s.i.5-s.i.6-s.i.7(rlc serie, rlcparalel, echivalentayz+aperiodice)(eme1012)

2.7. Elemente ideale de circuit în regim permanent sinusoidal 61

S.I.5. Circuitul R, L, C serie în R.P.S. Impedan]a. Rezonan]a de tensiuni

• Fie circuitul reprezentat în Fig.1.a, ob]inut prin conectarea în serie a elementelor liniare, ideale, rezistor, bobină şi condensator, de parametri R, L, C cu sursa ideal\ de t.e.m. sinusoidal\, având la borne tensiunea u.

Curentul i prin elementele înseriate ale circuitului este acela[i şi se consideră cunoscut, cu formă de undă sinusoidală, având următoarea expresie a valorii instantanee :

i I t i 2 sin( ). (1)

Presupunând cunoscute valorile parametrilor R, L, C [i curentul i , în cele ce urmeaz\ se determin\ valorile instantanee ale tensiunii u [i ale c\derilor de tensiune uR, uL [i uC la bornele elementelor R, L, respectiv C. În acest scop se aplic\ legea conduc]iei în circuitul dat, ob]inând:

u u u uR L C (2)

în care, a[a cum s-a ar\tat anterior (Curs2):

u Ri RI t

u Li

tX I t

uC

i t X I t

R i

L L i

C C i

2

2 2

12 2

sin( ) ,d

dsin( / ) ,

d sin( / ) .

(3)

Substituind (3) în (2) rezult\ pentru circuitul analizat o ecua]ie integro-diferen]ial\ liniar\, cu coeficien]i constan]i, de forma:

, (4)

a c\rei solu]ie, dificil de ob]inut direct (în valori instantanee), se poate determina simplu prin aplicarea metodelor de reprezentare simbolic\ în complex simplificat (R.C.S.).

Fig. 1.

2. Circuite electrice liniare de curent alternativ

Rezolvare utilizând reprezentarea analitică în complex simplificat (RCS)Imaginea complex\ simplificat\ (v.e.c.) a curentului i cunoscut (rel.(1)), are forma:

i I Ie j i (5)

Înlocuind (5) în (4) [i aplicând corespondenţa operaţiilor, ecua]ia integro-diferen]ial\ a circuitului se transform\ într-o ecua]ie algebric\, în valori efective complexe, (v.e.c.) respectiv:

,

(6)

în care (7)

se nume[te impedan]a complex\ a circuitului R, L, C serie [i este caracterizat\ prin modulul Z (numit simplu impedanţă, mărime măsurată în Ohmi) [i argumentul :

(8)

Fig. 2

Impedan]a complexă Z a circuitului RLC serie se reprezintă geometric în planul complex prin afixul şi vectorul său de poziţie (Fig.2). Partea reală a impedanţei este rezistenţa circuitului, R, iar partea imaginară este constituită de, reactan]a total\ a circuitului RLC serie, X = XL - XC , conform relaţiilor:

(9)

Caracterizarea v.e.c. a tensiunii , rezult\ din (6), ]inând cont de (5) [i (8):

,

(10)

`n care: U = ZI - valoarea efectivă a tensiunii u, u = i + - faza ini]ial\ a tensiunii u

şi se deduce: , - defazajul dintre tensiune şi curent

62


Rela]iile: şi U = ZI constituie legea conducţiei (legea lui Ohm) scris\ cu valori efective, pentru un circuit dipol RLC serie pasiv, respectiv legea conduc]iei (Ohm), cu valori efective complexe.

Valoarea instantanee a tensiunii, u se ob]ine din U (2.57), aplicând regula trecerii inverse (2.21) :

(11)

• Ecua]ia (2.49) a circuitului R, L, C serie, scris\ în valori efective complexe,

U U U UR L C , (12)

în care termenii sunt:

U RI e RI

U X I e jX I

U X I e jX I

Rj

L Lj

L

C Cj

C

i

i

i

,

,

,

( / )

( / )

2

2

(13)

este reprezentat\ în planul complex, prin diagrama fazorială din Fig.1.b.

