sinais de potência
TRANSCRIPT
Frequência fundamental:
Sinais de Potência
( ) ∞<∞→
= ∫T2
g dttgT1
limT
P
Sinais Periódicos ( ) ( ) Ζ∈+= n com nTtgtg 00T0T
t0
1
2T0
2T0−
( )tg0T
0TPeríodo:0
0 T1
f =
( )∫=0
0TT
2
0g dttg
T1
P
ExemplosSinal constante ( ) 0ctg
0T =
Fórmulas de Euler( ) θ±θ=θ± sinjAcosAjexpA
Re
Im
0
Aθ
θjAe
θcosA
θsinA A - envolventeθ - fase
Sinal sinusoidalFase nula
( ) ( ) ( )[ ]tf2jexptf2jexp2
Atf2cosA 00
000 π−+π=π
( ) ( ) ( )[ ]tf2jexptf2jexpj2
Atf2insA 00
000 π−−π=π
Exemplos (cont.)Sinal sinusoidal
Caso geral
( )
tf2jeje2
A
tf2jeje2
Atf2cosA
000
000000
π−
θ−+
π
θ=θ+π
( ) ( )
( ) tf2je2/je2
A
tf2je2/je2
Atf2sinA
000
000000
π−
π−θ−+
π
π−θ=θ+π
Exemplos (cont.)Sinal sinusoidal com componente dc
( )
tf2jeje2
A
c
tf2jeje2
Actf2cosA
000
0
0000000
π−
θ−+
+
π
θ=+θ+π
( ) ( )
( ) tf2je2/je2
A
c
tf2je2/je2
Actf2sinA
000
0
0000000
π−
π−θ−+
+
π
π−θ=+θ+π
Exemplos (cont.)Onda rectangular
Função geradora
t0
1
2T0
2T0−
( )tg0T
t0
1
2T
2T
−
( )tg
( ) ( )
≤<−=
contrário caso02
Tt
2T
tgtg00
0T
( ) 0TT ,contrário caso0
2T
t2T
1
Tt
recttg <
≤<−
=
=
( ) ( ) ∑∑∞+
−∞=
∞+
−∞=
−
=−=n
0
n0 T
nTtrectnTtgtg
0T
Série de Fourier
( ) ∑∞+
−∞==
n
0n
tnfj2ectg0T
πcn - coeficientes de Fourier c0 - componente dcfn= nf0 (|n|>1) - harmónicas
Produto interno
( )( )( )
( )m-nsincTmn
mnsinT
dttmf2jetnf2jetmf2je,tnf2je
00
T0000
0
=−π
−π=
π−π=ππ ∫
1
1
23
4-1-2-3
-4
( )x sinc
≠=
=ππmn0
mnTtmf2je,tnf2je 000
Série de Fourier (cont.)
( ) ∑∞+
−∞==
n
0n
tnfj2ectg0T
π
Decomposição em componentes ortogonais
{ } +∞=
−∞=π n
n 0tnf2je
A base ortogonal de dimensão infinita
gera o espaço vectorial dos sinais periódicos de período T0
Análise de Fourier de sinais periódicosCálculo dos coeficientes de Fourier
( ) ( )∫ π−=π=0
0T0T T0
0
0
0n dttnf2jetg
T1tnf2je,tg
T1
c
Série de Fourier (cont.)
Relação de Parseval
Cálculo da potência (norma quadrática)
( ) ∑∫∞+
−∞=
==n
2nT
2
0g cdttg
T1
P0
0T
e1e2
e3
x|x|
x1
x2
x3
|x|2 = x12 + x2
2 + x32
Série de Fourier (cont.)
Exemplo
t0
A
2T0
2T0−
( )tg0T
4T0
=π−= ∫
−2n
sinc 2A
dttnf2jAeT1
c4/T
4/T
0
0n
0
0
A/2
nf0
|cn|
0 1-1 3 5 7 9
2 4 6 8
-3-5-7-9
-2-4-6-8
arg (cn)π
-π0
Sinais de Energia
( ) ∞<= ∫∞+
∞−dttgE 2
g
Exemplos
t0
( )
<≥α−
=0t0
0ttAetg
t0
( ) +∞<<∞−= α− t,Aetg tA
A
t0
A
2T
2T
−
( )
=
Tt
Arecttgα
=2A
E2
g
TAE 2g =
α=
2
gA
E
Transformada de Fourier
( ) ( )∫∞+
∞−−= dtðft2jetgfG
Exemplo
2T
2T
− 0
( )
=
Tt
recttg
( ) ( )Tf sinc TfG =
0t f
T
1
Ζ∈k, Tk
-π
π
0
0f
f
T
espectro demagnitude
espectro defase
Transformada de Fourier (cont.)
