å�'~)Ã-�òó-�òóôlò¦õ¸öM÷�÷Aå¸õ7æ9-�öM)Cö*ø_ù9'*)(ô�öMúüû~'*ù�-�' ! ÷Aå¸ý¦æO'~þ�-�)(ÿ�û~'*÷��(å¸ý«-A)�ê���í��Xñ��^ý��(õO%æ9%('~æ¦æ9%(å�ý���EöMùsæ�ö~ø_æ9%(å�÷�'���ö*øRç� �-�ý¦õ¸öM)#æO'~-A)(å�ôC-A)¹ê���í��|ñ@ò���^öM)C'*) " ù åu'~÷A-��¸'~æ9-�öM)Ýö*ø¤ê4çHìxí�înïjð¦ñê��¦%�-AõO%��nå�õ¸'*÷A÷&'*)���������� �!�#"$����%�ñ&�'��å�õu'*)�ô(å�(2)(å�'*)C'*ù�þ*öXûÝõO%2'*-�)¹ê,+ e í.-0/1�#ñ !W" +2 ?è3��'~)(ô

4¢ê5+ e�6�7 è18:9;+ e è1<0í>=uçHì�?Xì�@BA#ñ�èDC ç�E -�ø�8�è1<GF1�H��JI�ç#E -�ø�8�è1<KIL�H�� ö*æ %(å¸ùM�¦-Aý å~ò�

Page 2: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

N¤%(åO�ù ö�õ¸å¸ý�ý�ê,+ e íP-Q/1�Mñ£-Aýn'�ý ö Rvõu'~÷A÷Aå�ôK�TSU�#V#�!" WXSUY�Z$���[�TSU�#V#�!" �����\���T�!��"]�'�!%^��ö*ùný -�ú_�÷ "`bac`�de�R'*)(ô�-�æ9ý�öMù -�ÿM-A)jõ¸'*) ! å�æ9ù '*õ¸å�ô ! '*õOþ¹'~æ�÷Aåu'~ý�æ�æ9öfNHå¸ú³þW-A)hgji'�lk�òfm=)(å¢ö*ønæ9%(å�-A)#æ9å�ù å¸ýsæ9-�)(ÿøZåu'�æn�(ù�å¸ý?ö*øæ %(å�ú³ö�ô(å¸÷^ö*ø�`bac`Jd -�ý�æ9%('~æ?-�ænå&o�%�- ! -�æ9ýný�öMú³åp(%(å�)(öMú³å¸)2'q�¦%(-AõO%�'*ù�å�)(ö~æ?ý %('*ù å�ô !W"æ9%�åq��ý��2'*÷ù '*)(ô(ö*úD�?'~÷AþÉòN¤%(ù ör�(ÿM%(öH��æ=æ9%(å:2'r^å¸ùl�!��å�'*ù�å�-A)#æ å¸ù å�ý�æ å¸ôÃ-A)�æ9%(å�'*ý " ús�æ9ö~æ9-Aõ ! å¸%2'uû�-AöH��ù ý=ö*øt`\ac`JdL�()(ô(å�ùæ9%�å�' ! ý öM÷���æ9åu�ù ö ! ' ! -A÷�-�æ " 4éêBv�'*)()(å¸'*÷Aå�ôw*(ù öH^å¸ùsæ9-�å¸ýOñ@ò+�öM÷�öMú�ö*)xgjy{z{k³êyý�å¸åº'*÷�ý ö}|�öH�¸÷�öXû~g��Hz{k=øZö*ùÝ'�2'*ùsæ9-Aõl�(÷�'~ù¢õu'~ý åXñ¡õ�öMú_�÷Aå�æ å¸÷ " ý�öM÷�û*å¸ô æ9%(åÃæ ù9'*)'R

ý -�å¸)(õ�å��~ù�å¸õl�(ù ù�å¸)(õ�å_(ù�ö ! ÷�å¸ú øZöMùu`bac`Jd¦ò2�«åG(ù�öXûMå¸ôÃæ %2'~æ³ê�+ e í�-�/��#ñ¦-Aý=ù�å¸õB��ù ù å�)#æ�-�ø£'*)(ôÃö*)(÷ "-�ø �1�

÷AöMÿ �>I¹ç� ç� � è3���êM�*ò��|ñ�v)Cæ %(å�æ9ù '*)(ý�-Aå¸)#æ�õu'*ý�år�&-²ò å~ò����¦%(å�) êM�Mò��|ñ¦øy'~-A÷Aýl�^+�öM÷�öMú�ö*)�g�yrz{kRô(å�æ å¸ù�ú�-�)(å¸ôCæ %(å�ý;Eå�å¸ôÃö*ø�æ9%(åX�n'*÷�þ!�

%(-�ý�÷�'���ö*ø£÷�'*ù�ÿMå�)��(ú ! å¸ù�ý��n'*ý�÷�'�æ9å¸ù�ô(å�û*å¸÷AörEå�ô¹-�)Wæ ö�'¡õ¸å�)Wæ ù9'*÷ª÷�-Aú³-�æ¦æ9%�å¸öMù�å¸ú !#" |�å¸ýsæ9å�)¹å7æ�'*÷�òg��^y k²òN¤%(å¢û*å¸ù " ô(å¸÷�-Aõ¸'~æ9å³ù å�õB�(ù�ù å¸)#æ�õ¸'*ý å_�?'*ý�'*)2'*÷ " ��å¸ô�-�)�'Cõ�å¸÷�å ! ù '~æ9å�ô�2'r^å¸ù�ö*ø«+�-A)('*-�gjyr� k,�ª'~)(ô-Aý¯æ9%(å�ú¢'*-�)Cý;� !�� å¸õ7æ�ö*øªæ9%(-�ýp2'{Eå�ù¸òuNHö�'Xû*öM-Aô,æ9%(å�ê4æ9ù�-�û�-�'*÷�ñ?)(öM)'Rxù9'*)(ô�öMúÂå¸)#û�-Aù ö*)(ú�å�)#æ�õu'*ý�år�b��å'*ý�ý��(ú³å �

��� èéû~'*ù � ÷�öMÿ �>I�ç� ç� ��� ���êM�*ò��Mñ�«å�ù å�-Aý¯+�-A)2'*-�� ý?æ %(å¸ö*ù å¸úëøZöMù¤ù å�õB�(ù�ù å¸)#æp`bac`�d¤ò�X� ����� ��" �U���x�& \����SU��¡�¢�£U¤¦¥Ã.H/!§�576�êM�r���|ñ�>*/!§ÝêM�r���Mñn¨P©n5Oª�>*3*5�

�êy÷�öMÿt-ñ � + e¬«�­�®I�¯ °&±�íêM�*ò²�#ñ

©³ª257695[´ «�­�®I�¯¶µq§�57/2·�:v5O8¹¸º·�/23*576�»�57/2¸O5�14/½¼�>r©.¾N¤%(å¤ô(å�)(ý -�æ " ø��()(õ7æ9-�öM)�ö*ø2æ9%�å?÷A-�ú�-�æRô�-Aý�æ ù - ! ��æ9-�öM)�-�)�êM�*ò²�#ñ\�?'~ýª÷�'~æ å¸ù�ô�å�æ9å�ù ú³-A)(å�ô�-A)(ô�åB^å¸)(ô(å�)#æ9÷ "

!#" |�å¸ýsæ9å¸)�g��{¿rk0'*)(ôfÀ�öM÷AöMý�öXû0gÁ��� k �4Kg²°&±�ï�ô�<Uk&è � ±Ã ÄnÅ êMIq�|ñ Ä�HÆ�Fc� å&o�ÈÇ\I ê,�rÆ:F1�|ñ �  �� 9 <t9ÊÉ�ô�<��êM�*òj¿Wñ�xæ¯-Aý¤-�)Wæ å¸ù�å¸ý�æ -A)(ÿ�æ9ö�)(ö~æ9å�æ9%2'~æ¦-�)Ýæ9%(å�ù å�õB�(ù�ù å¸)#æ«õu'*ý�år�2æ9%�å�ú�'*ÿM)�-�æn��ô(å�öMù ô�å¸ù�êy÷�öMÿP-ñ � ö*øRæ9%(åu�n'*÷Aþ-Aý¤úX�(õO%,ý�ú¢'~÷A÷Aå�ùnæ9%('*)Ë- 7�Ì � ��æ9%�å�ú�'*ÿM)�-�æn��ô(å�öMù ô�å¸ù¤ö*øHæ9%(å��(ý;�2'*÷0ù9'~)(ô(öMúÍ�?'*÷�þÉòN¤%(åf�ù å¸ý�å¸)#æÎ('rEå�ù³'*-Aú³ý�æ9öºÿM-�û*åC'~)ÁöXûMå�ù�û�-Aå��Âö*ø�æ %(å�ù å�õB�(ù�ù å¸)#æ_�?'*÷�þ�� !#" æ9%(å�ú�å7æ9%(ö�ô·ö*øý�æ ö�õO%('*ý�æ -Aõ�õu'*÷�õB�(÷��(ý¸òGN¤%�ù öH�(ÿ*%(öH��æ�æ9%�ås('rEå�ùB�\��å¢'*ý�ý��(ú³å,êM�Mò��|ñ,Ï&êM�Mò²�Mñ&�0'*)(ôjæ9%(å�ù å�õB�(ù�ù å�)Wæq�n'*÷Aþê,+ e ñ�-�ý�ù å7øZå¸ù�ù å¸ô�æ öj'*ý_ b����SU�ÑÐ�Ò½WXSUY�Z�òQN¤%�åÝú�å7æ9%(ö�ô�ö*ø¯ý�æ ö�õO%('*ý�æ -Aõ¡õ¸'*÷Aõl�(÷��(ý�ô(ö�å�ý�)(ö*æ�ô�-Aù å�õ�æ ÷ "�

Page 3: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

'r�÷ " æ9ö�+�-A)('*-,�óýt�?'*÷�þ�� ! ��ænù '~æ9%(å�ù£æ ö�'�õ¸öM)#æ9-�)��(öH�(ýÑRxæ9-�ú�å¦ú³ö�ô�å¸÷U�¦%(-AõO%¢-Aý�ù å�÷�'~æ å¸ô�æ ö�+�-�)2'*-�� ýt�n'*÷Aþû�-�'�'*)�-A)#û~'*ù�-�'*)(õ�åu(ù -�)(õ¸-�(÷Aå�ê�N¤%(å�öMù å�úÓ��ò���-�)C+�å¸õ�æ -AöM)��#ñ@òa�å�ù�å�øZå¸ù�æ öjæ %(å ! ö�öMþWý�ö*øp`�Ôå7ûPÔå¸ý��$g�yH� k¦'*)�ôÕ�J�(ÿM%(å�ýfg��Hy k���'*ýG�nå�÷A÷¤'*ý�æ %(å�÷Aå¸õ7æn�(ù�åÝ)(ö*æ å¸ý�ö*ø$&å¸-�æ9öH��)(-JgjiryTk��HøZöMù ! '~õOþ�ÿ*ù öH�()�ô�'*)(ô¹ÿMå¸)�å¸ù9'~÷t(ù öH^å¸ùsæ9-�å¸ý�ö*ø�`bac`Jd¤ò�+�å¸å�'*÷Aý�öK+�å�õ�æ -AöM)]Ö�øZö*ù�ô�-AýMRõB��ý ý -�öM)(ý¯ö*øRý öMú³å�ù å�÷�'~æ å¸ôÝæ9öH�-Aõ¸ý¯'*)�ô�ø���ù�æ9%�å¸ù¦ù å7øZå¸ù å�)(õ¸å�ý¸òN¤%(å�ù å�ý�æ¯ö*ø0æ9%(åu('rEå�ù¤-Aý¤öMù�ÿ#'*)(-��¸å�ô�'*ý?øZöM÷A÷�ö��¦ý¸ò×�v),+�å�õ�æ9-�öM)Ø�'����å�-A)#æ9ù�ö�ô��õ¸å�æ %(å�õ¸öM)#æ9-�)��(öH�(ýÑRæ9-�ú�å¯ú³ö�ô(å�÷E-�)ÎÙ��(å¸ýsæ9-�öM)b�2'*)�ôÝå�o'(÷�'~-A)¡-�)Ý+�å�õ�æ9-�öM)Ë�:�¦% " æ %(-Aýn-Aýnù�å¸÷A'~æ9å�ô¢æ9ö³+�-�)2'*-�� ýP�?'~÷AþÉò£+�å¸õ7æ9-�öM)¿¡-�ý«æ9%�å�%(åu'~ù�æ�ö*øªæ %(å¹2'{Eå�ùB�2�¦%(å�ù åX��å�öH��æ ÷A-�)(å�æ %(å�-�ô(åu'¢ö~øP�(ý -�)(ÿÝý�æ ö�õO%2'~ý�æ9-�õ�õ¸'*÷Aõl�(÷��(ý¯æ9öÝýsæn�(ô "+�-�)2'*-,�óý��n'*÷�þ�û�-�'�'=õ�öM)#æ9-�)���öH�(ýMR�æ9-�ú�å�ú�ö�ô(å¸÷²ò�mu��ù_ú¢'~-A)�æ ö�öM÷��¦-A÷�÷ ! ånæ %(å>`«' " Ï'|�)(-�ÿM%#æ_æ9%(å�öMù å�ú�øZö*ùÚnù�öT�¦)�-�'*)Ã÷�ö�õ¸'*÷Hæ -Aú³å¸ý�òq�v)¹+�å�õ�æ -AöM)Qy'���nå�'*ù�å�-A)#æ9å�ù å�ý�æ9å�ôj-A)j'¡ô(-�Û&å�ù å¸)#æ�õ�öM)#æ9-�)���öH�(ýMR�æ9-�ú�å�ú³ö�ô(å¸÷ê��¦%�-AõO%�õ�öMù ù�å¸ý;EöM)�ô(ý�æ ö�æ ù9'*)�ý -Aå�)#æ¹`bac`Jd�ñ&�0'*)(ô¹å�o'(÷�'~-A)j%(ö�� ý�æ ö�õO%('*ý�æ -Aõ³õu'*÷�õB�(÷��(ý�õu'*) ! ås�(ý�å¸ôøZöMù�ý;�(õO%Á'0�ù ö�õ¸å¸ý�ý¸ò·+�å¸õ�æ -AöM)}ÖÃ-�ý�ô(å�û*ö*æ9å�ô æ öj' ! ù -�å�ø¯ô(å¸ý�õ¸ù�-��æ -AöM)�ö*ø¯ý�öMú�åÝ-�ú_^öMùsæO'*)#æ�ù å¸÷A'~æ9å�ôæ9ör(-Aõ�ýJ�¦%(-�õO%f��å�ô(ö�)(ö*æ«ý�æn��ô " -A),æ %(åq(ù å�ý å¸)#æu('rEå�ùB�Éæ9öMÿ*å�æ9%�å¸ù>�¦-�æ9%C'³øZå���ù å7øZå¸ù å�)(õ¸å�ý¸òpÜ�-A)2'~÷A÷ " �-A),+�å�õ�æ -AöM)Øi'���å�ú�å�)Wæ -AöM)�ý�öMú�å�örEå�)Ø(ù�ö ! ÷�å¸ú³ý?øZöMù¯+�-A)('*-,�óýÝ�n'*÷AþÉòÞ ß â¦ß³Û¡ÜªãuÛ�áKß³áÈà#á2Ü_ã�â ãäâ ß�à½ãuåäå�æÝæ è ê,æ�ê�<Eñ@í.<Cïfçnñ ! å�'�ýsæ9ö�õO%2'*ý�æ -AõJ(ù ö�õ¸å�ý ý£ô(ål(()(å¸ô�öM)sçéý;�(õO%¢æ %2'~æÝæ¢ê��#ñ�è¬��ò×èéô(-�Û2��ý -Aö*)(ù�ö�õ�å¸ý ý×é_êÃè ê�é_ê£ê�ë�ñ@íPëÝ/c�#ñH-�)�ù9'*)�ô(öMúìEö*æ å¸)#æ9-A'*÷�æ_�M-Aý�'*)�-A)�øZöMù ú�'*÷Wý öM÷���æ9-�öM)�æ ö�æ9%�å¤ý�æ9ö�õO%2'*ýsæ9-�õô(-�Û&å�ù å¸)#æ -�'*÷lålÙ��2'~æ9-�öM) í

ô�é_ê�êîë�ñªè ôï�ê�ë�ñ³I 7� æqðZêîé_ê�êîë�ñ ñ�ô�ëé_ê£ê��#ñªè3� íê,��ò��|ñ�¦%(å�ù åÝê�ï�ê�ë�ñ7í;ëe/ñ�#ñ?-�ý�'�ý�æ9'*)(ô2'*ù�ô½Únù�ö��¦)(-�'*),ú�ö~æ9-Aö*)�-�)(ô(ålEå�)(ô(å¸)#æ�ö*øPæ�òòa�å��¦ù -�æ9å�'³ý;� ! ý õ�ù -��æ

øZöMùOé_ê æ ö�-A)(ý�-Aý�æ�ö*)ºæ %(å�ô(åB^å¸)�ô(å¸)(õ�å¢ö*ø.é_êÕ�^öM)Ãæ9%(å*^ö*æ9å�)#æ9-�'~÷Pæ_�0'*)(ô0�¦-A÷�÷�÷A'~æ9å�ù�öM)j÷Aö�öMþC'�æû~'*ù -�öH�(ý¤å&o('~ú_(÷�å¸ý¤ö*ø×æ�ò+�æ9ù�-Aõ7æ9÷ " ý�^åu'*þW-A)�ÿ�^æ %(åX�ù ö�õ¸å¸ý�ý�é_ê�ý %�öH�(÷Aô ! å�õ¸öM)�ý -Aô�å¸ù å�ôÃ'*ý«'�ô(-�Û2��ý -Aö*)��¦%(ö*ý å�õ�öM)(ô(-�æ9-Aö*)2'*÷

ÿMå�)(å¸ù '~æ9öMù¦ÿM-�ûMå�)fæ -�ý �� å ê\ójE�ô ôô�< Ç å õ êbó²E�ô ôô�< É ��xæ¯-Aý¤)(ö���õ¸÷Aå¸'*ù?æ9%('~æ¤æ9%(å�^ö*æ9å�)#æ9-�'~÷�æ ô(ö�å�ý¦)(ö*æ¯)(å¸å�ô�æ ö ! å�ô(-�Û&å�ù å¸)#æ -�' ! ÷�å*òa�å¯)(ö��L(ù�ö�õ�å¸å�ô�æ9ö�ÿMå7æ�'*)¡'*)('*÷ " æ9-�õu'*÷�'*)(ô³ú�ö*ù å¤æ9ù�åu'~æ9' ! ÷Aå¤å&o'(ù å�ý ý -�öM)¢øZöMù×é_êªò×è«ý ý���ú�å¦æ9%2'�ææ -Aý«'�õ�ö'~ô(÷Mö'*ÿ*(ù�ö�õ�å¸ý�ý�êyù�-AÿM%#æ;Rxõ¸öM)#æ -A)��(öH�(ýe�¦-�æ9%�÷A-Aú³-�æ ý?öM)�æ9%(å�÷Aå�ø4æOñ¤'*)(ôC-�ý¦÷Aö�õu'*÷�÷ "�! öH��)(ô(å¸ô&ò�Ü2öMùåu'~õO%,ù�åu'*÷�-��u'�æ9-Aö*)¡ö*øHæ9%(å�^ö*æ9å�)Wæ -�'*÷\æ_�2-�ø���åq�¦ù�-�æ9å÷ E � èñø E å êbó²ù�ô ô8^í <Cïfç¯íê,��ò��Mñ�¦%(-�õO%,-�ý¦'�ý�õu'*÷�å=ø��()(õ7æ9-Aö*)�ö~ø#é_êt�(æ9%�å¸)¹ê ÷Jú\û ójü�ô ítë�/1�Mñn-Aý¦'�õ¸öM)#æ -A)��(öH�(ý¦÷�ö�õ¸'*÷&ú�'*ù�æ -A)(ÿM'*÷Aå{�Wæ %(å¸ù�å

Page 4: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

å�o�-�ý�æ9ý¤æ %(å¸ù�å�øZöMù�å�'�ý�æ9'*)(ô2'~ù ôØÚnù ö��¦)(-A'*)�ú�ö*æ -AöM)ºê�ýÝê�ë�ñ&�ë�/1�#ñn-�)(ô(ålEå�)(ô(å¸)#æ«ö*ø×æ_�2ý��(õO%�æ9%2'�æ÷ úbû ójü�ô0è3ýÝê,þ�êîë�ñ ñ7íê,��ò²�#ñ�¦%(å�ù åXþ³êîë�ñ � è ÿ ÷ ú\û � ê�ë�ñ?ô(å�)(ö*æ9å�ý¯æ %(å�-A)(õ�ù å¸'*ý -�)(ÿ_�ù ö�õ¸å¸ý�ý�'~ý ý ö�õ¸-A'~æ9å�ô��¦-�æ9%Ýæ9%�å�÷�ö�õ¸'*÷lú�'*ù�æ -A)(ÿ#'~÷Aå÷ úbû ò��«ö*æ åªæ9%2'~æ0-�)�õu'*ý�å�þ�ê�� ñ����3�|æ %(å�ù ål(ù å�ý å¸)#æ9'~æ9-�öM)Ýê���ò²�Mñ&-A)#ûMöM÷�ûMå�ýRöM)�÷ " ê�ýÝêEñ&����1þ�ê�� ñ�ñ7òa�å�ô(å�(2)(å�æ9%(åu(2ù�ý�æ¯%(-�æ æ9-�)(ÿ�æ9-�ú�å�ý¤ö*ø³ý ��ê *ñªè -A)�ø�=�ë � � � ý¡ê�ë�ñ � �?Wí � ���ê,��òj¿WñN¤%(å�)Èþ�ê�� ñªè �

ê ÷ ±�ñ�êî�¦%(-AõO%�õu'~) ! åu(2)(-�æ9å�öMù¤-A)'(2)(-�æ åXñ@ò³a�ù�-�æ -A)(ÿ�� øZöMù?æ9%(å�-�)Wû*å¸ù�ý å�ö*øtþ ���ê *ñ � è3þ:õ 7 ê *ñªè3ø�� å õ � ê\ó������������� ô ô�0í �! � ��1þ�ê"� ñ7íê,��ò�yMñ'*)(ôË��å�ÿ*å�æ¦æ9%(å�øZöM÷�÷Aö��¦-A)�ÿ�ù ål(ù å�ý å¸)#æ9'~æ9-�öM)�øZö*ù�é êZõ�øpò.Únù�ö�oQg�z{k�ñ �é_ê£ê�ë�ñ�è ÷ õ 7# ó%$ �&� ójü�ô�ô í ë�/1���ê,��ò²Ö#ñ�«å�ù å{� ÷ õ 7 '*)(ô'� õ 7 '*ù�å=æ9%(å�-A)#û*å¸ù ý�å¸ý«ö*ø ÷ '~)(ô(�q�(ù�å¸ý;Eå�õ�æ9-�ûMå�÷ " òN¤%(å�ù å¸'*ý öM)Ë�¦% " é_ê¹-Aýnö*ø�-�)#æ9å¸ù�å¸ýsæ¯æ ö*�(ý¤-Aý?æ %2'~æe��å�õ¸'*)�å¸ú ! å¸ô,+�-�)2'*-,�óýÝ�n'*÷Aþ�-A)#æ9öGé_êQ�¦%�å¸)-�æ ý¤ù9'*)�ô(öMú ^ö*æ9å�)#æ9-�'~÷�æ %2'*ý¯'G2'*ù�æ -Aõl�(÷�'*ù�øZöMù ú�ò×N¤%(-�ý¯-�ý¤ô(öM)(å�-�)�æ %(å�)(å�o�æ¯ý å�õ�æ -AöM)lòa�å�õ�÷AöMý�å_æ9%(-�ýlý å�õ�æ9-�öM) !W" (ù å�ý å¸)#æ -A)(ÿ¤æ9%�å�øZö*÷A÷Aö��¦-�)(ÿ�æ %(å¸öMù�å¸úÆö~ø�Ú�ù ö�o_g�z{kH�¦%(-�õO%�-�ý0'¤õ¸öM)#æ9-�)��(öH�(ýÑRæ9-�ú�å='*)2'*÷�öMÿH�(å�ö*ø_+�-�)2'*-,�óýnæ %(å¸öMù�å¸ú ù�å¸õu'~÷A÷Aå�ôÝ-A)ËN¤%(å�öMù å�ú �Mò��*ò�X� ����� ��" )b���x��*¹�T�,+~¡.-¤¦¥�D0/�ê,æ¡êî<Eñ7ít<Kï½çnñ�1A8�>21¦6n· ©ª/21y>*/�3K·�:y1,·�/�¨�:�ª257/é_ê£ê�ë�ñ

êZ÷AöMÿ×ë�ñ � «�­�®I�¯ °&±�íê,��ò�iMñ©³ª257695�:îª25q¼�>r©¬·4/J°&± 1A8X§�505�/&5�§³14/ºêM�r�j¿Wñl¾NRö¡æ %(å ! å¸ýsæ�ö*ø�ú " þW)(ö��¦÷Aå�ô(ÿMå{�&æ9%(å�ù å�%('*ý ! å¸å¸)Ãý�ö¡øy'*ù¯)(öÝù -�ÿMöMù ör�(ý�'~ù ÿH�(ú³å¸)#æ�ý %(ö��¦-A)�ÿ¢æ9%2'�æúbû ójü�ôó «7698 ü�ô;: ê��¦%(å�)0æ -AýJÚnù ö��¦)(-A'*)f^ö*æ å¸)#æ9-A'*÷4ñn'~)(ô < :ó «7698 e ô=: + e êZøZöMù«+�-�)2'*-�� ýe�n'*÷Aþ�ñ?ý %(ör�(÷Aô�>?>^671,·�6@1l%('Xû*åæ9%�å�ý '*ú³å�÷A-Aú³-�æ�ô(-�ý�æ9ù�- ! ��æ9-Aö*)lò�+�å�å�+�� ! ý å�õ�æ -AöM)½i�ò���øZöMù¦'�øZå��Æõ¸ö*ú�ú³å¸)#æ9ý>�^öM)Ýæ9%�-Aý¸ò@ A~â B$ã=àÃàÃãuÛDC E�ãuÛDF�ãHG;àJIKF¹åML ã¸ÛÝÜ�ß F àÃãON·áÈà_ã¸ß³ÛPr�(ýsæ�'*ý�æ %(åÎ�(ý;�2'*÷�ù9'*)(ô�öMú �?'*÷�þjõu'*) ! åK2'�æ9%^�¦-Aý�å¡õ¸öM)�ý�æ9ù;�(õ�æ å¸ô�øZù ö*ú 'fÚnù ö��¦)(-A'*)�ú³ö*æ9-�öM)¹û�-A'

