Simonovits Andrs:BME TTK, Matematikai Intzet

MATEMATIKAI MDSZEREK

A DINAMIKUS KZGAZDASGTANBAN

MTA, Kzgazdasgtudomnyi Intzet

1

TARTALOMJEGYZK

Elszk 5

Bevezets 8

I. RSZ. DINAMIKA OPTIMALIZLS NLKL 18

1. Differenciaegyenletek: alapfogalmak s lineris rendszerek 19

1.1. Alapfogalmak 191.2. ltalnos lineris rendszerek 241.3. Skbeli lineris rendszerek 321.4. Lineris szablyozsi rendszerek 35

2. Diszkrt idej lineris modellek 42

2.1. A lineris akcelertor-multipliktor modell 422.2.* A lineris indts-beruhzs modell 452.3. A lineris kszletjelzses modellpr 522.4.* Decentralizlt szablyozs vrakozsokkal 57

3. Nemlineris differenciaegyenletek 62

3.1. A fixpont ltezse s stabilitsa 623.2. Hatrciklusok 673.3. Kosz 69

4. Diszkrt idej nemlineris modellek 75

4.1. Szeszlyes nvekedsi ciklusok 754.2. A nemlineris akcelertor-multipliktor modell 774.3.* A nemlineris indts-beruhzs modell 794.4. A nemlineris kszletjelzses modell 864.5.* Nemlineris kszletjelzs vrakozsokkal 884.6. Vegyes vrakozsok 924.7. Tanulsgok 96

2

5. Kznsges differencilegyenletek 98

5.1. Alapfogalmak 985.2. Lineris rendszerek 1035.3. Nemlineris rendszerek 1085.4. Szablyozs folytonos idben 111

6. Folytonos idej modellek 113

6.1. Nvekedsi modellek 11136.2.* A kormnyzati stabilizls modellje 1166.3. A versenyzi rigazods modellje 118

II. RSZ. DINAMIKA OPTIMALIZLSSAL 125

7. Dinamikus programozs s szablyozselmlet 126

7.1. A determinisztikus optimumelv 1267.2. A sztochasztikus optimumelv 1347.3. Optimlis LQ-szablyozs teljes megfigyelsnl 1357.4.* Optimlis llapotbecsls s szablyozs tkletlen megfigyelsnl 137

8. A dinamikus programozs alkalmazsai 141

8.1. Optimlis megtakarts 1418.2. Optimlis felhalmozs 1448.3. A nagy halhbor 148

9. Optimlis folyamatok (szablyozs) elmlete 151

9.1. Alapfeladat 1519.2. Variciszmts 1559.3. Kiegsztsek 158

10. Optimlis fogyasztsi plyk 163

10.1. Egzogn br s kamat 16310.2. Endogn br s kamat, vgtelen idtv 16710.3. Vges idtv, lland termels-tke hnyados 170

3

FGGELKEK 176

A. fggelk. Lineris algebrai kiegszts 177

B. fggelk. Egyttl nemzedkek 186

B.1. Egy OLG-cseregazdasg 186B.2. Termel OLG-gazdasg 194B.3. Nyugdjrendszerek s tkefelhalmozs 197B.4. A pnz mint csereeszkz egy OLG-modellben 198B.5. Tanulsgok 200

C. fggelk.* Egyttl korosztlyok 202

C.1. Egy OLC-cseregazdasg 202C.2. llandsult llapotok 211C.3. Endogn ciklusok racionlis vrakozsokkal 214C.4. Dinamika racionlis vrakozsokkal 219C.5. Dinamika naiv vrakozsokkal 226C.6. Kt tb-rendszer sszehasonltsa 232

D. fggelk. Optimlis nyugdjjradk tervezse 235

E. fggelk. tmenet s foglalkoztatottsg 243

Feladatmegoldsok 250

Irodalomjegyzk 259

Trgymutat

4

ELSZ AZ ELS KIADSHOZ

Kutati plym kezdetn, 1973-ban kezdtem foglalkozni dinamikus kzgazdasgi mo-dellekkel, s kisebb-nagyobb kitrkkel azta is ezen a terleten dolgozom. Kt vtizedalatt legalbb hrom dinamikai tmakrt tanulmnyoztam: (i) 1973 s 1981 kztt azrjelzsnlkli szablyozs tmakrt vizsgltam, (ii) majd 1982 s 1991 kztt a szoci-alista gazdasg nvekedsi problmit s ciklusait elemeztem. (iii) Jelenleg az egyttlnemzedkek s korosztlyok elmlett kutatom, ahol tovbbra is dinamikus (vagy azzalhatros) krdsekkel foglalkozom.

Amita 1988 krl megkezdtem a Budapesti (akkor mg Marx Kroly) Kzgaz-dasgtudomnyi Egyetemen dinamikus kzgazdasgtani eladsaimat, szomoran ta-pasztalom, hogy egyetemi tanulmnyaik alatt a hallgatk milyen keveset hallanak adinamikus kzgazdasgtanban szksges matematikai mdszerekrl: differencil- s k-lnsen differenciaegyenletekrl, nem is beszlve a dinamikus optimumszmtsrl. Fo-kozatosan megrleldtt bennem az igny: j lenne megismertetni az rdekld dikokatazokkal az alapvet matematikai mdszerekkel, melyekre a dinamikus kzgazdasgtan-ban szksg van. Vagy kifordtva a gondolatot: bemutatni azokat a dinamikus kzgaz-dasgi modelleket, ahol a legfontosabb matematikai mdszerek sikerrel alkalmazhatk.

1993-ban a Rajk Lszl Szakkollgium elfogadta plyzatomat, s Soros Gyrgyanyagi tmogatsval rmmel vgtam a feladatnak: nekilttam egy jegyzet megr-snak, melynek javtott (de tvolrl sem vgleges) vltozatait 19931997-ben a BKEdoktori program I. s II. vfolyama, illetve 1996-ban a BKE tdves hallgatinak ad-tam el.

Az zelt ksztsnl szabadon klcsnztem magamtl s ms szerzktl term-szetesen a forrsok feltntetsvel s az anyagok tszabsval. A matematikai s kz-gazdasgi fejezetek kvetkezetes vltogatsval Chiang (1984) bevezet jelleg, valamintStokey s Lucas (1989) nagyon halad szint knyvt kvettem, azonban igyekeztemkzpszinten maradni. Egyrszt be akartam mutatni a nagyon hatkony mdszereketnmi ltalnossgban. Msrszt lemondtam a funkcionlanalzis, a mrtkelmlet sms magasabb matematikai elmletek s kzgazdasgi alkalmazsaik bemutatsrl.Csak az Olvas dntheti el, hogy mennyire sikerlt e ksrlet.

Munkahelyemen s vendgkutati posztjaimon szmos kollga volt hatssal rm.Elsknt Kornai Jnost emltem meg, aki a szablyozselmlet s a szocialista mak-rodinamika tmakrbe vezetett be. Hszves egyttmkdsnkrl szmos rszbena knyvben is trgyalt kzs cikk tanskodik. Cars Hommes s Helena Nusse aszocialista gazdasg kaotikus modelljnek kzs kutatsa kzben szinte bevezettek a

5

nemlineris dinamika modern fejezetbe. Molnr Gyrgy az egyttl korosztlyok mo-dellezsben volt trsszerzm.

Sokat ksznhetek Brdy Andrsnak, Kapitny Zsuzsnak, Michael Lovell-nek sMartos Blnak az rjelzs nlkli szablyozs, Bagdy Gbornak, Bauer Tamsnak,John Burkett-nek, Chikn Attilnak, Halpern Lszlnak, Lack Mrinak, MolnrGyrgynek, s Sos Kroly Attilnak a szocialista ciklusok, vgl Augusztinovics Mri-nak, Johann Brunnernek s Eduardo Siandrnak az egyttl korosztlyok kutatsnlnyjtott segtsgrt.

Az optimalizlson alapul dinamikus modellekre Ambrus-Lakatos Lornd, KertesiGbor s Leonard Mirman hvta fl a figyelmem. Ksznetem fejezem ki Balla Ka-talinnak, Darvas Zsoltnak, Es Pternek, Kocsis Viktrinak, Magyarkti Gyulnak,Romhnyi Balzsnak, Szab Imrnek, Tallos Pternek s Vincze Jnosnak a kziratkorbbi vltozatainak gondos tnzsrt, Zalai Ernnek s Michael Landesman-nak t-mogatsukrt s szmos tovbbi hallgatmnak a hibk gyomllsrt. Termszetesenaz emltett szemlyek a knyv tartalmrt s a benne marad hibkrt semmikppensem felelsek. Utoljra, de nem utolssorban itt ksznm meg Simonovits Miklsnak,hogy sajt kszts programjaival lehetv tette, hogy csf Word 5.0 dokumentumomatelegns TEXanyagg formljam.

Itt fejezem ki hlmat a kutats anyagi s erklcsi elsegtsrt munkahelyemnek(az MTA Kzgazdasgtudomnyi Intzetnek), az OTKAnak (T 6919 s 019696), a M-veldsi s Kulturlis Minisztrium MKM 242/199697 sz. tmogatsnak, valamint akvetkez intzmnyeknek: a belga CORE, Louvain-la-Neuve; az olasz Modenai Egye-tem; az amerikai University of Illinois at UrbanaChampaign s Wesleyan University,CT; a holland Groningeni Egyetem s a Tilburgi Egyetem (CentER), vgl az osztrkLinzi Egyetem.

Ksznettel tartozom a Kzgazdasgi s Jogi Knyvkiad kollektvjnak, hogymindent megtett a knyv sikeres megjelentetsrt.

rmmel veszek minden konstruktv megjegyezst a kvetkez cmen: mail: simo-nov@econ.core.hu .

Budapest, 1998. mjus

A szerz

6

ELSZ A MSODIK KIADSHOZ

Knyvem msodik kiadsban megtartottam az eredeti szerkezetet, szerkezeti vl-toztatst csak a 4. fejezet utols eltti, d-vrakozsokkal foglalkoz alfejezetnek beik-tatsa, a 8.1. s 8.2. alfejezet felcserlse, a 8.3. alfejezet trlse s egy j, D. s E.fggelk rsa jelent? ez utbbi anyagok trsszerzi Es Pter, illetve a a nhai Ballakatalin s Kll Jnos. A legtbb helyen megtartottam az eredeti szveget, alaposab-ban csupn a 7.1., a 8.2. alfejezetet s a B. fggelket vltoztattam meg. Ezenkvligyekeztem az elrsokat kikszblni.

Ksznetet mondok a CEU Kzgazdasgi Tanszknek s a BME Matematikai In-tzetnek, hogy lehetv tettk e trgy oktatst, valamint hallgatinak, akik megjegy-zseikkel az 1998. szi flvben eladott II. rsz javtshoz hozzjrultak.

Budapest, 2006. szeptember

A szerz

7

BEVEZETS

Ebben a knyvben viszonylag egyszer dinamikus kzgazdasgi modelleket mutatok be,az egyes modellek tanulmnyozsa eltt azonban ismertetem a szksges matematikaimdszereket. Az egymst kvet matematikai s kzgazdasgi fejezetek prokat al-kotnak: minden matematikai (pratlan sorszm) fejezet elkszti a kvetkez (prossorszm) fejezet(ek)ben szerepl kzgazdasgi modellek trgyalst. A hrom fgge-lkbl az A. fggelk matematikai, a B. s C. fggelk kzgazdasgi jelleg. Ezenkvlmind a matematikai, mind a kzgazdasgi fejezetek egymsra plnek. Ez a felptsmegvja az Olvast attl, hogy a kzgazdasgi modellek tanulmnyozsa kzben kelljenmegismerkednie j matematikai fogalmakkal s ttelekkel. Ugyanakkor az Olvasnak akzgazdasgi rszek olvassa eltt el kell hinnie, hogy a matematikai eszkzkre szksgelesz.

A knyvben nem trekszem teljessgre, inkbb zeltt adok az ltalam alapvetnektartott dinamikus krdsekrl. Ugyanakkor igyekszem felkutatni az sket, s lehetlegmegjellni a forrsokat. A knyv tartalmrl a tartalomjegyzk eligazt, ebben a beve-zet fejezetben inkbb a legfontosabb sajtossgokat prblom kidombortani.

KRDSKRK

A Bevezetsben elszr ttekintjk a legfontosabb krdskrket: statika vagy dina-mika, diszkrt vagy folytonos id, optimalizljunk vagy sem, szablyozselmleti keret,stabilits s mkdkpessg, linearits vagy nemlinearits, determinisztikus vagy szto-chasztikus modellek, vrakozsok, vges vagy vgtelen let fogyaszt, sszevont vagyrszletezett modellek, elegancia vagy relevancia, kritikai szemllet.

Statika vagy dinamika

A hagyomnyos matematikai kzgazdasgtan bevallottan statikus: klnbz id-pontokra vagy idszakokra vonatkoz vltozk nem szerepelnek benne. Pldul az l-talnos egyenslyelmlet alapmodelljben (Arrow s Debreu, 1954) a kereslet, a knlats az rvektor egy idpontra vonatkozik. Vannak olyan kvzidinamikus modellek, ame-lyekben klnbz idpontokra vagy idszakokra vonatkoz vltozk szerepelnek, detrivilisan vannak vagy egyltaln nincsenek sszekapcsolva (pldul a Neumann-modellegyenslyi volumen- s rplyja; Neumann, 1938). A valsgos gazdasg azonban dina-

8

mikus klnbz idpontokra vagy idszakokra vonatkoz vltozk kapcsolatban llnakegymssal (Frisch, 1933). Ebben a knyvben dinamikus krdseket vizsglunk.

Diszkrt vagy folytonos id

Mind a matematikt, mind a kzgazdasgtant vgigksri a diszkrt s folytonos idfel-fogs kettssge. A kznapi s a fizikai idfelfogs a folytonosnak kedvez, a mr- sszmteszkzk a diszkrtnek. Az idbeli folyamatok matematikai elmletei ltalbanfolytonos idvel dolgoznak. Alapeszkzk a (kznsges) differencilegyenlet; amelybenaz id a fggetlen vltoz, s a fgg vltozk s id szerinti derivltjaik egy egyenletrend-szerben szerepelnek. Pldul a matematikai inga egyenletben a gyorsuls (a helyzetmsodik derivltja) kzeltleg a helyzet ellentettjvel arnyos. A numerikus analzisviszont szksgszeren diszkrt idvel (lpsszmmal) dolgozik, s a differenciaegyen-letre tmaszkodik: itt is az id a fggetlen vltoz, s a fgg vltozk s id szerintiklnbsgi hnyadosaik, vagy eltoltjaik szerepelnek egy egyenletrendszerben. Pldulves kamatozs esetn a tke s nvekmnye (a kamat) kztt az ves kamatlb te-remt kapcsolatot. rdekes mdon a differenciaegyenletek elmlete kaleidoszkpszerbb(kaotikusabb), mint a differencilegyenletek (lsd ksbb). Kezd szmra viszont job-ban hozzfrhet, hiszen a differencilegyenletekkel ellenttben, a differenciaegyenletekmegoldsnak ltezse s egyrtelmsge magtl rtetd.

