simulaÇÃo por cfd de um fluido viscoelÁstico … · escoamentos multifásicos, desenvolvido e...
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SIMULAÇÃO POR CFD DE UM FLUIDO VISCOELÁSTICO UTILIZANDO OS
MODELOS DE GIESEKUS E PTT.
P.Pulgrossi; M.A.d’Ávila
Universidade de Campinas – Unicamp – Faculdade de Engenharia Mecânica
Rua Mendeleyev, 200 - Cidade Universitária - Campinas - SP - 13083-860
RESUMO
Na grande maioria das operações de processamento de polímeros, como
extrusão e moldagem por injeção, o polímero está no estado fundido e é submetido
a um determinado tipo de escoamento. Devido ao caráter viscoelástico dos fluidos
poliméricos, esses exibem certos fenômenos característicos dos fluidos complexos.
No caso do processo de extrusão, na saída da matriz, ocorre o “inchamento do
extrudado”, que é um efeito viscoelástico de grande relevância no projeto de
matrizes. Neste cenário, a simulação computacional de um perfil de extrusão na qual
são utilizadas as leis físicas e equações que regem o escoamento de um polímero
viscoelástico tem grande valia. No presente trabalho, este fenômeno foi investigado
utilizando os modelos constitutivos de Giesekus e PTT (Phan-Thien and Tanner) que
descrevem o comportamento reológico viscoelástico de fluidos poliméricos. Para
isso foi utilizado um solver viscoelástico do pacote aberto de fluidodinâmica
computacional (CFD) OpenFOAM, que utiliza o método dos volumes finitos na
realização das simulações. Adotou-se a geometria de um reservatório com um
capilar, ambos com seção transversal circular. Visando validar as simulações, casos
publicados na literatura foram simulados, onde foi observada uma boa concordância
entre os resultados das simulações com os resultados publicados na literatura.
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Foram avaliados os resultados do inchamento do extrudado obtidos pelos dois
modelos constitutivos, onde para ambos os casos foram observados resultados
fisicamente consistentes.
Palavras-chave: CFD; Simulação; Reologia; Fluido viscoelástico; OpenFOAM
INTRODUÇÃO
O processo de extrusão de fluidos poliméricos viscoelásticos é comumente
utilizado na indústria para a obtenção de uma enorme variedade de produtos, desde
alimentícios até peças de engenharia. A grande maioria desses produtos
compartilham, nesta etapa do processo produtivo, do mesmo fenômeno, conhecido
como inchamento do extrudado. No caso de polímeros, este fenômeno é causado
pela relaxação de cadeias poliméricas estendidas, devido à redução da tensão
exercida na saída da matriz(2). No âmbito dos produtos de engenharia, os quais
demandam precisão em suas dimensões para se obter um perfeito funcionamento
do produto final, a compreensão e a predição deste fenômeno é de suma
importância. Para a predição, atualmente, as grandes empresas fazem uso de
programas e métodos computacionais para simular este e outros fenômenos
intencionando a melhoria de seu produto, evitar gastos desnecessários com testes
empíricos que por sua vez podem durar meses, atrasos no lançamento de novos
produtos e uso desnecessário de recursos da empresa.
Desta forma, torna-se necessário a pesquisa com fluidos viscoelásticos, para
que os fenômenos provenientes desse tipo de fluido sejam melhor compreendidos.
Neste trabalho, utilizou-se o pacote de CFD OpenFoam, que possui código aberto.
Com a proposta de verificar a eficácia do software nestas pesquisas, foram
analisados os resultados reproduzidos no mesmo, baseados num artigo científico
selecionado para o estudo(1). Este artigo, que aborda a extrusão de um composto
viscoelástico na geometria de um capilar, compara os resultados obtidos utilizando
diferentes equações constitutivas para o mesmo tipo de escoamento, adotando uma
metodologia numérica própria. Serão apresentados resultados provenientes deste
estudo validando a eficácia do software.
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MODELAGEM MATEMÁTICA
As equações que regem o escoamento isotérmico de um fluido são as
equações da conservação da massa e a equação da conservação da quantidade de
movimento, dadas, respectivamente, pelas equações (A) e (B):
(A)
(B)
onde é a densidade do fluido, é o tempo, é o vetor velocidade, é a pressão,
é o tensor tensão e g é o vetor aceleração gravitacional.
