Signalbehandling og matematik 1(Tidsdiskrete signaler og systemer)

Session 1.Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning

og lineære tidsinvariante systemer

Ved Samuel Schmidtsschmidt@hst.aau.dk

http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/

Session 1.• Sekvenser• Diskrete systemer• Lineære systemer • Foldning og impuls respons

Kontinuerte vs. diskrete tidssignaler

0 2 4 6 8 10-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Tid (s)

Am

plitu

de (V

)

0 2 4 6 8 10-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Tid (s)

Am

plitu

de (V

)

0 5 10 15 20-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Am

plitu

de

samples (n)

Tidskontinuert signal (Analog) Sampling Tidsdiskret signal

(Digitalt)

A/D komverterAnalogt systemDSP

(Digital signal processer)

Digitale signaler hvor?

…og meget mere

Fysiologiske signalerKardiologiskesignalerEEG

Typiske Digitale systemer

ADC DSP DA

CDigital signal

processorAnalog til

Digital konvertering

Digital til analog

konvertering

010101011 110001011

Analogt signal Analogt signal

ADC

DSPFilter Puls

tællerDisplay

Puls: 61

Eksempel EKG baseret plustæller

Hvorfor digitalt ?• Fordele:

– Robust– Præcist– Uhurtig og billig

udvikling– Kan håndtere stor

kompleksitet– Fleksibelt – Hukommelse

• Ulemper:– Begrænset

båndbrede– Begrænsninger i

realtid

Definition og notation: Signal

•  Signal er enhver tids varierende eller rum varierede kvantitet– Tids variable: x(t)– Dimension: x(d1,d2)

0 2 4 6 8 10-15

-10

-5

0

5

10

15

20

t

x(t)

d1

d2

Function af dimension x(d1,d2)

100 200 300 400 500 600

50

100

150

200

250

300

350

400

Matematisk definition og notation: Tidsdiskret signal

• Funktion af en diskret tids variabel • Signalet repræsenteres som en sekvens af

nummer x[n], -∞ < n < ∞– Hvor n er et heltal– F.eks. x[0]=1, x[1]=1, x[2]=-2

0 5 10 15 20-10

-5

0

5

10

15

20

x[n]

n

T

N.B. Ved et Digitalt signal er amplituden også diskret

Analog til digital konvertering

Analog til digital konvertering

Diskret tids sampling

Diskrete værdier (Kvantificering)

Kvantificerings fejl

Repetition

Relation mellem tid og samples

• Alternativ opgivelse

– Sample hastighed: 1/T (samples per sekund)

x[n]=x(nT) , -∞ < n < ∞Hvor T er samplings perioden

(ofte i sekunder)

Sample periode: T (sekunder)Digitalt Analogt

Eksempel på sampling• Se Matlab demo

Signal typer• Single/multi kanals signaler

• Reelle / komplekse signaler

• Deterministiske/ stokastiske signaler

0 500 1000 1500

ECG (4 leads)

Samples (n)

][][][

][

3

2

1

nsnsns

nS

0 500 1000 1500

ECG (4 leads)

Samples (n)

)sin()cos(][ 00 njnnx)cos(][ 0 nAnx

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2

-1

0

1

2

3

Basis signaler: Unit sample og Unit step

0,10,0

][nn

n

0,00,1

][nn

nu

Basis signaler:Exponential (real)

nAnx ][

0 5 10 15 201

2

3

4

5

6

7

8

9Eksponentielle signaler

n

x[n]

A=1 og =1.1A=10 og =0.9

Stigende hvis α>1

Faldende hvis α<1

Basis signaler:Sinus

)cos(][ 0 nAnx

)sin()cos(][ 00)( 0 njnenx nj

ω0: frekvens rad/sampleΦ: fase

Periodiske signaler• Et signal er periodisk med N hvis

x[n]=x[n+N], hvor N er et heltal

Et sinus signal er periodisk hvis

Hvor

Hvor både N og k er heltal

)cos()cos( 000 NnAnA

kN 20

Diskrete sinus signaler

• For sinus signaler gælder at

• Højeste svingningshastighed opnås ved ω0=π eller ω0=-π og det interessante frekvens interval er -π ω0 π

• Se Matlab Demo

))2cos(()cos( 00 nAnA

Session 1.• Sekvenser• Diskrete systemer• Lineære systemer • Foldning og impuls respons

Tidsdiskrete systemer• Defination:

– Transformation eller operation af et tidsdiskrete input x[n] til et tidsdiskrete output y[n]

• Eksempler:– Filtrer– Operatorer

nxTny ][

nxany ][Multiplications system

Det ideelle delay system• Delay

y[n]=x[n-n0] hvor n0 er delay’et er repræsenteret ved et heltal

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-10

-5

0

5

10Signal

x(n)

n

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-10

-5

0

5

10Delayed signal

n

x(n-

2)

Moving average system

2

11

1][21

M

Mk

knxMM

ny

0 10 20 30 40 50 60 70 80450

500

550

600

650

700

750Google aktiekurs

Dage

Kur

s

KursMA

Grafik repræsentation af tidsdiskrete systemer

s.56

Addering af 2 signaler

Grafik repræsentation af tidsdiskrete systemer

• Multiplikation med en konstant

• Multiplikation mellem signaler

Grafik repræsentation af tidsdiskrete systemer

• Forsinkelse (Delay)