Az els dinamikus kzgazdasgi modellekben egyarnt fllelhet a diszkrt s foly-tonos idej megkzelts (pldul Samuelson, 1939a s 1941). St, az zleti ciklusok elsmodelljei a kt megkzeltst egyestve, kevert (diszkrt s folytonos idej) egyenleteketalkalmaztak (Frisch, 1933).

Azta mr mindkt megkzeltsnek kiterjedt irodalma van. Ennek megfelelen aknyv is mindkt megkzeltst tartalmazza. Clszertlen lenne azonban teljes mrtk-ben kifejteni e prhuzamot, ezrt a kzgazdasgi tartalomtl fggen hol ezt, hol azt amdszert mutatjuk be. (Ha azonban vlasztani kellene a kt mdszer kztt, akkor akzgazdasgtanban a diszkrt mdszert vlasztanm, mert a legfontosabb kzgazdasgifolyamatokra jobb kzeltst nyjt, mint a folytonos.)

Optimalizls nlkl vagy optimalizlssal

A dinamikus kzgazdasgtan kialakulsakor egyik modell sem tmaszkodott optimali-zlsra. Az els korszer dinamikus optimalizlsi modellek 1960 krl jelentek meg(Tinbergen, 1960) s sokig bksen egytt ltek optimalizls nlkli trsaikkal. Azoptimalizls nlkli modellek az utbbi idszakban egyre npszertlenebbek vltak,mert a dntshozk viselkedst nem racionlis dntsknt magyarzzk.

Szmos mrskelten modern knyv (pldul Blanchard s Fischer, 1989, 28. o.)kiegyenslyozott llspontot foglal el az optimalizls krdsben. Neoklasszikus ir-nyultsgunk nem jelenti azt, hogy csak azokat a makromodelleket tekintennk rvnyes-nek, melyek maximalizlson alapulnak...Azt hisszk, hogyha egy alapelveken alapulmodellre vrnnk, mieltt hajlandk lennnk a foly esemnyeket elemezni s gazdasg-politikai tancsokat adni, veszlyes utpit kvetnnk, amely a val vilgot a sarlat-nokra hagyja azok helyett, akik felismerik mindenkori tudsunk bizonytalansgait.

Az igazn modern knyvek viszont egyszeren kizrjk a kzgazdasgtan biro-dalmbl az optimalizls nlkli modelleket. Jellemz pldul Azariadis (1993, 4. o.)rtkelse Solow nvekedsi modelljrl, ahol Solow a megtakartsi hnyadot (a tapasz-

9

talattal sszhangban) idben llandnak felttelezte: Solow egy ad hoc feltevssel lt,s kevs ilyen slyos bn ltezhet egy magra ad kzgazdsz szmra.

Jmagam kzelebb llok a mrskelten modern, mint az igazn modern irny-zathoz, de mg a mrskelt irnyzatnl is jval kisebb jelentsget tulajdontok az opti-malizlsnak. Szmomra kzmbs, hogy a magatartsi egyenletek az letbl vannakellesve, vagy pedig fennklt clfggvnyek s kltsgvetsi felttelek nsznak gyml-csei. Vdelml hrom dolgot hozok fel: a) A fent emltett ttrk irnti tisztelet. b) Alegtbb dinamikus optimalizllsi modellben csupn egy dntshoz van, mrpedig jlismert, hogy ez milyen flrevezet feltevs (Kirman, 1992). Egybknt az optimalizlsifeltevs mindenhatsgt brl rvek mg mindig relevnsak (Kornai, 1971; Nelson sWinter, 1982; Anderson et al., 1988). St, Hildenbrand (1983) hatsosan rvel, hogy azegynileg nem optimalizl szereplk megfelel eloszlsa esetn az aggreglt viselkedslehet optimlis. c) Az optimalizls nlkli modelleket egyszerbb elmagyarzni, mintoptimalizcis trsaikat.

Ennek megfelelen a knyv kt rszre oszlik: az I. rszben nincs, a II. rszben vanoptimalizls. Pldul a szocialista gazdasg ciklusait (2.2. s 4.3. alfejezet) nehzvolna egyetlen dntshoz optimlis dntseknt lerni. Ugyanakkor egy szemly vagyegy trsadalom fogyasztsi plynak idbeli optimalizlsa rtkes hozzjruls lehetaz letciklus megrtshez.

Szablyozselmleti keret

A knyv gyakran alkalmazza a matematikai szablyozselmlet kereteit. Szablyozsirendszerrl beszlnk, ha a rendszert llapot- s szablyozsi vektorral jellemezzk, sfeltesszk, hogy az llapotvltozs vektora az llapotegyenletrendszeren keresztl fgg aszablyozsi vektortl. Taln a leggyakoribb szablyozsi mechanizmus a visszacsatols,amikor a szablyozsi vektor a pillanatnyi llapotvektortl fgg.

Msok mellett Kornai s Martos (1981a) meggyzen rvelnek e megkzelts el-nyei mellett. Szemlltetsl is az ltaluk szerkesztett knyvbl vlasztunk egy jellemzpldt: egy termk outputkszlet vltozsa egyenl a termels s az elads (eljeles)klnbsgvel; a legegyszerbb kszletjelzses szablyozsnl a termels cskken fgg-vnye az outputkszletnek. A kzgazdasgi alkalmazsok jelents rszben nagy hang-slyt kap a szablyozs decentralizlt jellege. Elbbi pldnkat ltalnostva: ha egyegsz gazdasg mkdik kszletjelzsekkel, akkor az egyes vllalat adott termknekoutputkszlet-vltozsban az sszes tbbi vllalat ltal tle beszerzett termksszegejelenik meg, mg az adott termk termelse tovbbra is csak sajt outputkszlettlfgg (2.3. alfejezet). Ugyanakkor a szocialista gazdasg makromodelljnek magatartsiszablyai nem decentralizltak (2.2. alfejezet).

Minden hasznossga ellenre a szablyozselmleti megkzelts a kzgazdasgtanidinamikban nem kizrlagos. Pldul az egyttl nemzedkek s korosztlyok zrtcseregazdasgban (B. s C. fggelk) a potencilis llapotvltozt (a megtakartsillomnyt) nulla rtken rgztettk, ezrt ott a szablyozselmlet alkalmazhatatlan.

Stabilits s mkdkpessg

Nagyon gyakori, hogy egy dinamikus rendszer plyjt nem lehet vagy nem clszerexplicite lerni. Kivncsiak vagyunk viszont a plya kvalitatv viselkedsre. Kiindu-lskpp a rendszer fixpontja szolgl, amelybe a rendszert eljuttatva, a rendszer ott ismarad. A fixpontot a termszettudomnyokban gyakran nevezik egyenslyi pontnak. A

10

kzgazdasgi alkalmazsokban az egyensly fogalmt gyakran leszktik az n. walrasiegyenslyra (lsd 6.3. alfejezet), ahol a tkletesen rugalmas rmechanizmus mindenpiacon eltnteti a tlkeresletet. Keynes (1936) ta a kzgazdasgban beszlnek munka-nlkli egyenslyrl (lsd pldul a 2. fejezet klnfle modelljeit), s az 1970-es vekta nemwalrasi egyenslyrl is. (Mind a disequilibrium, mind az anti-equilibrium kifeje-zs ennek a klnbsgtevsnek az elmulasztsbl szrmazott!) Kornai (1980) s Kornais Martos (szerk.) (1981b) a semlegesebb normlllapot kifejezst hasznljk. Amitamegjelentek idben vltoz egyenslyi plyk, a stacionrius egyenslyra az llandsultllapot kifejezst is alkalmazzk (B. s C. fggelk).

Felvetdik a krds: ltezik-e egyensly, s ha igen, akkor egyrtelm-e az egyen-sly? Ltni fogjuk, hogy ltalban mindhrom eset lehetsges: nincs egyensly, egyvagy tbb egyensly ltezik. Tovbbi krds az egyensly stabilitsa: ha a rendszernem az egyenslybl indul, akkor az id haladtval visszatall-e oda? Finomtva a kr-dst: mekkora az indulsi llapotoknak az a (kpletes szval lve: vonzsi) tartomnya,amelybl a rendszer az egyenslyhoz tart? Nmileg pontatlanul: ha kicsi a vonzsitartomny, akkor loklis, ha nagy (ti. az egsz megengedett tartomny), akkor globlisstabilitsrl beszlnk (3. fejezet).

Mind a termszetben, mind a trsadalomban gyakoriak a ciklikus folyamatok. Fel-sorolsszeren: a Fld kering a Nap krl, az vszakok vltakoznak, az emberi szvpercenknt tbbtucatszor dobog, a gazdasg nvekedsi teme tbb-kevesebb szablyos-sggal hullmszer mozgst vgez. rdekes mdon minden dinamikus rendszer mindenciklushoz megadhat egy olyan rendszer, amelyben az eredeti rendszer cikluspontjaiegyenslyi pontok.

Determinisztikus rendszereken bell maradva, a stabil egyensly s a ciklus mellettazonban mg bonyolultabb viselkedsi formk is lehetsgesek, amelyeket nmi leegysze-rstssel kaotikusnak nevezhetnk. Ilyenkor a plya rzkenyen fgg a kezdrtkektl,ezrt a plya elvileg elrejelezhetetlen. Legismertebb plda a koszra az idjrs, deelkpzelhet, hogy az rfolyam-ingadozsok is kaotikusak.

A fenti esetekben flvetdik a krds: mkdkpes-e a rendszer? Pldul a Nap-rendszer kb. 10 millird vig mkdhet, egy ember kb. 100 vig lhet, egy trsadalmirendszer pedig vtizedektl vezredekig fennllhat. Ha azonban egy specilis gazdasgimodellt vizsglunk, akkor mkdkpessgen azt rtjk, hogy a mozgsegyenletekenkvl a rendszer kielgt bizonyos feltteleket. A kzgazdasgtanban a leggyakoribbmkdsi felttelek a nemnegativitsi felttelek: pldul a termels nem lehet nega-tv. Konkrtabban: a kszletjelzses modellben kifogyhat a kszlet vagy megtelnek araktrak, stb.

Jelenleg keveset tudunk a gazdasgi rendszerek mkdkpessgrl s gyakran bekell rnnk a stabilits keressvel.

Lineris s nemlineris modellek

Minden matematikai termszet vizsglatnl alapkrds a linearits. Nmi leegyszer-stssel, lineris egy modell, ha a bemen vltozk megduplzsa megkettzi a kimenvtozk rtkt is. Pldul a kszletvltozsi egyenlet lineris: ktszeres termels s vtelktszeres kszletvltozst okoz. Els ltsra a kvetkez kszletjelzses termelsszab-lyozs is lineris: minden nap legfeljebb 100 egysget termelnk, de ezt a maximumotcskkentjk az elz nap vgn megmaradt termkegysg ktszeresvel. De mi trtnik,

11

ha az elz nap vgn 51 egysg maradt? 2 egysget termelnk? S ekkor belp egytermszetes als korlt: a nulla, s elvsz a linearits.

A vgesdimenzis lineris dinamikus rendszerek elmlete teljesen megoldottnak te-kinthet. Flrhatjuk a rendszer megoldst, amelynek segtsgvel szmos kvantitatvs kvalitatv eredmnyt nyerhetnk. A szban forg terlet egyik legfontosabb jellem-zje, hogy az egyensly krli loklis viselkeds meghatrozza a globlis viselkedst is.Specilisan: ciklikus viselkeds csak kivteles paramterrtkeknl valsul meg (s az iskslen tncol), instabil viselkeds egyre nagyobb kilengseken keresztl elbb-utbbmkdskptelensghez vezet.

Ms a helyzet a nemlineris dinamikus rendszereknl. Mr az egyvltozs esetnl isminden lehetsges. Pldul a loklis stabilits sszefr a globlis stabilits hinyval, sta-bil ciklikus viselkeds (az n. hatrciklus) a paramterrtkek szles tartomnyban ismegvalsulhat, instabil viselkeds sszefr hossz tv mkdskpessggel. A szablyosciklikus plyk mellett megjelenhetnek szablytalan, kaotikus plyk is. Analitikusanviszonylag keveset tudunk, mr a ktdimenzis esetben is szksgnk van szmtgpesszimulcira.

Mind a matematikusok, mind a kzgazdszok sokig megelgedtek a lineris vagylinearizlhat dinamikus rendszerek vizsglatval. Csak az utbbi vtizedekben kapottnagyobb lendletet a nemlineris s instabil rendszerek globlis elemzse. Termszetesenezeknl a bonyolult viselkeds rendszereknl is a lineris rendszer a kiindul pont. Aknyv egyarnt foglalkozik lineris s nemlineris rendszerekkel.

Determinisztikus vagy sztochasztikus rendszerek

A mai kor embernek nyilvnval, hogy a determinisztikus s a sztochasztikus szem-lletre egyarnt szksg van a folyamatok modellezsnl. Elegend, ha a klasszikusnewtoni mechanika mellett utalunk a heisenbergischrdingeri kvantummechanikra.

A dinamikus kzgazdasgtanban a sztochasztikus mdszerek elterjedse leginkbbaz konometria trhdtshoz kapcsoldik. A statisztikai mdszertannak megfelelenaz egyenletek becslsnl clszer fltenni, hogy sztochasztikus hibataggal terheltek.Nem lehet meglepets, hogy az konometriai egyenleteken alapul szablyozsi model-lekben nagy szerepet jtszik a sztochasztikus optimalizls. Ezzel a krdskrrel a 7.fejezetben foglalkozunk.

rdekes, hogy a modern dinamikus kzgazdasgtan dominns ga szerint a gazda-sg determinisztikus rsze lineris s stabil, a gazdasgot csak a sztochasztikus zavarokterelik el az egyenslyi plyrl. n nem osztom ezt a nzetet. Egy jval kisebb, de ko-rntsem jelentktelen kutatsi irnyzat hveknt, inkbb a determinisztikus rendszereknemlinearitsaiban keresem a ciklus s a kosz forrst. Ezrt a sztochasztikus jelens-gek nemcsak a szoksosnl, de a megrdemeltnl kisebb hangslyt kapnak a knyvben,a nemlineris determinisztikus modellek viszont nagyobbat (a 310. fejezet s a BC.fggelk).

Csak rviden utalok a sztochasztikus mdszereknek egy egyszerbb alkalmaz-sra, amely az emberi lettartam bizonytalansgbl fakad letbiztostssal kapcsolatos(10.1. alfejezet).

Vrakozsok

A kzgazdasgi modellek egyik megklnbztet vonsa, hogy egyes vltozk fgghet-nek ms vltozk jvre vonatkoz rtktl, a vrakozsoktl. Pldul a knyvkeresked

12

e heti beszerzse fgg a jv htre vrt eladsoktl, vagy az idei megtakartsom fgg ajv vre vrt kamatlbtl.

