Simonovits Andrs: BME Matematikai Intzet

MIKROKONMIAI VZLAT1

MTA, Kzgazdasgtudomnyi IntzetBudapest, Budarsi t 45, 1112e-mail: simonov@econ.core.hu

2012. janur 10.

1 Elssorban Walter Nicholson: Microeconomic Theory 2nd ed. The Dryden Press,Hinsdale, IL., 1978 knyv alapjn

i

TARTALOMJEGYZK

I. RSZ. BEVEZETS 11. Elsz2. Felttel nlkli s feltteles szlsrtk

II. RSZ. FOGYASZTS 43. Hasznossgmaximalizls4. Az egyni kereslet5. Piaci kereslet6. Fogyaszti viselkeds bizonytalansgban

III. RSZ. TERMELS 107. Termelsi fggvnyek8. Kltsgek9. Profitmaximalizls

IV. RSZ. RAK A TERMKPIACON 1410. Tkletes versenyzi ralakuls rvid tvon11. Tkletes versenyzi ralakuls hossz tvon12. ralakuls a monopolista piacokon13. Duoplium s oligoplium

V. RSZ. RALAKULS A TERMELSI TNYEZK PIACN 2014. Tnyezrak a tkletes versenynl15. Tnyezrak tkletlen piacokon16. A munkaerpiac17. Tke

VI. RSZ. LTALNOS EGYENSLY S JLT 2418. Gazdasgi hatkonysg19. Jlti kzgazdasgtan20. A tkletes verseny hatkonysga

VII. RSZ. KORMNYZAT 3321. A kormnyzat elmlete22. Kls hatsok s tulajdonjogok

FGGELKEK 35

FELADATOK 42

FELADATMEGOLDSOK 45

IRODALOM 52

ii

I. RSZ. BEVEZETS

1. Elsz

A kzgazdasgtan uralkod ramlata a neoklasszikus elmlet, amely felttelezi, hogy agazdasgban az rak (belertve a breket s a kamatlbakat) rugalmasan reaglnak akereslet s a knlat eltrseire, ltalban egyensly van. Ez a feltevs nyilvnvalannem volt rvnyes a szocialista gazdasg hinypiacain, s nem rvnyes a fejlett piacgaz-dasgok bizonyos szektoraiban, pldul a munkapiacokon. Minden hinyossga ellenreezzel az elmlettel foglalkozunk, mert egyelre nincs ms.

A kzgazdasgtan hagyomnyosan kt nagy terletre oszthat: mikrokonmia smakrokonmia. Az elbbiben az egynek s a vllalatok egyedi viselkedst vizsgljuk,az utbbiban viszont az egynek s a vllalatok tmeges viselkedsbl ered szablyos-sgokat. Ebben a jegyzetben a mikrokonmiba vezetem be az olvast, de van nmitfeds a makrokonmival. A tartalomjegyzk eligaztst ad a tmakrkrl. A jel-lsek angol elnevezsek rvidtsn alapulnak, ezrt gyakran megadom az angol eredetitis.

Felhvom az olvas figyelmt, hogy a jegyzet legvgn vlogatott irodalomjegyzktallhat, Magyarorszgon rszben elrhet irodalommal. Eltte feladatsorozatok tall-hatk, kidolgozott megoldsokkal.

Ezt a jegyzetet elszr 1987-ben adtam el, a szocializmus vgnapjaiban. Nhnyutals tallhat az akkor mg hivatalosan rvnyben lv, de egyltaln nem rdektelenmarxista kzgazdasgtanra, egy-kt feladat pedig az akkori viszonyokat tkrzi. Nemtartottam szksgesnek az emltett korjegyek eltvoltst, mindssze mlt idbe tettemket.

2. Felttel nlkli s feltteles szlsrtk

Szksgnk lesz a kvetkez matematikai segdeszkzkre.

2.1. tetel. (Burkolgrbe-ttel.) Legyen f(c, x) : R2 R sima fggvny, aholc [0, C] a paramterrtk s x [0, X] a vals vltoz. Tegyk fl, hogy minden crtkre ltezik egy bels maximumhely, jele x(c), illetve f(c) = maxx f(c, x). Ekkor amaximumrtk vltozsi rtja olyan, mintha csak a paramterrtk vltozna:

f(c) = f c(c, x(c)).

Bizonytas. Definici szerint f(c) = f(c, x(c)). Vegyk a fggvny teljes deri-vltjt c szerint s vegyk figyelembe, hogy a maximumban f x(c, x(c)) = 0. Ekkor

f(c) = f c(c, x(c)) + fx(c, x(c))x

(c) = f c(c, x(c)).

2.1. pelda. Legyen f(c, x) = cx x2. Ekkor x(c) = c/2, f(c) = c2/4, azazf(c) = c/2, mg f c(c, x(c)) = x(c) = c/2.

Szksgnk lesz a kvetkez ttelre.

1

2.2. tetel. (lmplicit fggvny ttele.) Legyen f(x, y) egy sima R2 R fggvny,ahol (x0, y0) az f(x, y) = 0 implicit egyenlet gyke: f(x0, y0) = 0. Tegyk fel, hogyf y(x0, y0) 6= 0. Ekkor e pont krnyezetben ltezik egy olyan y(x) explicit fggvny,amely megoldsa az implicit fggvnynek: f(x, y(x)) = 0, y(x0) = y0, s derivltja ekitntetett pontban

y(x0) = fx(x0, y0)f y(x0, y0)

.

Bizonytas. Az explicit fggvny ltezsnek s derivlhatsgnak a bizonytsanehezebb feladat, itt csupn a derivltat hatrozzuk meg. Vegyk az f(x, y(x)) = 0egyenlet kt oldalnak x szerinti teljes derivltjt:

f x(x, y(x)) + fy(x, y(x))y

(x) = 0,

ahonnan az eredmny mr addik.

2.2. pelda. Legyen f(x, y) = x2 + y2 1 = 0 az implicit fggvny, s legyen1 < x0 < 1, x20 + y20 = 1, y0 > 0. Ekkor ltezik az explicit fggvny: y(x) =

1 x2,

amely tmegy az (x0, y0) ponton, s derivltja

y(x) = 2x02y0

= x01 x20

.

1. kovetkezmeny. Tegyk fl, hogy a 2.12. ttel feltevsein tl teljesl mgf cc < 0 < f

cx. Ekkor a maximumhely a paramterrtknek nvekv sima fggvnye:

x(c) = fcc

f cx> 0.

Bizonytas. Alkalmazzuk a 2.2. ttelt az f x(c, x(c)) = 0 implicit fggvnyre.

A felttel nlkli maximalizsrl tovbblpnk a feltteles maximalizls irnyba.

2.3. tetel. (Feltteles szlsrtk-szmts Lagrange-mdszerrel.) Legyenf(x, y), g(x,y) : R2 R egy-egy sima (folytonosan differencilhat) fggvny. Ha az ffggvnynek a g = 0 felttel mellett az (xo, yo) pontban loklis (feltteles) maximumavan, s gy(xo, yo) 6= 0, akkor alkalmas o vals szm esetn az

(2.1) L(x, y) = f(x, y) + g(x, y)

Lagrange-fggvnynek az (xo, yo) pont stacioner pontja:

(2.2) Lxo = 0 s Ly

o = 0.

Megjegyzesek. 1. A mdszer elnys, ha nem lehet knnyen kifejezni g-bl y-tmint x fggvnyt, vagy elrontan a feladat szimmetrijt.

2. A feladatot knnyen ltalnosthatjuk arra az esetre, ha x vektor n-dimenziss y vektor m-dimenzis, termszetesen ekkor f : Rn+m R s g : Rn+m Rm,valamint vektor m-dimenzis.

2

Bizonytas. Az implicit fggvny ttele rtelmben az (xo, yo) pont krnyeze-tben ltezik egy y = h : R R sima fggvny, amelyre g(x, h(x)) 0 s h(x) =gx(x, h(x))/gy(x, h(x)). Helyettestsk be h-t f -be: F (x) = f(x, h(x)), s derivljukF -et x szerint. A bels optimumban F (x) = f x(x, h(x)) + f y(x, h(x))h(x) = 0. Behe-lyettestve h(x)-t: F (x) = f x(x, h(x))gx(x, h(x))/gy(x, h(x))f y(x, h(x)) = 0. Legyen = f y(xo, h(xo))/gy(xo, h(xo)), s ekkor Ly(xo, yo) = 0 azonossg s F (xo) = 0 ekvi-valens Lx(xo, yo) = 0-val.

Megjegyzes. A (2.2) egyenlet szksges, de ltalban nem elgsges a felttelesszlsrtkhez.

2.4. tetel. Legyen f(x, y) clfggvny konkv s legyen g(x, y) felttelfggvnylineris. Ha (2.2) teljesl, akkor az f fggvnynek a g = 0 felttel mellett az (xo, yo)pontban feltteles maximuma van.

Megjegyzes. A 2.4. ttel felttelei enyhthetk, de ehhez be kell vezetnnk akvzikonkv fggvny fogalmt.

Defincio. Az f(x, y) fggvny kvzikonkv, ha minden szintvonala konvex, azazminden c-re az f(x, y) = c egyenletet kielgt y(c, x) grbe konvex.

Akrcsak a konkv fggvnyeknl, a kvzikonkv fggvnyeknl is igaz, hogy a rjukvonatkoz maximumfeladatoknl a loklis maximum egyben globlis is. Termszetesenegy konkv fggvny kvzikonkv. A kvzikonkv fggvnyek valban ltalnostjka konkv fggvnyeket abbl a szempontbl, hogy az elbbieknek brmely monotontranszformltja is kvzikonkv, mg az utbbiaknl a transzformlt lehet nem konkvis.

2.5. tetel. Legyen f(x, y) clfggvny kvzikonkv s legyen g(x, y) felttel-fggvny konvex. Ha (2.2) teljesl, akkor az f fggvnynek a g = 0 felttel mellett az(xo, yo) pontban feltteles maximuma van.

A kzgazdasgi feladatokban klnsen rdekes krds: hogyan vltozik a clfgg-vny rtke a korlt vltozsakor? Erre vlaszol a

2.6. tetel. Tegyk fl, hogy a feltteles maximumfeladatnak bels optimuma vanegy megfelel I paramterintervallumban. Legyen a feladat parametrikus maximumhe-lye (x(c), y(c)) sima fggvny, s a maximumrtk-fggvny

(2.3) f(c) = f(x(c), y(c)).

Ekkor a maximumrtk loklis vltozsa a c korlt parnyi dc vltozsnl dc. Kp-letben:

(2.4) (c) = f(c).

Bizonytas. Vegyk (2.3) c szerinti totlis derivltjt:

df(x(c), y(c))dc

= fxx(c) + fy

y(c).

3

(2.2)-t figyelembe vve:

(2.5)df(x(c), y(c))

dc= (c)[gx

x(c) + gyy(c)].

A g(x(c), y(c)) c azonossgnak vegyk a totlis derivltjt:(2.6) gx

x(c) + gyy(c) = 1.

(2.6)-ot behelyettestve (2.5)-be, addik (2.4).

2.3. pelda. Tekintsk a legrgibb feltteles maximumfeladatot: f(x, y) = xy,x + y = c. Ekkor elemi meggondolsbl is kvetkezik, hogy x(c) = y(c) = c/2. ALagrange-mdszer szerint Lx = y = 0, Ly = x = 0, azaz x = = y, azaz akorltba behelyettestve

x(c) = y(c) = (c).

Ezrt f(c) = c2/4, f(c) = c/2 = (c).

II. RSZ. FOGYASZTS

A mikrokonmia kedvelt fogsa, hogy a termelstl eltekint, rgtn a fogyasztst vizs-glja.

3. Hasznossgmaximalizls

Tegyk fl, hogy a fogyaszt kt ru, X s Y klnbz (X,Y ) kombincii kzttvlaszthat. Van egy U(X,Y ) : R2 R kvzikonkv hasznossgfggvnye, amely ska-lrknt kifejezi a kombincik rtkt s amelyet a fogyaszt maximalizlni akar. Jve-delme I, a kt termk egysgra rendre PX s PY , mindhrom szm pozitv. A fogyasztkltsgvetsi korltja

(3.1) PXX + PY Y = I,

s a fogyaszt e felttel mellett maximalizlja az U(X,Y ) hasznossgfggvnyt. A 2.32.4. ttel szerint igaz a

3.1. tetel. a) A fogyaszt azt az (Xo, Y o) prt vlasztja, amelyre a hatrhasznoks az rak arnya egyezik:

(3.2)U XU Y

=PXPY

.

b) Ha ilyen pont nincs, akkor vagy

(3.3)U XU Y

PXPY

, teht Y o = 0 s Xo =I

PX.

Megjegyzes. A (3.2) felttel csak a bels optimumra vonatkozik, a (3.3)(3.4)felttelek viszont a sarokoptimumokra.

4

Definciok. 1. Az U hasznossgfggvny szintvonalait kzmbssgi grbkneknevezzk.

2. Legyen Y (c,X) a c-paramter kzmbssgi grbe egyenlete, ekkor Y -nakX-szel val helyettestsi hatrarnya (angolul: Marginal Rate of Substitution) a k-zmbssgi grbe meredeksge. Kpletben:

(3.5) MRS = dYdX

.

3.2. tetel. A helyettests hatrarnya egyenl a hatrhasznok hnyadosval:

(3.6) MRS =U XU Y

.

Megjegyzes. Mivel a kzmbssgi grbk konvexek, meredeksgk cskken.

3.1. pelda. (Rszleges helyettesthetsg.) a) Legyen U(X,Y ) = XY . Ekkora 3.2. ttel alapjn MRS = Xo/Y o, ami a 3.1. ttel szerint PX/PY -nal egyenl.Xo = I/(+ )PX s Y o = I/(+ )PY . Figyelemre mlt, hogy Xo fggetlen PY -tl, s a kt rura klttt sszeg arnya azonos /-val. Ez a plda a fogyasztselmletalappldja, s rajta minden lltst szemlltetni lehet.

b) Legyen az a jvedelemad-kulcs, amely T > 0 adt hoz: T = I. Ekkor amdosult optimum

Xo = (1 )Xo, Y o = (1 )Y o s Uo = (1 )Uo.

c) Legyen > 0 olyan specilis termkad, amely csak az X ru rra rakdik r,de ugyanannyi adt hoz. PXXo = T . Egyszer szmolssal: = /( ), ahol > .

Xo =Xo

1 + , Y o = Y

o s Uo =(1

)Uo.

3.2. pelda. (Tkletes helyettesthetsg.) Legyen U(X,Y ) = X + Y . EkkorXo = I/PX s Y o = 0, ha / > PX/PY , ill. Y o = I/PY s Xo = 0, ha / < PX/PY .Ha / = PX/PY , akkor az optimum teljesen hatrozatlan.

3.3. pelda. (Tkletes helyettesthetetlensg.) U(X,Y ) = min(aX, bY ). EkkorXo = bI/(bPX +aPY ) s Y o = aI/(bPX +aPY ). Ez a plda tbb okbl is nevezetes: a)ppen az optimumban nem sima a hasznossgi/kzmbssgi grbe; b) hinyzik a 4.2.ttel eltt emltend helyettestsi hats.

