sequencias e series-principal- didatico

8/15/2019 Sequencias e Series-principal- Didatico

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Capıtulo 1

Series Innitas

Um processo innito que intrigou os matem´ aticos por seculos foi a soma de series innitas.

Algumas vezes uma soma innita de termos resultava em um n´ umero, como em

12

+ 14

+ 18

+ 116

+ . . . = 1

(Voce pode vericar isso pela adi¸ cao das areas indicadas no quadrado unit´ ario ”innitamente

dividido ao meio”abaixo.) Entretanto, algumas vezes a soma innita era innita, como em

11

+ 12

+ 13

+ 14

+ 15

+ . . . = + ∞(embora isso esteja longe de ser óbvio), e algumas vezes era impossıvel denir a soma innita,

como em

1 −1 + 1 −1 + 1 −1 + . . .

(E 0? E 1? Nao e nenhum dos dois?)

Apesar disso, matemáticos como Gauss e Euler usaram com sucesso series innitas para

obter resultados anteriormente inalcan¸ caveis. Laplace usou series innitas para provar a esta-

bilidade do sistema solar. Passaram-se muito anos ate que analistas cuidadosos como Cauchy

desenvolvessem o fundamento te´ orico para c alculos de series, mandando muitos matem´ aticos

(inclusive Laplace) de volta para a escrivaninha para vericar seus resultados.

Series innitas formam a base para uma tecnica not´ avel que nos permite expressar muitas

funcoes como ”polinomios innitos”e, ao mesmo tempo, calcular o erro quando truncamos esses

polinomios para torná-los nitos. Alem de produzir aproxima¸ coes polinomiais ecazes de fun coes

diferenci aveis, esses polin omios innitos (chamados series de potencias) tem muitas outras utili-

dades. As series innitas fornecem uma maneira eciente para avaliar integrais n˜ ao elementares

1



e resolvem equa coes diferenciais que nos permitem compreender o uxo de calor, a vibra¸ cao, a

difusao quımica e a transmiss˜ ao de sinais.

1.1 Limites de sequencias de n´ umeros

Informalmente, uma sequencia e uma lista ordenada de coisas, mas aqui as coisas ser˜ ao ge-

ralmente números. Sequencias de n´ umeros s ao frequentes em Matem´ atica. Por exemplo, os

numeros

2, 4, 6, 8, 10

formam uma sequencia denominada nita pois ha um ultimo n umero. Se o conjunto de números

que formam uma sequencia n˜ ao tiver um ultimo n umero, a sequencia e denominada innita .

Por exemplo, a sequencia 13

, 25

, 37

, 49

, . . . (1.1)

e innita pois os tres pontos sem nenhum n´ umero em seguida indicam que não ha um ultimo

numero. Estamos interessado aqui em sequencias innitas e quando usamos a palavra ”sequencia”devemos

entender que se trata de uma sequencia innita.

Deni¸ cao 1.1 - Sequencia e uma fun c˜ ao cujo domınio e o conjunto

{1, 2, 3, . . . , n , . . .

}de todos os n´ umeros inteiros positivos.

Os numeros na imagem de uma sequencia s˜ ao chamados de elementos da sequencia.

Se o n-esimo elemento for dado por f (n), ent ao a sequencia será o conjunto de pares orde-

nados da forma ( n, f (n)), onde n e um inteiro positivo.

Ilustra¸ cao 1.1 - Se f (n) = n

2n + 1, ent ao

f (1) = 13

f (2) = 25

f (3) = 37

f (4) = 49

e assim por diante. A imagem de f consiste nos elementos da sequencia (1.1). Alguns dos

pares ordenados da sequencia f sao (1, 13 ), (2, 2

5 ), (3, 37 , (4, 4

9 ) e (5, 511 ). Um esboco do graco

da sequencia est´ a na Figura 1.1. Geralmente o n-esimo termo da sequencia e dado quando os

elementos aparecem em ordem. Assim, os elementos da sequencia (1.1) podem ser escritos como

13

, 25

, 37

, 49

, . . . , n

2n + 1, . . .

2



Figura 1.1:

Como o domınio de toda sequencia e o mesmo, a nota¸ cao {f (n)}pode ser usada para denotar

a sequencia. Assim sendo, (1.1) pode ser denotada por { n2n +1 }. A nota cao {an }e tambem usada

para denotar a sequencia para a qual f (n) = an .

Dizemos que a sequencia

a1, a 2, a3, . . . , a n , . . .

e igual a sequenciab1, b2, b3, . . . , bn , . . .

se, e somente se, ai = bi para todo i inteiro positivo. Lembre-se que uma sequencia consiste

em uma ordena¸cao de elementos. Dessa forma, e possıvel duas sequencias terem os mesmos

elementos e n ao serem iguais. Por exemplo,

Ilustra¸ cao 1.2 - A sequencia {1/n } tem como elementos os recıprocos dos n´ umeros inteiros

positivos.

1, 12

, 13

, 14

, . . . , 1n

, . . . (1.2)

A sequencia para a qual

f (n) =

1 se n for ımpar

2n + 2

se n for par

tem como elementos

1, 12

, 1, 13

, 1, 14

, . . . (1.3)

Os elementos das sequencias (1.2) e (1.3) s˜ ao os mesmos, contudo, as sequencias s˜ ao diferentes.

Esbo cos dos gracos das sequencia (1.2) e (1.3) s˜ao dados nas Figuras (1.2) e (1.3), respectiva-

mente.

Vamos colocar agora, num eixo horizontal, os ponto correspondentes aos sucessivos elementos

de uma sequencia. Isso foi feito na Fig. 1.4 para a sequencia (1.1) que e n

2n + 1. Observe

3



Figura 1.2:

Figura 1.3:

que os sucessivos elementos da sequencia est˜ ao cada vez mais pr´oximos de 12 , muito embora

nenhum elemento da sequencia assuma o valor 12 . Intuitivamente, vemos que e possıvel obter

um elemento da sequencia t˜ ao pr oximo de 12 quanto desejarmos, bastando para isso tomar o

numero de elementos sucientemente grande. Ou, expressando-se de outra forma,n

2n + 1 − 12

pode-se tornar menor que qualquer n´ umero positivo , contanto que n seja sucientemente

grande. Por isso, dizemos que o limite da sequencia n

2n + 1

e 12 .

Figura 1.4:

Em geral, se existe um n umero L tal que |an −L| seja arbitrariamente pequeno para n

sucientemente grande, dizemos que a sequencia {an } tem o limite L. Segue a denicao precisa

de limite.

Deni¸ cao 1.2 - A sequencia {an} tem o limite L se para qualquer > 0 existir um n umero

N > 0, tal que se n for inteiro e se n > N , ent ao

|an −L| <

4



e escrevemos

limn→+ ∞

an = L

Exemplo 1.1 - Use a Denicao (1.2) para provar que a sequencia n

2n + 1 tem limite 1

2 .

Solu¸cao:

Ilustra¸ cao 1.3 - Considere a sequencia (−1)n +1

n. Note que o n-esimo elemento dessa

sequencia e (−1)n +1

n , e (−1)n +1 e igual a +1 quando n for ımpar e igual a −1 quando n for par.

Assim sendo, podemos escrever os elementos da sequencia da seguinte forma:

1, −12

, 13

, −14

, 15

, . . . , (−1)n +1

n , . . .

Na Figura 1.5 foram colocados os pontos correspondentes a sucessivos elementos dessa

sequencia. Na gura, a1 = 1 , a 2 = −12 , a 3 = 1

3 , a4 = −14 , a5 = 1

5 , a 6 = −16 , a 7 = 1

7 , a8 =

−18 , a 9 = 1

9 , a 10 = −110 . O limite dessa sequencia e 0, e os elementos oscilam en torno de 0.

Compare a deni¸cao de limite de sequencias com a deni cao de limite de fun coes com x

tendendo ao innito. As duas deni¸ coes sao quase identicas; contudo, quando estabelecemos

que limx→+ ∞

f (x) = L, a funcao f e denida para todos os n´ umeros reais maiores do que um

certo real r , enquanto que quando consideramos limn→+ ∞

an , n esta restrito aos n´umeros inteiros

positivos. Porem, o Teorema abaixo estabelece uma rela¸ cao bastante clara entre os dois limites.

5



Figura 1.5:

Teorema 1.1 - Se limx→+ ∞

f (x) = L e f estiver denida para todo inteiro positivo, ent˜ ao tambem

limn→+ ∞

f (n) = L quando n for um inteiro positivo qualquer.

Figura 1.6:

Ilustra¸ cao 1.4 - Vamos vericar o teorema anterior para a sequencia do Exemplo 1.1, para a

qual f (n) = n

2n + 1. Assim, f (x) =

x2x + 1

e

limx→+ ∞

x2x + 1

= limx→+ ∞

12 + 1

x=

12

Segue, ent ao, do Teorema 1.1, que limn→+ ∞

f (n) = 12

quando n for qualquer inteiro positivo. Isso

est a de acordo com a solu cao dada no Exemplo 1.1.

Deni¸ cao 1.3 - Se a sequencia {an } tiver um limite, dizemos que ela e convergente, e an

converge para o limite. Se a sequencia n˜ao for convergente, ela ser´a divergente .

Exemplo 1.2 - Determine se a sequencia 4n2

2n2 + 1 e convergente ou divergente.

Solu¸cao:

6



Exemplo 1.3 - Prove que se |r | < 1, ent ao a sequencia {r n } sera convergente e rn convergir a

para zero.

Solu¸cao:

Exemplo 1.4 - Determine se a sequencia {(−1)n + 1 }e convergente ou divergente.

Solu¸cao:

7



Exemplo 1.5 - Determine se a sequencia n sen πn

e convergente ou divergente.

Solu¸cao:

Existem teoremas de limites para sequencias, an´ alogos aos que foram dados para fun¸coes.

No enunciado desses teoremas e usada a terminologia de sequencias.

Teorema 1.2 - Se {an } e {bn} forem sequencias convergentes e c for uma constante, ent˜ ao

(i) a sequencia constante {c} tem c como seu limite;

(ii) limn→+ ∞

can = c limn→+ ∞

an ;

(iii) limn→+ ∞

(an ±bn ) = limn→+ ∞

an ± limn→+ ∞

bn ;

(iv) limn→+ ∞

an bn = limn→+ ∞

an limn→+ ∞

bn ;

(v) limn→+ ∞

an

bn= limn→+ ∞ an

limn→+ ∞

bn, se lim

n→+ ∞bn = 0 e todo bn = 0.

Exemplo 1.6 - Use o teorema anterior para provar que a sequencia n2

2n + 1 sen

πn

e conver-

gente e ache o seu limite.

Solu¸cao:

8



1.1.1 Lista de exercıcios

Exercıcio 1.1 - Nos exercıcios de 1 a 12, escreva os quatro primeiros elementos da sequencia e

determine se ela e convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.