Az 195060-as vek modelljeiben a naiv (vagy ltalnosabban: adaptv) vrakoz-sok szerepeltek, ahol a vrakozs a korbbi tnytl (s a korbbi vrakozstl) fggtt.Pldul a keresked flteszi, hogy a jv hten is ugyanannyi knyvet akarnak vs-rolni, mint ezen a hten. Msik plda: a jelzlog klcsnz bankrok minden vben gyhatrozzk meg a trlesztst, hogy flteszik, a kamatlb a htralv idre vltozatlan.

Ez a feltevs sok kritikt kapott (Lucas, 1976), s egyre inkbb a racionlis vra-kozsok feltevse lp a helyre. Ekkor adott informcis halmaz esetn a dntshozvrakozsa megegyezik a modellbl levezethet vrhat rtkkel. Specilisan, deter-minisztikus esetben a racionlis vrakozs megegyezik magval a tnyleges rtkkel:tkletes elrelts.

Mi mindkt feltevst megvizsgljuk. Ltni fogjuk, hogy esetenknt (2.4. alfejezet)tnyleg jobb a racionlis vrakozs, mint a naiv vrakozs. Ms esetekben azonbanfordtott a helyzet (4.5. alfejezet). St az is elfordul, hogy az llandsult llapotokonkvl szinte rtelmezhetetlen a racionlis vrakozs (C.4. alfejezet).

Szeretnk hozzjrulni ahhoz, hogy jra teret nyerjen az adaptv vrakozsok hipo-tzise, amely mind empirikusan (Lovell, 1986; Chow, 1989), mind elmletileg (Grand-mont s Laroque, 1990, Brock and Hommes, 1997, Grandmont, 1998; ) vonz lehet aracionlis vrakozsokkal szemben.

Vges vagy vgtelen hossz let fogyaszt

Az optimalizlssal foglalkoz modellekben gyakran flteszik, hogy a reprezentatv fo-gyaszt vgtelen sokig l. Ezzel a trkkel el lehet kerlni a zrfelttelek problmjt.

Ez a feltevs nyilvnvalan ellenttes az emberi let vgessgvel, s feloldsa vl-toztat az eddigi optimumfeltteleken. A Samuelson (1958)-tl szrmaz, n. egyttlnemzedkek modellcsaldjban (B. fggelk) a szereplk lettartama rvidebb, minta vizsglati idszak; mindenki kt idszakig l: elszr fiatal, ksbb reg. Mindenidszakban egytt lnek fiatalok s regek: a fiatalok sokat, az regek keveset (vagysemmit sem) dolgoznak, s a fiatalkorban felhalmozott megtakartsaikbl lnek. Min-denfle furcsasg addik: a) Egy felosztkirv (PAYG) nyugdjrendszer bevezetsemindegyik nemzedk jltt javtja, ha a nvekedsi tem nagyobb, mint a kamatlb(Samuelson, 1958), ltalnostsa Aaron-elvknt ismert. b) Zrt OLG gazdasgbanoptimalizls ellenre ciklikus vagy akr kaotikus dinamika jhet ltre (Gale, 1973 sGrandmont, 1985).

Az egyttl nemzedkek modelljt ltalnostja az egyttl korosztlyok modellje(C. fggelk): klnbz letkor korosztlyok tagjai lnek egytt, korspecifikus tllsivalsznsggel, keresettel s fogyasztsi egysgekkel. Ez az ltalnosts gyengti azegyttl nemzedkekrl szl tteleket: a) Az Aaron-elv csak akkor igaz, ha eltekintnkattl, hogy nemcsak a fiatalok tmogatjk az idseket (nyugdj), de az idsebbek istmogatjk a fiatalokat (gyereknevels). b) ves bonts modellben racionlis vrakozsmellett ltalban nincs is definilva a dinamika minden kezdrtkre, a relis 2-ciklusokltezst mr sikerlt kizrni. Naiv vrakozsok mellett azonban az llandsult llapotmentn elg sokig kpes mkdni a rendszer.

13

sszevont vagy rszletezett modellek

Az 195060-as vekben nagyon fontosnak tartottk, hogy a modellek rszletezettek,sokszereplsek legyenek. A lineris rendszerek keretben a mtrixok is nagy figyelmetkaptak. Ahogyan Samuelson mondta egyik cikkben, ez volt a Leontief modellek kora.Manapsg ez a megkzelts httrbe szorult, s az elmleti kzgazdszok gyakranmegelgednek az egy-kt szektoros modellekkel. Ez a knyv ebben a tekintetben isvisszatr a hagyomnyokhoz. Tbb helyen is foglalkozunk sokszektoros modellekkel: a2. s a 4. fejezetben az n-szektoros Leontief gazdasg szablyozst vizsgljuk, mga C. fggelkben sokvltozs modelleket tanulmnyozunk. Ennek megfelelen az A.fggelkben sszefoglaljuk a lineris algebrai tudnivalkat.

Elegancia vagy relevancia

Knyvem egyarnt alkalmaz analitikus s numerikus mdszereket. Egyrszt egyszer-sgre trekszem. Mindig rlk annak, ha valamit analitikusan is vizsglhatunk. Ms-rszt nagyra tartom a realizmust is. Nem vagyok hajland a relevancit flldozni azegyszersg oltrn.

Nhny pldt emltenk. a) Az indtsberuhzs lineris modelljben (2.3. alfe-jezet) nmileg krlmnyesen , bevezetek tbbletvltozkat, hogy termszetesen mu-tathassam be a feszltsgenyhts s a stabilizls ellenttt. b) Az indtsberuhzsnemlineris modelljben (4.4. alfejezet) ugyancsak krlmnyesen , lemondok a leg-egyszerbb eset vizsglatrl. El akarom ugyanis kerlni a termszetellenes bangbangszablyozst, ahol a szablyozsi vltozk kizrlag a minimlis s maximlis rtkketveszik fl. c) A knyv C. fggelkben tetszleges szm egyttl korosztlyt vezetekbe, mert nem tudom elfogadni az egyttl nemzedkek elmletnek imnt emltett le-egyszerst feltevseit. S a valsghoz val kzeleds j megvilgtsba helyez szmoskorbbi lltst, lsd fent.

Nem teszek gy, mintha alkalmazott kzgazdsz volnk, aki hatalmas empirikusmodellekkel dolgozik a szmtgpn. Mgis azt tancsolom, hogy az olvas hasznlja aszmtgpt (vagy nha akr a zsebszmolgpt), hogy nmileg belelsson a dinamikusmodellek kvantitatv alkalmazsba.

Mondanivalm altmasztsra idzem Arrow s Honkapohjt (1985a, 26. o.):Kt ltalnos kzgazdasgtani javaslat vetdtt fl [a szimpziumon, S.A.]: 1. Figye-lembe vve azoknak az eseteknek a nagy szmt, amikor nincsenek elmleti eredmnyekvagy csak nagyon nehezen elrhetk, jobban kell tmaszkodni a numerikus szimulci-ra, mgpedig klnfle paramterrtkeknl. A szimulci segt eligazodni abban, hogymennyire fggnek az eredmnyek a sajtos numerikus feltevsektl. 2. Ehhez szorosankapcsoldott az az ajnls, hogyha egy elmleti kutat egy specilis terletet modellez,jelezze, hogy a paramterrtkek milyen tartomnyt tartja a modell alkalmazhats-gval sszefrhetnek.

Kritikai szemllet

Meglepnek tnhet, milyen sok kritikai megjegyzs tallhat egy tanknyvben. Nemlenne jobb megkmlni az olvast a bonyodalmaktl, s kizrlag a helyes megoldstbemutatni? gy vlem, nem. Egyrszt a matematikai kzgazdasgtanban nem annyira amatematikai tvedsek, mint a kzgazdasgilag hibs vagy rdektelen feltevsek okozzkaz igazi bajokat. Msrszt mg a fizika legnagyobbjai is elkvettek kisebb-nagyobbtvedseket, s ezek feltrsa (Simonyi, 1981) csak izgalmasabb teszi a trtnetet.

14

FORMAI JEGYEK

Eddig a knyv tartalmi jegyeit vzoltam. Taln mg ezeknl is fontosabb a knyv formaijegyeirl szlni.

Mdszerek s modellek

A knyvben szerepl kzgazdasgi modellek elssorban bizonyos matematikai mdsze-reket hivatottak szemlltetni. Ebbl a szempontbl Baumol (1954), Gandolfo (1971),Kamien s Schwartz (1981), Chiang (1984), valamint Stokey s Lucas (1989) pldjt k-vetem, hogy csak nhny mvet emltsek. Knyvem kzgazdasgilag nem sszefgg, salkalmatlan arra, hogy tfog ismereteket nyjtson a kzgazdasgi dinamikrl. (Azokaz olvask, akik nem szeretik ezt a mdszert, szmos hasonl, de kzgazdasgilag ssze-fgg knyvet tallhatnak: Kornai s Martos (szerk.) (1981b), Blatt (1983), Blanchards Fischer (1989), Martos (1990) s Azariadis (1993)).

Sokfle mdszer

Nem korltozom a knyvet egy vagy kt matematikai mdszer bemutatsra. Clominkbb Lancaster (1968), Takayama (1974), Chiang (1984), Sargent (1987), valamintStokey s Lucas (1989) clkitzshez hasonl: minl tbb fontos mdszerbl szeretnkzeltt adni. Azoknak, akik inkbb az egyes mdszerekre kivncsiak, ms knyveketajnlhatok. Gandolfo (1971) fszvege a lineris szablyozsi rendszerek optimalizlsnlkli elemzseit taglalta. Kamien s Schwartz (1981) a variciszmts s az optimlisfolyamatok szmos fejezett s alkalmazst ismertette. Hommes (1991), Medio (1992)s Day (1994) a koszelmletet alkalmaztk a kzgazdasgtanban.

Nehzsgi fok

Eredetileg kzpfoknak neveztem a knyvet, de tbb olvasm meggyztt arrl, hogyazrt annl nehezebb. Mindenesetre flttelezem, hogy az Olvas mr alaposan ismeri adifferencil- s integrlszmtst (a matematikai analzist), a lineris algebrt s a mikro-s makrokonmit. Fontos kvetelmny, hogy rdekeljk a bizonytsok elvei, ha nemis a rszletei. A bizonytsokban azonban szintn nem trekszem teljessgre. Pldula differencilegyenletek megoldsa ltezsnek s egyrtelmsgnek a bizonytsnlelkerlm a funkcionlanalzis mly mdszereit. Az alapvet szerepet jtsz kontrakciselvet csak vgesdimenzis terekre mondom ki. Csupn utalok arra, hogy az elv szksgesltalnostsa magasabb dimenzis terekre szintn rvnyes. Ez a megkzelts jvaltbb erfesztst kvetel az Olvastl, mint Chiang knyve, de jval kevesebbet, mintStokey s Lucas. A trgyals szintje Takayama (1974) s Sargent (1987) knyvhez llkzel.

Pldk s feladatok

A knyv szmos pldt s feladatot tartalmaz, melyek a krds elfordulsi helyn van-nak elhelyezve. Clszer ket azonnal megoldani, vagy ha nem sikerl, akkor belenznia knyv vgn elhelyezett Feladatmegoldsokba. A csillaggal jellt feladatok (s meg-jegyzsek) nehezek, ezrt csak az elszntabb olvasknak ajnljuk.

15

Oktatsi kvetelmnyek

Kezdeti tapasztalataim alapjn a kvetkezket gondolom az anyag egyetemi oktatsrl.1. Fontos, hogy az Olvas a megfelel elismeretek birtokban legyen. 2.Elengedhetetlen, hogy az Olvas megoldja a feladatokat, de legalbbis prblkozzona megoldssal. 3. Az irodalomjegyzk sok olyan forrst tartalmaz, mellyel az Olvasbvtheti s elmlytheti a knyvben szerzett tudst. Kln szlok az anyagfeldolgozsidignyrl. Heti ktrs eladst s tbbrs otthoni munkt szmtva, a teljes anyagegy v alatt vehet t.

Rvidebb (flves) id vagy kzs feladatmegolds esetn a tananyagbl tbbfle-kppen is lehet vlogatni. Pldul:

Matematikai ismeretek (pratlan fejezetek s az A. fggelk). Kzgazdasgi ismeretek (pros fejezetek s a B. fggelk). Optimalizls nlkli dinamika (I. rsz). Optimalizlsi dinamika (II. rsz): megfelel elkszts esetn. Diszkrt idej dinamikus modellek (1-4. s 7-8. fejezet, valamint a fggelkek). Koszelmleti modellek a kzgazdasgtanban (3. s 4. fejezet, valamint a B.

fggelk) az 1. fejezettel egytt. Minimlis anyag (15., 9. s 10. fejezet).

Irodalmi hivatkozsok

Az irodalmi hivatkozsok kztt kizrlag olyan forrsok szerepelnek, amelyekre a fsz-vegben hivatkozunk. Kivtelknt megemltek hrom magyar forrst, amely elrhetbba kzgazdsz (hallgat) olvasknak, mint az ltalam hivatkozott forrsok: Dancs (1992)analzis tanknyve, Pusks (1993) lineris algebra tanknyve s Tallos (1999) dinamikairendszerekkel foglalkoz knyve. Mint a cimbl is lthat, Tallos knyve rszben tfedie knyvet, de sokkal inkbb kiegszti knyvemet. Ha egy hivatkozott forrsnak vanmagyar fordtsa, akkor az angol publikci vszmval, de magyar adatokkal hivatko-zunk r: pldul Keynes (1936), s csak az irodalomjegyzkben tntetjk fl a magyarkiads vszmt, 1965. Tbb forrsban is megtallhat kzismert lltsokra s sajteredmnyeimre forrsmegjells nlkl hivatkozom.

JELLSEK

Jellsi elveink a szoksosak, egszen addig, ameddig a klnbz eredet szoksoknem tkznek. Tteleket, pldkat, feladatokat s kpleteket minden fejezetben egy-mstl fggetlenl, ketts szmozssal jellnk: az els szm a fejezet, a msodik azillet kategria fejezeten belli sorszma. Egy fggelken belli egysgekre A., B. s C.sorszmmal utalunk.

Matematikai jellsek

Mtrixokat latin nagybetvel jelljk. Vektorokat, a mtrix, illetve a vektor elemeita megfelel latin kisbetvel jelljk: A = (ai,j), b = (bj). Az egysgmtrix jele I.A nullamtrix, a nullavektor s a kznsges skalr nulla egyarnt 0. Egy komplexszm konjugltjt fellvons, a vektor s mtrix transzponlst T jelli. Az M mtrix

16

sajtrtkt , sajtvektort s, spektrlsugart (M) jelli. Diagonlis mtrix jele .Az i a kpzetes egysggyk, pi = 3,14..., az e az Euler-szm.