Megjegyzesek. 1. Nagyon egyszer kiterjeszteni az elemzst 2 termkrl n ter-mkre. Ajnlom a hallgatknak, hogy gyakran vgezzk el ezt a kiterjesztst.

2. A kzgazdszokat sokig nagyon zavarta, hogy milyen alapon tehetik fl egyn. kardinlis hasznossgfggvny ltezst. A 20. szzad elejn Pareto beltta, hogy

5

elegend a kzmbssgi grbk ltezst megkvetelni: ordinlis megkzelts, st az1950-es vekben elterjedt a preferenciarendezsek vizsglata, ahol csupn ruhalmazo-kat kell sszehasonltani. Fltesszk, hogy a fogyaszt szmra vagy az 1. csomaglegalbb olyan elnys, mint a 2. csomag, jele: (X1, Y1) (X2, Y2), vagy fordtva. Ktruvektor kzmbs a rendezsben, ha mindkt irny rendezs teljesl. Kpletben:(X1, Y1) (X2, Y2), ha (X1, Y1) (X2, Y2) s (X2, Y2) (X1, Y1). Ugyanakkor kide-rlt (Debreu, 1954), hogy a folytonos preferenciarendezsek reprezentlhatk hasznos-sgfggvnyekkel, azaz van olyan U : R2 R fggvny, amelyre (X1, Y1) (X2, Y2)pontosan akkor teljesl, ha U(X1, Y1) U(X2, Y2). A kr bezrult. Most a ttelta legegyszerbb alakjban mondjuk ki s bizonytjuk. De ehhez segtsgl hvjuk arendezs szigor monotonitst is, ami azt jelenti, hogy ha (X1, Y1) (X2, Y2), de(X1, Y1) 6= (X2, Y2), akkor (X1, Y1) (X2, Y2).

3.3. tetel. (Debreu, 1954.) Tegyk fl, hogy a preferenciarendezs teljes, reflexv,tranzitv, folytonos s szigoran monoton. Ekkor ltezik egy folytonos hasznossgfgg-vny, amely reprezentlja az adott rendezst.

Bizonytsvzlat. Feleltessk meg az (X,Y ) prnak azt a vals U(X,Y ) szmot,amelyre (X,Y ) U(X,Y )(1, 1). (Feltevseink szerint pontosan egy ilyen szm van.) Areprezentativits a kvetkezkppen bizonythat: Tegyk fl, hogy (X1, Y1) (X2, Y2).Ekkor (X1, Y1) U(X1, Y1)(1, 1) s (X2, Y2) U(X2, Y2)(1, 1), s a tranzitivits s amonotonits miatt U(X1, Y1) U(X2, Y2), stb.

3.4. pelda. (Lexikografikus rendezs.) Tegyk fl, hogy a fogyaszt az (X,Y )vektorokat a kvetkezkppen rendezi: (X1, Y1) (X2, Y2) pontosan akkor, ha vagyX1 X2 vagy X1 = X2 s Y1 Y2. Gondoljuk meg, hogy ez a rendezs nem reprezen-tlhat semmilyen folytonos hasznossgfggvnnyel sem.

4. Az egyni kereslet

A 3. fejezetben mind az rakat, mind a jvedelmet rgztettnek vettk. Most feloldjuke feltevst s vltozatjuk e piaci paramtereket. A komparatv statika elvt alkalmazva,nem trdnk a kt egyenslyi llapot kzti folyamatokkal. Bevezetjk a kvetkezfogalmat.

Defincio. Az X(PX , PY , I) : R3 R fggvny az X termk irnti keresletifggvnye.

4.1. tetel. Az X keresleti fggvny 0-adfok homogn fggvny:

(4.1) X(PX , PY , I) = X(PX , PY , I), > 0.

Definciok. 1. Az X(I) kereslet-jvedelem fggvnyt Engel-grbnek nevez-zk. Ha egy ru Engel-grbje cskken, akkor az rut alacsonyrend runak nevezzk,egybknt normlisnak.

2. Ha az X termk PX rt PX -szel megnveljk, akkor a termk irnti keresletX vltozsa a teljes derivlt ttele rtelmben kt rszre bonthat: (i) a helyettes-tsi hatsra s (ii) a jvedelmi hatsra. Az els hatsnl fltesszk, hogy a fogyaszt

6

vsrlercskkenst rugalmasan kompenzljuk, hogy a korbbi kzmbssgi grbnmaradhasson, s gy alkalmazkodhasson a megvltozott rarnyokhoz. A msodik hatskiszmtsnl az els hatshoz viszonytunk, s az alkalmazkods rgztett rarnyok-nl, de cskken vsrler (reljvedelem) mellett megy vgbe.

4.2. tetel. (Szluckij, 1915.) A fnt lert felbontsban a helyettestsi hatsnagysga (X/PX)

U=const

s a jvedelemhats nagysgaXX/I, azaz az sszhats

X

PX=

X

PX

U=const

XI

X.

Bizonytsvzlat. rjuk fl a kvetkez szimbolikus azonossgot.

X(PX , PY )U=const

X(PX , PY , I(PX , PY ))

Vegyk az azonossg PX szerinti derivltjt s alkalmazzuk a teljes derivls szablyta jobb oldalon:

X

PX

U=const

X(PX , PY , I(PX , PY ))PX

+X(PX , PY , I(PX , PY ))

I

I

PX.

A msodik tag msodik tnyezje X-szel egyenl, stb.

Megjegyzes. A helyettestsi hats mindig negatv, (mert MRS cskken!), dea jvedelmi hats lehet pozitv is, negatv is. Ha a jvedelmi hats pozitv s nagyobb,mint a helyettestsi hats, akkor remelkedsre n a kereslet (Giffen-paradoxon).

Hasonl felbonts rvnyes a keresztrhatsra: Y/PX .

Defincio. Az X s Y termkek helyettestik /kiegsztik egymst, ha a kereszt-helyettestsi hats negatv/pozitv.

Megjegyzes. Figyelemre mlt, hogy a kereszt-helyettestsi hatsok szimmet-rikusak (EX,PY = EY, PX ), mert sima fggvnyekre U XY = U

Y X . Ez az egyetlen pont,

ahol flhasznljuk, hogy a keresleti fggvnyek maximalizlsi feladatbl szrmaznak.Legegyszerbben kt csoportra oszthatjuk a kiadsokat: ltszksgleti s vlaszt-

hat. Minl gazdagabb valaki, annl kisebb arnyban klt lelemre, ftsre, stb. sarnylag annl tbbet klt turizmusra, vendglre, stb.

4.1. pelda. U(X,Y ) = XY 1 CobbDouglas-hasznossgfggvnynl a Szluckij-egyenlet a kvetkez alakot lti:

IP 2X

= ( 1) IP 2X

PX

I

PX.

7

5. Piaci kereslet

Az egyni keresleti fggvnyek (Xh) sszegzsbl addik a piaci keresleti fggvny:X =

Hh=1Xh.

5.1. pelda. Legyen a h-adik fogyaszt CobbDouglas-fggvnyben h + h = 1,ekkor

X(I) =Hh=1

hIhPX

.

Az tlagos kereslet akkor s csak akkor fggetlen a jvedelemeloszlstl, ha h = :

X(I)H

=

PX

I

H.

Definciok. Az U vltoz V vltoz szerinti rugalmassga a szzalkos vltozsokhnyada. Kpletben:

(5.1) U, V =dU

dV

V

U=

d logUd log V

, vagy U = aV E .

Az X,PX , ill. X,PY rrugalmassgok mellett szerepeltetjk mg az X, I jvede-lemrugalmassgot is, valamint a kltsg-jvedelem hnyadost: X = PXX/I.

A kvetkez tblzat adatai Nicholson, 140. o.-rl szrmaznak s a hetvenes vekelejnek Amerikjra vonatkoznak.

5.1. tblzat. Jellemz jvedelem- s rrugalmassgok

rucikk Jvedelem rr u g a l m a s s g

lelem 0,28 0,21Orvosi ellts 0,22 0,20 0,50Gpkocsi 3,00 1,20Laks

brelt 1,00 0,18sajt 1,20 1,20

Benzin 1,06 0,54Villamosram 0,61 1,14Jtkonysg 0,70 1,29Sr 0,93 1,13Marihuna 0 1,50

8

5.2. tblzat. Jellemz sajt- s keresztrrugalmassgok

r v l t o z sCip s Utazs s

K e r e s l e t lelmiszer ruhzat tvkzls

lelmiszer 0,37 0,03 0,12Cip s ruhzat 0,19 0,30 0,23Utazs s tvkzls 0,42 0,01 0,61

Megjegyzs: Az adatok Begg, 81. o.-rl szrmaznak s az 190070-es vek kztiNagy-Britannijra vonatkoznak.

A tbbvltozs fggvnyek elmletben nagyon fontos szerepet jtszanak az n.homogn fggvnyek.

Defincio. Legyen m egy vals szm. Egy f(x, y) ktvltozsskalr fggvnytm-edfok homognnak neveznk, ha tetszleges pozitv -re f(x, y) = mf(x, y).

Euler ttele: Ha az f(x, y) fggvny m-adfok homogn fggvny, akkor f xx +f yy = mf(x, y).

Bizonytas. Teljes derivls szerint: f xx + f y

y = mm1f(x, y), ahol a *

jel a megvltoztatott helyettestsi rtkre utal. Behelyettestve = 1-et, addik azllts.

Euler ttelbl kvetkezik az

5.1. tetel. A keresleti rugalmassgok kzt fnnllnak a kvetkez sszefggsek:(5.2) X,PX + X,PY + X, I = 0

s(5.3) XX, I + Y Y, I = 1.

Bizonytas. Alkalmazzuk az Euler-ttelt a 0-fok keresleti fggvnyre, illetvederivljuk a kltsgvetsi felttelt a jvedelem szerint:

X

PXPX +

X

PYPY +

X

II = 0

sPX

X

I+ PY

Y

I= 1.

5.2. pelda. A 3.1. pldn szemlltetjk eredmnyeinket: X,PX = 1, Y, PY = 0s X, I = 1.

Ha a paramterek az sszs egynre azonosak, akkor ltezik olyan, n. reprezentatvfogyaszt, amely tlagjvedelem mellett kpviseli az egsz trsadalmat. Valban:

X =

+ I

PXs Y =

+ I

PY.

9

6. Fogyaszti viselkeds bizonytalansg esetn

Bizonytalansg esetn bonyolultabb vlik a haszonmaximalizls. A kzgazdasgi fg-gelkben rszletesen foglalkozunk a krdssel.

III. RSZ. TERMELS

Ebben a rszben kilpnk a fogyaszts szkre szabott vilgbl s bekapcsoljuk atermelst.

7. Termelsi fggvnyek

Elszr megnzzk, hogy mibl mit lehet termelni.

Definciok. 1. A Q = F (K,L) : R2 R sima fggvnyt termelsi fggvnyneknevezzk, ahol K a tke-, L a munka- s Q a termk mennyisge.

2. A tke hatrtermelkenysge (Marginal Productivity of Capital: MPK) F K , amunka hatrtermelkenysge (Marginal Productivity of Labor: MPL) F L, ahol F

x az F

fggvny x-szerinti parcilis derivltja.3. tlagtermelkenysg (Average Productivity of Labor): APL = Q/L.

7.1. tetel. Adott tke esetn a termelkenysg akkor s csak akkor maximlis,ha a hatr- s az tlagtermelkenysg egyenl:

(7.1) MPoL = APoL.

Bizonytas. A minimum elsrend elgsges felttele:(Q

L

)=

F lL q 1L2

= 0

Megjegyzes. A termelsi fggvny makroszint alkalmazsa a kvetkez hibskrt rejti magban (v. Robinson (1953)): (i) kamatlb=tke hatrtermelkenysge,(ii) tke =hozam/kamatlb.

Definciok. 1. Azonos-kibocsts grbnek (izokvantnak) nevezzk a terme-lsi fggvny szintvonalait. Jele: K(Q,L), ahol Q a kibocstsparamter. (Vigyzat:hagyomnyosan L a vzszintes, s K a fggleges tengely!)

2. Tke munkval val technikai helyettestsi hatrarnya (Rate of Technical Subs-titution, RTS) a K(L) izokvant meredeksge:

(7.2) RTS = dKdL

.

10

7.2. tetel. A tke munkval val technikai helyettestsi hatrarnya a munkas a tke hatrtermelkenysgnek arnyval egyenl:

(7.3) RTS =F LF K

.

Definciok. (Sklahozadkok.) Tegyk fl, hogy az eredeti (K,L) tke/munkaprt -szeresre nveljk, ahol egy 1-nl nagyobb tetszleges pozitv szm. 1. Ha a ki-bocsts is -szeresre n, akkor lland sklahozadkrl beszlnk. 2. Ha a kibocstskevesebb, mint -szeresre n, akkor cskken sklahozadkrl beszlnk (pl. luxuster-mkeknl). 3. Ha a kibocsts tbb, mint -szeresre n, akkor nvekv sklahozadkrlbeszlnk (pl. autgyrtsnl).

4. A tke-munka helyettestsi rugalmassgt a kvetkezkpp hatrozzuk meg.Kivlasztunk egy izokvantot, s megnzzk, hogyan arnylik a tkemunka-hnyadosL-rugalmassga a technikai helyettestsi hatrarny L-rugalmassghoz. Kpletben:

(7.4) =K/L,L

RTS, L.

7.1. pelda. (CobbDouglas-fle termelsi fggvny.) F (K,L) = AKL , azaz = 1. lland sklahozadk: + = 1, nvekv (cskken) sklahozadk: + >( 0, 0 1 s 1. = 1/(1 ). lland sklahozadk. Specilis esetknt tartalmazza a 7.17.3. pldt:rendre = 0, 1, .

Legyen k = K/L s P (K,L) = K + (1 )L s szmtsuk ki az RTS-t: azimplicit fggvny ttele szerint

RTS = FL(K,L)

F K(K,L)=

1P 1/1(1 )L11P 1/1K1

=1

k1.

Ekkor RTS = (1 )k1/, az llandt eldobva

RTS, L =dk1

dL

L

k1=

(1 )k1dkdL

L

k= (1 )k, L.

Osztssal: = 1/(1 ).

11

7.5. pelda. (Solow, 1957.) A meg nem testeslt technikai halads legegyszerbbbrzolsa a kvetkez:

(7.6) Q(t) = AegtK(t)L(t) ,

ahol g a technikai halads vi teme. Legyen gQ, gK s gL rendre a termels-, a tke-s a munka mennyisgnek vi nvekedsi teme. Ekkor

(7.7) gQ = g + gK + gL.

Szmplda (USA, 19091949). gQ = 2,75%, gK = 1,75%, gL = 1,00%, = 0,35 s = 0,65; teht g = 1,5%.

8. Kltsgek

Legyen w az egysgnyi munkra es br (pl. rabr), v pedig az egysgnyi tkre jutbrleti dj. A teljes kltsg (Total Cost, TC) a kvetkez:

(8.1) TC = wL+ vK.

8.1. tetel. a) Adott termelsi fggvnynl adott termkmennyisget minimlis(hossz tv) kltsggel elllt tkemunka prt bels optimum esetn egyrtelmenmeghatrozza a kvetkez felttel:

(8.2)w

v= RTS.

b) Ha (8.2) nem teljesthet, akkor vagy

(8.3)w

v> RTS, Lo = 0 (teljes automatizls),

vagy

(8.4)w

v< RTS, Ko = 0 (teljes kzi munka).