1. n + 12n −1

2. 2n2

+ 13n2 −n

3. n2

+ 1n

4.3n3 + 12n2 + n

5.3 −2n2

n2 −1 6.

e2

n

7.ln nn2 8.

nn + 1

sen nπ

2 9.

1√ n2 + 1 −n

10 . √ n + 1

−√ n 11 .

{cos nπ

} 12. 1 +

1

3n

n

Sugest˜ ao: use limx→0

(1 + x)1/x = e

Exercıcio 1.2 - Mostre que as sequencias n2

n −3 e

n2

n + 4 divergem, porem, a sequencia

n2

n −3 − n2

n + 4 e convergente.

Exercıcio 1.3 - Prove que se a sequencia {an} for convergente e limn→+ ∞

an = L, ent ao a

sequencia {a2n} tambem ser´ a convergente e lim

n

→+

∞

a2n = L2.

1.2 Sequencias Mon´ otonas e Limitadas

Certos tipos de sequencias recebem nomes especiais.

Deni¸ cao 1.4 - Dizemos que uma sequencia {an}e

(i) crescente , se an ≤an +1 para todo n ;

(ii) decrescente , se an ≥an +1 para todo n.

Chamamos de mon´otona uma sequencia que seja crescente ou decrescente.

No caso de an < a n +1 , a sequencia e dita estritamente crescente; se an > a n +1 , a

sequencia e estritamente decrescente.

9



Exemplo 1.7 - Determine se as seguintes sequencias s˜ ao crescentes, decrescentes ou n˜ ao-

monotonas:

(a) n

2n + 1 (b)

1n

(c)(−1)n +1

n

Solu¸cao:

Deni¸ cao 1.5 - Uma sequencia {an }e limitada superiormente se existir um n umero M tal

que

an ≤M, para todo n.

E e limitada inferiormente se existir um n umero m tal que

an ≥m, para todo n.

Se ela for limitada superiormente e inferiormente, ent˜ ao

{a

n}e uma sequencia limitada.

Exemplo 1.8 -

(a) A sequencia 1 , 2, 3, . . . , n , . . . nao e limitada superiormente, mas e limitada inferiormente por

m = 1.

(b) A sequencia 12 , 2

3 , 34 , . . . , n

n +1 , . . . e limitada superiormente por M = 1 e inferiormente por

m = 12 .

10



(c) A sequencia −1, 2, −3, 4, . . . , (−1)n n , . . . nao e limitada nem superiormente e nem inferior-

mente.

Observe que nem toda sequencia limitada e convergente pois, por exemplo, a sequencia

{(

−1)n

}e limitada (

−1

≤an

≤1), mas e divergente. Alem disso, nem toda sequencia mon´ otona

converge, pois a sequencia 1 , 2, 3, . . . , n , . . . dos numeros naturais e mon´ otona, mas diverge. Se,

entretanto, uma sequencia e tanto limitada quanto mon´ otona, ent˜ao ela deve convergir. Isto e

o que diz o seguinte teorema.

Teorema 1.3 - Toda sequencia mon´ otona e limitada e convergente.

Exemplo 1.9 - A sequencia n

n + 1e convergente pois ela e crescente e limitada inferiormente

por m = 0 e superiormente por M = 1.

Solu¸cao:

Exemplo 1.10 - A sequencia2n

n! e convergente.

Solu¸cao:

11



Exemplo 1.11 - Investigue a sequencia {an } denida pela rela¸cao de recorrencia,

a1 = 2 , an +1 = 12

(an + 6) para n = 1 , 2, 3, 4, . . .

Solu¸cao:

12



1.2.1 Lista de Exercıcios

Exercıcio 1.4 - Nos exercıcios de 1 a 10, determine se a sequencia dada e crescente, decrescente

ou nao-mon otona.

1. 3n −14n + 5 2. 2n −14n −1 3. 1 −2n2

n2

4.n3 −1

n 5.

2n

1 + 2 n 6. 5n

1 + 5 2n

7. n2n 8. {sen(nπ )} 9. cos

nπ3

10 . n2 + ( −1)n n

Exercıcio 1.5 - Determine se a sequencia dada e limitada.

(a)n3 + 3n + 1

(b) {3 −(−1)n−1}Exercıcio 1.6 - Calcule o limite da sequencia

√ 2, √ 2, √ 2, . . .

1.3 Series Innitas

Uma parte importante do estudo do C´ alculo envolve a representa¸ cao de fun coes como ”somas

innitas”. Isso requer que a opera¸ cao usual de adi cao em conjuntos nitos de n´umeros seja esten-

dida para conjuntos innitos. Para tanto, usamos um processo de limite atraves de sequencias.

Associemos a sequencia

u1, u2, . . . , u n , . . .

uma ”soma innita”denotada por

u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .

Mas, qual e o signicado de tal express˜ ao? Isto e, o que queremos denotar com a ”soma”de

um n umero innito de termos e em quais circunstˆ ancias essa soma existe? Para termos uma

ideia intuitiva do conceito dessa soma, consideremos um peda¸ co de o com 2 m de comprimento

e suponhamos que ele seja cortado ao meio. Uma das partes e deixada de lado, enquanto que

13



a outra e novamente dividida ao meio. Um dos peda¸ cos com 1/2 m de comprimento e posto

de lado, enquanto que o outro e cortado ao meio, e ent ao obtemos dois peda¸cos com 1/4 m

de comprimento cada um. Tomando apenas um deles e dividindo-o ao meio, obtemos dois

peda cos com 1/8 m de comprimento. Novamente, cortamos um dos peda¸ cos ao meio. Se esse

processo continuar indenidamente, o n´ umero de metros na soma dos comprimentos dos peda¸ cos

separados pode ser considerado como a soma innita

1 + 12

+ 14

+ 18

+ 116

+ . . . + 12n−1 + . . . (1.4)

Figura 1.7:

Como comecamos com um o com 2 m de comprimento, nossa intui¸ cao indica que a soma

innita (1.4) deve ser 2. Mais adiante demonstraremos que realmente e o que ocorre. No entanto,

precisamos primeiro de algumas deni¸ coes preliminares.

Da sequencia

u1, u2, u2, . . . , u n , . . .

vamos formar uma nova sequencia {sn} adicionando os sucessivos elementos de {un }:

s1 = u1

s2 = u1 + u2

s3 = u1 + u2 + u3

s4 = u1 + u2 + u3 + u4...

sn = u1 + u2 + u3 + u4 + . . . + un

A sequencia

{sn

} obtida dessa maneira e chamada de serie innita.

Deni¸ cao 1.6 - Se {un } for uma sequencia e

sn = u2 + u2 + u3 + . . . + un

ent ao a sequencia {sn} sera chamada de serie innita , a qual e denotada por+ ∞

n =1un = u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .

14



Os numeros u1, u2, u3, . . . , u n , . . . sao chamados de termos da serie innita. Os n´umeros

s1, s2, s3, . . . , s n , . . . sao chamados de somas parciais da serie innita.

Ilustra¸ cao 1.5 - Considere a sequencia {un }, onde un = 12n−1 :

1, 12

, 14

, 18

, 116

, . . . , 12n−1 , . . .

A partir dela vamos formar uma sequencia de somas parciais:s1 = 1 s1 = 1

s2 = 1 + 12 ⇔ s2 = 3

2

s3 = 1 + 12 + 1

4 ⇔ s3 = 74

s4 = 1 + 12 + 1

4 + 18 ⇔ s4 = 15

8

s5 = 1 + 1

2 + 1

4 + 1

8 + 1

16 ⇔ s5 = 31

16...

sn = 1 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + . . . + 12n − 1

Essa sequencia de somas parciais {sn }e a serie innita denotado por

+ ∞

n =1

12n−1 = 1 +

12

+ 14

+ 18

+ 116

+ . . . + 12n−1 . . .

Observe que essa e a soma innita 1.4 obtida no come¸ co desta se cao, na discuss ao sobre o

corte de um o de 2 m de comprimento. Ela e exemplo de uma serie geometrica a ser estudada

posteriormente.

Quando {sn }e uma sequencia de somas parciais,

sn−1 = u1 + u2 + u3 + . . . + un−1.

Assim,

sn = sn−1 + un .

Usaremos essas f ormula no exemplo a seguir.

Exemplo 1.12 - Dada a serie innita

+ ∞

n =1un =

+ ∞

n =1

1n(n + 1)

.

(a) Determine os quatro primeiros elementos da sequencia de somas parciais {sn}.

(b) Determine a f´ormula para sn em termos de n .

15



Solu¸cao:

O metodo de resolu¸ cao do exemplo acima aplica-se somente a casos particulares. Em geral,

nao e possıvel obter tal express˜ ao para sn .

Deni¸ cao 1.7 - Seja+ ∞

n =1un uma dada serie innita, e seja {sn }a sequencia das somas parciais

que denem a serie. Ent˜ ao, se limn→+ ∞sn existir e for igual a S , dizemos que a serie dada ser´a

convergente , sendo S a soma da serie innita dada. Se limn→+ ∞

sn nao existir, a serie ser´a

divergente e nao ter a soma.

Essencialmente a deni¸cao acima estabelece que uma serie innita ser´ a convergente se e

somente se a sequencia de somas parciais correspondentes for convergente.

Se uma serie innita tiver uma soma S , dizemos tambem que a serie converge para S .

Ilustra¸ cao 1.6 - A serie innita da Ilustra¸ cao 1.5 e

+ ∞

n =1

12n−1 = 1 +

12

+ 14

+ 18

+ 116

+ . . . + 12n−1 . . . (1.5)

e a sequencia das somas parciais e {sn } onde

sn = 1 + 12

+ 14

+ 18

+ 116

+ . . . + 12n−1 (1.6)

16



Para determinar se a serie innita 1.5 tem uma soma, precisamos calcular limn→+ ∞

sn . Em primeiro

lugar, encontremos uma f´ ormula para sn . Da Algebra, temos que

an −bn = ( a −b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + . . . + abn−2 + bn−1)

Aplicando essa f ormula com a = 1 e b = 12 obtemos

1 − 12n = 1 −

12

1 + 12

+ 122 +

123 + . . . +

12n−1

ou seja,

1 + 12

+ 14

+ 18

+ . . . + 12n−1 =

1− 12n

12

Comparando essa equa¸cao com (1.6), temos

sn = 2 1

− 1

2n

Como limn→+ ∞

12n = 0 obtemos

limn→+ ∞

sn = 2

Assim sendo, a serie innita (1.5) tem por soma 2.

Exemplo 1.13 - Determine se a serie innita do Exemplo 1.12 e convergente.

Solu¸cao:

17



Exemplo 1.14 - Determine a serie innita que tem a seguinte sequencia de somas parciais:

sn = 12n .

Tambem determine se a serie innita e convergente ou divergente; se for convergente obtenha a

soma.