Pentru simplitate, de regul\, curentul i (comun tuturor elementelor RLC `nseriate) se adopt\ ca mărime origine de faz\ (i = 0). Evident, `n acest caz, diagrama fazorială trasată în fig.1.b se roteşte `n sens orar cu unghiul i, iar u = .

Triunghiul OAB al valorilor efective complexe ale tensiunilor (Fig.1.b), în care , permite scrierea imaginii complexe a

tensiunii U sub forma:U U U U jUa r a r , (14)

în care:Ua = UR = RI = U cos (15)

U U U X X I XI Ur L C L C ( ) sin (16)

constituie- modulul componentei active (în faz\ cu curentul I ) , respectiv - modulul componentei reactive (`n cuadratur\ cu I ) ale tensiunii U .

Prin împ\r]irea laturilor OAB cu I se ob]ine triunghiul impedan]ei complexe Z a circuitului RLC serie (Fig. 2.11).

• În func]ie de ponderea reactan]elor XL [i XC, în circuitele R, L, C serie se pot realiza următoarele situaţii :


a) XL > XC, respectiv = u - i > 0; caracter preponderent inductiv,

b) XL < XC, respectiv = u - i < 0; caracter preponderent capacitiv,

c) XL = XC, respectiv = u - i = 0 ; rezonan]a tensiunilor (serie).

a) XL > XC

Circ. activ-inductiv, > 0;

b) XL < XC Circ. activ-capacitiv,< 0.

c) XL0 = XC0

Circ. pur activ, =0;rezonan]a tensiunilor (serie)

Fig. 3 Diagrame de tensiuni ale circuitului RLC serie.

În cazul particular când reactan]ele XL [i XC ale circuitului R, L, C serie satisfac condi]ia:

, (17)

în circuitul RLC se produce rezonan]a tensiunilor (serie). În

practic\, condi]ia X XL C0 0 poate fi realizat\ reglând parametrii L, sau

C sau frecvenţa, de alimentare; valoarea de rezonanţă a frecvenţei se notează cu 0 = 2f0 şi are expresia dedusă din condiţia de rezonanţă:

L=const.,C=const., , din care: (18)

Realizarea condi]iei de rezonanţă serie, , are urm\toarele consecin]e: 1. Defazajul dintre tensiunea u [i curentul i prin circuit, la rezonan]\, este egal cu zero, circuitul rezonant având caracter pur rezistiv (activ).

,(2.74

64


) 2. Impedan]a Z a circuitului devine minim\, egal\ cu rezisten]a R, respectiv:

Z R X X RL C02 2

0 0 ( ) = min.

(2.69) 3. Valoarea efectiv\ a intensit\]ii I0 curentului prin circuit devine maxim\, egal\ cu:

IU

Z

U

R0

0

= max.. (2.70)

4. Valorile efective ale c\derilor de tensiune UL [i UC sunt egale, iar valorile lor instantanee uL [i uC sunt în opozi]ie de faz\ şi se anulează reciproc , respectiv:

, uL+uC = 0 (2.71)

5. Valoarea efectiv\ a c\derii de tensiune pe rezistenţă, UR este egal\ cu valoarea efectiv\ a tensiunii aplicate circuitului, U :

U RI Z I UR0 0 0 0 . (2.72)

6. Pentru XL0 = XC0 > R, căderile de tensiune pe bobină şi condensator, UL0 = UC0 sunt amplificate, devenind mai mari decât tensiunea aplicată, U , UL0 = UC0 > U ; la bornele bobinei [i condensatorului apar supratensiuni, de unde [i denumirea de rezonan]\ a tensiunilor. Raportul dintre valorile efective ale tensiunilor UL0 = UC0 [i U : se nume[te factor de calitate al circuitului rezonant şi este supraunitar în acest caz:

QU

U

U

U

X

R

X

R

L

R

L C

R

Z

R

L C L C C 0 0 0 0 0 / , (2.73

)Mărimea Z L CC / se numeşte impedan]\ caracteristic\ a circuitului RLC serie. Faptul c\, atunci când este îndeplinită condi]ia Q > 1, tensiunile la bornele bobinei [i condensatorului sunt amplificate (UL0 = UC0 = QU > U) poate avea, în anumite situa]ii necontrolate, efecte negative (de exemplu: str\pungerea izola]iilor) iar în altele, efecte utile (rezonan]a este aplicat\ în tehnica m\sur\rilor electrice, în tehnica transmiterii informa]iei la distan]\ etc.).

