simetrije i algebra impulsa.ppt

Nuklearna fizika - vježbe -

1. Simetrije

Rotacije

u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, rotacija se opisuje realnom, ortogonalnom matricom dimenzije 3x3:

rr

R' eksplicitan matrični zapis, u granici malih kutova:

10

02

1

02

1

100

0cossin

0sincos

)(

0

2

2

zR

Sakurai

Rotacije

21

210

001

cossin0

sincos0

001

)(2

2

0

xR

210

010

02

1

cos0sin

010

sin0cos

)(2

2

yR

Rotacije

2

22

2

1

21

02

1

)()(

yx RR

trivijalno se pokazuje:

2

2

22

1

210

21

)()(

xy RR

rotacije oko različitih osi ne komutiraju ako ne zanemarimo članove s drugom ili višim potencijama u :

000

00

00

)()()()( 2

2

xyyx RRRR

Rotacije

”1” se može zapisati kao rotacija oko bilo koje osi za 0o

(takav zapis će nam trebati kasnije za povlačenje analogije s algebrom momenta impulsa):

1)()()()()( 2 zxyyx RRRRR

dakle:

)0()()()()()( 2anyzxyyx RRRRRR

Rotacije u kvantnoj mehanici rotaciji, opisanoj matricom R, u kvantnoj mehanici se

pridružuje operator D(R), tako da vrijedi:

)(RDR

R

... stanje prije rotacije... stanje poslije rotacije

R – matrica, D(R) – operator koji se može reprezentirati matricom

dimenzija te matrice ovisi o dimenziji N prostora stanja |>

N=2 (spin=1/2) D(R) se opisuje matricom 2x2

N=3 (spin=1) D(R) se opisuje matricom 3x3

...

Rotacije u kvantnoj mehaniciOdređivanje matrice operatora D(R):

1) infinitezimalni operator može se u QM napisati kao:

gdje je G hermitski operator, a infinitezimalni pomak

2) za translaciju: G px/ħ, dx,

za pomak u vremenu: G H/ħ, dt,

za rotaciju: G Jz/ħ, d.

3) dakle:

4) konačna rotacija:

iGU 1

didzD zJ1),(

ZiJNz

NeizD N

J

1lim),(

(Jz-općenit operator momenta impulsa)

Rotacije u kvantnoj mehanici dakle, svakoj rotaciji (opisanoj matricom R) u kvantnoj

mehanici se pridružuje operator D(R) koji ima ista grupna svojstva kao R

budući da vrijedi: 1)()()()()( 2 zxyyx RRRRR

za D(R) dobiva se (zanemarivanjem članova manjih od 2):

1111112

2

22

2

22

2

22

2

22

2222

zxxyyyyxx JJJJJJJJJiiiii

2

2

2

2

22

2

22

2

2

2

22

2

22

222211

zxyxyxyyxyxyx JJJJJJJJJJJJJiiiii

zxyyx JiJJJJ

zyx JiJJ ],[d

Rotacije u kvantnoj mehanici

kijkji JiJJ ],[

jednakak j,i, indeksa 2 koja bilo za

kj,i,u permutacijneparnu za

kj,i,u permutacijparnu za

0

1

1

...

...

...

ijk

Jk-općenit operator momenta impulsa, generator rotacije oko k-te osi

nije definiran kao r × p !

Algebra momenta impulsa veza zakona sačuvanja i simetrije (Noetherin teorem,

moment impulsa generira rotacije) + infinitezimalna analiza komutacijske relacije za operator momenta impulsa:

kijkji JiJJ ],[2222zyx JJJJ

mjmmjJ z

nadalje definiramo:

yx iJJJ

yx iJJJ

0,

)()()(,

,,,,,

,,,

,,,,

2

2

2

2222

x

yzzyzyyzx

zxzzzxyxyyyxx

zxyxxxx

JJ

JiJJJiJiJJJiJJ

JJJJJJJJJJJJJJ

CABCBABCA

JJJJJJJJ

Zadatak 1. Dokazati: 0, 2

JJ x

Rješenje 1.

Zadatak 2. Pokazati da je J- operator poništavanja!

