algebra - i bimestre

ALGEBRA – 6º grado de Primaria

Algebra INDICE – I BIMESTRE

Introducción ............................................ 77

Operaciones combinadas en N ............... 81

Operaciones combinadas en Q ............... 85

Potenciación I .......................................... 87

Potenciación II ......................................... 93

Radicación I ............................................ 95

Radicación II ........................................... 99

Operaciones combinadas con potenciación

y radicación .......................................... 101


Página 2

¿Qué conoces acerca del origen de la palabra Álgebra?

El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comunmente llamado

ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú, escribe su famoso

libro "AL DJABR W'AL MUKABALA" que quiere decir "Transposición y Reducción de

términos semejantes". Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre

completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte

para llamar simplemente "Al djabr", o sea Álgebra, a la teoría de las ecuaciones.

¿Quién fue el principal forjador del Álgebra moderna?

PACCIOLI (1445 - 1519)

Estuvo muy ligado al arte y a la técnica

renacentista italiana; en 1494 publica su

monumental obra "Summa de Aritmética, Álgebra y

Geometría", en la cual vuelca cuidadosa y

detalladamente todo el conocimiento matemático

hasta entonces

desarrollado, y cuya rápida difusión fue el

inicio de un nuevo florecimiento del Álgebra.

Paccioli también se adelantó con esta obra a dar una visión de los progresos que en los

siglos posteriores se llegarían a hacer.


Página 3

SIMBOLOGÍA ALGEBRAICA

SÍMBOLO SIGNIFICADO

× • ( ) ; ;

( ) ; [ ] ; { }

M(x;y) = 2xy2

P(x) = x + 2x + 12

x

Operadores de la multiplicación.

Operadores de la división.

Operador radical.

Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves, respectivamente.

Monomio de variables "x" e "y".

Polinomio de variable "x".

Variable, es decir letra que puede tomar variosvalores.

Para todo.

Diferente.

EJERCICIOS

Utilizando los operadores de multiplicación y división, efectuar:

* La multiplicación de 3 por 8 * La división de 14 entre 2

se escribe: 3 × 8 = 24 se escribe: 14 2 = 7

3 . 8 = 24 14 : 2 = 7

(3 × 8) = 24

Completa según los ejemplos anteriores:

I. La multiplicación de 5 por 7 A. La división de 35 entre 5

se escribe: _______ = _______ se escribe: _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______


Página 4

II. La multiplicación de 9 por 8 B. La división de 48 entre 6


_______ = _______ _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______

III. La multiplicación de 6 por 9 C. La división de 63 entre 7


_______ = _______ _______ = _______

_______ = _______ _______ = _______

Completar según el ejemplo:

• M(x;y;z) = 3x4y5z4a • P(x;y) = -7x6y5

Las variables son: x; y; z Las variables son: x; y

El coeficiente es: 3a El coeficiente es : -7

I. R(a;b;c) = 7a6b9c7 II. Q(m;n;p) = -4m7n3p2

Las variables son: _______ Las variables son: _______

El coeficiente es : _______ El coeficiente es : _______

III. F(x;y) = 31x4y8a IV. S(x;y) = 2abx9y12


El coeficiente es : _______ El coeficiente es : _______

V. P(y) = 7y7 + ay6 VI. R(z) = bz9 + 7z5 - 3z


Los coeficientes son: _______ Los coeficientes son: _______


Página 5

REGLAS DE OPERACIÓN

Caso 1: Sin signos de agrupación

a. Primero se resuelven las potencias y raíces a la vez.

b. Segundo se resuelven las multiplicaciones y divisiones a la vez.

c. Por último se resuelven las adiciones y sustracciones a la vez. Ejemplo:

1.

3 + 2 × 5 -4 100

2+ 9

=+ - + 2.

3 × 2 + 25 53

+

+ =

Caso 2: Con signos de agrupación

a. Primero se resuelven las operaciones que se encuentran dentro del signo de

agrupación más interno, hasta que desaparezcan todos estos signos.

b. Luego se procede como en el caso anterior (caso 1)

{ [ (

3º 2º 1º

) ] }

Ejemplo:

1.

