signalbehandling og matematik (tidsdiskrete signaler og systemer)

Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Session 7.Analyse af lineare systemer og praktiske eksempler

Ved Samuel [email protected]

Agenda

• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab

3

Signaler og systemer i de 3 domænerRepetition

System OutputInput Output

Tids domænet:

][nx ][nh ][*][][ nhnxny

Fourier domænet:

)( jeX )( jeH )()()( jjj eHeXeY

)(zX )(zH )()()( zHzXzY Z-transfomation:

IIR og FIR filter

• IIR– Systemer med uendelige impuls respons har altid

mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler)

• FIR – Systemer med endelige impuls respons har ingen

betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler)

111)(

az

zH

11)( bzzH

M

k

kk zbzH

0

)(

M

kk knxbnh

0

][)(

General form:

Invers transformation:

Eksempel:

Repetition

ROC af differentiel funktioner

• Hvis systemet er kausalt

• Hvis systemet er stabilt og dobbelt siddet

1121 211

1)(

zzzH

Re

Im

11

2

23

Re

Im

1

1

2

23

**

**

Repetition

Stabilt system• Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt

inputtet er begrænset”Bounded input Bounded output (BIBO)”

• I tids domænet:

• Vi kan se om ovenforstående gælder i z-transformatione hvis

•

• Derfor skal enhedscirkelen ligge i ROC hvis systemet er stabilt– Dermed skal polerne for et stabilt system ligge indenfor enhedcirkelen

k

khS ][

n

n

znxzX

][)( 1 nz

Amplitude og fase respons

• Amplitude output :

• Fase output :

)()()( jjj eXeHeY

)()()( jjj eXeHeY

Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain”)( jeH

Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet )( jeH

Repetition

Amplitude og fase respons: Ideelle delay system

• Ideelle delay system:

• Frekvens respons

• Amplitude respons

• Fase respons

][][ dnnnh

dnjj eeH )(

1)( jeH

dj neH )(

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

n

h[n]

Implus respons

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

Radian frekvens ()

Am

plitu

de

Amplitude respons

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-5

0

5

10Fase respons

Radian frekvens ()

Rad

iane

r

Repetition

Group delay• Forskydning opgivet i samples (tid)

• Idelle delay:

jeH

dd

0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

n

=0.1

0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

n

InputOutput

0 5 100

0.5

1

Input OutputSystemets impus respons

Group delay

Group delay:

dj neH )(

dd nndd

)(

Repetition

Ideelt gruppe delay

• I de fleste systemer vil vi gerne have konstant gruppe delay for interessante frekvenser

• Da

• forsager en lineær fase respons et konstant gruppe delay.

jeH

dd

Repetition

Agenda


Frekvens respons af LTI systemer

)()()( jjj eXeHeY

)()()(

j

jj

eXeYeH

Outputtet er inputtet foldet med systemets impuls respons

][*][][ nhnxny

Foldning svare til multiplikation i frekvens domænet

Amplitude og fase respons

• Amplitude output :

• Fase output :

)()()( jjj eXeHeY

)()()( jjj eXeHeY

Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain”)( jeH

Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet )( jeH

EKG filteret med et filter med ikke linear fase

2 3 4 5 6 7 8-500

0

500

1000

1500

2000

2500EKG

2 3 4 5 6 7 8-500

0

500

1000

1500

2000Filteret EKG

tid (s)

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

Frekvens (Hz)

|H(e

j)|

Frekevns respons af system

0 10 20 30 40 50-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Gru

ppe

dela

y (s

)

Frekvens (Hz)

0 10 20 30 40 50-100

-50

0

H

(ej

)

Frekvens (Hz)

Frekvens respons af rationelle systemer

• Ved at substituere z=ejω

N

k

kjk

M

k

kjk

j

ea

ebeH

0

0)(

N

k

kjk

M

k

kjk

j

eda

ecbeH

10

10

)1(

)1()(

Amplitude respons af rationelle systemer

N

k

jk

M

k

jk

j

ed

ec

abeH

1

1

0

0

1

1)(

Amplitude respons:

Amplitude respons: multiplikation/division af absolutte faktorer

Fase respons af rationelle systemer

N

k

jk

M

k

jk

j edecabeH

110

0 11)(

Fase respons:

Gruppe delay:

N

k

jk

M

k

jk ed

ddec

dd

11

1arg1arg)(

Addering/substrahering af absolutte faktorer

Amplitude respons i dB

• Amplitude respons i dB:

• Der med kan både Amplitude og fase respons beregne ved addering

)(log20)(log20)(log20 101010 jjj eXeHeY

)()()( jjj eXeHeY

)()()( jjj eXeHeY

Generaliseret lineær fase

jjjj eeAeH )()(

Hvor A er en reel funktion til ω

Og hvor det ekspotentielle led beskriver fasen ved den lineære funktion hvor α og β er konstanter

jj

Eksempel på Generaliseret lineær fase

ellersn

nh0

,30,1][

-5 0 5 100

0.5

1

n

h[n]