Solu¸cao:

Como ja mencionamos acima, na maioria dos casos n˜ ao e possıvel obtermos uma express˜ ao

para sn em termos de n; sendo assim, precisamos de outros meios para determinar se uma dada

serie innita tem uma soma, isto e, se uma dada serie e convergente ou divergente.

Teorema 1.4 - Se a serie innita+ ∞

n =1un for convergente, ent˜ao lim

n→+ ∞un = 0.

Demonstra¸ cao:

18



O Teorema 1.4 fornece um teste simples para a divergencia, pois se limn→+ ∞

un = 0, ent˜ao

podemos concluir que+ ∞

n =1un e divergente.

Exemplo 1.15 - Prove que as duas series seguintes s˜ ao divergente:

(a)+ ∞

n =1

n2 + 1n2

(b)+ ∞

n =1(−1)n +1 3

Solu¸cao:

O inverso do Teorema 1.4 e falso. Isto e, se limn→+ ∞

un = 0, ent ao nao e necessariamente

verdadeiro que a serie seja convergente. Em outras palavras, e possıvel ter uma serie divergente

para a qual limn→+ ∞

un = 0. Um exemplo disso e a chamada serie harmˆ onica , que e dada por

+ ∞

n =1

1n

= 1 + 12

+ 13

+ . . . (1.7)

Obviamente, limn→+ ∞

1n

= 0. Mas provaremos a seguir que a serie harmˆ onica diverge.

Exemplo 1.16 - Mostre que a serie harmˆ onica

+ ∞

n =1

1n

= 1 + 12

+ 13

+ . . .

e divergente.

Solu¸cao: Observe que

19



s1 = 1

s2 = 1 + 12

s4 = 1 + 12

+13

+ 14

> 1 + 12

+14

+ 14

= 1 + 22

s8 = 1 + 12

+13

+ 14

+15

+ 16

+ 17

+ 18

> 1 + 12 + 14 + 14 + 18 + 18 + 18 + 18

= 1 + 12

+ 12

+ 12

= 1 + 32

s16 = 1 + 12

+13

+ 14

+15

+ . . . + 18

+19

+ . . . + 116

> 1 + 12

+14

+ 14

+18

+ . . . + 18

+ 116

+ . . . + 116

= 1 + 12

+ 12

+ 12

+ 12

+ = 1 + 42

Similarmente, s32 > 1 + 52

, s64 > 162

, e em geral,

s2n > 1 + n2

.

Isto mostra que s2n −→ ∞ quando n −→ ∞ e assim {sn } e divergente. Portanto a serie

harm onica diverge.

Uma serie geometrica e da forma+ ∞

n =1ar n−1 = a + ar + ar 2 + . . . + ar n−1 + . . .

A serie innita (1.5), discutida nas Ilustra¸ coes 1.6 e 1.7, e uma serie geometrica com a = 1

e r = 12

. A soma parcial da serie geometrica acima e dada por

sn = a(1 + r + r2 + . . . + r n−1) (1.8)

20



Da identidade

1 −r n = (1 −r )(1 + r + r2 + . . . + r n−1)

podemos escrever (1.8) como

sn

a(1

−r n )

1 −r , se r = 1 (1.9)

Teorema 1.5 - A serie geometrica converge para a soma a1 −r

se |r | < 1 e a serie geometrica

diverge se |r | ≥1.

Demonstra¸ cao: Sabemos que limn→+ ∞

r n = 0 se |r | < 1. Logo de (1.9), podemos concluir que se

|r | < 1,

limn→+ ∞

sn = a1 −r

Assim sendo, se —r—¡1, a serie geometrica converge e sua soma e a1−r .

Se r = 1, sn = na . Ent ao, limn→+ ∞ sn = + ∞, se a > 0 e limn→+ ∞ sn = −∞, se a < 0.Se r = −1, ent ao a serie geometrica torna-se

a −a + a −a + . . . + ( −1)n−1a + . . .

Assim, sn = 0, se n for par e sn = a, se n for ımpar. Logo, limn→+ ∞

sn nao existe. Ent ao, a serie

geometrica diverge se |r | = 1.

Se |r | > 1, limn→+ ∞

ar n−1 = a limn→+ ∞

r n−1 = 0 pois |r n−1| pode se tornar t˜ao grande quanto

desejarmos, tomando n sucientemente grande. Logo, pelo Teorema 1.4, a serie e divergente.

Isso completa a demonstra¸ cao.

O teorema acima pode ser usado para expressar uma dızima peri´ odica como uma fra cao

comum. Veja no exemplo seguinte.

Exemplo 1.17 - Expresse a dızima peri´ odica 0, 3333 . . . como uma fra cao comum.

Solu¸cao:

21




Exercıcio 1.7 - Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequencia de so-

mas parciais {sn }, e obtenha uma f´ormula pra sn em termos de n. Determine tambem se a serie

innita e convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.

(a)+ ∞

n =1

1(2n −1)(2n + 1)

(b)+ ∞

n =1

5(3n + 1)(3 n −2)

(c)+ ∞

n =1ln

nn + 1

(d)+ ∞

n =1

25n−1

Exercıcio 1.8 -Nos itens abaixo, encontre a serie innita que produz a sequencia de somas par-

ciais dada. Determine tambem se a serie innita e convergente ou divergente; se for convergente,

encontre a sua soma.

(a) {sn}= 2n

3n + 1 (b) {sn}=

13n (c) {sn}= {ln(2n + 1) }

Exercıcio 1.9 - Nos itens abaixo, escreva os quatro primeiros termos da serie innita dada e

determine se ela e convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.

(a)+ ∞

n =1

2n + 13n + 2

(b)+ ∞

n =1

23

n

(c)+ ∞

n =1ln

1n

(d)+ ∞

n =1(−1)n +1 3

2n (e)+ ∞

n =1cos(πn ) (f )

+ ∞

n =1e−n

Exercıcio 1.10 - Nos itens abaixo, expresse a dızima peri´ odica decimal como uma fra¸cao or-

din aria.

(a) 0, 272727 . . . (b) 2, 0454545 . . . (c) 1, 234234234 . . . (d) 0, 465346534653. . .

22



Exercıcio 1.11 - A trajetória de cada oscilacão de um pendulo e 0,93 do comprimento da

trajetória da oscila cao anterior (de um lado ate o outro). Se a trajet´ oria da primeira oscila¸cao

mede 56 cm de comprimento e se a resistencia do ar leva o pendulo ao repouso, quanto mede o

caminho percorrido pelo pendulo ate que ele pare?

Exercıcio 1.12 - Qual a dist ancia total percorrida por uma bola de tenis ate o repouso, se ela

cai de uma altura de 100 m e se após cada queda ela rebate no ch˜ ao e volta a uma distância de

11/20 da altura anterior?

Exercıcio 1.13 - Ap os tirar os pes dos pedais, a roda da frente de uma bicicleta gira 200 vezes

durante os 10 primeiros segundos e em cada um dos 10 segundos seguintes ela gira 4/5 do que

girou no perıodo anterior. Determine o n´ umero de voltas da roda ate que a bicicleta pare.

1.4 Quatro Teoremas sobre Series Innitas

O primeiro teorema dessa se¸ cao estabelece que o caráter convergente ou divergente de uma serie

innita n ao e afetado quando se muda um n´ umero nito de termos.

Teorema 1.6 - Se + ∞

n =1an e

+ ∞

n =1bn s˜ ao duas series innitas que diferem somente pelo seus m

primeiros termos (isto e, ak = bk , se k > m ), ent˜ ao ambas convergem ou ambas divergem.

Exemplo 1.18 - Determine se a serie innita+ ∞

n =1

1n + 4


Solu¸cao:

23



Exemplo 1.19 - Determine se a seguinte serie e convergente ou divergente:

+ ∞

n =1

cos 3πn + 23n

(Aqui o sımbolo [ .] esta representando a fun¸ cao maior inteiro.)Solu¸cao:

Como consequencia do Teorema 1.6, para uma dada serie innita, podemos adicionar ou

subtrair um n´umero nito de termos, sem afetar seu car´ ater convergente ou divergente. Por

exemplo, no Exemplo 1.18, a serie dada pode ser considerada como a serie harmˆ onica da qual

foram subtraıdos os quatro primeiros termos. Como a serie harmˆ onica e divergente, a serie dada

tambem ser´ a divergente. No Exemplo 1.19 poderıamos considerar a serie geometrica convergente

236 +

237 +

236 + . . . (1.10)

e obter a serie dada somando cinco termos. Como uma converge a outra tambem e convergente.

O teorema seguinte estabelece que se uma serie innita for multiplicada termo a termo por

uma constante n˜ ao-nula, seu car´ater convergente ou divergente n˜ ao sera afetado.

Teorema 1.7 - Seja k uma constante n˜ ao-nula.

(i) Se a serie + ∞

n =1un for convergente e sua soma for S , ent˜ ao a serie

+ ∞

n =1ku n tambem ser´ a

convergente e sua soma ser´ a k S .

(ii) Se a serie + ∞

n =1un for divergente, ent˜ ao a serie

+ ∞

n =1ku n tambem ser a divergente.

Exemplo 1.20 - Determine se a serie+ ∞

n =1

14n


Solu¸cao:

24



Teorema 1.8 - Se+ ∞

n =1an e

+ ∞

n =1bn sao series innitas convergentes com somas S e R, respecti-

vamente, ent˜ao

(i)+ ∞

n =1(an + bn ) e uma serie convergente e sua soma e S + R.

(ii)+ ∞

n =1(an −bn ) e uma serie convergente e sua soma e S −R.

Teorema 1.9 - Se a serie + ∞

n =1an for convergente e a serie

+ ∞

n =1bn for divergente, ent˜ ao a serie

+ ∞

n =1(an + bn ) ser´ a divergente.

Determine se a serie innita abaixo e convergente ou divergente.+ ∞

n =1

14n

+ 14n

Solu¸cao:

Se ambas as series+ ∞

n =1an e

+ ∞

n =1bn forem divergentes, a serie

+ ∞

n =1(an + bn ) podera ou n ao ser

convergente. Por exemplo, se an = 1n

e bn = 1n

, ent ao an + bn = 2n

e+ ∞

n =1

2n

sera divergente.

Mas, se se an = 1

n e bn =

−1

n, ent ao an + bn = 0 e

+ ∞

n =10 sera convergente.


Exemplo 1.21 Exercıcio 1.14 - Nos itens a seguir, determine se a serie e convergente ou di-

vergente. Se for convergente, ache a sua soma.

25



(a)+ ∞

n =1

1n + 2

(b)+ ∞

n =1

32n

(c)+ ∞

n =1

32n (d)

+ ∞

n =1

43

57

n

(e)+ ∞

n =1

1

2n +

1

2n (f )

+ ∞

n =1

1

2n +

1

3n (g)

+ ∞

n =1e−n + en (h)

+ ∞

n =1

1

2n − 1

3n

Exercıcio 1.15 - De um exemplo para mostrar que mesmo sendo+ ∞

n =1an e

+ ∞

n =1bn divergentes,

e possıvel que+ ∞

n =1an bn seja convergente.