A diszkrt s a folytonos id jele egyarnt t, de mg csak az elbbinl sorozatra utalals index, az utbbinl a fggvnyre utal fggetlen vltoz: xt, illetve x(t). A x vagyx pedig x derivltjt jelli, mg azmn Fx mtrix az F : Rm Rn fggvny x szerintiderivltmtrixt jelli. Takarkossgbl ugyangy jelljk a diszkrt s a folytonos idejmennyisgeket, br ez nmileg zavar. Zridszak (-pont) jele: T , peridus P .

Szablyozselmletben szoksos mdon az llapotvektor az n-dimenzis x vektor,a szablyozsi vektor pedig az m-dimenzis u vektor.

llandsult (egyenslyi, stacionrius, norml) vagy optimlis rtket o fels index-szel vagy F als indexszel klnbztetnk meg kznsges trstl, a jel ms klnle-gessgre utal. A vessz (x) vagy a pont (x) a differencils jele. A fellvons a komplexkonjugltat jelenti. A fekete ngyzet a bizonyts vgre utal.

Ha vektorsorozat koordintjrl van sz, akkor az xi,t ketts indexet alkalmazzuk,ahol az els index az i-edik koordinta, a msodik index a t-edik idszak. Figyeljk mega klnbsget xF s xF kztt: az elsben F egy matematikai mennyisg, a msodikbanegy nv (pldul az angol feasible rvidtse.)

Kzgazdasgi jellsek

A makrokonmiban megszokott mdon Y , C, I ltalban a makrotermelsre (GDP),fogyasztsra s beruhzsra utal. Fajlagos (egy fre, GDP-re stb. vettett) rtkkrendre y, c s i. a GDP nvekedsi tnyezje (vagy teme), a leszmtolsi tnyez(vagy -rta), r a kamattnyez (vagy -lb). U(.) s u a hasznossgfggvny.

A klnbz modellekben ugyanaz a jel mst-mst jelenthet, de lehetsg szerintnem tkzik a matematikai fejezetek jellseivel. A hagyomnyok azonban megakad-lyoztak abban, hogy eltr jellst keressek a hasznossgfggvnynek (8. fejezet) s aszablyozsi vltoznak (7. fejezet) (u), illetve az alapegyenletben szerepl fggvnynek(1. fejezet), a termelsi fggvnynek (8. fejezet) s az alapfggvnynek (7. fejezet) (f).

17

I. RSZ

DINAMIKA OPTIMALIZLS NLKL

Ebben a rszben olyan matematikai mdszerekkel s dinamikus kzgazdasgi model-lekkel foglalkozunk, amelyekben a magatartsi szablyokat egyszeren flttelezzk snem optimalizlsbl szrmaztatjuk. A Bevezetsben mr indokoltuk e megkzeltsjogosultsgt.

Az 1. fejezetben a diszkrt idej (szakaszos mkds) rendszereket a differencia-egyenletek segtsgvel tanulmnyozzuk, ahol az egyenletek bal s jobb oldaln eltr id-index vltozk szerepelnek. Az elemi fogalmak ismertetse utn a lineris differencia-egyenletekkel foglalkozunk.

A 2. fejezetben ngy olyan lineris gazdasgi modell stabilitst s oszcillcijttanulmnyozunk, melyeknl az 1. fejezetben bevezetett klnfle mdszerek jl hasz-nlhatk.

A 3. fejezetben nemlineris differenciaegyenleteket vizsglunk, ahol az instabilitssszefr a megolds korltossgval, a ciklus nem vletlen s kis kezdeti hibk nagyksbbi hibhoz vezethetnek.

A 4. fejezetben floldjuk a 2. fejezet modelljeinek linearitst, s egy tdik mo-dellre is kiterjesztjk az elemzst. Nemlineris gazdasgi modelljeink tanulmnyozsnla 3. fejezetben bevezetett klnbz mdszerek jl hasznlhatk.

Az 5. fejezetben folytonos idej dinamikus rendszerek viselkedst differencil-egyenletek segtsgvel vizsgljuk, ahol a kznsges vltozk mellett azok id szerintiderivltjai is szerepelnek.

A 6. fejezetben hrom folytonos idej gazdasgi modell stabilitst elemezzk az5. fejezetben bevezetett elmlettel.

18

1. DIFFERENCIAEGYENLETEK:ALAPFOGALMAK S LINERIS RENDSZEREK

Ebben a fejezetben olyan egyenletrendszereket vizsglunk, amelyekben minden vl-toznak idindexe van, s legalbb egy egyenletben egy bal oldali vltoz indexe na-gyobb, mint jobb oldali megfelelj. Az ilyen egyenleteket differenciaegyenleteknekvagy differenciaegyenlet-rendszereknek nevezzk, amelyek diszkrt idej (szakaszos m-kds) dinamikus rendszereket rnak le. (N. B. Nemcsak id, hanem ms skalr is le-het a fggetlen vltoz. Egybknt a matematikban absztrakt dinamikus rendszeren adifferencilegyenlet-rendszer ltalnostst rtik, lsd Zalai, 1989, 7. fejezet fggelke).Kzvetlenl vagy kzvetve erre a fejezetre pl az egsz knyv. Az 1.1. alfejezetben adifferenciaegyenletek alapfogalmait vezetjk be. Az 1.21.4. alfejezetban a legegysze-rbb, az n. lineris rendszereket vizsgljuk. Egyms utn ttekintjk az ltalnos,a skbeli s a szablyozsi rendszerek tulajdonsgait. Hasznos tudnivalkat tartalmazSamuelson (1947, 1983, B. fggelk), Varga (1962), Ralston (1965), Lancaster (1969),Young (1979), Martos (1981) s az A. fggelk.

1.1. ALAPFOGALMAK

Ebben az alfejezetben bevezetjk a differenciaegyenletek elmletnek olyan alapfogal-mait mint a fixpont, a stabilits, a ciklus s a szablyozsi rendszer.

Elsrend differenciaegyenlet-rendszer

Legyen az id egy diszkrt vltoz: t = 0, 1, . . .. Legyen x egy n-elem vals vektor,legyen X az n-dimenzis tr, Rn tartomnya s legyen {ft()}t=1 e tartomny nmagraval lekpezseinek (transzformciinak) egy sorozata. Ekkor az

(1.1) xt = ft(xt1), t = 1, 2, . . .

egyenletrendszert elsrend explicit differenciaegyenlet-rendszernek nevezzk. Vektor-lisan gondolkodva beszlhetnk (vektorrtk) differenciaegyenletrl is.

rdemes lehet az (1.1) rendszert a kvetkezkppen talaktani:

(1.1) xt xt1 = ft (xt1), t = 1, 2, . . . ,

19

ahol ft (xt1) = ft(xt1) xt1. Valban, (1.1*) az igazi differenciaegyenlet-rendszer, amely jl sszehasonlthat a ksbb bevezetend, folytonos idej (5.1)differencilegyenlet-rendszerrel. Mi azonban visszatrnk az egyszerbb (1.1) alakhoz.

Ha adott az x0 kezdeti llapot, akkor az (1.1) rendszer egyrtelmen meghatrozzaaz x1,x2, . . . plyt.

Kzgazdasgi alkalmazsoknl gyakran indtjuk a rendszert az x1 kezdeti llapot-bl, azaz a mozgsegyenlet mr t = 0-ra is rvnyes.

Az egyszersg kedvrt a tovbbiakban majdnem mindig csak olyan, n. autonmrendszereket vizsglunk, amelyek explicite nem fggenek az idtl:

(1.2) xt = f(xt1).

Kzgazdasgi modelleknl ez gyakran gy rhet el, hogy a nvekedsi trendet kiksz-bltk a modellbl.

Az (1.2) felrs koordintamentes, s ez tmrsge s lnyegkiemelse miatt elnys.Gyakran elfordul azonban, hogy koordintkban van adva a feladat:

(1.2) xi,t = fi(x1,t1, . . . ,xn,t1), i = 1, . . . , n;

ahol fi : Rn R fggvny s {xi,t}t=0 skalr sorozat. Nhny alkalmazsban nema kezdeti, hanem a vgs llapot van megadva. Ms alkalmazsoknl (710. fejezet)egyes llapotvltozknak a kezdeti, a tbbinek a vgllapota van megadva.

Minden idben vltoz rendszer formlisan flrhat idben vltozatlan rendszer-knt, ha a x0,t = t vltozt tekintjk az (n+ 1)-edik vltoznak:

x0,t = x0,t1 + 1,(1.2a)xi,t = fi(t,x1,t1, . . . ,xn,t1), i = 1, . . . , n.(1.2b)

Az X = (t,x) s F (X) = (t,f(X)) jellssel, Xt = F (Xt1). Mgsem fogunk ezzel aztrssal lni, mert clszertlen volna.

Kezdeti felttellel adott, mindentt rtelmezett jobb oldal, explicit differencia-egyenlet-rendszereknek mindig van pontosan egy megoldsuk s vizsglatuk is egy-szernek tnik. Ha azonban peremfelttelek vannak vagy implicit differenciaegyenlet-rendszernk van (mint pldul a II. rszben s a B. s C. fggelkben), akkor minden-fle bonyodalmak fllphetnek. Kln gondot okoznak a racionlis vrakozsok, amelyltal vezrelt dinamikban a jelent nemcsak a mlt, hanem a jv is befolysolja; s asztochasztikus krnyezet tovbb bonyoltja a helyzetet.

Mr a kzpiskolai tanulmnyainkbl jl ismerjk a kvetkez pldt.

1.1. pelda. Mrtani sorozat. Legyen {xt} egy skalr mrtani sorozat, amelyrext = qxt1, t = 1, 2, . . .. Ekkor xt = qtx0. (Hasonlan definilhat a szmtani sorozat:xt = xt1 + d, t = 1, 2, . . ..)

Jl ismert, hogy megfelel talaktssal a magasabb rend (tbb ksleltetst tar-talmaz) rendszerek elsrendv alakthatk, ezrt feltevsnk nem megszort. Azltalnos levezets helyett egy pldt mutatunk be.

1.2. pelda. Vizsgljuk a msodrend skalr rendszert: yt = g(yt1,yt2). Legyenx1,t = yt, x2,t = yt1, ekkor x2,t1 = yt2, azaz az

x1,t = g(x1,t1,x2,t1) s x2,t = x1,t1

20

elsrend ktvltozs rendszer ekvivalens a msodrend skalr rendszerrel.

1.1. feladat. Matematikai inga. Tekintsk a srldsmentes matematikai inga(5.6. plda) diszkrt idej vltozatt. Vlasszuk az idegysgnek az ingaperidus ne-gyedt s szmtsuk az id kezdett egy maximlis kilengsbeli idponttl. Legyen yt azinga kilengsnek a fgglegessel bezrt szge a t-edik idszakban. Ekkor yt = yt2az inga differenciaegyenlete, s y1 = 0, y0 > 0 a kt kezdeti felttel. Hajtsuk vgre az1.2. pldban szerepl talaktst az egyenleten!

Fixpont s stabilits

A dinamikus rendszerekben kitntetett szerepet jtszik a fixpont, ms nven llandsultllapot. Egy xo X pontot az f rendszer fixpontjnak neveznk, ha belle indtva arendszert, az mindig ott is marad. Kpletben:

Ha x0 = xo, akkor xt = xo, t = 1, 2, . . . .

Ekkor xo az f lekpezs fixpontja:

(1.3) xo = f(xo).

Szemlltetsl ll az

1.3. pelda. A mrtani sorozat fixpontja. Az 1.1. pldban q = 1-re minden pontfixpont, egybknt egyetlen egy fixpont ltezik: xo = 0.

A kvetkez feladat rvilgt a ksleltetses rendszerek egy rdekes sajtossgra.

1.2. feladat. Mirt nem ll meg az inga az als pontban? Pontosabban: mirtnem marad az y0 = 0 fixpontban az 1.1. feladat rendszere?

Most definiljuk a fixpont stabilitst.1. Az (1.2) rendszer xo fixpontjt Ljapunov-stabilnak neveznk, ha hozz elegend

kzeli brmely x0 kezdllapotbl indul plya az xo-hoz mindvgig kzel marad. Be-vezetve a kznsges euklideszi tvolsgfogalmat ltalnost vektornormt (lsd: A.fggelk), s a jellst: ||x||-et, a definci kpletben is megfogalmazhat: tetszleges > 0 szmhoz tallhat olyan > 0 szm, hogyha ||x0 xo|| < , akkor ||xt xo|| < tetszleges t-re.

2. Egy Ljapunov-stabil xo fixpontot loklisan aszimptotikusan stabilnak nevezzk,ha xo-hoz elegend kzeli brmely x0 kezdllapotbl indul plya az xo-hoz tart.

3. Globlis stabilitsrl beszlnk, ha majdnem minden x0 indul llapot egy sugyanazon fixponthoz tart plyt szrmaztat. (A rendszer tbbi fixpontjt termsze-tesen ki kell zrni az indul llapotok kzl, lsd a 3.3. plda.)

4. Egy fixpontot aszimptotikusan vagy Ljapunov-rtelemben instabilnak neveznk,ha nem aszimptotikusan stabil vagy nem Ljapunov-stabil.

Megjegyzesek. 1. Ismert, hogy a fixpont ltezsbl mg nem kvetkezik, hogya rendszer mindig mozdulatlan; st mg az sem, hogy a rendszer aszimptotikusan afixponthoz tart.

2. A kzgazdasgtani stabilits-irodalomban el szoktk hagyni a matematikbanktelez aszimptotikus jelzt, viszont kiteszik a matematikban elrejtett Ljapunov-jelzt.

21

3. Szmos matematikai kzgazdsz (pldul Arrow s Hahn, 1971 s Zalai, 1989)a globlis stabilits defincijban nem kveteli meg a vonz fixpont egyrtelmsgt.

4. Fontossga miatt megemltjk az instabilits egyik specilis esett, a nyeregpont-instabilitst: bizonyos kezdeti felttelek stabil, msok instabil plykat szrmaztatnak.Ha minden nemstacionrius plya instabil, akkor teljes instabilitsrl is szoktak beszlni.

A kvetkez plda megmutatja, hogy mirt nem elegend a konvergencia aLjapunov-stabilits nlkl az aszimptotikus stabilits defincijban.

1.4. pelda. (Elagdi, 1991, Example 4.4.) Konvergencia Ljapunov-stabilits nl-kl. Tekintnk egy polrkoordintkkal megadott skbeli rendszert: rt =

rt1,

t =2pit1, ahol r > 0, 0 2pi. Knnyen belthat, hogy az llandsult

llapot (1,0) = (1,2pi), amelyhez minden plya konvergl. Valban, rt monoton n(cskken), ha rt < 1, (rt > 1) s t nvekedve tart 2pi-hez. De hiba van akrmilyenkzel a 0 kezdllapot 0-hoz, a sorozat rossz irnyba mozdul el.

A kvetkez feladat az inghoz tr vissza.

1.3. feladat. Az inga stabilitsa. a) (Aszimptotikusan) stabil-e az inga 1.1.feladat (0,0) fixpontja? b) (Aszimptotikusan) instabil-e?