+�þ~öMù öMþW%(ö�ôb�óý�å¸ú ! å�ô(ô(-A)�ÿ�_+�õO%���ú¢'*õO%�å¸ùËg�y{¿rk�êyý�å¸å¢'*÷Aý�öÃ+�öM÷�öMú³öM) gjyrz k4ñ�ú¢'~ô(å³æ %(å³-AúsEöMùsæO'*)#æ�ö ! Rý å�ù�û~'~æ -AöM)¢æ %2'~æ�-�æn-Aý.EöMý�ý - ! ÷Aå¦æ9ö�å�ú ! å¸ô�+�-�)2'*-,�óýP�?'*÷�þ,ê,+ e ñ�-�)Wæ ö�'�ô(-�Û2��ý -Aö*)K(ù�ö�õ�å¸ý ýn-A)¡'�õu'*ù�å�ø��(÷�÷ "¿

Page 5: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

õO%(öMý�å¸)¡ù '*)(ô(ö*ú Eö*æ å¸)#æ9-A'*÷�ò�NRö�ô(å�(2)(å«æ %(-AýP2'~ù�æ9-�õB�(÷A'*ùªù9'~)(ô(öMú ^ö*æ9å�)#æ9-�'~÷,�H��å�ý�æ9'*ù�æ�øZù�öMú '�+�-A)2'*-�� ý�n'*÷Aþjê�+ e ñò�¦%�öMý å�å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æ¤ç·è ê4çHìxí�î�ïKð¦ñ�ý9'~æ -Aý;((å¸ý�êM�Mò��|ñ5ÏEêM�Mò²�Mñ7ò_ä0å7ææ¡ê�<Eñ � è eÃìÅ 7 ÷Aö*ÿ �JI�çHì

çHì í -�ø�<Cï}gÊ-�ín-sF1�|ñ�øZöMùe-jïKð=íê���ò��|ñ�¦-�æ %,æ %(å�õ¸ö*)Wû*å¸)#æ9-�öM)(ýRQ ì Å 7 <2ì � è��¢'*)(ôSQ eì Å 7 <2ì � è~< õ 7 FUTVTVT F < e øZö*ù«)(å�ÿ#'~æ -�ûMå:-�ò��v)f�nö*ù ô(ýl�={æ¢êî<Eñ��U<�ï�ç>?Ã-Aý�'�ý�æ9ål¹ø��()�õ�æ9-�öM)È�¦-�æ %�æ¡ê��#ñ�è¶�'���¦%�-AõO%�-�ýXWÉ'~æ�öM)ºåu'*õO%¹-A)#æ9å�ù�û~'*÷Jg;-Rín-�F~�|ñ���¦-�æ % � �(ú_�ýpæ�ê�-lñ³I�æ¡ê�-�I=ñ�è ÷�öMÿ 7 õ�Y[ZY Z êZøZö*ùe-ºïCð¦ñ7ò�«ö���æ %2'~æHöH�(ù�^ö*æ9å�)Wæ -�'*÷^æé-�ýõO%(öMý å�)b�r��å�õ¸'*)�ô�ål(2)(å�'¦ô(-�Û��(ý -�öM)�(ù ö�õ¸å�ý ý�é_ê�û�-�'�ê,��ò��|ñ&�~öMù0ú³öMù åù -�ÿMöMù�öH�(ý ÷ " �#û�-�'Ýê���òjÖ#ñ7ò×�xæ?-Aýnå¸'*ý " æ9ö�õO%�å¸õOþ�æ %2'~æ¤÷�-Aú�ý;� ü;\J± é_ê£ê�ë�ñ�è]� '~)(ôÝ÷A-�ú�-A)�ø�ü;\>±Èé_ê£ê�ë�ñ�èI^�3�42Rp'�òóý¸ò��Éý ö�æ9%2'�æe�nå�õu'*)�ô(å�(2)(å�æ9%(å�ý ålÙ��(å¸)(õ�åÝê0_ e íò-0/1�#ñ !#" -A)�ô�(õ�æ -AöM) � _b � è3��'*)�ô_ e�6�7 � è -�)�ø[`�ë � _ e � 9 éKê£êîë�ñ³I$é_ê�ê0_ e ñT9~è��baHí -,èc��í��Mí&��íMTVTVTê���ò��Mñäå�æ ÷ E � èdc E å êbó²ù�ô ô8 ! å�'~ý«-�)�ê���ò��*ñ7ò�è«ýJ��å�%2'uû*å�'*÷�ù åu'~ô " Eö*-A)#æ9å�ô,öH��æ��2øZöMù¯'*) " ÿM-�û*å¸)Èæ*� ÷ -�ý'�ý õ¸'*÷Aå�ø��()(õ7æ9-�öM)�ö*øRæ %(å�ô(-�Û��(ý�-AöM)Îé_êt�2ý ö�æ9%2'�æ¤øZöMù¤åu'*õO%Ø-0/1���4�eTé_ê£ê_ e�6�7 ñ�è î!Fc�gfff é_ê£ê_ e ñªè î��Rê�ç Ä ñ Ä @BA�h�è ÷ ì!I ÷ ì õ 7÷ ì 6�7 I ÷ ì õ 7 èéçHìRí�¦%(-�õO%,ú³åu'*)�ý¦æ %2'~æ�êîéKê£ê0_ e ñ7í�-0/1�#ñn-Aý¤ô(-�ý�æ ù - ! ��æ9å�ô,'~ý�ê�+ e íP-0/1�#ñ@òPa¹å�'*ù�ù -�û*å�æ9%��(ý¯'~æ ��X� ����� ��" ib���x�& kj �ml "$S�j � ���3¡�¢�nU¤Ñ¥�oH57:�ê,+ e ñ(p75rqÉ14/^>*1ts 8Ë©£>r¼�u0©³ªU·X8X5,57/23X146º·�/�3¢57/2:=8¸>*:y1A805?5O8êM�r���|ñOvWêM�H�²�Mñn¨�>*/!§0¼A57:Oæ p75,>�8�14/éê������|ñB¾ÁD0/¹é_ê 1A8C>�§*1 wyx#871,·�/z>^6n·�¸O5O8O8�14/{>U·�:v57/2:y1y>r¼Pæ*¨�>*/!§¹1 /ê_ e íò-$/¬�#ñ�1A8X§�505�/&5�§Ý>�8�14/¹ê����²�Mñº¨£:îª257/|/�·�6�5 >�¸ºª�695 >r¼b1;}X>*:y1,·�/$·4/�ê4çHìxí�înïjð¦ñº¨£ê�é_ê�ê_ e ñ7íU-]/3�Mñ>*/!§¡ê�+ e í.-È/c�#ñOª�>*3*5�:�ª25�8¸>&3¢5:§*1A87:y6@1ptx�:y1,·�/!¾

N¤%(å¸ö*ù å¸ú ��ò���ý ' " ý�æ9%('~æ³ê�é_ê£ê_ e ñ@íU-Õ/��#ñ�-Aý�+�-A)2'*-�� ý��?'*÷�þÉòGm=)(å�ú�' " ÷A-�þ*å�æ ö�ÿMå�æ�ù�-AôÃö*ø£æ9%�åù9'~)(ô(öMú õ�÷Aö�õOþÃê0_ e ñ@òtN¤%(-Aý¦õ¸'*) ! å�ô(öM)(å�û�-�'�æ %(å�øZöM÷A÷�öT�¦-�)(ÿX�ù öH^å¸ùsæ " ò~q� ���t�!Ò��î%T������ib��)d��8O8OxH3¢5«êM�H���|ñOvWêM�H�²�MñB¾�.0/!§�576t4³¨�ê0_ e�6�7 Ig_ e í.-0/1�#ñ¦1A8¯>�8X5��txÉ57/2¸O5p·4/¤141�§�6�>*/��§�·�3 3�>*6@1y>�pB¼A5O8º¨¤5 >�¸ºªf§*1A87:²6@1ptx�:p5�§�>�8«-A)�ø�=�ë � � � 9Êý¡ê�ë�ñT9Mè �r?H¨.©³ª257695pý 1A8�>¢87:�>*/!§#>*6;§21¦6n· ©ª/21y>*/3K·�:y1,·�/!¾+�-A)�õ¸å|_ 7 %2'~ýO(2)(-�æ å�å�o'^öM)(å�)Wæ -�'*÷�ú�öMú³å¸)#æ ý=ý��(õO%Ãæ %2'~æ � g7_ 7 k�èD�H�&æ9%�å�÷�'���ö*ø£÷�'*ù�ÿMå�)��(ú ! å¸ù�ý

ý9' " ý�æ9%('~æX42Rv'*÷Aú³öMýsæ�ý���ù å¸÷ " _ e�� -³�×-1¯ ��òfÜÉö*ù�ú³öMù å_(ù å�õ¸-�ý -Aö*)b�_öM)(å�õu'*)[��ý å¢æ %(å¢-�æ9å¸ù '~æ9å�ô÷Aö*ÿ#'*ù -�æ9%(ú�÷�'��éæ9ö�ý�å¸å=æ9%('~æ�_ e è¬-:F���ê�� -�÷�öMÿ�÷AöMÿt-�ñ&�'42Rv'*÷Aú³öMý�æný��(ù�å¸÷ " ò«ê�N¤%(-�ýn-�ý�æ9%�å=ù å¸'*ý öM)¡øZö*ù�¦%(-�õO%ÝöM)(åO�¦ù -�æ9å�ý?ý öMú³å�æ -Aú³å¸ý�+ e?� éKê�ê�-ñ&�(å�û*å¸)Ýæ9%(ör�(ÿM%¡æ9%�å=æ9ù���å=ú�å¸'*)(-�)(ÿ�ù å�ý -�ô(å¸ý?-�)�N¤%(å¸ö*ù å¸úy

Page 6: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

��ò��|ñ7ò��v)Kû�-Aål� ö~øPN¤%(å¸öMù�å¸ú ��ò���'*)(ôS�ªù örEöMý�-�æ -AöM)f��ò����E-�ø×�nå�õ¸'*)½(ù�öXûMå�æ9%('~æ ú\û ó e ôó «7698 e ô=: õ�öM)#ûMå¸ù�ÿMå¸ý�-�)÷�'���æ öG°&±3�¦%(å¸)¡æ %(åp^ö*æ å¸)#æ9-A'*÷�æ -Aý£ô(ål(()(å¸ôÝ-�)Ãê��'���|ñ&��æ %(å¸)Î��å��¦-�÷A÷É%2'uûMåp(ù öXûMå�ô�+�-A)('*-,�óý£æ %(å¸ö*ù å¸úý�æ9'~æ9å�ô,-�)¹êM�Mòj�#ñ7òN¤%(å�)(å&o�æ�ý å�õ�æ9-�öM)C-�ý�ô(å7ûMö*æ å¸ôKæ ö¢ý %�öT�¦-�)(ÿ¡%(ö���æ ö¡%2'*)(ô�÷Aå�æ9%(å:(ù ö�õ¸å�ý ýpé_êt�^û�-A'³æ9%�å�ý�æ��(ô " ö*øæ9%�åX(ù�ö�õ�å¸ý ý�ö*øª-�æ ýJ((ù ý�æ�%(-�æ�æ9-�)(ÿ�æ9-Aú³å¸ý�ò>�xæ��¦-�÷A÷læ9%�å¸) ! å�õ�÷Aåu'~ùJ�¦% " ý�æ9ö�õO%2'*ýsæ9-�õ�õu'~÷AõB��÷��(ý¯-Aý«'�ÿMö�ö�ôæ9ö�öM÷²ò� E¡Ü_ß�â��DFXàRܪã¸â â�FXåuâ«áÈå¸áÈàJ�Mß³Þ�E�ãuÛDF�ãHG;àJI�FXåMLäå�æ:æ ! å�õ�ö'*ô(÷Ñö'*ÿ�'*)(ôj÷�ö�õ¸'*÷A÷ ",! öH�()�ô(å¸ôb�H'*)�ôº÷�å�æOé_ê ! å�'Ýô(-�Û2�(ý�-AöM)È�ù ö�õ¸å¸ý�ý�-�)ÈEö~æ9å¸)#æ -�'*÷×æÂ'~ýô(å�(2)(å¸ô,-A)¹ê,��ò²Ö#ñ@ò×a�å�-�)Wæ ù ö�ô�(õ�å=æ9%(å�(ù�ö�õ�å¸ý ý¯ö*ø#(2ù ýsæ¯%(-�æ�æ9-A)�ÿ�æ9-Aú³å¸ý¤ö~ø�é_ê ���ê0 Mñ � è -A)�ø2=�ë � é_ê£ê�ë�ñ � �?£í � ���ê�¿�ò��|ñm ! ý å�ù�û*å�æ %2'~æ���ê *ñ�-�ý¯ù�å¸÷A'~æ9å�ô�æ öGéKêjû�-�'�æ9%(å�øZöM÷�÷Aö��¦-A)�ÿ�æ9ù�-�û�-�'*÷Eù å�÷�'~æ -AöM)(ý�%(-� ���ê *ñ�� ë���� ý�� ��,�9��ü é_ê£ê��|ñ � T�ê�¿�ò��Mña�å�)(ö�� (ù ö�õ¸å�å¸ô�æ öCÿMå7æ�'�õ¸öM)#ûMå�)(-Aå�)#æ�øZöMù ú¹��÷�'~æ -AöM)KøZöMù���ê0 Mñ@òØÚ " ê���òjÖ#ñ����nå¢%2'uûMår��ê0 Mñ�è��ê � ê�+¦ê *ñ ñ ñ&�U�¦%(å¸ù�å � ê *ñ?è�-A)�ø&=�ë � � � ýÝê�ë�ñ � �?³'*ý�-�)�ê,��òj¿Wñ@ò�è«õ¸õ�öMù ô(-�)(ÿ¢æ ö�æ9%�å�ô(ål(()(-�æ -AöM)�ö*ø�Æ-�)¹ê,��ò²yMñ���æ9%(-�ý¤÷Aåu'~ô(ý¤æ9ö � ��ê0 Mñ_è ø < ó��b Ñô å õ � ê�ó�� ��������¡� ô ô���À�-�ûMå�)hæ*����ê0 Mñ�-Aý³'*) '*ô(ô(-�æ9-�ûMå¡ø��()(õ7æ9-�öM)2'*÷¤ö*ø¯æ9%�åØÚ�ù ö��¦)(-�'~)Áú³ö*æ9-�öM)[ýK�n'*)(ô -�æ�-�ý�)2'~æn��ù9'*÷næ ö-A)#æ ù ö�ô�(õ¸å�ꢫêîë@í�<Eñ7ítëÝ/¬��íP<Cïfçnñ��læ %(å�÷Aö�õu'*÷&æ -Aú³å=ö*ø³ý¢òPN¤%2'~æ¦-�ýB�(øZöMù¦'*÷�÷bÚnö*ù å¸÷lø���)(õ�æ -AöM)¤£½/c���ø ü £_ê�ýÝê��|ñ�ñ¡¥H��èñø§¦�£_ê�<Eñ¨¢«êîë@í�<Eñ�ô�<���xæ¤-�ý?þW)(ö��¦)�ê�NRù�ö*æ æ å¸ù�g�iH� k�ñ£æ %2'~æy¢ '*ô(ú³-�æ ý?' � öM-�)Wæ ÷ " õ¸ö*)Wæ -A)��(öH��ýnûMå�ù ý -�öM)��¦%(-AõO%�-�ý?'*ÿ#'~-A)¡ô(å�)(ö*æ å¸ô!#" ¢¤òòÀ�öM-�)(ÿ ! '*õOþ¡æ ö2��ê *ñ�����å�ý å�å�æ %2'~æ��ê *ñ è ø �  õ ± å õ � êbó�� �&�© ô ¢¯ê � ê ÷ � ñ7í�<Eñ�ô�<ê�¿�ò²�#ñ

è ø��õ ± åTõ ê�ó«ªlô ¢¯ê � ê ÷ � ñ7í ÷ ª~ñ�ô�� è � 6 ê *ñbF�� õ ê0 Mñ@íê�¿�òj¿Wñ�¦%(å�ù å � 6 ê0 Mñ � è ø¬� å õ êbó«ªBô ¢¯ê � ê ÷ � ñ7í ÷ ª~ñ�ô�0íê�¿�ò�yMñ � õ ê0 Mñ � è ø õ ± å õ êbó�ªlô ¢«ê � ê ÷ � ñ7í ÷ ª�ñ�ô���ê�¿�ò²Ö#ñÖ

Page 7: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

è?æ¤æ9%(-�ý¤ý�æ9'*ÿMår�'�nå�õu'~),'{(÷ " æ9%�å�`«' " Ï'|�)(-Aÿ*%Wænæ9%(å�öMù å�ú ê�`¯' " g�yr� k��U|�)(-Aÿ*%Wæ�g��^iTk4ñ&�(ù å�õu'*÷�÷Aå¸ô�'~ýøZöM÷�÷Aö��¦ý¸ò­\S�jr%2n����x�¨®ÎS�¯±°m²f�#�³ � %}% � ���!�T��"�¥S´�1¶µ�· � �U¾¹¸bª25g>^6n·�¸O5O8O8Kê"¢¯ê � ê"·�ñ7íº·ËI3<Eñ&��<Í/ �#ñC1A8¸º·�/2:y14/�x�·�x#8=14/�ªU·�3K·�»�57/&5º·�x#8y»j>*6¼u^·�3X1y>*/�¨H87:x>*6@:y14/�»y/@6n·�3��U¾?D7:ª1A8�>X�H�M§*1½3¢57/�871,·�/^>r¼�8t�tx(>*695�§¾1=5O8O8X5�¼>^6n·�¸O5O8O8¿/�·�6e<Kï}g���íº·Hk�¨n>*/!§Àp75º¸º·�3¢5O8�>³8t�tx�>*695�§21=5O8O8X5�¼H>^6n·�¸O5O8O8¹·4/:§*1½3¢57/�871,·�/K��/�·�6�<Ãï}g�·2íÁ� ñB¾�«ö��Æô�ål(2)(å  6 ê��|ñ � è ¢«ê � ê ÷ � ñ@í ÷ � I�� ÷ � ñ÷ � í �2 Ã�R ì�*íê�¿�ò�iMñ  õ ê�ë�ñ � è ¢«ê � ê ÷ � ñ@í�IJë ÷ � ñ÷ � í ë�/1���ê�¿�ò²�#ñÚ " ý�õu'*÷�-A)(ÿ���øZöMù¯'*) "Ý! öH�()(ô�å¸ôØÚnöMù å�÷lø��()(õ7æ9-Aö*)2'*÷AýÄ£º'*)�ô'Å!�� gt£_ê� 6 ê"��ñ@í���ï}g���í��Bk²íÆ õ ê�ë�ñ7íënïfç 6 ñ,Å&ê,æ¢êî<Eñ7í<Cïfçnñ'k

è� gÁÅlê�æ¢êî<Eñ7í<KïØç?ñ � =b£_ê� 6 ê"��ñ@í���ï}g���í��Bk²íÆ õ ê�ë�ñ7íënïfç 6 ñ�9;æG?#k

è� gÁÅlê�æ¢êî<Eñ7í<KïØç?ñ � =b£_ê"¢¯ê � êM�|ñ@í��eI¬�|ñ7í���ï�g���í��lk�íÇ¢¯ê � êM�|ñ@í�IJë�ñ@íUë?ïfç 6 ñ&?�k

è� gÁÅlê�æ¢êî<Eñ7í<KïØç?ñ'k � =,£_ê"¢¯ê � êM�|ñ@í��eI¬�|ñ7í���ï}g���í��lk�íÈ¢¯ê � êÑ�|ñ7íBIJë�ñ@íë?ïfç 6 ñ&?ò�N¤%(å�ù å�øZö*ù år��ê" 6 íÁ õ ñC-AýÃ-A)�ô(åB^å¸)(ô�å¸)#æºö*ø�æs�¡ú�ö*ù å¸öXû*å¸ùB��'*õ¸õ�öMù ô(-�)(ÿ æ9öcÜÉ'*õ�æ0¿�ò��H�| 6 -Aýj'c�TR

ô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷¤ý;Ù��('*ù å�ôLÚnå¸ý�ý å�÷p(ù�ö�õ�å¸ý ý�öM)~g���í��lkJ�¦-�æ9%É 6 ê��#ñ¡è �'�¤'*)(ôÉ õ -Aý³'$� Rxô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)2'*÷ý�Ù��2'~ù å¸ôfÚnå¸ý�ý å�÷#�ù ö�õ¸å¸ý�ýJ�¦-�æ9%¤Â õ ê��#ñªè] 6 êÑ�|ñ7òÚ " ô(å�(2)(-�æ9-Aö*)b����å�%2'uû*å� 6 ê0 Mñ è ø¬� åTõ ê\ó«ªlô ÷ �  6 Ç ÷ � I ÷ ª÷ � É ô�0í� õ ê0 Mñ è ø õ ± å õ êbó«ªBô ÷ �  õ Ç 9 ÷ ª9÷ � É�ô���a�å�%2'uûMå�æ ö¢ýsæn�(ô " æ9%�å�'*ý " ú_�æ ö*æ9-�õ ! å¸%('Xû�-�öH�(ù ý«ö*øÇ� 6 ê0 Mñ¦'*)(ô�� õ ê *ñ��^'*ý^ ¹¯ ��òJ�«)�øZöMùsæn�'R)2'~æ å¸÷ " �\Ù��(-�æ å³'�÷�ö*æ�ö*ø£æ9å�õO%()(-�õu'*÷ªô(-;ʳõB�(÷�æ9-Aå�ý�'*ù å�-�)#ûMöM÷�ûMå¸ô2�Hý�ö���å�öM)(÷ " (ù�å¸ý å�)#æ�ý�öMú�å � � l � ��Òl%T�j-Aô�åu'*ý�òfÜ�ù�öMú )(ö�� öM)b�³��åÝ'*ý�ý��(ú³å¢æ %2'~æ�æ9%(å¡ù '*)(ô(ö*ú ^ö*æ å¸)#æ9-A'*÷òæü-Aý�ô(ål(()(å¸ô�-�) ê���ò��|ñ@òØ�v)¹æ9%(-�ýõu'~ý år�#æµ-�ý�'Î2'*ùsæ9-A'*÷Rý;�(ú (ù�ö�õ�å¸ý�ý�ö*ø£-A-AôCú�å¸'*)'R¦��å¸ù�ö ! öH��)(ô(å¸ôjù '*)(ô(öMúüû~'*ù -A' ! ÷Aå�ýB�&'*)(ôÃõu'~)jæ %��(ý! åÃ'r(ù�ö�o�-�ú¢'�æ9å¸ô !#" '�Únù�ö��¦)(-�'*) ú�ö*æ -AöM) � -A)(ô�å¸å¸ô2��'*õ�õ¸öMù�ô(-A)�ÿ¹æ9ö·'Q�nå�÷A÷¯þ�)�öT�¦) æ %(å¸öMù�å¸ú ö*ø|�öMú³÷�ÔöMý¦Ï�)C' � öMù¦Ï�N#�(ý )>Ô'~ô " g��H� k��#æ9%(å�ù å¯å�o�-Aýsæ9ý�'�õ�öH�(÷�-A)(ÿ�øZöMùòæ�'*)(ô¢'�ýsæO'*)�ô2'*ù ôKÚnù ö��¦)(-A'*)³ú�ö*æ -AöM)ê�Ë êî<Eñ7ít<Kïfçnñ�ý��(õO%�æ9%2'�æ¯'*ýeëP¯ �3�

ý���Ì E Ì ��ü 9Êæ¡ê�<Eñ³I � Ë êî<EñT9~èd�Ýêy÷�öMÿtë�ñ7í '�ò ý�ò�íê�¿�ò²z#ñi

Page 8: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

�¦%(å�ù å � � � è û~'*ù¸êy÷�öMÿ 7 õ�Y[ÍY[Í ñ?ïfçÆÎ6 '*ý¤-�ý¦ô(ål(2)�å¸ôC-�)ºêM�Mò²�Mñ@òa�å³ý�æ9'*ù�æq�¦-�æ %¹å�ý�æ -Aú�'~æ9-�)(ÿ'� 6 ê *ñ7ò¢ä0ö�öMý�å¸÷ " ý�^åu'*þW-A)�ÿ�Ï 6 êîë�ñ ! å¸%2'uû*å¸ý�ý�öMú³ål�¦%2'~æ�÷A-�þ*åGë�øZö*ùë?ï[g���íB�Bk,��ý ö�æ9%2'~æ � 6 ê *ñ � ø � å õ êbó�ªlô ê ÷ � I ÷ ª~ñ¤ôbÝè ø � ô� ø �ª ô�Ð�å ê\ó«Ñ;ô õ ê\ó�ªlô ��v)�æ9%(å�ý��-Aù -�æ¤ö*ø�ä0'r(÷�'~õ¸år�óý¦ú�å7æ9%(ö�ôb�(-�ø��nå��nö*ù þ¡-�)�æ %(å�÷AöMÿM'*ù -�æ9%(ú³-Aõ¯ý õ¸'*÷Aå{�(æ9%(å�)���åq��öH�(÷�ô�%2'uûMå÷Aö*ÿÆ� 6 ê0 Mñ � ý�� ��§ªV�§Ñº� � ê,æ�êÐ�ñ³I�æ¢ê0Eñ ñ��ê�¿�ò����Mñ