1.5 Series Innitas de Termos Positivos

Se todos os termos de uma serie innita forem positivos, a sequencia das somas parciais ser´ a

crescente. Assim sendo, segue o teorema a seguir.

Teorema 1.10 - Uma serie innita de termos positivos ser´ a convergente se e somente se sua

sequencia de somas parciais for limitada superiormente.

Exemplo 1.22 - Prove que a serie+ ∞

n =1

1n!

e convergente.

Solu¸cao:

26



No exemplo acima, os termos da serie dada foram comparados com os de uma serie que

sabemos ser convergente. Esse e um caso particular do teorema a seguir, conhecido como o teste

da compara¸c˜ ao.

Teorema 1.11 - Seja+

∞n =1

un uma serie de termos positivos.

(i) Se+ ∞

n =1vn for uma serie de termos positivos que sabemos ser convergente e se un ≤vn para

todo n inteiro positivo, ent˜ao+ ∞

n =1un sera convergente.

(ii) Se+ ∞

n =1wn for uma serie de termos positivos que sabemos ser divergente e se un ≥wn para

todo n inteiro positivo, ent˜ao+

∞n =1

un sera divergente.


n =1

43n + 1


Solu¸cao:

27




n =1

1√ n e convergente ou divergente.

Solu¸cao:

O teorema a seguir, conhecido como teste da compara¸c˜ ao com limite , e consequencia do

teorema anterior, e sua aplica¸ cao e, em muitos casos, mais f´acil.

Teorema 1.12 - Sejam+ ∞n =1

un e+ ∞n =1

vn duas series de termos positivos.

(i) Se limn→+ ∞

un

vn= c > 0, ent ao ambas as series convergem, ou ambas as series divergem.

(ii) Se limn→+ ∞

un

vn= 0 , e se

+ ∞

n =1vn converge, ent ao

+ ∞

n =1un converge.

(iii) Se limn→+ ∞

un

vn= + ∞, e se

+ ∞

n =1vn diverge, ent ao

+ ∞

n =1un diverge.

Exemplo 1.25 - Resolva o Exemplo 1.23, usando o teste da compara¸ cao com limite.

Solu¸cao:

28



Exemplo 1.26 - Resolva o Exemplo 1.24, usando o teste da compara¸ cao com limite.

Solu¸cao:


n =1

n3

n! e convergente ou divergente.

Solu¸cao:

29




n =1un for uma serie convergente de termos positivos, seus termos poder˜ ao

ser agrupados de qualquer maneira, e a serie resultante continuar´ a convergente e com a mesma

soma que a serie original.

Uma serie frequentemente usada no teste da compara¸ cao e aquela conhecida como serie p

ou serie hiper-harmˆ onica . Ela e

11 p +

12 p +

13 p . . . +

1n p . . . onde p e uma constante. (1.11)

Na ilustra¸cao a seguir vamos mostrar que a serie hiper-harmˆ onica diverge se p ≤1 e converge

se p > 1.

Ilustra¸ cao 1.7 - Se p = 1, a serie p e a serie harmˆonica que sabemos e divergente. Se p < 1,ent ao n p < n e assim

1n p ≥

1n

para todo n inteiro positivo.

Logo, pelo item (ii) do Teorema 1.11, a serie hiper-harmˆ onica e divergente se p < 1.

Se p > 1, vamos agrupar os termos da seguinte forma:

11 p +

12 p +

13 p +

14 p +

15 p +

16 p +

17 p +

18 p +

19 p + . . . +

115 p + . . . (1.12)

Consideremos a serie

11 p +

22 p +

44 p +

88 p + . . . +

2n−1

(2n−1) p + . . . (1.13)

Trata-se de uma serie geometrica cuja raz˜ ao e 22 p =

12 p−1 , que e um n umero positivo menor

do que 1. Assim sendo, a serie (1.13) e convergente. Vamos reescrever os termos da serie (1.13)

para obter

11 p +

12 p +

12 p +

14 p +

14 p +

14 p +

14 p +

18 p +

18 p + . . . +

18 p + . . . (1.14)

Comparando as series (1.12) e (1.14) vemos que o grupo de termos em cada conjunto entre

parenteses, ap´ os o primeiro grupo, tem soma menor em (1.12) do que em (1.14). Logo, pelo

teste de compara¸cao, a serie (1.12) e convergente. Como (1.12) e um mero reagrupamento da

serie p quando p > 1, segue, do Teorema 1.13, que a serie p e convergente, se p > 1.

Observe que a serie do Exemplo 1.24 e uma serie hiper-harmˆ onica com p = 12

< 1 e, portanto,

e divergente.

30



Exemplo 1.28 - Determine se a serie innita e convergente ou divergente.

+ ∞

n =1

1(n2 + 2) 1/ 3


Exercıcio 1.16 - Nos itens abaixo, determine se a serie dada e convergente ou divergente.

(a)+ ∞

n =1

1n2n (b)

+ ∞

n =1

3n + 12n2 + 5

(c)+ ∞

n =1

cos2 n3n (d)

+ ∞

n =1

1√ n2 + 4 n

(e)+ ∞

n =1

n!(n + 2)!

(f )+ ∞

n =1

n5n2 + 3

(g)+ ∞

n =1

n!(2n)!

(h)+ ∞

n =1

1n√ n2 −1

(i)+ ∞

n =1

32n −√ n (j)

+ ∞

n =1

ln nn2 + 2

(k)+ ∞

n =1

(n + 1) 2

(n + 2)!

1.6 O Teste da Integral

O teorema conhecido como o teste da integral faz uso da teoria das integrais impr´ oprias para

testar a convergencia de uma serie de termos positivos.

Teorema 1.14 - O Teste da Integral Seja f uma fun cao contınua, decrescente e com valores

positivos para todo x ≤1 e suponha que f (n) = an . Ent ao, a serie innita

+ ∞

n =1an = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .

sera convergente se a integral impr´ opria

+ ∞1 f (x)dx

existir e ser a divergente se

limb→+ ∞

b

1f (x)dx = + ∞.

31



Figura 1.8:

Exemplo 1.29 - Use o teste da integral para mostrar que a serie hiper-harmˆ onica diverge se

p ≤1 e converge se p > 1.

Solu¸cao:


n =1ne−n e convergente ou divergente.

Solu¸cao:

32



Se para uma serie innita o ındice do somat´ orio comeca com n = k em vez de n = 1, a

integral impr´opria do teste da integral tambem deve ser calculada no intervalo [ k, + ∞) ou inves

de [1, + ∞).

Exemplo 1.31 - Determine se a serie+

∞n =1

1n√ ln n


Solu¸cao:


Exercıcio 1.17 - Nos itens abaixo, use o teste da integral para determinar se a serie dada e

convergente ou divergente.

(a)+ ∞

n =1

12n + 1

(b)+ ∞

n =1

1(n + 2) 3/ 2 (c)

+ ∞

n =1

4n2 −4

(d)+ ∞

n =1e−5n


(a)+ ∞

n =1

ln nn

(b)+ ∞

n =1

1n ln n

(c)+ ∞

n =1

ln nn3 (d)

+ ∞

n =1n2e−n (e)

+ ∞

n =1

e1/n

n2

33



Exercıcio 1.19 - Prove que a serie+ ∞

n =1

1n(ln n) p

e convergente se e somente se p > 1.

1.7 Series Alternadas

Nesta se cao e na seguinte consideraremos series innitas constando tanto de termos negativos

como positivos. Discutiremos primeiramente um tipo de serie cujos termos s˜ ao alternadamente

positivos e negativos - as chamadas series alternadas .

Deni¸ cao 1.8 - Se an > 0 para todo n inteiro positivo, ent˜ao a serie

+ ∞

n =1(−1)n +1 an = a1 −a2 + a3 −a4 + . . . + ( −1)n +1 an + . . . (1.15)

e a serie + ∞

n =1(−1)n an = −a1 + a2 −a3 + a4 −. . . + ( −1)n an + . . . (1.16)

sao chamadas de series alternadas .

Ilustra¸ cao 1.8 - Um exemplo de serie alternada do tipo (1.15), onde o primeiro termo e

positivo, e+ ∞

n =1(−1)n +1 1

n = 1 −

12

+ 13 −

14

+ . . . + ( −1)n +1 1n

+ . . .

Uma serie alternada do tipo (1.16), onde o primeiro termo e negativo, e+ ∞

n =1(−1)n 1

n! = −1 +

12! −

13!

+ 14! −. . . + ( −1)n 1

n! + . . .

O teorema a seguir fornece um teste de convergencia para uma serie alternada. Ele e chamado

de teste de series alternadas; tambem e conhecido como teste de Leibniz, pois foi formulado por

ele em 1705.

Teorema 1.15 - (Teste de Leibniz) Considere a serie alternada+ ∞

n =1

(

−1)n +1 an (ou a do outro

tipo), onde an > 0 e an +1 < a n para todo n inteiro positivo. Se limn→+ ∞

an = 0, a serie alternada

converge.

Exemplo 1.32 - Prove que a serie alternada+ ∞

n =1(−1)n +1 1

n e convergente.

Solu¸cao:

34




n =1(−1)n n + 2

n(n + 1) e convergente ou divergente.

Solu¸cao:

Deni¸ cao 1.9 - Se uma serie innita for convergente e sua soma for S , ent ao o resto obtido

quando aproximamos a soma da serie pela k-esima soma parcial sk sera denotado por Rk e

Rk = S −sk

Teorema 1.16 - Considere a serie alternada + ∞

n =1(−1)n +1 an (ou a outra forma), onde an > 0

e an +1 < a n para todo n inteiro positivo, e limn→+ ∞

an = 0 . Se Rk for o resto obtido quando

aproximamos a soma da serie pela soma dos k primeiros termos ent˜ ao |Rk| < a k+1 .

Exemplo 1.34 - Uma serie para calcular ln(1 + x) se x esta no intervalo aberto ( −1, 1) e

ln(1 + x) =+ ∞n =1

(−1)n +1 xn

n

Ache um limitante superior para o erro cometido quando aproximamos o valor de ln 1 , 1 pela

soma dos tres primeiros termos da serie.

Solu¸cao:

35





(a)

+ ∞

n =1 (−1)n +1 1

2n (b)

+ ∞

n =1 (−1)n 3

n2 + 1 (c)

+ ∞

n =1 (−1)n 1

ln n (d)

+ ∞

n =1 (−1)n +1 n2

n3 + 2

(e)+ ∞

n =1(−1)n +1 ln n

n2 (f )+ ∞

n =1(−1)n 3n

n2 (g)+ ∞

n =1(−1)n n

2n

Exercıcio 1.21 - Nos itens abaixo, ache um limitante superior para o erro, quando aproxima-

mos a soma da serie innita dada pela soma dos quatro primeiros termos.