S.1.6. Circuitul R, L, C deriva]ie. Admitan]a. Rezonan]a de curen]i

• Se consider\ circuitul dat în Fig.1. a, având la borne tensiunea u cunoscută:

u U t u 2 sin( ) . (1)


Se cunosc parametrii R, L, C [i trebuie determina]i curen]ii iR, iL, iC [i i. Se aplic\ teorema I-a a lui Kirchhoff în nodul M, respectiv:

i i i iR L C , (2)

în care (§ ):

iu

R

U

Rt

iL

u tU

Xt

i Cu

t

U

Xt

R u

LL

u

CC

u

2

12 2

2 2

sin( ) ,

d sin( / ) ,

d

dsin( / ) .

(3)

Substituind (3) în (2), rezult\ pentru circuitul R, L, C deriva]ie analizat o ecua]ie integro-diferen]ial\, liniar\, cu coeficien]i constan]i, de forma:

iu

R Lu t C

u

t

1d

d

d . (3)

Ca [i anterior, rezolvarea ecua]iei (3) se poate efectua prin aplicarea metodelor de reprezentare simbolic\ (§).

Metoda reprezent\rii analitice în complex simplificatImaginea complex\ simplificat\ a tensiunii u, (rel.(1)), are forma:

U U e j u . (4)

Substituind (4) în ecua]ia integro-diferen]ial\ (3) a circuitului [i aplicând corespondenţa operaţiilor se ob]ine:

IU

R

U

j Lj CU

(5)

Se introduc următoarele notaţii:

- conductan]a rezistorului ideal R ;

BX

LL

1

- susceptan]a inductiv\ a bobinei ideale

Fig. 1

66


L ;

BX

CC

1

- susceptan]a capacitiv\ a

condensatorului ideal C ;B B BL C - susceptan]a rezultant\ (total\) a

circuitului .

(6)

Astfel, ecuaţia (3) devine: I G j B B U G jB U YUL C ( ) ( ) , (7)

unde:(8)

se nume[te admitan]a complex\ a circuitului R, L, C deriva]ie. Modulul [i argumentul admitan]ei Y sunt date de relaţiile:

(9)

Triunghiul admitan]ei complexe Y a circuitului R, L, C deriva]ie (Fig. 2), din care se ob]in rela]iile pentru parteareală şi cea imaginară:

(10)

Y – admitanţa circuitului R,L,C derivaţie, G, BC şi BL se măsoară în Siemens, 1S=1/V.e.c. a curentului, rezult\ a fi:

în care:I YU -valoarea efectivă a intensităţii

curentului i, (11) -faza iniţială a curentului,

iar ; - defazajul dintre u şi i.

Rela]iile I YU şi exprim\ legea conduc]iei (Ohm) în valori efective, respectiv în valori efective complexe, pentru un circuit R, L, C deriva]ie.

Alicând regula trecerii inverse de la imagine la valoarea instantanee, rezult\:

Fig. 2


(12)

Ecua]ia (2.76) a circuitului R, L, C deriva]ie, exprimat\ în valori efective complexe, este reprezentat\ în planul complex, în fig.1.b.respectiv:

I I I IR C L , (13)

i I GU e GU

i I B U e jB U

i I B U e jB U

R Rj

L L Lj

L

C C Cj

C

u

u

u

,

,

,

( / )

( / )

2

2

(14)

Pentru simplitate, de regul\, tensiunea u (comun\ elementelor RLC conectate `n deriva]ie) se adopt\ ca origine de faz\ (u = 0). Drept urmare, diagrama fazorială din fig.1b se roteşte, `n acest caz, `n sens orar, cu unghiul u (iar i = - ).