Definciok. 1. A Ko(Q) s Lo(Q) fggvnyprt a vllalat bvtsi plyjnaknevezzk.

2. Hossz/rvid tvnak nevezzk azt az idszakot, amelyen a vllalat tud/nem tudvltoztatni a tkellomnyn.

3. Rvid tv teljes kltsg (Short-Run Total Cost): STC = vK1 + wL, ahol K1 argztett tkellomny.

4. Rvid tv fix kltsg (Short-Run Fixed Cost): SFC = vK1.5. Rvid tv vltoz kltsg (Short-Run Variable Cost): SVC = wL.6. tlagkltsg a teljes kltsg s a kibocsts hnyadosa: AC = C/Q, ahol C()

tetszleges kltsgfggvny.7. Hatrkltsg a teljes kltsgfggvnynek a kibocsts szerinti derivltja: MC =

dC/dQ.Feltesszk, hogy L(Q) elszr cskken, majd n. Ebbl kvetkezen a rvid tv

tlag- s hatrkltsgfggvny U-alak.

12

8.2. tetel. Az tlagkltsg minimumban az tlag- s a hatrkltsg megegyezik:

(8.5) SATCo = SMCo.

Definciok. 1. Hossz tv kltsgrl beszlnk, (angolul: Long-run Cost, LC)ha nemcsak a munka, de a tke mennyisg is alkalmazkodik a kereslethez.

2. Hossz tv hatrkltsgfggvny (angolul: Long-run Marginal Cost, LMC) ahossz tv kltsgfggvny derivlt-fggvnye: LMC = dLTC/dQ. Lehet cskken,lland s nvekv. A neoklasszikus irodalom ltalban a nvekv LMC esettel fog-lalkozik, mert az lland LMC esetben az optimum gyakran hatrozatlan, a cskkenLMC esete pedig monopliumhoz vezet, de ez nem von le a gyakorlati fontossgukbl.

8.1. pelda. Legyen a vllalat termelsi fggvnye Q = KL . LMC cskken,lland, ill. nvekv, ha + kisebb, egyenl, ill. nagyobb 1-nl.

8.3. tetel. Legyen STC(K1, Q) a Q kibocsts rgztett K1 tkvel val el-lltsnak rvid tv teljes kltsge, s legyen LTC(Q) a megfelel hossz tv teljeskltsg. Ekkor

(8.6) LTC(Q) = min[STC(K1, Q);K1]

Megjegyzes. A 8.3. ttel geometriai jelentse a kvetkez: a hossz tv teljeskltsgfggvny a rvid tv teljes kltsgfggvnyek burkolja.

9. Profitmaximalizls

Az optimlis kibocsts meghatrozsnl a legegyszerbb feltevs a profitmaximaliz-ls.

Definciok. 1. A vllalat rfggvnye az r-kibocsts fggvny: P (Q).2. A vllalat bevtelfggvnye (Revenue) az r s a kibocsts szorzata: R(Q) =

P (Q)Q.3. A vllalat profitfggvnye a bevtel s a kiads klnbsge: pi(Q) = R(Q)C(Q).Megjegyzes. A neoklasszikus elmletben a tke utn jr kamat kltsget jelent

(ellenttben a gyakorlati s a marxi kzgazdasgtannal). Ez a felfogs szli azt a nmilegfurcsn hangz felttelt, hogy hossz tv egyenslynl a maximalizland profit nulla.

9.1. tetel. A profitmaximalizls szksges felttele (nem trivilis esetben) ahatrbevtel s a hatrkltsg egyenlsge:

(9.1) R(Qo) = C (Qo).

9.2. tetel. Profitmaximalizls esetn a bevtel s a kltsg tke -s munkaszerinti hatrrtja rendre egyenl:

(9.2) RKo = C K

o s RLo = C L

o.

13

9.3. tetel. A hatrbevtel, az r s az rrugalmassg kztt a kvetkez kapcsolatrvnyes:

(9.3) MR = P +QdP

dQ= P

(1 +

1Q,P

).

Kovetkezmeny. Q,P < 1 MR > 0, Q,P = 1 MR = 0 s Q,P >1 MR < 0.

9.1. pelda. A kitermel gazatokban az rak rugalmasak, a feldolgoz gazatok-ban viszont rugalmatlanok.

IV. RSZ. RAK A TERMKPIACON

Ebben a rszben a termkpiaci rak alakulsval foglalkozunk klnbz szerkezetpiacokon.

10. Tkletes versenyzi ralakuls rvid tvon

Elszr a tkletes versenyt vizsgljuk, azt is rvid tvon.

Defincio. Egy termk piacn tkletes verseny rvnyesl, ha 1. nagyszm,kicsiny, profitmaximalizl vllalat lltja el ugyanazt a termket; 2. minden vllalatismeri az egysges piaci rat, amelyet nem tud befolysolni; 3. nagyszm vev van apiacon; 4. az eladknak s a vevknek nincsenek tranzakcis kltsgei.

10.1. tetel. Rvid tvon minden vllalat annyit termel, hogy a hatrkltsgeegyenl legyen a piaci rral:

(10.1) MRoi = P, i = 1, 2, . . . , n.

Megjegyzes. Fltesszk, hogy a vllalatok hatrkltsg-fggvnye az optimum-ban nvekv, ekkor (10.1) optimlis.

Definciok. 1. Az i-edik vllalat rvid tv knlati grbje Si(P ).2. A piac knlati grbje a vllalati knlati grbk sszege:

(10.2) S(P ) =i

Si(P ).

3. Rvid tv knlati rugalmassg ESQ,P = (dQ/dP )(P/Q).

10.2. tetel. Tegyk fl, hogy D = a bP s S = c + dP a piac keresleti-, ill.knlati fggvnye. Ekkor az egyenslyi r

(10.3) P o =a cd+ b

.

Folytonos idej walrasi ralkalmazkodsi modell. Keresleti fggvny D(P ), knlatifggvny S(P ), az rvltozs sebessge arnyos a tlkereslettel:

(10.4) P = kz(P ), ahol z(P ) = D(P ) S(P ) s k > 0.

14

10.3. tetel. Tegyk fl, hogy ltezik egyenslyi r: D(P o) = S(P o). Ekkor afolytonos idej alkalmazkodsi folyamat az egyensly krnyezetben akkor s csak akkorstabil, ha

(10.5) z(P ) P o-ban cskken.

Megjegyzes. Normlis esetben D(P ) cskken s S(P ) nvekv, teht z(P )cskken, a mechanizmus stabil. Elfordulhat azonban az is, hogy S(P ) is cskken, sekkor z(P ) nvekedhet!

Diszkrt idej walrasi ralkalmazkodsi folyamatban az rvltozs az elz idszaktlkeresletvel arnyos:

(10.6) Pt+1 = Pt + kz(Pt), k > 0.

10.4. tetel. A diszkrt idej walrasi ralkalmazkodsi folyamat akkor s csakakkor stabil az egyenslyi pont kzelben, ha (10.5) mellett teljesl a kvetkez felttel:

(10.7) 0 < k < 2zP o

,

ahol zP o a z(P ) tlkeresleti fggvny derivltja a P o egyenslyi pontban.

Megjegyzesek. 1. Mr Walras kiemelte, hogy a (10.4) alkalmazkodsi folyamat(tatonnement=tapogatzs) idn kvl megy vgbe, mert ha nem-egyenslyi (hamis)ron kereskednnek, akkor a jvedelem-jraeloszts miatt a tlkeresleti grbe folyama-tosan eltoldna.

2. Ha egyszerre tbb termkpiacot vizsglunk, akkor a kereszthatsok miatt jvalbonyolultabb az egyensly stabilitsa (lsd Samuelson (1947), Zalai (1989), Simonovits(1998)).

3. Ritkn vizsgljk a diszkrt alkalmazkodsi folyamatot, mert itt a stabilitsjval trkenyebb, mint a folytonos vltozatban.

Pkhl modell (a knlat egy idszakos ksssel reagl az rra): St = a + bPt1,Dt = c dPt.

10.5. tetel. a) A pkhl modellben is ltezik pozitv egyenslyi r [(10.3)], hac > a.

b) Az egyenslyi r stabil, ha

(10.8) b > d.

Megjegyzes. Instabil esetben (b < d) a rendszer flrobban, a lineris kzeltsalkalmatlann vlik. Esetnkben a ciklus (b = d) nagyon valszntlen, ezrt nemlinerisltalnostsra van szksg.

11. Tkletes versenyzi ralakuls hossz tvon

Hossz tvon a tkletes verseny miatt a vesztesges vllalatok kivonulnak a piacrl, sa pozitv gazdasgi profit ltezse j vllalatokat csbt a piacra.

15

11.1. tetel. (Zr profit.) Hossz tvon minden vllalat annyit termel, hogy ahossz tv tlag- s hatrkltsg egyarnt megegyezzen az egyenslyi rral:

(11.1) LATCi = P o s LMCi = P o, i = 1, 2, . . . , n.

11.1. pelda. lland hatrkltsg ipargban a kereslet nvekedsre rvid tvonemelkedik az r, s ezrt j vllalatok jelennek meg a piacon, amelyeknek a termelsevisszaszortja az rat a rgi rtkre.

A marxi munkartkelmlet specilis esetknt jelentkezik: Q = aL s C(Q) = wL,azaz C(Q) = wQ/a, P = MC = w/a.

11.2. pelda. Nvekv hatrkltsg ipargban a kereslet nvekedsre rvid tvonemelkedik az r, s ezrt j vllalatok jelennek meg a piacon, amelyeknek a termelsecskkenti az rat, de a megnvekedett hatrkltsgek miatt kptelenek visszaszortaniaz rat a rgi rtkre.

11.3. pelda. Cskken hatrkltsg ipargban a kereslet nvekedsre rvid t-von emelkedik az r, s ezrt j vllalatok jelennek meg a piacon, amelyeknek a termelsecskkenti az rat, st a lecskkent hatrkltsgek miatt az r a rgi rtk al esik.

11.1. tblzat. Jellemz hossz tv rszerinti knlati rugalmassgok

rucikk Rugalmassg rucikk Rugalmassg

Mezgazdasgi terlet Szn 1530Gyapot 0,67 Fldgz 0,20Bza 0,93 Kolaj 0,76Kukorica 0,18 Vrosi laks

Alumnium nagy Srsg 5,3Krm 03 Minsg 3,8

Megjegyzs: Az adatok Nicholson, 339. o.-rl szrmaznak s a 1970-es vek elejnekAmerikjra vonatkoznak.

12. ralakuls a monopolista piacokon

A tkletes verseny vgletes ellentte a monoplium. (Figyelem: a marxista monopliumfogalma tgasabb, valjban az oligopliumra vonatkozik.)

Defincio. Monopolista piacrl beszlnk, ha technikai vagy jogi okokbl a piaconegy termel tevkenykedik.

16

12.1. tetel. Monopolista piacon a vllalat annyit termel, hogy hatrbevtelemegegyezzk a hatrkltsgvel:

(12.1) MRo = MCo.

12.2. tetel. lland hatrkltsg ipargban a monopolr (PM) s a versenyr(PC) kztt a kvetkez sszefggs ll fnn:

(12.2) PM =PC

1 |P,Q| .

Kovetkezmeny. lland hatrkltsg ipargban a monopolr nagyobb, mint aversenyr, a monopol kibocsts kisebb, mint a verseny kibocsts:

(12.3) PM > PC s QM < QC.

Megjegyzes. Termszetes monoplium esetn a hatrkltsgfggvny cskken,teht az remels s a termelskorltozs mg nagyobb, mint amit a kvetkezmny jelez.

12.1. pelda. (Piacfeloszts s rdiszkriminci.) Tegyk fl, hogy egy llandhatrkltsg monoplium kt egymstl elszigetelt (pl. bels s kls) piacon tev-kenykedik. Az i-edik piac keresleti fggvnye Di(P ), i = 1, 2. Ekkor a kt piaconegymstl eltr rat llapt meg a monopolista: minl rugalmasabb a kereslet, annlmagasabb lesz az r. (Pldul ezrt rtelmetlen a dmpingr vdja.)

Flvetdik a krds: mi a kapcsolat a monopolr s a hatrkltsg kztt, ha azutbbi nem lland? (lland hatrkltsg esetn minl nagyobb a hatrkltsg, annlnagyobb a monopolr.)

12.3.* tetel. (Tirole, 1989, 6667. o.) Ha kt olyan kltsgfggvnyt hasonltunkssze, amelyeknl az egyik hatrkltsge mindig nagyobb, mint a msik: C 2(Q) >C 1(Q), akkor a megfelel monopolr is nagyobb: PM2 > PM1 .

Bizonytas. Valban, legyen QM1 s QM2 a megfelel monopolista optimum. Azoptimalits miatt az 1., illetve a 2. esetben a profitmaximalizls miatt igaz, hogy

PM1 QM1 C1(QM1 ) > PM2 QM2 C1(QM2 )

sPM2 Q

M2 C2(QM2 ) > PM1 QM1 C2(QM1 ).

Adjuk ssze a kt egyenltlensget:

[C2(QM1 ) C2(QM2 )] [C1(QM1 ) C1(QM2 )] > 0,azaz QM1

QM2

[C 2(Q) C 1(Q)] dQ > 0.

Feltevsnk szerint az integerandus pozitv, teht a fels hatr nagyobb, mint az als:QM1 > Q

M2 . Ekkor a keresleti fggvny cskken volta miatt PM1 < PM2 .

Megjegyzes. A most ismertetett technika nagyon fontos a vezetmegbzottelmletben is (pldul a K. kzgazdasgi fggelkben trgyalt biztostsnl).

17

13. Duoplium s oligoplium

A tkletes verseny s a monoplium kz esik az oligpolium, amelynek legegyszerbbesete a duoplium.

Definciok. 1. Duopliumrl beszlnk, ha a piacon kt vllalat egymstlfggetlenl tevkenykedik, pl. Ci = ciQi lland egysgkltsg kltsgfggvnnyels pii profitfggvnnyel, i = 1, 2. Mivel az elrhet P (Q1 + Q2) r mindkt vllalatkibocststl fgg, az i-edik vllalat profitja fgg a j-edik vllalat dntstl is. Eklcsnhats figyelembe vteltl fggen tbbfle duoplium ltezik.

2. Cournot-duopliumnl (1838) az i-edik vllalat felteszi, hogy a j 6= i-edik vllalatkibocstsa Qj , s ennek megfelelen gy vlasztja meg Qi(Qj) kibocstst, hogy adottQj mellett a pii(Qi(Qj), Qj) profitja maximlis legyen:

(13.1) Ri, Qi(Qi, Qj) = ci, i = 1, 2.

Egyensly esetn a kt felttelezs sszhangban van:

(13.2) Qoi = Qi(Qoj ) i = 1, 2.

3. Stackelberg-duopliumnl a kt vllalat szerepe nem szimmetrikus, pl. az 1.vllalat a Vezet, a 2. vllalat pedig a Kvet. A Vezet ismeri a Kvet stratgijt,s gy vlasztja meg sajt kibocstst. Pontosabban: Elszr 2. meghatrozza sajt,paramteres Q2(Q1) optimumt a (13.1) felttelbl. Ezt ismeri 1. is, s ennek nyomnmeghatrozza sajt nem paramteres optimumt (13.1) mdostsbl:

(13.3) R1, Q1(Qo1, Q2(Q

o1)) = c1.