2(5 + 3) + 5(9 - 7)

2( ) + 5( )

_____ + _____ = 2.

3(5 - 1) - [14 2]

3( ) - _____

_____ - _____

_____ - _____ =

2

2


Página 6

¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Resolver:

a. 3 + 2 - 4 - 1 =

b. 7 - 3 + 6 - 2 + 8 =

c. 11 - 4 + 13 - 2 - 6 + 3 = d. 19 + 15 - 18 - 10 + 4 - 7 + 9 =

e. 32 - 19 + 43 - 18 + 35 - 53 =

B. Resolver: a. 56 8 + 6 + 3 = k. 10 5 + 4 - 16 8 - 2 + 4 4 - 1 =

b. 16 - 3 + 5 × 8 l. 6 × 5 × 4 20 + 20 5 4 =

c. 3 + 6 - 18 9 = m. 6 × 5 + 4 - 8 4 × 2 × 3 - 5 + 16 4 - 3 =

d. 7 × 6 2 + 18 = ñ. 9 + 5 - 4 + 3 - 8 + 5 × 3 - 20 4 × 3 =

e. 24 - 18 6 × 8 = o. 40 5 × 5 + 6 2 × 3 + 4 - 5 × 2 10 =

f. 24 6 - 2 + 2 =

g. 2 × 3 + 5 × 8 =

h. 16 - 10 + 3 - 81 9 =

i. 50 + 15 5 × 3 - 9 3 × 4 + 6 × 4 6 =

j. 4 × 5 - 3 × 2 + 10 5 - 4 × 2 =

C. Completar en lenguaje matemático según convenga:

1. Seis veces nueve menos cuatro veces cinco.

__________________________________________________________

2. Nueve veces ocho más cinco veces siete.

__________________________________________________________

Recuerda resolver de

izquierda a derecha.


Página 7

3. El cuádruplo de seis aumentado en el duplo de once.

__________________________________________________________

4. El triple de doce disminuido en el duplo de nueve.

__________________________________________________________

5. El séxtuplo de trece disminuido en el triple de veinte.

__________________________________________________________

JERARQUÍA - SÍMBOLOS DE COLECCIÓN

Observación: Recuerda resolver primero aquellas operaciones combinadas que se encuentran más al

interior de los signos de colección. Importante:

{ }[ ])(1º2º3º

• Ejemplo 1:

{[(5 + 6 - 7) + (7 - 2 + 10)] + 10 - 3}

{[ 4 + 15 ] + 10 - 3}

"se suprime paréntesis"

"se suprime corchetes"

{19 + 10 - 3} "se suprime llaves"

26

• Ejemplo 2:

30 {(15 - 6) 3 + (18 - 3) 5} "se suprime paréntesis"

30 { 9 3 + 15 5}

30 { 3 + 3 } "se suprime llaves"

30 6

5


Página 8

¡AHORA, HAZLO TÚ! • Resolver las siguientes operaciones combinadas.

a. (5 × 6 + 3) + 7 × 8 Rpta. 89

b. 64 8 × 3 - (48 2 + 1 - 1) Rpta. 0

c. {5 + (8 × 3 6) - 7} Rpta. 2

d. 17 - 10 + {14 - 3 + (5 × 8 20)} Rpta. 20

e. {55 11 + 66 11 + (77 11 - 11)} Rpta. 7

f. [44 11 + 7] + [88 11 × 5] Rpta. 51

g. 40 + [25 - (3 + 2)] Rpta. 60

h. 60 + [(4 + 2) - 5] Rpta. 61

i. 150 - [(5 - 1) - (4 - 3)] Rpta. 147

j. 250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)] Rpta. 259

k. 450 - {6 + [4 - (3 - 1)]} Rpta. 442

l. 520 + {8 - 3 + [9 - (4 + 2 - 1)]} Rpta. 529

m. (150 - 5) - {14 + (9 - 6 + 3)} Rpta. 125

n. 500 - {6 + [(14 - 6) - (7 - 2) + (4 - 1)]} Rpta. 488

ñ. (30 - 20) 2 + (6 × 5) 3 + (40 - 25) (9 - 6) Rpta. 20

o. [(9 - 4) 5 + (10 - 2) 4] + 9 × 6 18 + 2 Rpta. 8

p. (9 + 3)5 - 2 (3 - 2) + 8 × 6 4 2 + 5 Rpta. 69

q. [15 + (8 - 3)5] [(8 - 2) 2 + 7] Rpta. 4

r. 9[15 (6 - 1) - (9 - 3) 2] Rpta. 0

s. 30 {(15 - 6) 3 + (18 - 3) 5} Rpta. 5


Página 9

Observación Para resolver operaciones combinadas en Q se sigue las mismas reglas que para resolver operaciones combinadas en N, solo que esta vez se usarán números fraccionarios.