�«ål�(ù -�ý�æ9-�õ¸ý�øZöMùR� õ ê0 Mñ�)(ö���òsNRö�ú�'*þ*å³'*÷�÷�æ9%�ås�ù ö�õ¸å¸ý�ý å�ý�-A)�ô(å�o�å¸ô !#" ç 6 ����å*�¦ù -�æ åSÒæ¡ê�ë�ñ � èæ¡êÑIJë�ñn'~)(ôdÒ÷ ü � è 9 ÷ õ üº9*øZöMù.ë�/1��òÇ�¯ö*æ9å¯æ9%2'~æÝë¿Ó¯ Òæ¢ê�ë�ñ�'*)(ôÎëÏÓ¯ Ò÷ ü0%('Xû*å�ý -�ú�-�÷�'*ùt(ù�öH^å¸ù�æ -Aå�ý¤'*ýB�'*)(ô,'*ù�å�-A)(ô(ålEå�)(ô(å�)Wæ«ö*øÑ��ë¿Ó¯ æ¢ê�ë�ñ¤'*)(ô�ëÇÓ¯ ÷ üÑ�ëÝ/1��ò×a¹å�õ¸'*)�)(ö��3�¦ù -�æ9å� õ ê *ñ è ÷ � ø ± åTõÕÔê\ójü�ô  õ{Ö Ò÷ ü÷ �&× ô'ë

è ÷ � ø�Ø ó � ô åTõ Ôê\ójü�ô  õ{Ö Ò÷ ü÷ �Ù× ô�ë@í�¦%(å�ù å Úê *ñ � è -A)�ø C ë�/1� �  õ Ö Ò÷ ü÷ � × èc�mÛ0�Ü2öMù�ë?ï·ê���í Ú ê *ñ ñ&�& õ ê Ô�bÜ�   ñ ! å�%2'uûMå¸ýª÷�ö�ö*ý å¸÷ " ý�^åu'~þ�-�)(ÿ=÷�-Aþ*å�'«õ�öM)(ýsæO'*)#æ¯êî�¦%(å¸)¹ë-�ý�-�)�æ9%�ån)(å�-AÿM% ! öH�(ùMR

%(ö�ö�ô³ö*øÚê0 Mñ&�H õ ê Ô�,Ü�   ñ�ý�%(öH�(÷�ô ! å«õ�÷AöMý�å¯æ öX�'� ! ��æ�æ %(-Aý�å�ý ý å�)#æ9-�'~÷A÷ " ô(ö�å�ý�)�ö*æ?' Û&å�õ�æ£æ9%(å«'*ý " ús�æ9ö~æ9-Aõ

! å¸%2'uû�-AöH��ù¯ö~øÏ� õ ê0 Mñ?-�)¡æ9%(å�÷Aö*ÿ#'*ù -�æ9%(ú³-Aõ¯ý õ¸'*÷Aåuñ��2ý�ö³æ %2'~æ÷Aö*ÿÆ� õ ê0 Mñ � ÷�öMÿ Ö ÷ � ø�Ø ó � ô å õ Ôêbó²ü�ô ô'ë × �

Ú " ä0'r�÷�'*õ�år�óý¯ú³å�æ %(ö�ôb��æ9%�-Aý���öH�(÷Aô " -Aå�÷Aô÷�öMÿÈ� õ ê *ñ � ÷AöMÿ Ö ÷ � ý��� ���üÝ� Ø ó � ô å õ Ôêbó²ü�ô ×� ÷AöMÿ Ö å&o' Ç ý;� ��,�4� � æ¡ê"��ñ É ý;� ���üÝ� Ø ó � ô å õ Ôêbó²ü�ô ×è ý;� ��,�4� � æ¢ê"�|ñ³I -A)�ø ���üÝ� Ø ó � ô Òæ¢ê�ë�ñ��ê�¿�ò��H�Xñ

Page 9: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

NHö�ý�å¸å�%(ö�� Úê *ñ ! å�%2'uûMå¸ýl�!��å�)(ö*æ9å�æ %2'~æ !#" äH'{(÷�'*õ�år�óý¦ú�å7æ9%(ö�ôb�2÷Aö*ÿ'Ò÷ ü � ÷Aö*ÿ£ý;� �¦@&Þ �ß ü.à Òæ¡ê"�|ñ¦'~)(ô

÷Aö*ÿ ÷ � � ÷AöMÿªý;� �Ñ@�Þ �ß � à æ¡ê"�|ñ¤êZøZöMùª÷A'*ù ÿMåòë_'*)�ôg *ñ��H�¦%(å�ù å¸'*ý£æ %(å¤÷A-�øZånæ9-�ú�ånö*øk õ -Aýªö*øEõ¸ö*)(ý�æ9'*)#æ�ö*ù ô(å�ùö*øRú¢'~ÿM)(-�æ��(ô(å~ò×è�õ�õ¸öMù�ô(-A)(ÿ*÷ " �Úê *ñ � -�)�ø C ëÝ/1� � ý���Ñ@�Þ �ß ü.à Òæ¡ê��|ñ � ý;��¦@&Þ �ß � à æ¢ê��|ñ�ÛQ��ª÷��(ÿ*ÿM-A)(ÿ�æ %(-Aý¤-�)#æ9ö,ê�¿(ò��H�|ñÇá '~)(ô�-A)Ýæ9%(å�ý;(-Aù�-�æ¤ö*ø_ä0'r(÷�'~õ¸år�óý¤ú³å�æ9%�ö�ô�'*ÿ#'~-A)gá " -Aå�÷Aô(ý¤æ9%('~æ

÷Aö*ÿÆ� õ ê0 Mñ �Uâ Ç ý�� ��,�9� � æ¡ê��|ñ É íê�¿�ò��T�*ñ�¦%(å�ù å â êîë�ñ � èLë×I�-�)�ø ��,�4�§ã7ä�å½æ"ªVç Ôêbó«ªBôÝè�ü=é Òæ¡ê��|ñ7òtè«ý ý�å¸ú ! ÷�-A)(ÿ,ê�¿(òj¿#ñ��0ê�¿(ò����#ñ?'*)(ô¹ê�¿�ò��T�*ñnÿM-�û*å¸ý÷�öMÿÈ��ê *ñ � ú¢'To í

ý�� ��§ªV�§Ñº� � ê,æ¢êÐ�ñ�I�æ¡ê0&ñ�ñ7í â ÇCý;� ��,�4� � æ¢ê��|ñ;É2ê��ê�¿�ò����Mñ�«ö~æ9å�æ9%2'�æ¤æ9%(å�(ù�ö�õ�å¸ý ý â -�ý¤-A)(ô�åB^å¸)(ô(å�)#æ«ö~ø�ý;� ��§ªV�§ÑÁ� � ê,æ¢ê0Ð�ñ³I}æ¡êEñ�ñ?'*)(ô�ý�� ��,�9� � æ¡ê"��ñ@òtè�õ&Rõ¸ö*ù ô(-�)(ÿ�æ ö¡ê�¿(òjz#ñ��Eê,æ¢ê�ë�ñ7ítëÝ/¬�Mñ�'~)(ôÃêÁÒæ¢ê�ë�ñ@í.ëÝ/1�#ñ ! å�%2'uûMå�'~ý " ú_�æ9ö*æ -Aõu'~÷A÷ " ÷A-�þ*å�êyõ�öM)(ýsæO'*)#æ?úX�(÷�æ -�R(÷�å¸ý?ö*ø9ñª-A)(ô(ålEå�)(ô(å�)WæJÚ�ù ö��¦)(-�'~)¡ú�ö~æ9-Aö*)(ýB��%(å¸)�õ¸å�-�æ�-Aý�)(ö*æ?û*å¸ù " %2'*ù�ô¢æ9ö�'*)2'*÷ " ��å�æ9%�å�'*ý " ús�æ9ö~æ9-Aõ(ù�öHEå�ù�æ -Aå¸ý¢ö*ø�æ9%(åf(ù ö�õ¸å�ý ýÝöM)�æ %(åKù -�ÿM%#æ¡%2'~)(ôéý -Aô�åKö*ø�ê�¿�ò����Mñ��¦'*)(ô�æ ö�ÿMå�æ¢û�-A' ê�¿�ò��Mñ�æ9%(åCõ¸öMùÑRù å�ý�^öM)(ô(-�)(ÿQ(ù öH^å¸ùsæ9-�å¸ý�ö*ø=ý;� ��,�4��ü é_ê£ê��|ñ7ò +�-�)(õ¸å�ý��� ��,�4��ü é_ê�ê"�|ñ�'~)(ô�é_ê£ê�ë�ñ�%2'uû*å�æ %(å,ý '*ú³å�^å¸ù¯ø��()(õ7æ9-Aö*)(ý�êZ-A),æ %(å�ý�å¸)(ý�å�ö*øÇ�Hò&äpÔå�û " ñ��!�nå�'*ù ù�-�ûMå�'~æ¯æ9%(å�øZöM÷A÷�öT�¦-�)(ÿ�-A)#æ9å�ÿMù9'~÷0æ å¸ýsæuòp�xæ�-Aý¦øZöMùMRú¹�(÷A'~æ9å�ô�öM)(÷ " øZöMù£+�-�)2'*-,�óý×�n'*÷Aþ�� ! ��æ£-�æ�%('*ý£'*)�ö ! û�-�öH�(ý£'*)2'*÷�öMÿH�(å�øZöMù£'*) " ô(-�Û��(ý�-AöM)*(ù�ö�õ�å¸ý ýP�¦%(öMý�åù9'~)(ô(öMú Eö~æ9å¸)#æ -�'*÷R-Aý�'*ý " ú_�æ ö*æ9-�õu'*÷�÷ " ÷�-Aþ*å�'�Únù ö��¦)(-A'*)Ãú³ö*æ9-�öM)·êy-�)Cæ9%�å�ý å¸)�ý å�ö*ø�ê�¿(òjz#ñ�ñ7ò�è�÷�÷Ræ9%�åæ9å�õO%()(-�õu'*÷ô(å7æO'*-�÷Aýl���¦%(-AõO%�%2'uûMå ! å¸å¸)�öMú³-�æ�æ9å¸ôÝ%�å¸ù å�øZöMù?æ %(å�ý9'*þ~å�ö~ø_õ¸÷A'*ù -�æ " ��õu'*) ! å�øZöH��)(ô�-A)]gj�r� k�ò�X� ����� ��" n��=) �T¡.)�)�¤¦¥Ào057:�ê�+ e í:-¬/Í�#ñgp752qÉ14/^>*1ts 8*©£>r¼�uÝ8¸>*:²1A80/Áë�14/�»jêM�H���|ñ�>*/!§ÃêM�H�²�MñB¾�´#·�6¢>*/�ë8X5��tx257/2¸O5¹·4/�>U·X8714:²143*5�/2·�/��M§�5º¸76O5 >�8714/�»�/�x,32p757698�ê· e ñ e�ìU7 ¨.©n5Oª�>*3*54�í�+ e � êZ÷AöMÿt-lñ � · e -²ò ö(ò7î¯èï` � � ��� Ã

e�ì � · e-�÷AöMÿt- å&o' Ç I  � � �� · e É ` �ð�èñ� íê�¿�ò���¿#ñ©³ª257695[´�-�òóö(òMµ¯87:x>*/!§�8Ç/�·�6�´Z14/M5�/214:v5�¼òë�·4/@:p57/×µn¨�>*/!§ � � ��1A8�:�ª25G¸º·�/�87:�>*/2:�14/ºêM�H�²�Mñl¾?D7/g>�>*6@:y1,¸Ox'¼�>*6n¨

÷A-Aú ý��e \J± + eêy÷Aö*ÿ.-lñ � ÷AöMÿª÷�öMÿ�÷AöMÿt- è � � � � í 4�Rp'�òóý¸òê�¿�ò��Ty*ñóC5G¸ >*/K6959>!¼�>�¸O5�+ e ptëÝ5714:îª2576¯ú�' o' �� Ä � e 9�+ Ä 9�·�6¤ú�' o' �� Ä � e + Ä 14/jê�¿����¿WñOvWê�¿���TyMñl¾N¤%(å¸ö*ù å¸ú¶¿(ò²�:(ù öXû�-Aô�å¸ý¤'�ù '~æ9%(å�ù?'*õ�õB�(ù '~æ9å�-Aú�'*ÿMå¯ö*øæ9%(å�v�%(ö�� ÷�'*ù�ÿMåBw�'*ý " ús�æ9ö*æ -Aõ ! å�%2'uû�-�öH�(ù�ý

ö*øl+�-A)('*-,�óý×�?'~÷AþÉò³N¤%(å¯õ¸ö*ù ù å�ý�^öM)(ô(-�)(ÿØv�%(ö�� ý�ú¢'*÷�÷�wOÙ��(å�ý�æ -AöM)(ý�õ¸'*)¢'~÷Aý ö ! å¦'*ô(ô(ù�å¸ý�ý å¸ô2��å�o�õ�åB�æ£æ9%2'�ææ9%�å�'*)�ý;��å¸ù ýn'*ù å¯ô(-�Û&å�ù å¸)#æ�ô(åB^å¸)�ô(-A)(ÿ�öM)*�¦%(å�æ %(å¸ù£æ9%(å¯ú¢'To�-�ú¹�(ú -Aý:v�öM)(å&Rvý�-Aô(å�ôw�öMù:vsæ¦��ö{Rxý -Aô�å¸ôw(ò

z

Page 10: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

�X� ����� ��" n��=i �T¡.)�)�¤¦¥?��8O8OxH3¢5�êM�H���|ñ�>*/!§¢êM�H�²�MñB¾nD0/�ê· e ñ e�ìU7 1A8�>U·X8714:y143*5�/2·�/��M§�5º¸7695 >�8714/�» ¨ª:îª257/4 �ú�' o �� Ä � e 9Ê+ Ä 9§ êy÷�öMÿP-ñ �· e -²ò ö�ò � è ` � � ��� Ã

e�ì � � · e-�÷AöMÿP- å&o'¤ôHI · e� �§õ ` ���è]� ���8�>�¸º·�/�8X5��txÉ57/2¸O5º¨

÷A-�ú�-A)�øe \J± ÷�öMÿª÷Aö*ÿ£÷�öMÿP-êZ÷AöMÿt-lñ � ú�' o �� Ä � e 9Ê+ Ä 9~è ��� í 42Rv'�òóý¸ò

�X� ����� ��" n��¶nÍ�T¡.)�)�¤¦¥?��8O8OxH3¢5�êM�H���|ñ�>*/!§¢êM�H�²�MñB¾nD0/�ê· e ñ e�ìU7 1A8�>U·X8714:y143*5�/2·�/��M§�5º¸7695 >�8714/�» ¨ª:îª257/4 �ú¢'To �� Ä � e + Ä êy÷Aö*ÿ.-lñ �· e -�òóö(ò � è ` � � �g� Ã

e�- � · e ÷AöMÿt- ` �ð�

èñ� �¸bª2576950/�·�695º¨P©ª14:�ª¹4¿��>^6n·&pO>�p¸1î¼b14:"ëØ·�/&5º¨÷A-Aú -A)�øe \>± êZ÷AöMÿ�÷Aö*ÿt-ñ¨öêy÷�öMÿP-ñ � ú�' o �� Ä � e + Ä è ` � 1 /y·� c��¨� ·�:�ª2576&©ª1A8X5B¾

N¤%(å¸ö*ù å¸ú³ýX¿�ò��'�#¿(òj�,'~)(ô$¿(ò�¿,æ öMÿMå7æ9%(å�ù�õO%2'~ù9'*õ7æ9å¸ù�-���å¢'*÷�÷_æ9%(ås^öMý ý�- ! ÷�å�äpÔå7û " õ�÷�'*ý�ý å¸ý�ö*ø¦+�-A)2'*-�� ý�n'*÷AþÉò3�xæ¢-Aý³%(ö��nå7ûMå�ù�EöMý�ý - ! ÷Aå�æ9ö�'{(÷ " 'ºù ål(()(å¸ô�û*å¸ù ý�-AöM) ö~ø=æ9%(åK'*ù ÿH��ú�å�)Wæ³æ9ö�ö ! æO'~-A) ö~æ9%(å�ù'*ý " ús�æ ö*æ9-�õX(ù�öHEå�ù�æ -Aå¸ý«ö*ø«ê,+ e ñ7ò�a�å�õ�-�æ å�æ¦�nöÝå&o�'*ú_�÷Aå¸ý«%(å¸ù�å*òuN¤%(å¹((ù ý�æO(ù öH^å¸ùsæ " -�ý='*)j'~÷Aú³öMý�æý���ù å�õ¸å�)Wæ ù9'*÷0÷�-Aú³-�æ£æ9%(å�öMù å�ú,ò�X� ����� ��" n���¢ ��÷ l ¡.)��^¤¦¥R��8O8OxH3¢5�êM�H���|ñOvWêM�H�²�MñB¾�´�1¶µ¾ø=ï�ê���í  � � �Où �MñB¾.4¿�s>r¼ò3K·X87:ª8Ox�6O5�¼òëÄ/�·�6�>*/�ë/Áx�/2¸7:²1,·�/'£ � 笯äçÍ©³ª�1,¸ºª¡1A8�>r¼ò3K·X87:n573*576Áë{©³ª257695¹¸º·�/2:y14/�x�·�x#8�8OxU¸ºª�:îª�>*:Rý;� E�@ ¦ êº9�£_êî<EñT9 å õHú Ì E Ì ñ���c¨P©n5uª�>*3*5

÷�-Aúe \>± �÷AöMÿ�÷Aö*ÿt- eà ĺÅ�û �Æn÷�öMÿòÆ £QÇ + Ä

êZ÷AöMÿ.Æ(ñ � É è �L� £QÇ °&±� � É � í©³ª257695�:îª25q¼�>r©¬·4/J°&± 1A8X§�505�/&5�§³14/ºêM�r�j¿Wñl¾N¤%(å�ý å¸õ�öM)(ôC'r(÷�-Aõu'�æ9-Aö*)¡ö*øHæ9%(å�ú³å�æ9%�ö�ô�-Aý?øZö*ù?æ9%(å�øy'uûMöH��ù -�æ å�ý -�æ9å¸ý¦ö*ø_+�-�)2'*-,�óý��n'*÷AþÉò�äå�æü ê�-Rí�<Eñ � èUýK= �2 cÆr L- � + Ä èc<\?Wí <KïKðO�ê�¿�ò���ÖMñ�v)f��öMù ô�ýB� ü ê�-Rí�<Eñ¦ù�å¸õ�öMù ô(ý«æ9%(å�)���ú ! å�ù�ö*ø�û�-�ý -�æ9ý¯ö*ø_æ9%�å:�n'*÷Aþ�'~æ�^öMý -�æ9-Aö*)�<j-�),æ9%�å:(2ù�ý�æO-ºý�æ åB(ý�òþ=ål(()(å ÿ

ê�-lñ � è í <f/1� � ü ê�-�í�<Eñ�èéú¢' où ì ü ê�-�ín8�ñ�ê�����

Page 11: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

Ü2öM÷A÷�ö��¦-A)(ÿpd�ù�ô��öMý�'*)�ô*`�Ôå7ûPÔå�ý��Xg �B¿{k��W'*) " å¸÷�å¸ú³å¸)#æ�ö*øÉæ9%�å¤ý å�æ ÿ ê�-ñ?-Aý�õu'*÷�÷Aå¸ô�'�øy'Xû*öH�(ù�-�æ9å¤ý�-�æ å�êy-�)�ð 6 ñö*ø^æ9%(åe�n'*÷Aþ�'~æªæ9-�ú�åÝ-³�#ý -�)(õ¸å¦-�æª-Aý�'�ý -�æ9å��¦%(å�ù å¦æ9%(åe�n'*÷Aþ�%2'*ý�ý�^å¸)#æ�æ9%�å¯ú³öMýsæªæ9-Aú³å*ò�Ü2öMù_æ9%�åe�(ý��2'~÷ù å�õB�(ù�ù å�)Wæ¯ù '*)(ô(öMúÍ�?'~÷AþCêy-A)Ý)�öM)'Rvù '*)(ô(ö*úµå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æ@ñ&�(-�æò�?'~ý«'~)ÝöHEå�)Ë(ù ö ! ÷Aå¸ú ö*ø³dªù ô��öMý¦'~)(ô`�Ôå�ûPÔå¸ý;�½gÁ��¿{k�æ9ö�þW)(ö�� �¦%(å7æ9%(å�ùX�Cï ÿ ê�-ñ�øZöMù�-A)'(2)(-�æ å¸÷ " ú�'*) " -Rò�+�öMú³ål�¦%('~æ�ý��(ù;(ù -�ý -�)(ÿM÷ " �\Ú?'*ý�ý'*)(ôfÀ�ù -=ʳ)Qg��{k0ö ! æ9'*-A)�å¸ô�'�)(å¸ÿ#'�æ9-�û*å�'*)(ý;��å¸ù�òòN¤%�å " (ù�ö|û*å¸ô�æ9%2'~æe4³= ��ï ÿ ê�-ñ¹-²ò ö(òÁ?=è3��òäå�æ��¢ê�-ñ�ô(å�)(ö*æ åC'*) " å�÷Aå�ú�å�)Wæ�ö~ø ÿ ê�-ñ7ò¬Ú?'*ý�ý³'*)(ôÕÀ�ù�-=ʳ)cg�� k>(ù öXûMå�ôÁæ %2'~æ�øZöMù�æ %(åË�(ý��2'~÷

ù å�õB�(ù�ù å�)Wæ«ù9'~)(ô(öMúD�n'*÷�þ!�('*÷Aú³öMý�æ?ý��(ù�å¸÷ " �÷A-�ú�-A)�øe \>± êy÷�öMÿt-ñ ö- 7�Ì � ��ê�-ñªè í � -�ø ·��¬�H�� -�ø · � �H��êyå¸÷�å�û*å¸)Éñ@òN¤%(å�å�o�'*õ7æ«ù '~æ9å�ö~ø_å¸ý�õu'r^å�ö*ø��¢ê�-ñ��2%�öT��å�û*å¸ùl�Eù�å¸ú�'*-A)(ýÝ�()(þW)(ö��¦)lòa�å='*ý þ�æ9%(å�ý9'*ú³åOÙ��(å¸ýsæ9-�öM)¢øZöMù?+�-A)2'~-,�óýò�n'*÷AþÉòtè�ù�ål(2)�å¸ôÝûMå�ù ý -�öM)Ýö*øæ %(å=ú³å�æ9%�ö�ô¡ö~ø0ý�æ9ö�õO%2'*ýsæ9-�õ

õu'~÷AõB��÷��(ý�ý�%(ö��¦ý�æ9%2'~æ�øZöMù�+�-�)2'*-,�óý:�n'*÷�þ!�ªæ %(å�(ù ö�õ¸å�ý ý�ö*ø¦øy'uûMör�(ù -�æ9å¡ý�-�æ9å�ý�-Aý�'~ÿ#'*-A)¹æ9ù9'~)(ý -�å¸)#æ¹�¦-�æ %42R5(ù ö ! ' ! -A÷�-�æ " öM)(å{�2'*)(ôÝú³öMù�å¸öXûMå�ùB�(öM)�å=õu'*)�õO%2'~ù9'*õ7æ9å¸ù�-���å=-�æ ý?ù9'~æ å=ö*ø0å�ý õu'{Eå�û�-�'�'~)Ý-A)#æ9å�ÿMù9'*÷Éæ9å�ý�æ¸ò�X� ����� ��" n���� �T¡.)�i�¤¦¥?��8O8OxH3¢5�êM�H���|ñ�>*/!§¡êM�H�²�Mñl¾y´�·�6�>*/�ë�/2·�/��M§�5º¸7695 >�8714/�»�8X5��txÉ57/2¸O5�· e � �{¨P©n5ª�>*3*5 4 ��¢ê�-ñ�/ êy÷�öMÿt-ñ �· e -�òóö(ò � è ` � � ��� Ã

e÷AöMÿÈ· e- � · e ÷�öMÿP- ` èU��É� �

D7/2>�>*67:y1,¸Ox�¼�>*6º¨.©ª14:îª*4¿��>^6n·&pO>�p¸1î¼b14:ë�·�/&5º¨÷A-�ú�-A)�øe \>± êy÷�öMÿª÷Aö*ÿ.-lñ¨ö

êy÷Aö*ÿ.-lñ � �¢ê�-ñ�è ` � 1 /É·� c�^¨� ·�:�ª2576&©ª1A8X5B¾N¤%(åq(ù ö ! ÷Aå¸úëö*øHøy'Xû*öH�(ù�-�æ9å�ý�-�æ9å�ý¦-Aý?æ9%�åq�!�#Y0¯Q(ù�ö ! ÷�å¸úD�n'*ú '��n'*ù å�ö*øRý ö�øy'*ùB�'�¦%(-AõO%�-Aý¤ý�öM÷�û*å¸ô