(a)+

∞n =1

(−1)n +1 1n

(b)+

∞n =1

(−1)n +1 1(2n −1)2

(c)+ ∞

n =1(−1)n 1

n2 (d)+ ∞

n =1(−1)n +1 1

(n + 1) ln( n + 1)

Exercıcio 1.22 - Nos itens abaixo, obtenha a soma da serie innita dada, com precis˜ ao de

tres casas decimais.

(a)+ ∞

n =1(−1)n +1 1

2n (b)+ ∞

n =1(−1)n +1 1

n!

(c)+ ∞

n =1(−1)n +1 1

(2n)3 (d)+ ∞

n =1(−1)n +1 1

n2n

1.8 Convergencia Absoluta e Condicional; O Teste da Razao e

o Teste da Raiz

Se todos os termos de uma dada serie innita forem substituıdos pelos seus valores absolutos e

a serie resultante for convergente, ent˜ ao dizemos que a serie dada e absolutamente convergente.

36



Deni¸ cao 1.10 - Dizemos que a serie innita + ∞

n =1un e absolutamente convergente se a

serie + ∞

n =1|un | for convergente.

Ilustra¸ cao 1.9 - Considere a serie

+ ∞

n =1(−1)n +1 2

3n = 23 −

232 +

233 −

234 + . . . + ( −1)n +1 2

3n + . . . (1.17)

Essa serie ser´a absolutamente convergente se a serie

+ ∞

n =1

23n =

23

+ 232 +

233 +

234 + . . . +

23n + . . .

for convergente. Como se trata de uma serie geometrica de raz˜ ao r = 1

3 < 1, ela e convergente.

Logo, a serie (1.17) e absolutamente convergente.

Ilustra¸ cao 1.10 - Uma serie convergente que n˜ ao e absolutamente convergente e, por exemplo,

+ ∞

n =1(−1)n +1 1

n

J a mostramos que essa serie e convergente porem n˜ ao e absolutamente convergente pois a

serie dos valores absolutos e a serie harmˆ onica, que e divergente.

A serie da Ilustra¸ cao (1.10) e exemplo de uma serie condicionalmente convergente .

Deni¸ cao 1.11 - Uma serie que e convergente, mas n˜ ao e absolutamente convergente, e deno-

minada condicionalmente convergente .

Ent ao, e possıvel que uma serie seja convergente, mas n˜ ao absolutamente convergente. Por

outro lado, se uma serie for absolutamente convergente, ela dever´ a ser convergente.

Teorema 1.17 - Se a serie innita+ ∞

n =1un for absolutamente convergente, ela ser´ a convergente

e + ∞

n =1un ≤

+ ∞

n =1|un |

Exercıcio 1.23 - Determine se a serie+ ∞

n =1

cos nπ3

n2 e convergente ou divergente.

Solu¸cao:

37



O teste da raz˜ ao, dado no pr oximo teorema, e usado frequentemente para determinar se uma

dada serie e absolutamente convergente.

Teorema 1.18 - (O Teste da Raz˜ ao) Seja+ ∞

n =1un uma serie innita dada para a qual todo un

e n ao-nulo. Ent˜ao,

(i) se limn→+ ∞

un +1

un= L < 1, a serie dada e absolutamente convergente.

(ii) se limn→+ ∞

un +1

un= L > 1, ou se lim

n→+ ∞un +1

un= + ∞ a serie dada e divergente.

(iii) se limn→+ ∞

un +1

un= 1, nenhuma conclus˜ ao quanto a convergencia pode ser tirada do teste.


n =1(

−1)n +1 n

2n e convergente ou divergente.

Solu¸cao:

Exemplo 1.36 - Provamos anteriormente que a serie

+ ∞

n =1(−1)n n + 2

n(n + 1)

e convergente. Essa serie e absolutamente convergente ou condicionalmente convergente?

Solu¸cao:

38



Teorema 1.19 - (O Teste da Raiz) Seja+ ∞

n =1un uma serie innita dada para a qual todo un e

nao-nulo. Então,

(i) se limn→+ ∞

n

|un

|= L < 1, a serie dada e absolutamente convergente.

(ii) se limn→+ ∞

n

|un | = L > 1, ou se limn→+ ∞

n

|un | = + ∞ a serie dada e divergente.

(iii) se limn→+ ∞

n

|un | = 1, nenhuma conclus˜ ao quanto a convergencia pode ser tirada do teste.

Exemplo 1.37 - Use o teste da raiz para determinar se a serie+ ∞

n =1(−1)n 32n +1

n2n e convergente

ou divergente.

Solu¸cao:

Os testes da razão e da raiz est ao intimamente relacionados; contudo, o primeiro e, em geral,

mais facil de ser aplicado. Se os termos da serie contiverem fatoriais, ent˜ ao certamente será esseo caso. Por outro lado, se os termos contiverem potencias de n, como no exemplo acima, poderá

ser mais vantajoso o uso do teste da raiz.

39




n =1

1[ln(n + 1)]n e convergente ou divergente.

Solu¸cao:



(a)+ ∞

n =1−

23

n

(b)+ ∞

n =1(−1)n +1 2n

n! (c)

+ ∞

n =1

n2

n! (d)

+ ∞

n =1(−1)n n!

2n +1

(e)+ ∞

n =1

1 −2sen nn3 (f )

+ ∞

n =1(−1)n +1 3n

n! (g)

+ ∞

n =1(−1)n +1 sen πn

n (h)

+ ∞

n =1

1(ln n)n

Exercıcio 1.25 - Se |r | < 1, prove que a serie

+ ∞

n =1r n sen nt e absolutamente convergente para

todos os valores de t .

Exercıcio 1.26 - Dada a serie+ ∞

n =1

12n +1+( −1) n . (a) Mostre que o teste da raz˜ao falha para essa

serie. (b) Use o teste da raiz para determinar se a serie e convergente ou divergente.

40



Capıtulo 2

Series de Potencias

As series innitas do capıtulo anterior envolvem termos constantes. Discutiremos agora um tipo

importante de series de termos vari´ aveis chamados series de potencias, que podem ser conside-

radas como uma generaliza¸ cao da fun cao polinomial. Voce aprender´ a, neste capıtulo, como usar

series de potencias para calcular valores de fun¸ coes como senx, e x , ln x e √ x, os quais n ao po-

dem ser calculados pelas opera¸coes da Aritmetica, usadas para determinar os valores de fun¸ coes

racionais. Voce poder´ a aplicar a teoria de series de potencias para encontrar aproxima¸ coes de

numeros irracionais tais como √ 2,π,e, ln5 e sen0, 3. Outra aplicac˜ ao e feita para aproximar

as integrais indenidas para as quais o integrando n˜ ao tem antiderivada que possa ser expressa

em termos de fun coes elementares. Por exemplo, voce aprender´ a a usar series de potencias paracalcular valores de integrais tais como

1/ 2

0e−t 2

dt, 1

0cos√ xdx e . . .

0,10 ln(1 + sen x)dx para

qualquer precis˜ao exigida. Alem disso, solu¸coes de equa coes diferenciais podem ser expressas

como series de potencias.

Deni¸ cao 2.1 - Uma serie de potencia em x −a e uma serie da forma

c0 + c1(x −a) + c2(x −a)2 + c3(x −a)3 + . . . + cn (x −a)n . . . (2.1)

Usaremos a nota¸cao+ ∞

n =0

cn (x −a)n para representar a serie (2.1). (Observe que considera-

remos (x −a)0 = 1 mesmo quando x = a, por conveniencia, ao escrever o termo geral. Se x

for um determinado n´umero, a serie de potencias (2.1) tornar-se-´ a uma serie innita de termos

constantes. Um caso especial de (2.1) ocorre quando a = 0, e a serie torna-se uma serie de

potencias em x, que e+ ∞

n =1cn xn = c0 + c1x + c2x2 + . . . + cn xn + . . . (2.2)

41



Alem das series de potencias em x −a e x, existem series de potencias da forma

+ ∞

n =0cn [φ(x)]n = c0 + c1φ(x) + c2[φ(x)]2 + . . . + cn [φ(x)]n + . . .

onde φ e uma fun cao de x. Tais series s ao chamadas de series de potencias em φ(x). Aquitrataremos exclusivamente de series de potencias da forma (2.1) ou (2.2) e, quando usarmos o

termo “series de potencias”, estaremos nos referindo a uma dessas duas formas. Restringiremos

a nossa discuss ao as series de potencias da forma (2.2). A forma mais geral (2.1) pode ser obtida

de (2.2) atraves da transla¸ cao x = x −a; assim sendo, nossos resultados aplicam-se igualmente

as series da forma (2.1).

Ao tratarmos de series innitas de termos constantes, est´ avamos interessados em quest˜ oes

de convergencia ou divergencia da serie. Ao considerarmos series de potencias, perguntamos:

para que valores de x a serie converge? Para cada valor de x para o qual a serie converge,

ela representa um número que e a sua soma. Assim sendo, uma serie de potencias dene uma

funcao. A fun cao f , com valores funcionais

f (x) =+ ∞

n =0cn xn

tem como domınio todos os valores de x para os quais a serie de potencias converge. E claro

que toda serie de potencias (2.2) e convergente para x = 0. Existem algumas series que s˜ ao

convergentes somente para esse valor de x, enquanto há tambem series que convergem para todo

valor de x.

Os tres exemplos a seguir ilustram como o teste da raz˜ ao pode ser usado para determinar

os valores de x para os quais uma serie de potencias e convergente. Quando n! for usado na

representac˜ ao do n-esimo termo de uma serie de potencias, convem lembrar que 0! = 1, de tal

forma que a representa¸ cao do n-esimo termo será valida tambem quando n = 0.

Exemplo 2.1 - Ache os valores de x para os quais a serie de potencias

+ ∞

n =1(−1)n +1 2n xn

n3n

e convergente.

Solu¸cao:

42




+ ∞

n =0

xn

n!

e convergente.Solu¸cao:


+ ∞

n =0n!xn

e convergente.

Solu¸cao:

43



No pr oximo exemplo, o teste da raiz ser´a usado para determinar quando uma serie de

potencias e convergente.


+ ∞n =1

n3xn

e convergente.

Solu¸cao:

Teorema 2.1 - Seja+ ∞

n =0cn xn uma dada serie de potencias. Ent˜ ao uma, e somente uma das

seguintes arma¸coes e verdadeira:

(i) a serie converge somente para x = 0;

(ii) a serie e absolutamente convergente para todos os valores de x;

(iii) existe um n umero R > 0 tal que a serie e absolutamente convergente para todos os valores

de x para os quais |x| < R e e divergente para todos os valores de x para os quais |x| > R .

