simetria em cristais -...
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Simetria em cristais
Difração de elétrons (Microscópio Eletrônico de Transmissão)
imagem
difração
Ti hexagonal
imagem
difração
Ti cúbico
Simetria na natureza e na arte
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) artista gráfico holandês
simetria e música
simetria e música
simetria e música
Simetria na química e física
Simetria na química
Simetria em física das partículas
Simetria em magnetismo
Distribuição de energia
Simetria em cristais
voltando à
Simulação de difratogramas
Programa PowderCell
grupo espacial posições atômicas posições Wyckoff
International Table for X-ray crystallography [International Union of Crystallography (IUCr)]
notação internacional
notação de Schoenflies
posições Wyckoff
número do grupo
posições gerais
corpo centrado
posições Wyckoff
Grupos espaciais
Ex: P4mm (#99)
Wyckoff
position8g x, y, z -x, -y, z -x, y, z x, -y, z
y, x, z -y, -x, z -y, x, z y, -x, z
4f x, 1/2, z -x, 1/2, z 1/2, x, z 1/2, -x, z
4e x, 0, z -x, 0, z 0, x, z 0, -x, z
4d x, x, z -x, -x, z -x, x, z x, -x, z
2c 1/2, 0, z 0, 1/2, z
1b 1/2, 1/2, z
1a 0, 0, z
Posições equivalentes
a b
c
PowderCell 2 .0
átomo posição
Wyckoff
x y z
A 1a 0 0 0,15
B 1b 1/2 1/2 0,4
C 2c 1/2 0 0,6
D 4f 0,8 1/2 0,3
ABC2D4
A
B
C
D
Referência:
International Tables for X-ray crystallography
14v
C
P. Villars, L. D. Calvert. Pearson´s Handbook of Crystallographic Data for Intermetallic Phases. ASM International, v.1 a v.4, 1997.
Simetria: elementos, operações e grupos
Teoria de grupos
Elementos de simetria
• Eixos de rotação
• Plano espelho
• Centro de inversão
Operações de simetria
• Rotação
• Reflexão
• Inversão
• Translação
230 Grupos espaciais
grupos pontuais +
redes de Bravais +
operações de translação
32 Grupos pontuais
𝐸 𝑋 = 𝑋′
(conjunto de operações)
Elementos de simetria /
Operações de simetria
plano espelho centro de inversão
eixo de rotação
Rotação (N)
1
2
3
4
6
grupo C1
grupo C2
grupo C3
grupo C4
grupo C6
símbolo
𝛼 =360°
𝑁
notação internacional
notação de Schoenflies
Grupos de simetria
grupo C2 ou 2
(x y z)
(-x -y z)
(x y z)
(x y z)
(-x -y z)
(-x -y z)
(-x -y -z)
(x y -z)
grupo C2v ou mm2
grupo C2h ou 2/m
(x -y z)
(-x y z)
x
y
z
notação internacional
notação de Schoenflies
Rotação – inversão ou
Rotação - reflexão
grupo S2
grupo S1
grupo S6
grupo S4
grupo S3
(𝑁 )
(𝑁 )
2 = 1
3 = 6
4 = 4
6 = 3
1 = 2
notação internacional
notação de Schoenflies
Grupos de simetria
(x y z)
(-x -y z)
(-x -y -z) (x y -z)
Exemplo: grupo C2h ou 2/m
a
b
c
PowderCell 2 .0
b
a c
InSe
Nomenclatura Pearson: mP8
Rede: monoclínica
Grupo espacial: P2/m (#10)
Parâmetros de rede: a=11,02 Å, b=4,11 Å, c=4,61 Å
Posições atômicas: In(1): 2m (0,116, 0, 0,879)
Se(1): 2e (0,340, 0, 0,018)
In(2): 4j (0,384, 1/2, 0,621)
Se(2): 4j (0,160, 1/2, 0,482)
Grupos de simetria
Exemplo: grupo C2v ou mm2
(x y z)
(-x -y z)
(x -y z)
(-x y z)
b a
c
TiSi
a b
c
PowderCell 2 .0
Nomenclatura Pearson: oP8
Rede: ortorrômbica
Grupo espacial: Pmm2 (#25)
Parâmetros de rede: a=3,618 Å, b=6,492 Å, c=4,973 Å
Posições atômicas: Ti(1): 1a (0, 0, 0)
Ti(2): 1b (0, 1/2, 0)
Ti(3): 1c (1/2, 0, 0,50)
Ti(4): 1d (1/2, 1/2, 0,50)
Si(1): 2g (0, 0,234 0,625)
Si(2): 2h (1/2, 0,288, 0,078)
Notações
Grupos pontuais ou internacional
32 grupos pontuais
notação de Schoenflies
notação internacional
grupo Cn
grupo Cnv
grupo Cnh
grupo Sn
grupo Dn
grupo Dnh
grupo Dnd
Grupos pontuais não cúbicos
Grupos pontuais cúbicos
grupos Oh, O
grupos Th, Td, T
14 redes de Bravais
Exemplos:
Exemplos (cont.):