øZöMù>`bac`Jd>� ! ��æ>�¦%(-AõO%�ý�æ -A÷A÷Eù å�ú¢'*-�)(ý¤öH^å¸)�øZöMù?æ9%�åq��ý��2'*÷ù '*)(ô(ö*úD�?'~÷AþÉò� E¡Ü_ß�â��DFXàRܪã¸â â�FXåuâ«áÈå¸áÈàJ�Mß³Þ àÃÞ�ãt�*ܳã�à �µÞªß?I ÛÃãtF�Û �ß�ܳã�ۡܪãtFXåN¤%(å�ú�'*-A)Kõ�öM)(õ�å¸ù )jö*ø�æ %(å*2'r^å¸ù=-�ý�+�-A)('*-,�óýp�n'*÷Aþ,öM)Ãð=òOa¹å�ý9'�� -�)Kæ9%(åG(ù�å�û�-Aör�(ý�ý å�õ�æ9-�öM)(ý�%(ö��æ9ö�ö ! æ9'*-A)Ø(ù å�õ¸-Aý�å�'*ý " ús�æ ö*æ9-�õ:(ù�öH^å¸ù�æ -Aå�ý«ö*ø�+�-A)2'*-�� ýe�n'*÷AþÝû�-�'³ý�æ ö�õO%2'~ý�æ9-�õ�õ¸'*÷Aõl�(÷��(ýl� !#" ú�å¸'*)(ý¯ö*øæ9%�åG`«' " Ï'|�)(-�ÿM%#æ�æ9%�å¸öMù�å¸ú�òpè ! '~ý -Aõ�'~æ æ -�æ��(ô(å:�n'*ý�æ %2'~æ��nå¹(2ù�ý�æ�'{(÷ " ýsæ9ö�õO%2'*ý�æ -Aõ�õu'*÷�õB�(÷��(ý«æ öÝ'ô(-�Û2�(ý�-AöM)��ù ö�õ¸å¸ý�ýJ�¦%�öMý å�ù9'*)�ô(öMú ^ö*æ9å�)#æ9-�'~÷l-Aýe2'~ù�æ9-A'*÷&ý;�(ú ö*ø�-A-�ô¡ú�å¸'*)'R5�¸å¸ù�ö�ù '*)(ô(ö*úëû~'*ù -A' ! ÷�å¸ý¸òN¤%(-Aý¤ý�å¸õ7æ9-Aö*)Ý-Aý?ô(å7ûMö*æ å¸ô�æ9ö�æ %(å�ý�æ��(ô " ö~ø�'�õ�÷AöMý�å¸÷ " ù�å¸÷�'�æ9å¸ôÝú³ö�ô(å¸÷���)2'~ú�å�÷ " ��ô(-�Û��(ý�-AöM)Î�ù ö�õ¸å¸ý�ý�¦%(öMý�å�ù '*)(ô(öMú ^ö*æ å¸)#æ9-A'*÷l-Aý«'�ô(ù -�ø4æ9å¸ôØÚnù�öT�¦)�-�'*)�ú�ö~æ9-Aö*)lò�)�öMù åq(ù å�õ¸-�ý å¸÷ " �É÷Aå7æpæ � è ê�æ¢êî<Eñ7íÝ<jïçnñ ! å�ý���õO%,æ9%('~æ æ¢ê�<Eñ � èUË ê�<Eñ×I� � <0í <Ãïfç¯íê,y�ò��|ñ

�H�

Page 12: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

�¦%(å�ù å � ��-�ý�'*(�o�å¸ôKõ�öM)(ý�æ9'*)#æ��&'*)(ôSË -�ý�'³ý�æ9'*)(ô2'*ù�ô½Únù�ö��¦)(-�'*),ú�ö~æ9-Aö*),öM)�ç¯ò�a¹å�õ�öM)(ý�-Aô(å�ùê�é_ê£ê�ë�ñ@ísëK/ �#ñ��£'Kô(-�Û2�(ý�-AöM)[�ù ö�õ¸å¸ý�ý�-A)�ù9'~)(ô(öMú Eö*æ å¸)#æ9-A'*÷eæ*�n'~ý�ô(ål(()(å¸ôÁ-A) +�å�õ�æ9-�öM)���ò]N¤%(å(ù�ö�õ�å¸ý ýOé_ê�-Aý='¢þW-A)(ôÃö*ø�õ�öM)#æ9-�)���öH�(ýMR�æ9-�ú�å�'*)2'*÷�öMÿH�(å�ö*øªæ9ù '*)(ý�-Aå¸)#æ�`bac`Jd ýsæn�(ô�-Aå¸ôÃ-�)È|�å¸ýsæ9å¸)jå7æ'*÷²òQg��^y�k�ò�a¹å¢öH��æ9÷A-�)(å�æ9%(å³ú³å�æ9%�ö�ô¹ö*ø¤ý�æ ö�õO%('*ý�æ -Aõ¢õ¸'*÷Aõl�(÷���ý�øZöMù�ýsæn�(ô " -�)(ÿKý���õO%·'Ø(ù�ö�õ�å¸ý ý�òK+�-A)(õ�å � ������å�%2'uûMå�÷A-Aú¹ü;\>±½é_ê£ê�ë�ñ?è �3�!4�Rp'�òóý¸ò��l'*)�ôK-�æ¯æn�(ù�)(ý�ör��æ«æ %2'~æJé_ê�êîë�ñ«'*)�ôCý��� ��,�4��ü é_ê�ê"�|ñ%2'uûMå¢ý -Aú³-A÷A'*ù�'*ý " ús�æ ö*æ9-�õ ! å¸%2'uû�-Aör�(ù ý¡êyý å�å¢øZöMù�å�o�'*ús(÷Aåfg����Bk�øZöMù�'�ù -�ÿMöMù ör�(ý � ��ý�æ9-�(2õu'�æ9-Aö*)Éñ7ò�a¹åæ9%�å¸ù å7øZöMù å�öM)�÷ " %('Xû*å�æ ö�ý�æn��ô " ý�� ��,�9��ü éKê£ê"��ñ@òÇþ=ål(2)�å��ê0 Mñ � è -�)�ø2=�ëò/c� � é_ê£ê�ë�ñ � �?�í � ���ê,y�ò��Mñè�ÿM'*-A)b�&��ê *ñR'~)(ô�ý�� ��,�9��ü éKê�ê"�|ñ�'*ù ånù å¸÷A'~æ9å�ô�æ9ö�åu'*õO%�ö*æ %(å¸ù�û�-A'�ê�¿�²�Mñ@ò³�v)�æ9%�å?ù å�ý�æªö*øÉæ %(å?ý å�õ�æ -AöM)b���å ! ù�-AåOW " ô(å�ý õ�ù - ! å�%(ö���æ9ö�ö ! æO'*-�),'~ý " ú_�æ9ö*æ -Aõ¸ý¤ö~øÏ��ê0 Mñò�¦%�å¸)( q¯ ��òN¤%(å¸ù�å�'~ù åj'~æ�÷�åu'*ýsæÝæ¦�nö ô(-�ÛEå¸ù�å¸)#æ,'r(ù�ö#'*õO%(å�ýB�O��ý -A)�ÿ å�-�æ %(å¸ùÝý�ö{Rvõ¸'*÷A÷�å¸ôÍv�|�ö*æ9'*)(-,�óý¡÷�å¸ú³ú¢'rwê�ÜÉ'*õ7æ�y�ò�� ! å¸÷�öT�«ñ&�Eö*ù=ä0'*úsEå�ù�æ9-�� ý¯ù ål(ù å�ý å�)Wæ9'~æ9-�öM)Kæ9%�å¸öMù�å¸úÂøZöMù�å&o�^öM)(å�)#æ9-�'~÷Rø��()(õ7æ9-�öM)2'*÷�ý«ö*ø£äpÔå7û "(ù�ö�õ�å¸ý ý�å¸ý�ò�Ü2öMùnæ %(å�ý9'*þ~å�ö*øRõ¸÷A'*ù -�æ " ��æ %(å�æ¦�nö�'r�ù ö#'*õO%�å¸ý«'*ù åu(ù�å¸ý�å¸)#æ9å�ôK-A)�ô(-�ý�æ9-�)(õ�æ¦ý;� ! ý�å¸õ�æ -AöM)�ý¸òPr�(ý�æK'*ý�øZöMù,+�-A)2'~-,�óý�'*)(ôñÚ�ù ö�o�� ý�æ9%(å�öMù å�ú�ý�ê�N¤%(å�öMù å�ú�ýQ�Mò���'*)�ôñ��ò��H��ù�å¸ý�^å¸õ7æ9-�ûMå¸÷ " ñ�-A)éæ9%�åù å�õB�(ù�ù å�)Wæ¦õ¸'*ý å{�(-�æn-Aý�)(ö*æ¤õ�÷Aåu'~ùn%(ö�� æ9ö�ù�-AÿMöMù�öH�(ý�÷ " ù å�÷�'~æ å«æ9%�å=ù å�ý��(÷�æ9ý?ô(å�ý õ�ù - ! å¸ô�-�)¢æ9%(-�ýný�å¸õ�æ -AöM)¡æ öæ9%�öMý å�ö ! æ9'*-A)�å¸ô !#" |�å�ý�æ å¸)�å�æ«'*÷�ò\g��^y�køZöMù?æ9ù '*)(ý�-Aå¸)#æ�`bac`�d¤ò�� �� ����������������� �!�"�$# �&%'#(%��*)+�(�-,.���/�$0'�213�4#(576868�è ÿMö�ö�ô�æ ö�ö*÷,�#ù å7øZå¸ù�ù å¸ô�æ9ö�'~ýGv�|�ö*æ9'*)(-,�óý�÷Aå�ú�ú�'rw�-A)_|�'��n'r�l�Ý'*)(ôÎNR'*)2'~þ~'Kg��'�Bk,��ù å�ô�(õ�å¸ýnæ %(å�ýsæn�(ô "ö*ø ��ê *ñ�æ9ö�æ %2'~æ¦ö*ø�'³÷�-A)(å¸'*ù?ô(-�Û2��ý -Aö*)�(ù ö�õ¸å�ý ý¸ò­\S�jr%K¢b���x�:9�²Ø�U%�S���ÑÐ�Ò_Y���"�"$S<;7=tÒB����²ØS^W¹S/> l S��V � SU��SZ�Sc¡òi\�H¤¦¥�o057:Pæ�è ê�æ¡ê�<Eñ@íò<jïÈçnñp75�:îª25�>U·�:p57/2:y1y>r¼#§�505�/&5�§�14/jê�y'���|ñº¨n>*/!§_¼A57:�� p75�>�8�14/ºê,y'�²�MñB¾Ä´�·�6�>r¼î¼@? � �K>*/!§¾ � ��¨� =|å õ�ACB ó � ô 9;æ ?=è å�o'ÈÇ\I ø � ED A ê"��ñ�ô��Tɹí '�òóý¸ò�íê,y�ò²�#ñ©³ª257695 D A 1A8�:�ª25?x�/21�tx25�87:x>*:y1,·�/^>*6ÁëR>U·X8714:y143*5=8�· ¼òx�:²1,·�/$·4/�:îª25�87:¦·�¸ºª�>�87:²1,¸X§*1 w=576957/2:y1y>r¼R5��tx(>*:y1,·�/

ô D A ê�ë�ñªè D A êîë�ñ�ôUýÝêîë�ñ#F Ç �F?XF �>I � D A ê�ë�ñ³I D �A êîë�ñ É ô�ë&�Ú " æO'~þ�-�)(ÿ¯å�o'Eå�õ�æ9'~æ9-�öM)(ýHöM) ! ö*æ9%�ý -�ô(å¸ýRö*ø0ê�y�òj�#ñ��T�nå£ý å�å�æ %2'~æH-A)�öMù ô�å¸ù0æ9ö¯ÿMå�æHæ9%(å£ô(-�ý�æ9ù�- ! ��æ9-Aö*)2'*÷

'*ý " ús�æ ö*æ9-�õ ! å�%2'uû�-AöH�(ù�ö*ø���ê0 Mñ&�t�nå�öM)(÷ " )(å�å¸ô·æ9öjý�æ��(ô " æ %(å�ä0'r(÷�'~õ¸å¡æ9ù '*)(ýsøZöMù ú ö*ø�G A ê *ñ � èc � D A ê"�|ñ�ô��MòìN¤%�-AýÝ-Aý�ô(öM)(å !#" æ å¸õO%()�-�Ù��(å¸ýÝøZöMù¢÷A-A)�åu'*ù³ô(-�Û��(ý�-AöM)(ý�ò��v)�ô(å¸å�ôb��õ�öM)(ý -�ô(å¸ùIH A ê�ë�ñ � è�T�

Page 13: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

£ A ê D A êJGPõ 7A êîë�ñ ñ�ñ���ë � �'���¦%(å�ù åKGtõ 7A -Aý�æ9%(å�-A)#ûMå�ù ý�å¡ö*øÄ Ø¯ G A ê *ñ���'*)(ô�£ A -Aý�æ9%(å�ô(å�æ å¸ù ú³-A)�-Aý�æ -Aõø��()(õ7æ9-�öM)�ô(ål(2)�å¸ô !#" £ A ê�<Eñ � è�ê,�L?Eñnõ�M³ø E� A

8�M�õ 7 å�o' Ç �{8OF ¿N?8 É ô8Eí <ÃïfçJ��xø³4 E ô(å�)(ö*æ9å�ý¯æ %(å�(ù ö ! ' ! -�÷A-�æ " �()�ô(å¸ù>�¦%(-AõO%�æ9%�å�ô�-�Û��(ý -�öM)�(ù ö�õ¸å�ý ý D A ý�æ9'*ù�æ ý¤øZù öMúÍ<��(æ9%(å�)� E �å�o'½Ç�I ø � ED A ê"��ñ�ô��TÉ � è � E í åTõ�O:P ó � ô î è � í å õQBSR ó� Ñô 9(H A ê��#ñªèñ£ A êî<Eñ î íê,y�òj¿Wñ�¦%(å�ù å �UT£ê��Mñ � è -�)�ø&=�ë�/1� � H A êîë�ñ£èc�'?Wò�+�-�)(õ¸åVH A -Aý�'�÷A-�)(åu'~ù£ô�-�Û��(ý -�öM)_�ù ö�õ¸å¸ý�ý?-A)�)2'~æ��(ù9'*÷Éý�õu'*÷�å

'*)(ô �¦-�æ9%Áý�^å¸å�ô ú�å¸'*ý��(ù�åXW A êyô'<Eñ,è ��ê�£�õ 7A êî<Eñ ñ õ � M 6�7 å&o�b=�I��Y?�£�õ 7A êî<Eñ�I¬¿ ù £�õ 7A êî<Eñ&?Rô�< êy%(å�ù å{�£�õ 7A ýsæO'*)(ô�ý=øZöMù«æ %(å�-A)#û*å¸ù ý�å�ø��()(õ�æ -AöM)Cö*øÆ£ A ñ��EöM)(å&Rvô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷Hô(-�Û��(ý�-AöM)�æ9%(å�öMù " ÿM-�û*å¸ý�æ %(å�û~'*÷��(åö*ø� í å õQB R ó� Ñô 9(H A ê��#ñªèñ£ A ê�<Eñ î -�)³æ å¸ù�ú�ý�ö*øEæ9%(å¯ý öM÷���æ9-�öM)�ö*ø'�+�æ��(ù ú¹Ï�ä-AöH��û�-�÷A÷�ånåBÙ��2'�æ9-Aö*)lò×�v)�û�-�ål�ö*ø�ê�y�òj¿#ñ��?æ9%�-Aý_�¦-�÷A÷ " -Aå¸÷�ôÁæ %(åÃä0'r(÷A'*õ¸å�æ9ù9'~)(ý�øZöMù�ú ö~ø c � D A ê"��ñ�ô��^�¯'*)�ôÕ�¦-A÷�÷«'~÷A÷Aö�� æ ö�å¸ýsæO' ! ÷A-Aý�%'*ý " ús�æ ö*æ9-�õ¸ý�ö~øÇ��ê *ñ¤ý�æO'�æ9å¸ôj'~ý«øZöM÷�÷Aö��¦ý¸ò>a�å�ù å7øZå¸ù«æ ö�|�'��?'r�l�j'*)(ô½NR'*)2'~þ~'½g�����kRøZö*ù«ø��(÷�÷Hô�å�æO'~-A÷Aýö*øHæ9%(å�'*ù�ÿH�(ú³å¸)#æuò�X� ����� ��" ¢b�=) ��²ØS^W¹S/> l SU��V � SU�#S�Z�Sc¡.i\�H¤¦¥¾o057:tæ >*/!§¾� p75�>�8�14/¤´>�¸7:�y'����¾êy-Añ,D½/1�d� � �{¨�:�ª257/���ê *ñ ù 7�Ì M ¸º·�/23*576,»�5O8½©n5 >�u ¼òë·êM©³ª257/� 1¯ � ñÃ:¦·Á>h¸º·�3^>!¼A57:p5�¼òë

>�8Oë�3|3¢57:²6@1,¸=87:�>�pB¼A5X§*1A87:²6@1ptx�:²1,·�/$·4/=14/!§�5¡µ ¾êy-�-Añ«D0/ è�� ¨�:�ª257/'��ê *ñ ù ê0 R÷�öMÿ¿ Mñ¹¸º·�/23*576�»�5O8�14/g>^6n·&pO>�p¸1î¼b14:"ë³:¦·[Z!¾êy-�-A-�ñ«D½/ � �{¨�:îª257/'��ê0 Mñ ù f¸º·�/23*576�»�5O8e4¿�s>r¼ò3K·X87:£8Ox�695�¼òë�:¦·q¿ ù ê IL�|ñl¾�xæ�-Aý�Eö*ý ý - ! ÷Aå¡êyý�å¸å*|�'��?'r�l�º'*)(ô½NR'*)2'*þ�'0g��^� k�ñ¦æ ö¡ù å�(2)(å�æ9%�å�ú�å7æ9%(ö�ôCæ öÝö ! æO'~-A),æ %(å�ù '~æ9å�ý=ö*ø

õ¸ö*)Wû*å¸ù�ÿMå¸)(õ�å�-A) �R'*ù�æ ý�êy-�-4ñ�'*)(ô êZ-A-A-�ñ�ö*ø>N¤%(å�öMù å�úäy�ò²�'��æ %���ýG(ù öXû�-Aô(-�)(ÿK',õ¸öMús(÷Aå7æ9å¢'*)2'*÷�öMÿH�(å³ö*ø�¦%2'~æs|�å�ý�æ9å�) å7æ³'*÷�òhg��^y�k¦ô(-Aô�øZö*ù�æ9ù9'~)(ý -�å¸)#æs`bac`�d¤ò³a¹å�ö ! ý å�ù�û*å�æ %2'~æ³'*÷�æ9%(öH��ÿM%�æ9%(å¡æ %(å¸ö*ù å¸ú-Aý�øZöMù úX�(÷�'~æ å¸ôºøZöMù���ê0 Mñ&��æ9%�åK(2ù ýsæ�%(-�æ æ9-�)(ÿ,æ -Aú³å¸ý�ö*øeé_êP��',ý -Aús(÷�å¢'*ù�ÿH�(ú³å¸)#æ�'~÷A÷Aö��¦ý�æ9öKö ! æO'*-�)æ9%�å�õ¸öMù�ù å¸ý;Eö*)(ô(-A)�ÿ�ù å¸ý;�(÷�æ ý?øZöMùÝé_êj-�æ9ý�å¸÷�øÑ� � �(ýsæ¦'*ý¤-A)¡æ %(å=õ¸'*ý å�ö*ø0æ9ù '*)(ý�-Aå¸)#æ>`bac`Jd¤òN¤%(-Aý¤ú³å�æ %(ö�ô��öMù þWý�'*÷�ý öCøZö*ù�æ %(å¢õ¸'*ý å è � � -�æ " -Aå�÷Aô(ýq�nå¸'*þ¹õ�öM)#ûMå�ù ÿMå�)(õ¸åÝøZöMù B ó � ô\3]�^ ó`_ � ô êZöMù�ålÙ��(-�û~'*÷�å¸)#æ9÷ " �RøZö*ùacbd^fehgCi Íkj Üml ú\û óò��ôó «7698 ü�ô=: ñ�� ! ��æ��()(÷A-�þ*å�æ9%�å�æ ù9'*)�ý -Aå�)#æ�õu'*ý�år�0æ9%(-�ý�ô(ö�å�ý�)�ö*æ�'*÷A÷�ö���æ ö�ù å¸õ�öXûMå¸ù:Únù�ö�o��óý�æ %(å¸ö*ù å¸úêyý�å¸åqN¤%(å¸ö*ù å¸ú ��ò��|ñ�øZö*ù ú\û ó²ü�ôó «7698 ü�ô=: ò�xæ¤-Aý.�nö*ù�æ9%�^öM-�)Wæ -A)(ÿ�öH��æ�æ9%2'�æ?æ9%(å�'r(ù�ö#'*õO%¡û�-�'X|�ö~æO'*)(-�� ý£÷Aå�ú�ú�'�õ¸'*) ! å=å�o'(÷�öM-�æ å¸ô¢æ ö¹(ù�ö|û*åû~'*ù -�öH�(ý�'*ý " ús�æ9ö~æ9-Aõ�ù�å¸ý���÷�æ9ý�òfÜ2öMù�å&o('~ú_(÷�år��N�'*÷�å ! g�Ö^i�knå�ý�æ9' ! ÷A-�ý %(å�ô�÷A'*ù ÿMå�ô(å7û�-�'~æ -AöM)¹ù å¸ý;�(÷�æ ý�øZö*ùé_ê��¦%(å¸)]æë-�ý�ô(å�(2)(å¸ôj-�)·ê,y�ò��|ñ¦-A)(õ�÷��(ô(-�)(ÿ�æ %(å�õ¸'*ý å è �ÃêZæ %(åGÚnù�ö�oKõ¸'*ý åuñ��l-�) ! ö~æ9%½Ù��(å�)(õO%(å¸ô'*)(ôC'*)()(å¸'*÷Aå�ôKý å7æ æ -A)(ÿMý�ê²'~)(ôCæ9%('*)(þWý«æ ö�æ9%�åX^öT��å¸ù«ö*øªýsæ9ö�õO%2'*ý�æ -Aõ�õu'*÷�õB�(÷��(ýB�2æ9%�å�ù å�ý��(÷�æ9ý¯ö ! æ9'*-A)(å�ô-A)3g�Ö^i k¯õ¸öM)#æ9'*-A)Áý ÷A-�ÿM%#æ9÷ " ú³öMù å�å�o'(÷�-Aõ¸-�æ�õ¸öM)�ý�æO'~)Wæ ý¢æ9%('*)Áæ %(åCõ�öMù ù�å¸ý�^öM)(ô�-A)(ÿ¹þ�)�öT�¦) ù å¸ý;�(÷�æ ý³øZö*ù`bac`�d£ñ@ò ���

Page 14: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

`¯å�õ¸å�)Wæ ÷ " �P|�'��n'r�B��å7æ�'*÷²ò�g��r�{k�ö ! æ9'*-A)�å¸ô]��åu'~þ�õ¸ö*)Wû*å¸ù�ÿMå¸)(õ�åÝù å�ý��(÷�æ9ýX�¦%(å�)�æ9%(å¢ù9'*)(ô�öMú Eö{Ræ9å�)#æ9-�'~÷n-Aý�'Kö*)(å�Rxý -Aô�å¸ô�Únù ö��¦)(-A'*)·ú�ö~æ9-Aö*)b�_-�òóå*ò��òæ¡ê�<Eñ�è Ë ê�<Eñb� ¦ n ê�<Eñ&�.<�ïñç��>�¦%(å�ù å¤Ë -�ý�'Únù�öT�¦)�-�'*)�ú³ö*æ9-�öM)ºêyöM)�ç 6 ñ7ò�� po ����������������� �!�"�$# �&%'#(%��*)+�(�-qr�$68st5&u/�<�C13�vu<57s�u<57�Q570��/�����(�w0`¦å¸õu'~÷A÷�æ %2'~æ���å�'*ù�åÃ-A)#æ9å�ù å�ý�æ9å�ô -�) '·ô�-�Û��(ý -�öM)1(ù ö�õ¸å�ý ý�é_êì�¦%(öMý�å¹ù '*)(ô(ö*ú Eö~æ9å¸)#æ -�'*÷Oæ -�ý�'ô(ù�-�ø4æ9å�ô½Únù�ö��¦)(-�'*),ú�ö~æ9-Aö*)b�2ô(ål(()(å¸ô !#" ê,y�ò��|ñ@ò�aé%(-A÷�å:|�ö*æ9'*)(-�� ý¦÷Aå�ú�ú�'G(ù öXû�-Aô�å¸ý�-�)�øZöMù�ú¢'~æ -AöM)¡øZö*ùé_êéêZû�-�'�-�æ ýe(2ù ýsæ�%(-�æ æ -A)(ÿ�æ9-�ú�å�ýOñ��()(ô�å¸ù¦æ9%(å�õ¸öM)(ô�-�æ9-�öM)2'*÷2(ù ö ! ' ! -A÷�-�æ " ÿM-�û*å¸),æ %(åqEö*æ å¸)#æ9-A'*÷#æs�Éæ9%�åý å�õ¸öM)�ô¹'{(ù öM'*õO%f��åG(ù å�ý å¸)#æ�%(å�ù å{�2�¦%(-AõO%Ã-�ý ! '~ý å¸ôÃö*)Ãä0'*ú_^å¸ùsæ9-�� ý¯ù ål(ù å�ý å¸)#æ9'~æ9-�öM)Kæ9%(å�öMù å�úüøZö*ùå�o'^öM)(å�)Wæ -�'*÷lø���)(õ�æ -AöM)2'~÷Aý?ö*ø�äOÔå�û " (ù�ö�õ�å¸ý ý�å¸ýl�&'r�(÷A-�å¸ýe�()(ô�å¸ù¤æ9%(å�' ! öMý�öM÷���æ åu(ù ö ! ' ! -�÷A-�æ " 4ªòN¤%(å�ý�æO'~ù�æ9-�)(ÿG^öM-A)#æ¦-Aý?æ %(å�ý9'*ú³å�'*ý¤-A)Ýæ %(å�ý�æn��ô " ö*ø_+�-A)2'~-,�óý��?'*÷�þÉòPÚ " ê�¿�ò²�#ñ&���ê0 Mñªè Ç ø õ ± F ø �b  ÉKåTõ � ê�ó����&�© ô ¢¯ê � ê ÷ � ñ7í�<Eñ�ô'<0í�¦%(å�ù å�'*ý ! å7øZöMù å{� ÷ E�è c E å êbó²ù�ô ô8!�'<CïfçJ��¢¯êbTXímT7ñ£-Aý?æ9%�å�÷�ö�õ¸'*÷Eæ -Aú³å�ö*ø�'*Únù ö��¦)(-A'*)�ú�ö~æ9-Aö*)�ý-A)�ô(åB^å¸)(ô�å¸)#æ�ö~ø�æs�~'*)(ô � ê0 Mñ � è -A)�ø�=�ëÝ/1� � ýÝêîë�ñ � �?Wò#a¹å�ô(ö«)�ö*æH%2'uûMå�æ9ö>�nöMù�ù " ' ! öH��ææ %(åt(2ù ýsææ9å�ù ú c õ ± TVTVT(ô�<¢öM)�æ9%(å¤ù�-AÿM%#æª%2'~)(ô�ý -Aô�å � -�æª-Aý ! öH��)(ô(å¸ô !#" c õ ± å õ ê\ó«ªlô ô�yx�ý;� EM�� ¢¯ê � ê ÷ ±�ñ7í;<Eñ�¦%(-�õO%K-Aý>42Rp'~÷Aú³öMý�æ«ý��(ù�å¸÷ " (()(-�æ åÝêy)�ö*æ9-�)(ÿ³æ %2'~æXc õ ± å õ ê\ó«ªlô ô�z�]� '~)(ô ÷ ± �]�3�^'�òóý¸ò ñ7òJè�÷A÷\��å%2'uûMå�æ9ö�õ¸'*ù å�øZöMù¤)(ö���-Aý?æ9%�å�ý�å¸õ�öM)(ô,æ å¸ù�úØ�()('*ú�å�÷ " �� 6 ê0 Mñ � è ø �,  å õ � êbó.� �&�© ô ¢¯ê � ê ÷ � ñ@í�<Eñ�ô�<��ê,y�ò�yMñ�xæ£-Aýªæ9-�ú�å?æ ö�'{(÷ " äH'~ú_^å¸ùsæ9-,�óýªÿMå�)(å¸ù '*÷(æ9%(å�öMù å�ú øZöMù�å�o'^öM)(å¸)#æ -�'*÷2ø��()(õ7æ9-�öM)2'*÷�ýªö*øläpÔå7û " (ù�ö�õ�å¸ý�ý å¸ý�òN¤%(å�æ9%(å�öMù å�ú ! åu'*ù�ý«'G2'~ù�æ9-�õB�(÷A'*ù ÷ " ý�-Aús(÷Aå«øZöMù úë-A)�öH�(ù¤ý�å�æ æ -A)(ÿ�ò­\S�jr%K¢b��i ��z.SU"{�t����%T�_¡«n#�H¤¦¥Ào057:eæ¢êî<Eñ � è Ë êî<EñòI M � <]p75¢>�8�14/ ê�y'���XñB¾�¸bª257695¡5¡µM1A87:48¢>(1=5O8O8X5�¼>^6n·�¸O5O8O8|{�è�ê({�ê�ë�ñ@ítë�/1�#ñ¹·4/q§*1½3¢57/�871,·�/jê,�OI}� ñn¨ª87:x>*6@:y14/�»�/@6n·�3}{�ê��#ñ�è¬��¨ª8Ox�¸ºª�:îª�>*:

å êbó²ü�ô Ì � è �� {�ê ÷ ü²ñ@í ë�/1��íê,y�ò²Ö#ñ©³ª257695 ÷ ü � èUc ü å ê\ójùnô ô8¹>�8¾p750/�·�6O5B¾äå�æ|{ ! å=æ %(å�Únå¸ý�ý å�÷\(ù ö�õ¸å�ý ý¦ö*øHô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)jê,��I$� ñ?'*)(ôÝýsæO'*ùsæ9-�)(ÿ�øZù öMúD��'*ý?-�)ËÜ^'~õ�æJy�òj��êZøZöMù

'*)Ý'~õ¸õ¸ör�()#æ¦ö*ø0ÿMå¸)�å¸ù9'~÷2(ù�öHEå�ù�æ -Aå¸ý�ö*ø#Únå�ý ý å�÷\(ù ö�õ¸å�ý ý�å¸ýB�2ý�å¸å[~n%2'{�æ9å�ù��O��ö*ø#`¦å�û����'~)(ô��£öMùug�yr�{k�ñ7òè�õ�õ¸öMù�ô(-A)�ÿ�æ ösaé-�÷A÷�-�'*ú³ý�gji{¿{k,�óý¤æ9-Aú³å=ù�å�ûMå�ù ý '*÷æ9%(å�öMù å�ú øZöMù>Únå¸ý�ý å�÷#�ù ö�õ¸å¸ý�ý å�ýB�^-�ø��nå��¦ù -�æ9å��ê�ë�ñ � è�{�ê ÷ ±cI�ë�ñ@í �| hë� ÷ ±�í��¿

Page 15: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

æ9%�å¸)�� -Aý«'¢æ9ù '*)(ý -�å¸)#æuÚ�å¸ý ý�å¸÷×�ù ö�õ¸å¸ý�ý�ö*ø�ô(-�ú�å�)(ý -�öM)�ê��pFL� ñ��Eý�æ9'*ù�æ -A)(ÿ³øZù öMú ��òu)�öMù å�ö|û*å¸ùl� ÷ ±-Aý?æ %(å�÷�'*ýsæ¦å�o�-�æ¦æ -Aú³å=ö*ø���øZù ö*ú �'�(æ %2'~æ¦-Aýl� ÷ ± è ý���b=�ë�/1� � ��ê�ë�ñ�è¬��?WòPN¤%(å¸ù�å�øZöMù�år�Rê,y�òjÖ#ñnõ¸'*)! å�ù�ål�¦ù�-�æ æ å¸)�'*ý

å êbó�� �&�© ô Ì � è �� ��ê ÷ ±1I$<Eñ@í �! h<�� ÷ ±¹��ª÷��(ÿ*ÿM-A)(ÿ�æ %(-Aý¤-�)#æ9ö,ê,y�ò²yMñ " -Aå�÷Aô(ý?æ %2'~æ� 6 ê *ñ è ��Ö ø �   ��V��ê ÷ ±cI�<Eñ ¢«ê � ê ÷ � ñ7í;<Eñ�ô�<

è ��Ö ÷ � ø 7 �� � ê ÷ ±cI ÷ � F�� ÷ � ñ ¢¯ê � ê ÷ � ñ7í ÷ � I¬� ÷ � ñ�ô��#íæ9%�å�ý�å¸õ�öM)(ôC-�ô(å¸)#æ -�æ " øZö*÷A÷Aö��¦-�)(ÿ�øZù ö*ú '�õO%2'*)(ÿMå�ö*øHû~'*ù -A' ! ÷�å¸ý�<�è êM�>I¬�|ñ ÷ � ò�äå�æ 6 ê"��ñ � è ¢¯ê � ê ÷ � ñ7í ÷ � I�� ÷ � ñ÷ � í �! Ã�? ~�Mí�¦%(-�õO%C'*õ�õ¸öMù�ô(-A)�ÿ�æ ö�æ9%(åq`¯' " Ï�|�)�-AÿM%#æ¤æ9%�å¸öMù�å¸ú ê�Ü^'~õ�æ>¿(ò��|ñn-Aý?'�æ¦��ö{Rxô(-Aú³å¸)(ý�-AöM)('*÷&ý;Ù��('*ù å�ô½Únå�ý ý å�÷(ù�ö�õ�å¸ý ýl�Éý�æO'~ù�æ9-�)(ÿ�øZù öMúD���2'*)�ô��¦%(-�õO%,-�ý¤-A)(ô�åB^å¸)(ô(å�)#æ�ö*ø×æÂêZæ %���ý«ö*ø ÷ '*)(ô���ñ7òPN¤%(-�ý¤ÿM-�û*å¸ý>�(ý� 6 ê *ñªè���Ö ÷ �� ø 7  6 ê"�|ñ

� � ê ÷ ±cI ÷ � F�� ÷ � ñ ô��H�aé-�æ %(öH��æ�÷AöMý�ý�ö*ø¯ÿMå¸)(å�ù9'*÷�-�æ " �×�nå�õu'~)Á'~ý ý���ú�å�öH�(ùX(ù ö ! ' ! -A÷�-�æ " ý�('*õ¸åÝæ9ö ! åÝý öjù -�õO%�æ9%2'�æg 6 -�ýô(å�(2)(å¸ô,öM)�ç 6 êy-�)(ý�æ åu'*ô�ö*ø�öM)]g���í��BköM)�÷ " ñ7ò�äå�æÂ�êîë�ñ � è ÷ �  6 Ç ë÷ � É í ë�/1��í�¦%(-�õO% !#" ý õ¸'*÷A-�)(ÿ�-Aý¦'*÷�ý ö³'�æ¦��ö{Rxô(-Aú³å¸)(ý�-AöM)('*÷lý�Ù��2'~ù å¸ô½Únå¸ý�ý å¸÷#(ù�ö�õ�å¸ý ý¯ý�æ9'*ù�æ -A)(ÿ�øZù�öMú ���2-�)(ô(åB^å¸)�Rô(å�)Wæ¯ö*øRæ9%(å�(ù�ö�õ�å¸ý�ý å¸ý ÷ '*)(ô���òPÚ " �¦ù�-�æ9-�)(ÿr� � � è ÷ ±1I ÷ � ���å�'*ù ù�-�û*å�'�æ �� 6 ê *ñ è ��Ö ø �   Â�ê�ë�ñ

�V��êh� � F}ë�ñ ô'ëè ��Ö Ç ø 7 F]ø ��� õQ�  7 É Â�êîë�ñ

� � êJ� � F[ë�ñ ô�ëè ��Ö��Eêh� � ñ\F ' ! öH�()�ô(å¸ô�æ9å¸ù�ú�í�¦%(å�ù å�øZöMù¦'*÷A÷�� � ���

�Eêh�~ñ � è¬ø 7 Â�ê�ë�ñ�V��êh�eF[ë�ñ ô�ë�è��×ø 7�Ì�� Â�êÐ��*ñ

�V��êJ��êÑ�ÝF�Ð�ñ ñ ô�ë&��Ty

Page 16: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

a¹å,þW)(ö�� æ %(å�'*ý " ús�æ9ö*æ -Aõ ! å¸%2'uû�-AöH��ù³ö~ø'� � �¦%(å¸)� �¯ � � !#" æ9%(å�-�æ å¸ù9'�æ9å¸ô·÷�öMÿ#'*ù�-�æ9%�ú ÷A'����÷Aö*ÿw� � è�I M � tF ��ê � �÷�öMÿ�÷AöMÿ¿ ªñ���42Rp'*÷�ú�ö*ý�æ?ý;�(ù å�÷ " ò£+�ö�'*÷�÷���å=)(å�å¸ô¡æ ö�ý�æ��(ô " -Aý£æ9%(å�'*ý " ús�æ9ö*æ -Aõ�ýö*ø��Eêh�~ñò�¦%(å¸)X��¯ ��òÚ " ý õ¸'*÷A-�)(ÿ��øZö*ù¯å¸'*õO%Ø('o�å�ô�� � ���<�EêJ�*ñ?-Aý¦ô(-�ý�æ ù - ! ��æ9å�ôC'*ý�c 7�Ì�� � ó�Ñ;ô�Q� ó 7�6 Ñ;ô ô�ÐÉò.aé%(å�)��q¯ �'�(æ9%(-�ýù9'~)(ô(öMú û~'*ù�-�' ! ÷�å ! å�%2'uûMå¸ý�å¸ý ý�å¸)#æ9-A'*÷A÷ " ÷A-�þ*å¾c 7�Ì�� � ó«Ñ;ô��� ó�Ñ;ô ô�ÐÉòe�xæ=-�ý¦)(ö���æ9-Aú³å�æ9ö¢'r(÷ " '³æ9%�å¸öMù�å¸úÂö*øa�'*ù ù�å¸),'*)(ô��£öMù:gji{� k\�¦%(-�õO%,ýsæO'~æ å¸ý¦æ9%2'~æø ü Â�ê0Ð�ñ

� � ê0Ð�ñ ô�Ð�è ø*�ó²ü�ô H¡ê"�|ñêM�>I�HÝê"��ñ�ñ � ô��Mí ëÝ/1��í

�¦%(å�ù å��=ê�ë�ñ � è�c ü 7� óò��ô 6 � : óò��ô ô��H�¦'*)(ô�H -Aý�' PM'~õ¸ö ! -J(ù�ö�õ�å¸ý ýÃêyý�æ9'*ù�æ -A)(ÿjøZù ö*ú �#ñ�ö~ø�ô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)

ê,��í&�>Fh� ñ��É-A)�æ9%�å�ý�å¸)(ý�å�æ9%2'�æ«-�æ¯-Aý«'fg���í��Bk Rxû~'*÷��(å¸ô�ô(-�Û2��ý -Aö*)Ø(ù�ö�õ�å¸ý�ý��¦-�æ %CÿMå�)(å¸ù '~æ9ö*ù�êJ�Ç£lñ¸êî<Eñnè�(êî<KI$< � ñ¡£!ð ð4ê�<Eñ\F ê,�OIéê�¿JF � ñÑ<Eñ¡£!ðZêî<Eñ7ò«ê�Ü2öMù?ú³öMù�å�ô(å�æ9'*-A÷�ý¤' ! öH��æ¤æ9%�å¾PM'~õ¸ö ! -\�ù ö�õ¸å¸ý�ýB���å�ù�å�øZå�ùæ9ö�~n%2'{lò>�Ty�ö*ø×|�'*ù�÷A-�)�'*)(ô�N�' " ÷AöMùqg��Hi�k�ò ñÚ " æ9%(å¢'*ô(ô(-�æ9-�û�-�æ " ö*ø�êZý�Ù��2'*ù�å¸ôÉñ:Únå¸ý�ý å¸÷ò(ù ö�õ¸å�ý ý�å¸ýB�Æ�rÓ¯ Â�ê��|ñtFE� � ê"�|ñ�-�ý�'�ý�Ù��2'*ù�å¸ô}Únå�ý ý å�÷(ù�ö�õ�å¸ý ý,ö*ø�ô(-Aú³å¸)(ý�-AöM) ê�¿ÎF � ñ&�=ý ö '*) 'r(÷�-Aõu'�æ9-Aö*) ö*ø�æ %(åjå¸ù ÿ*ö�ô(-�õÃæ9%(å�öMù å�ú öM)¬('~æ9% ý�2'*õ�å-Aú³ú³å¸ô(-A'~æ9å�÷ " ÿM-�ûMå¸ý¤æ %2'~æ>�¦%(å¸)�ët¯ �3�

��êîë�ñ÷AöMÿtë ¯ ��>FÕ� í '�ò ý�òN¤%(å�ù å�-�ý¯'�ÿMå�)(å¸ù '*÷0ù å¸õ�-�^å�øZö*ù¯ýsæn�(ô " -�)(ÿ�æ %(å�'*ý " ús�æ9ö*æ -Aõ�ý«ö*ø¿c ª £_êJH¡ê"��ñ�ñ�ô��q�¦%(å�)DK-�ý¯÷A'*ù ÿ*å � êy-4ñ

æ9ù '*)(ýsøZå¸ù ù�-A)(ÿtH�-A)#æ ö�'�ô�-�Û��(ý -�öM)¢-�)¡-�æ ý�)2'�æn�(ù '*÷Eý�õu'*÷�år�&êy-�-4ñ³�¦ù -�æ9-A)�ÿ�-�æn'*ýn'¹Únù ö��¦)(-A'*)�æ -Aú³å«õO%('*)(ÿMå{�êy-�-A-�ñn'r(÷ " -A)(ÿs�(ý��('*÷Hæ å¸õO%()�-�Ù��(å¸ý«øZöMù¯'*ô(ô(-�æ9-�û*å�ø���)(õ�æ -AöM)2'~÷Aý¦ö*øtÚ�ù ö��¦)(-�'~)Cú³ö*æ9-�öM)¹êZû�-�'³ö�õ�õB�2'�æ9-Aö*)æ9-�ú�å�øZöMù�ú¹�(÷�'�'*)(ô�÷Aö�õu'*÷ªæ9-�ú�åuñ7òË�v)�öH�(ù�õu'~ý åjêZ-�òóå*ò��Ç£_ê�<Eñ�è Eó 7 õ E�ô : ñ��³��åÝ'*÷�ý öf��ý åÝ'*)�-AúsEöMùsæO'*)#æù å�ý��(÷�æ�ö*øòÚn-�'~)(å�'*)(ôX�£ö*ùsg�¿ k×�¦%(-AõO%jù�å¸÷�'�æ9å¸ý�Ú�ù ö��¦)(-�'~)Ã÷Aö�õu'*÷0æ9-�ú�å�ý�æ9öÝýsæO' ! ÷�å�ô(-Aýsæ9ù�- ! ��æ -AöM)�ýB�l'~)(ôæ9%�-Aýª-Aý�%(ö�� �nå¯ù å�õ¸öXûMå�ù£æ %(å¦ý�æO' ! ÷Aå¦÷A-�ú�-�æ9ýR-A)*N¤%(å¸ö*ù å¸úÍy�ò���ê²'~ýP��å¸÷�÷É'*ý�-A)�æ9%�å¯ù '~æ9å�ý�ö*ø&õ�öM)#ûMå�ù ÿMå�)(õ¸å-A)(�R'*ù�æ ý�êZ-A-�ñn'*)(ô¹êy-�-A-�ñ£ö*ø�N¤%(å¸ö*ù å¸ú y�ò��Mñ@òPÜ2öMù?æ9å�õO%()(-Aõ¸'*÷ô(å7æO'*-�÷AýB��ý å¸åq�J�,å7æ�'~÷�ò>g��{¿rk²òè�) -A)#æ9å�ù å¸ýsæ9-�)(ÿ øZå¸'~æn��ù åjö*ø�æ %(-Aý�ú³å�æ %(ö�ô -AýÝæ %2'~æ�-�æ�'*÷�ý ö " -Aå�÷Aô(ý�å�o'(÷�-Aõ�-�æÝû~'*÷���å¸ý�ö*ø�'~÷A÷=æ9%�å�()(ô�å¸ù ÷ " -A)(ÿ�õ¸öM)�ý�æO'~)Wæ ýn-�)sN¤%�å¸öMù�å¸ú¶y�ò²��'*)�ô¢-A)�-�æ9ý�ù9'~æ å¸ý£ö*ølõ�öM)#ûMå�ù ÿMå�)(õ¸å~ò�m=)�æ9%(å¯ö*æ9%�å¸ù£%2'*)(ôb�Wæ9%�åú³å�æ9%�ö�ôÝøy'*-�÷Aý?-�)�æ %(å�õu'*ý�å è¬��òN¤%(å�ú�å7æ9%(ö�ô·ô(åu'*÷�ý¹�¦-�æ % õ�öM)#ûMå�ù ÿMå�)(õ¸å,ö*øX��ê *ñ¡ê²'*)�ô�é_ê£ê�ë�ñ�ñ7ò[�xæ�-AýG^öMý�ý - ! ÷Aå¡æ9öjù�ål(2)(å�æ9%�å'*ù�ÿH�(ú³å¸)#æ�æ ö,å�ý�æ9' ! ÷A-�ý %¹ý öMú³å³û*å¸ù " ô�å¸÷A-�õu'~æ å*(ù ö ! ' ! -A÷�-�æ " å¸ý�æ -Aú�'~æ9å�ý�øZö*ù�ô�å�û�-�'~æ -AöM)�ý�ö*ø���ê *ñ��Hý å�åNR'*÷Aå ! g�ÖH�{k²ò� � ãuåtF�ܳã�à Ü�ß�Ãã¸â�àN¤%(-�ý:2'{Eå�ù�øZö�õB�(ý�å¸ý�öM)ºæ %(å³ý�æn��ô " ö*ø¯+�-�)2'*-,�óýO�n'*÷Aþ ê !W" ú³åu'*)�ý�ö*øný�æ ö�õO%2'~ý�æ9-�õ�õ¸'*÷Aõl�(÷���ýOñ7ò¢äå�æ:�(ý! ù�-Aå W " ú�å�)#æ9-Aö*)Ýý öMú³å�ù å¸÷A'~æ9å�ôÝæ9öH(-�õ¸ý¦'*)�ôC'�øZål��ù å7øZå¸ù å�)(õ¸å�ý«øZöMù?æ %(å¸ý�å�æ öH(-�õ¸ý¸ò��Ö