• Ejemplo 1: Resolver • Ejemplo 2: Resolver

1

2+

3

2- 1

1

2

4

2- 1

1

2

+

×

4

2

3

2-

1

2

1

4-

3

4+5 3

1

4-

3

41 2

+ + + +

× × × ×

21

4-

15

4+

5

4+

11

4

6

4+

16

4

22

4=

11

2=

1

25

• Ejemplo 3: Resolver • Ejemplo 4: Resolver

3

4

+ 1

2+

1

3

- 1

4

2 × 3 + 4 × 1

4 × 2+

4 × 1 - 3 × 1

3 × 4

6 + 4

8+

4 - 3

12

10

8

+ 1

12

12 × 10 + 8 × 1

8 × 12

120 + 8

96=

128

96

4

3

=4

3= 1

1

3

3

5

1

9

3

8

9

16×

1

3

1

15

3

8

16

9×

1

1

2

3

1

15

2

3

1

15×

3

2=

1

10

1

5

=


Página 10

¡AHORA, HAZLO TÚ!

A. Resolver:

1. 4

1

2

1

4

1

2

1

6. 3

1

2

1

4

1

2

1

5

1

2

1

2. 6

1

3

1

6

1

3

1

7. 10

1

5

1

10

1

5

1

3. 4

1

5

1

5

1

4

1

8. 10

5

2

1

10

3

2

1

4. 3

1

2

1

3

1

2

1

9. 4

1

3

1

3

1

4

1

5. 6

1

5

1

6

1

5

1

10. 5

3

3

2

3

1

5

3

B. Resolver:

1. 3

1

5

1

7

1

R. 35

11

9. 2

1

7

1

9

2

R. 63

46

2. 7

3

5

3

9

3

3

2

R. 7

31

10. 35

1

2

3

7

3

R. 2

135

3. 4

15

4

32

4

13

R. 4

35

11. 4

1

3

1

3

1

2

1

R. 7

31

4. 9

23

9

123

9

37

9

115

R. 3

227

12. 30

7

2

1

3

1

5

2

R. 7

52

5. 5

43

5

34

5

22

5

13

R. 5

31

13. 24

1

3

1

2

1

4

1

R. 1

6. 3

1

2

1

7

13

R. 42

132

14. 3

2

2

12

R. 1

7. 7

2

4

1

3

2

5

3

R. 420

307

15. 2

9

9

71

R. 1

8. 7

5

4

32

7

52

2

1

R. 4

15

16. 5

18

5

24

R. 1


Página 11

CONCEPTO:

Es una multiplicación repetitiva de un mismo número, una cantidad limitada de veces.

DEFINICIÓN:

a = a . a . a . . . am

"m" factores

; m 1; m N

El resultado: am = se denomina potencia

De donde:

onenteexpm

basea

* Ejemplos:

a. 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 d. 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

b. 43 = 4 . 4 . 4 = 64 e. 63 = 6 . 6 . 6 = 216

c. 52 = 5 . 5 = 25 f. 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

A) Expresa lo siguiente:

* Seis elevado al cuadrado : ___________

* Ocho elevado al cuadrado : ___________

* "x" elevado al cuadrado : ___________

* Cuatro elevado al cubo : ___________

* Cinco elevado al cubo : ___________

* Nueve elevado al cubo : ___________

* Tres elevado a la cinco : ___________

* Cinco elevado a la seis : ___________ * "x" elevado a la cuatro : ___________


Página 12

EXPONENTE NULO (Definición):

a = 10 ; a 0

* 30 = 1 * 1

7

50

*

2 3 = 20

¿por qué?

* 1)22( 0 * (1001)0 = 1

B) Completar, desarrollando las potencias.