Ciklus

A fixpontnl nmileg bonyolultabb, de viszonylag mg egyszer fogalom a ciklus.Legyen P egy 1-nl nagyobb termszetes szm. Egy x1,x2, . . . ,xP vektorsorozatot azf rendszer P-peridus ciklusnak nevezzk, ha az x1-bl indul plya x2, . . . ,xP -nkeresztl visszatr x1-be. Kpletben:

(1.4) xt = f(xt1), t = 2, 3, . . . , P + 1, xP+1 = x1.

ltalban flteszik, hogy a ciklus pontjai klnbzk. Egyszer kvetkezmnyknt ad-dik xkP+Q = xQ, ahol Q = 1, . . . , P , k = 1, 2, . . ..

Szemlltetsl szolgl az

1.5. pelda. Ciklusok. Az 1.1. pldban q = 1 esetn minden nemegyenslyiplya 2-ciklus, egybknt nincs ciklus.

1.4. feladat. Az inga ciklusai. Milyen ciklusai vannak az ingnak (az 1.1. fela-datnak)? b) Hogyan lehetne 2-ciklust kapni az ingaegyenlet vltoztatsval?

Szablyozsi rendszer

Mind a mszaki, mind a kzgazdasgi alkalmazsokban kiemelked szerepet jtszika szablyozsi rendszer fogalma. Alapfogalom az n-dimenzis llapotvektor s az m-dimenzis szablyozsi vektor, jelk rendre x s u, valamint az llapotegyenlet, amely azj llapotot az elz llapot s az j szablyozs fggvnyeknt hatrozza meg:

(1.5) xt = g(xt1,ut), t = 1, 2, . . . ,

ahol g egy Rn+m Rn fggvny.

22

Egy g rendszert szablyozhatnak neveznk, ha brmilyen x1 kezdllapotbl br-milyen x2 vgllapotba vges szm T idszak alatt alkalmas u1,u2, . . . ,uT szablyozs-sal tvihet.

Visszacsatolsrl beszlnk, ha a szablyozs csak az elz idszak llapottl fgg:

(1.6) ut = h(xt1), t = 1, 2, . . . .

(1.6)-ot behelyettestve (1.5)-be, az add xt = f(xt1) egyenletet alapegyenletnek ne-vezzk:

(1.7) xt = f(xt1) = g[xt1,h(xt1)], t = 1, 2, . . . .

Megjegyzes. Kzgazdasgi alkalmazsokban nagy szerepet kap az llomnys folyam (stock vs. flow) megklnbztets. Az llapotvltoz llomny jelleg, azidszak vgre vonatkoz rtk, pldul az vvgi tkellomny. A szablyozsi vltozfolyam jelleg, az idszak egszre vonatkoz rtk, pldul az vi termels. Diszkrtidej modellek gyengesge, hogy nknyes, hogy valamit a (t 1)-edik idszak zr-llomnynak tekintnk vagy a t-edik idszak nyitllomnynak. Egyelre az elstvlasztjuk, s a msodik vlasztsnl (1.5)(1.7) a kvetkezkpp mdosul:

xt+1 = g(xt,ut), t = 0, 1, 2, . . . ,(1.5)ut = h(xt), t = 0, 1, 2, . . . ,(1.6)

xt+1 = f(xt) = g[xt,h(xt)], t = 0, 1, 2, . . . .(1.7)

Stabilizlsrl beszlnk, ha a visszacsatols stabilizlja az llapotegyenletet, azazha az alapegyenlet fixpontja stabil. Stabilizls esetn az (1.7) alapegyenlet fixpontja,xo, megad egy stacionrius szablyozsvektort is:

(1.8) xo = f(xo) s uo = h(xo).

A mindennapos gyakorlatbl ismert a kvetkez szablyozsi rendszer.

1.6. pelda. a) A hmrsklet szablyozsa ftssel. Legyen xt egy szoba hmr-sklete s wt kls krnyezet a t-edik perc vgn, s legyen ut a fts erssge a t-edikperc alatt. Ekkor a hmrsklet dinamikja xt = A(xt1wt)+But, ahol A s B alkal-mas llandk. b) A szoba hmrskletnek stabilizlsa hfokszablyozval. Tegyk fl,hogy a kvnt szobahmrsklet x s a hfokszablyoz egyenlete ut = Kxt1 + qt.Ekkor a csatolt rendszer egyenlete xt = A(xt1wt)BKxt+Bqt. Idelis esetben Ks qt megfelel vlasztsval xt = x elrhet.

Teljesen decentralizlt visszacsatolsos szablyozsrl beszlnk, ha m = n s avisszacsatols sztesik n fggetlen skalr visszacsatolsra:

(1.9) ui,t = hi(xi,t1), i = 1, . . . , n s t = 1, 2, . . .

Egyelre nem adunk pldt szablyozhatsgra s decentralizlt szablyozsra,mert ehhez tovbbi elkszletekre van szksg.

23

1.2. LTALNOS LINERIS RENDSZEREK

Mint ltalban a matematikai analzisben, a differenciaegyenletek elmletben is ki-emelked fontossgak a lineris rendszerek. Ezrt a fejezet htralv rszben s a 2.fejezetben kizrlag velk foglalkozunk, s csak a 3. fejezetben trnk vissza a nemlinerisegyenletekhez. Az (1.2) rendszert linerisnak nevezzk, ha az f fggvny lineris, azazf(x + y) = f(x) + f(y) minden x,y Rn-re s , R-re, + = 1. Ekkorvan olyan n n-es M mtrix s n-dimenzis w vektor, amelyre f(x) = Mx + w. (Az+ = 1 megszortsra az inhomogenits miatt van szksg.)

Inhomogn egyenletrendszer

Lineris esetben az autonm (1.2) differenciaegyenlet a kvetkez alakot lti:

(1.10) xt =Mxt1 + w, t = 1, 2, . . . .

A tmr (1.10) felrs koordintamentes. Gyakran elfordul azonban, hogy koordi-ntkban van adva a feladat:

(1.10) xi,t =nj=1

mijxj,t1 + wi, i = 1, . . . , n,

ahol M = (mij) az M transzformci mtrixa rgztett koordintarendszerben. ltal-ban flrerts nlkl beszlhetnk felvltva transzformcirl s mtrixrl, mint ahogyana koordintamentes, illetve a koordints vektornl sem tesznk klnbsget.

Rtrnk a fixpont trgyalsra. (1.10)-bl a kvetkez implicit egyenlet addik afixpontra:

(1.10o) xo =Mxo + w.

(1.10o) megoldhatsgval kapcsolatban felidzzk a sajtrtk, az s sajtvektor s aP () karakterisztikus polinom fogalmt [(A.2) s (A.3)]:

Ms = s, s 6= 0,(1.11)P () = det(I M).(1.12)

A karakterisztikus egyenlet gykei azonosak a sajtrtkekkel. A fixpont ltezse segyrtelmsge trivilis:

1.1. tetel. Az (1.10) lineris rendszernek pontosan egy fixpontja van, ha M-nekaz 1 nem sajtrtke. Kplete:

(1.13) xo = (I M)1w.A kvetkez feladat a legegyszerbb 2-dimenzis esetben szemllteti a ttelt.

1.5. feladat. (V. A.1. plda.) Legyen s negatv skalr. Hatrozzzuk megaz

M =(0 0

)s w =

(11

)rendszer fixpontjt s ellenrizzk az 1.1. ttelt!

24

Homogn egyenletrendszer

Az algebrai lineris egyenletrendszerek megoldsbl ismert az inhomogn s hom-gn egyenlet megoldsnak kapcsolata. Most ezt a fajta kapcsolatot aknzzuk ki adifferenciaegyenlet-rendszer esetn.

Vezessk be az

(1.14) xdt = xt xoeltrsvektort, s vonjuk ki (1.10)-bl (1.10o)-t:

(1.15d) xdt =Mxdt1.

Szban: az eltrsvektorok kielgtik azt a homogn rendszert, amely az inhomogn(1.10) rendszerbl az additv lland elhagysval keletkezik. (1.15d) sorozatos behe-lyettestsvel addik

(1.16d) xdt =Mxdt1 =M

2xdt2 = =M txd0 .Visszarva az eredeti vltozkat: xt = xo +M t(x0 xo). Figyeljk meg, hogy ezt akpletet kzvetlenl is, br nmileg bonyolultabban, a mrtani sorozat ltalnostottsszegkplete segtsgvel is megkaphattuk volna.

A tovbbiakban a homogn rendszerrel foglalkozunk, s rvidsg kedvrt elhagyjuka d fels indexet, (azt is mondhatjuk, hogy w = 0.) A hivatkozsok kedvrt j alakjbanjra flrjuk az (1.15d) (1.16d) egyenletetprt:

xt =Mxt1,(1.15)xt =M tx0.(1.16)

ltalban clszertlen minden x0 kezdllapotra a hozztartoz xt-t (1.16)-tal, mtrix-hatvnyozssal kiszmtani. Mg akkor is igaz ez a megllapts, ha a takarkosM tx0 = M(M t1x0) itercit alkalmazzuk. Lineris algebrbl azonban ismert, hogyM sajtrtkei s sajtvektorai segtsgvelM t egyszeren flrhat. A dinamikus rend-szerek elemzsnl a transzformci sajtrtkeinek s sajtvektorainak jelentsgt p-pen az adja, hogy a transzformci hatvnyozsnl az elbbiek gy viselkednek, minthaskalrok volnnak, az utbbiak pedig helyben maradnak. Pontosabban:

(1.17) M ts = ts, t = 0, 1, 2, . . . .

Az egyszersg kedvrt tegyk fl, hogy ltezik n darab linerisan fggetlen sajtvek-tor, azaz egy sajtbzis:

P (j) = 0, j = 1, 2, . . . ,n;(1.18)Msj = jsj , j = 1, 2, . . . , n.(1.19)

Ekkor brmely x0 kezdeti vektor felrhat a sajtvektorok segtsgvel:

(1.20) x0 =nj=1

jsj .

Flhasznlva (1.16)(1.17)-et, (1.19)(1.20) a kvetkez sszefggst adja:

(1.21) xt =nj=1

jtjsj , t = 1, 2, . . .

Igaz az

25

1.2. tetel. Ha ltezik egy sajtbzis, akkor a sajtvektorok segtsgvel a kezdetillapotot flrhatjuk (1.20) alakban, s a sajtrtkeket is ignybe vve a t-edik llapotflrhat (1.21) alakban.

Megjegyzes. Gyakorlati szmtsokban elegend csak a sajtrtkeket megha-trozni. Ugyanis az xt =

nj=1 vj

tj , t = 0, 1, . . . sszefggsekben szerepl ismeretlen

vj vektorokat a kezdeti felttelekbl lehet meghatrozni.A kvetkez plda s kt feladat a legegyszerbb esetekben mutatja be az ltalnos

mdszer mkdst.

1.7. pelda. Diagonlis mtrix. Tegyk fl, hogy az M mtrix diagonlis:M = m. Ekkor a sajtrtkek: j = mj s a sajtvektorok: sj = ej (a j-edik egysg-vektorok). Vgl j = xj,0 a kezdeti llapot j-edik koordintja, azaz xt =

j xj,0

tjej .

A sajtbzisra val ttrs diagonalizlja az eredeti tanszformcit.

1.6. feladat. Szmols. rjuk fl az 1.5. feladat ltalnos homogn megoldst amost lert mdszerrel!

1.7. feladat. Alshromszg-mtrix. Hogyan egyszersdik a megolds egyalshromszg-mtrixnl, ahol mij = 0, ha j > i?

Tbbszrs sajtrtkek*

Mi trtnik, ha egy s sajtvektorhoz egy sajtrtk r-szeres algebrai multiplicitssaltartozik: r > 1? Itt segt a blokk-diagonlis szerkezet (A.5. ttel). A Jordan-fleblokk-diagonalizls miatt elegend csupn egyetlen blokkra szortkozni, amelyiknekegyetlen sajtvektora s egyetlen sajtrtke van, ez utbbi r-szeres algebrai multi-plicitssal. MQQ helyett M -et rva, M felrhat a kvetkez alakban: M = I+N , aholNr = 0. M t-re felrva a binomilis ttelt, csak az els r tag nem tnik el: (I +N)t =tI+tt1N+. . .+Ct,r1tr+1Nr1, ahol Ct,r a (t,r) binomilis egytthat. Kiemelvetr-t, M t elemei t-nek legfeljebb (r 1)-edfok polinomjai. Vgl sj-vel jelljk a j-edik fvektort sj1 = (I M)sj j = r,r 1, . . . ,1, ahol s1 az egyetlen sajtvektors s0 = 0. Ekkor

(1.21) xt =r

j=0

jtjtjsj .

Szmos matematikus-kzgazdsz gy oldja meg ezt problmt, hogy flteszi: min-den sajtrtk klnbz. Ezzel azonban kizrja magt az azonossg mtrixot is, ahola geometriai s az algebrai multiplicits egybeesik, teht van sajtbzis. Arnold (1984,26. 4.) szellemesen jegyzi meg: amikor a 18. szzadban Euler s Lagrange a differencia-(pontosabban: differencil)egyenletrendszerek megoldsnl tbbszrs sajtrtkekkeltallkoztak, mg nem ismertk a mtrixok Jordan-alakjt. Heurisztikus gondolatmene-tk a ktszeres sajtrtk (r = 2) esetben a kvetkezkppen szemlltethet: kzeltskmeg az M mtrixot olyan {Mk} mtrix-sorozattal, hogy Mk minden sajtrtke kln-bz. Ekkor 1,k s 2,k konvergl a ktszeres multiplicits sajtrtkhez, az s1,k ss2,k sajtvektor pedig a hinyos s sajtvektorhoz. De a 1t1 s 2t2 kombinci helyettvehetjk a 1t1 s 2(t2t1)/(21) kombincit, s akkor hatrrtkben 1t mella 2tt1 alapmegoldst kapjuk.

26

Komplex sajtrtkek

Az (1.21) egyenlet kzvetlenl hasznosthat, haM sszes sajtrtke vals. Mi trtnikazonban, ha vannak komplex sajtrtkek? Mivel az M mtrix elemei valsak, a P ()polinom egytthati is valsak. Jl ismert elemi algebrai ttel szerint ekkor mindenkomplex sajtrtk komplex konjugltjval egytt fordul el. Belthat, hogy ekkoraz sj sajtvektorok s a j koordintk is konjuglt prjukkal egytt vannak jelen,s vgl is a komplex szmok eltntethetk. Valban, a megoldsok sszeadhatsga(szuperponlhatsga) miatt n fggetlen sajtvektor ltezse esetn feltehet, hogy j =0, j = 3 . . . ,n. Legyen rendre az els sajtrtk, sajtvektor s koordinta , s s , amsodik hrmas pedig a konjugltjuk, , s s :

(1.19) Ms = s s Ms = s.