Page 17: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

N¤%(å�ù å�øZå�ù å�)(õ¸å�ý¢ö*øp|�öH�¸÷�ö|û1g�¿^�Tk¯'*)(ôÕ),öM÷�õO%2'*)(öXûcgÊ¿^z{k¦õ�öM)#æO'*-�) ô�å�æO'~-A÷Aå�ô '*)2'*÷ " ý�-Aý�ö*ø«ù å�ý��(÷�æ9ýl�(ù�-AöMùnæ öØ��zH�^y�'*)(ô�æ9öË��zrz^��ù å¸ý;Eå�õ�æ -�ûMå�÷ " �2õ¸öM)(õ�å¸ù�)(-A)(ÿ�û~'*ù -�öH�(ý¤ú³ö�ô�å¸÷Aýnö*øt`bac`Jd¦òè�ú³öM)(ÿ¦æ9%(å£þW)(ö��¦)�ù�å¸ý���÷�æ9ýHö*ø�)(åu'*ù�å¸ýsæ;Rv)�å¸-Aÿ*% ! öH�(ù#`bac`JdKöM)�ðp�uæ9%(å£'*ý;Eå�õ�æ_ö~ø�÷A'*ù ÿMå�ô(å7û�-�'~æ -AöM)(ý%2'*ý�(ù ö ! ' ! ÷ " ù�å¸õ�å¸-�û*å¸ô�æ %(ånú³öMý�æRù å�õ¸å�)Wæ£'�æ æ9å�)#æ9-Aö*)Ýê²'~)(ô�%2'*ý�Eö*ý ý - ! ÷ "�! å¸å�)�æ9%(å ! å�ý�æt��)(ô(å¸ù�ý�æ ö�ö�ôÉñ��-A)�-�æ9-A'~æ9å�ô !#" À�ù å�û*å¸)C'*)(ô�ô(å¸)Ø�«ö*÷A÷�'~)(ô(å¸ùug ��z k�òPÜ2öMùe�^ô2'~æ å¸ô�ô(å�û*å¸÷�öH(ú³å¸)#æ9ýl����å�ù å7øZå¸ù¤æ9ö�~nöMú³å�æ ýå�æ«'*÷²ò>gÁ���{k0'*)�ô�æ %(å�ý��(ùsûMå " 2'{Eå�ù !W" À�'*)#æ9å�ù�æ¯'*)�ôK$&å�-�æ9ör�()(-PgÁ��Ö{k²òèµ)2'�æn�(ù '*÷�å&o�æ9å¸)�ý -Aö*)�ö*ø¯+�-�)2'*-,�óý��?'*÷�þj-Aý�æ9%(å�ú�ö�ô(å¸÷�ö*øJ`bac`Jdñ�¦%(-AõO%�ô�ö�å�ý�)(ö*æ�)(å¸õ�å¸ý�ý9'*ù�-A÷ "å�o�å�õB��æ å�)(å¸'*ù å�ý�æMRv)(å�-AÿM% ! öH�(ù � �(ús(ý¸òG|�å " g��rÖ k�å¸ýsæO' ! ÷A-Aý�%(å¸ôjý�öMú�å�ù�å¸õl�(ù ù�å¸)(õ�å���æ ù9'*)(ý�-Aå�)(õ¸å�õ¸ù -�æ9å�ù -�'øZöMù¤ý;�(õO%f`bac`Jd¤ò^+�å¸å�è�)�ô � å¸÷.gÁ�Bk��2ä��å�æ9õO%�-Aþ*öXû]gÊ¿^�{k.gÊ¿H¿rkPg�¿�y�k,��þ=å�ù ù�-Aå¸)�)(-Aõ*gÁ�T� k'*)(ô�Únù�Ôå�ú�ö*)Wæ:g�i kløZö*ùû~'*ù -�öH�(ý¦'*ý " ú_�æ ö*æ9-�õ�ù å�ý��(÷�æ9ý¦ö*øRý��(õO%,ù9'*)(ô�öMú¶�n'*÷AþWý�òè�)(ö~æ9%(å�ù«-�)Wæ å¸ù�å¸ý�æ -A)(ÿ³å�o�æ å¸)(ý�-AöM)K-�ý¤æ9ö³ý�æn��ô " `\ac`Jd öM)C'³ýsæ9ù�-�lòòN¤%(åq�n'*÷�þÝ%2'*ý¯ý öMú³å�%(-AÿM%�å¸ùMRô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷bW2'Xû*öH�(ùl��æ %(öH�(ÿM%³-�æ�-�ý�ú�öMù�å¤õ¸öM)#û*å¸)(-�å¸)#ænæ ö�ý�å¸å¯-�æ£'*ý£'�öM)(å�Rxô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)2'*÷()(ö*)'Rv)(å¸'*ù å�ý�æMR)(å�-AÿM% ! öH�(ùÎ�n'*÷AþÉò Ü2öMùÝù�å¸õl�(ù ù�å¸)(õ�å���æ ù9'*)(ý�-Aå�)(õ¸åºõ¸ù�-�æ9å�ù -A'¹øZöMùÝý���õO%�'��n'*÷Aþ���ý�å¸åQÚnöM÷�æ9%2'{�(ý å�) '~)(ôÀ�öM÷Aô(ý�%(å¸-�ôQgjyTk,��|�åu'~)(å�'*)(ôØ`¯öM÷�÷Aå�ý�g��r� k²ò�xæ?-�ý£û*å¸ù " %2'*ù�ô¢æ9ö�ý�æ��(ô " `\ac`Jd�-A)�%(-AÿM%�å¸ù£ô(-Aú³å¸)(ý�-AöM)�ý¸ò×�¯å¸ù�å�'*ù å«'�øZå��éù å�øZå�ù å�)(õ¸å�ý � |�'*÷A-�þ*ö��g��rÖ{k���ä0'��¦÷�å¸ù$g�¿^�Tk��uè�ý�æ ù9'r��ý þ�'*ý$gj� k���Únù�-Aõ¸ú³öM)#æ�'*)(ô3|u�(-�'~-A)(å�) g��{k²ò +�ö*ú�åjù å�ú¢'~ù þ�' ! ÷�åºù�å¸õ�å¸)#æ(ù�öMÿMù å�ý ý�å¸ýCö*) úX�(÷�æ -�Rvô�-Aú³å¸)(ý�-AöM)2'~÷�`bac`Jdµõu'~) ! åÃøZöH�()(ô -A) $&å¸ù�)(å¸ù]g�irÖ{k_g�iHi k���+'��)(-�æ ú¢'~) g�ÖH�{kg�Ö��BkJg�Ö^� kJg�ÖH�Tk,�R+'��)(-�æ ú¢'*)j'~)(ô¹$&å¸ù )�å¸ù_g�ÖrÖ{k,�H$&å�ù )(å�ù�'*)(ô]),å¸ù�þW÷Jgjir� k,�H+�%�å¸)ÕgjyrÖ k,�#ÚnöM÷�æ9%2'{�(ý å�)¹'~)(ô+'��)(-�æ ú¢'*)�g�Ö k�òJa�å�ù å�øZå�ù«æ ö�+'�¸)�-�æ9ú�'*)�g�Ör¿{keg�Ö^yTkHøZöMù«ý��(ùsûMå " ý�öM),æ9%(-�ý�å�o�õ�-�æ9-�)(ÿ�æ öH(-�õ*ò«ä0å7æO�(ý='*÷Aý�öú³å¸)#æ9-�öM)�' ! å¸'r��æ -�ø��(÷�ú¹�(÷�æ9- Rvô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷Hå�o�æ9å�)(ý -�öM)�ö*ø¤+�-A)('*-,�óý�æ9%(å�öMù å�ú !#" þO�(ù�ù å�æ�æ�gÁ���{k£-�)¹æ9%�åù å�õB�(ù�ù å�)Wæ«õu'~ý å*ò�v)¢öMù�ô(å¸ù�æ9ö�ÿMå7æ?' ! å7æ æ å¸ù.�()(ô(å�ù ý�æ9'*)(ô(-�)(ÿ�ö~ø\`bac`�d¹-A)³%(-AÿM%�å¸ù�ô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)(ýB�W-�æ�-�ý�-A)#æ9å�ù å¸ýsæ9-�)(ÿ�æ öý�æ��(ô " ù '*)(ô(ö*ú¶�n'*÷Aþ³öM)�'*À�'~÷�æ9ö*)�Ï�a�'~æ9ý�öM)¢æ9ù�å¸å~ò�äö�öMý å�÷ " ý�^åu'*þW-�)(ÿ�2'*)Ý-�)�(2)(-�æ9å�À�'*÷�æ9öM)�Ï^a�'~æ ý öM)æ9ù�å¸å=-�ý¤'*)¡-�)�(2)(-�æ9å«ô(-Aú³å¸)(ý�-AöM)('*÷É÷�'~æ�æ9-Aõ�å«)�å�æ¦��öMù þ��2ý ö�æ %2'~æ¤ù�å¸ý;�(÷�æ ýnøZöMùnù '*)(ô(ö*úÍ�n'*÷Aþ³öM)Ý'*À�'*÷�æ9öM)�Ïa�'~æ9ý�öM)¢æ9ù�å¸å«õu'*) ! å«æ %(öH�(ÿ*%Wænö*ø0'*ý£øZöMù£ð ± R�û~'*÷��(å�ôÎ`bac`Jd¦ò�+�å�å þ=å¸ú ! ö�å�æ¤'~÷�ò>gÁ�H�lk^øZöMù�æ9%(å«÷�'~æ å¸ýsæô(å7ûMå¸÷�öH(ú³å¸)#æ9ý«'*)(ôØÀ�'*)#æ9å�ù�æXg ��y kløZöMù¦'�ý��(ùsûMå " öM)�æ %(-Aý�òè øZål�h��öMù ô�ýn' ! öH��æ�æ %(å¦õ¸öM)#æ9-�)��(öH�(ýÑRxæ9-�ú�å¤ú³ö�ô(å¸÷2ö*øEô(-�Û2�(ý�-AöM)*(ù�ö�õ�å¸ý�ý�-�)¢'�ù9'~)(ô(öMú ^ö*æ9å�)#æ9-�'~÷�òa¹å�ý9'�� -�)Ã+�å�õ�æ9-�öM)½��æ9%(å�ù å¸'*ý öM)��¦% " -�æ«õ¸'*) ! å�õ�öM)(ý�-Aô(å�ù å¸ôj'~ý�'³õ¸öMús2'*)(-�öM)�ö*øP`bac`�d¤ò!N¤%(å¸ù�å'*ù�å�'¡)��(ú ! å¸ù=ö*ø£ù�ål(2)(å�ôÃûMå¸ù�ý -�öM)(ý�ö*ø.Únù�ö�o2�óý�ù å�ý��(÷�æ³ê�N¤%�å¸öMù�å¸ú ��ò��|ñ&�lõu'~÷A÷Aå�ôC÷�ö�õ¸'*÷A-��u'~æ -AöM)�ù å�ý��(÷�æ9ýl��¦%(-�õO% %2'uûMå ! å�å¸) ö ! æO'*-�)(å¸ô !#" |�'��n'r�B�éå7æ�'*÷�òÍg��H�Tk,�����ìg��r� k�êZøZöMù¡'�ý��(ùsûMå " ö*ø�ù å�ý��(÷�æ9ýÎ(ù�-AöMùæ9ö���zHzHy'�ný�å¸åfNR'*)2'~þ~' g�ir�{k�ñ��?ú³ö*æ9-�û~'~æ9å�ô !#" æ %(åC'~ù�æ9-�õ¸÷�å�ö~ø�À�öM÷AöMý�öXûcg ��iTk>�¦%(-AõO%Áô(åu'~÷�æ*�¦-�æ %Áæ9%�åõu'~ý å¢ö~øe`bac`�d¤òHäå�æ:�(ý�'~÷Aý ö�ú³å¸)#æ9-�öM)¹ý�öMú³å³úX�(÷�æ -�Rvô�-Aú³å¸)(ý�-AöM)2'~÷Rå&o�æ å¸)(ý�-AöM)�ý�ö*ø�æ9%(å�õ¸öM)#æ9-�)��(öH�(ýÑRæ9-�ú�å«ú�ö�ô(å�÷,�('~õ¸õ¸ö*ú_(÷�-Aý�%(å¸ô !#" NR'*)2'~þ~'�g�ÖHz{k���)C'~æ %(-Aål�Qg�¿^i k.gÊ¿^�{k²òP�«)�øZöMùsæn�()('~æ9å�÷ " ��æ9%(å�ú³å�æ %(ö�ô�ý?ö*øý�æ ö�õO%('*ý�æ -Aõ�õu'*÷�õB�(÷��(ý¤ô(å�ý õ¸ù�- ! å¸ô�-A)Ýæ9%�-Aýe2'r^å¸ù¤øy'*-�÷Eæ ös��öMù þ¢-A)Ýæ9%(å�ú¹��÷�æ9- Rvô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷2ý�å�æ�æ9-A)�ÿ(òN¤%(å·+�'~-A)#æÈÜ�÷�öH�(ù�÷Aå�õ�æn��ù å�)�ö*æ9å�ý !#" $&å�-�æ9ör�()(-_gjiry kX�ù öXû�-Aô(å�'*)�'r��æ %(öMù�-�æO'�æ9-�û*å¹öXû*å¸ù�û�-�ål� ö*ø`bac`�de�W'*)�ô³õ�öXûMå¸ù£ý ö*ú�å¤ö*æ %(å¸ùª-�)#æ9å¸ù�å¸ýsæ9-A)�ÿ�'~ý�^å¸õ�æ ý«êZøZöMùªå&o('~ú_(÷�år�Mæ %(å¯'*ÿM-A)�ÿO(ù örEå�ù�æ " ñ_ö*ø+�-A)2'*-�� ý�n'*÷AþK�¦%�-AõO%,'*ù å�)(ö~æ«ô�-Aý õl�(ý ý�å¸ô,-A)Ýæ9%(å�(ù�å¸ý�å¸)#æp('rEå�ù¸ò

�Ti

Page 18: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

�   ]ã�Û ¡Ýá½ãuàRÜ_ã¸ß³ÛÈà �Mß³Þ�E�ãuÛDF�ãHG;à I�F¹åtLN¤%(-�ý>(()2'*÷0ý å�õ�æ9-�öM)�õ¸öM)(ý�-Aýsæ9ý¯ö*ø_ý�öMú�å�Ù��(å�ý�æ9-�öM)(ý«' ! öH��æ�+�-A)('*-,�óý��?'~÷AþÉòÝè«÷A÷læ9%�å¸ý åqÙ��(å¸ýsæ9-�öM)(ý¯ù å¸ú�'*-�)�()2'~)(ý;��å¸ù�å¸ôKý�ö�øy'*ùl��æ9ö�æ9%(å ! å¸ý�æ¯ö*ø�ú " þW)(ö��¦÷Aå�ô(ÿMå~òÝè�ý ! å�øZöMù�år���åq�¦ù�-�æ9å�ê�+ e í.-]/c�#ñ�æ ö�ô�å¸)(ö*æ å+�-�)2'*-,�óýÝ�n'*÷Aþ¢öM),ðp��'*)�ô,'~ý ý���ú�å�æ9%('~æ¯õ¸öM)(ô�-�æ9-�öM)(ý�êÑ�H���|ñ5Ï&êÑ�H�²�Mñ?'*ù å=ø���÷�(2÷�÷Aå¸ô&ò¢ �� £N0�)���u@�(�$0��"5�s�u@�(0��&��s'# 5�¤N¤%(å�öMù å�úD��ò���õ�öM)�(2ù�ú�ý£æ9%2'�æ¤+�-�)2'*-�� ýP�?'~÷Aþ�å¸) � ö " ýnæ %(å�ý '*ú³å='*ý " ús�æ ö*æ9-�õJ�ù öH^å¸ùsæ9-Aå�ý?'*ýn'�ô(-�Û2��ý -Aö*)(ù�ö�õ�å¸ý ý�-A)K's2'*ùsæ9-Aõl�(÷�'~ù¯ù '*)(ô(ö*ú ^ö*æ å¸)#æ9-A'*÷�êyô(å�(2)(å¸ôÃ-�)�ê���ò��Xñ ñ7ò>N¤%(-�ýp2'~ù�æ9-�õB�(÷A'*ùe^ö*æ9å�)Wæ -�'*÷0-�ý«æ9%�å2'*ùsæ9-A'*÷�ý��(ú ö*ø¦õ¸å�ù�æO'~-A)�-A-�ô�ú³åu'*)�R¦�¸å�ù ö ! öH�()�ô(å¸ô�ù '*)(ô(öMú û~'*ù -A' ! ÷�å¸ýB��'*)(ô�æ %���ý�õu'*) ! åÝ'r�ù ö�o�R-Aú�'~æ å¸ô·û�-A' ê�¿(òjz#ñ !W" êy'¹õ¸ö*)(ý�æ9'*)#æ¢ú¹��÷�æ9-�(÷AåÝö~øOñGÚnù�öT�¦)�-�'*)Áú�ö*æ -AöM)2�.�¦-�æ9% ý9'~æ -Aý�ø " -�)(ÿ]�ù å¸õ�-Aý�-AöM)lò�«ö���å�û*å¸ùB�(æ¦��ö�ô(-�Û2�(ý�-AöM)K(ù ö�õ¸å�ý ý å�ý��¦%(öMý�å�ù å¸ý;Eå�õ�æ -�ûMå�ù '*)(ô(ö*úÍ^ö*æ å¸)#æ9-A'*÷Aý�'*ù å�õ¸÷Aö*ý å«æ ö�åu'~õO%�ö~æ9%(å�ùô(ö«)(ö*æ_)�å¸õ¸å�ý ý '*ù -�÷ " Eö*ý ý å�ý ý_ý�-Aú³-A÷A'*ù'*ý " ús�æ ö*æ9-�õò(ù�öH^å¸ù�æ -Aå�ý¸ò³N¤%�åÝÙ��(å¸ýsæ9-�öM)�-AýHöH^å¸)�' ! öH��æ��¦%(å7æ9%(å�ùêy-�),ý�öMú³åq�ù ö ! ' ! -A÷�-�æ " ý;2'*õ�åXñ?æ9%(å�ù å�'*ù å�'¢+�-A)2'*-�� ýe�n'*÷AþÃê,+ e ñ¦'~)(ôK'�ô(-�Û��(ý�-AöM)�(ù ö�õ¸å�ý ý�ê�é_ê£ê�ë�ñ�ñ¦-�)'*Únù ö��¦)(-A'*)�Eö*æ å¸)#æ9-A'*÷&ý;�(õO%Cæ %2'~æ�+ e -�ý¤ù åu'~ý öM)2' ! ÷ " õ�÷AöMý�å�æ9öGé_ê�ê�-ñ@ò.),öMù å�(ù�å¸õ�-Aý å�÷ " ��nå�'*ý þ �¥ l ��Òl%T�����4¦2����§¹·X5O8�:îª257695¯5¡µM1A87:l>:¸º·�x[>!¼b14/�» /�·�6ÇqÉ14/^>*1ts 8.©£>r¼�u�ê,+ e ñ¤>*/!§u§*1 wyxW871,·�/X>^6n·�¸O5O8O8nê�é_ê£ê�ë�ñ�ñ14/º>!1¦6n· ©ª/21y>*/g>U·�:v57/2:y1y>r¼²¨_8Ox�¸ºª�:îª�>*:.©³ª257/Î-[»�·X5O8�:¦·³14/M5�/214:ëT¨�

� + e I�é_ê�ê�-lñêy÷Aö*ÿt-ñ � ¸º·�/23*576�»�5O8�:¦·:�C14/�>^6n·&pO>�p¸1î¼b14:"ëy¨ê,i�ò��|ñ

�xæ¢-�ý*(ù öXûMå�ô !#" +�å¸-�ÿM)(öH��ù å¸÷:g�yHyTk¦æ %2'~æ�æ9%(å,'*)(ýM�nå�ù�æ ö�ê�i�ò��Xñ�-�ý�-A)·æ9%(å,'�ʳù ú�'~æ9-�ûMåÝ-�ø=öM)(å�-�ý'*÷�÷Aö��nå�ôÝæ9ö�õO%2'*)(ÿ*å�æ %(å�ù9'*)(ô�öMúµå�)Wû�-�ù öM)(ú³å¸)#æ«'~æ¦å¸'*õO%Cýsæ9åB�ö*øHæ9%(åu�n'*÷AþÉò¢ po ©.��ª u<57�&%�u<u<570��v�(�4�+��0��$�C1J�*ª«�$# ¬'¤+�-�)2'*-,�óýu�?'~÷AþÃ-Aý�ù�å¸õB��ù ù å�)#æuòËè¶Ù��2'~)Wæ -�æ " æ9ö�ú³åu'*ý;�(ù å�v�%(ö�� ù å�õB�(ù�ù å�)Wæ�'Ø(ù�ö�õ�å¸ý�ý�-Aý;w,-�ý�æ %(å³÷Aö�õu'*÷æ9-�ú�å ü ê�-Rí�<Eñ � èUýK= �2 cÆr L- � + Ä èc<\?��É'~÷Aù å¸'*ô " -A)#æ9ù�ö�ô��õ¸å¸ô�-A)¹ê�¿(ò���Ö#ñ7òªäå7æü Î ê�-ñ � è ú�' oE�@lA ü ê�-Rí�<Eñê,i�ò��Mñ�¦%(-�õO%¢ô(å�)(ö*æ9å�ý�æ %(å«ú�' o�-Aú�'*÷�)���ú ! å�ù�ö~ø&û�-Aý�-�æ9ýªæ %(åJ�n'*÷�þ�õu'*)_2' " æ9ö�'*) " ý�-�æ å¯-�)³æ %(å>(2ù ýsæÝ-�ý�æ åB(ý�ò­ �(-�æ å�ù å�ú¢'*ù�þ�' ! ÷ " �`�Ôå�ûtÔå¸ý;��g�y'�lkòg�yH� kb(ù öXûMå�ô,æ %(å�øZöM÷A÷�öT�¦-�)(ÿ �

÷A-Aú ý��e \J± ü ÎXê�-lñ- � ��í 4�Rp'�òóý¸òê,i�ò²�#ñäö�ö*ý å¸÷ " ý�^åu'~þ�-�)(ÿ�U�¦-�æ %Ø42R5(ù ö ! ' ! -�÷A-�æ " öM)(år�E+�-�)2'*-�� ýe�n'*÷Aþ¡ý;Eå�)(ô(ý�'*^öMý -�æ9-�û*å�(ù öH^öMùsæ9-Aö*)�ö~ø�æ9-�ú�å-A)�'�ý�^å¸õ�-�'*÷ý�-�æ å*òtN¤%(-�ý¯-�ý¤-A)�õ¸ö*ú_(÷�å�æ å�õ¸öM)#æ9ù '*ý�æ>�¦-�æ9%Ýæ9%(å�õ¸'*ý å�ö*ø��(ý��('*÷0ù9'*)(ô�öMú¶�n'*÷AþÉò���

Page 19: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

�ªù öH^å¸ùsæ " ê,i�òj�#ñÝ�?'~ýJ�ù öXûMå�ô !#" `�Ôå7ûPÔå�ý��Kgjy��Bkògjyr� k\�¦%(å¸)�æ9%(å�ù '*)(ô(öMúµå¸)#û�-Aù ö*)(ú�å�)#æ¯æ9'*þ*å�ý«ö*)(÷ "æ¦��ö³û~'*÷��(å¸ý�ò.N¤%�å�÷A'~æ æ å¸ù¤õ�öM)(ô(-�æ9-Aö*)b��%(ö���å�û*å¸ùB�^õu'~) ! å�ù å¸ú³öXûMå�ôb�2ý å�åÎg�yHi k²ò

~nöM)(õ�å¸ù )�-A)(ÿ�ö*æ %(å¸ùª'~ý�^å¸õ�æ ý�ö*øÉæ9%(å¤'~ý " ú_�æ9ö*æ -Aõ ! å¸%2'uû�-Aör�(ù ýªö*ø ü Îuê�-lñ��H��å¦%2'uûMå?æ¦��ö�õ�öM) � å�õ�æn��ù å¸ý�ò® �!�Q¯B�Hjr% l �T�°¦��=) óΪ257/Î-�»�·X5O8�:Ñ·³14/M5�/214:ë�¨ ü ÎXê�-ñ ù -c¸º·�/23*576�»�5O8�©n5 >�u ¼òër¾® �!�Q¯B�Hjr% l �T�°¦��=i �¡®�±�^�t±��Ò²>[¡Á¢�)�¤¦¥zóC5uª�>*3*5º¨

÷A-�ú�-A)�øe \>± ü ÎXê�-ñ- ù ÷AöMÿª÷�öMÿP- è ��í 4�Rp'�òóý¸òê,i�òj¿Wñ÷A-�ú�-A)�øe \J± ü�Î ê�-ñ- ù êy÷�öMÿ�÷AöMÿt-lñ û è ��í 42Rv'�òóý¸òê,i�ò�yMñ

~nöM) � å�õ�æn��ù åsi�òj�¢-Aý ! ö*ù ù ö���å¸ôKøZù�öMú³~n%2'r�æ å¸ù��rz�ö*ø.`�Ôå7ûPÔå¸ý���g�yH��k�òpa¹å�ú�'*þ*å�æ9%(å�æ9ù -�û�-�'*÷0ö ! ý�å¸ùÑRû~'~æ9-�öM)¡æ9%('~æ�ê,i�ò²yMñn-Aý¤ålÙ��(-�û~'*÷�å¸)#æ¤æ9ö � ÷�-Aú e \J± ´(µ ó e ôe�Ì ó «7698H«7698 e ô·¶ èñ�3�'42Rp'�òóý¸ò¢ �¸ £N0���5&u<�/5&�����(�w0¹#(���"�$#º�<�(685äå�æ ü ê�-�í�<Eñ ! å�'*ý¤-A)¹ê�¿(ò���Ö#ñ7òtN¤%(å�-A)#æ å¸ù ý�å¸õ7æ9-Aö*)�÷�ö�õ¸'*÷Eæ -Aú³å�'*ý ý�ö�õ�-�'~æ å¸ôÝæ9ö,ê�+ e ñ?-Aý

�Eê�-ñ � è à E�@lA ü � ê�-�í�<Eñ�è eà ì Å eà » Å �Hæ�¼2½ Å ¼d¾¡éB��v)X��öMù ô�ýB�M-�æ�ù�å¸õ¸ö*ù ô(ýHæ9%(å£øZù åBÙ��(å�)(õ " �¦-�æ %:�¦%(-�õO%�+�-A)('*-,�óý\�?'*÷�þ�-A)#æ9å�ù ý å�õ�æ ý³�¦-�æ %�-�æ ýRö��¦)�æ ù9' � å�õ�æ öMù -�å¸ý¸ò~n÷Aå¸'*ù ÷ " �"�Eê�-lñ�-Aý�õ�÷AöMý�å¸÷ " ù å�÷�'~æ å¸ôÃæ9ö ü Îuê�-ñ�êZý å�åCê�i�ò²�Mñ ñ@ò�ä0å7æ��(ý�ú�å�)#æ9-Aö*)jæ %2'~æ|�Eê�-lñ='*÷Aý�ö�'r^åu'*ù�ý)2'~æ��(ù9'~÷A÷ " -�)Kæ9%(å�ú�ö�ô(å¸÷��&ýsæn�(ô(-�å¸ô !#" ä " öM)(ý�'*)(ôº+�õO%(ù9'*ú³úägÊ¿^ÖTk,�ö*ø�ù '*)(ô(ö*ú �n'*÷Aþ�êyý ' " êhH e ñ ñ«-�)ù9'~)(ô(öMúëå¸)#û�-Aù ö*)(ú�å�)#æJ�¦-�æ9%�'sÀ�'{�(ý ý�-�'*)Ýù '*)(ô(öMúµý õ¸å�)(å¸ù " � -�)(ô(å¸å�ôb�(øZöMù?å¸'*õO%�-³�@H e -Aý?ô�-Aý�æ ù - ! ��æ9å�ô'*ýº¿ �Eê�-lñÁÀ �'�¦%(å¸ù�åÂÀ ô�å¸)(ö*æ å¸ý«'�ý�æO'~)(ô2'*ù�ô½À�'r�(ý�ý -�'~)�ù '*)(ô(ö*úµû~'*ù -A' ! ÷Aå«-A)(ô�åB^å¸)(ô(å�)#æ�ö*ø��Eê�-lñ7ò

~nöM) � å�õ�æn��ù åXi�ò���%2'~ý«'�õ¸ö*ú_2'~)(-AöM)¡øZö*ù¤-A)#æ9å�ù ý å�õ�æ -AöM)�÷Aö�õu'~÷&æ9-�ú�å{��ý�æ9'~æ9å�ôC'~ý¦øZö*÷A÷Aö��¦ý�ò® �!�Q¯B�Hjr% l �T�°¦��¶n óΪ257/Î-�»�·X5O8�:Ñ·³14/M5�/214:ë�¨&�Eê�-ñ ù - � ¸º·�/23*576,»�5O8u©n5 >�u ¼òëH¾¢ Jà Ä��7ª«��u<Å'�Æ�'� Ç���5&uÆÅ|�(68570��/�(�w0��ÉÈ��80��$� )w5������/5�68s+�è�ý���åný9'~-Aô�-A)�+�å¸õ7æ9-�öM)¹Ö���-�æ0-�ýûMå¸ù " ô(å¸÷�-Aõu'�æ9åªæ9ö¯ý�æ��(ô " %(-Aÿ*%(å¸ùÑRvô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷r`\ac`Jd¤ò�ä0-�æ æ ÷Aåª-Aý0þW)(ö��¦)ý öÝøy'*ù=' ! ör��æ�ù å�õB�(ù�ù å¸)#æ:`bac`�d -A)Ã%(-�ÿM%(å�ù�ô(-Aú³å¸)(ý�-AöM)�ý¸ò:ÜÉö*ù=å�o�'*ús(÷Aå{��|�'*÷A-�þ*ö��Dgj�rÖTkªõ¸ö*)(ý -�ô(å¸ù�å¸ô'*)Ã-�)()(ö�õ¸å¸)#æMRv÷Aö�öMþW-A)�ÿ�å&o('~ú_(÷�å�ö*øªæ¦��ö{Rvô�-Aú³å¸)(ý�-AöM)2'~÷³`bac`Jd>�&'*)(ôj'*ý�þ*å�ô0�¦%�å�æ9%�å¸ù�æ9%(-�ýO`bac`Jd -�ýù å�õB�(ù�ù å�)Wæ�ê"�ªù�ö ! ÷Aå�úD¿³-A)]g��rÖ k�ñ7òPN¤%(å�(ù�ö ! ÷Aå�ú ù å�ú¢'~-A)(ý���)(ý öM÷�ûMå�ôK'~ø4æ å¸ù?æ¦��å¸)#æ "�" åu'~ù ý¸òäö�öMý�å¸÷ " ý;Eå¸'*þW-A)(ÿ�Ræ9%(åK((ù ý�æ�õ¸öMúsEö*)(å¸)#æ�ö*ø¤æ %(å¡ð � Rxû~'*÷��(å¸ô�`\ac`Jd õ¸öM)(ý�-Aô(å�ù å�ô !W" |�'*÷A-�þ*ö��g��rÖ{k¦ý ö*ú�å��¦%2'~æ³÷Aö�öMþWý�÷A-�þ*åºê ! ��æ³-Aý�ú¹�(õO%Áú�ö*ù åÝõ¸ö*ú_(÷�-Aõ¸'~æ9å�ô�æ9%2'*)2ñ³+�-A)2'*-�� ý¹�n'*÷�þ!�P�¦%(å�ù åu'~ý�æ9%�å��z