O modelo constitutivo de Giesekus(2), que é utilizado para descrever o
comportamento viscoelástico de polímeros fundidos e em solução, é dado pela
equação (C):
(C)
onde é o tensor tensão do polímero, é o tempo de relaxação, é um fator
adimensional de mobilidade relacionado ao arrasto hidrodinâmico anisotrópico das
moléculas do polímero(2), é a viscosidade polimérica à taxa de deformação nula,
é a derivada convectiva superior no tempo do tensor das tensões dada pela
equação (D):
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(D)
sendo que é a derivada material dada pela equação (E):
(E)
e é o tensor taxa de deformação, que devido ser um tensor simétrico pode ser
expresso pela equação (F):
(F)
Este modelo constitutivo é muito utilizado na literatura e possui termos não-lineares
dados pelos produtos dos tensores das tensões. Neste modelo, quando os
parâmetros , tem-se a equação constitutiva de um fluido Newtoniano com
viscosidade .
O modelo PTT (Phan-Thien and Tanner)(2) é proveniente da teoria de rede de
polímeros fundidos e soluções concentradas e o tensor tensão é satisfeito pela
seguinte equação (G):
(G)
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O termo não-linear que contém considera a energia elástica da rede, é o
tempo de relaxação, é a contribuição viscoelástica da viscosidade e é a
derivada de Gordon-Schowalter expressa pela equação (H):
(H)
No modelo acima, o parâmetro está relacionado com a viscosidade extensional e o
parâmetro relaciona a diferença de tensões normais.
Do programa OpenFoam foi utilizado um solver viscoelástico para
escoamentos multifásicos, desenvolvido e validado por Favero et al(3). Como o
escoamento estudado envolve duas fases (polímero e ar), deve-se considerar
ambas as fases na simulação. O programa OpenFoam utiliza para a caracterização
da interface livre entre as fases dos fluidos o método VOF (Volume of Fluid)
desenvolvido por Hirt & Nichols(4), que se dá através de uma função matemática que
possibilita saber qual fase dos fluidos ocupa o volume de controle ou se há uma
composição desses fluidos no mesmo volume de controle.
O caso consiste em uma malha bidimensional da geometria de um capilar com
diâmetro constante D=2mm, L=9mm, H=15mm e C=20mm conforme Figura 1:
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(a) (b)
Figura 1a. Malha e Figura 1b. Geometria do capilar
As fronteiras da região do capilar foram definidas com a condição de parede
sem escorregamento e para a fronteira superior a condição de entrada para o
escoamento. A fronteira do fundo e topo do reservatório foram definidas como
aberta, assim como suas laterais.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
A Figura 2 mostra os resultados obtidos para o modelo de Giesekus. Pode-se
observar que o inchamento do extrudado aumenta com o aumento da vazão. Esse
resultado é esperado, devido ao aumento das tensões de cisalhamento no capilar
com o aumento da vazão.
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Aumento da vazão
(a) (b) (c)
Figura 2. Resultados obtidos para o modelo de Giesekus em diferentes vazões: (a) Q=1,57e-8m³/s, (b) Q=3,14e-8m³/s, (c) Q=6,28e-8m³/s
Os valores dos raios do inchamento do extrudado encontrados para cada
vazão e modelo constitutivo estão apresentados na Tabela 1. As dimensões dos
raios em todos os casos foram colhidos na condição de escoamento plenamente
desenvolvido, ou seja, após o escoamento ter atingido a condição de regime
permanente.
Tabela 1- Raio do inchamento: Literatura(1) e OpenFoam em milímetros.
Casos Literatura(1) OpenFoam
Vazões (m³/s) Giesekus PTT Giesekus PTT
1,57E-08 1,16 1,16 1,13 1,11
3,14E-08 1,19 1,19 1,25 1,24
6,28E-08 1,37 1,29 1,38 1,32
Fez-se a comparação do raio do inchamento do extrudado utilizando os
modelos de Giesekus (Figura 3) e PTT (Figura 4), com as respectivas vazões Q, dos
resultados obtidos nas simulações e no artigo da literatura(1). Pode-se observar pelas
figuras que a metodologia de simulação utilizada no presente trabalho forneceu
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resultados próximos ao da literatura(1) para os modelos de Giesekus e PTT nas
diferentes condições avaliadas.