Mivel s nem nulla, s s s normlsval fltehetjk, hogy mind , mind egysgnyi. rjuk fl x0-t a sajtvektorok segtsgvel:

(1.20) x0 = s+ s,

s alkalmazzuk az M opertort t-szer:

(1.21) xt = ts+ ts.

Legyen s = Res+ iIms (koordintnknt), ahol i =1; s rjuk fl a Moivre-kpletet:

= ||(cos+ i sin) t = ||t(cost+ i sint).E kpletet behelyettestve, (1.21) a kvetkez alakot lti:

xt = ||t[(cost+ i sint)(Res+ iIms) + (cost i sint)(Res iIms)].Rendezzk a kapcsos zrjelben lv kifejezst. Kiesnek a kpzetes tagok, azaz

csak vals tagok maradnak, cost s sint szorzkkal. Igaz az

1.3. tetel. Ha az M mtrixnak van egy egyszer komplex sajtrtke s ssajtvektora, akkor a megfelel konjuglt pr blokk-megolds alakja

(1.22) xt = 2||t[Res cost Ims sint].Szemlltetsl kvetkezik egy plda s egy feladat.

1.8. pelda. 90o-os forgats a skban. Legyen

M =(0 11 0

).

Ekkor knnyen belthat, hogy az xt = Mxt1 lekpezs 90o-os elforgats a skban.Nem meglep, hogy 1,2 = i, azaz az x1,0 = 1 s x2,0 = 0 kezdeti llapot mellettx1,t = cos(tpi/2) s x2,t = sin(tpi/2).

1.8. feladat. Legyen s kt pozitv vals szm. Legyen

M = (cos sinsin cos

).

Mutassuk meg, hogy az xt = Mxt1 lekpezs egy -szoros nagytst/kicsinytst s szg forgatst r le a skban! Igazoljuk, hogy 1,2 = [cos i sin], valamintx1,t = t cost s x2,t = t sint!

27

Magasabb rend egyenletek.

Az 1.2. pldban mr emltettk, hogy vannak (1nl) magasabb rend differencia-egyenletek is, de ezek visszavezethetk elsrend rendszerekre. Most bemutatunk egyilyen visszavezetst az n-edrend skalris homogn lineris esetben. Legyen k valsegytthat, k = 1, . . . , n, s

yt =n

k=1

kytk, t = n, n+ 1, . . . ,

ahol adott az y0, . . . ,yn1 kezdeti llapot.Bevezetve az xk,t = ytk jellst, alkalmas n n-es M mtrixra felrhat az xt =

Mxt1 egyenletrendszer. Egyszerbb azonban rgtn felrni a rendszer karakterisztikusegyenlett: P () = n nk=1 knk = 0. Legyen az n gyk 1, . . . ,n, s alkalmas1, . . . ,n llandk segtsgvel a megolds yt =

nk=1 k

tk alakban felrhat.

A kvetkez plda klasszikus alkalmazsa az imnt elmondottaknak.

1.9. pelda. Fibonacci-szmok (1202). Egy gazdnak van egy pr nyula. Tegykfl, hogy ez a pr nyl minden hnapban egy jabb pr nyulat fiadzik, amelyek minde-gyike kthnapos kortl szintn havonta egy pr nylnak ad letet. A krds az, hogyaz egyms utn kvetkez hnapokban hny pr nyula lesz a gazdnak (Simonyi, 1981,122. o.). Knny beltni, hogy a vlaszt a kvetkez rekurzi adja: Ft = Ft1 + Ft2,F0 = 1 s F1 = 1. A rendszer karakterisztikus egyenlete (ms szval: a sorozat gene-rtorfggvnye): P () = 2 1, a sajtrtkek: 1,2 = (1

5)/2. A megolds

Ft = 1t1+2t2 alak. A kezdeti felttelekbl 1 s 2 meghatrozhat: F0 = 1+2 = 1

s F1 = 11 + 22 = 1. 1,2 = (55)/10.

Megjegyzes*. Fontos hangslyozni, hogy a magasabb rend rendszerekbena tbbszrs gykkhz csak egyetlen egy sajtvektor tartozik, teht itt a Jordan-alakalkalmazand. Ms esetekben azonban egyltaln nem biztos, hogy az algebrailag tbb-szrs sajtrtkek geometriailag is tbbszrsek.

Stabilits vagy instabilits

Az 1.1. alfejezetben definiltuk a loklis s globlis stabilits fogalmt. Most szksgnklesz a spektrlsugr fogalmra. A ngyzetes M mtrix spektrlsugara a legnagyobbabszolt rtk (dominns) sajtrtk abszolt rtke, jele: (M). Lineris rendszerekesetn a globlis s a loklis stabilits ekvivalens, s viszonylag egyszeren bizonythataz

1.4. tetel. A diszkrt idej (1.15) lineris rendszer akkor s csak akkor stabil,ha

(1.23) (M) < 1.

Bizonytas. a) Tegyk fl, hogy ltezik sajtbzis. Ekkor (1.21) [s (1.22)] sze-rint xt akkor s csak akkor tart nullhoz, ha minden sajtrtk-hatvny nullhoz tart,azaz minden sajtrtk abszolt rtkben kisebb, mint 1, azaz (1.23) teljesl. b) Azltalnos esetben (1.21) ugyanehhez az eredmnyhez vezet.

28

Megjegyzesek. 1. Az 1.4. ttel alapjn egy, az (1.23) felttelt kielgt mtrixotdiszkrt idben stabilnak nevezik.

2. Ha (M) = 1, akkor egyszeres dominns gyk esetn Ljapunov-stabilits, tbb-szrs dominns gyk esetn instabilits igazolhat. Ha (M) > 1, akkor a rendszerrobban, legalbbis majdnem minden kezdllapotra (lsd 1.10. pldt ksbb).

3. A skalrokra ismert vgtelen mrtani sor sszegkplett trivilisan ltalnost-hatjuk stabil mtrixokra: (I M)1 =t=0M t (Neumann-sor).

1.9. feladat. Multiplicits s stabilits. Hasonltsuk ssze az

M1 =(

0 11 0

)s M2 =

(1 10 1

)mtrix feladatok megoldsainak stabilitst! Figyeljk meg, hogyM1-nek kt egyszerdominns sajtrtke van,M2-nek egyetlen dominns sajtrtke van, 2-multiplicitssal!

lesebb eredmnyt kapunk, ha bevezetjk a nemnegatv elem, irreducbilis mtrixfogalmt. Az A.7. ttel szerint ekkor igaz az 1.1. ttel lestse.

1.5. tetel. Ha M 0 irreducbilis s stabil, valamint w > 0, akkor az (1.10)lineris rendszernek pontosan egy fixpontja van, amely pozitv.

Stabilitsnl a konvergencia aszimptotikus sebessgt a csillaptsi tnyezvel mr-jk, amelyet kt egymst kvet llapoteltrs vektor hosszval (normjval) kpzettreciprok hnyadosnak a hatrrtkeknt kapunk, ha a hatrrtk ltezik. Kplete:

= limt

||xdt ||||xdt+1||

.

Knnyen belthat az

1.6. tetel. (Mises.) Ha az M mtrix dominns sajtrtke vals, akkor az (1.10)iterci csillaptsi tnyezje majdnem minden kezdllapotra ltezik s

=1

(M).

Bizonytas. Sajtbzis ltezse esetn (1.21)-bl kvetkezik az llts, feltve,hogy a kezdllapotnak van dominns sajtvektor (mondjuk, s1) irny sszetevje:1 6= 0. Az ltalnos bizonytsnl (1.21)-ot alkalmazzuk.

rdekes, hogy gpi szmtsnl mg akkor is igaz a ttel, ha a kezdllapotnaknincs s1 irny sszetevje: 1 = 0. A kvetkez plda bemutat egy ilyen esetet:

1.10. pelda. nkorrekci (Ralston, 1965, 10.2. plda)

M =

1 1 0,51 1 0,250,5 0,25 1

s x0 = 0,649551160,74822116

0

.29

Most xt 2t2s2-t kveti egy ideig (t = 2 s 20 kztt), de a kerektsi hibk hatsraa 40. lpstl kezdve rlp a helyes tra: xt t1s1 krlbell t = 40-tl (1.1. bra).Egybknt majdnem minden kezdllapotra teljesl a 1 6= 0 felttel.

Megjegyzesek. 1. Komplex dominns sajtrtkek esetn nincs konvergencia, de1/(M) mg ekkor is j tjkoztatst ad arrl, hogy a rendszer tlagosan milyen gyorsankzeledik a fixponthoz (vagy tvolodik attl) (v. 1.3. alfejezet).

2. Paradox mdon a numerikus analzisben az 1.6. ttelt visszafel hasznljk: az(1.15) iterci segtsgvel llaptjk meg az M transzformci dominns sajtrtkt.

Az A. fggelkben bevezetett aciklikus mtrixoknl A.8b. ttelt alkalmazva lest-het a ttel:

Kovetkezmeny. Ha M 0 s Mn > 0 (aciklikus mtrix), akkor az M mtrix-nak egyetlen egyszer pozitv dominns sajtrtke van, s a csillaptsi tnyez mindenpozitv kezdllapotra ltezik.

Klnleges eset

Kln figyelmet rdemel a w = 0 s (M) = 1 eset, egyszeres vals gykkel. Ha adominns gyk pozitv, azaz 1, akkor a bal s jobb oldali dominns sajtvektor, p1 ss1, fixpont. Megfelel normlssal, pldul pT1 s1 = 1, egyrtelm megoldst kapunk.

1.7. tetel. Tegyk fl, hogy w = 0 s az M mtrix dominns sajtrtke 1, baloldali dominns sajtvektora pT1 = pT1 M s szortkozzunk a pTx0 = 1 hiperskra. Ekkoraz (1.10) iterci tagjai is a hiperskon maradnak:

(1.24) pT1 xt = 1, t = 1, 2, . . . ;

s az (1.24) normls mellett a az iterci s1-hez tart.

Bizonytas. (1.21)-et balrl beszorozva p1-gyel, pT1 xt = pT1 M tx0 = pT1 x0 =1. Beszorozva (1.21)-et p1-gyel s figyelembe vve az A.3. ttelt, addik pT1 xt =

j jtjpT1 sj = 1p

T1 s1. Normlsunk folytn 1 = 1.

Kovetkezmeny. Az 1.7. ttel felttelei mellett, ha M 0 s Mn > 0, akkorp1 s s1 > 0 s minden x0 > 0 kezdllapotnak van dominns sajtvektor (s1) irnysszetevje: 1 > 0, teht limt xt = 1s1.

Bizonytas. Mn > 0 esetn a dominns sajtrtk algebrai multiplicitsa 1 (A.8b.ttel), s1 > 0, p1 > 0.

Megjegyzes. rdemes valsznsgszmtsi nyelvre is lefordtani az 1.7. ttelt.Legyen M = (mij) egy tmenetvalsznsgi mtrix, ahol mij 0 annak a valszn-sge, hogy egy lps alatt a rendszer a j-edik llapotbl az i-edikbe kerl:

imij = 1,

j = 1, . . . , n. Legyen xt 0 valsznsgi eloszlsvektor, ahol xi,t annak a valsz-nsge, hogy a t-edik idszakban a rendszer az i-edik llapotban van:

i xi,t = 1.

Ekkor a teljes valsznsg ttele szerint xi,t =

jmijxj,t1. Mtrixjellsekre ttrve:1TM = 1T, xt =Mxt1 s 1Txt = 1. Homogn Markov-lncunk van, amelynek tme-netmtrixrl fltesszk, hogy aciklikus: Mn > 0. Ekkor a hatreloszls ltezik, azaz a

30

lnc ergodikus: limt xj,t = xoj , j = 1, . . . , n (Rnyi, 1966, 403409. o.): xo = Mxo,a jobb oldali dominns sajtvektor. Negatv dominns sajtrtk (1 = 1) esetnnagyon egyszer ciklusmodellt kapunk: s1 = Ms1 miatt xt xt1, azaz xt xt2,2-hatrciklus. Mindssze az a nehzsg, hogy ellenttben a 1 = 1 esettel , nincsokunk azt felttelezni, hogy (M) = 1 tipikusan teljesl.

Stabilits s mkdkpessg

Mr a knyv Bevezetsben szltunk arrl, hogy a stabilits csak aszimptotikus mins-ts, s gyakran szksgnk van az tmeneti folyamatok elemzsre is. Erre vonatkozika mkdkpessg fogalma, amely legegyszerbb esetben azt jelenti, hogy az xt llapotminden t-re eleme az Rn-beli P tartomnynak. Vektor- s mtrixnorma segtsgvelgyakran egyszer becslst tudunk adni azokra a kezdeti llapotokra, amelyekbl m-kdkpes plya indul. Fltesszk, hogy az xo fixpont a P tartomny bels pontja,azaz van olyan r > 0 szm, amelyre az ||x xo|| < r felttelnek eleget tev llapotokmind benne vannak P-ben. Az r sugar, xo kzppont B(xo,r) gmb rsze P-nek:B(xo,r) P. A vektor- s a mtrixnorma j szolglatot tesz a stabilits elemzsnl is.

1.8. tetel. (V. Martos, 1990, 7. fejezet.) a) Ha ltezik llandsult llapot salkalmas normban

(1.25) ||M || 1, illetve ||M || < 1,

akkor az (1.10) iterci Ljapunov (aszimptotikusan) stabil.b) Az a) pont felttelei mellett tegyk fl, hogy alkalmas r > 0 szmra B(xo,r) P.

Ekkor a B(xo,r) tartomny minden pontjbl mkdkpes plya indul.

Bizonytas. a) Visszatrnk az eltrsrendszer jellseihez: (1.15d) szerint xdt =Mxdt1, (A.17) s (1.25) szerint

(1.26) ||xdt || = ||Mxdt1|| ||M || ||xdt1|| ||xdt1||,

azaz minden > 0-hoz elegend = -t vlasztani, hogy ||xd0 || < -bl kvetkezzk||xdt || < .

b) ||xdt || < ||xd0 || rtelmben x0 B(xo,r)-bl kvetkezik xt B(xo,r). Hasonl abizonyts aszimptotikus stabilitsnl.

Az alfejezetet lezrja az

1.10. feladat. Tekintsk t a fenti tteleket n = 1 esetn.

Az n = 1 esetn az 1.2. bra az eljelvlt (ksbbi elnevezssel: oszcilll) M =1,1;1,0,9; az 1.3. bra az eljeltart (ksbbi elnevezssel: oszcilllmentes) 0,9; 1s 1,1 esetet brzolja. Lthat, hogy mindkt esetben rendre instabil, ciklikus/llands stabil plya alakul ki.

31

1.3. SKBELI LINERIS RENDSZEREK

Alapfogalmak

A differenciaegyenletek elmletben kiemelkeden fontosak a ktvltozs rendszerek, sazon bell is a linerisak. Ebben a pontban teht az lland-egytthats ktvltozs(skbeli) lineris rendszereket kln megvizsgljuk: n = 2, klns tekintettel az oszcil-lcikra (ciklusra). Szksgnk lesz a rendszer msodfok karakterisztikus polinomjra,melynek gykei meghatrozzk a rendszer kvalitatv viselkedst:

(1.27) P () = 2 + ,

ahol

(1.28) = trM = m11 +m22 s = detM = m11m22 m12m21.