Page 20: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

ý å�õ¸öM)�ô ! '*ý -�õu'*÷�÷ "Ã! å¸%('Xû*å¸ý�÷�-Aþ~å¢'��(ý��2'~÷ný -�ú_�÷Aå�ý " ú³ú�å7æ9ù�-Aõ³ù9'*)(ô�öMú �?'*÷�þÉò��xø¦ö*)(å_��å¸ù�å¡' ! ÷�å³æ öå¸ýsæ9-�ú¢'~æ å=æ9%(åqÙ��(å¸)�õO%(å¸ô½�ù ö ! ' ! -A÷�-�æ " æ9%2'~æ�|�'*÷�-Aþ*ö����óý¦ù9'*)(ô�öMúD�n'*÷Aþ¡%�-�æ9ý>�³'~æ¦æ9-�ú�åp-³�2æ9%(å�)�æ %(å¸ù�åú³-AÿM%#æ ! å�ý öMú³å�%(öH^å�æ9öË(ù�ö|û*å³æ %(å,êyõ�öM) � å¸õ7æn�(ù�å¸ôÉñ�ù å�õB�(ù�ù å�)(õ¸å³ö*ø£æ9%(åG�n'*÷AþÉòGè�ý�'�^öMý ý�- ! ÷�åX(2ù ýsæý�æ åB�æ9ö³ô(ö�æ9%(-�ýB���å�'*ý þ¢æ %(å�øZöM÷A÷�ö��¦-A)(ÿ¹Ù��(å�ý�æ -AöM) �¥ l ��Òl%T�����4¦2��¢ ´#·�6�qÉ14/^>*1ts 8J©£>r¼�u�ê�+ e ñn¨b5�/!§�>*/,>�8Oë�3^>^:Ñ·�:y1,¸�5O87:²1½3³>*:v5�·4/KÊ Y ê,+ e è3�Mñº¨�©³ª257695�Ê Y§�57/2·�:v5O8�:�ª25�ê¡�txÉ57/2¸ºª25�§Hñ�>^6º·&pO>�p¸1î¼b14:ë:»*143*57/¹57/23X146n·�/�3¢57/2:5¾ß â�LÝÛKßRI åBã=àDCsãOâ ã�Û¡Ütà�¦'*ú ÿMù '~æ9å7ø��(÷0æ9ö�æ %(å:��öMù�þ�ý�%(öHb�óý=öMù�ÿ#'*)(-��¸å�ù ýB��Ü2ù9'*)�õ¸-AýV~nöMú³å�æ ý='*)(ôfd_æ9-Aå�)()(å¾��'*ù�ô(öH�'o��EøZö*ù¯æ %(å¸-�ùþW-A)(ô,-A)#û�-�æ9'~æ9-�öM)�'*)(ôØEå�ù�øZå¸õ7æ�ö*ù ÿ#'*)�-��u'�æ9-Aö*)lòòè«)C-�ú_^öMù�æ9'*)#æ>2'*ùsæ«ö~ø�æ9%�-AýJ2'r^å¸ù¦-Aý ! '*ý�å¸ôCö*) � öM-�)Wæ��öMù þL�¦-�æ %��.�(å " ��)x���b�u�¦-�æ %¬�¦%(ö*ú �Ý%('Xû*å�%2'*ô ý öMú³å¹û*å¸ù " ýsæ9-AúX�(÷�'~æ -A)(ÿ·ô(-�ý õl�(ý ý�-AöM)(ýØ�^öM)ý�æ ö�õO%('*ý�æ -Aõ�õu'*÷�õB�(÷��(ý�øZöMù�ù9'*)�ô(öMú �n'*÷Aþ�-�)·ù9'*)(ô�öMú å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò N¤%2'*)(þWý�'*ù å,'*÷Aý�öjô�(å�æ9ö¹'*)'*)(ö*) " ú³öH�(ý¡ù�å�øZå�ù å¸å½�¦%�öMý åjõ¸ö*ú�ú³å¸)#æ9ý¢%2'uûMåÃ÷Aå�ô æ9ö�-�ú_�ù öXûMå�ú�å�)Wæ¡-A) æ %(åÈ(ù å�ý å�)Wæ9'~æ9-�öM) ö*ø�æ9%�å2'r^å¸ù�ò� ãX�Hã=ÞPã=ÛÃâJãuàgÁ�Bkqè�)(ô � å¸÷,��d¤ò�þ�ò�êÑ��zH�H�#ñ@ò\è¶��å¸ù�öKöMù�öM)(å³÷�'�� øZöMù�öM)(å&Rvô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷ªù '*)(ô(ö*ú �?'*÷�þWý�-A)ºù9'~)(ô(öMúå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æ9ý�ò���/2/!¾0<�6º·&pO>�p�¾����b�!iH�H��Ï�ir�rz�òg�� kqè�ýsæ9ù9'{�(ý þ�'*ýl�Uè�ò0êÑ��zH�Hz#ñ@ò'è�÷�-Aú³-�æ�æ9%�å¸öMù�å¸úµøZöMù?'�ù9'*)(ô�öMú¶�n'*÷Aþ�-A)�'�ù�å�ûMå�ù ý�- ! ÷�å�ù9'*)(ô�öMúµå�)Wû�- Rù öM)�ú�å�)Wæ¸ò±oR14:�ªHx�>*/21y>*/�»Ã>*:�ª�¾�Ë�¾�)�-b���H�'��Ï'������òg��{k:Ú?'*ý�ýB�^`�ò²Ü�ò~'~)(ô*À�ù -=ʳ)b���Rò +Eò�êM��zr�^yMñ7òTN¤%(ånú�öMýsæRû�-�ý -�æ å¸ô�ý -�æ å�ö~ø!Únù ö��¦)(-A'*)�ú³ö*æ9-�öM)�'*)(ô�ý�-Aús(÷Aåù9'*)�ô(öMú¶�n'*÷�þ^òÉÌ�¾^ó,> ª�698�¸ºª�¾�B^576&©.¾�Í«5tp¸1�57:v5V¦/Î\�¿�Ti�Ï�¿^�HÖ�ògÊ¿rk:Ún-�'~)(år�&�RòM'~)(ôt�£öMùB�^)¹ò2êÑ��zH�^iMñ@òÐÏ£'~÷AåB��ù ý×(ù�-A)(õ�-�2'~÷Aå¸ýR'*ý�ý ö�õ¸-�Ôå�å¸ý�'r��o�æ å¸ús(ý_÷Aö�õu'{�'o ! ù ö��¦)(-�å¸)(ý�ò1yx�¼î¼�¾ qb¸71�¾ »Ã>*:�ª�¾#�!���U�!�r�TÏ������Mòg�y k:ÚnöM÷�æ9%2'r��ý å¸)2��d¤ò�'*)(ôËÀ�öM÷Aô�ý %(å�-Aôb���Oò&ê,�r�H�r�#ñ7ò�`¦å¸õB��ù ù å�)(õ¸å='*)(ô¢æ ù9'*)(ý�-Aå�)(õ¸å«ö*ø0ù9'*)�ô(öMú �n'*÷AþWý?-�)ù9'*)�ô(öMúµå�)#û�-�ù öM)�ú�å�)Wæ ý«-�)�'³ýsæ9ù�-�lò�Ñò·�3|3s¾k»j>*:îª�¾H<PªHë|8B¾�)\�§n��U¿��{zTÏ�¿H¿�i�òg�Ö{k:ÚnöM÷�æ9%2'r��ý å¸)2�^d¤ò#'*)(ô³+'��)(-�æ ú¢'~)b�Hè�òÊRs+^ò2ê,�{�H���TF�ñ7òrm=)�æ9%(å¤ýsæO'~æ -Aõ¤'~)(ô�ô " )2'*ú³-Aõ�^öM-�)Wæ ý�ö*øÉû�-Aå��¦ýøZöMù¤õ¸å�ù�æ9'*-A)�ù9'~)(ô(öMúÍ�?'*÷�þWý¯-�)�ù9'*)(ô�öMú å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuòHê�(ù ål(ù -�)#æ@ñg�i k:Únù�Ôå�ú�ö*)WæB��P�òHê,�{�H���TF�ñ7òm=),ý�öMú�å�ù '*)(ô(ö*úD�?'~÷AþWý¦öM)�ð�-A)�ù9'~)(ô(öMú ú³å¸ô�-��(ú�òê�(ù ål(ù -�)WæOñg��{k:Únù -�õ¸ú³öM)#æ��bP�ò('*)�ôË|���(-�'*-�)(å¸)2�'è�òêM��zHz��|ñ@ò�`¯'*)(ô(ö*úÍ�n'*÷AþWý?-�)Ý'*ý " ú³ú³å�æ9ù�-Aõ«ù9'*)(ô�öMúëå�)#û�-�ù öM)�Rú�å�)#æ9ý¸ò$Ñò·�3|3s¾m»j>*:îª�¾R<PªHë|8B¾���nÕ)b���r¿^y�Ï�¿��r��ò

�r�

Page 21: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

g�z{k:Únù ö�o��^N�ò2êÑ��zH�HÖMñ7ò è�öM)(å&Rvô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷�ô(-�Û��(ý�-AöM)¹�ù ö�õ¸å¸ý�ýª-A)�'�aé-�å¸)(å�ùªú�å�ô(-���ú,ò���/2/!¾É<�6n·&pO>�p�¾��n#�2�T�r�HÖTÏ��T�'����ògÁ���{kt~nöMú³å�æ9ýl�³Ü�ò��³À�'~)Wæ å¸ùsæ�����òH'*)(ô�$&å¸-�æ öH�()(-��#m�ònê��r�H�H�Mñ7ò ­ �(å�)(õO%(å¸ô2�ª'*)()(å¸'*÷Aå�ô�'*)�ô¹ø��()(õ7æ9-�öM)2'*÷÷�'*ù�ÿMå�ô�å�û�-�'~æ -AöM)�ý�øZöMù?ö*)(å�Rxô(-Aú³å¸)(ý�-AöM)('*÷Éù9'*)(ô�öMú¶�n'*÷Aþ³-A)Ýù '*)(ô(ö*úëå�)Wû�-�ù öM)(ú³å¸)#æ¸òE<�6º·&pO>�p�¾Ä¸bª�¾Ò¦5�¼�>*:p5�§!´ª1�5�¼�§�8O����£b��Ö^y�Ï!�r��¿(ògÁ�H�Bk�þ=å¸ú ! ö��è�ò���À�'~)Wæ å¸ùsæ�� ��ò�� �Hå¸ù�å¸ýB����ò¦'*)(ô�$&å¸-�æ öH�()(-��Om�ò�ê��r�H���TF�ñ@ò¤ä0'*ù ÿMåjô(å7û�-�'~æ -AöM)(ý¡øZö*ùù9'*)�ô(öMú �n'*÷AþWý£öM)ËÀ�'*÷�æ öM)�Ï�a�'~æ9ý�öM)�æ9ù�å¸å¸ý � 'uûMå¸ù '*ÿM-�)(ÿ�'*)�ôK�()(õ�å¸ùsæO'*-�)Wæ " òÉ<�6n·&pO>�p�¾�¸bª�¾SÒ¯5�¼�>*:v5�§´�1�5�¼�§�87òê4æ9ö³'r^åu'~ùOñgÁ�T� k�þ=å¸ù�ù -Aå�)()(-�õr�É��ònêM��zrzHz#ñ7òH+��(ù�÷A'�ù�Ôå¸õl�(ù ù�å¸)(õ�å¡ô(å¸ý�ú¢'~ù õO%(å�ý�'*÷�Ôåu'~æ öM-Aù�å¸ý��()(-�ô(-Aú³å¸)(ý�-AöM)�)(å¸÷�÷Aå¸ý�å¸)å¸)#û�-Aù�öM)()(å�ú�å�)Wæ«'*÷�Ôåu'~æ öM-Aù�å*ò�ÑP¾&ÒO¾k�O¸ >^§^¾�qb¸71�¾0<?>*6@1A8Rq�;576l¾&D(i�)�-b�UÖ^y�Ï�ir��ògÁ���{k�þO�(ù ù�å�æ�æ��ò`�ò�N�ò«êM��zH�rÖ#ñ7òP)��(÷�æ -Aô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷�ù9'*)(ô�öMú �n'*÷AþWý³-A) ù9'*)(ô�öMú å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æ9ý*�¦-�æ %ý�� ! õ¸÷A'*ý ý�-Aõ¸'*÷l÷A-�ú�-�æ9-�)(ÿ ! å¸%('Xû�-�öMù¸ò$Ñò·�3|3s¾m»j>*:îª�¾H<PªHë|8B¾#��Î�n����^i�Ï����^��ògÁ��¿rk:dªù ô��öMýl�Ù�Hò~'~)(ô¹`�Ôå�ûtÔå¸ý;�r���Hò(êÑ��zH�r¿#ñ7òTm=)�æ %(å�øy'Xû*öH�(ù�-�æ9å.^öM-A)#æ9ýHö*ø('«ù9'~)(ô(öMú3�n'*÷�þ^òÙ»Ã>*:�ª25O3³>*:y1,¸ >r¼qÉ:²6ÁxU¸7:"x�695O8zvÓÑò·�3^>�x�:�>*:²1,·�/^>r¼Ä»j>*:îª25O3³>*:y1,¸O8�v�»Ã>*:îª25O3³>*:²1,¸ >r¼y»]·B§�5�¼î¼b14/�»�)b�p&òO�TyH��Ï��TyHi�ò+�ör(É'�ògÁ�Ty kXÀ�'~)Wæ å¸ùsæ�����òHê,�r�H�'�TF�ñ7òUÀ�'*÷�æ9öM)�Ï^a�'~æ ý öM)¡æ ù å�å¸ý«'*ý¦ù9'*)(ô�öMúµå�)Wû�-�ù öM)(ú³å¸)#æ ý¸òRêZæ %(-Aý?û*öM÷��(ú³åXñgÁ��Ö{kXÀ�'~)Wæ å¸ùsæ��§��ò�'*)�ô¡$&å�-�æ9ör�()(-,�^m�ò^êÑ��zHzHzMñ7ò#ä0'*ù�ÿMå¦ô(å�û�-�'�æ9-Aö*)(ý_øZöMùªöM)(å&Rvô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷�ù9'*)(ô�öMú �n'*÷Aþ-A)�'Kù '*)(ô(ö*ú å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò��v) � Ò?>*/!§�·�3 ó,>r¼�uX8¡ê"�Hò×`�Ôå�ûtÔå¸ý;��'*)(ô�Ú�ò³N�Ôö~æ9%b��å¸ô�ý¸ò ñ7ò�1O· ¼òë*>*1qb·�¸B¾ »Ã>*:�ª�¾�qÉ:x§*1�5O8Ä-b�Ulò\�T�ri�Ï!��Ö^y�ògÁ�Ti kXÀ�ö*÷AöMý�ö|û!�\è�ò�m�ò�êM��zr�r¿Wñ7òlä0ö�õu'~÷A-��¸'~æ9-�öM)Kö*ø�ù9'~)(ô(öMú �n'*÷�þ�ý�-A)jöM)�å�Rvô�-Aú³å¸)(ý�-AöM)2'~÷_ù9'*)�ô(öMú å�)Wû�- Rù öM)�ú�å�)Wæ ý¸ò$Ñò·�3|3s¾m»j>*:îª�¾H<PªHë|8B¾±-�)b�U¿^z'��Ï�yr�HÖ�ògÁ���{kXÀ�ö*÷AöMý�ö|û!�tè�ò�m�ò¦êÑ��zH�HÖ#ñ@òPm=)·÷A-Aú³-�æ -A)(ÿ�ô(-�ý�æ ù - ! ��æ9-�öM)(ý�øZöMù�'jù '*)(ô(ö*ú �n'*÷Aþ¹-A) 'Kõ¸ù�-�æ9-�õu'*÷�öM)(å&Rô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)2'*÷&ù '*)(ô(ö*úµå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò�ÒÄxW8O871y>*/¤»Ã>*:îª�¾�q�x�6@3*5OëX8Än#�U�\��zHzTÏ��{�H��ògÁ��z{kXÀ�ù�å�û*å¸)b�^è�òM'*)(ô�ô�å¸)s�«öM÷�÷�'*)�ô(å¸ùl�HÜnò�êM��zrzr¿Wñ7ò~ä0'*ù ÿ*å?ô(å�û�-A'~æ9-�öM)(ýRøZö*ùª'=ù9'*)�ô(öMúx�?'*÷�þ�-�)�ù9'~)(ô(öMúå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò���/2/!¾0<�6n·&pO>�p�¾�)�)b�b���H����Ï!�B¿��r��òg��r�{k:���b�Y��òEê��r�H�H�#ñ@ò^N¤-AÿM%#æ )(å¸ý�ýnö*ø&÷Aö�õu'*÷�-Aý9'�æ9-Aö*)�'*)(ô�ù å�æ��(ù )³æ9-�ú�å¦-A)³ù9'~)(ô(öMú å�)Wû�-�ù öM)(ú³å¸)#æ¸ò�qÉ:¦·�¸ºª�¾<�6º·�¸B¾Õ��>�>!¼�¾�£��b�U�'��Ï!�����*òg��'�Bk:���b�Y��òlê,�r�r�H�#ñ7ò�N¤%(å�÷AöMÿ#'~ù -�æ %(ú³-Aõ¤'uûMå�ù9'*ÿ*å=ö*øR+�-�)2'*-,�óýP�?'*÷�þ�-A)¢ù '*)(ô(ö*ú å�)#û�-�ù öM)�ú�å�)Wæ¸ò^<¦576@1,·B§^¾»j>*:îª�¾7Ô^x�/�»#>*6l¾�n��U�\�Tiry�Ï!���^y�òg��H� k:���b�F��ò�'~)(ôÝ+�%�-,��$�òEêM��zHzr�#ñ7ò^N¤%(å¯÷A-�ú�-�æ9ý_ö~øH+�-A)('*-,�óýªý -�ú_(÷�å¤ù9'*)�ô(öMú �n'*÷Aþ�-�)�ù '*)(ô(öMú å�)#û�-�ù öM)�Rú�å�)#æuò���/2/!¾0<�6n·&pO>�p�¾�)��b�\��¿^iHi�Ï!�Tyr�'�Mòg��r�{k:���b�F��ò#'*)(ô¢+�%(-���$�ò^ê,�r�H�r�#ñ7ò{N¤%(å��ù ö ! ÷�å¸ú ö~øEæ %(å¦ú�öMýsæªû�-Aý -�æ9å�ô³ý�-�æ å¯-�)�ù9'*)(ô�öMú å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò<�6º·&pO>�p�¾y¸bª�¾&Ò¦5�¼�>*:p5�§2´�1�5�¼�§�8p�����b�!�Hir�TÏ'�r�^��òg��{¿rk:���b����ò��¯+�%(-,�¯$�ò£'*)(ôÕ�£öMùB�J)¹ò�êM��zHzHz#ñ@òò`¯'~æ å¸ý¢ö~ø�õ¸öM)#ûMå�ù ÿMå�)(õ¸åÃö~ø�ô(-�Û��(ý -�öM)(ý*�¦-�æ % ô(ù�-�ø4æ9å�ôÚnù ö��¦)(-A'*)ËEö~æ9å¸)#æ -�'*÷�ý¸òƸ�6�>*/�8B¾m�^3¢576l¾ »j>*:îª�¾�qb·�¸B¾�i!¢\�U���Hz���y�Ï'�HzH�{¿(ò�'�

Page 22: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

g��Hy k:���(ÿ*%(å¸ýl�UÚ�ò«þ�òlêÑ��zHzHÖ#ñ@ò�Ò¤>*/!§�·�3 ó�>r¼�uX8�>*/!§tÒ¤>*/!§�·�3-Ö�/23X146n·�/�3¢57/2:Z8B¾¯B!· ¼�¾ED�D²×�Ò?>*/!§�·�3ØÖ�/��3X146n·�/�3¢57/2:Z87òmpo�øZöMù�ôK+�õ¸-Aå�)(õ¸å?�t� ! ÷�-Aõ¸'~æ9-�öM)(ýB�m�o�øZö*ù ôlòg��rÖ{k:|�'*÷A-�þ*ö����#+Eò�è�ò2êM��zH�'�|ñ7òrÀ�å�)(å¸ù '*÷A-��¸å�ô�ù9'*)(ô�öMúì�n'*÷�þ�-�)�'=ù9'*)(ô�öMú å�)#û�-�ù öM)�ú�å�)Wæ¸ò§��/2/!¾É<�6n·&pO>�p�¾-b��iHyr�TÏ'irÖH��òg��Hi k:|�'*ù ÷�-A)b�M+Eò#'*)(ôsNR' " ÷�öMùB����ò�)¹ò^êÑ��zH���Xñ7ò��ñql5º¸º·�/!§�Ñò·�x�698X5¯14/ÀqÉ:Ñ·�¸ºª�>�87:y1,¸?<�6n·�¸O5O8O8X5O87òrè�õ¸'*ô(å�ú�-�õ�ªù å¸ý�ýB���«å����£öMù�þÉòg��r�{k:|�'��n'r�l�b�b|�ò��l+'���B�(þW-,�<��òE'*)(ôfN�'*)('*þ�'��2��ò_ê��r�H����F�ñ@òUè�ô(-�Û2��ý -Aö*)Ø(ù�ö�õ�å¸ý�ýp�¦-�æ %Ã'�öM)�å�Rvý�-Aô(å�ôÚnù ö��¦)(-A'*)ËEö~æ9å¸)#æ -�'*÷²òê��ù åB�ù -A)#æOñg��rz{k:|�'��n'r�l�b�×|�ò��³NR'*ú¹�(ù '��7��òR'~)(ô$NR'*)2'*þ�'��³��ònêM��zr�Hz#ñ7ò0ä-�ú�-�æ=æ9%(å�öMù å�ú�ý�øZöMù�öM)(å�Rxô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)2'*÷ô(-�Û��(ý�-AöM)(ý='*)(ôºù9'*)(ô�öMú �n'*÷AþWý�-A)jù9'~)(ô(öMú å¸)#û�-Aù ö*)(ú�å�)#æ9ý¸ò_<�6n·&pO>�p�¾R¸bª�¾$Ò¦5�¼�>*:v5�§'´�1�5�¼�§�8u£<Î��yr����Ï'y{¿�Mòg��H�{k:|�'��n'r�l�b�\|�ò���N�'~ú¹�(ù9''����òE'*)(ôÈNR'*)2'~þ~''�b��ò_êM��zrz^�Mñ7ò^äö�õu'*÷�-��u'�æ9-Aö*),ö*ø�ô�-�Û��(ý -�öM)f(ù�ö�õ�å¸ý�ý å¸ý�-�)öM)(å&Rvô(-�ú�å�)(ý -�öM)2'*÷^ù9'*)�ô(öMú å�)Wû�-�ù öM)(ú³å¸)#æ¸òÉ˾ »Ã>*:îª�¾�qb·�¸B¾7Ë�>O>�>*/gn�n��!y'�Ty�Ï'yHyr��òg����Bk:|�'��n'r�l�b��|�òM'*)(ô*NR'*)2'*þ�'��H��òÉêÑ��zHz^iMñ@ò{è ô�-�Û��(ý -�öM)¹(ù�ö�õ�å¸ý ý�-�)�'uÚnù ö��¦)(-A'*)�å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æ×�¦-�æ %ô(ù -�ø4æuò�˾ »Ã>*:îª�¾�qb·�¸B¾7Ë�>O>�>*/gn±-b�\���HzTÏ'�'�H�Mòg��^� k:|�'��n'r�l�b�t|�òH'*)(ô�NR'*)2'*þ�'��³��ò�êM��zHzH�#ñ@ò#�v)#û~'*ù�-�'*)(õ�åK(ù�-A)(õ�-�(÷�å�øZöMù�'½Únù ö��¦)(-A'*)�ú³ö*æ -AöM)È�¦-�æ %÷�'*ù�ÿMå=ô(ù�-�ø4æ¤-�)�'*�¦%(-�æ9å�)(ö*-Aý å�å�)Wû�-�ù öM)(ú³å¸)#æ¸ò�Ô=146n·X8ºª�1½3³>!»Ã>*:�ª�¾�Ë�¾�)�£\�\���rzTÏ!���Hi�òg��H�{k:|�åu'*)(å{��)¹ò +Eò�'*)(ôÍ`¦öM÷A÷�å¸ýl��+Eò�a ò�a ò�ê��r�H���TF�ñ@òX`¦å¸õl�(ù ù�å¸)(õ�å�'*)�ô æ ù9'*)�ý -Aå�)(õ¸å õ�ù -�æ9å¸ù�-�' øZö*ùô(-Aù�å¸õ7æ9å¸ô�Rvå¸ô�ÿMå�Rxù å¸-�)�øZöMù�õ¸å¸ô�ù9'~)(ô(öMúñ�n'*÷Aþ�'~)(ô�ù '*)(ô(ö*úñ�?'*÷�þ�-A)�ù9'*)�ô(öMú�å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æRöM)�ý�öMú³åæn� ! å�Rx÷A-�þ*å=ÿMù 'r(%(ý�òHê�(ù�åB(ù�-A)#æ@ñg��r¿rk:|�å¸ý�æ å¸)b�r��ò�êÑ��zH�HÖ#ñ@òBN¤%(å£÷A-�ú�-�ælô(-�ý�æ ù - ! ��æ9-�öM)=ö*ø2+�-A)2'~-,�óýù9'*)(ô�öMú3�n'*÷Aþ«-A)�ù9'*)(ô�öMúÆå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò<PªHë|871,¸ >*�Hi!£<Ù½���{zHzTÏ'�H�rz�òg��^y k:|�å¸ý�æ å¸)b����ò���|�öH�¸÷�öXû���)¹òÚÏ�ò£'*)(ô +'(-�æn�¸å�ùB�ÝÜnò¯êM��zHiHyMñ7òtèÂ÷�-Aú³-�æ�÷A'��µøZöMù�ù9'~)(ô(öMú �n'*÷�þ�-A) 'ù9'*)�ô(öMúµå�)#û�-�ù öM)�ú�å�)Wæ¸ò$Ñò·�3^>U·X8714:²1,·¾»j>*:îª�¾Õi<Î\�b��¿�y�Ï!��ÖH��òg��HÖ{k:|�å " �Od¦ò +Eò�êM��zH�r¿Wñ@ò>`¯å�õB�(ù�ù å¸)�õ¸å�'~)(ô æ ù9'*)�ý -Aå�)(õ¸åºõ¸ù�-�æ å¸ù -A'�øZöMù�ù9'*)(ô�öMú �n'*÷Aþ�-�)�'·ù9'~)(ô(öMúå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò���/2/!¾0<�6n·&pO>�p�¾��,)b��yr�rzTÏ�yrÖr��òg��^i k:|�)(-AÿM%#æB�TÜnò²Ú«òWêM��zrÖH�#ñ7òB`«'~)(ô(öMúc�?'*÷�þWýR'~)(ô�æ9%(åªý�ö � öH�(ù�)�ô(å�)(ý -�æ " (ù�ö�õ�å¸ý ý0ö*ø�Únù�öT�¦)�-�'*)�ú³ö*æ9-�öM)lò¸(6�>*/�8B¾Õ�^3¢576l¾ »Ã>*:îª�¾Ïqb·�¸B¾\�NÎ�¦��!yrÖTÏ'�HÖ�òg��H�{k:|�öMú�÷�ÔöMýB�ÏP�ò��.),' � öMùB�Ç�Hò_'*)�ô�N���ý )>Ô'*ô " �ÝÀ�ònêM��zHiHyMñ7ò#è�)·'{(ù ö�o�-Aú�'~æ -AöM)ºö*øJ2'*ùsæ9-�'~÷£ý;�(ú³ý�ö*ø-A)(ô�åB^å¸)(ô(å�)#æp`�òÚÏ�ò�� ý«'*)(ôÝæ9%�å�ý '*ús(÷AåRþuÜnò��Oò�Ì�¾ ó,> ª�698�¸ºª�¾=B^576&©.¾�Í«5tp¸1�57:v5yi�)b�\�H�H�&Ï!�����Mòg��Hz{k:|�öH�¸÷�ö|û!��)¹òÚÏ�òêÑ��z^ir�Mñ7ò'`«'*)�ô(öMú �?'~÷Aþ³-A)Ý'�ö*)(å�Rxô(-Aú³å¸)(ý�-AöM)('*÷Éù9'*)(ô�öMú ú�å�ô(-��(ú�ò¿¸bª�¾<�6n·&pO>�p�¾��>�>!¼�¾���£b���H�^i�Ï'�r�H��ògÊ¿^�{k:|�öH�¸÷�ö|û!��+Eò²)¹ò^êÑ��zH�^yMñ@òHN¤%(å«'uûMå¸ù '*ÿM-�)(ÿ�ú�å7æ9%(ö�ô¢'~)(ôs�n'*÷�þ�ý�-�)³-�)(%(öMú³öMÿMå�)(å¸ör�(ýªå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æ9ý�òÒyx#8O871y>*/(»Ã>*:�ª�¾ q�x�673*5OëX8�nSÎ\�!ir��Ï!��¿�y�ò