Vgl 2. kiszmthatja tnyleges dntst:

(13.4) Qo2 = Q2(Qo1).

13.1. tetel. a) Megfelel simasgi felttelek mellett mindkt duoplium ltezik.b) Mindkt duopolr nagyobb, mint a versenyr; s kisebb, mint a monopolr,

teht mindkt duopol-kibocsts kisebb, mint a verseny-kibocsts; s nagyobb, mint amonopol-kibocsts.

Megjegyzes. A Stackelberg-modellben kvlrl kell megllaptani, hogy ki aVezet, s ki a Kvet. Ha mindkt vllalat azt felttelezi, hogy a msik vllalat aVezet, akkor visszajutunk a Cournot-modellhez. Ha mindkt vllalat azt felttelezi,hogy a msik vllalat a Kvet, akkor katasztroflis tltermels kvetkezik be.

Mr Bertrand (1883) ktsgbe vonta Cournot modelljnek a helyessgt, neveze-tesen azt, hogy a termelk nem az rakrl, hanem a volumenekrl dntenek. Szerintea termelk az rakrl dntenek, s a fogyasztk az alacsonyabb r termelt rszes-tik elnyben. Jellje c a kt vllalat kzs termelsi egysgkltsgt. Teht az i-edikvllalat termke irnti kereslet

Di(pi, pj) =

D(pi) if pi < pj ;D(pi)/2 if pi = pj ;0 if pi > pj ;

profitja pedig pii(pi, pj) = (pi c)Di(pi, pj).

18

13.2. tetel. (Bertrand-paradox, Tirole, 1989, 209212. o.) A Nash-optimumbanmindkt vllalat a versenyz egyenslyt vlasztja, ahol az r egyenl az egysgkltsggel:p1 = p2 = c.

Bizonytas. Brmely c-nl nagyobb rral prblkozzk az egyik vllalat, a msikalgrhetne s ezzel egyoldalan pozitv profithoz jutna.

Mirt paradox a Bertrand-ttel? 1. Azt lltja, hogy a piaci versenyzi helyzetmr kt vllalat esetn is megvalsul. 2. Nem magyarzza meg, hogy mirt akarnakegyltaln a vllalatok termelni, ha nincsen nyeresgk.

A Bertrand-paradoxon magyarzata a kvetkez (Edgeworth, 1897):1. Nyitva hagyja, hogy mi trtnik akkor, ha semelyik vllalat sem kpes egyedl

kielgteni a teljes keresletet: kapacitskorlt. 2. Az elemzs elhanyagolja az idbelireakcikat. 3. Az elemzs elsiklik a termkek kzti klnbsgek fltt.

A Bertrand-paradoxon minden hibja ellenre rdekes, mert lesen rvilgt arraaz esetre, amikor kisszm termel kshegyig men harcot vv egymssal.

Defincio. Oligopliumrl beszlnk, ha a piacon jelenlv vllalatok szmanagyobb, mint 1, de olyan kicsi, hogy nem lehet elhanyagolni az egyes szereplk dntseikzti klcsnhatsokat.

Megjegyzes. Jelenleg nincs ltalnosan elfogadott elmlet. Szemlltetsl akvetkez pldt tanulmnyozzuk.

13.1. pelda. A piacon n egyforma vllalat tevkenykedik, kzs egysgkltsgkc. A piac keresleti fggvnye lineris: q(P ) = a bP , ahol q = iQi. Fltesszk,hogy a > bc, azaz P = c minimumrhoz tartoz kereslet pozitv. A Cournot-megoldsltalnostsbl addik a Nash-fle egyensly, ahol minden i-re adottnak vve a tbbivllalat dntst, az i vllalat optimuma a Nash-egyenslybeli rtk. Kpletben: alkal-mazva a Q = (Qi, Qi) flbontst, legyen az i-edik vllalat profitfggvnye pii(Qi, Qi).Ekkor a Qo vektor Nash-egyensly, ha minden i-re s minden Qi-re

pii(Qoi , Qoi) pii(Qi, Qoi).

Esetnkben Nash-egyenslyban az egyes vllalatok kibocstsa azonos, s az ssz-kibocsts s az r rendre

(13.5) Qo(n) =n(a bc)n+ 1

s P o(n) =a+ nbc(n+ 1)b

.

Kt fontos specilis eset:a) monoplium: QoM = (a bc)/2 s P oM = (a+ bc)/(2b).b) tkletes verseny: QoC = a bc s P oC = c.sszefoglalva: A versenyz vllalatok szmnak nvekedsvel a knlat n (t-

kletes versenynl ppen ktszer akkora, mint a monopliumnl); az r pedig cskken(tkletes versenynl megegyezik a hatrkltsggel).

Statisztikailag egy iparg koncentrcijt azzal mrik, hogy az els n legnagyobbvllalat sszkibocstsa a piac hny szzalkt jelenti.

A kvetkez tblzat adatai Nicholson, 369. o.-rl szrmaznak s a 1970-es vekelejnek Amerikjra vonatkoznak.

19

13.1. tblzat. Szzalkos ipargi koncentrci: Amerika, 1970

A ngy A nyolcIparg legnagyobb vllalat

szzalkos rszesedse

Vas s acl 47 65Gpkocsi 92 98Gpkocsialkatrsz 60 68Kolajfinomts 33 57Stipar 29 39Vegyes gpgyrts 7 12Replgpmotor 68 81Autabroncs 72 89Telefon s tvr 94 99Cigaretta 84 99Frsztelepek 16 20Ni ruha 10 13Szappan s mospor 70 79Gymlcs- szldsgkonzervek 21 33

Nmileg eltr s bvebb a kvetkez tblzat. Hrom nyugat-eurpai orszgotmutat be, s a 3 legnagyobb vllalat rszesedse mellett bemutatja, hogy maximlisanhny hatkony vllalat frne el a piacon.

13.2. tblzat. 3-koncentrci s hatkony vllalatok maximuma

Nagy-Britannia Franciaorszg Ny-NmetorszgIparg 3-konc. max. 3-konc. max. 3-konc. max

Ht-szekrny 65 1 100 2 72 3Cigaretta 94 3 100 2 94 3Kolaj-finomts 79 8 60 7 47 9Srkszts 47 11 63 5 17 16Textil 28 57 23 57 16 52Cip 17 165 13 128 20 197

Megjegyzs: Az adatok Begg, 195. o.-rl szrmaznak s az 196770 Nyugat-Eurpjra vonatkoznak.

V. RSZ. RALAKULS A TERMELSI TNYEZK PIACN

Nmileg bonyolultabb a termelsi tnyezk piaca, mint a termkpiac. A 9. fejezetbenadott tnyezrak (rabrek s brleti djak) mellett vizsgltuk a tnyezk (tke s

20

munka) knlatt. Br az egyes vllalatok szmra a tnyezrak adottak, a vllalatoksszessgt tekintve fordtva is okoskodhatunk. Most megfordtjuk a sorrendet, s adotttke s munka mellett vizsgljuk az rabreket s a brleti djakat.

14. Tnyezrak a tkletes versenynl

Elszr a tkletes versenypiacot vizsgljuk.

14.1. tetel. A profitmaximalizl vllalatnl a tke hatrtermelkenysge meg-egyezik a relbrleti djjal, s a munka hatrtermelkenysge megegyezik a relrabrrel:

(14.1) MPK =v

Ps MPL =

w

P.

14.2. tetel. (Komparatv statikus elemzs.) a) Egytnyezs modell: ha az rabrcskken, akkor az alkalmazott munka mennyisge n.

b) Kttnyezs modell: ha az rabr cskken, akkor a helyettestsi hats miattmegnvekszik az alkalmazott munka; s a kibocstsi hats miatt is valsznleg ugyaneztrtnik.

Defincio. A tke s a munka rszesedsi arnya a nemzeti jvedelemben rendrevK/pQ, ill. wL/pQ.

14.3. tetel. a) Tkletes versenynl a kt rszesedsi arny

(14.2)MPK K

Qs

MPL LQ

.

b) A kt rszesedsi arny sszege akkor s csak akkor 1, ha a termelsi fggvnysklahozadka lland.

c*) Ha a termels helyettestsi rugalmassga nagyobb (kisebb), mint 1, akkor amunka technikai felszereltsgnek (k) nvekedsekor a tke rszesedsi arnya n (csk-ken).

Bizonytas. A b) pont az Euler ttelen alapul.

14.1. pelda. CobbDouglas-fle termelsi fggvnynl (Q = AKL) a tke r-szesedse , a munk . A kt rszeseds sszege akkor s csak akkor 1, ha + = 1(lland sklahozadk).

14.4. tetel. Tegyk fl, hogy az F (K,L) termelsi fggvny CobbDouglas-tipus s elsfok homogn. Ekkor a munka technikai felszereltsgnek nvekedsekora kamatlb cskken, az rabr pedig n.

Megjegyzesek. 1*. Ez a sllyed profitrta neoklasszikus ttele, amely nem fel-ttlenl rvnyes ltalnosabb modellekben, amelyekben tbbfle tke van, (v. Sraffa(1960) visszavlts). A ttel s bizonytsa elszr Ricardo (1817)-ben jelent meg, csakott K fldet jellt. Marx (1894) helyesen brlta Ricardo ttelt, ti. hogy elhanyagoljaa technikai fejldst.

21

2.* Marx (1894) hasonl lltsa logikailag hibs, mert flteszi, hogy a tksek akkoris bevezetnek egy j technikt, ha az sem a munkabrt, sem a profitot nem nveli. Ahelyes megoldst a kvetkez plda mutatja be:

14.2. pelda. (Ricardo, 1817 s Sraffa 1960.) Tegyk fl, hogy gabont gabonvaltermelnek, s a munkabrt is gabonban fizetik ki. Az eredeti technolgiban c egysgvetmag s v munkabr kell 1 egysg gabona ellltshoz. Az j technolgiban c sv az j paramterpr: c > c s v < v. ( Az rabr mindkt esetben azonos, w, ezrt avltoz tke cskkense a termelkenysg nvekedsbl kvetkezik. Az j technolgitakkor (s csak akkor) rdemes bevezetni, ha az j profithnyad nagyobb, mint a rgi:pi > pi, ahol pi = (1 c v)/(c + v) s pi = (1 c v)/(c + v). Teht a profitrtanem sllyedhet.

15. Tnyezrak tkletlen piacokon

Nmileg mdosul a 14. fej., mert pl. ha a munkaerpiac monopolizlt, akkor MCL =d(wL)/dL = w + Ldw/dL > w. Ellenkez irny eltrs is fontos, amikor a hatkonybr elmlete szerint a dolgoz a hatrtermelkenysgnl tbb brt kap, hogy ne legyenrdemes lgnia.

Szeggreglt monopszonista munkaerpiacon a frfi s a ni piacon kln-kln va-lsul meg MRL = MCL. Kvetkezskppen a frfiak rabre magasabb lesz, mint ank.

16. A munkaerpiac

A munkaerpiac klnleges piac, ezrt clszer kln trgyalni.

Defincio. A munks munkaidknlatt (L-et) az U(Y,H) hasznossgfggvnymaximalizsval hatrozza meg, ahol Y a fogyaszts mennyisge, H pedig a szabadid,Y = wL s L+H = T (a teljes idalap, pl. 24 ra/nap).

16.1. tetel. Optimlis vlasztsnl a szabadid fogyasztssal val helyettestsihatrarnya megegyezik az rabrrel:

(16.1) MRS = w.

16.1. pelda. Nagyon gyakran elfordul, hogy az rabr nvekedsekor a munk-sok kevesebbet dolgoznak, mert a jvedelemhats fellmlja a helyettestsi hatst. A19. sz. elejn a brit gyriparban a munksok 1214 rt dolgoztak, 1850 krl jelentmeg a 10 rs munkanap, 1890 krl a 8 rs munkanap, s vgl 1936-ban a franciaNpfront-kormny bevezette a heti 40 rs munkahetet. rdekes, hogy a legfejlettebborszgok krben ma is szrdik az vente ledolgozott munkanapok szma, az US-banviszonylag nagy, Nyugat-Eurpban viszonylag kicsi. Ok: nagyobb adk?

22

17. Tke

A tke is klnleges ru, ezrt clszer kln trgyalni.

Definciok. 1. Technikai lehetsgeknek (Production Possibility, PP) nevezzkazoknak a grbknek a seregt, amelyek (C0, C1) pontjai az idei s a jv vi fogyasztslehetsges kombinciit mutatjk.

2. Megtrlsi rta egyenl a technikai lehetsg grbe meredeksge1:

(17.1) r =dC1dC0

PP 1.

3. A fogyaszt idpreferencijt kifejez (C0, C1) kzmbssgi grbken lev prokhasznossga azonos.

4. A fogyaszt leszmtolsi lba egyenl a kzmbssgi grbe meredeksge1:

(17.2) =dC1dC0

U=const

1.

17.1. tetel. Tegyk fl, hogy a termelsi lehetsgek grbje konkv, a kzm-bssgi grbk pedig konvexek. Ekkor az egyensly a termelsi lehetsgeknek azonpontja, amelyben a kzmbssgi grbe rinti a termelsi grbt. Ekkor a megtrlsirta s a leszmtolsi lb megegyezik.

Defincio. Az egyenslyi megtrlsi rtt kamatlbnak nevezzk.

17.1. pelda. Tegyk fl, hogy r a kamatlb, P egy rklet gp ra s v a gpbrleti dja. Ekkor r = v/P .

Defincio. Tegyk fl, hogy egy gp T vig mkdik, s az i-edik vi hozama Ri,s a kamatlb vrhat rtke a teljes idszak alatt r. Ekkor a gp hozamnak leszmtoltjelenrtke (Present Discounted Value)

(17.3) PDV =i

Ri(1 + r)i

.

17.2. tetel. Piaci egyenslyban a gp ra a gp hozamnak leszmtolt jelenr-tkvel egyenl:

(17.4) P = PDV.

Megjegyzes. A matematikusok s a mrnkk a jelenrtk fogalmt Laplace-transzformlt nven ismerhetik. A kapcsolat megvilgtsra vegyk a kvetkez fela-datot. Egy nyugdjasnak nyugdjazsakor A0 nyugdjvagyona van, amely vente r ka-matlb szerint kamatozik. Minden vben a nyugdjas c mennyisget fogyaszthat. Elreismert T vig l, s hallakor nem akar hagyatkot hagyni. Mekkora a fogyasztsa?

a) Egy matematikus flrja a kvetkez lineris differenciaegyenletet a t-edik vnyitvagyonra: At = (1 + r)At1 c, t = 1, . . . , T . A megold szorzk mdszervelfelrja At kplett, majd AT+1 = 0 egyenletbl kifejezi az ismeretlen c-t.

23

b) Egy (j) kzgazdsz c = Ri, PDV = A0 helyettestssel megoldja a (17.3)egyenletet.

17.2. pelda. Tegyk fl, hogy T = s Ri = R = v (lland). Ekkor PDV = v/r,teht a 17.1. plda szerint P = PDV.