Se, em vez da serie de potencias+ ∞

n =0cn xn , tivermos a serie

+ ∞

n =0cn (x−a)n , ent ao nas arma coes

(i) e (iii) do Teorema (2.1), x sera substituıdo por x −a. As arma coes alteram-se para:

44



(i) a serie converge somente para x = a;

(iii) existe um n umero R > 0 tal que a serie e absolutamente convergente para todos os valores

de x para os quais |x −a| < R e e divergente para todos os valores de x para os quais

|x −a| > R .

Ao conjunto de todos os valores de x para os quais uma dada serie de potencias e convergente,

chamamos intervalo de convergencia da serie de potencias. O n´ umero R da arma cao (iii)

do Teorema 2.1 e denominado raio de convergencia da serie de potencias. Se a arma¸ cao (ii)

for verdadeira, ent˜ ao R = + ∞.

Ilustra¸ cao 2.1 - Para a serie de potencias do Exemplo 2.1, R = 32

e o intervalo de convergencia

e

−3

2, 3

2. No Exemplo 2.2, R = +

∞, e o intervalo de convergencia e escrito como (

−∞, +

∞).

Se R for o raio de convergencia da serie+ ∞

n =0cn xn , o intervalo de convergencia ser´ a um dos

seguintes: ( −R, R ), [−R, R ], (−R, R ] ou [−R, R ). No caso mais geral da serie de potencias+ ∞

n =0cn (x −a)n , o intervalo de convergencia ser´ a

(a −R, a + R), [a −R, a + R], (a −R, a + R], [a −R, a + R).

Uma dada serie de potencias dene uma fun¸ cao cujo domınio e o intervalo de convergencia.

O metodo mais vantajoso para determinar o intervalo de convergencia de que dispomos e o testeda raz ao. No entanto, tal teste nada revela sobre o que acontece nos pontos extremos do intervalo

de convergencia, quanto a convergencia ou divergencia da serie de potencias. Nas extremidades

do intervalo de convergencia a serie de potencias pode ser absolutamente convergente, condicio-

nalmente convergente, ou ainda divergente. Se uma serie de potencias convergir absolutamente

numa extremidade, segue da deni¸ cao de convergencia absoluta que a serie ser´ a absolutamente

convergente nas extremidades. Se uma serie de potencias convergir numa extremidade e divergir

na outra, a serie ser´ a condicionalmente convergente no extremo no qual convergir. H´ a casos

em que a convergencia ou divergencia de uma serie de potencias nos extremos n˜ ao pode ser

determinada por metodos do C´ alculo Elementar.

Exemplo 2.5 - Determine o intervalo de convergencia da serie de potencias

+ ∞

n =1n(x −2)n

45



Solu¸cao:

Exemplo 2.6 - Determine o intervalo de convergencia da serie de potencias

+ ∞

n =1

xn

2 + n2

Solu¸cao:

46



2.1 Lista de Exercıcios

Exercıcio 2.1 - Nos itens abaixo, determine o intervalo de convergencia da serie de potencia

dada.

(a)+ ∞

n =0

xn

n + 1 (b)

+ ∞

n =0

xn

n2 −3 (c)

+ ∞

n =1

2n xn

n2 (d)+ ∞

n =1

nx n

3n

(e)+ ∞

n =1(−1)n +1 x2n−1

(2n −1)! (f )

+ ∞

n =0

(x + 3) n

2n (g)+ ∞

n =1(−1)n xn

(2n −1)32n−1 (h)+ ∞

n =1(−1)n +1 (x

(i)+ ∞

n =2(−1)n +1 xn

n(ln n)2 (j)+ ∞

n =1

n2

5n (x −1)n (k)+ ∞

n =1

ln n(x −5)n

(n + 1) (l)

+ ∞

n =1

xn

nn

Exercıcio 2.2 - Se a e b sao inteiros positivos, determine o raio de convergencia da serie de

potencias+ ∞

n =1

(n + a)!n!(n + b)!

xn .

2.2 Deriva¸ cao de Series de Potencias

Vimos na se cao anterior que uma serie de potencias+ ∞

n =0cn xn dene uma fun cao em que o domınio

e o intervalo de convergencia da serie.

Ilustra¸ cao 2.2 - Considere a serie geometrica com a = 1 e r = x, isto e,+ ∞

n =0xn . Pelo Teorema

1.5, a serie converge para a soma 11 −x

, se |x| < 1. Logo, a serie de potencias+ ∞

n =0xn dene a

funcao f , tal que f (x) = 11 −x

se |x| < 1. Logo,

1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . = 11 −x

se |x| < 1 (2.3)

A serie (2.3) pode ser usada para formar outras series de potencias cujas somas podem ser

determinadas.

Ilustra¸ cao 2.3 - Se em (2.3) x for substituıdo por −x, teremos

1 −x + x2 −x3 + . . . + ( −1)n xn + . . . = 11 + x

se |x| < 1 (2.4)

47



Seja x = x2 em (2.3), teremos

1 + x2 + x4 + x6 + . . . + x2n + . . . = 1

1 −x2 se |x| < 1 (2.5)

Se em (2.3) x for substituıdo por −x2, obteremos

1 −x2 + x4 −x6 + . . . + ( −1)n x2n + . . . = 1

1 + x2 se |x| < 1 (2.6)

Nesta se cao e na pr oxima, outras series interessantes s˜ ao obtidas de series como as acima re-

feridas, por deriva¸cao e integra cao. Provaremos que se R (onde R = 0) for o raio de convergencia

de uma serie de potencias que dene a fun¸ cao f , ent ao f sera diferenci avel no intervalo ( −R, R )

e a derivada de f poder a ser obtida ao derivarmos a serie de potencias termo a termo. Alem

disso, mostraremos que f e integr´avel em todo subintervalo fechado de ( −R, R ), e calculamos

a integral de f , integrando a serie de potencias termo a termo. Precisamos primeiro de alguns

teoremas preliminares.


n =0cn xn for uma serie de potencias com um raio de convergencia R > 0,

ent ao a serie+ ∞

n =1ncn xn−1 tambem ter´ a R como raio de convergencia.

Este teorema estabelece que a serie, obtida com a deriva¸ cao de cada termo de uma dada

serie de potencias, ter´ a o mesmo raio de convergencia que a serie dada.

Ilustra¸ cao 2.4 - Vericaremos o Teorema 2.2 para a serie de potencias+ ∞

n =0

xn +1

(n + 1) 2 = x + x2

4 +

x3

9 + . . . +

xn +1

(n + 1) 2 + xn +2

(n + 2) 2 + . . .

Determinamos o raio de convergencia aplicando o teste da raz˜ ao,

limn→+ ∞

un +1

un= lim

n→+ ∞(n + 1) 2xn +2

(n + 2) 2xn +1

= |x| limn→+ ∞

n2 + 2 n + 1n2 + 4 n + 4

= |x|48



Dessa forma, a serie de potencias e convergente quando |x| < 1; assim sendo, seu raio de

convergencia e R = 1.

A serie de potencias obtida da serie dada com deriva¸ cao termo a termo e

+ ∞

n =0(n + 1) x

n

(n + 1) 2 =+ ∞

n =0x

n

n + 1

= 1 + x2

+ x2

3 +

x3

4 + . . . +

xn

n + 1 +

xn +1

n + 2 + . . .

Aplicando o teste da raz˜ ao a essa serie de potencias, temos

limn→+ ∞

un +1

un= lim

n→+ ∞(n + 1) xn +1

(n + 2) xn

= |x| limn→+ ∞

n + 1n + 2

= |x|Essa serie e convergente se |x| < 1; assim, o seu raio de convergencia e R = 1. Como R = R ,

est a cumprido o Teorema 2.2.

Teorema 2.3 - Se o raio de convergencia da serie de potencias+ ∞

n =0cn xn for R > 0, ent ao o raio

de convergencia da serie+ ∞

n =2n(n −1)cn xn−2 tambem ser´ a R.

Para provar o Teorema 2.3 basta aplicar o Teorema 2.2 ` a serie+ ∞

n =1ncn xn−1.

Estamos agora em condi¸coes de enunciar o teorema sobre deriva¸ cao termo a termo de uma

serie de potencias.

Teorema 2.4 - Seja+ ∞

n =0cn xn uma serie de potencias cujo raio de convergencia e R > 0. Ent ao,

se f for a funcao denida porf (x) =

+ ∞

n =0cn xn (2.7)

f (x) existir a para todo x no intervalo aberto ( −R, R ), sendo dada por

f (x) =+ ∞

n =1ncn xn−1.

49



Exemplo 2.7 - Seja f a funcao denida pela serie de potencias da Ilustra¸ cao 2.4 . (a) Ache o

domınio de f ; (b) escreva a serie de potencias que dene f e determine o domınio de f .

Solu¸cao:

O exemplo anterior ilustra o fato de que se uma fun¸ cao f for denida por uma serie de

potencias e se essa serie for derivada termo a termo, a serie de potencias resultante, que dene f ,

ter a o mesmo raio de convergencia, mas n˜ ao necessariamente o mesmo intervalo de convergencia.

Exemplo 2.8 - Obtenha a serie de potencias que represente

1(1 −x)2

Solu¸cao:

50



Exemplo 2.9 - Mostre que para todos os valores reais de x

ex =+ ∞

n =0

xn

n! = 1 + x +

x2

2! +

x3

3! + . . . +

xn

n! + . . .

Solu¸cao:

Exemplo 2.10 - Use o Exemplo 2.9 para achar uma representa¸ cao em serie de potencias de

e−x .

Solu¸cao:

51



Exemplo 2.11 - Use a serie do Exemplo 2.10 para determinar o valor exato de e−1 ate a quinta

casa decimal.

Solu¸cao:

Nos calculos com series innitas ocorrem dois tipos de erros. Um deles e o erro dado pelo

resto ap os os n primeiros termos. O outro e o arredondamento que ocorre quando cada termo

da serie e aproximado por um decimal com um n´ umero nito de casas. No caso do Exemplo

2.11, querıamos o resultado preciso para cinco casas decimais; assim, cada termo foi arredondado

para seis casas decimais. Depois de calcular a soma, arredondamos o resultado para cinco casas

decimais. Naturalmente, o erro dado pelo resto pode ser reduzido, se considerarmos termos

adicionais da serie, enquanto que o erro de arredondamento pode ser reduzido se usarmos mais

casas decimais.

Num curso de Equa¸coes Diferenciais voce ver´a que e possıvel expressar as solu¸ coes de muitas

equa coes diferenciais como series de potencias. O exemplo a seguir ilustra isso.

Exemplo 2.12 - Mostre que

y = x ++ ∞

n =0

xn

n! (2.8)

e uma solu cao da equa cao diferencial d2ydx2 −y + x = 0.

Solu¸cao:

52




Exercıcio 2.3 - Nos itens abaixo, fa ca o seguinte: (a) ache o raio de convergencia da serie de

potencias dada e o domınio de f ; (b) escreva a serie de potencias que dene a fun¸ cao f e ache

seu raio de convergencia usando os metodos da se¸ cao 2.1; (c) ache o domınio de f .