�H�

Page 23: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

gÊ¿�Bk�ä0'*ú_^å¸ùsæ9-�� P�ò�êM��z^iH�Mñ@ò0+�å¸ú³-�Rxý�æ9' ! ÷Aå¹)C'*ù�þ*öXû0(ù ö�õ¸å�ý ý�å¸ýB���Oò�Ì�¾�ó�> ª�6O8�¸ºª�¾�B^576�©.¾ÂÍ«5tp¸1�57:p5R)�)\��r�^y�Ï'�H�Hy�ògÊ¿�� k�ä0'��¦÷�å¸ùl�.À�òjÜnònêM��zH�H�Mñ7ò�a�å¸'*þºõ¸öM)#ûMå�ù ÿMå�)(õ¸å�ö*ø«'Cù '*)(ô(öMú �n'*÷Aþº-A)·'Cù '*)(ô(ö*ú å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuòÑò·�3|3s¾k»Ã>*:�ª�¾H<PªHëX8B¾2£S¦�������Ï'�Hi�ògÊ¿^�{k�ä��å�æ9õO%�-Aþ*öXû!�2è�òÛÏ�ò_êÑ��zH�H�Mñ7òUè�÷A-Aú³-�ænæ9%(å�öMù å�úÂøZö*ù�'³ù9'*)(ô�öMú �?'*÷�þÝ-A)C'�ù9'~)(ô(öMúÂå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò¸bª�¾0<�6n·&pO>�p�¾m��>�>!¼�¾�i�ib�!�H�r�TÏ��{�H��ògÊ¿H¿rk�ä��å�æ9õO%�-Aþ*öXû!�Oè�òÛÏ�ò�êM��zr�Hz#ñ7òòè ÷A-�ú�-�æ�æ %(å¸öMù�å¸ú øZö*ùÝ'�ù å¸õl�(ù ù�å¸)#æ,ù9'*)(ô�öMú �n'*÷AþÁ-A)é'�ù9'~)(ô(öMúå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuòmqb·�3X1�57:Ï»Ã>*:�ª�¾7§¹·Vu ¼�¾�i�-b�b�Ty�Ï!����ògÊ¿�y k�ä��å�æ9õO%�-Aþ*öXû!��è�òÛÏ�ò�êÑ��zHzH�Mñ7òtè�ý " ú_�æ ö*æ9-�õË(ù öH^å¸ùsæ9-�å¸ý�æ9%2'�æ¢%(ö*÷Aô[�¦-�æ % (ù�ö ! ' ! -A÷A-�æ " ��øZöMù�öM)(å&Rô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)2'*÷&ù '*)(ô(ö*ú¶�n'*÷AþWý¦-A)�'�ù9'*)�ô(öMú å�)Wû�-�ù öM)(ú³å¸)#æ¸òÕ»j>*:îª�¾=. q�q�Ò q±p�¾�¦,n#�U¿^yHy�Ï�¿�i{��ògÊ¿^Ö{k�ä " öM)(ýl��`�ò�'*)(ô¡+�õO%(ù9'~ú�ú��'m�ò^êÑ��zHzHzMñ7ò�+�æ9'~æ9-�öM)2'*ù " ú�å¸'*ý���ù å¸ý£øZöMù�ù9'*)�ô(öMú �n'*÷AþWý£-A)�'�ù9'~)(ô(öMúå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æe�¦-�æ %,ù '*)(ô(öMúëý õ�å¸)(å�ù " ò"Ü�5�©ØÝ�·�6ºuºË¾ »Ã>*:îª�¾2¢b�\���^i�Ï��H����òlêyå¸÷�å¸õ7æ9ù ö*)(-AõuñgÊ¿�i kX)C'~æ %(-Aål�b���HòHêM��zHz{¿Wñ7ò�$&å¸ù�ö*�¦%�-�æ9å�)�öM-Aý�å=÷A-�ú�-�æ�æ %(ù öH��ÿM%(þ=-Aù -�õO%(÷Aå7æ�øZö*ù ú³ýB���¦-�æ9%�'r�÷A-Aõ¸'~æ9-�öM)�æ öô(-�Û��(ý�-AöM)(ýn-A)�'³ù '*)(ô(ö*úµú³å¸ô(-��(ú,òÉ<�6º·&pO>�p�¾�¸bª�¾"Ò¯5�¼�>*:v5�§!´�1�5�¼�§�8Ä-�-b�!y{¿^zTÏ�y{�H��ògÊ¿^�{kX)C'~æ %(-Aål�b�H�RòEêM��zrz^yMñ7òWä-�ú�-�æªæ9%(å�öMù å�ú�ý�øZöMù�ô(-�Û��(ý�-AöM)(ýP�¦-�æ %¢'�ù9'*)�ô(öMú ^ö*æ9å�)Wæ -�'*÷²òbqÉ:¦·�¸ºª�¾&<�6n·�¸B¾��>�>!¼�¾��<Î\�\���H�TÏ!�r�H�MògÊ¿^z{kX),öM÷�õO%2'*)(öXû!�E+Eòjè�òHêM��zrzr¿Wñ7òÉäå�õ�æn��ù å¸ý«öM)�ù9'*)(ô�öMú ú³å¸ô(-A'�ò�v) � ;ÖJ¸º· ¼A5X§ s ;Ö�:2;5:§�5�<n6n·&pO>�p¸1î¼b14:2;5O8q§�5qE>*14/2:"��´t¼�·�x�6�ÞÂÞ«D D�ê"�Hò�Únå¸ù�)2'*ù�ôb�(å¸ô&òÅñ@òÉä0å�õ�æ��(ù å��«ö*æ å¸ý¤-�)f),'~æ9%(å�ú¢'�æ9-Aõ�ýu��¢�£��U�U&ò��{¿���Ï�¿�H�Mò+'(ù�-A)(ÿMå�ùB�UÚ�å¸ù ÷�-A)lòg�yr�{k:`«' " ��þ�ò0êM��zHÖH�#ñ@òÉ+�ö � öH��ù )�æ9-Aú³å¸ý¤ö~ø_'�ô(-�Û2�(ý�-AöM)��ù ö�õ¸å¸ý�ý¸òED�¼î¼b14/2·�1A8�˾ »Ã>*:îª�¾É¦���Ö��Ty�Ï'ÖH�H��òg�y'�Bk:`�Ôå7ûPÔå¸ý��{�¿�Rò�êÑ��zH�H�#ñ@òb�v)�ù '*)(ô(ö*ú å¸)#û�-Aù ö*)(ú�å�)#æ�æ %(å�÷�ö�õ¸'*÷_æ9-�ú�å�õ¸'*) ! å�ûMå¸ù "º! -Aÿ(ò ��87:2;576@1A8t�tx25��¢�¦Nß���¢!£b���^����Ï'�H�Hz�òg�yH� k:`�Ôå7ûPÔå¸ý��{�¿�Rò�êÑ��zHzH�#ñ@ò�Ò?>*/!§�·�3 ó,>r¼�u�14/«Ò?>*/!§�·�3 >*/!§�Ü:·�/��kÒ?>*/!§�·�3³Ö�/23X146n·�/�3¢57/2:48B¾�a¹öMù ÷�ô+�õ¸-�å¸)�(�æ9-Aõ{�É+�-�)(ÿ#'r^öMù å~òg�yr�{k:`¯å7û���r��þ�ò0'*)(ôà�£öMùB�³)¹ò£êÑ��zHzHz#ñ@ò�Ñò·�/2:²14/�xU·�x#8�»j>*6@:y14/�»#>r¼A5O8¢>*/!§'1¦6n· ©ª/21y>*/{»Q·�:²1,·�/!¾�N¤%(-Aù�ôå¸ô(-�æ9-�öM)lò2+�(ù -�)(ÿMå¸ùl�UÚnå�ù ÷A-�)lòg�y{¿rk�+�õO%��(ú�'*õO%(å¸ùl�R+Eò�êM��zH�^yMñ@òÕþ=-�Û2�(ý�-AöM)�ý��¦-�æ %jù9'*)(ô�öMú õ�ö�åOʳõ¸-Aå�)#æ9ý¸ò�Ñò·�/2:v5O3^>2¾ »j>*:îª�¾ n#�U���^y'�&Ï�^yrÖ�òg�yHy k�+�å¸-�ÿM)(öH��ù å¸÷��Ä�Rò=ê,�r�r�H�#ñ7òÆþ=-Aý�õ¸ù�å�æ9å,ý õO%(å�ú�å�ý¡øZöMùK�ù ö�õ¸å¸ý�ý å�ý�-�)�ù9'~)(ô(öMú ú³å¸ô(-A'�ò?<n6n·&pO>�p�¾À¸bª�¾Ò¦5�¼�>*:p5�§!´ª1�5�¼�§�8O����£b�!�rzH�TÏ��^�H��òg�yrÖ{k�+�%(å�)b�Wäªò2ê,�{�H���TF�ñ7ò è�÷A'�� ö*øÉ÷A'*ù ÿ*ån)��(ú ! å¸ù�ý�'*)(ô�'=õ¸å�)#æ9ù9'~÷(÷A-�ú�-�ææ9%(å�öMù å�ú øZöMù ! -�'*ý�å¸ô�ù9'~)(ô(öMúú�ö~æ9-Aö*)(ý?-A)Ýù '*)(ô(ö*ú å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuòHê�(ù ål(ù -�)WæOñg�yHi k�+�%(-��ª$�ò�êM��zrzH�#ñ7ò�èë÷Aö�õu'*÷_æ -Aú³å�õl�(ù -�öMý -�æ " -A)�ù '*)(ô(ö*ú å�)#û�-�ù öM)�ú�å�)Wæ¸òÈqÉ:¦·�¸ºª�¾�<�6º·�¸B¾Ç��>�>!¼�¾á¦��\��r����Ï'�Hyr��ò �r�

Page 24: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

g�yr�{k�+�-A)('*-,�Y��'�ò²À�ò0êÑ��zH�^�*ñ7ò�N¤%�å�÷�-Aú³-�æ9-�)(ÿ ! å�%2'uû�-�öMù¤ö*øR'�öM)(å�Rxô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)2'*÷^ù9'*)(ô�öMúD�n'*÷Aþ�-A)�'�ù9'*)'Rô(öMúëú�å�ô(-��(ú�òƸbª�¾H<�6n·&pO>�p�¾m��>�>!¼�¾±)S¦��!�HyrÖ�Ï��rÖH��òg�yrz{k�+�öM÷�öMú�ö*)b��Ü�òHêM��z^iryMñ7ò�`«'*)�ô(öMúD�n'*÷AþWý¦-A)�'�ù9'~)(ô(öMú å�)#û�-�ù öM)�ú�å�)Wæ¸ò���/2/!¾0<�6n·&pO>�p�¾±ib�b��Ï����Mòg�ÖH�{k�+'�¸)�-�æ9ú�'*)b��è�ò�Rp+Eò�êM��zHzrz#ñ7ò0+�÷Aö��¦ô(ö��¦)�'*)(ô¹)(åB��æ9ù9'~÷.^ö�õOþ*å�æ ý�øZöMù�'�ù9'*)(ô�öMú �?'~÷AþÃ-A)ºù9'~)(ô(öMúå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò&<�6n·&pO>�p�¾�¸bª�¾&Ò¦5�¼�>*:v5�§2´�1�5�¼�§�8p�!��¢b�!�r�^i�Ï'�^�r��òg�Ö��Bk�+'�¸)�-�æ9ú�'*)b� è�òÊRs+^ò�ê��r�H�H�Mñ7ò~+�÷Aö��¦ô(ö��¦)�å�ý�æ -Aú�'~æ9å�ý�'*)�ô�õ¸å�)#æ9ù9'~÷�÷A-�ú�-�ælæ9%�å¸öMù�å¸ú�øZöMùHù9'*)(ô�öMúñ�?'~÷AþWý-A)Ýù '*)(ô(öMúµå¸)#û�-Aù ö*)(ú�å�)#æuòÉË�¾7ÖÆx�6l¾ »Ã>*:�ª�¾�qb·�¸B¾�)b��zH�TÏ!��¿H��òg�Ö^� k�+'�¸)�-�æ9ú�'*)b�Uè�ò�Rp+EòRê,�r�r���|ñ7ò!m=)C'�õ¸÷A'*ý ý¯ö*øRæ9ù9'~)(ý -�å¸)#æ=ù '*)(ô(öMú �n'*÷�þ�ý¯-A)�ù9'~)(ô(öMúÂå¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò��/2/!¾0<�6n·&pO>�p�¾±)�-b��iH�{¿TÏ�irÖ^y�òg�ÖH�{k�+'�¸)�-�æ9ú�'*)b��è�òÊRs+Eòªê,�r�H�'�TF�ñ7ò!è�)jålÛEå¸õ7æ9-�û*å�õ¸ù -�æ9å�ù -Aö*)CøZöMù ! '~÷A÷A-�ý�æ -Aõ ! å�%2'uû�-�öMù�ö*ø£ù9'~)(ô(öMúÓ�?'~÷AþWý-A)Ýù '*)(ô(öMúµå¸)#û�-Aù ö*)(ú�å�)#æuò&<�6n·&pO>�p�¾�¸bª�¾7Ò¦5�¼�>*:p5�§!´ª1�5�¼�§�8�ê4æ9ö³'r^åu'*ù9ñg�Ör¿rk�+'�¸)�-�æ9ú�'*)b�'è�òÊRs+EòHê��r�H����F�ñ@ò(äå¸õ7æn�(ù�å¸ý¯öM)Ø`«'*)�ô(öMú )�ö*æ9-�öM)(ý¤-A)�`¯'*)(ô(ö*úÓ),å¸ô�-�'�ò0ê�(ù ål(ù -�)#æ@ñg�Ö^y k�+'�¸)�-�æ9ú�'*)b�'è�òÊRs+EòHê��r�H����F�ñ@òU),-�÷A-�åB�'o¡'*÷�Ôå¸'~æ9ö*-Aù å�ý¤å�æ>^å�æ -�æ9å�ý¤û*'~÷AåB��ù ýe(ù�öH(ù å�ý¸òRêZæ %(-Aý?û*öM÷���ú�åuñg�ÖHÖ{k�+'�¸)�-�æ9ú�'*)b��è�òÊRs+EòÉ'*)�ôÃ$&å¸ù�)(å¸ùl�!)¹ò«�Rò�a ò_êÑ��zHzHz#ñ@òè ÷�'��Æö~ø_÷�'~ù ÿMå�)��(ú ! å¸ù�ý¯øZö*ù¯ù '*)(ô(ö*úD�?'~÷AþWý-A)Ýù '*)(ô(öMúµå¸)#û�-Aù ö*)(ú�å�)#æuò���/2/!¾0<�6n·&pO>�p�¾±)S¦��\���^y���Ï!���HÖrz�òg�Ö^i kqN�'~÷Aå ! �u)¹ò�ê,�{�H���TF�ñ7ò?äH'~ù ÿMåjô(å7û�-A'~æ9-�öM)(ýÝøZöMù�'�Únù ö��¦)(-A'*) ú�ö*æ -AöM) -�)�'·ô(ù�-�ø4æ9å�ôcÚnù ö��¦)(-A'*)Eö~æ9å¸)#æ -�'*÷²ò���/2/!¾H<�6n·&pO>�p�¾Rê4æ9ö³'r^åu'~ùOñg�ÖH�{kqN�'~÷Aå ! � )¹òWê,�{�H���TF�ñ7òlN�'~-A÷*å�ý�æ -Aú�'~æ9å�ý&øZöMù0'eÚnù�öT�¦)�-�'*)�ú³ö*æ9-�öM)�-�)�'¦ô�ù -�ø4æ å¸ô�Únù�ö��¦)(-�'*)�^ö*æ9å�)#æ9-�'~÷�òê�(ù�åB(ù�-A)#æ@ñg�ÖHz{kqN�'~)2'*þ�'�����ò�êM��zrzH�#ñ7ò�`¦å¸õl�(ù ù�å¸)(õ�å¡ö*ø?',ô(-�Û2�(ý�-AöM)Q(ù�ö�õ�å¸ý ý�-A)¹',ú¹��÷�æ9-�ô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)2'*÷�Únù ö��¦)(-A'*)å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æuò&<�6n·�¸B¾7Ë�>O>�>*/'�p¸ >^§^¾�ql576B¾k� »Ã>*:�ª�¾�qb¸71�¾���-\���HiHi�Ï'�H�'�Mòg�ir�{kqN�'~)2'*þ�'�����ò^êÑ��zHz^yMñ@ò�þ=-�Û��(ý�-AöM)*(ù�ö�õ�å¸ý ý�å¸ý�-A)�ù9'*)�ô(öMú å¸)#û�-Aù�öM)(ú³å¸)#æ9ý�ò(<n6n·�¸B¾2DÐÑ�» ê�+Eò«þ�ò�~n%2'~æMRæ9å�ù � -,��å¸ôlò ñO���r¿�i�Ï!���^y{¿�òÚn-�ù þW%&�'r�(ý�å¸ùl��Ú?'*ý å�÷�òg�i'�BkqNRå�ú�þW-�)b�bþ�òjd¤òlêÑ��z^iH�*ñ7ò'm=)(å�Rxô(-Aú³å¸)(ý�-AöM)('*÷Éù9'*)(ô�öMú �?'*÷�þWý?-A)¢'�æ¦�nö Rvõ¸ö*ú_^öM)(å�)WænõO%2'*-�)lò�qb·�3X1�57:»j>*:îª�¾7§¹·Vu ¼�¾\�Hib�\�H�TiH��Ï��H�TirÖ�òg�iH� kqNRù�ö*æ æ å¸ùl�r��ò²Ünò�êÑ��z^yr�Mñ7ò�è�(ù öH^å¸ùsæ " ö*øUÚ�ù ö��¦)(-�'~)�ú³ö*æ9-�öM)�2'~æ %(ý¸ò~D�¼î¼b14/2·�1A8$Ë�¾,»Ã>*:�ª�¾Ù)b� ¿��Hy�Ï�¿^�H��òg�ir�{k�a�'~ù ù å�)b��P�ò0'*)(ôà�£öMùB��)¹ò£êÑ��zHz^i*ñ7ò0+�þ~ål��R5(ù ö�ô�(õ7æ9ý�-�)#ûMöM÷�û�-�)(ÿ�Únå¸ý�ý å�÷n'*)�ô PM'*õ�ö ! -t(ù�ö�õ�å¸ý�ý å¸ý�òNRå�õO%()(-�õu'*÷ù�åB^öMù�æB�^+�æO'~æ -Aýsæ9-Aõ�ý>À�ù öH�2���«)(-�ûMå¸ù�ý -�æ " ö*ø³Ú?'~æ9%&òg�i{¿rk�aé-A÷�÷A-�'~ú�ýl��þ�ò�êM��z^i ¿Wñ7ò¤��'~æ % ô(å¸õ�öMúsEöMý�-�æ -AöM) '*)(ô õ¸öM)#æ -A)��(-�æ " ö*ø·÷�ö�õ¸'*÷ºæ -Aú³å øZöMù öM)(å&Rô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)2'*÷&ô�-�Û��(ý -�öM)(ýB���OòE<�6º·�¸B¾ o�·�/!§�·�/¤»Ã>*:îª�¾�qb·�¸B¾±)�£b�!ir�H�TÏ'irÖH��òg�iHy k�$&å¸-�æ9öH�()�-,�tm�ònê,�r�r���TF�ñ7òRäå¸õ�æ��(ù åÝ)�ö*æ9å�ý�öM)�ù9'~)(ô(öMú �?'~÷AþWý�-A)�ù9'*)(ô�öMú å�)#û�-�ù öM)�ú�å�)Wæ¸ò ;Ö>¸º· ¼A5§ s ;Ö�:2;5q§�5RqÉ:¿´P¼�·�x�6|â/ãYãLä*ò(äå¸õ7æn�(ù�å¾�¯ö*æ9å�ý¯-�)Ø)C'~æ9%�å¸ú�'~æ9-�õ¸ýB�2+'(ù -�)(ÿMå�ùB��Únå�ù ÷A-�)lòê4æ9ö³'r^åu'~ùOñ

�{¿

Page 25: Sinai's walk via stochastic calculus by Zhan Shi Universit ‰e Paris VI Summary. Sinai's walk

g�irÖ{k�$&å¸ù�)(å¸ùl�U)¹ò«�Rò�a ò0êM��zHzH�#ñ@ò�ä " '{EöH��)(öXû¡å�o'^öM)(å�)Wæ ý¯'*)(ô�Ù��(å¸)�õO%(å¸ô�÷�'*ù�ÿMå�ô�å�û�-�'~æ -AöM)�ý�øZöMù?úX�(÷�æ -�Rô(-Aú³å¸)�ý -Aö*)2'*÷&ù '*)(ô(ö*ú¶�n'*÷Aþ¡-�)�ù9'*)(ô�öMúµå�)Wû�-�ù öM)(ú³å¸)#æ¸ò���/2/!¾H<n6n·&pO>�p�¾�)@�\�2��¿H¿^ÖTÏ���¿�irÖ�òg�iHi k�$&å¸ù�)(å¸ùl�P)¹ò«�Rò�a ò¤ê,�{�H�H�#ñ@ò&Ï�å�÷Aö�õ¸-�æ " '*)(ô�ä " '{EöH��)(öXû�å&o�^öM)(å�)#æ9ý�ö*ø¤ý�öMú³å¢ù9'~)(ô(öMú �n'*÷AþWý�-�)ù9'*)�ô(öMúµå�)#û�-�ù öM)�ú�å�)Wæ¸ò���/2/!¾lD7/�87:,¾7Ôu¾H<J·�14/2¸ >*6�;5�<�6n·&pO>�p�¾ qÉ:�>*:²1A87:,¾Õi@�b�!ir�^i�Ï�i{¿^��òg�ir�{k�$&å¸ù�)(å¸ùl�e)¹ò«�Rò�a òn'~)(ôL),å�ù þW÷,��Ünò¯ê,�r�r���TF�ñ7ò×è �¸å�ù ö{RxöM)(å�÷�'��µøZö*ùs�÷�'*)2'~ù³ù '*)(ô(ö*ú �?'*÷�þWý�-�)ù9'*)�ô(öMúµå�)#û�-�ù öM)�ú�å�)Wæ¸ò���/2/!¾0<�6n·&pO>�p�¾Rê4æ9ö�'r^åu'*ù9ñ

åLæÁçéè'êëæ:ìíQçéîLïCð�çfñhï2ìòðkó�ôõó�ö@ðkïCîÐçCî:ìò÷mìòñ:øódù�ó(ñ7ú'ïõôFûó(÷mó�ù"ü7÷ øó�çfñkïCìmðhódùý�þ�ÿ ê��7ú ÿ���������7è:ì�2ó(ð�ùJìòñ:øó�ö<çCðhì`ù� ���ö�÷mç�� ó����Ðùkùhìòó����� ��������� ö<çéðkìmù ý ó�ô:ó���� ��ÐðkçCè�� ó������ "!�#%$"&�'"�)(+*�,.-/-%0�1�,�(32/$�%454/#�68757�959/9:(;#%$"&�'��)(<*�,=-5-%0>1�,�(32/$"7�#%��?%1�#�1�$=-@&%7�������

�Hy