(a) (b)
(c)
Figura 3. Inchamento do extrudado na região plenamente desenvolvida para simulações realizadas com o modelo de Giesekus em diferentes vazões:
(a) Q=1,57e-8m³/s, (b) Q=3,14e-8m³/s, (c) Q=6,28e-8m³/s
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(a) (b)
(c)
Figura 4. Inchamento do extrudado na região plenamente desenvolvida para simulações realizadas com o modelo PTT em diferentes vazões:
(a) Q=1,57e-8m³/s, (b) Q=3,14e-8m³/s, (c) Q=6,28e-8m³/s
Foi realizada uma simulação utilizando o modelo de Giesekus, onde os parâmetros
do modelo foram obtidos a partir dos dados reológicos de um composto de borracha
fornecidos por uma empresa deste seguimento, considerando uma densidade de
1,11 g/cm³. Esses parâmetros estão mostrados na Tabela 2. Na simulação utilizou-
se uma malha axissimétrica, com a mesma geometria e condições de contorno dos
casos apresentados anteriormente, com uma vazão de 25,13e-8m³/s.
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Tabela 2- Parâmetros do modelo de Giesekus para o composto de borracha
k
(s) (Pa.s)
1 0,3914 0,101469 0,023191
2 0,28 0,011243 0,003891
3 0,2389 1,232445 0,240028
A Figura 5 apresenta o resultado da simulação para este caso. Pode-se
observar a presença do inchamento do extrudado na saída do capilar, mostrando
que o resultado é fisicamente consistente. Estudos estão sendo realizados em
outras condições e o nosso grupo pretende, futuramente, corroborar os resultados
da simulação com dados experimentais de inchamento do extrudado na saída de
capilares.
Figura 5. Escoamento do composto de borracha pelo capilar de 1mm de raio a uma vazão de 25,13e-8m³/s.
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CONCLUSÕES
Foram realizadas simulações do inchamento de extrudado com o pacote de
CFD OpenFoam, considerando a viscoelasticidade não-linear através dos modelos
de Giesekus e PTT. Foi observada boa concordância entre os valores de
inchamento obtidos nas simulações com dados publicados na literatura(1) em
diferentes vazões. Constatou-se também a eficácia do programa OpenFoam em
descrever o comportamento de um escoamento viscoelástico para o caso de um
composto de borracha. Para futuros trabalhos, sugere-se a realização de
experimentos com compostos de borracha, visando a corroboração das simulações
com resultados experimentais.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] MU, Y.; ZHAO, G., CHEN, A.; WU, X. Modeling and simulation of three-
dimensional extrusion swelling of viscoelastic fluids with PTT, Giesekus and FENE-P
constitutive models. Int. J. Numer. Meth. Fluids, v. 72: p. 846–863, 2013.
[2] BIRD, R. B.; ARMSTRONG, R. C; HASSAGER, O. Dynamics of polymeric
liquids. 2nd ed., New York: Jhon Wiley & Sons, 1987.
[3] FAVERO, J. L.; Simulação de escoamentos viscoelásticos:
Desenvolvimento de uma Metodologia de Análise utilizando o Software OpenFOAM
e Equações Constitutivas Diferenciais. 2009. 127 f. Dissertação (Mestrado em
Engenharia Química) - Departamento de Engenharia Química da Universidade
Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2009.
[4] HIRT, C. W.; NICHOLS, B. D. Volume of Fluid (VOF) Method for the
Dynamics of Free Boundaries, Journal of Computational Physics, v. 39, p. 201-225,
1981.
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VISCOELASTIC FLUID CFD SIMULATION USING THE GIESEKUS E PTT
MODELS.
ABSTRACT
In most polymer processing operations, such as extrusion and injection
molding, a polymer melt is submitted to a characteristic flow. Due to viscoelastic
effects of polymeric fluids, specific viscoelastic phenomena can be observed.
Considering the extrusion process, the viscoelastic effect of die swell, which occurs
at the die exit, is of great importance on extrusion die projects. On this scenario,
computer simulations of an extrusion die considering the physical laws and equations
that describe viscoelastic polymer flow is of great value. In this work, die swell was
investigated using the Giesekus and PTT non-linear viscoelastic constitutive models.
A computational fluid dynamics (CFD) open source package OpenFOAM was used,
which is based on the finite volume method. The geometry of a reservoir containing a
capillary with a circular cross-section was adopted. To evaluate the simulations, the
results were compared with published work from the literature and good agreement
was observed between the simulations and the literature data. Die swell results
obtained using both constitutive models, for a set of constitutive parameter typical of
a rubber compound presented physically consistent results.
Key-words: CFD; Simulation; Rheology; Viscoelastic fluid; OpenFOAM
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