Triunghiul OAB al valorilor efective complexe ale curen]ilor (Fig. 2), în care 0 2; / , permite scrierea imaginii complexe a curentului I sub forma:

I I I I jIa r a r , (15)

I I GU Ia R cos , (16)

I I I B B U BU Ir L C L C ( ) sin (17)

constituie - modulul componentei active (în faz\ cu tensiunea U ), iar:

- modulul componentei reactive (în cuadratur\ cu U ) a curentului I .Componenta activ\ Ia a curentului prin admitan]a Y corespunde curentului care parcurge conductan]a G a circuitului, iar componenta reactiv\, iar Ir - corespunde curentului care str\bate susceptan]a B a aceluia[i circuit.

În func]ie de ponderea susceptan]elor BL [i BC, circuitele R, L, C deriva]ie pot avea caracter preponderent:

a) inductiv, dac\ BL > BC, (X L < XC ) , > 0;b) capacitiv, dac\ BL < BC,, (X L > XC ,) < 0.c) Rezonan]a curen]ilor (deriva]ie) se obţine în cazul

particular când susceptan]ele BL [i BC ale circuitului R, L, C deriva]ie

satisfac condi]ia: B BL C0 0

68


a) BL > BC, (XL < XC)Circuit activ-inductiv, >0.

b) BL < BC , (XL > XC )Circuit activ-capacitiv, <0.

c) BL = BC, (XL = XC )Circuit pur activ, =0; rezonan]a curenţilor (paralel)

Fig.3. Diagrame de tensiuni ale circuitului RLC paralel.

Ca [i în cazul rezonan]ei de tensiuni, condi]ia poate fi realizat\ prin reglarea inductan]ei L, a pacit\]ii C sau frecven]ei f, a c\rei valoare f0, la rezonan]\, rezult\ - pentru elementele de circuit ideale:

L=const.,C=const., , din care:

Consecin]ele îndeplinirii condi]iei de rezonanţă în circuitul R, L, C deriva]ie sunt rmătoarele:

1. Defazajul dintre tensiunea u aplicat\ circuitului [i curentul i, în momentul reonan]ei, se anuleaz\:

(18)

2. Admitan]a circuitului Y0 devine minim\, egal\ cu conductan]a G a acestuia:

Y G B B GL C02 2

0 0 ( ) = min.

(19)3. Intensitatea curentului absorbit de circuit de la surs\ devine

minim\:

I Y U GU0 0 = min . (20)


În situa]ia particular\ în care conductan]a circuitului RLC deriva]ie este neglijabilă (G 0 ), la rezonan]ă curentul

absorbit este zero . . Circuitul se comport\ în acest caz ca

un filtru de frecven]\ (“blocheaz\” frecven]a ) [i se

nume[te circuit dop:

Y G ZY

I GU0 00

001

0 ; ; . (21)

4. Curenţii iL [i iC au valori efective egale şi fiind în opozi]ie de faz\, se anulează reciproc:

I B U B U IL L C C0 0 0 0

(22)

5. Valoarea efectiv\ a curentului prin rezistor IR devine devine egal\ cu valoarea efectiv\ a curentului total absorbit de circuit, I :

. (23)

6. La îndeplinirea condi]iei BL0 = BC0 > G, valorile efective ale curen]ilor IL0 [i IC0 prin bobin\, respectiv condensator, sunt mai mari decât curentul I0 a bsorbit de la surs\, IL0 = IC0 > I0 . Se produce în acest caz o amplificare a curen]ilor ; de aici, denumirea de rezonan]\ a curen]ilor. Raortul:

QI

I

I

I

B

G

B

G

L C L C 0 0 0 0

0 0

, (24)

se nume[te factor de calitate al circuitului RLC paralel [i valoarea sa este egal\ cu factorul de amplificare a curen]ilor la rezonan]a de curenţi.

Rezonan]a de curen]i, ca [i cea de tensiuni, are numeroase aplica]ii în tehnica m\sur\rii parametrilor RLC, în tehnica transmiterii informa]iilor şi în mod deosebit în compensarea factorului de putere etc.