17.3. pelda. Tegyk fl, hogy egy vjradk T ven keresztl vente R ho-zamot ad. Legyen = 1/(1 r), ekkor az vjradk leszmtolt jelenrtkePDV = R(1 T )/(1 ).

17.4. pelda. Az rkjradk olyan vjradk, amely rkk tart: T = . EkkorPDV = R/(1 ) = R/r.

17.5. pelda. A ktvny olyan vjradk, amely a T -edik v vgn visszafizeti a Pnvrtket is: B = PDV = R +R2 + ...+ (R+ P )T .

20042010 kztt haznkban alacsony kezdeti kamatlba miatt nagyon elterjedttvlt a devizalap aut- s laksklcsn, ahol a fleg svjci frankban nyjtott klcsnt fo-rintba kellett visszafizetni. Mivel 20082010 kztt a frank rfolyama 140-rl 210 Ft-raszktt, mikzben kezelsi djjal megnvelt teljes kamatlb is megugrott, a klcsnfel-vevk jelents rsze fizetskptelenn vlt.

VI. RSZ. LTALNOS EGYENSLY S JLT

Eddig az egyes piacokat elszigetelten vizsgltuk, most lebontjuk az elvlaszt falakat.Az egyszersg kedvrt kizrjuk a sarokoptimumokat.

18. Gazdasgi hatkonysg

A gazdasg egyik legfontosabb krdse a hatkonysg.

Defincio. Meglv termkek elosztsa hatkony (Pareto-optimlis), ha nincsolyan jraeloszts, amelynl senki sem jr rosszabbul, s legalbb egy valaki jobban jr.

18.1. tetel. Az eloszts akkor s csak akkor hatkony, ha minden fogyasztnlaz adott termkpr helyettestsi hatrarnya egymssal megegyezik:

(18.1) MRSi = MRS1, i = 2, . . . , n.

Defincio. Tegyk fl, hogy kt fogyaszt s kt termk szerepel a piacon.Edgeworth-doboznak nevezzk azt a tglalapot, amelynek DNY-i sarkbl az els, K-isarkbl pedig a msodik fogyaszt kzmbssgi grbit mrjk fl. A doboz szless-gt s hosszsgt az eloszthat termkek volumene hatrozza meg.

Megjegyzes. A kt fogyaszt kzmbssgi grbinek rintsi pontjai az opti-mlis elosztsokat kpviselik. Az optimumok halmazt egyezsggrbnek nevezzk.

24

Defincio. A termels hatkony, ha az adott termelsi tnyezket nem lehet gyjraelosztani, hogy semelyik termk mennyisge ne cskkenjen, de legalbb egy termknjn.

18.2. tetel. Egy vllalat adott termelsi tnyezit hatkonyan osztja el, ha min-den tnyezt teljesen felhasznl, s a termelsi hatrarny minden termknl megegyez:

(18.3) RTSX = RTSY .

Definciok. 1. A termelsi lehetsgek hatra (Production Possibility Frontier,PPF) a termkhalmaznak azokbl az (X,Y ) pontjaibl ll, melyek hatkonyan termel-hetk.

2. A termelsi transzformci arnyt (Rate of Production Transformation, RPT)gy kapjuk, hogy a termelsi lehetsgek hatrnak meredeksgt 1-gyel beszorozzuk:

(18.4) RPT = dYdX

PPF

.

Feltevs. A termelsi lehetsgek hatra konkv, azaz a termelsi transzformciarnya nvekv.

18.3. tetel. Hatkony termelsnl brmely tnyez hatrtermelkenysge mindenvllalatnl egyez:

(18.5) MPi = MP1, i = 2, . . . , n.

18.4. tetel. Ha tbb vllalat ugyanazt a termkprt lltja el, akkor a hat-konysg miatt a termelsi transzformcis arnyuk megegyezik:

(18.6) RPTi = RPT1, i = 2, . . . , n.

18.1. pelda. (Ricardo, 1817: Komparatv elnyk a klkereskedelemben.) HaAnglia s Portuglia bor- s textiltermelsi lehetsg hatrai klnbzek, akkor kl-kereskedelem rvn mindketten nvelhetik fogyasztsukat. (Ez mg akkor is igaz, haAnglia mindkt termket termelkenyebben lltja el, mint Portuglia.) Ha RPT2mindig nagyobb, mint RPT1, akkor a 2. orszg csak textilt termel, az 1. orszg pedigcsak bort.

Defincio. Az i-edik vllalat x1,i, x2,i, . . . , xn,i tnyezi s termkei kzti Titranszformcis fggvnye a vllalat inputjai s outputjai kzti sszefggst rja le:

(18.7) Ti(x1,i, x2,i, . . . , xn,i) = 0.

25

18.5. tetel. (Lerner-szablyok.) Tegyk fl, hogy az i-edik s a j-edik vllalatk-adik s m-edik vltozit hatkonyan osztjuk el, mg a tbbi vltozt rgztjk. Ekkorxk s xm kzti cserearny mindkt vllalatnl egyez kell hogy legyen:

(18.8)xk,ixm,i

=xm,jxm,j

.

Megjegyzes. A 18.5. ttel a 18.218.4. ttel-hrmas sszefoglalsa: 1) ha xk sxm tnyez, akkor (18.8) a technikai hatrarnyok vllalatok kzti egyenlsgt mondjaki; 2) ha xk tnyez, s xm termk, akkor (18.8) a hatrtermelkenysg vllalatok kztiegyenlsgt mondja ki; 3) ha xk s xm termk, akkor (18.8) a termelsi transzformcisarny vllalatok kzti egyenlsgt mondja ki.

Defincio. A kibocsts, a tnyez-eloszts s a fogyaszts hatkony, ha nincsolyan alternatv program, amelyben valaki jobban jr, s senki sem jr rosszabbul.

18.6. tetel. A kibocsts s a fogyaszts akkor s csak akkor hatkony, ha akorbbi felttelek mellett teljesl mg a kvetkez: brmely termkpr helyettestsihatrarnya minden fogyasztnl azonos, s egyenl minden vllalat termelsi transz-formcis arnyval:

(18.9) MRSi = RPTj , i = 1, . . . , n s j = 1, . . . , m.

19. Jlti kzgazdasgtan

A jlti gazdasgtan a kzgazdasgtan normatv rszhez tartozik, amely nem a vannal,hanem a legyennel foglalkozik.

Feltevs. Egyszersg kedvrt cseregazdasgokra szortkozunk (kizrjuk a ter-melst).

Ha az egyni hasznossgok sszehasonlthatatlanok, akkor a trsadalom jlti op-timumai az Edgeworth-doboz egyezsggrbin tallhatk.

Defincio. Ha az egyni hasznossgfggvnyek sszehasonlthatk, akkor a tr-sadalmi jlti fggvny az egyni hasznossgfggvnyek nvekv fggvnye: W (U1, U2).

19.1. pelda. (Bentham, 18. sz.) W (U1, U2) = U1 + U2. Az sszhasznossg maxi-malizlsa a cl.

19.2. pelda. (Rawls, 1971.) W (U1, U2) = min(U1, U2). A minimlis hasznossgmaximalizlsa a cl.

Ha nincsenek kardinlis hasznossgfggvnyek, akkor egyni preferenciarendezse-ket kellene sszesteni. De hogyan lehet ezt elvgezni?

19.3. pelda. (Condorcet-paradoxon, 1785.) Hrom llapotot (a, b s c) hromszemly (1, 2, 3) a kvetkezkppen rendez: 1: abc, 2: bca s 3: cab. Ekkor pldul atbbsgi szavazs eredmnye abca, s ez nem tranzitv!

26

Belthat, hogy ez a plda jelentsen ltalnosthat. Legyen A a lehetsges v-lasztsok halmaza, s legyen Pi az i-edik egyn teljes rendezse e halmazon: i = 1, . . . , n.Tekintsnk az sszes lehetsges rendezst, s prbljuk meg aggreglni ket egy P tr-sadalmi rendezsbe, amely kielgti a kvetkez tulajdonsgokat:

1. A trsadalmi rendezs teljes: tetszleges x, y A esetn teljesl xPy vagy yPx.2. A trsadalmi rendezs tranzitv: ha xPy s yPz, akkor xPz.3. A trsadalmi rendezs monoton fggvnye az egyni rendezseknek: ha x, y A

esetn xPiy minden i = 1, . . . , n-re, akkor xPy.4. Kt llapot trsadalmi rendezse fggetlen brmely harmadik llapottl: ha x, y

A esetn xPy, s elhagyjuk a rendezsbl a tlk klnbz z A elemet, akkor aszkebb halmazon is xPy.

5. A trsadalmi rendezs nem diktatorikus: nincs olyan szemly, akinek a rendezsemeghatrozn a trsadalmi rendezst.

19.1. tetel. (Arrow, 1951.) Trivilis esetektl eltekintve, lehetetlen gy aggre-glni az egyni preferencia-rendezseket, hogy a fenti t felttel egyszerre teljesljn.

19.4. pelda. Hasonl krdsek vetdnek fl ms terleteken, pldul az t- (vagytz)tusa pontozsnl. Legyen a j-edik sportol teljestmnye az i-edik sportgban xijvals szm, i = 1, . . . , I s j = 1, . . . , J . Milyen fi(xij) monoton nveked fggvnyek-kel kell sklzni az egyes teljestmnyeket, hogy a j-edik versenyz yj =

Ii=1 fj(xij)

sszpontszma mltnyos legyen? Pldul az ttusban valahogyan megllaptjk asportgi normt, azaz xi = 1000, s akkor fi(xij) = 1000xij/xi . Balcznak a futs,Onyiscsenknak a vvs fekdt. Itt a sportg a vlaszt, s az egynek a trgyak, ame-lyek kztt vlasztani kell.

Mivel a vvsnl egyms elleni teljestmnyek szmtanak, elkpzelhet, hogy a Ccsapat visszalpse miatt megfordul az A s a B csapat egymshoz kpesti sorrendje (4.tulajdonsg).

20. A tkletes verseny hatkonysga

Az elz kt fejezetben figyelmen kvl hagytuk az rrendszer szerept a hatkonysg-ban. Most ezt a hinyt ptoljuk.

Definciok. 1. Egy n-termkes (tnyezket s kzbls termkeket is belertve)gazdasg egyenslyi rrendszere az raknak egy olyan vektora, amely mellett a kereslets a knlat egyenslyban van.

2. Tkletes verseny esetn (lsd 10. fej.) az egyenslyi rrendszert tkletesversenyrrendszernek nevezzk.

3. Tkletes versenypiacrl beszlnk, ha mind a termelk, mind a fogyasztkadottnak veszik az rakat, s gy optimalizlnak. Az optimalizlsnl add megoldsttkletes versenyegyenslynak nevezzk.

20.1. tetel. A tkletes versenyegyensly hatkony.

Bizonytas. Az optimalizlsi feltevsek miatt a hatrarnyok azonosak a meg-felel rarnyokkal, teht egyenlek egymssal, azaz a program hatkony.

27

Megjegyzesek. 1. A 20.1. ttel matematikailag fogalmazza meg Smith (1776)lltst a lthatatlan kz optimalitsrl.

2. Nem igaz az egyensly hatkonysga, ha a) tkletlen verseny van (MRX < PXmiatt a hatkony mennyisgnl kevesebbet termelnek X-bl) vagy/s b) kls (exter-nlis) hatsok lpnek fl (pl. vasgyrtsnl a krnyezetszennyezssel nvelt trsadalmikltsgek nagyobbak a piaci kltsgeknl, s ezrt a hatkony mennyisgnl tbb vasatgyrtanak), vagy/s c) kzjavak lteznek (pl. minden egyes fogyaszt gy rezheti,hogy semmi baj nem trtnik, ha egyedl nem fizet az orszgos jrvnyelhrtsrt,a TV-msorrt, stb, s ezrt az optimlisnl kevesebbet termelnek a kzjavakbl); d)aszimmetrikus informci akadlyozza a biztostst (nem lehet j egszsgbiztoststvenni); e) sokan nem tallnak a piacon tisztessges meglhetst.

20.1. pelda. (A gabona-trvnyek eltrlse a 19. sz.-i Nagy-Britanniban.) 1846-ig Nagy-Britanniban trvny korltozta a gabona behozatalt. A szabadversenyhezkpest magasak voltak a gabonarak, s tl sok termelsi tnyezt hasznltak fl ga-bonatermelsre. A gabona-trvnyek eltrlse utn megvalsult a szabad verseny: ntta gabonabehozatal, cskkent az angol gabonatermels, cskkent a gabona ra, ntt arelbr s a reljvedelem.

20.2. pelda. Lineris programozs, sarokoptimumok.

20.2. tetel. Tkletes verseny felttelei mellett minden hatkony eloszls ver-senyegyensly.

Megjegyzes. A 20.2. ttel a 20.1. ttel megfordtsa.

gazati kapcsolatok modellje

Ebben az alpontban az ltalnos egyenslyelmlet egyik gyakorlati alkalmazsra, azgazati kapcsolatok modelljre, KM-re mutatunk kt pldt, amely elmletileg is rde-kes.

1) Egy n-szektoros gazdasgbl indulunk ki, ahol a szektorok kzti kapcsolatokategy statikus nylt Leontief-modell rja le (Brdy, 1969). A jellsi egyszersg kedvrtfltesszk, hogy a gazdasg hossz tvon nem n s nem cskken. Legyen aij a j-edik szektor egysgnyi termelshez szksges anyagigny az i-edik szektortl, legyen yiaz i-edik szektor kibocstsa s ci a vgs fogyaszts az i-edik szektor termkbl. Amegfelel mtrixok s vektorok jele: A, y s c.

Szksg lesz kt defincira.

Defincio. Az A mtrix spektrlsugara az n darab sajtrtkek abszolt rtknekmaximuma; jele: (A) = max{|1|, . . . ,|n|}.

Defincio. Irreducbilis mtrixokrl beszlnk, ha az {1, 2, . . . , n} indexhalmaznem bonthat fel kt olyan nem-trivilis J s J indexhalmazra, amelyre a keletkezAJJ s AJJ blokkok egyike nulla mtrix.

Ahhoz, hogy kevsb formlis legyen a meghatrozsunk, rdemes grfokra leford-tani a defincit. Kpzeljk azt, hogy van egy n-cscs irnytott grfunk, amelyben az

28

i-edik pont akkor s csak akkor van sszektve a j-edikkel, ha az (i,j) mtrixelem pozi-tv. (Termszetesen elkpzelhet, hogy az i-edik cscs ssze van ktve a j-edik csccsal,de fordtva nem.) Ekkor a mtrix irreducibilitsa azt jelenti, hogy a hozz tartoz grfcscspontjai nem oszthatk kt olyan csoportba, hogy egyik csoport egyik cscsa sincssszektve a msik csoport semelyik cscsval. Termszetesen a mtrixot reducbilisneknevezzk, ha nem irreducbilis. (Vegyk szre, hogy minden blokk-diagonlis mtrixreducbilis, hiszen ott egyik csoport sincs szektve a msikkal.)

Szoks szerint fltesszk, hogy A nem-negatv elem, irreducbilis mtrix, melynekspektrlsugara kisebb, mint 1 : (A) < 1.