Oszcillcirl beszlnk, ha az eltrsvltozk minden idbeli korltozson tl idn-knt eljelet vltanak. Kt alesete van:

a) Elfajult oszcillci ll fnn, amikor egy tmeneti idszak utn mindkt vltozminden idszakban eljelet vlt.

b) Szablyos oszcillci ll fnn, amikor a kt vltoz eljelvltsa nem mindigegyidej.

A jelzk arra a kvetkez fejezetben szerepl 2.2. s 2.3. brn bemutatott tnyreutalnak, hogy aszimptotikusan az a) esetben 1, a b) esetben 2-dimenzis a dinamika.

Elszr a sajtrtkek alapjn osztlyozzuk a skbeli lineris rendszereket. Nemli-neris rendszerekben ltni fogjuk (3. s 4. fejezet), hogy egy adott rendszer klnbzkezdllapotai klnbz tpus (oszcilll vs. oszcillcimentes vagy stabil vs. ins-tabil) plykat adnak. Ktvltozs lineris rendszerben osztlyozsunk jelentktelenkivtelektl eltekintve , fggetlen a kezdllapottl, azaz egy adott tpus (majdnem)minden plyja ugyanolyan tpus.

1.9. tetel. Tipikusan a kvetkez sajtrtk prostsok alapjn osztlyozzuk askbeli lineris rendszereket; szimmetria miatt feltehet, hogy |2| |1|:

a) a dominns sajtrtk pozitv, |2| < 1: oszcillcimentes;b) a dominns sajtrtk negatv, |2| < 1: elfajultan oszcilll;c) komplex sajtrtkek, |Re1| < |1|: szablyos oszcillci.Megjegyzes. Elvileg az a)c) eset brmelyike kombinldhat a stabil, instabil s

Ljapunov-stabil eset brmelyikvel. St, tovbbi fontos alesetek is elfordulnak, pldul,ketts vals sajtrtk (1 = 2 = 1) esetn a rezonancia. Nincs ternk az sszes esetszmbavtelre. Vgl megemltjk, hogy a differenciaegyenleteknl fllp sokflesgaz egyik oka annak, hogy a matematikusok inkbb differencilegyenletekkel dolgoznak(lsd 5. fejezet).

Bizonytas. Fltesszk a sajtbzis ltezst, s ez a tipikus eset. (1.21) most kt-tag, xt = 1t1s1+2t2s2. Vals gykk esetn t1 dominancija miatt xt 1t1s1. Azaszimptotikus tag koordintinak eljele nagy t-re a)-nl t-tl fggetlen, b)-re alternl.c) Lsd az (1.22) sszefggst.

Az 1.4. bra nmileg eltr osztlyozst szemlltet.

32

1.11. feladat. a) rjuk fl a hinyz lnyegtelen eseteket! b) Mi a klnbsg akvetkez kt sajtrtkpr kztt: (1;0,5) s (1;0,5)?

A sajtrtken alapul osztlyozst kiegszti az egytthatkon alapul osztlyozs.

1.10. tetel. Elfajult oszcillci akkor s csak akkor valsul meg, ha

(1.29) 2 4

s 0.

Bizonytas. Induljunk ki a msodfok egyenlet gykei s egytthati jlismertsszefggsprjbl:

(1.30) 1 + 2 = , 12 = .

(1.29) azzal ekvivalens, hogy P () mindkt gyke vals, 0 azt biztostja, hogy vannegatv dominns sajtrtk.

Kvetkezik a szemlltets.

1.11. pelda. Elfajult vagy szablyos oszcillci. a) Negatv dominns diagonlis-mtrix (m11m22 > m12m21) rendszer elfajultan oszcilll. b) A ngyfzis inga szab-lyosan oszcilll (4-ciklusa van, 1.1. feladat).

A szablyos oszcillcit rszletesebben elemezzk. Ekkor matematikailag folyto-noss tehet a megolds, hiszen (1.22)-ben a cost s a sint fggvny tetszlegesvals t-re rtelmezve van. rtelmezhet egy folytonos idej peridus is. Belttuk, hogyfolytonos idej oszcillcinl az llapoteltrs irnya visszatr korbbi helyzetbe: ez afolytonos idej peridus.

Egy ktvltozs lineris rendszert folytonos idben ciklikusnak neveznk, ha osz-cilll, s nemcsak az irny, hanem maga az llapot tr vissza. Ezen bell kt alesetklnbztethet meg: ) ciklus s ) kvziciklus.

A 20. szzad elejn Weyl tanulmnyozta a kvziciklus legegyszerbb esett, azirracionlis forgsszg forgatst. Legyen t egy vals szm, amely a rendszer llapottmutatja a t idszakban, konkrtabban: az egysgkrvonalon milyen szget zr be avzszintes tengellyel. Legyen /pi egy irracionlis szm. Ekkor t = t1 + .

Weyl fedezte fl, hogy e fenti lekpezs egyenletes eloszlst generl (Plya s Szeg,1924/80, II. ktet II. rsz, 4.1. alfejezet)

Az elmondottakat a naptr pldjn szemlltetjk. Az egyszersg kedvrt tegykfl, hogy a Fld pontosan 365 s 1/4 nap alatt kerli meg a Napot. Diszkrt idben(napokban) szmolva a peridus kb. 4 v (4 365 + 1 = 1461 nap), holott a valsgbanminden vben visszatr a Fld korbbi helyzetbe. A megolds Julius Ceasar i.e. 45-ben bevezett naptra volt, amely minden nggyel oszthat vet szkvnek nevezett, segy 366. napot (februr 29.-t) is hozzadott. A Fld esetben folytonos idej mozgsdiszkrt megfigyelsrl van sz, de ms, tiszta diszkrt esetben is elfordul, hogy egynagy ciklus tbb, egymshoz kzeli kis ciklusbl ll. Pontosabb kzeltsben a Fld

33

Nap krli plyja kvziciklikus, mert a csillagszati v s a nap tartamnak hnyadosanem (kis nevezj) racionlis szm (a 365 s 1/4 rtk csak kzelts, ezrt kellett XIII.Gergely ppnak 1582-ben kivennie a 100-as veket s benntartania a 400-as veket aszkvek kztt).

Folytatjuk az 1.10. ttelben elkezdett osztlyozst.

1.11. tetel. a) A ktvltozs lineris rendszer akkor s csak akkor szablyosanoszcilll, ha teljesl (1.29) tagadsa:

2 < 4.

b) Szablyos oszcillci esetn a folytonostott megolds P peridusa s csillap-tsi tnyezje fggetlen a kezdeti rtkektl:

(1.31) P =2pi, ahol = arccos

(

2

)s

(1.32) =1.

c) A szablyosan oszcilll rendszer akkor s csak akkor ciklikus a folytonos idben,ha (1.29) tagadsa mellett teljesl

(1.33) = 1.

Megjegyzes. Az imnt kimondott ttel alapjn knnyen tehetnk hasonl meg-llaptsokat a nem vizsglt esetekre. Pldul a szablyos oszcillci stabil, ha < 1;s instabil, ha > 1.

Bizonytas. a) Komplex gykk negatv diszkriminnsnl lpnek fl.b) Legyen a kt gyk 1,2 = (cos i sin)/, ahol s pozitv vals szm, s

i a komplex egysggyk. Behelyettestve a komplex gykprt (1.30)-ba, addik, hogy2 cos = s 1/ =

. Ezzel bebizonytottuk az (1.31)(1.32) sszefggst.

c) Nyilvnval, hogy a szablyos oszcillci akkor ciklikus folytonos idben, ha csil-laptsi tnyezje 1, azaz (1.32) folytn ha (1.33) teljesl.

A kvetkez plda kzvetlenl az egytthatk alapjn alapjn hatrozza meg astabilitsi feltteleket.

1.12. pelda. Stabilitsi felttelek (Samuelson, 1947). A skbeli lineris dinamikusrendszer akkor s csak akkor stabil, ha az (1.27)(1.28)-beli karakterisztikus egyenletegytthati kielgtik a kvetkez hrom felttelt: 1++ > 0, 1+ > 0 s < 1.

Bizonytas. a) Komplex gykk: az 1.11. ttel szerint 2 < 4, (1.32): 0 < < 1.1 + > 1 2+ = (1)2 > 0.

b) Vals gykk. Megint a gykk s egytthatk kzti (1.30) sszefggst hasz-nljuk. Az sszes esetet vgig vizsglva addik, hogy 1 < 1 < 2 < 1 ekvivalens a

34

P (1) > 0, P (1) > 0 s < 1 felttelhrmassal.

A lineris ciklusmodelleknek kt alapvet problmja van: 1. a kvziciklus, de mg-inkbb a diszkrt peridus ciklus csak kivteles paramterrtkekre valsul meg, lsd (1.28) defincija s (1.33); 2. az itt nem trgyalt amplitudt, a legnagyobb kilengsta kezdeti rtk egyrtelmen meghatrozza. Ezt az ikerproblmt csak nemlinerismodellekben lehet megoldani (3. fejezet).

1.4*. LINERIS SZABLYOZSI RENDSZEREK

Ebben az alfejezetben az 1.1. alfejezetben rviden bevezetett szablyozsi rendszereklineris osztlyval foglalkozunk (v. Aoki, 1976 s Martos, 1981).

Szablyozhatsg

Legyen x Rn az llapotvektor s u Rm a szablyozsi vektor. Legyen A s Brendre az n n-es rendszer- s az nm-es bemeneti mtrix, p egy n-dimenzis vektor.Flrhatjuk egy diszkrt-idej lland-egytthats lineris rendszerllapotegyenlett:

(1.34) xt = Axt1 +But + p, t = 1,2,..,

az x0 kezdeti llapot adott.Fltehetjk, hogy a szablyozsi vektor dimenzija legfeljebb akkora, mint az l-

lapotvektor: m n (mirt?). Mindenekeltt mutatunk egy olyan pldt, ahol azllapotvektor dimenzija nagyobb, mint a szablyozsi vektor.

1.13. pelda. n = 2 > m = 1. yt = 1yt1 + 2yt2 + ut, ahol yt s ut skalr-vltozk. Legyen xt = (yt,yt1), s az 1.1. alfejezetben bemutatott talakts szerint

x1,t = 1x1,t1 + 2x2,t1 + ut s x2,t = x1,t1.

Azaz

A =(1 21 0

), B =

(0

).

Igaz az

1.12. tetel. (Kalman, 1960.) Egy lineris (A,B) szablyozsi rendszer akkor scsak akkor szablyozhat, ha teljesl a kvetkez rangfelttel:

(1.35) r[B,AB, . . . ,An1B] = n,

ahol az nm-es B,AB, . . . ,An1B mtrixok egyms mellett llnak. Ekkor legfeljebb nidszak alatt elrhetjk clunkat.

35

A bizonyts eltt kt vgletes pldt mutatunk be:

1.14. pelda. A = I esetn (1.35) az r(B) = n egyenlsgre egyszersdik, azazm n. Kivlasztva n fggetlen oszlopot, ugyanannyi szablyozsi vltozt kapunk,mint llapotvltozt, s a cl valban azonnal megvalsthat: tegyk fel, hogy B egyn n invertlhat mtrix. Ekkor u1 = B1(x1 x0 + p).

1.15. pelda.* m = 1 esetn (1.35)-re a mtrixok Jordan-alakjbl ciklikus felt-telt kapunk: a b,Ab, . . . ,An1b vektoroknak fggetleneknek kell lennik, st bzist kellalkotniuk.

Bizonytas. Tegyk fl, hogy a rendszer szablyozhat, azaz van olyan u1, . . . , uTszablyozsi vektorsorozat, amelyre x0 = x1 s xT = x2. Az n. megold-szorzkmdszert alkalmazva, szorozzuk be a t-edik idszakra vonatkoz egyenletet ATt-vel:

ATtxt = ATt+1xt1 +ATtBut, t = 1, . . . , T.

Vegyk szre, hogy a t-edik sor bal oldaln ugyanaz a kifejezs ll, mint a (t+1)-ediksor jobb oldaln. Ezrt a T egyenletet sszeadva, a kvetkez egyenletet kapjuk:

(1.36) xT = ATx0 +Tt=1

ATtBut.

Az (1.36) egyenlet tansga szerint a bal oldalon ll tetszleges xT vektor elllt-hat a jobb oldalon szerepl alakban, teht a rangfelttel teljesl, mgpedig a CayleyHamilton (A.4.) ttel szerint T n. Megfordtva, ha teljesl a rangfelttel, akkormegfelel {ut}-sorozatra az xT -re vonatkoz (1.36) egyenlet teljesl.

Megjegyzes. rdemes megemlteni, hogy az (1.36) jobb oldaln ll kt tagnakszemlletes jelentse van: az els tag az x0 kezdeti felttelhez tartoz homogn megolds(u = 0), a msodik tag pedig az x0 = 0 kezdeti felttelhez tartoz partikulris megolds.

A kvetkez plda emlkeztet arra, hogy az imnt ltott eljrst mr kzpiskolblismerjk.

1.16. pelda. A mrtani sor sszegkplete: st = st1 + qt1, s0 = 1. Fokozatosbehelyettestssel: st = 1 + q + . . . + qt. Beszorozva mindkt oldalt q 6= 1-gyel: qst =st + qt+1 1, majd kivonva egymsbl a kt egyenletet, addik st = (qt+1 1)/(q 1).

Megfigyelhetsg

Gyakori, hogy az llapotvektort nem tudjuk teljesen megfigyelni, de azrt mgis szeret-nnk az (1.34) rendszert szablyozni. Ezt a helyzetet formalizljuk most. Legyen y Rza megfigyelsi vektor s C egy z n-es megfigyelsi mtrix, amelyek meghatrozzk amegfigyelsi egyenletet:

(1.37) yt = Cxt.

Szksgnk lesz a kvetkez defincira: egy (A,C) rendszertmegfigyelhetnek neveznk,ha brmilyen x0 kezdllapot vges sok ksbbi megfigyelsbl kiszmthat.

36

1.13. tetel. (Kalman, 1960.) Egy lineris (A,C) megfigyelsi rendszer akkor scsak akkor megfigyelhet, ha teljesl a kvetkez rangfelttel:

(1.38) r[C,CA, . . . ,CAn1] = n,

ahol a z n-es C,CA, . . . ,CAn1 mtrixok egyms alatt llnak. Ekkor legfeljebb nidszak alatt megllapthatjuk x0-t.

A korbbi kt szlssges pldt most j szereposztsban mutatjuk be.

1.17. pelda. A = I esetn r(C) = n, azaz vlasztva n fggetlen sort, ugyanannyimegfigyelsi vltozt kapunk mint llapotvltozt, s a rekonstrukci azonnal megval-sthat.