Rješenje 2.

1

1)1(1

)1(

))(1(

)]()[(

)]()[(

)(

)(

mjcmjJ

mjmmjJ

mjJmmjJJ

mjiJJmmjJJ

mjJimJiJimJmjJJ

mjmmjJ

mjJiJJiJiJJmjJJ

JiJJJJ

jmJiJJJjmJJ

jmiJJJjmJJ

z

z

yxz

xyyxz

z

xzyyzxz

xzyyz

yzxzz

yxzz

-

--

-

-

-

-

-

)

)

)

:s m(usporedbo

:(koristimo

:(koristimo

c je ovdje neizračunata konstanta

Zadatak za domaću zadaću

1'')1)(('' mmjjmjmjmjJmj

pokazati:

krenuti od:

u slučaju problema, pogledati u skoro bilo koju knjigu iz kvantne mehanike (Messiah, Sakurai, ...)

zz JJJJJ 22-

i koristiti rezultat prošlog zadatka:

1 mjcmjJ

koristiti: JJ )( -†

Eulerovi kutovi u klasičnoj mehanici

rotiranje tijela se najopćenitije opisuje Eulerovim kutovima :

1) rotacija oko z-osi za kut

2)rotacija oko nove, y’-osi, za kut ,

3) rotacija oko nove, z’’–osi, za kut .

-sve rotacije vrše se u smjeru obrnutom od kazaljke na satu

D-funkcija u kvantnoj mehanici rotacija se opisuje s tri nezavisne

konstante gibanja – uvodi se tzv. D-funkcija (“D” dolazi od njemačkog izraza za rotaciju: Drehung)

D-funkcija je rotacijska valna funkcija, tj. vlastita funkcija operatora momenta impulsa

njima se također opisuju transformacije između različitih koordinatnih sistema

ovisno o području fizike, koriste se razne konvencije što se tiče faze i predzanka (na ovom kolegiju koristit će se standard uveden od Bohra i Mottelsona)...

D-funkcija

/// '''),,( zyz JiJiJi eeeD

za Eulerove kutove , i , D-funkcija se definira kao:

reducirana matrica rotacije definira se ovom relacijom:

MJeMJd JyiJMM

/' ')(

veza je, dakle, dana s:

)(),,( '')'( J

MMiJ

MM deD MM

),,(),,(' ' JMMDMJDMJ

njen efekt na valnu funkciju s kvantnim brojevima J i M dan je s:

dakle:'),,(),,(

'' MJDMJD

M

JMM

D-funkcija ako se neko stanje pri rotaciji transformira ovako:

i

jijii MJVMJRMJRDVRDMJMJVMJ '')()(' *

transformacija tenzorskih operatora?

MJRDMJ )(

onda se očekivana vrijednost vektorskog operatora V transformira ovako:

Wignerove D-matrice

DMM’ su također koeficijenti reprezentacije grupe rotacija:

),(),,()','( ''

' JMM

JMMJM YDY

JMM

JMM

JMM

JMMz

DJJDJ

MDDJ

''2

''

)1(

D-matrice su vlastite funkcije operatora momenta impulsa:

drugim riječima, D-funkcija ne mijenja vrijednost J:

MJDJJ

MJJDMJDJ

),,()1(

),,(),,( 22

Svojstva Wignerovih D-matrica reducirana matrica rotacije je posve realna i ima svojstva:

'

1

1

'''

''

'

''

''

'

12

2)(cos)()(

)()1()(

)()(

)()1()(

JJJMM

JMM

JMM

MJJMM

JMM

JMM

JMM

MMJMM

Jddd

dd

dd

dd

k

kmmkmmjk

j

kmmkkmjkmjmjmjmjmjd

mm !)!'()!()!'(

)2

(sin)2

(cos)1(!)'()!'()!()!()(

2'2'2

može se pokazati (ali nije trivijalno – vidi Sakurai pp.221-223):

WIGNEROVA formula

Simetričan rotor

D-matrica je vlastita funkcija operatora Jz, J3 i J2:

JKM

JKM

JKM

JKM

JKM

JKMz

DJJDJ

KDDJ

MDDJ

)1(2

3

M – projekcija ukupnog impulsa vrtnje J u smjeru osi kvantizacije z (dakle, u laboratorijskom sustavu)

K – projekcija ukupnog impulsa vrtnje J u intrinsičnom koordinatnom sustavu (os x3)

(K u intrinsičnom sustavu ima istu ulogu kao M u laboratorijskom)

D-funkcija transformacija pariteta daje (shematski zapis):

proizvoljna D-funkcija nema, dakle, dobro definiran paritet

konstrukcija valne funkcije dobrog pariteta:

JKM

KJJKM DPD

)1(

),,()1(),,()1(16

12

02

JKM

KJJKM

Krot

DDJ

KMJ

Primjer 1. Spin 1/2

)()()(),,( zyz DDDD

2/2/2/ 323 iii eee

produkt operatora rotacije

se u reprezentaciji matricama 2x2 svodi na:

a to se može raspisati kao

)cos()sin(

)sin()cos(

0

0

)cos()sin(

)sin()cos(

0

0

2/2/

2/2/

2/2/

2/2/

2/)(2/)(

2/)(2/)(

2/

2/

2/

2/

ii

ii

i

i

i

i

ee

ee

e

e

e

e

Zadatak 3. Vlastita stanja momenta impulsa |j,m=mmax=j>

zarotirana su za infinitezimalni kut oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza za , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u originalnom stanju do na kvadratične članove u . Rješenje 3.

JMM'd


zarotirana su za infinitezimalni kut oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza za , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u originalnom stanju do na kvadratične članove u . Rješenje 3. Zarotirano stanje dano je s:

jjJiiJ

jjiJ

jjdjjyRjj

yy

yjR

,2

)(1

,exp,)(,)ˆ,(,

22

22

JMM'd


zarotirana su za infinitezimalni kut oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza za , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u originalnom stanju do na kvadratične članove u . Rješenje 3. Zarotirano stanje dano je s:

Uvodimo:

jjJiiJ

jjiJ

jjdjjyRjj

yy

yjR

,2

)(1

,exp,)(,)ˆ,(,

22

22

yx iJJJ

JMM'd

yx iJJJ i

JJJ y 2

Rješenje 3. Dobivamo:

Koristimo poznate relacije:

odnosno:

jjJJJJi

jjR

,)(8

)(2

1, 22

2

1,)1)((,

1,)1)((,

mjmjmjmjJ

mjmjmjmjJ

1,2,,

1,2,

0,

jjjjjJjjJJ

jjjjjJ

jjJ

Rješenje 3.

Dobivamo:

Dakle, vjerojatnost da rotirano stanje nađemo u originalnom stanju je:

2,)12(2,22

1,1,2

1,2,2

jjjjjjj

jjJjjJj

jjJJjjjJJ

2,)12(4

1,22

,1

2,)12(28

,28

1,22

,,

2

4

2

22

jjjjjjjjjj

jjjjjjjjjjjjjjR

...2

22

4

2211,,

j

Rjjjjj

Zadatak 4. Izračunajte

za svaku vrijednost j . Provjerite rezultat za j =1/2.

Rješenje 4.

mdj

jm

jmm

2

' )(

''

''

''

')(

//

//

*//

2/2

'

jmejmjmmejm

jmejmjmejmm

jmejmjmejmm

jmejmmmd

yy

yy

yy

y

iJj

jm

iJ

iJiJj

jm

iJiJj

jm

iJj

jm

j

jm

jmm

Rješenje 4.

S druge strane vrijedi:

')ˆ,()ˆ,('1

''1

'')(

*

//

//2

'

jmyDJyDjm

jmeJejm

jmejmjmmejmmd

z

iJz

iJ

iJj

jm

iJj

jm

jmm

yy

yy

jj

zjz JyRyDJyD )ˆ,()ˆ,()ˆ,(*

cos0sin

010

sin0cos

)ˆ,( yR

Rješenje 4.