Megfelel mrtkegysgvlasztssal biztosthat, hogy

i aij < 1, i = 1, . . . , n.A modell egy egyszer azonossgon alapul: termels termeli fogyasztsok sszege

= vgs fogyaszts.(I A)y = c.

A matematikai fggelkben beltjuk, hogy ez az egyenlet egyrtelmen megoldhat:

20.3. tetel. Feltevseink mellett az KM-modellnek minden pozitv vgsfogyasztsra ltezik egyetlen egy pozitv kibocstsa:

y = (I A)1c.

Defincio. Az (I A)1 mtrixot az A mtrix Leontief-inverznek nevezik.Matematikban ezt a tpus mtrixot rezolvens mtrixnak nevezik.

A 20.3. ttel azt sugallja, hogy akrmilyen vgs fogyaszts megvalsthat, csakkonzisztensen kell megvlasztani a kibocstsi vektort. Kznapi tapasztalatainkbl tud-juk, hogy ez nincs gy, s ennek alapveten kt oka van. a) Vannak korltos erforrsok(nyersanyagok s munkaer), amelyek hosszabb tvon sem nvelhetk tetszs szerint.b) Az ember ltal ksztett eszkzk ellltsa idt vesz ignybe. Ezzel a msodikkrdssel foglalkozunk a kvetkezkben.

2) Rtrnk a dinamikus zrt Leontief-modell ismertetsre. Jellsi knnytscljbl nylt modellnket bezrjuk: az (n+1)-edik szektornak a munkaer-szektort te-kintjk. Ekkor az egysgnyi munkarhoz szksges fogyasztst s rfordtst a bvtettA mtrix (n+1)-edik oszlopnak, illetve sornak tekintjk, 0-t rva a DK-i sarokba. Atermelsi vektort is kibvtjk a munkaer-szektor kibocstsval (l): Kpletben:

A =(A fv 0

)s y =

(yl

).

Ekkor a zrt statikus modell egyenlete

(I A)y = 0.

Most mr brzolhatjuk a tkefelhalmozst is. Legyen bij a j-edik szektor egysgnyiberuhzshoz szksges tkeigny az i-edik szektortl, b = (bij). (I A)y = By.Tegyk fl, hogy a gazdasg minden szektora folyamatosan s azonos temben bvl:y(t) = yet. Ekkor az egyensly egyenlete

(I A)y = By.

29

Milyen rak tartoznak e modellhez? Legyen p az (n + 1)-dimenzis bvtettr(sor)vektor, amelynek fedeznie kell a pA foly kiadsok mellett a pi norml profit-rthoz tartoz pB beruhzsi kiadsokat. Kpletben:

p(IA) = pipB.Belthat a

20.4. tetel. (Brdy, 1969.) Tegyk fl, hogy a bvtett mtrix spektrlsugara iskisebb, mint 1: (A) < 1

a) A kibocstsi egyenslyi egyenletnek pontosan egy pozitv nvekedsi tem ()s kibocstsi arny vektor (y) megoldsa van:

1y = (IA)1By.

b) Az regyenslyi egyenletnek pontosan egy pozitv profitrta (pi) s rarny(sor)vektor (p) megoldsa van:

1pip = p(IA)1B.

c) Az egyenslyi nvekedsi tem s profitrta egyenl: = pi.

Megjegyzesek. 1. Felhvjuk a figyelmet a modell dualitsra: a kibocstsi s azrvektor hasonl kapcsolatban vannak egymssal, mint a lineris programozs primls dul feladata.

2. Ez a modell Neumann (1938) modelljnek egy egyszerstett vltozata. Ne-umann modelljben egy termket elvben tbb eljrssal lehetett ellltani (pldulvillamos ramot fval, sznnel, olajjal, gzzal s urniummal), s egy eljrsnak elvbentbb termke is lehetett (pldul a tehnnek a tej, a hs s a br). Mindkt modellnekkzs hibja, hogy a munkaer szektort gy kezeli mint a tbbi szektort, mrpedig ezlegfeljebb egy rabszolgagazdasgra igaz.

ltalnos egyensly ltezse

A matematikai kzgazdasgtan egyik f terlete az ltalnos egyenslyelmlet. Legegy-szerbb alakjban a kvetkezkppen lehet megfogalmazni.

Legyen a hztartsok szma H, h = 1, . . . ,H; s a termkek szma I, i = 1, . . . , I.Legyen a h-adik hztarts vagyonvektora ah = (a1,h, . . . , aI,h), fogyasztsi vektora,xh = (x1,h, . . . , xI,h) s legyen hasznossgfggvnye uh(x1,h, . . . , xI,h). Legyen p =(p1, . . . , pI) a piaci rvektor, amely minden hztarts szmra adott. Adott rvek-tor esetn az i-edik hztarts (h = 1, . . . , H) a kvetkez hasznossgmaximalizlsifeladatot oldja meg:

uh(x1,h, . . . , xI,h) maxfeltve, hogy teljesl a kltsgvetsi felttel:

p1x1,h + + pIxI,h = p1a1,h + + pIaI,h.Bevezetve az i-edik termk zi,h = xi,hai,h egyni tlkereslett s zi = zi,1+ +

xi,H piaci tlkereslett, tmrebben is megfogalmazhatk a felttelek.

30

Defincio. ltalnos egyenslyrl beszlnk, ha ltezik olyan I-dimenzis nem-negatv po rvektor, amely mellett a fenti sokszerepls feltteles maximalizlsi feladatmegoldsa konzisztens, azaz minden termkbl a piaci tlkereslet legfeljebb nulla:

zi 0, i = 1, . . . , I;s piaci rtke nulla:

pizi = 0, i = 1, . . . , I.

Megjegyzes. Figyeljk meg, hogy ha zi < 0, akkor pi = 0 szabad jszg, haviszont pi > 0, akkor zi = 0 szks jszg.

20.5. tetel. (ArrowDebreu, 1954, Zalai, 1989, 6. fejezet.) Megfelel monotoni-tsi, konkavitsi, zrtsgi s egyb felttelek mellett a cseregazdasgban ltezik legalbbegy piaci egyensly.

Megjegyzesek. 1. Az eredeti ttel bonyolultabb modellben igazolta az egyenslyltezst, a fogyaszt lehetsges vektorai egy bizonyos halmazba kellett hogy tartozza-nak, stb.

2. Bizonyos technikai feltevsekre szksg van. Pldul abban a kttermkes-ktfogyaszts esetben, amikor mindkt fogyaszt szmra a 2. termk nem kvnatos,de az egyik fogyaszt vagyona csak a 2. termkbl ll, akkor akrmilyen nagy p1/p2sem lehet egyensly.

3. A fenti definciban el van rejtve, hogyan cserlnek a piacon a szereplk. Leg-egyszerbb azt gondolni, hogy a modellen kvl ltezik valamilyen bels rtk nlklipaprpnz, amely lehetv teszi a csert olyan partnerek kztt, akiknek nincs egymsszmra rtkes feleslegk. Pldul legyen hrom termk (I = 3), hrom fogyaszt(H = 3) s tegyk fl, hogy az i-edik szerepl vagyona 1 egysg i-edik termkbl ll,viszont kizrlag (i + 1)-edik termket akar fogyasztani (4=1). Ha krbellnak s vanpaprpnz, akkor mindegyik a kvetkeznek tad egy egysget a vagyonbl, s megva-lsul az egyensly. Ha azonban nincs pnz (vagy kzponti kiegyenlts), akkor nem jnltre az egyensly. (Ez volt a helyzet pldul az egykori szocialista orszgokat tmrtKGST bilaterlis klkereskedelmben.)

Bizonytsvzlat. Normljuk az rvektort gy, hogy az elemeinek az sszegelegyen 1:

i pi = 1. Legyen z(p) = x(p) a a piaci tlkeresleti fgvny. Az egyni

kltsgvetsi korltok folyomnyaknt fennll az n. Walras-trvny, a tlkereslet piacirtke nulla: pTz(p) = 0. Egy olyan T lekpezst keressnk, amely javtja a nem-egyenslyi rrendszer hibit. Legyen z+ a z vals szm pozitv rsze! Legyen p az jrvektor s 1 = (1, . . . ,1)T az sszegz oszlopvektor:

p = T (p) =[p+ z(p)]+[p+ z(p)]T+1

.

Belthat, hogy T az SI szimplexnek nmagra val folytonos lekpezse, amelynek aBrouwer-fle fixpont-ttel (M.2. ttel) szerint ltezik fixpontja. Egyszer szmolssaligazolhat, hogy T brmely po fixpontja egyensly. Valban, legyen a T nevezje, ek-kor poi = [poi + zi(po)]+. Amelyik i-re poi = 0, arra zi(po) 0. Amelyik i I-re poi > 0,azokra poi = [poi+zi(po)], poi -lal slyozva sszegezve:

i p

oi2 =

i p

oi2+

i p

oi zi(p

o),s Walras-trvnyt hasznlva = 1, azaz poi = [poi + zi(po)]+, teht zi(po) 0 spoi zi(p

o) = 0.

31

CobbDouglas cseregazdasg

A CobbDouglas hasznossgfggvnyek esetn a 20.5. ttel bizonytsa lineris algebrai,csak a FrobeniusPerron ttelre vagy a Markov-lnc ergodicitsra szortkozik.Legyen H > 1 az egynek szma s I > 1 a termkek. Legyen aih s xih a h-adikegyn nemnegatv nyitkszlete, illetve zrkszlete, fogyasztsa az i-edik termkbl.Ha minden termk sszestett kezdkszlete pozitv, akkor a mrtkegysg megfelelmegvlasztsval feltehetjk, hogy minden sszestett kezdkszlet egysgnyi:

Hh=1

aih = 1, i = 1, . . . , I.

A csere mrlegegyenletei rendre

Hh=1

xih = 1, i = 1, . . . , I.

Az egynek hasznossgfggvnye CobbDouglas-fle:

uh(x1h, . . . ,xIh) =Ii=1

ih log xih,

ahol a ih slyok pozitvak, sszegk 1:I

i=1 ih = 1, minden h-ra.Legyen a keresett egyenslyi rvektor p = (p1, . . . ,pI). Ekkor a h-adik egyn jve-

delme Ih =I

i=1 piaih.A Lagrange-szorzk mdszervel az optimlis fogyaszts

xih =ihIhpi

, i = 1, . . . , I, h = 1, . . . , H.

Behelyettestve a mrlegegyenletekbe az optimlis fogyasztst s a jvedelmeket:

Hh=1

ih

Ik=1 pkakhpi

= 1, i = 1, . . . , I.

A bki =H

h=1 ihakh > 0 jells bevezetsvel addik a fixpont-egyenlet:

poi =I

k=1

pokbki, i = 1, . . . , I.

Felcserlve az sszegzs sorrendjt s felhasznlva, hogy a hasznossgslyok szege 1,

Ii=1

bki =Ii=1

Hh=1

ihakh =Hh=1

Ii=1

ihakh =Ii=1

akh = 1,

32

a (bki) sztochasztikus mtrix, teht a FrobeniusPerron-ttel vagy a Markov-lncokttele alapjn a normlstl eltekintve egyetlen egy pozitv po > 0 vektor elgti ki, s ezaz egyenslyi rvektor, 1 sajtrtkkel.

20.2. pelda. Legegyszerbb esetben ugyanannyi termk van, mint egyn, s azi-edik termk kezdkszlete az i-edik egyn tulajdonban van: I = H s aih = ih, aholih a Kronecker delta. Ekkor bih = ih, azaz az regyenlet mtrixa a hasznossgslyokmtrixa. Ekkor az rarnyokat a hasznossgslyok mtrixnak szerkezete hatrozzameg.

A kttermkes gazdasgban 11 = 1 21 s 22 = 1 12, p = (pi,1). A mtrix-egyenlet els sora szerint (1 12)pi + 12 = pi, azaz pi = 12/21. Kvalitatve: az 1.termk ra akkor s csak akkor nagyobb, mint a 2.- (pi > 1), ha az 1. egyn a 2.termknek nagyobb slyt tulajdont, mint a 2. egyn az 1. termknek (12 > 21).

Ebbl a pldbl mg az is lthat, hogy az egyensly ltezshez nem kell feltenni,hogy minden termk minden egynnek hasznos; elegend, ha az 1. termk a 2. egynnekhasznos, a 2. termk pedig az 1. egynnek: 12, 21 > 0.

VII. RSZ. KORMNYZAT

Eddig olyan helyzeteket vizsgltunk, ahol a piacon ltrejtt a versenyz egyensly. Jegy-zetnk vgn olyan eseteket vizsglunk, ahol kormnyzati beavatkozsra van szksg azegyensly megteremtshez.

21. A kormnyzat elmlete

Elszr a kormnyzat elmlett vzoljuk.

Defincio. Tiszta kzjszgrl beszlnk, ha a jszg ltrehozsa utn brkit isnehz kizrni annak fogyasztsbl. Pl. nemzetvdelem, kzbiztonsg, kzegszsggy.

Ilyen javakat szinte lehetetlen piaci eszkzkkel ellltani, mert senki sem lennehajland fizetni rte, gy tve, mintha neki nem is lenne rjuk szksge (a potyautas-problma.)

Ha ismerjk az egyni kardinlis hasznossgfggvnyeket, s sszeadhatjuk ket,akkor kiszmthatjuk a trsadalmi hasznossgfggvnyt, s ennek segtsgvel annak ha-trfggvnyt is. Kttermkes vilgunkban, P a magnjszg, s G a kzjszg, akvetkez mondhat.

21.1. tetel. Az egyenslyi felttel: a trsadalmi helyettestsi hatrarny egyenla technikai transzformcis rtval:

SMRS = RPT.

Megjegyzesek. 1. Vannak ruk, amelyek a kt tiszta kategria kz esnek. Pl.az oktatsnl egyrszt mindenkivel ki lehetne fizettetni a tandjat, ugyanakkor a tanu-latlanul maradk veszlyeztethetik a trsadalom mkdst is.

2. Hiba zrhatk ki a fogyasztsbl a nemfizetk, a szabad piac nem biztostja atrsadalmi optimumot. Pl. senki sem fizetne a felsoktatsrt, mert tl kockzatos abefektets.

33

3. nknyes a vlasztvonal. Pl. a volt szocialista orszgokban a knyvek viszony-lag olcsk voltak, hogy kultrldjk a np, viszont llami dntsek szabtk meg avlasztkot.

A kormnyzat gyakran nem a kzjt nzi, hanem sajt rdekt, pl. hogy a kvetkezvlasztsnl is hatalomban maradjon. Jelenleg is les vita folyik a fejlett llamokban,hogy mi legyen kormnyzati hatskrben. A skandinv modell 1990 krl elvesztettevonzerejt, de azta j erre kapott. A nyugat-eurpai s az angolszsz modell kzttmg folyik a verseny.

22. Kls hatsok s tulajdonjogok

Mr elzleg beszltnk a kls hatsokrl. Kzkelet okossg szerint adkat kell kivetnia negatv externlit termelkre, s juttatsokban kell rszesteni a pozitv externlikattermelket.

Ha tranzakcis kltsgek nlkl lehetne egyezkedni, akkor a tulajdon jogok jra-elosztsval kollektivizls nlkl is meg lehetne teremteni a piaci optimumot (Coasettele).