MA filter

1

43

0

3210

11)(

zzzzzzzzH

n

n

Z transform

5.14

)2/sin()2/4sin(

11)(

j

j

jj e

eeeH

FT transform

Fasen –ω1.5 og gruppe delay er 1.5 sampels

Sidste led er jævnfør bevis side 73

Symmetri af impulsresponser

][]2[ nhnh

Sikkerhed for generel lineær fase hvis

Symmetrisk impuls respons:

][]2[ nhnh

Antisymmetrisk impuls respons:

-10 -5 0 5 10 15 200

0.5

1

n

h[n]

=3

-10 -5 0 5 10 15 20-1

0

1

n

h[n]

=3

Eksempler på symmetriske FIR linear fase systemer

Type I: h[n]=h[m-n] (M Even)

Type II, h[n]=h[m-n] (M odd)

Type III, h[n]=-h[m-n] (M Even)

Type IV, h[n]=-h[m-n] (M odd)

Agenda


Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (1/2)

• Plot poler, nul punkter og som vektore i z-planet

• Fra vektor matematik ved vi:

• Og da amplitude responsen er

,,1)( 1 jk

j rezzrezH

System z-domæne:

j

jjjjj

ereeereeH

1)(System Fourier domæne

je

213 vvv jj reev 3Derfor

321)( vvvreee

reeeH jj

j

jjj

Nul vektorjev 1

jrev 2

Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)

09.0 jeb29.0jebjeb 9.0

Polers virkning på amplitude responsen

Et nul punkt og ingen pol:

j

jjjjj

ereeereeH

1)(

jj

j

j

jjjjj

reee

ereeere

eH

11

1)(

1)( 3

1

3 vvveH j

Ingen nul punkt og en pol

33

1 1)(vv

veH j

Så derfor jo mindre v3 (pole vektor) og jo større amplitude

Fase respons fra z-planet nul punkt

• Husk faser fra flere systemer skal adderes:

• Derfor er

• Da

• Er

,,1)( 1 jk

j rezzrezH

System z-domæne:

j

jjjjj

ereeereeH

1)(System Fourier domæne

jjj

j

jjj eree

ereeeH

)(

)()()( jjj eXeHeY

jj reev 3jev 1

313)( vveH j

Fase respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)

09.0 jeb29.0jebjeb 9.0

Agenda


Ideelle filtre

Fjerner uønskede signalerPåvirker ikke det ønskede signal

Implusrespond for ideellet lavpas filter

nnnh c

sin][

Poler og nulpunkter

Fra lavpas til højpas filtere)()( lphp HH

][)1(][][ )( nhnhenh lpn

lpnj

lp

Invers Fourier

M

kk

kN

kk

k knxbknyany11

][)1(][)1(][

Differrens funktion

Digital resonator

• Poler tæt på enhedscirklen

Notch Filter

• Nul punkter tæt på enhedscirklen

o Re

Im

1

1

2

2

3

o

o

All-pass filter

1

1

1*)(

zazzHF.eks.

Agenda


Test af digitalt system (A)

• Find impuls responsen af system2.m


• Er systemet lineært?• Er det tidsinvariant?• Er det kausalt?• Er det stabilt?• Er det et IR eller FIR system?

Lineært system

Defineret ud fra superposition

][][][][ 2121 nxTbnxTanxbnxaT

Tidsinvariante systemer• Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid

(Koefficienterne er uafhængig af tid)

• Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-n0] så er y2[n]=y1[n-n0]

Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år

70 år45 år20 årIkke tidsinvariant system

Kausalitet

• Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid.

• y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1

Stabilitet

• Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset

• Bounded input Bounded output (BIBO)

• Hvilket kan sikres hvis impulsresponsen kan summers til en endelig værdi

nallfornx ,][ nallforny ,][ Givet

n

nh ][

FIR systemer

• Finite impulse response (FIR)– Endelig antal nonzero samples i

impulsresponsen– Altid stabilt så længe værdierne i

impuls responsen er endelige

-2 0 2 4 60

0.5

1

n

h[n]

M1=1 M2=1

IIR systemer

• Infinite impulse response (IIR)– Uendelig antal nonzero samples i

impulsresponsen– Kan være både stabilt og ustabilt– Eksempel på et stabilt system

-2 0 2 40

0.5

1

n

h[n]

aaSn

k 11

0

1],[][ anuanh n


• Er systemet lineært? Ja• Er det tidsinvariant? Ja• Er det kausalt? Ja• Er det stabilt? Ja• Er det et IR eller FIR system? FIR

Test af digitalt system (B)systemB.m

• System respons

• Bestem poler og nul punkter• Find frekvensen responsen H(ej) analytisk• Find frekvensen responsen H(ej) i fra impuls

responsen

2-1-

-2-1

z 0.6414 z 1.5610- 1.0000z 0.0201 z 0.0402 0.0201)(

zH

Output af system

• Bestem output hvis inputtet er

• Bestem y[n] med ved hjælp af systemet• Bestem y[n] med foldning i mellem• Bestem y[n] med Fourier transform • Bestem y[n] med input output funktion

(Differentiel funktion)

)sin()sin(][ 508 nnnx

2]-y[n 0.6414 -1]-y[n 1.56102]- x[n0.0201 1]- x[n0.0402 x[n]0.0201y[n]

signalbehandling og matematik (tidsdiskrete signaler og systemer)

Documents