Za j =1/2 vrijedi:

a) za m’ =1/2

cos'

cos''2

'sin1

''cos''sin1

)(2

'

m

mjmJJ

jm

jmJjmjmJjmmd zx

j

jm

jmm

)2/cos()2/sin(

)2/sin()2/cos()(2/1

'

mmd

cos'cos2

1

2cos

2

1

2sin

2

1)( 22

2/1

2/1

22/12/1 mmd

mm

Rješenje 4.

b) za m’ = -1/2

cos'cos2

1

2sin

2

1

2cos

2

1)( 22

2/1

2/1

22/12/1 mmd

mm

Zadatak 5. Izračunati:

Rješenje 5.

)(1' mmd

za J=1 moramo korisiti matričnu reprezentaciju dimenzije 3x3

za reducirane Wignerove matrice trebamo samo Jy, zato koristimo:

i

JJJ y 2

)(

020

202

020

2)1(

i

ii

i

J jy

m=1 m=0 m=-1

m’=1

m’=0

m’=-1

da bi dobili:

1'')1)(('' mmjjmjmjmjJmj

koristimo:


Rješenje 5.

)(1' mmd

primjer: m=0 i m’=1

10111)101)(01(0111 J

2)101)(01(0111 10111 J

0)101)(01(0111 10111 J

22

2

02

2

)( i

ii

JJJ y


Rješenje 5.

)(1' mmd

sljedeći korak: razvoj u red /yiJ

e

...!3

1

!2

11

32/

yyyiJ iJiJiJ

e y

202

040

202

2

020

202

020

020

202

020

2

2

2)1(

i

ii

i

i

ii

i

J jy

2


Rješenje 5.

)(1' mmd

)1(22

3

2)1(

020

202

020

2

0240

24024

0240

2

020

202

020

2202

040

202

2

jy

jy

J

i

ii

i

i

ii

i

i

ii

i

J

3


Rješenje 5.

)(1' mmd

1cossin1

...!4

)(

!2

)(...

!3

)(1

...)(!4

1)(

!3

1

!2

11

...!4

1

!3

1

!2

11

2

4223

4232

432/

yy

yy

yyyy

yyyyiJ

JJi

iiJii

J

iJiJiJiJ

iJiJiJiJe y


Rješenje 5.

)(1' mmd

)cos1(2

1sin

2

1)cos1(

2

1

sin2

1cossin

2

1

)cos1(2

1sin

2

1)cos1(

2

1

1cos

202

040

202

4

1sin

020

202

020

21)(1

i

ii

ii

d

Zbrajanje dva momenta impulsa

21ˆˆˆ jjJ

0],[ 21 ji jj

kijkji jijj 111 ],[ kijkji jijj 222 ],[

zbrajamo dva operatora momenta impulsa ( , ) koji zadovoljavaju uobičajene komutacijske relacije (u različitim potprostorima):

1j 2j

za bilo koji par operatora iz različitih potprostora vrijedi:

kijkji JiJJ ],[

važno - sumirani moment impulsa zadovoljava iste komutacijske relacije:


22112211 mjmjmjmj

MJjjMJ 21–

Clebsch-Gordanov problem

moguća su dva izbora baze čitavog sistema:

zz jjjj 2122

21 ,,,

zJjjJ ,,, 22

21

2

unitarna transformacija koja povezuje dvije baze:


22112211

1

11

2

22

mjmjMJmjmjMJj

jm

j

jm

Clebsch-Gordanovi koeficijenti

standardni izbor faze:

realni) (i 02211 JJjjjj

MJMJmjmjmjmjjj

jjJ

J

JM

21

21

22112211 obrat:

Clebsch-Gordanovi koeficijenti

Mmm 21

svojstva:

1) za

2) također za:

3)

4)

5)

6)

100 mjmj

02211 MJmjmj

2121 jjJjjJ ili

121212211 jjjjjjjj

''22112211 ''1

11

2

22

MMJJ

j

jm

j

jm

MJmjmjMJmjmj

''22112211 2211

21

21

21

21

'' mmmm

jj

jjJ

jj

jjM

MJmjmjMJmjmj

3j-simboli

MJmjmjJMmm

Jjj Mjj

221121

21

12

)1( 21

definicija:

svojstva:

1)

2)

3)