34

FGGELKEK

M. Matematikai fggelk

Ebben a fggelkben kt matematikai krdskrt vzolunk, amely ltalban kimarad ahagyomnyos matematikai oktatsbl.

Nem-negatv mtrixok

A spektrlsugr defincijhoz szorosan kapcsoldik kt tovbbi meghatrozs. Egymtrix dominns sajtrtke egy olyan sajtrtk, amelynek abszolt rtke maximlis.Dominns sajtrtkhez tartoz sajtvektort dominns sajtvektornak neveznk, amely-nek algebrai s geometriai multiplicitsa egyarnt lehet 1-nl nagyobb. (Pldul az Itranszformcinak minden vektor dominns sajtvektora, 1 sajtrtkkel: r = r = n.)

Nyilvnval okok miatt a kzgazdasgtanban nagyon fontosak a nem-negatv (pozi-tv) elem mtrixok, ahol mij 0 (mij > 0). (A legjabb magyar helyesrsi szablyzatmegalkoti nagy hibt kvettek el, amikor bevezettk a nem kezdet jelzk klnrst!Ugyanis a nem negatv elem mtrixok nem azonosak a nem-negatv elem mtrixok-kal! Az elbbi osztlyba olyan mtrixok tartoznak, amelyeknek van legalbb egy nemnegatv elemk, mg az utbbiba olyan mtrixok tartoznak, amelyeknek minden elemenem negatv!)

Nha blokk-diagonlis mtrixokkal dolgozunk, mert azok kisebb mret mtrixok-hoz vezetnek. Mskor ppen ellenttes a clunk, el akarjuk kerlni, hogy a rendszerrszeire bomoljk.

A kvetkez ttelt s folyomnyait Perron (pozitv mtrixokra) s Frobenius (nem-negatv mtrixokra) fedezte fl, s az 1950-es vek ta alapvet szerepet jtszanak amatematikai kzgazdasgtanban.

M.1. tetel. (Frobenius 1. ttele: 1908, Zalai, 1989, 2. fejezet, Rzsa, 1974.)Legyen a ngyzetes M mtrix nem-negatv s irreducbilis. Ekkor igazak a kvetkezlltsok.

a) M -nek van egy pozitv dominns sajtrtke.b) Ltezik (egy skalrszorztl eltekintve) egyetlen pozitv sajtvektor, amely a

pozitv dominns sajtrtkhez tartozik.c) A pozitv dominns sajtrtk algebrai multiplicitsa 1.d) A pozitv dominns sajtrtk nvekv fggvnye brmely pozitv elemnek.e) Ha a spektrlsugr kisebb, mint 1, akkor (I M)1 ltezik s pozitv.

A bizonytsbl csak az alapgondolatot emltjk meg: Az x = (x1, . . . , xn) esetn

(x) = min[(Mx)ixi

, 1 i n, xi 6= 0]

fggvny jl definilt, s a maximumt az s1 > 0 sajtvektornl veszi fl, rtke: (M) =1 pozitv dominns sajtrtk.

35

Brouwer-fle fixpontttel

Mind a matematikban, mind a kzgazdasgtanban nagyon gyakran tallkozunk n.fixpont-feladatokkal.

Defincio. Legyen f : Rn Rn egy fggvny, amely az X halmazt nmagbakpezi le. Ekkor egy xo X pontot fixpontnak neveznk, ha a lekpezs helyben hagyja:

xo = f(xo).

M.2. tetel. (Brouwer-fle fixpontttel.) Ha az f folytonos lekpezs az n-dimenzis korltos, zrt s konvex X halmazt nmagba kpezi le (invariancia), akkorltezik legalbb egy fixpontja.

Megjegyzesek. 1. Ez a ttel mind a matematikban, mind a kzgazdasgtanbanalapvet szerepet jtszik. Valban, a fixpont ltezse az n-dimenzis zrt s konvex tar-tomnyokat nmagukba lekpez folytonos lekpezsek egyik legfontosabb tulajdonsga.Hasonlan, a fixpont ltezse az ltalnos egyenslyelmlet alapja.

2. A Brouwer-fle fixpontttel azonban nem mondja meg, hogy mikpp lehet afixpontot megtallni. A Banach-fle fixpont-ttel (a kontrakcis-elv) egy termszetesmegoldst ad, azonban nagyon megszort feltevsek mellett.

3. A zrtsg s a korltossg szerepe nyilvnval, a konvexitst egy egyszerpldn mutatjuk meg.

M.1. pelda. Nincs konvexits nincs fixpont. Legyen X egy skbeli krgyr,melynek pontjaira teljesl 1 x21 + x22 4. Legyen f a krgyr 90o-os elforgatsaaz orig krl. X korltos s zrt (de nem konvex), f folytonos, f(X ) = X , de f -neknyilvn nincs fixpontja. (Az x21 + x22 4 krlemeznl 0 = f(0) lenne a fixpont!)

M.2. pelda. A kztes rtk ttele. Skalr fggvny esetn (n = 1) az M.1. ttela jl ismert Bolzano-ttelre vezet. Valban, ekkor X = [a, b], s az f(x) x fggvnya-ban nem negatv, b-ben nem pozitv, azaz egy kzbls xo X helyen nulla, azaz xofixpont.

M.3. pelda. Homogn vges llapot Markov-lnc (Rnyi, 1966). Legyen I azllapotok szma, mij annak a feltteles valsznsge, hogy a j-edik llapotbl a rend-szer az i-edik llapotba kerl, s M = (mij) az tmenetmtrix. Az x = (x1, . . . , xI)vektor valsznsgi vektor, ha x 0 s Ii=1 xi = 1. Ekkor y = Mx is valsznsg-vektor. Egy x valsznsg-vektor a Markov-lnc stacionrius pontja, ha x = Mx,azaz x az M lekpezs fixpontja. A teljes valsznsg ttele szerint

Ii=1mij = 1

minden j-re, teht M -nek az 1 = (1, . . . , 1) sszegzvektor 1 sajtrtk bal oldali sa-jtvektora, teht van 1 sajtrtk jobb oldali sajtvektora, ppen a stacionrius pont.Az M mtrixra vonatkoz szigorbb feltevsek esetn (van olyan k termszetes szm,amelyre Mk > 0) ppen a FrobeniusPerron-ttel alapjn addik, hogy a stacionriuspont valsznsgi vektor.

Ekkor az is belthat, hogy az xt+1 = Mxt iterci tetszleges x0 kezdllapotraaszimptotikusan tart az egyetlen x stacionrius llapothoz.

36

K. Kzgazdasgi fggelk

A 2. s a 6. fejezetben mr rintettk a preferenciarendezs s az t reprezentlhasznossgfggvny fogalmt.

A NeumannMorgenstern fle hasznossgfggvny

Fltesszk, hogy adott egy preferenciarendezs, amely nemcsak biztos djakon, hanembizonytalan kimenetel lottk halmazn (jele L) is rtelmezve van. A fogyaszt p val-sznsggel x-et, 1p valsznsggel y-t kap, szimbolikusan: pox+(1p)oy. A dj lehetpnz, ru st, lott. Fltesszk, hogy 1) az 1 valsznsg nyeremny azonosthat abiztossal, 2) a djak felsorolsi rendje kzmbs, s 3) a fogyaszt szmra kzmbs avalsznsgek csomagolsa, azaz

qo(pox+ (1 p)oy) + (1 q)oy (qp)ox+ (1 qp)oy.A tbbeslyes lott visszavezethet a kteslyes lottra. Lssuk pl. a hromeslyes

lott visszavezetst:

pox+ qoy + (1 p q)oz (p+ q)o(

p

p+ qox+

q

p+ qoy)+ (1 p q)oz.

A kzgazdasgtanban alapvet szerepet jtszik a vrt hasznossgon alapulNeumannMorgenstern fle hasznossg-fggvny, amely egy preferenciarendezst spe-cilisan reprezentl:

Clok: (i) Monotonits a preferencia-rendezs s az u hasznossgfggvny kztt:

Ha x y, akkor u(x) u(y).(ii) (Vrhat hasznossg). A kombinci hasznossga a hasznossgok kombincija:

u(pox+ (1 p)oy) = pu(x) + (1 p)u(y).Kiegszt aximkC1. Azoknak a p valsznsgeknek a halmaza, melyekre pox+(1 p)oy z, zrt.

Ugyanaz pox+ (1 p)oy z-re.C2. Ha kt dj kztt a fogyaszt kzmbs, akkor egy harmadik dj azonos val-

sznsg hozzkeverse utn is fnnmarad a kzmbssg:

Ha x y, akkor pox+ (1 p)oz poy + (1 p)oz.C3. L-ben van legjobb s legrosszabb dj: b s w. Azaz minden x L-re b x w.K.1. tetel. Az aximk teljeslse esetn ltezik s lnyegben egyrtelmen

meghatrozott az NM-hasznossgfggvny.

Bizonyts-vzlat. Normls: u(w) = 0 s u(b) = 1. Konstrukci: Legyenb z w, ekkor C1 szerint ltezik egy pontosan olyan pz valsznsg, amelyrepzob + (1 pz)ow z. Ekkor (ii) folytn u(z) = pzu(b) + (1 pz)u(w) = pz. El-lenrzs (szmolssal): kielgti a vrhat hasznossg felttelt s monoton.

Megjegyzes. A bizonyts nagyon hasonlt a 3.2. ttel 2. megjegyzsben eml-tett Debreu-fle ttel bizonytshoz, azonban a jelen ttel 1947-bl szrmazik, Debreu-pedig 1954-bl!

37

Kockzatkedvels vagy kockzatkerls

Az NM-fle hasznossgfggvny nem ekvivalens a pnzben kifejezett nyeresggel, hiszennem a vrhat pnzre, hanem a vrhat hasznossgra vonatkozik az additivits.

K.1. pelda. A lottjtkos alkalmanknt 200 Ft-os biztos kiadssal jut hozz egyolyan szelvnyhez, amelynek vrhat rtke kb. 60 Ft. Viszont a kis valsznsg nye-resg olyan nagy, hogy hetente tbb milli szelvnyt vesznek 10 millis orszgunkban.

Defincio. Egy szemlyt kockzatkedvelnek/kockzatkerlnek neveznk, haelutast/elnybe rszest egy biztos pnzdjat egy olyan lottval szemben, amelynek amatematikai vrhat rtke azonos vele:

pu(x) + (1 p)u(y) > u(pox+ (1 p)oy) : kockzatkedvel,

pu(x) + (1 p)u(y) < u(pox+ (1 p)oy) : kockzatkerl.A tovbbiakban kockzatkerl egynekkel foglalkozunk, hiszen a normlis esetek-

ben ez fontosabb, mint a msik.

K.2. tetel. Egy dntshoz akkor s csak akkor kockzatkerl, ha az u hasz-nossgfggvny szigoran konkv (u < 0).

Bizonytas. Szigoran konkv u fggvnyek egyik tulajdonsga (a Jensen-egyenltlensg) szerint kt klnbz x 6= y pontot sszekt hr vgig a fggvnygrbealatt helyezkedik el: tetszleges 0 < p < 1 esetn

pu(x) + (1 p)u(y) < u(px+ (1 p)y).

K.2. pelda. (Daniel Bernoulli szentptervri paradoxona 1735-bl.) Fej-vagy-rst jtszunk addig, amg elszr nem nyernk. Az n-edik lpsben 2n a tt. A vrhatpnznyeresg 1, de a vrhat tkeigny vgtelen. Ha a hasznossgfggvny konkv skorltos, akkor a jtk rtke vges.

Defincio. (Pratt (1964) s Arrow (1965).) Ha w a fogyaszt gazdagsga, akkora kockzatkerls abszolt s relatv egytthatja

a(w) = u(w)u(w)

s r(w) = wa(w).

A kvetkezkben bebizonytjuk, hogy a(w) valban az abszolt kockzattal kapcsolatos,(angolul: Absolute Risk Aversion, rvidtse ARA). Tegyk fl, hogy az u hasznossg-fggvny w gazdagsg fogyaszt egy p valsznsg x nyeremnyrt a q = 1 pvalsznsg y(x) maximlis vesztesget hajland elviselni.

38

K.3. tetel. a) A vesztesg/nyeremny arny a nulla hatrrtknl egyenl anyersi-valsznsg/vesztsi-valsznsg arnyval:

y(0) =p

q.

b) Adott nyersi-valsznsg esetn a maximlis vesztesg msodik derivltja ar-nyos a Pratt-fle abszolt kockzatkerlsi egytthatval:

y(0) =p

q2a(w).

Bizonytas. a) A kzmbssgi felttel szerint

pu(w + x) + qu(w y(x)) = u(w).Differenciljuk az azonossgot x szerint:

pu(w + x) qu(w y(x))y(x) = 0.Loklisan vizsgldva (x = 0) addik az els arnyossg. b) Mgegyszer differenciljukaz azonossgot x szerint s x = 0-t vve:

pu(w) + qu(w)y(0)2 qu(w)y(0) = 0.Behelyettestve az y(0)-ra kapott kpletet, addik

y(0) = pu(w)

q2u(w).

K.3. pelda. lland abszolt kockzatkerlsi egytthat (CARA): u(w) =Aew.

K.4. pelda. lland relatv kockzatkerlsi egytthat (CRRA): u(w) =A1w, ha < 1, 6= 0 s u(w) = A logw, ha = 0. (Ha u(w)-t nem szoroz-nnk be 1-gyel (vagy -val), akkor < 0-nl u(w) cskken fggvny volna!)

Megjegyzes. Ha nincs kockzatvllals ( = r(w) = ), akkor megsznik azadditivits, eltnnek a valsznsgek s u(x,y) = min(x,y).

Biztosts

Taln a biztosts a legegyszerbb plda a kockzatkerlsre. Biztostsi modellnkbenegy gyfl eredeti jvedelme w, amelyet a p valsznsg baleset wc < w-re cskkent.Mivel az gyfl hasznossgfggvnye W (w,w c) = pU(w c) + qU(w), q = 1 p sU konkv, az gyflnek rdemes a balesetmentes jvedelmt cskkentenie, hogy balesetesetn megmarad jvedelmt nvelje. A biztost kzmbs a kockzattal szemben,szmra csak az fontos, hogy ne vesztsen az zleten (tkletes verseny s nulla kltsg).A b biztostsi dj ellenben a balesetet szenved gyfl k sszeg krtrtst kap, gy abiztostott fl feltteles jvedelme w b s w c b+ k. Az gyfl optimalizl: olyank-t vlaszt, amelynl W (w b,w c b+ k) minimlis. Biztost: b = pk.

Teljes biztostsrl beszlnk, ha k = c.

39

K.4. tetel. Teljes biztostsnl a biztostott biztosan megkapja a biztostsnlkli jvedelmnek vrhat rtkt, jlti vesztesge minimlis.

Bizonytas. A Jensen-egyenltlensg rtelmben W (w b,w c+ qk) = pU(wc+ qk)+ qU(w pk) > U [p(w c+ qk)+ q(w pk)] = U(w pc), ahol a minimumhelyw c+ qk = w pk, azaz ko = c.

Megjegyzesek. 1. A valsgban a biztostsnak van kltsge (d), st pi normlp-rofitot is kell hoznia, ezrt az ltalnos esetben b = pk helyett b = (pk + d)(1 + pi)ll.

