sesion-01-2015-1
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Emprendedores sin fronteras
Mecánica 2015-1
Sesión 1
Tema:
Cantidades Vectoriales
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PROBLEMA 1 (4 puntos)
La barra mostrada se encuentra en equilibrio. Determine:
a.- La magnitud de la fuerza resultante de la distribución.(N)
b.- La posición x a partir del extremo izquierdo A de la barra donde está
ubicada la magnitud de la fuerza resultante.(N)
c.- La magnitud de la reacción vertical en el apoyo A.(N)
d.- La magnitud del Momento reactivo en el apoyo A.(N)
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BLOQUE B (4 puntos)
El sistema motriz O2B tiene 2= 5 rad/s, cte. Calcule:
a.- La expresión vectorial de BA.(cm)
b.- El vector unitario del vector CB.
c.- La magnitud del vector CB.(cm)
d.- La magnitud del vector PC.(cm)
e.- La velocidad del bloque C.(m/s)
f.- La aceleración del bloque A.(m/s2)
g.-. La aceleración del bloque C.(m/s2)
P
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a
b
c
ˆ ˆ ˆ ˆ200 110( 30 30 ) 170j Cos i Sen j c i
ˆ ˆ ˆ ˆ200 110(0,866 0,5 ) 170j i j c i
ˆ ˆ74,74 255c i j
ˆ ˆ74,74 255 ˆ ˆˆ 0,2812 0,9596265,7274
C
i ji j
Del Polígono OO2BA:
O
Del Polígono O2PCB:
P
ˆ ˆ ˆ250 110( 30 30 )j a b Cos i Sen j
ˆ ˆ95,26 195a b i j
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0,866 0,5 0,2812 0,9596 95,26 195ai aj bi bj i j
ˆ ˆ ˆ ˆˆ( 30 30 ) 95,26 195Ca Cos i Sen j b i j
0,866 0,2812 95,26a b
0,5 0,9596 195a b
52,9791
175,6048
a cm
b cm
ˆC
/ˆ ˆ1,2412 4,2351 ( )A CR i j m /
ˆ ˆ0,4938 1,6851 ( )B CR i j m
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VECTORES
A
B
B A B A
A
B
A
C
B
C
A
C
B
CAB
A
C
B
CBA
A
B
BAC
A
B
BAC
Suma de vectores
B A
A
B
A B C
C
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B
A
C
D
A
B
C
D
R
DCBAR
A
B
C
D
R
DACBR
A
B
BX
BY
j
i
)cos(2
)(
22
22
ABBAR
BBAR YX
BAC
jBiBB
jAiAA
yx
yx
A
C
B
BXAX
AY
BY
j
i
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B
B
C
B
A
)sen(
C
)sen(
B
)sen(
A
,0CBA:si
A
C
C
B
A
Producto de vectores
A
x x y y z z
A B ABcos( )
A B A B A B A B
Escalar
A B C
A B ABsen( )
Vectorial
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Sistema de Referencia: Cuerpos que se
toman como referencia para describir el
movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio del movimiento mecánico
x(t)
y(t)
z(t)
Se le asocia
• Observador
• Sistema de Coordenadas
y
x
z
• Reloj
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En el Movimiento plano
Se utilizan las Coordenadas Cartesianas
y (m)
x (m)O
origenabcisa
(x,y)
Q (-2,2)
P (8,3)
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También las Coordenadas Polares
O
origen
(r,)
Movimiento plano
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Relacion entre (x,y) y (r,)
y (m)
x (m)O
origenabcisa
(x,y)
r
θcosrx
θrseny θtan
x
y22 yxr
i
j
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VECTOR
SENTIDO
Todo vector tiene las siguientes características:
En el caso de las fuerzas, también tienen un punto de aplicación.
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Vectores en el espacio y en el
plano
Notación A
Módulo o valor ó Norma
A
Dirección θ,
x
y
z
θ
Ap
x
y
0 AA
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Propiedades de Vectores
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a
si mismo
A
B
C
CBA
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Suma de Vectores
BA
R
BA C
C
Ley del polígono
Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen
del segundo vector y así sucesivamente los vectores que siguen.
El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer
vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.
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El vector resultante es
aquel que va desde el
origen del primer vector
hasta el extremo del
ultimo
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A
B
C
D
Entonces si se tiene los
siguientes vectores
El vector resultante
de la suma de
todos ellos será:
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A B
C
D
DCBAR
R
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Propiedades de Vectores
A
Opuesto o
negativo
-A
Nulo 0 = A + ( )-A
Vector unitario A
A
μ
AA
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Propiedades de la suma de
Vectores
Ley
Conmutativa
ABBAR
Ley Asociativa
C)BA()CB(AR
Vector
Diferencia
B-AR
)B (-AR
A
B A
-BR
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Ley conmutativa
Los vectores A y B pueden ser desplazados
paralelamente para encontrar el vector
suma
B
A
B
(Método paralelogramo)
B
A
Analíticamente se cumple:
BCosABAR
BCosABAR
.2
.2
22
222
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Método del triangulo
B
A
B
A
Se cumplen dos leyes:
A B R
Sen Sen Sen
Ley de senos
Ley de Cosenos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .
2 .
2
R A B A BCos
A R B R BCos
B R A RACos
R A B B A
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Multiplicación de un vector por un
escalar
Dado dos vectores ByA
Se dicen que los vectores A y B son: BA
BAsi
0
BAsi
0
BAsi
1
A y B son proporcionales y en el mismo
sentido. Paralelos.
A y B son proporcionales y en sentido
contrario. Antiparalelos.
A y B son iguales.
Ndonde
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A
B
AB
2
1
A
B
AB
4
1
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Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los
siguientes vectores
A B
C
A B
C
2R C CA C CB
C
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VECTORES UNITARIOS
X ZYA = i + j + kA A A
22 2
Y
y
X
ZX
ZA A
Ai j kAu u
A
A
A
AA
a
A
x
y
z
A
i
k
j
z
x
y
Vectores unitarios: i, j, k
• Vector cuya magnitud o módulo es 1, se utiliza para definir la
orientación de las cantidades físicas vectoriales.
A
Au =
A AA = A u
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PROPIEDAD DEL VECTOR UNITARIO
1º A y B son paralelos y colineales.
2º- A y C son paralelos y colineales
3º- B y C son paralelos y colineales
• OBSERVACIONES• 1º- El vector unitario del vector A = (uA) es colineal al mismo sentido del vector A
• 2º-El vector unitario del vector B = (uB) es colineal al mismo sentido del vector B
• 3º- El vector unitario del vector C = (uC) es colineal al mismo sentido del vector C
• CONCLUSIÓN : Si 2 vectores son colineales o paralelos y del mismo sentido, entonces sus vectores sus vectores unitarios son iguales
A
C
uB
uAuC
Caracteristica fundamental: El tamano del vector unitario es uno o la unidad
CBAuuu
C
C
B
B
A
A
1 uuuu CBA
u
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Vectores unitarios en el plano
x
y
i Vector unitario en la dirección del eje x+
j Vector unitario en la dirección del eje y+
i
j
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Vectores unitarios en el espacio
xy
z
i
j
k
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Representación de un vector
x
y
z
θ
222
zyx AAAAA
kAjAiAA zyx
A
ASen
X ASenA Cos
Y ASenA Sen
ZA ACos
ZA
XA YA
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Observaciones:
Las componentes rectangulares de
un vector dependen del sistema
coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia.
Permanece invariante en
cualquier sistema coordenado
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Determine la resultante de los siguientes vectores
A4u 3u
B
BAR
7u
Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen
del segundo vector y así sucesivamente.
El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer
vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.
![Page 33: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/33.jpg)
+
A
B
8u 4u =
BAR
4u
![Page 34: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/34.jpg)
Observamos que, cuando los vectores
están en la misma dirección
podemos determinar fácilmente su
magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en la
misma dirección ? , ¿ podremos
determinar directamente su magnitud?
![Page 35: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/35.jpg)
A
B
La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos
tratar de buscar otra forma de determinarla. Analiticamente se cumple:
BAR
sen
R
sen
B
sen
A
Ley de Senos
Ley de Cosenos
BCosABAR .2222
BCosRBRA .2222
RCosARAB .2222
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A
B
yA
xA
xB
yB
4u
3u
6ui j
![Page 37: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/37.jpg)
yA
xA
xB
yB
4u
3u
6u
yx AAA
yx BBB
jiR ˆ5ˆ10 Vectorialmente:
jiA ˆ3ˆ4
jiB ˆ8ˆ6
![Page 38: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/38.jpg)
yy BA
xx BA
10u
5u
yyxx BABAR
Por pitagoras podemos ahora determinar
la magnitud del vector resultante
uR 55510 22
![Page 39: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/39.jpg)
yA
xA
xB
yB
xCy
C
xD
yD
![Page 40: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/40.jpg)
yyyyyDCBAR
xxxxxDCBAR
xR
yR
15 u
5 u
yxRRR
105R
![Page 41: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/41.jpg)
En la armadura mostrada, determine:
a.- El vector LH.(m)
b.- El vector CG.(m)
c.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable pequeño que actúa sobre
la estructura.(kN)
d.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable grande que actúa sobre
la estructura.(kN)
EJEMPLO
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xy
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)A
Dados los puntos indicados,
el vector que los une esta
representado por:
VECTOR GEOMETRICOEs aquel vector que se construye en funcion de sus coordenadas
k)z(zj)y(yi)x(xA121212ˆˆˆ
![Page 43: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/43.jpg)
xy
z (x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A
Representado por sus
componentes:
VECTOR FISICOEs aquella cantidad vectorial que se determina en funcion a su magnitud y a su vector unitario.