1.18. pelda.* z = 1 esetn a C mtrix a c vektorra egyszersdik, (1.38)-ra a mt-rixok Jordan-alakjbl ismert ciklikus felttelt kapjuk: a c,cA, . . . ,cAn1 vektoroknakfggetleneknek kell lennik s bzist kell alkotniuk.

Bizonytas. Ha (1.38) teljesl, akkor a hipermtrix oszlopai fggetlenek, tehttetszleges, kptrbeli {y0/y1/ . . . /yn1} hipervektorhoz tallhat n olyan vals szm,hogy a belle kpzett x0 vektor kpe a hipervektor, azaz x0 a megfelel kezdeti llapot.A megfordts bizonytsa hasonl.

Belthat, hogy a megfigyelsi s a szablyozsi feladat egyms dulisa: az 1.12. saz 1.13. ttel egymsbl az A mtrix transzponlsval addik. A tovbbiakban mindigfeltesszk, hogy az (A,B,C) rendszer szablyozhat s megfigyelhet.

Visszacsatols s stabilizlhatsg

Lineris visszacsatolsrl beszlnk, ha a szablyozs lineris fggvnye az llapotnak:

(1.39) ut = Kxt1 + q,

ahol q egy n-dimenzis vektor.A K mtrix kij elemeit reakciegytthatknak nevezzk, hiszen azt mutatjk,

hogy az i-edik dnts mennyire reagl a j-edik jelzsre. Egy (1.34) alak linerisdifferenciaegyenlet-rendszert az (1.39) lineris visszacsatolssal stabilizlhatnak neve-znk, ha ltezik olyan m n-es K mtrix, amelyre az M = A BK mtrix stabil:(M) < 1.

Bizonythat (Aoki, 1976, 135136. o.) az

1.14. tetel. (Kalman, 1960.) Ha az (A,B) rendszer szablyozhat, akkor sta-bilizlhat.

Az 1.14. ttelt szemllteti a kvetkez plda.

1.19. pelda. Az 1.14. plda folytatsa. Az elemi xt = xt1 + But dinamikusszablyozhat rendszer a K = B1 visszacsatolssal a stabilizlhat.

37

Decentralizlt stabilizls

Mind a numerikus analzisban, mind a kzgazdasgi szablyozselmletben alapveta teljesen decentralizlt lineris szablyozs s stabilizlhatsg. Szmos alkalmazsszempontjbl (lsd: 2.3. s 6.3. alfejezet) elegend azt az esetet vizsglni, ahol m = n,A = I, B invertlhat (1.14. plda), s a K visszacsatolsi mtrix diagonlis, vagysorcserkkel azz tehet: K = k. Szemlletesen azt mondhatjuk, hogy ltezik nfggetlen szablyoz egysg, az i-edik egysg megfigyeli sajt llapott, xi,t1-t s annakrtke alapjn hozza meg az ui,t dntst. A decentralizls nagy elnye a centralizltmegoldssal szemben: nem kell egy kzpontba sszegyjteni az informcikat. Ekkor(1.34) s (1.39) alapjn

xt = xt1 +But + p,(1.40)ut = kxt1 + q;(1.41)

azaz

(1.42) xt = (I Bk)xt1 + p+Bq.Vagyis azM = IBk s w = p+Bq jellssel visszajutunk az (1.10) alapegyenlet-

hez. Mieltt a decentralizlt stabilizlhatsgra vonatkoz eredmnyeket ismertetnnk,kimondunk egy felttelt, amely a B mtrix invertlhatsgnl (regularitsnl) nmi-leg ersebb. Egy B mtrixot ersen regulrisnak neveznk, ha sorai s oszlopai egyidejfelcserlsvel olyan alakra hozhat, hogy a keletkez (de jelletlen) Br = (bij)1i,jrsarokmtrixok is invertlhatk, r = 1, 2, . . . , n. Fuller s Fisher (1958) numerikusanalzisbeli ttelt alkalmazva, belthat az

1.15. tetel. (McFadden, 1969.) Minden ersen regulris B mtrix (1.40)rendszer teljesen decentralizltan stabilizlhat.

A bizonyts lnyege hasonlt a mtrixok -triangularizlsnl (Zalai, 1989, 7. feje-zet fggelke, vagy e knyv 5.10. ttelnek bizonytsvzlata) hasznlt elvhez: az i-edikdntshoz rdemben csak a j-edik dntshozkra hat (j < i), s a visszacsatolsi re-akciegytthatjnak nagysgrendje i. Sajnlatos mdon az gy add konvergencianagyon lass.

Ezen a ponton a kvetkez megllaptst tehetjk. A numerikus analzis nyelvnszlva, egy gyorsan konvergl (1.40)(1.41) iteratv megolds algoritmikusan hatko-nyabb lehet, mint ha (1.13) alapjn IM invertlsval keresnnk meg az xo fixpontot.Bodewig (1959) s Varga (1962) lvezetes trtneti visszatekintst ad, a feladat vissza-vezethet Gauss 1823-as levelhez.

Most pedig gyzdjnk meg az 1.15. ttelbeli kt fogalom klnbsgrl.

1.12. feladat. Centralizlt s decentralizlt stabilizlhatsg. Bizonytsuk be,hogy , < 0 esetn a

B =(0 0

)mtrix a) invertlhat, b) nem ersen regulris, c) centralizltan stabilizlhat s d)nem stabilizlhat teljesen decentralizltan!

38

A fejezet htralv rszben Simonovits (1978) s (1981b) eredmnyeit foglalomssze. A bemeneti mtrixok egy specilis osztlyval foglalkozunk, amely mind a nu-merikus analzisben, mind a kzgazdasgi alkalmazsokban fontos (Young, 1970, 2.7.fejezet L-mtrixai, vagy a Metzler-mtrixok (1945) ellentettjei). A B mtrix tls elemeiegysgnyiek s az tln kvli elemek nem pozitvak:

(1.43) bii = 1 s bij 0, i 6= j.

Szksgnk lesz (1.40) koordints alakjra:

xi,t = xi,t1 + ui,t +j 6=i

bijuj,t + pi, i = 1, . . . , n.

Bevezetjk a kereszthatsok mtrixt:

(1.44) N = I B 0,

s kiktjk, hogy N irreducbilis s a sajthatsok dominljk a kereszthatsokat:

i 6=j

bij < 1, j = 1,..,n.

Vektoralakban:

(1.45) 1TN < 1T, ahol 1T = (1, . . . ,1)

az sszegz sorvektor.Az A.9. ttel b) kvetkezmnye szerint (1.45) ekvivalens az N mtrix stabilitsval:

(N) < 1.Rtrnk a dinamikra. Az alapegyenlet mtrixa most

(1.46) M == I Bk = I k+Nk

Vegyk szre, hogy csillaptott visszacsatols, azaz

(1.47) 0 < k 1

esetn M jl kezelhet.

1.1. segedtetel. Tegyk fl, hogy pozitv sajthatsok dominljk a negatv ke-reszthatsokat [(1.43) s (1.45)] s csillaptott a visszacsatols [(1.47)]. Ekkor az Mmtrix nemnegatv elem, irreducbilis s spektrlsugara cskken fggvnye k mindenelemnek, kvetkezskppen kisebb, mint 1: az M mtrix stabil.

Bizonytas. (1.47) esetn M nyilvnvalan nemnegatv elem s irreducbilis.Legyen M pozitv dominns sajtrtke , a hozztartoz sajtvektor s > 0. rjuk fl amegfelel sajtrtk-egyenletet: s =Ms. Behelyettestve (1.46)-ot:

(1.48) s = (I k+Nk)s.

39

Prbljuk meg az egyenletet olyan alakra hozni, hogy k csak pozitv eljellel szerepeljen.Rendezssel addik (1 )1s = k1(I N)1s.

A jobb oldalon az (I N)1 > 0 rezolvens mtrix szerepel, amely a kzgazdasg-tanban a foly-rfordtsok mtrixnak Leontief-inverze nven kzismert (A.7e. ttel).Most alkalmazzuk az A.7d. ttelt, mely szerint a spektrlsugr nvekv fggvnye amtrix minden elemnek. Rgztett i-re, ki-t nvelve k1i cskken, (1 )1 szintn,teht szintn cskken. Mivel k = 0-ra = 1, < 1. (A szemipozitv k eset;vel nemfoglalkoyunk.)

Hla a modell egyszer szerkezetnek, az 1.1. segdttel alapjn az 1.2. fejezeteredmnyei kzvetlenl alkalmazhatk a stabilitsra, az ltalnostott oszcillcimen-tessgre s a csillaptsi tnyezre. Az 1.6. ttel kvetkezmnybl addik az

1.16. tetel. Tegyk fl, hogy a pozitv sajthatsok dominljk a negatv ke-reszthatsokat [(1.45)] s csillaptott visszacsatols mkdik [(1.47)].

a) A decentralizlt visszacsatols stabil, csillaptsi tnyezje

(1.49) =1

(I k+Nk) .

b) A maximlis csillaptsi tnyez a k = 1 esetn valsul meg, rtke

(1.50) 1 =1

(N).

c) A szablyozs tipikusan (aszimptotikusan) oszcillcimentes.

Megjegyzes. Ha tllpnk a 0 < k 1 korlton, akkor legtbbszr tovbbgyorsthatjuk a szablyozs konvergencijt. Ez a jelensg jl ismert a lineris egyenlet-rendszerek numerikus megoldsval foglalkoz irodalombl s a tlrelaxls nevet viseli(Young, 1970, 4. fejezet).

lesthetjk az eredmnyt, ha bevezetjk a P -ciklikus mtrixok osztlyt. (Az 1.12.feladat B = N mtrixa a legegyszerbb 2-ciklikus mtrix.)

(1.51) N =

0 N1 0 . . . 00 0 N2 . . . 0...

......

. . ....

NP 0 0 . . . 0

,ahol a NQ mtrix rQ rQ+1 mret, Q = 1, . . . , P , rP+1 = r1.

A lineris decentralizlt (1.41) visszacsatolst egyntetnek nevezzk, ha mindenreakciegytthat azonos:

(1.52) k = 1.

Egyntet visszacsatolsnl vagy ciklikus bemeneti mtrixnl az 1.16. ttel lesthet:

40

1.17. tetel. a) Tegyk fl, hogy a pozitv sajthatsok dominljk a keresztha-tsokat [(1.45)], a kereszthats-mtrix P -ciklikus [(1.51)] s a visszacsatols egyntet[(1.52)]. Ekkor a decentralizlt szablyozs csillaptsi tnyezje > 1 esetn cskkenfggvny.

b) Az a) esetben az optimum (1.47) korltozs nlkl is a = 1 esetben valsulmeg.

c) 2-ciklikus kereszthats-mtrix s tetszleges reakciegytthat esetn is az opti-mum a k = 1-nl valsul meg.

Bizonytas. a) (1.46) s (1.52) rtelmbenM = (1)I+N . Az A.8a. ttel sze-rint a nemnegatv elem P -ciklikus mtrixok (dominns) sajtrtkei P -szimmetrikusak.Legyen a P -edik komplex egysggyk s = (N): ekkor a pozitv sajtrtk mel-lett a Q is sajtrtk, Q = 1, . . . , P 1: Q = 1 + Q. Knnyen belthat,hogy > 1 esetn 1 > 0 elveszti dominancijt, s helybe a q = [(P + 1)/2] indexsajtrtk lp (ahol [ ] egy vals szm egsz rszt jelli). Valban, pros P esetnq = 1 < . Pratlan P esetn egy olyan derkszg hromszg keletkezik,amelyben a befogk hossza 1 s q, az tfog |q|. Mindkt esetben |q| > .

b) Nyilvnvalan kvetkezik az 1.16. ttelbl s a)-bl.c) Ha lemondunk mind a csillaptottsgrl, mind egyntetsgrl, akkor olyan bo-

nyolult a levezets, hogy elhagyjuk. Az alaptlet a kvetkez talaktson nyugszik:

(1.53) x = [( 1)I + k]1kNx.

P = 2 s k = 1 esetn pozitv sajtrtk mellett a negatv is sajtrtk. (Ez valsmtrixok komplex sajtrtkeire termszetes, de a vals sajtrtkeire nem.) Jelenlegismeretlen, hogy igaz-e a c) llts tetszleges P -ciklikus mtrixra.

Kvetkezik a szemlltets.

1.20. pelda. Skbeli rendszer. n = 2 s 2-ciklikus rendszer (n11 = n22 = 0)s egyenletes visszacsatolsnl, mindkt sajtrtk vals, k = 0-nl 1, k = 1-nlb11b22 optimum.

41

2. DISZKRT IDEJ LINERIS MODELLEK

Ebben a fejezetben diszkrt idej lineris gazdasgi modelleket tanulmnyozunk. Diszk-rt idej gazdasgi modellekben az elemzsi idszak hossza ltalban egy v vagy egynegyedv, de szlssges esetben lehet akr tbb vtized is (B. fggelk). Lineris mo-dellekben a bemenet s a kimenet arnyosak. A Bevezetsben mr szltunk a diszkrtid s a linearits jelentsgrl, ksbb mg tallkozunk folytonos idej vagy nemline-ris modellekkel is. A 2.1. alfejezetben a tks gazdasg akcelertormultipliktor elemis sszetett modelljt vizsgljuk. A 2.2.* alfejezetben a szocialista gazdasg linerisindtsiberuhzsi modelljt tanulmnyozzuk. A 2.3. alfejezetben egy tbbszektorosgazdasg ktfle kszletjelzses szablyozst vizsgljuk. A 2.4.* alfejezetben az eladsivrakozsokat, illetve ltalnostsukat kutatjuk. Mindegyik modellre jellemz, hogy r-jelzsek nlkl mkdik, s instabil esetben nemlineris ltalnostsra szorul, amelyrecsak a 4. fejezetben kerl sor. Ellenttben a harmadik s a negyedik modellel, az elss a msodik modell csupn nhny egyenletet tartalmaz (makromodellek).

2.1. A LINERIS AKCELERTORMULTIPLIKTOR MODELL

Hicks (1950) ciklusmodellje az egyik legrdekesebb s leghasznosabb modell. Mdszer-tani szempontbl az adja az rdekessgt, hogy mindssze kt fggetlen vltozval kpesa gazdasg ciklusait modellezni. Elszr Hicks (1950) elemi modelljt ismertetjk, majdvzoljuk az sszetett modell egyenleteit is. Makrokonmiban megszokott mdon vl-tozatlan ras rtkekkel dolgozunk. Legyen Yt a termels (GDP), It a nett beruhzss Ct a fogyaszts volumene a t-edik idszakban. A kszletfelhalmozst belefoglaljuka beruhzsba (tulajdonkppen felhalmozsra gondolunk), s zrt gazdasgot felttele-znk.

ELEMI MODELL

Volumenek

Zrt gazdasgban a hrom vltoz kztt egy azonossg ll fenn: termels =beruh-zs+fogyaszts, azaz teljesl a