132

132

213

213

321

321

mmm

jjj

mmm

jjj

mmm

jjj

312

312

321

321 321)1(mmm

jjj

mmm

jjj jjj

321

321

321

321 321)1(mmm

jjj

mmm

jjj jjj

Zadatak 6. Krećući od definicije 3j-simbola “prevedite” svojstva 1)-3) na Clebsch-Gordanove

koeficijenteRješenje 6. (uzimamo j3=J, m3=-M)

2)

MJmjmjMJmjmjJjj

1122221121)1(

1)

22112

221112

)1(

12

)1( 2121

mjmjMJj

MJmjmjJ

mjJMjj

22112

221112

12)1( 12 mjmjMJ

j

JMJmjmj

mjJ

MJmjmjJ

MJmjmjJ

MjjJjj

Mjj

1122221112

)1()1(

12

)1( 12

21

21

Zadatak 6. Krećući od definicije 3j-simbola “prevedite” svojstva 1)-3) na Clebsch-Gordanove

koeficijenteRješenje 6. (uzimamo j3=J, m3=-M)

3)

MJmjmjMJmjmjJjj

2211221121)1(

MJmjmjJ

MJmjmjJ

MjjJjj

Mjj

2211221112

)1()1(

12

)1( 21

21

21

Zadatak 7. Pokažite:

Rješenje 7.

221112

122211

2

12)1( mjMJmjMJmjmjj

JmjJ

Mmm

Jjj

Mmm

Jjj Jjj

21

21

21

21 21)1(3)

2)

21

21

21

21 21)1(mMm

jJj

Mmm

Jjj Jjj

21

21

21

21

mMm

jJj

Mmm

Jjj

def

22112

221112

)1(

12

)1( 2121

mjMJmjj

MJmjmjJ

mJjMjj

Zadatak 7. Pokažite:

Rješenje 7.

221112

122211

2

12)1( mjMJmjMJmjmjj

JmjJ

22112

)(2211

12

12)1( 2121 mjMJmj

j

JMJmjmj

MjjmJj

22112

221112

12)1( 12 mjMJmj

j

JMJmjmj

mjJ

Mmm 21uz

3j-simboli daljnja svojstva (relacije ortogonalnosti):

4)

5)

,33

,33

1

11

2

2212

1

3,321

,321

321

321mmjj

j

jm

j

jm jmmm

jjjmmm

jjj

,22

,11

21

213

3

33

,3

,2

,1

321

321

3213 )12(

mmmm

jj

jjj

j

jmmmm

jjj

mmm

jjjj

3j-simboli specijalni slučajevi:

1)

2)

2211 jmjm i 2121 jjJjjM i

1)(2

1

1)(2

)1(

)(

21

21212211212121

21212121

jj

jjjjjjjjjjjjjj

jjjj jjjj

021 jjj i jJmM i

021 i mmm

12

)1(00

12

)1(

0

0 0

jmjmj

jmm

jj mjmj

}

Racahova formula za 3j-simbole

općenita formula za bilo koji 3j-koeficijent:

t

t

fba

etbdtatcbaetacdtbct

cbafed

cbafcfcebebdada

)!()!()!()!()!(!

)1(

),,()1( )!()!()!()!()!()!(

)!1(

)!()!()!(),,(

cba

bacacbcbacba


Rješenje 8.

'0

1

mm

jj

'mm mora biti:

mogući t-ovi:

mfemdjcbja , , , , , 01

t

t

mj

tmtjtmtjt

mjmjmjmjjjmm

jj

)!1()!()!1()!1(!

)1(

)!()!()!()!(),1,()1('0

1 1

010 tt i 1,0 t

)!22(

)!12(!1!1),1,(

j

jjj

)!1()!(

1

)!()!1(

1)!()!(

)!22(

)!12()1(

'0

1 1

mjmjmjmjmjmj

j

j

mm

jj mj


Rješenje 8.