Recuerda:

Las siguientes potencias son las más utilizadas

en el curso. Por lo que reciben el nombre

de "notables".

20 = ____ 21 = ____ 22 = ____ 23 = ____ 24 = ____

25 = ____ 26 = ____ 27 = ____ 28 = ____ 29 = ____

210 = ____ 30 = ____ 31 = ____ 32 = ____ 33 = ____

34 = ____ 35 = ____ 40 = ____ 41 = ____ 42 = ____

43 = ____ 44 = ____ 50 = ____ 51 = ____ 52 = ____

53 = ____ 54 = ____ 60 = ____ 61 = ____ 62 = ____

63 = ____ 70 = ____ 71 = ____ 72 = ____ 73 = ____


Página 13

80 = ____ 81 = ____ 82 = ____ 83 = ____ 90 = ____

91 = ____ 92 = ____ 93 = ____ 100 = ____ 101 = ____

102 = ____ 103 = ____ 112 = ____ 122 = ____ 132 = ____

142 = ____ 152 = ____ 162 = ____ 172 = ____ 182 = ____

192 = ____ 202 = ____ 252 = ____ 302 = ____ 402 = ____

C) Reduce cada ejercicio según el ejemplo:

1. A = 34 + 23 + 40 + 5 2. B = 22 + 32 + 42

= 81 + 8 + 1 + 5

= 95

3. C = 500 + 30 + 20 + 1 4. D = 63 - 27 + 32


Página 14

PROPIEDADES: 1. Producto de potencias de igual base:

a . a = am n m + n "Resulta la misma base y el exponente

final es la de los exponentes

iniciales".

suma

*

243 = 3 = 3 . 3 . 3 . 3 . 35

= 3 = 3 . 3 = 35 3 2 3 + 2 3 . 3 = 33 2 5

Completa:

* 43 . 42 = 45 * 73 . 72 = 75

* 29 . 212 = ______ * 78 . 78 = ______

* 32 . 37 = ______ * 113 . 116 = ______

* 39 . 310 . 312 = ______ * 25 . 23 . 24 = ______

2. División de potencias de igual base:

a

a

m

n"Resulta la misma base y el exponente

final es la de los exponentes

iniciales".

diferencia

= am - n ; a 0

*

3252

5

555

5

*4

6

9

9

*3

7

4

4

*1

3

8

8

Observa el siguiente ejemplo:

164

4

4

4

4

4.4

4.4.4D 2

13

15

76

2310

76

2310

Ahora reduce lo siguiente:

99

1234

5.5

5.5.5G


Página 15

PARTE PRÁCTICA 1. Expresar como potencia cada caso:

a.

veces30

6.......6.6.6

b.

factores18

m......m.m.m

c.

factores20

4........4.4.4

d.

veces13

2............2.2.2

2. Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:

a. 3]4457123[E 0

b. F = 40 + 30 + 20 + 10

c. G = 32 + 3 + 30 d. A = 20 + 21 + 22 + 23

e. B = 15 + 32 + 23 f. B = 15 + 32 + 23

f. C = 43 + 42 - 4 + 1 g. X = 53 + 43 - 33 - 23

H. W = 63 - 72 + 32 - 52

3. Expresar como potencia indicada cada caso:

a. A = 43 . 42 . 45

b. B = (13)3 (13)6 (13)0

c. C = (3)0 (3)1 (3)2 (3)3 . . . . . (3)10


Página 16

4. Reducir cada caso:

a. 157

905020

4

4.4.4X

b. 168

86424

2.2

2.2.2.2.2Y

c. 610

792

6.6

6.6.6Z


Página 17

1. Potencia de un producto:

(ab) = a . bn n n

a. 83 = [4(2)]3 = 43 . 23

b. 63 . 73 = {6(7)}3 = 423

c. x5 . y5 = (xy)5

2. Resolución de ecuaciones exponenciales:

Usaremos el criterio de "igualdad por comparación".

Ejemplos:

a. Hallar "x" en: b. Hallar "x" en:

3x = 34 . 32 . 35 155

1010x

5.5

5.52

3x = 34 + 2 + 5 155

1010x

5

52

3x = 311 x = 11 20

20x

5

52

2x = 50 2x = 1 x = 0

c. Indicar el valor de "x" en:

513 = 33 . 17x

(3 . 17)3 = 33 . 17x

33 . 173 = 33 . 17x x = 3

"Si las bases son iguales

los exponentes también

son iguales".


