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Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 1
Física Estatística
Representação microscópica
Representação macroscópica
??? U (S, V, N)
S (U, V, N)
sistema
Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 2
Física Estatística
Representação microscópica
Representação macroscópica
Número de microestados acessíveis ()
U (S, V, N)
S (U, V, N)
sistema
S = ln (Equação de Boltzmann)
macroestado
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S = ln
S1 S2
1 2
= 1 . 2
S = S1 + S2
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Formalismo microcanônico
(“ensemble” microcanônico)
Quantos microestados existem para um dado macroestado ?
Problema estatístico
S = ln
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Exemplo 1: sistema de dois estados
E = 0
E =
Ω =𝑁𝑀
N = número de átomos
M = número de átomos no estado excitado
Ex: Se U = e N = 4, temos:
Ω =41=
4!
1! 4 − 1 != 4
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E = 0
E =
Ω =𝑁𝑀
N = número de átomos
M = número de átomos no estado excitado
Para N átomos, temos:
Ω =𝑁𝑀=
𝑁!
𝑀! 𝑁 −𝑀 !
𝑆 = 𝑘𝐵 . ln Ω
Exemplo 1: sistema de dois estados
Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 7
Exemplo 1: sistema de dois estados
N = número de átomos
M = número de átomos no estado excitado
Ω =𝑁𝑀=
𝑁!
𝑀! 𝑁 −𝑀 !
𝑆 = 𝑘𝐵 . lnΩ
1
𝑇=𝜕𝑆
𝜕𝑈=𝑘𝐵𝜀𝑙𝑛𝑁𝜀
𝑈− 1
𝑀 =𝑈
𝜀 ln𝑀! = 𝑀. 𝑙𝑛 𝑀 −𝑀 aproximação de Stirling
𝑆 =𝑈
𝜀− 𝑁 𝑘𝐵 ∙ 𝑙𝑛 1 −
𝑈
𝑁𝜀−𝑈
𝜀𝑘𝐵 ∙ 𝑙𝑛
𝑈
𝑁𝜀
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Exemplo 1: sistema de dois estados
𝑓 =𝑀
𝑁
fração de átomos no estado excitado
Definindo:
𝑓 =1
1 + 𝑒𝜀 𝑘𝐵.𝑇 =𝑈
𝑁. 𝜀
𝑈 =𝑁. 𝜀
1 + 𝑒𝜀 𝑘𝐵.𝑇
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Anomalia Schottky
𝐶 =𝜕𝑈
𝜕𝑇= 𝑁𝐴
𝜀2
𝑘𝐵𝑇 𝑒𝜀/𝑘𝐵𝑇
1 + 𝑒𝜀/𝑘𝐵𝑇 2
Capacidade térmica
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J. Chem. Thermodynamics 11, 835-850 (1979)
(sais paramagnéticos)
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Exemplo 2: sistema de osciladores harmônicos
modelo de Einstein (1907)
5/2 3/2
1/2
𝜖𝑛 = 𝑛 +1
2 ℏ 𝜔 n = 0, 1, 2, ...
Energia do oscilador i:
𝜖𝑛𝑖 = 𝑛𝑖 +1
2 ℏ 𝜔
𝑈 = 𝜖𝑛𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑛𝑖
𝑁
𝑖=1
. 𝜖 +𝑁
2. 𝜖
𝑛𝑖
𝑁
𝑖=1
=𝑈
𝜖−𝑁
2= 𝑀 no de quanta de energia
7/2
N átomos:
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é igual ao no de soluções da equação:
n1 + n2 + n3 + ... + nN = M
Ex:
uma possível solução:
1 2 3 4 5
permutação de barras e bolas
Ω =𝑀 +𝑁 − 1 !
𝑀! 𝑁 − 1 !≅𝑀 + 𝑁 !
𝑀!𝑁!
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𝑆 = 𝑘𝐵 𝑀 +𝑁 𝑙𝑛𝑀 + 𝑁
𝑁−𝑀 𝑙𝑛
𝑀
𝑁
𝑆 = 𝑘𝐵 lnΩ
definindo: 𝑛 =𝑀
𝑁 (no médio de quanta por oscilador)
𝑆 = 𝑁. 𝑘𝐵 1 + 𝑛 ln 1 + 𝑛 − 𝑛 ln 𝑛
1
𝑇=𝜕𝑆
𝜕𝑈=𝜕𝑆
𝜕𝑛 ∙𝜕𝑛
𝜕𝑈
𝑛 =𝑈
𝑁 ∙ 𝜖−1
2
Equação de estado:
1
𝑇=𝑘𝐵𝜖 𝑙𝑛1
𝑛 + 1 𝑛 =
1
𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1
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𝑛 =1
𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1 𝑈 = 𝑁 ∙ 𝜖
1
𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1+1
2
Calor específico
𝐶 =𝜕𝑈
𝜕𝑇 𝐶 = 𝑁
𝜖
𝑘𝐵𝑇
2𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇
𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1 2
Calor específico dos sólidos de Einstein
3D 3N osciladores harmônicos
𝐶 = 3𝑁𝜖
𝑘𝐵𝑇
2𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇
𝑒𝜖 𝑘𝐵𝑇 − 1 2
𝜃𝐸 =𝜖
𝑘𝐵 Temperatura de Einstein
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modelo de Einstein (1907)
(todos os átomos vibram com mesma frequência)
modelo de Debye (1912)
(contribuição de fônons)
Quantização de Planck
Temperatura de Debye:
aluminio: 428 K cobre: 343 K níquel: 450 K ferro: 470 K
Temperatura de Einstein:
aluminio: 290K cobre: 240K