S.I.7. a) Rela]ii de echivalen]\ între Z [i Y

Din compararea rela]iilor (2.53) [i (2.82) rezult\ c\ dou\ circuite, unul de impedan]\ Z [i unul de admitan]\ Y , sunt echivalente dac\:

ZY

YZ

1 1

sau . (1)

Întrucât Z = R + jX iar Y = G - jB, ]inând cont de (1), între parametrii R [i X, respectiv G [i B, rezult\ urm\toarele rela]ii de echivalen]\:

70


Z = R + jX, GR

R X

R

ZB

X

R X

X

Z

2 2 2 2 2 2;

(2)respectiv:

Y = G - jB , RG

G B

G

YX

B

G B

B

Y

2 2 2 2 2 2; , (3)

.

Din (2.100), (2.101) [i (2.102) se constat\ c\ numai impedan]a complex\ Z [i admitan]a complex\ Y sunt m\rimi inverse una alteia . Rezisten]a [i conductan]a, respectiv reactan]a [i susceptan]a sunt m\rimi inverse numai în cazul particular al elementelor de circuit ideale (§ 2.5).

De asemenea, trebuie re]inut c\ impedan]a complex\ Z [i admitan]a complex\ Y nu constituie o reprezentare simbolic\ a raportului valorilor instantanee ale tensiunii [i curentului, respectiv curentului [i tensiunii la borne deoarece, în general, acest raport este o func]ie de timp. Trebuie s\ se considere c\ Z [i Y sunt parametri complexi care intervin în ecua]iile circuitelor ca operatori de înmul]ire.

Rela]iile (2.101) [i (2.102) permit scrierea parametrilor R [i X, respectiv G [i B ai elementelor reale de circuit pentru orice schem\ echivalent\ (serie, deriva]ie) adoptat\.

b) Circuite complet-aperiodiceElementele de circuit reale (exemplu: bobinele,

condensatoarele) sunt caracterizate pe lâng\ parametrii proprii (L, respectiv C) [i prin rezisten]e, justificate prin aceea c\ apar efecte electrocalorice atât în conductoarele din care sunt confec]ionate bobinele cât [i în dielectricul condensatoarelor. Studiul analitic al acestor elemente se efectueaz\ substituindu-le prin scheme echivalente cuprinzând elemente ideale de circuit.


De regul\, bobinele reale (f\r\ miez feromagnetic) se substituie printr-o bobin\ ideal\ L în serie cu un rezistor ideal RL, iar condensatoarele reale - printr-un condensator ideal C în deriva]ie cu un rezistor ideal RC. În circuitele cu elemente reale, conectate în deriva]ie, rezonan]a de curen]i se studiaz\ cu ajutorul schemei date în fig.2.14, în care atât bobina real\ L, RL, cât [i condensatorul real C, RC , sunt înlocuite prin scheme echivalente serie.

Întrucât admitan]ele complexe ale celor dou\ ramuri ale circuitului sunt:

Y

R j LY

R j CL C1 2

1 1

1

;

/ , (1)

admitan]a complex\ echivalent\ a circuitului rezult\ de forma (§ 2.8.5):

(2)

Producerea rezonan]ei are loc la anularea defazajului dintre tensiunea U [i curentul I prin circuitul considerat, deci în momentul anul\rii susceptan]ei echivalente Be:

, (3)

din care se ob]ine pulsa]ia de rezonan]\:

. (4)

Deci pulsa]ia de rezonan]\ depinde - în acest caz general - [i de rezisten]ele RL, RC ale elementelor de circuit, diferind de pulsa]ia de rezonan]\ caracteristic\ circuitelor ideale (rel.(2.68)). Cele dou\ expresii coincid numai în cazul particular când RL = RC. Dac\ între parametrii circuitului exist\ rela]ia:

R R L CL C / , (5)

circuitul este rezonant pentru orice pulsa]ie (frecven]\) [i se nume[te complet-aperiodic.

În sfâr[it, dac\ R L CL / [i R L CC / (sau invers), rezult\ pentru or o valoare imaginar\ [i în circuitul considerat producerea rezonan]ei nu este posibil\.

Fig. 1

72


Circuitele complet-aperiodice au aplica]ii `n tehnica m\sur\rilor parametrilor RLC ai circuitelor electrice.

s.i.5-s.i.6-s.i.7(rlc serie, rlcparalel, echivalentayz+aperiodice)(eme1012)

Documents