2. Nagyon gazdag embernek vagy intzmnynek (llamnak) nem rdemes bizto-stst ktnie viszonylag kis krokra (pldul az osztrk llamnak a Burgra, a megyeiVolnnak a jrmveire), mert a biztost haszna nagyobb lenne, mint a tulajdonos koc-kzati vesztesge.

3. A biztosts tnye s a krtrts sszege nvelheti a baleset valsznsgt (pnvekv fggvnye k-nak), ezrt a problma bonyolultabb: clszer lehet csak rszlegesbiztostst nyjtani, k < c. Ezzel a krdssel az informcigazdasgtan foglalkozik.

40

O. Fggelk: A kolajr vltozsa

A kolaj a vilg legfontosabb nyersanyaga, s ralakulsa klnleges fontossg. 1960ta a legnagyobb olajexportl orszgok zme, Szaud-Arbival az len rkartelltalkotnak OPEC nven (Organization of Petrol Exporting Countries). (Szovjetu-ni/Oroszorszg, Kanada s Norvgia nem tagja az OPECnek!) Az olajr vadul ugrlfel-le, s a kvetkez tblzat a fontosabb fordulkat mutatja be, lland (2009-es ron,hordnknt, 159 liter).

O.1. tblzat Az olajrak ingadozsa s kls oka, 2009-es dollr

v r/hord Esemny

1970 10 Olcs olaj korszaka1974 50 Els olajembarg1980 96 Irak megtmadja Irnt1985 28 Az embarg vgleg sszeomlik1990 39 Irak megtmadja Kuvaitot1998 17 zsiai vlsg2008 97 Vihar eltti csend (jliusi cscs: 146 dollr)2009 62 sszeomls2010 80 Rszleges felpls

Forrs: HVG, 2010. december 25, 127. o.

41

FELADATOK

A. Fogyaszts

A.1. feladat. Igazoljuk, hogy az U(X,Y ) = XY , (0 , 1) fggvny a)akkor s csak akkor konkv, ha + 1; b) szintvonalai mindig konvexek! (Kvzi-konkv fggvny nem mindig konkv!)

A.2. feladat. Legyen a fogyaszt jvedelme 10 Ft, az X jszg ra 1 Ft s az Y-2 Ft. Legyen a fogyaszt hasznossgfggvnye U(X,Y ) = X + Y . a) Hatrozzuk mega fogyaszt optimlis dntst! b) Hogyan vltozik a dnts, ha X ra fokozatosan n1-rl 3 Ft-ra? c) Tegyk fl, hogy az a) esetben a vev mindkt jszgbl legfeljebb4 egysget vehet (korltozs). Mi lesz az j optimum? d) A helyettestsi- vagy ajvedelmi hats nagyobb, ha a b) esetben PX 1,5 Ft-ra n?

A.3. feladat. a) 1987-ben Magyarorszgon a dollr hivatalos rfolyama Ph = 50Ft/$, amelyen minden magyar llampolgr vi 100 $-t vehet forintrt. Mivel a fogyasztsszesen I = 11000 Ft-ot szn dollrvtelre, maradk jvedelmvel a feketepiacon t-maszt keresletet. Itt az egy fogyasztra jut vi knlat Sf = (PfPh), ahol = 102/Fts Pf a feketepiaci rfolyam. Mekkora a feketepiac rfolyama s forgalma? b) Hogyancskkentheti az llam a feketepiaci rfolyamot 55 Ft/$-ra (i) a hivatalos knlat, ill. (ii)a hivatalos rfolyam vltoztatsval?

A.4. feladat. letciklus. a) Tegyk fl, hogy egy egynD+1 vig l, i ves korbana fogyasztsa ci, keresete wi. rjuk fl az letplya-kltsgvetsi felttelt, ha R = 1 + ra kamattnyez! b) Legyen az letplya-hasznossgfggvny U =

Di=0

i log ci, ahol0 < 1 az idszaki leszmtolsi tnyez! Hatrozzuk meg az optimlis fogyasztsiplyt!

A.5. feladat. Tegyk fl, hogy a kv irnti kereslet rfggvnye D = I/P 3.Szmtsuk ki a kereslet r- s jvedelem-rugalmassgt, ha I = 10000 Ft s P = 400 Ft!

B. Termels

B.1. feladat. Egy vllalat termelsi fggvnye Q = K0,5L0,5, ahol K s L azalkalmazott tke s munka mennyisge. Egysgnyi tke s munka dja egyarnt 1000Ft.

a) Ksztsnk tblzatot a rvid tv teljes kltsgrl K = 1; 2; 3 s Q = 1; 2; 3esetre! b) Hatrozzuk meg a hossz tv teljes kltsget Q = 1; 2; 3 esetre!

B.2. feladat. Tegyk fl, hogy egy orszg termelsi fggvnye Q = 10K0,25L0,75,K = 16 s L = 1. a) Mekkora az optimlis tkedj, ill. munkabr a termkr fggv-nyben? b) Mekkora a tke, ill. a munka rszesedse az ssztermkbl?

B.3. feladat. Legyen egy vllalat termelsi fggvnye Q = min(K,2L), ahol Qa termk, K a (rvid tvon adott) tke s L a (rvid tvon is vltoztathat) munkamennyisge. Egysgnyi tke s munka dja 1, ill. 4 Ft. a) Ksztsnk tblzatot arvid tv teljes kltsgrl K = 1; 2; 3 s Q = 1; 2; 3 esetre! b) Hatrozzuk meg ahossz tv teljes kltsget Q = 1; 2; 3 esetre! c) Szmtsuk ki a rvid- s hossz tvhatrkltsgeket!

B.4. feladat. Tegyk fl, hogy egy vllalat kltsgfggvnye TC(Q) = a + bQ +cQ2, ahol a, b s c pozitv llandk. Bizonytsuk be, hogy kltsgminimalizlsnlAC = MC!

42

C. Verseny, monoplium s duoplium

C.1. feladat. Egy tkletes verseny jellemezte ipargban sok egyforma cg ltezik.Hossz tv optimlis kibocstsuk qi = 20, minimlis egysgkltsgk 10 $. A piacikereslet Q = 1500 50P . a) Mi az iparg hossz tv knlati grbje? b) Mekkoraa hossz tv egyenslyi r (P o), az iparg kibocstsa (Qo), az egyes vllalatok ki-bocstsa (qo), a vllalatok szma (n) s profitjuk (pii )? c) Az egyes vllalatoknak ahossz tv optimlis kapacits melletti rvid tv teljes kltsge C = 0,5q210q+200.Szmtsuk ki a rvid tv tlag- s hatrkltsgeket! Hol lesz az els minimlis?

C.2. feladat. Egy monopolista piacon a keresleti grbe Q = 4/P 2 s a teljeskltsg TC = 1 +Q2/2. Szmtsuk ki a monopolista kibocstst, rt s profitjt!

C.3. feladat. Tegyk fl, hogy egy lgitrsasg monopolizlja a New York sLondon kzti lgiutazst. Egy utas egyirny szlltsnak kltsge 200 $. Kt tpusutas van: 1. a turista s 2. az zletember. A turista tartzkodsi ideje 2 ht s 3 hnapkztt mozog, az zletember ennl rvidebb vagy hosszabb. A turista/az zletemberkeresleti fggvnye Qi = aibiPi, i = 1; 2, ahol a1 = 4 107, b1 = 105/$ s a2 = 2,4 106,b2 = 2 103/$. a) Szmtsuk ki a monopolista rait, forgalmt s profitjt, ha sikerlkln rat felszmtania a kt osztlynak! b) Mi trtnik, ha minden utasnak azonosrat szmthat fl? c) Mekkora lenne az r, ha a monopliumot a szabad verseny vltanfl?

C.4. feladat. Kt vllalat 20, ill. 5 Ft egysgkltsggel llt el egy termket. Aduopl piac keresleti fggvnye Q = 100 2P . Hatrozzuk meg a kt vllalat egyen-slyi kibocstst, a piaci rat s a profitokat, feltve, hogy a kt vllalat egymstlfggetlenl optimalizl!

D. ltalnos egyensly

D.1. feladat. Kovcs hasznossgfggvnye U1(X1, Y1) = min(2X1, Y1) s Nagyhasznossgfggvnye U2(X2, Y2) = X2+2Y2. Kezdeti sszgazdagsguk Xo = 300 = Y o.a) Hatrozzuk meg az Edgeworth-szerzdsgrbt (figyelembe vve a sarokoptimumo-kat)! b) Tegyk fl, hogy Kovcs kezdeti gazdagsga Xo1 = 200, Y o1 = 100. Hatrozzukmeg az optimlis cserk grbjt!

D.2. feladat. Kovcs hasznossgfggvnye U1(X1, Y1) = X21Y1 s Nagy hasznos-sgfggvnye U2(X2, Y2) = X2 + Y2. Kezdeti sszgazdagsguk Xo = 100 s Y o = 200.a) Hatrozzuk meg az Edgeworth-szerzdsgrbt (figyelembe vve a sarokoptimumo-kat)! b) Tegyk fl, hogy Kovcs kezdeti gazdagsga Xo1 = 0, Y o1 = 100. Hatrozzukmeg az optimlis cserk grbjt!

D.3. feladat. Kovcs hasznossgfggvnye U1(X1, Y1) = X1 Y1 s Nagy hasz-

nossgfggvnye U2(X2, Y2) = X2 Y

2 . Kezdeti sszgazdagsguk Xo > 0 s Y o > 0.

a) Hatrozzuk meg az Edgeworth-szerzdsgrbt! b) Tegyk fl, hogy Kovcs kezdetigazdagsga 0 < Xo1 < Xo, 0 < Y o1 < Y o1 . Hatrozzuk meg az optimlis cserk grbjt!

D.4. feladat. a) Legyen egy zrt gazdasg termelsi lehetsgeinek halmazaX2 + Y 2 100. A fogyaszt hasznossgfggvnye U(X,Y ) = min(2X,Y ). Mennyi azoptimum? b) Tegyk fl, hogy az orszg bekapcsoldik a vilgpiacba, ahol PX/PY = 3a vilgpiaci rarny. Hogyan mdosul az optimlis kibocsts s fogyaszts?

D.5. feladat. Tegyk fl, hogy egy gazdasgnak egyetlen (szks) termelsi t-nyezje van: a munka, melynek segtsgvel kt termket llt el: egysgnyi lelemhez

43

(E) s iparcikkhez (I) 2, ill. 1 egysg munka kell. A gazdasgban sszesen 300 egysgmunka van.

a) llaptsuk meg az orszg termelsi lehetsgeinek a hatrt!b) Legyen az orszg fogyasztinak hasznossgfggvnye U(E, I) = E2I. Zrt gaz-

dasg esetn mi az optimlis kibocsts, ill. - rrendszer?c) Tegyk fl, hogy az orszg bekapcsoldik a vilgpiacba, ahol PE/PI = 0,5 a

vilgpiaci rarny. Hogyan mdosul az optimlis kibocsts s fogyaszts?D.6. feladat. a) Legyen a zrt A s a B gazdasg termelsi lehetsgeinek halmaza

X2A + 4Y2A 400, ill. XB + YB 100. Legyen az A s a B fogyaszt hasznossgfgg-

vnye UA(XA, YA) = XAYA, ill. UB(XB, YB) = min(4XB, YB)! Mennyi a kt orszgoptimuma?

b) Tegyk fl, hogy a kt orszg kereskedni kezd egymssal! Hogyan mdosul azoptimlis kibocsts?

c) Hogyan mdosul az optimlis fogyaszts?D.7. feladat. Egyttl nemzedkek (v. A.4). a) Mindenki 2 idszakig l: fiatal

s ids, fogyasztsa c0, ill. c1, keresete w0, ill. w1. Ha R a kamattnyez, akkor azletciklus-feladat alapjn rjuk fl az optimlis fogyasztst! b) rjuk fl a megtakartsiegyenslyt, feltve, hogy minden idsre > 0 fiatal jut! c) Mennyi az egyenslyikamattnyez?

E. Gyakorlati krdsek

E.1. feladat. Magyarzzuk meg a monopolista rdiszkriminci elmlete alapjn,hogy mirt olcsbb a minimlis s maximlis tartzkodsi idt megkvetel menettrtirepljegy, mint kt egyirny jegy (st, mint egy egyirny jegy).

E.2. feladat. A mikrokonmia melyik rszvel s hogyan lehet megmagyarzniaz OPEC tndklst s bukst?

E.3. feladat. Tegyk fl, hogy annak idejn egy szocialista gazdasgban a kor-mny bevezette volna a kvetkez lakbrreformot: a) a lakbreket megemelte volna aburkolt lakbrtmogatsok sszegvel, b) a nyilvnoss tett tmogatsokat csaldlt-szm szerint osztotta volna el. Mi trtnt volna?

E.4. feladat. Hogyan lehet mikrokonmiailag megmagyarzni, hogy a szocialistagazdasgban az llami iparban az rabr sokkal alacsonyabb volt, mint a magniparban?Ma ugyanez a hazai s klfldi tulajdonban lv vllalatokra rvnyes.

E.5. feladat. Hozzunk pldt olyan monopliumokra, amelyek hasznosak a fo-gyasztra!

E.6. feladat. Hozzunk pldkat olyan rszpiacokra, ahol a magyar gazdasgbanszabadabb verseny van, mint pl. az amerikaiban!

Matematikai fggelk

M.1. feladat. Kzvetlenl igazoljuk az M.1. ttelt n = 2-re!

Kzgazdasgi fggelk

K.1. feladat. Racionlis lenne-e az a szemly, aki egy alkalommal kb. 44 millilottszelvnyt venne, hogy biztos ttallatosa legyen?

K.2. feladat. Bizonytsuk be, hogy CARA-nl a(w) = s CRRA-nl r(w) =1 .

44

K.3. feladat. Egy ember vagyona w, ebbl autjnak rtke c < w. Legyen pannak az esemnynek a valsznsge, hogy autjt egy v alatt ellopjk. a) Mekkoralehet a maximlis biztostsi dj, amit a biztostott hajland kifizetni (i) egy teljes, illetve(ii) egy c k-nrszeseds biztostsrt, ahol csak k < c a krtrts? b) Szmolja kiaz (i) feladatot, ha U(w) =

w, w = 1,5 mFt, c = k = 1 mFt s p = 0,03, ill. a (ii)

feladatot, ha k = 0,9 mFt!

MEGOLDSOK

A. Fogyaszts

A.1. feladat. a) Az U(X,Y ) fggvny akkor s csak akkor konkv, ha U XX 0,U Y Y 0 s U XXU Y Y U XY 2 0 teljesl. Szmtsuk ki a szban forg msodrendparcilis derivltakat! U XX = ( 1)X2Y , U Y Y = ( 1)XY 2, U XY =X1Y 1. 1 miatt U XX 0, 1 miatt U Y Y 0. Behelyettestssel:U XXU

Y Y U XY 2 = X2(1)Y 2(1)((1)(1)), amely arnyos +1-

gyel. Ez utbbi pozitivitsa ekvivalens + 1-gyel. b) A c > 0 llandhoz tartozszintvonal implicit egyenlete U(X,Y ) = XY = c, explicit egyenlete Y = bX/ ,ahol b > 0 egy alkalmas lland. Szintvonal-fggvnynk akkor s csak akkor konvex,ha Y (X) nvekv