(a) f (x) =+ ∞

n =1

xn

n2 (b) f (x) =+ ∞

n =1

xn

√ n (c) f (x) =+ ∞

n =1(−1)n−1 x2n−1

(2n −1)!

(d )f (x) =+ ∞

n =1(n + 1)(3 x −1)n (e) f (x) =

+ ∞

n =1

(x −1)n

n3n

Exercıcio 2.4 - Use o resultado do Exemplo 2.8 para achar uma representa¸ cao em serie de

potencias de 1(1 −x)3 .

Exercıcio 2.5 - Use o resultado do Exemplo 2.9 para achar uma representa¸ cao em serie de

potencias para e√ x .

Exercıcio 2.6 - Obtenha uma representa¸ cao em serie de potencias de 1

(1 + x)2 , se |x| < 1,

derivando a serie (2.4) termo a termo.

Exercıcio 2.7 - (a) Use a serie (2.3) de modo a encontrar uma representa¸ cao em series de

potencias para 11 −2x

. (b) Derive termo a termo a serie encontrada na parte (a), a m de

achar uma representa¸ cao em serie de potencias para 2

(1 −2x)2 .

Exercıcio 2.8 - (a) Use o resultado do Exemplo 2.9, a m de encontrar uma representa¸ cao

em serie de potencias para ex 2

. (b) Derive termo a termo a serie encontrada em (a) de modo

a achar uma representa¸ cao em serie de potencias para xex 2

.

Exercıcio 2.9 - Use o resultado do Exemplo 2.10 para determinar o valor de 1√ e com precisao

de cinco casas decimais.

Exercıcio 2.10 - Use o resultado do Exemplo 2.8 para encontrar a soma da serie+ ∞

n =1

n2n .

Exercıcio 2.11 - (a) Ache uma representa¸cao em serie de potencias para x2e−x . (b) Por

deriva cao termo a termo da serie de potencias da parte (a), mostre que+ ∞

n =1(−2)n +1 n + 2

n! = 4.

53



Exercıcio 2.12 - Suponha que uma fun¸cao f tenha a representa¸ cao dada pela serie de potencias+ ∞

n =0cn xn . Se f for uma fun cao par, mostre que cn = 0 quando n for ımpar.

Exercıcio 2.13 - Nos itens (a), (b) e (c), mostre que a serie de potencias e uma solu¸ cao da

equa cao diferencial.

(a) y =+ ∞

n =0

2n

n!xn ;

dydx −2y = 0

(b) y =+ ∞

n =1

(−1)n +1

(2n −1)!x2n−1;

d2ydx2 + y = 0

(c) y =+ ∞

n =0(−1)n 2

n

n!(2n + 1)! x2n +1 ; d2

ydx2 + x dydx + y = 0

2.3 Integra¸ cao de Series de Potencias

O teorema que diz respeito `a integra cao termo a termo e uma consequencia direta do Teorema

2.4.

Teorema 2.5 - Seja+ ∞n =0

cn xn uma serie de potencias cujo raio de convergencia e R > 0. Ent ao,

se f for a funcao denida por

f (x) =+ ∞

n =0cn xn

f sera integr avel em todo subintervalo fechado de ( −R, R ), e calculamos a integral de f inte-

grando termo a termo a serie de potencias dada; isto e, se x esta em (−R, R ), ent ao

x

0

f (t)dt =+ ∞

n =0

cn

n + 1xn +1 .

Alem disso, o raio de convergencia da serie resultante e R .

O Teorema 2.5 e usado com frequencia para o c´ alculo de uma integral denida, a qual n˜ ao

pode ser determinada diretamente, achando uma antiderivada do integrando. Os exemplos a

seguir ilustram essa tecnica. A integral denida x

0e−t 2

dt que aparece nesses dois exemplos e

54



similar aquela que representa a medida da ´ area de uma regi˜ao sob a “curva de probabilidade

normal.”

Exemplo 2.13 - Ache uma representa¸ cao em serie de potencias de

x

0e−t 2

dt .

Solu¸cao:

Exemplo 2.14 - Use o resultado do Exemplo 2.13 para calcular, com precis˜ ao de ate tres casas

decimais, o valor de 1/ 2

0e−t 2

dt .

Solu¸cao:

55



Exemplo 2.15 - Obtenha uma representa¸ cao em serie de potencias para ln(1 + x).

Solu¸cao:

No Exemplo 2.15, o Teorema 2.5 permite-nos concluir que a serie de potencias obtida repre-

senta a fun cao somente para os valores de x no intervalo aberto ( −1, 1). No entanto, a serie de

potencias e convergente no extremo direito 1, conforme j´ a foi mostrado anteriormente. Quando

x = −1, a serie de potencias torna-se a serie harmˆ onica negativa que e divergente. Logo o

intervalo de convergencia da serie de potencias e ( −1, 1].

Na ilustra¸cao a seguir mostramos que a serie de potencia do Exemplo 2.15 representa ln(1+ x)

em x = 1, provando que a soma da serie+ ∞

n =1

(−1)n−1

n e ln 2.

Ilustra¸ cao 2.5 - Para a serie innita+ ∞

n =1

(−1)n−1

n , a n-esima soma parcial e

sn = 1 − 12

+ 13 − 1

4 + . . . + ( −1)n−1 1

n (2.9)

Assim, da deni cao, se mostrarmos que limn→+ ∞

sn = ln 2 , provamos que a soma da serie e ln 2.

Da Algebra, temos a seguinte f´ormula para a soma de uma serie geometrica nita:

a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n−1 = a −ar n

1 −r

56



Dessa formula com a = 1 e r = −t ,

1 −t + t2 −t3 + . . . + ( −t)n−1 = 1−(−t)n

1 + t

que pode ser escrita como

1 −t + t2 −t3 + . . . + ( −1)n−1tn−1 = 11 + t

+ ( −1)n−1 tn

1 + t

Integrando de 0 a 1, obtemos

1

0[1−t + t2 −t3 + . . . + ( −1)n−1tn−1]dt =

1

0

11 + t

dt + ( −1)n−1 1

0

tn

1 + tdt

que d a

1 − 12

+ 13 −

14

+ . . . + ( −1)n−1 1n

= ln2 + ( −1)n−1

1

0

tn

1 + tdt (2.10)

De (2.9), vemos que o primeiro membro de (2.10) e sn . Seja

Rn = (−1)n−1 1

0

tn

1 + tdt

ent ao (2.10) pode ser escrito como

sn = ln2 + Rn (2.11)

Como tn

1 + t ≤tn para todo t em [0, 1], segue que

1

0tn

1 + t dt ≤ 1

0tn dt

Logo,

0 ≤ |Rn | = 1

0

tn

1 + tdt ≤

1

0tn dt =

1n + 1

Como limn→+ ∞

1n + 1

= 0, segue da desigualdade acima e do Teorema do Confronto que

limn→+ ∞

Rn = 0 Portanto, de (2.11),

limn

→+

∞

sn = ln 2 + limn

→+

∞

Rn = ln 2

Assim,+ ∞

n =1(−1)n−1 1

n = 1 −

12

+ 13 −

14

+ . . . = ln 2 (2.12)

57



A solucao do Exemplo 2.15 mostra que a serie de potencias+ ∞

n =1(−1)n−1 xn

n representa ln(1+ x)

se |x| < 1. Ent ao, com o resultado da Ilustra¸ cao 2.5 podemos concluir que a serie de potencias

dada representa ln(1 + x) para todo x em seu intervalo de convergencia ( −1, 1].

Embora seja interessante que a soma da serie em (2.12) seja ln 2, essa serie converge muitovagarosamente para ser usada no c´ alculo de ln 2. Vamos obter agora uma serie de potencias

para o c alculo de logaritmos naturais.

Vimos que,

ln(1 + x) =+ ∞

n =1(−1)n−1 xn

n , se |x| < 1 (2.13)

ou, segundo a Ilustra¸cao 2.5,

ln(1 + x) = x − x2

2 +

x3

3 −. . . + ( −1)n−1 xn

n + . . . para x em (−1, 1] (2.14)

Substituindo x por −x nessa serie,

ln(1 −x) = −x − x2

2 − x3

3 − x4

4 −. . . − xn

n −. . . para x em [−1, 1) (2.15)

Subtraindo termo a termo (2.15) de (2.14), obtemos

ln 1 + x1 −x

= 2 x + x3

3 +

x5

5 + . . . +

x2n−1

2n −1 + . . . se |x| < 1 (2.16)

A serie (2.16) pode ser usada para o c´ alculo do logaritmo natural de qualquer n´ umero posi-

tivo.

Ilustra¸ cao 2.6 - Se y for um numero positivo qualquer, seja

y = 1 + x1 −x

e entao x = y −1y + 1

e |x| < 1

Por exemplo, se y = 2, ent ao x = 13

. De (2.16),

ln 2 = 213

+ 134 +

1535 +

1737 +

1939 +

111311 + . . .

= 213 +

181 +

11215 +

115.309 +

1177.147 +

11.948.617 + . . .

≈2(0, 333333 + 0, 012346 + 0, 000823 + 0, 000065 + 0, 000006 + 0, 000001 + . . .)

Usando os seis primeiros termos entre parenteses, multiplicando por 2 e arredondando para

cinco casas decimais, obtemos

ln 2 ≈0, 69315

58



Exemplo 2.16 - Obtenha uma representa¸ cao em serie de potencias para tg −1x.

Solu¸cao:

Embora o Teorema 2.1 nos permita concluir que a serie de potencias obtida no exemplo

anterior representa tg −1x somente para valores de x tais que |x| < 1, podemos mostrar que o

intervalo de convergencia da serie de potencias e [

−1, 1] e que ela e uma representa¸cao de tg −1x

para todo x em seu intervalo de convergencia. Logo,

tg −1x =+ ∞

n =0(−1)n x2n +1

2n + 1

= x − x3

3 +

x5

5 −. . . se |x| ≤1

(2.17)

Ilustra¸ cao 2.7 - Se x = 1 em (2.17),

π4 = 1 − 13 + 15 − 17 + . . . + ( −1)n 12n + 1 + . . .

A serie da Ilustra¸ cao 2.7 nao e adequada ao c´alculo de π, pois converge muito vagarosamente.

O metodo a seguir fornece um metodo melhor.

Exemplo 2.17 - Prove queπ4

= tg −1 12

+ tg −1 13

.

59



Use essa formula e a serie de potencias para tg −1(x) do Exemplo (2.16), para calcular com

precis ao de cinco algarismos signicativos o valor de π .

Solu¸cao:


Exercıcio 2.14 - Ache a representa¸cao em serie de potencias para a integral dada e determineo seu raio de convergencia

(a) x

0et dt (b)

x

2

14 −t

dt

Exercıcio 2.15 - Calcule com precis ao de tres casas decimais o valor da integral dada por dois

metodos: (a) use o segundo teorema fundamental do c´ alculo; (b) use os resultados do exercıcio

60



anterior.