Si es paralelo a un vector geometrico, los dos tienen en comun el mismo vector unitario.
kFjFiFF ZYX
F
F
F
A
Au
ˆ
222F ZYX FFF
Donde:
![Page 44: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/44.jpg)
Producto escalar de dos
vectores
A B ABcosθ
BA A osθC
Componente de A sobre B
AB B osθC
Componente de B sobre A
Primera Propiedad
A BCos
A.B
![Page 45: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/45.jpg)
ˆ ˆ 1i i ˆ ˆ 1j j
ˆ ˆ 0i j
ˆˆ 0j k
ˆˆ 0i k
xAiA ˆ
ˆ ˆ 1k k
yAjA ˆ
zAkA ˆ
ZZYYXX BABABABA
Segunda Propiedad
![Page 46: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/46.jpg)
Producto vectorial de dos
vectores
BAC
θABC senBxA
0ii
ikj ˆˆˆ
0kk
kji ˆˆˆ ikj ˆˆˆ
jik ˆˆˆ
Primera propiedad
Segunda propiedad
![Page 47: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/47.jpg)
El modulo del producto vectorial de dos vectores
representa el area del paralelogramo.
Por lo cual, el area del triangulo sera la mitad de
la que corresponde al paralelogramo
2
θ.
2ATriangulo
senbabxa
![Page 48: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/48.jpg)
Producto Vectorial: AxB
ZYX
ZYX
BBB
AAA
kji
BxA
![Page 49: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/49.jpg)
x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC A B (A i A j A k) (B i B j B k)
X Y Z Z YC A B A B
y z x x zC A B A B
z x y y xC A B A B
Demostrar:
![Page 50: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/50.jpg)
ANGULOS DIRECTORES , y
X ZYA = i + j + kA A A
22 2
Y
y
X
ZX
ZA A
Ai j kAu u
A
A
A
AA
a
A
x
y
z
A
Sea (alfa) el angulo que forma el eje X positivo con el vector A
Son aquellos que definen la direccion de un vector en el espacio
Sea (beta) el angulo que forma el eje Y positivo con el vector ASea (gamma) el angulo que forma el eje Z positivo con el vector A
Propiedad 1:
Sea:
A
A
A
ACos XX
A
A
A
ACos YY
A
A
A
ACos ZZ
Propiedad 2:
1222 CosCosCosPropiedad 3:
kCosjCosiCoskA
Aj
A
Ai
A
A ZYXA
...
Siendo:
222 )()()( ZYX AAAAA
XAYA
ZA
Vector unitario
![Page 51: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/51.jpg)
Determinese la suma de los siguientes vectores:
Ejemplo 1:
k5j8i3A ˆˆˆ
kji-5B ˆ3ˆ2ˆ
kji4C ˆ2ˆ7ˆ
![Page 52: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/52.jpg)
Ejemplo 2:
8m
10m
5m
A
B
C
Determine la suma de los
vectores indicados
x
y
z
![Page 53: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/53.jpg)
Ejemplo
Dados los vectores:
ˆˆ ˆ3 3 5
ˆˆ ˆ4 5 3
A i j k
B i j k
Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b) El producto vectorial entre ambos
e) El ángulo que forman entre sí.
![Page 54: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/54.jpg)
xy
z
A
B
BACosuCompP
B
A
B
A
B
..
Vector Proyeccion de A sobre B
B
Bu
θA
BP
BA
BACos
.
BB
BA
B
B
B
BAu
B
BAu
BA
BAAuCompP
BBB
A
B
A
B
).
2().(.)
.(.
..
A
B
A B A BComp ACos A
A B B
ˆ ˆ( ).A
B BBP A u u
![Page 55: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/55.jpg)
1. Determine la Componente de A sobre B
2. El vector Proyeccion de B sobre C
Ejemplo:
k5j8i3A ˆˆˆ
kji-5B ˆ3ˆ2ˆ
kji4C ˆ2ˆ7ˆ
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.. , . . . , . . .
. 2 3 ... .. 2 3 .
. . . : . (2 ) 6.
Calcule X si se sabe que es perpendicular los
vectores F i j k y G i j k
y satisface la condicion X i j k
![Page 57: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/57.jpg)
La fuerza F = 500 N actua en A,
tal como se muestra en la
figura. Calcule las
componentes de esta fuerza a
lo largo de los ejes AB y AC.
Sustente su respuesta.
![Page 58: Sesion-01-2015-1](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051401/563dbcb8550346aa9ab0ad0f/html5/thumbnails/58.jpg)
THE END!
Higher Education:
Let’s make it all that it can be and needs to be!Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!
Profesor: M.Sc Tito Vilchez