Impulso de Dirac - δ(⋅)
T
2T
1 T
4T
5T
1
1
1
2T4T
5T
( )nTf sinc nTnTt
rect ↔
( ) 1T0
rectdfnTf sinc nT =
=∫
∞+
∞−
Transformada de Fourier (cont.)
Impulso de Dirac - δ(⋅)
t
1
f0
δ(δ( f ))↔
{ } ( )000 ffdtft2jetf2jetf2jeTF −δ=π−π=π ∫
∞+
∞−
Propriedade fundamental
( ) ( ) ( )
( ) µ<µ<µµ
=
µµ−µδµ⇒µ=µµ ∫µ
µ
contrário caso0
g
dg em contínua f. :g
2010
002
1
Transformada Inversa de Fourier
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )tg
dutuug
dudfft2jefu2jeug
dfft2jedufu2jeugdfft2jefG
=
−δ=
ππ−=
π
π−=π
∫
∫ ∫
∫ ∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
( ) ( )∫∞+
∞−π= dfft2jefGtg
Transformada de Fourier (cont.)Teorema de Rayleigh
( ) ( )∫∫∞+
∞−
∞+
∞−== dffGdttgE 22
g
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )∫
∫∫ ∫
∫ ∫∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−∗∞+
∞−∗∞+
∞−
∞+
∞−
∗∞+
∞−
∞+
∞−∗∞+
∞−
=
=
π−=
π==
dffG
dtfGfGdffGdtft2jetg
dtdfft2jefGtgdttgtgdttg
2
2
Propriedades da Transformada de Fourier
Propriedade Descrição Matemática
1. Linearidade ( ) ( ) ( ) ( )fGafGatgatga 22112211 +↔+
2. Escalamento temporal ( )
αα↔α
fG
1tg
3. Dualidade ( ) ( ) ( ) ( )fgtGfGtg −↔⇔↔
4. Translação temporal ( ) ( ) ( )00 ft2jexpfGttg π−↔−
5. Translação espectral ( ) ( ) ( )00 ffGtf2jexptg −↔π
6. Diferenciação temporal ( ) ( )ffG2jtgdt
dπ↔
7. Primitivação temporal ( ) ( )fGf2j
1dttg
π↔∫
Transformada de Fourier de um sinal periódico
( ) ( )∑∞+
−∞=
−δ↔n
0n nffctg0T
Fórmula de Poisson
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∞+
−∞=
∞+
−∞=
π=−⇒↔n
000n
0 tnf2jexpnfGfnTtgfGtg
Transformada de Fourier de um Pente de Diracs
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1fGttg ,nTttgn
00T =↔δ=−δ= ∑∞+
−∞=
( ) ( ){ } ( )∑∑∞+
−∞=
∞+
−∞=
−δ=π↔n
00n
00 nffftnf2jexpTFftg0T
tT0-T0-2T0-3T0 2T0 3T00
LLLL1
Sistemas
H
y(t) = H [x(t)]x(t)
entrada saídaoperador
Sistemas Invariantes no Tempo
H [x(t)] = y(t) ⇒ H [x(t-t0)] = y(t-t0)
Sistemas Causais
x(t), t ≥ t0 ⇒ y(t) = H [x(t)], t ≥ t1 ≥ t0
Sistemas Lineares
y1(t) = H [x1(t)]
⇒ y(t) = H [α1 x1(t) + α2 x2(t)] = α1 y1(t) + α2 y2(t)
y2(t) = H [x2(t)]
Resposta Impulsional
hy(t) = h(t , τ)δ(t-τ)
entrada saída
Resposta temporal
( ) ( ) ( )∫∞+
∞−
τττ= dx,thty
Resposta Temporal de Sistemas Lineares e InvariantesIntegral de Convolução
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }thx dxthtxhty oo =τττ−== ∫∞+
∞−
t
x(t)
t
h(t)
T0/2 T00
1A
τt t+T0/2t-T0/2 0 T
1h(τ)x(t-τ) A
τt t+T0/2t-T0/2 0 T
A
τt t+T0/2t-T0/20 T
A