(a) x

0et dt (b)

x

2

14 −t

dt

Exercıcio 2.16 - Calcule com precis ao de tres casas decimais o valor da integral dada, usando

series.(a)

1/ 2

0

11 + x3 dx (b)

1

0e−x 2

dx (c) 1/ 2

0tg −1x2dx (d)

1

0x senh √ xdx

Exercıcio 2.17 - Use a serie de potencias da fun¸ cao tg −1x para calcular tg −1 14

com precis ao

de quatro casas decimais.

Exercıcio 2.18 - Se f (x) =+ ∞

n =0(−1)n (x −1)n

n! , ache f ( 5

4 ) com precis ao de tres casas decimais.

Exercıcio 2.19 - Integrando termo a termo de 0 a x uma representa¸ cao em serie de potenciasde ln(1 −t), mostre que

+ ∞

n =2

xn

(n −1)n = x + (1 −x)ln(1 −x)

Exercıcio 2.20 - Ache a serie de potencias em x de f (x) se f (x) = −f (x), f (0) = 0 e f (0) = 1.

Ache tambem o raio de convergencia da serie resultante.

2.4 Serie de Taylor

Se f for uma fun cao denida por

f (x) =+ ∞

n =0cn xn

= c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + . . . + cn xn + . . .

(2.18)

cujo raio de convergencia e R > 0, segue que, de sucessivas aplica¸coes do Teorema 2.4, que f

tem derivadas de todas as ordens em (

−R, R ). Dizemos que tal fun¸cao e innitamente deriv´ avel

em (−R, R ). Sucessivas deriva¸coes da funcao em (2.18) resultam em

f (x) = c1 + 2 c2x + 3 c3x2 + 4 c4x3 + . . . + ncn xn−1 + . . . (2.19)

f (x) = 2 c2 + 2 ·3c3x + 3 ·4c4x2 + . . . + ( n −1)ncn xn−2 + . . . (2.20)

61



f (x) = 2 ·3c3 + 2 ·3 ·4c4x + . . . + ( n −2)(n −1)ncn xn−3 + . . . (2.21)

f (iv ) (x) = 2

·3

·4c

4 + . . . + ( n

−3)(n

−2)(n

−1)nc

nxn−4 + . . . (2.22)

e assim por diante. Se x = 0 em (2.18),

f (0) = c0

Se x = 0 em (2.19),

f (0) = c1

Se x = 0 em (2.20),

f (0) = 2 c2

⇔ c2 =

f (0)

2!De (2.21), se x = 0,

f (0) = 2 ·3c3 ⇔ c2 = f (0)

3!Da mesma forma, de (2.22), se x = 0,

f (iv ) (0) = 2 ·3 ·4c4 ⇔ c4 = f (iv ) (0)

4!

Em geral,

cn = f (n ) (0)

n! para todo n inteiro positivo.

Essa formula tambem e v´ alida para n = 0, se tomarmos f (0) (0) como sendo f (0) e 0! = 1.

Assim,dessa f ormula e de (2.18), a serie de potencias f em x pode ser escrita como+ ∞

n =0

f (n ) (0)n!

xn = f (0) + f (0)x + f (0)

2! x2 + . . . +

f (n ) (0)n!

xn + . . . (2.23)

Em um sentido mais geral,consideremos a fun¸ cao f como uma serie de potencias em x −a,

isto e,

f (x) =+ ∞

n =0

cn (x

−a)n

= c0 + c1(x −a) + c2(x −a)2 + c3(x −a)3 + . . . + cn (x −a)n + . . .

(2.24)

Se o raio de convergencia dessa serie for R, ent ao f sera innitamente deriv´ avel em

(a −R, a + R). Sucessivas deriva¸coes da funcao em (2.24) resultam em

f (x) = c1 + 2 c2(x −a) + 3 c3(x −a)2 + 4 c4(x −a)3 + . . . + ncn (x −a)n−1 + . . .

62



f (x) = 2 c2 + 2 ·3c3(x −a) + 3 ·4c4(x −a)2 + . . . + ( n −1)ncn (x −a)n−2 + . . .

f (x) = 2 ·3c3 + 2 ·3 ·4c4(x −a) + . . . + ( n −2)(n −1)ncn (x −a)n−3 + . . .

e assim por diante. Tomando x = a nas representa¸coes de f em series de potencias, bem como

nas sua derivadas, obtemos

c0 = f (a) c1 = f (a) c2 = f (a)

2! c3 =

f (a)3!

e em geral

cn = f (n ) (a)

n! (2.25)

Dessa formula e de (2.24) podemos escrever a serie de potencias de f em x −a como

+ ∞

n =0

f (n ) (a)

n! (x

−a)n = f (a) + f (a)(x

−a) +

f (a)

2! (x

−a)2 + . . . +

f (n ) (a)

n! (x

−a)n + . . . (2.26)

A serie (2.26) e chamada de serie de Taylor de f em a. O caso especial de (2.26) quando

a = 0, isto e, (2.23), e chamada de serie de Maclaurin .

Exemplo 2.18 - Ache a serie de Maclaurin para ex .

Solu¸cao:

63



Exemplo 2.19 - Ache a serie de Taylor para sen x em a.

Solu¸cao:

Podemos deduzir que a representa¸ cao de uma fun cao em series de potencias e ´ unica. Isto

e, se duas fun¸coes tem os mesmos valores funcionais em algum intervalo contendo o n´ umero a,

e se ambas as fun coes tem uma representa¸ cao em serie de potencias em x

−a, ent ao trata-se

da mesma serie, pois os seus coecientes s˜ao obtidos a partir dos valores das fun¸ coes e de suas

derivadas em a. Logo, se uma fun cao tem uma representa¸ cao em series de potencias em x −a,

essa serie deve ser a sua serie de Taylor em a. Assim sendo, a serie de Taylor para uma dada

funcao nao precisa ser obtida da f´ormula (2.26). Qualquer metodo que resulte em uma serie em

x −a representando a fun¸ cao sera a serie de Taylor da fun¸ cao em a.

Ilustra¸ cao 2.8 - Para encontrar a serie de Taylor para ex em a, vamos escrever ex = ea ex−a e

ent ao usar a serie (2.27), onde substituımos x por x

−a. Ent ao,

ex = ea 1 + ( x −a) + (x −a)2

2! +

(x −a)3

3! + . . . +

(n −a)n

n! + . . .

Ilustra¸ cao 2.9 - A serie para ln(1 + x), encontrada no Exemplo 2.15 da se¸ cao anterior, pode

ser usada para determinar a serie de Taylor de ln x em a (a > 0), escrevendo

ln x = ln[a + ( x −1)]

64



ou ainda

ln x = ln a + ln 1 + x −a

a (2.27)

Uma quest˜ao natural que surge e: se uma fun¸ cao tem uma serie de Taylor em x −a, com raio

de convergencia R > 0, essa serie representa a fun¸ cao para todos os valores de x no intervalo(a −R, a + R)? Para a maioria das fun¸ coes elementares a resposta e armativa. H´ a, contudo,

funcoes para as quais a resposta e nao . O exemplo a seguir ilustra isso.

Exemplo 2.20 - Seja f a funcao denida por

f (x)

e−1/x 2

se x = 0

0 se x = 0

Ache a serie de Maclaurin para f e mostre que ela converge para todos os valores de x, mas

que ela representa f (x) somente para x = 0.

Solu¸cao:

O teorema a seguir fornece um teste para determinar se uma fun¸ cao est a representada por

sua serie de Taylor.

Teorema 2.6 - Seja f uma func˜ ao tal que f e todas as sua derivadas existam em algum inter-

65



valo (a −r, a + r ). Ent˜ ao, a fun c˜ ao e representada por sua serie de Taylor + ∞

n =0

f (n ) (a)n!

(x −a)n

para todo x, tal que |x −a| < r se,e somente se,

limn→+ ∞

Rn (x) = limn→+ ∞

f (n +1) (ξ n )(n + 1)!

(x −a)n +1 = 0

onde cada ξ n est´ a entre x e a.

O Teorema 2.6 tambem e v´ alido para outras formas do resto Rn (x), alem da f´ormula de

Lagrange. Frequentemente, e difıcil aplicar o Teorema 2.6, pois os valores de ξ n sao arbitr´arios.

Mas, as vezes pode ser encontrado um limitante superior para Rn (x) e pode ser possıvel provar

que o limite dos limitantes superiores e zero quando n → +∞. O seguinte limite e de grande

valia em alguns casos:

limn→+ ∞

xn

n! = 0 para todo x (2.28)

Isto segue do fato que a serie de potencias+ ∞

n =0

xn

n! e convergente para todos os valores de x

e assim, o seu n-esimo termo deve ser zero.

Exemplo 2.21 - Use o Teorema 2.6 para mostrar que a serie de Maclaurin para ex representa

a funcao para todos os valores de x.

Solu¸cao:

66



Exemplo 2.22 - Mostre que a serie de Taylor para sen x em a representa a fun¸cao para todos

os valores de x.

Solu¸cao:

Exemplo 2.23 - Calcule o valor de sen47◦ com precisao de quatro casas decimais.

Solu¸cao:

67



Exemplo 2.24 - Calcule com precis ao de cinco casas decimais

1

1/ 2

sen xx

dx.

Solu¸cao:


Exercıcio 2.21 - Prove que a serie+ ∞

n =0

(−1)n x2n

(2n)! representa cos x para todos os valores de x.

Exercıcio 2.22 - Use a serie de Maclaurin de ln(1 + x) para encontrar a serie de Taylor para

ln x em 2.

Exercıcio 2.23 - Ache uma representa¸ cao em serie de potencias para a fun¸ cao em torno do

ponto a e determine o raio de convergencia.

(a) f (x) = ln( x + 1); a = 1 (b) f (x) = √ x; a = 4 (c) f (x) = cos x; a = π3

Exercıcio 2.24 - Ache a serie de Maclaurin para sen 2x.

(Sugest˜ ao: use sen 2x = 12

(1 −cos2x).)

Exercıcio 2.25 - Use serie de potencias para calcular, com a precis˜ ao exigida, o valor da quan-

tidade dada.

68



(a) cos58◦; quatro casas decimais

(b) 5√ 30; cinco casas decimais

(c) ln(0, 8); quatro casas decimais

Exercıcio 2.26 - Calcule com tres casas decimais de precis˜ ao o valor da integral denida.(a)

1/ 2

0sen x2dx

(b) 0,1

0ln(1 + sen x)dx

(c) 1

0g(x)dx, onde g(x) =

1 −cos xx

, se x = 0

0 se x = 0

Exercıcio 2.27 - A funcao E denida por

E (x) = 2√ π

x

0e−t 2

dt

e chamada de func˜ ao erro e e importante em Estatıstica Matem´ atica. Ache a serie de Maclaurin

para a fun cao erro.

sequencias e series-principal- didatico

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