Página 18

PARTE PRÁCTICA

1. Hallar "x" en cada caso:

a. 10

235x

4

4.4.48

b. 9

1032

2

2.2.2x

c. (24)2 = (12)2.2x

d. 5

43210x

5

5.5.5.5.55

e. 8x = 43

f. 2x = 102 + 102 - 142

g. x5 = (18)5 . (6)5

h. x20 = 54 . 56 . 510

i. 72x = 73 . 710 . 77

j. 120

2.5.3.5.2

25.1.8.5.311 0

37826

2037103x

2. Reducir en cada caso:

a. 15

710

14

105

18

20

3

3.3

4

4.4

7

7E

b. F = (17)2 - (13)2 + 83 - 52 + 150

c. G = (20027 - 19805)0 + ( )0 + 1; ( = 3,14159.....)

d.

8)11(

15105)531(H

7

2

232


Página 19

Raíz enésima de un número

Dados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a",

al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a".

a = xn

si: x = an ; n 2 de donde:

radicaloperador

)realnúmero(raízx

índicen

radicandoobasea

81 = 34

raíz

radicando

índice

operador matemático

radical

La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 34 = 81.

Ejemplos:

* 51253

53 = 125

* 3273

debido a que: 33 = 27

* 2164


* 2325


* 2102410


* 14196 debido a que: 142 = 196


Página 20

"La radicación es la operación inversaa la potenciación".

"Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobre entiende que es

el dos (2). Es decir: raíz cuadrada".

9 raíz cuadrada de 9 = ______

3

512 raíz cúbica de 512 = ______

5

3125 raíz quinta de 3125 = ______

PROPIEDADES

1. Raíz de un producto: 2. Raíz de un cociente:

n n n

nB

AnB

A

• 6

3.2

27.8)27)(8(333

• 2

2

4

16

256

16

2564

44


Página 21

¡AHORA, HAZLO TÚ!

A. Hallar cada una de las raíces:


Página 22

B. En tu cuaderno reduce adecuadamente cada expresión:


Página 23

• Exponente fraccionario:

xmn = x

mn ; m n ; n 2N

* 4 34

3

xx

* 288833 13

1

* 41616 2

1

* 9333 250

10050 100

* 444 20

2020 20

nn

x = x x > 0

¡AHORA, HAZLO TÚ!

A. Representa cada raíz usando exponente fraccionario:

a. 3 54

b. 72

c. 4 3x

B. Representa cada expresión mediante radicales:

a. 7

1

2

b. 5

2

3


Página 24

c. 11

2

x

C. Considerando la definición del exponente fraccionario y lo estudiado en Radicación I,

desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

1. 169196

36100A

2. 3

362366B

3. 7 73 32 235C 4.

50 10040 12030 60 432D

5. 33

3

8125

44927E

6. 2519636F

7. 36563G 8. 53

33

3264

27125H

9. 97

100

46

47

30

32

3

3

6

6

5

5I

10.

34

441625

121225J

D. Efectuar los siguientes ejercicios:

1. Si: 6

1

5

1By

5

4

3

1

2

1A

indicar el valor de "x", si: B

Ax

2. Si: 33

512y;729x

indicar el valor de: 022 )xy(yxE

E. Hallar "x" en:

148

6395x

2.8

2.8.2.864


Página 25

POTENCIACIÓN - RADICACIÓN

Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy

en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es

una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto poseen la misma

jerarquía.

Hay que respetar las siguientes reglas:

1º Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son

directos para su aplicación.

2º Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que

reducir el radicando.

3º Luego se reducen las sumas y restas, respetando los signos.

4º Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde los más internos hacia los

más externos.

5º Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha.

Ejemplo:

277

53

2421481

1213E

44

79

1127E

5

818

16

16E 5

5

3981E


Página 26

¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Reduce en tu cuaderno cada caso:


Página 27

11. 648

043K

3

222

12. 23

223

31000

542L

13. 1662006125121M 003

14. 5

1

4

15

1

4

1

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