t-T0/2 T0/20 T-T0/2 T+T0/2T
AT0y(t)
Resposta Temporal de Sistemas Lineares e Invariantes (cont.)Integral de Convolução - Memória
g(τ)
h(t-τ)
h(t-τ)
g(τ)
τ
τ
t
t
0
0
Resposta em Frequência de Sistemas Lineares e Invariantes
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ) ( ) ( )fXfHfY
txTFthTFtxhTFtyTF
=⇔×== o
Função de Transferência ( ) ( ){ }thTFfH =
Resposta em Magnitude
( ) ( ) ( )fXfHfY =
Resposta em Fase
( )( ) ( )( ) ( )( )fXargfHargfYarg +=
( )222e
f4
2fG
π+α
α=
Resposta em Frequência de Sistemas Lineares e Invariantes (cont.)Exemplo
( ) te aetg α−= ( ) ( )tuteth β−=
( )222 f4
1fH
π+β=
( )( )
βπ−= f2
atan fHarg( ) ( ) ( )fGfHfG es =
( )( ) ( )( ) ( )( )
βπ
−=
+=
f2atan
fGargfHargfGarg es
( )tgs
tea α
β+α
α−−β−
×β−α
+β+α
tete
aa
Resposta em Frequência de Sistemas Lineares e Invariantes (cont.)Filtragem
( )222 f4
1fH
π+β=
Largura de BandaLargura de Banda a 3 dB – B
B-Bf0
( ) ( ) dB 32log102log20 ≅=
( )0H
( ) ( )BH2
0H=
Filtro Passa-Baixo (FPBx)
Filtro Passa-Banda (FPBd)( )0H
( ) ( )BH2
0H=
fc-fcfc+Bfc-B f0
B
2B
Sistemas Lineares e Invariantes (cont.)Filtragem Ideal
Filtro Passa-Baixo Ideal
( )
π−=
B2f
rectft2jKefH d
( ) ( )( )dt-t2B sinc BK2th =f0
KB
Filtro Passa-Banda Ideal
2Bffc-fc
0
K
fc+Bfc-B
( )
+
+
−π−=
B2ff
rectB2ff
rectft2jKefH ccd
( ) ( )( ) ( )( )dcd ttf2cost-t2B sinc BK4th −π=
Exemplos de Sistemas Não LinearesQuadrador
( ) ( ) ( ) ( )fGGfGtgtg ees2es o=↔=
( ) ( )2Bt sinc tge = ( ) ( )2Bt sinc tg 2s =
eg
sg
B
1/2B
2B
1/2B( )fGe ( )fGs
Rectificador (ideal) ( ) ( )tgtg es =eg
sg
( ) ( )tf2costg 0e π=( ) ( )tf2costg 0e π=
+
+
=
212n
sinc 2
1-2n sinc
21
cn
Correlação TemporalDensidade Espectral
Operador Média TemporalSinais de Potência
( ) ( )∫+
−∞→=
2/T
2/TTdttg
T1
limtg
Propriedades
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) **2/T
2/TT
*2/T
2/TT
2/T
2/T*
T
* tgdttgT1
limdttgT1
limdttgT1
limtg =
=
== ∫∫∫
+
−∞→
+
−∞→
+
−∞→
( ) ( ) dd t , tgttg ∀=−
( ) ( ) ( ) ( )tgtgtgtg 22112211 α+α=α+α
Produto Interno
( ) ( ) ( ) ( )∫+
−∞→=
2/T
2/T*21
T21 dttgtg
T1
limtg,tg
Norma Quadrática - Potência
( ) ( ) ( )∫+
−∞→==
2/T
2/T2
Tg dttg
T1
limtg,tgP
Desigualdade de Schwarz
( ) ( ) ( ) ( )21 gg
22
21
221 PPtgtgtg,tg =≤
x
y
θθ
|x|cos θ yxcosyxy,xcosyxy,x ≤θ=⇒θ=
( )( )
π±=θ==θ=
→ colineares ,0yx máximo
ortogonais 00 mínimoy,x
Potência da Soma
( ) ( ) ( )tgtgtg 21 +=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ){ }tg,tg2PP
tg,tgtg,tgtg,tgtg,tg
tgtg,tgtgP
21gg