'0

1

mm

jj

)1)(12()1(

)2()1)(12(

1

2

1)1(

)!()!(

)()!()!(

)22)(12(2)!12(

)!12()1(

'0

1

1

1

jjj

m

mjjj

mjmj

mjmjmjmj

jjjj

j

mm

jj

mj

mj

mj

')1)(12(

)1('0

1mm

mj

jjj

m

mm

jj

Zbrajanje tri momenta impulsa

321ˆˆˆˆ jjjJ

moguća su tri izbora baze čitavog sistema, ovisno o

redoslijedu zbrajanja:

332211 mjmjmj

312321ˆˆˆ)ˆˆ(ˆ jjjjjJ

231321ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ jjjjjJ

213231ˆˆˆ)ˆˆ(ˆ jjjjjJ

Zbrajanje tri momenta impulsa tri baze su međusobno povezane, npr.:

MJjjMJjjMJjjMJjjj

312231312231

12

''''

''233

12212312

''23123212312231312

)12)(12()1(

);()12)(12(''

321

MMJJJjjj

MMJJ

jJj

jjjjj

jjjJjjWjjMJjjMJjj

W je “Racahov W-koeficijent”, a vitičasta zagrada označava “Wignerov 6j-simbol” (ili koeficijent)

6j-koeficijent se mogu raspisati preko 3j-koeficijenata (netrivijalno, po potrebi pogledati Supek II, str. 629)

Sferični tenzorski operatori sferičnim tenzorskim operatorom ranga k zovemo skup

2k+1 veličina koje se pri rotaciji koordinatnog sustava transformiraju ovako:

k

kq

kqq

kq

kq

kq DTDTDT

''' ),,(),,(),,('

kqT

†

osnovna razlika u odnosu na npr. Kartezijeve tenzore je u njihovoj ireducibilnosti

raspisujući gornji izraz za infinitezimalne rotacije, može se pokazati (vidi npr. Sakurai, str. 236):

1)

2)

kq

kqz qTTJ ],[

kq

kq TqkqkTJ 1)1)((],[

ova dva izraza ponekad se koriste i kao definicija sferičnih tenzorskih operatora (vidi Greiner, str. 162)

Wigner-Eckartov teorem matrični elementi sferičnog tenzorskog operatora u bazi

momenta impulsa mogu se uvijek napisati kao:

gdje je s dvostrukom crtom označen “reducirani” matrični element koji je neovisan o “magnetskim” kvantnim brojevima m, m’ i q

prvi član – orijentacija sistema s obzirom na z-os (geometrija + simetrija!)

smisao teorema: za neku vrijednost m, m’ i q izračunati reducirani matrični element i zatim ga koristiti za računanje matričnih elemenata za svaki m, m’ i q

12'','','

,','

jmjqkmjmjTmj

jTj kkq

Wigner-Eckartov teorem primjer: j'j''JT m

kq i

1

1'2''1'''''','''','

',''',' 11

jmjmmjmjJmj

jj Jm

biramo: 0m znajući:

''''''10 '''','''',' mmmmjJmj

i:

)1'('

'''01''' '''

jj

mmjmj mm

'0''

'1'1'2)1(''01''' '1'

mm

jjjmjmj mj

'''''

)1')(1'2('

')1(

'0''

'1'mm

mj

jjj

m

mm

jj

JJJJ z , 2

111

10

Wigner-Eckartov teorem primjer:

)1'2)(1'('

1'2'

)1'(''

''''''

''''''1 ',''','

jjj

jm

jjm

mm

mmjj J

)1'('''1'''

1'2

)1'2)(1'('''1'''

1'2''1'''''','''','

''''''

''''''

11 ',''','

jjmjmmj

j

jjjmjmmj

j

JmjmmjmjJmj

mm

mm

m

jj

j'j''JT mkq i

1

Projekcijski teorem specijalan slučaj Wigner-Eckartovog teorema za vektorske

operatore (za slučaj j’=j):

mjJmjmjVmj qjj

mjjmjq ',','

)1(2

,Vˆ,'

primjer: magnetski dipolni moment neparne jezgre

slglgV NsNlsl ˆˆˆˆˆˆ

)1(

')1(

'

ˆˆ'

ˆˆ

jj

mjjmjjj

mjmj

mjjmjm

mjjmjzz

... Schmidtove granice

simetrije i algebra impulsa.ppt

Documents