serii_numerice

7/23/2019 serii_numerice

http://slidepdf.com/reader/full/seriinumerice 1/34



not

S.R.

SERII REMARCABILE

A.

SERIA GEOMETRICA

not



Sg

Nr.

F.G. – forma generala

Natura seriei Sg

Suma serie Sg

Crt.



C / D

1.

Sg qn

C

Sg

1



1 q

n 0

un!e q ratia "

q

#1



$.

Sg qn



C

Sg

q

1 q

n 1



un!e q ratia "

q

#1



%.

Sg qn

D

Sg

n 0

& n 1'



un!e q ratia "

q

1



B.

not

Sa



SERIA ARMONICA GENERALIZATA ( RIEMANN )

Nr.



Crt.

F.G. – forma generala

Natura seriei Sa

C / D

1.

Sa

1



C

n

n 1

un!e



R " (1

$.

Sa

1

D



n

n 1

un!eR "1



)



Obs 10

Criteriile de convergenta se a*li+a astfel,

*entru serii numeri+e +u termeni oare+are CRT.1

*entru serii numeri+e +u termeni *o-itii & stri+t *o-itii ' CRT.2 CRT.8

*entru serii numeri+e alternate CRT.9

Obs 11

CRITERII DE CONVERGENTA

CRT.1 & Criteriul ne+esar !ar nu sufi+ient !e +onergenta '

fie seria numeri+a,

S an

n o& n 1'

+al+ulam limita,

a lim ann

atun+i,

1' !a+a a 0 ? 0 stu!iem natura seriei numeri+e !ate S & C / D ' +u alte CRT. !e+onergenta

$' !a+a a 0 & a R ' " a sau a nu seria numeri+a !ata S este D

CRT.2 & Criteriul +om*aratiei , I , II , III '

I.

fie seriile numeri+e,

A an

n 1

B bn astfel in+at an bn " n n0

n 1

an , bn (2 " n N



atun+i,

!a+a seria numeri+a B este C seria A este C

!a+a seria numeri+a A este D seria B este D

3



II. & +riteriul ra*oartelor inegale al lui 4ummer '


A an

n 1

B bn

astfel in+ata

n 1

bn 1

" n n0

an

bn

n 1

an , bn (2 " n N

atun+i,

!a+a seria numeri+a B este C seria A este C

!a+a seria numeri+a A este D seria B este D



III. & +riteriul ra*ortului la limita '


A an

n 1

B bn

+al+ulaml lim

an

" n n0

n 1

n bn

an , bn (2 " n N

atun+i,

!a+a l 0

!a+a l 0

!a+a l

seriile numeri+e A si B au a+eeasi natura & am5ele Csau am5ele D '

si seria numeri+aB este Cseria numeri+aA este Csi seria numeri+aB este Dseria numeri+aA este D



6



Observatii:

71. fre+ent utili-at in +al+ule & a*li+atii serii numeri+e ' este CRT.2 & III ' 7$. inre-olari se or utili-a seriile remarcabile astfel, *entru C seriile remar+a5ile +onergente ,

Sg

+uratiaq

1sau

Sa+u1

*entru D seriile remar+a5ile !iergente ,

Sg

+uratiaq

1sau

Sa

+u1

CRT.3 & Criteriul +on!ensarii al lui Cau+89 '

fie seria numeri+a,

A an

n 1



formam seria numeri+a condensata A & $n ',

an (2 " an , n N

A & $n ' $n a$n

n 1

& in seria numeri+a !ata A " fa+em , n $n '

atun+i,

!a+a seria numeri+a condensata A & $n ' este C seria numeri+a A este C

!a+a seria numeri+a condensata A & $n ' este D seria numeri+a A este D



CRT.4 & Criteriul ra!a+inii al lui Cau+89 '

fie seria numeri+a,

A an

n 1

+al+ulam limita ,

a lim n an

n

an (2 " n N

atun+i,

1'!a+aa 1seria numeri+aA este C

$'!a+aa 1seria numeri+a

A este D

%'!a+aa 1? & a*li+am un alt +riteriu *entru a sta5ili natura seriei numeri+e A '



CRT.5 & Criteriul ra*ortului al lui D:Alem5ert '

fie seria numeri+a,

A an

n 1

+al+ulam limita ,

an (2 " n N

a lima

n 1

n an

atun+i,

1'!a+aa 1seria numeri+a



A este C

)'!a+aa 1

seria numeri+aA este D

3'!a+aa 1? & a*li+am un alt +riteriu *entru a sta5ili natura seriei numeri+e A '

;

CRT.6 & Criteriul lui Raa5e 0 Du8amel '

fie seria numeri+a,

A an

n 1

+al+ulam limita,

an

an

(2 " n N

a lim n

1

sau



n

an 1

an 1

a lim n 1

n

an

atun+i,

1'

!a+aa 1seria numeri+aA este D

6'!a+aa 1seria numeri+aA este C



<'!a+aa 1

?& a*li+am un alt +riteriu *entru a sta5ili natura seriei numeri+eA '

CRT.7 & Criteriul logaritmi+ '

fie seria numeri+a,

A an

n 1

+al+ulam limita ,

an (2 " n N

a lim

ln&an '



nln n

atun+i,

1'!a+aa 1seria numeri+aA este D

;'!a+aa 1seria numeri+aA este C

='!a+aa 1?& a*li+am un alt +riteriu *entru a sta5ili natura seriei numeri+eA '



Observatie:

*entru +riteriile CRT. 4 " 5 " 6 " 7 aem urmatoarea +ores*on!enta ,

CR>.) & ra!i+al 'CR>.3 & ra*ort '

CR>.6 & R – D 'CR>.< & logaritm '

=



CRT.8 & Criteriul integral '

fie seria numeri+a,

A an

n 1

!eterminam fun+tia f & x ' astfel,

an

(2 " n N

f & x ' an

" un!e f , 1"R

n x

+al+ulam ,



not

I

f & x 'x ! & x ' ?

I lim ! & x ' ! &1'

l

1

n

1

atun+i,

1'!a+al R & limita finita ' seria numeri+a A este C$'!a+al sau nuseria numeri+a A este D

Obs 12

SERII NUMERICE ALTERNATE



forma generala,

&F1' S = & 1'n an

, an 0 , n N

n0

sau

&F$' S = & 1'n 1 an

, an (2 " n N

n 1

CRT.9 & Criteriul !e +onergenta *entru serii alternate – +riteriul lui Lei5nit- '

fie seria numeri+a,

S = & 1'n 1 an

, an (2 " n N

n 1

atun+i !a+a sirul,

an n 1 este si lim an 0 seria numeri+a S este Cn

Exe"#l$Seria armoni+a alternata

S = & 1'n 1

1" un!e S este C si are suma S = ln $

n

n 1

serii_numerice

Documents