Tavle ex.2.2.3 a side 57

Systemkarakteristika• Hukommelesesløst (Statisk):

– Y[n] er kun afhængig af x[n]

• Hukommeles system (Dynamisk):– Akkumulator

nxany ][

n

k

nxny ][

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

n

y[y]

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n]

Akkumulator

s.59

Session 1.• Sekvenser• Diskrete systemer• Lineære systemer • Foldning og impuls respons

Lineært system

0 1 2 3 4 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25Ikke Lineære systmer

x[n]

y[n]

x[n]2

x[n] 20 log(x[n])

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Lineæret system

x[n]

y[n]

s.62

Lineært systemAdditiv egenskab:

][][][][ 2121 nxTnxTnxnxT

X1[n]

X2[n]

T{∙}+

X1[n]

X2[n] T{∙}

+

T{∙}

Lineært systemSkalerings egenskab

][][][ 11 nyanxTanxaT

X1[n] T{∙}x

a

X1[n] T{∙} x

a

Lineært systemDefineret ud fra superposition

][][][][ 2121 nxTbnxTanxbnxaT

Eksemple• y[n]=x[n]^2

Test: Additiv egenskabx1[1]=2 og x2[1]=6

4062][][ 2221 nxTnxT

64)62(][][ 221 nxnxT

Tavle ex.2.2.5 a side 63

Tidsinvariante systemer• Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit

tid (Koefficienterne er uafhængig af tid)

• Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-k] så er y2[n]=y1[n-k]

Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år

70 år45 år20 årIkke tidsinvariant system

s.59Tavle ex.2.2.4 a side 60

Kausalitet• Et kausalt system kun afhængig af

input fra fortid og nutid.• y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor

nn1

• Kausalt system (Bagudrettet difference)

• Ikke Kausalt system (Forudrettet difference)

]1[][][ nxnxny

]1[][][ nxnxnys.65

Stabilitet• Et stabilt system et system med en

begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset

• Bounded input Bounded output (BIBO)

nallfornx ,][ nallforny ,][ Givet

s.66

Session 1.• Sekvenser• Diskrete systemer• Lineære systemer • Foldning og impuls respons

LTI systemer• Lineær og tidsinvariant systemer

– Superposition+uafhængig af tid

Introduktion til analyse af linaer og tidsinvariante systemer

• Formålet med analyse af LTI systemer tidsdomænet er at kunne beskriver systemtes egneskaber og at kunne beregne et output hvis et input er givet.

SystemInput Output

][nx }{T ][ny

Impuls respons

T{∙}

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

][][ nTnh ][nh][n

Side 23 Oppenheim

Unit sample bruges som impuls

Unit sample egenskaber

][][][ knkxnxk

0,10,0

][nn

n

Alle signaler kan udtrykkes som en sum af vægtede og forskudte Unit samples

Side 11 Oppenheim

Impulsrespons og Lineære tidsinvariante systemer (LTI)

][][][ knkxnxk

][][][ knkxTnyk

][][ nxTny

k

knTkxny ][][][

][][ knTknhk

k

knhkxny ][][][Hvis vi antager tidsinvarians

Hvis vi antager T{∙} som er lineær kan vi bruge

superposition

Side 23 Oppenheim

][][ nTnh

Betyding af foldning • Et hvilket som helst LTI system kan

beskrives alene fra implusresponsen h[n].

Folding (Convolution)

• Foldings sum

• Generel notation

k

knhkxny ][][][

][*][][ nhkxny

-1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5x[n]

-1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5h[n]

-1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5y[n]

Side 23 Oppenheim

Trin i foldning• Flip det ene signal• Forskyd • Multiplicer alle sample sammen• Addere multiplikations resultaterne

Folding: eksample

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

n

x[n]

x[n]

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

k

h[n-

k]

h[n-k]

0 2 40

1

2

3

4

5

y[n]

n

y[n]

n=1

y[1]=x[1] h[1]

y[1]=2*1=2

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

n

x[n]

x[n]

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

k

y[n-

k]

y[n-k]

0 2 40

1

2

3

4

5

n

y[n]

y[n]

n=2

y[2]=x[1] h[1]+x[2] h[2]

y[2]=1*1+2*2=5

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

n

x[n]

x[n]

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

k

h[n-

k]

y[n-k]

0 2 40

1

2

3

4

5

n

y[n]

y[n]

n=3

y[3]=x[1] h[1]+x[2] h[2]

y[3]=1*1+2*1=3

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

n

x[n]

x[n]

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

h[n-

k]

k

h[n-k]

0 2 40

1

2

3

4

5y[n]

y[n]

n

n=4

y[4]=x[2] h[2]

y[4]=2*1=2

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

n

x[n]

x[n]

-2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

k

h[n-

k]

h[n-k]

0 2 40

1

2

3

4

5

y[n]

n

y[n]

k

knhkxny ][][][

Regneregler for foldning• Foldning er kommutativ

• Derfor

• Foldning er distributiv med hensyn til addition

][*][][*][][ nxnhnhnxny

][][][][ knxkhknhkxkk

][][*][][*][][*][ 2121 nhnhnxnhnxnhnx

Side 76

Op summering 2 metoder til beskrivelse af

lineære tidsinvariante systemer (LTI)

• Input output relationen:

• Beskrivelse af et systemt output til et kendt systemt input:

]1[][][ nxnxny

Session 1.• Sekvenser• Diskrete systemer• Lineære systemer • Foldning og impuls respons