12212211
2121g
21ℜ++=
+++=
++=
21ggg gg sse PPP21
⊥+=
Correlação
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+
−∞→τ−=τ−=τ
2/T
2/T*
Tgw dttwtg
T1
limtw,tgR
Propriedades
( )
=⊥=
→≤τwgPPmáximo
wg0mínimoPPR
wgwg
2gw
( ) ( )τ−=τ *wggw RR
Autocorrelação
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+
−∞→τ−=τ−=τ=τ
2/T
2/T*
Tggg dttgtg
T1
limtg,tgRR
Propriedades
( ) ( )
( ) ( )τ=τ−
=≤τ
*gg
ggg
RR
P0RR
Sinais periódicos de período T0
Correlação Periódica
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )τ=
τ−=
−τ−=+τ
∫
∫+
−
+
−
gw
2/T
2/T*
0
2/T
2/T 0*
00gw
R
dttwtgT1
dtnTtwtgT1
nTR
0
0
0
0
Sinais periódicos de período T0 (cont.)Coeficientes de Fourier da Correlação
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
∑∑
∑ ∫
∫ ∑∫
∞+
−∞=
∞+
−∞=
∞+
−∞=
+
−
+
−
∞+
−∞=
+
−
τπ=τπ=
τπ
π−=
τ−π−=τ−=τ
n
0n
n
0n
*n
n
02/T
2/T0
0
*n
2/T
2/Tn
0*n
0
2/T
2/T*
0gw
nf2jecnf2jeab
nf2jedttnf2jetgT1
b
dttnf2jebtgT1
dttwtgT1
R
0
0
0
0
0
0
( ) *nnn
n
nf2jngw bac onde ,ecR 0 ==τ ∑
∞+
−∞=
τπ−
( ) ( ) ∑∑∞+
−∞=
∞+
−∞=
π=π=n
nn
ntnf2jebtwetnf2jeatg 00
( ) 2n
*nnn
n
nf2jng aaac onde ,ecR 0 ===τ ∑
∞+
−∞=
τπ−
Densidade Espectral de Potência
( ) ( ){ } ( )∫∞+
∞−ττπ−τ=τ= df2jeRRTFfS ggg
Sinais Periódicos
( ) ( )
( )
( )
( )∑
∑ ∫
∫ ∑
∑∑
∞+
−∞=
∞+
−∞=
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
−∞=
∞+
−∞=
∞+
−∞=
−δ=
ττ−π−=
ττπ−
τπ=
τπ=τ⇒π=
n0
2n
n
02n
n
02ng
n
02ng
n
0n
nffa
dnff2jea
df2jenf2jeafS
nf2jeaRtnf2jeatg
( ) ( )∫∞+
∞−== dffS0RP ggg
Sinais de Energia
Correlação
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞+
∞−τ−=τ−=τ dttwtgtw,tgR *
gw
Autocorrelação
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞+
∞−τ−=τ−=τ dttgtgtg,tgR *
g
Propriedades
Idênticas às verificadas pela correlação eautocorrelação de sinais de potência
Densidade Espectral de Energia
( ) ( ){ } ( )∫∞+
∞−ττπ−τ=τ= df2jeRRTFfS ggg
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )2*
*
*
*
*
*gg
fGfGfG
dufu2jeugdtft2jetg
dtft2jedufu2jeugtg
dtdf2jetgtg
dtdf2jetgtg
df2jedttgtgdf2jeRfS
==
π−
π−=
π−
π−=
ττπ+τ−=
ττπ−τ−=
ττπ−
τ−=ττπ−τ=
∫∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
Relações de Entrada - Saída em Sistemas Lineares Invariantes
h ↔ H( )tge ( )tgs
Dada a resposta impulsional (real) h(τ), definimos h- (τ) = h(-τ). Sendo H(f) = TF{h(τ)}, então H*(f) = TF{h-(τ)}.Pode mostrar-se que:
( ) ( )τ=τ − hhRRes gg oo
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )fSfH
fHfHfSfS
e
es
g2
*gg
=
=