calc 4 unid a sequencias
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 1
A LINGUAGEM MATEMTICA:
CADERNOS
PROF MARCO A BRASIL
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UNIDADE A
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SUMRIO
CONTEDOS PGINA
CADERNO 1 SEQUNCIAS 4
1 Notaes Bsicas 5
2 Formando Sequncias 6
3 Soma de uma PA finita 14
4 Soma de uma PG finita 16
5 Limite de uma Sequncia 18
6 Proposies Fundamentais I 20
7 Propriedades Operacionais dos Limites I 22
8 Propriedades Operacionais dos Limites II 23
9 Propriedades Operacionais dos Limites III 24
10 Sequncias Limitadas 27
11 Sequncias Montonas 29
12 Atividades de Estudos 31
35
: TPICO AUXILIAR DE ESTUDO ( * ): Contedo Optativo
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 4
SEQUNCIAS
Uma Sequncia ou Sucesso toda lista ordenada de nmeros reais. uma lista de nmeros, inteiro e positivo, dispostos de modo que reconhecemos qual o 1 termo, o 2 termo, o 3 termo e, assim sucessivamente.
Os nmeros inteiros e positivos indicam a ordem de colocao dos termos, ou elementos, na sequncia e os valores que se sucedem devem obedecer a uma regra previamente definida ou certa disposio tabular.
uma lista ordenada { que pode ser interpretada como
uma funo que associa a cada , = { 1, 2, 3, . . . , , . . .} um, e somente um, nmero real ( ) = .
uma funo:
: tal que: 1 ( 1 ) = 1 2 ( 2 ) = 2 3 ( 3 ) = 3
( ) = an,
O valor ( ), denotado an, chamado termo de ordem n, termo geral, ensimo termo ou termo de ordem n da sequncia.
( )
Por exemplo, seja = 3 + 2.
Cada valor produz um nico valor (6,20) formando pares ordenados (5,12)
( , ) = ( , 2 3 + 2 ), (4,6) dos quais destacamos : (3,2)
( 1, 0 ), ( 2, 0 ), ( 3, 2 ), ( 4, 6 ), ( 5, 12 ) ou ( 6, 20 ) ( 1, 0 ) (2,0)
1 CADERNO 1
DEF 1: Uma sequncia de nmeros reais uma funo real cujo domnio o
conjunto dos nmeros inteiros e positivos = { 1, 2, 3, . . . , , . . .} .
DEF 2:
O Grfico da sequncia { an } o conjunto dos pares ordenados ( , an ),
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 5
NOTAES BSICAS
Em geral, como toda sequncia ( ) = tem o mesmo domnio, o conjunto dos nmeros inteiros e positivos, elas podem ser denotadas:
( 1 ) Atravs da notao funcional ( ) = ou ( ) = ;
( 2 ) Explicitando alguns primeiros termos { , , , . . . } separados
por vrgulas entre chaves onde os trs pontos significam e assim sucessivamente;
( 3 ) Indicando o termo geral entre chaves { }, subentendido ,
ou { } | , para um nmero inteiro e positivo diferente de 1.
Se conveniente, podemos comear uma sequncia pelo ndice 0 ou qualquer
outro nmero inteiro e positivo.
Por exemplo, o Fatorial uma sequncia iniciada em = 0, de modo que:
0 = 1, 1 = 1. 1, 2 = 1. 2 = 2, 3 = 1. 2. 3 = 6, . . . , e
= 1. 2. 3. . . . , se .
Assim construmos a sequncia { 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040. . . }.
uma funo que associa a cada nmero N o valor 0 = 1 e para n 0,
= 1. 2. 3. . . . .
uma funo : = { 0, 2, 3, 4, . . . , n, . . . } tal que
( ) = { 1, = 0 = 1. 2. 3. . . . , .
A sequncia = 2
3 comea em n = 4 para construir a lista
{ 2, 1, , , , . . . }.
denotada = ou = 2
3 se n 4.
Agora observamos que no se deve confundir a sequncia { }, com o
conjunto dos seus termos, denotado por ( ). Enquanto um conjunto uma lista de elementos, uma sequncia toda lista
ordenada de elementos.
Por exemplo, o conjunto A = { 2, 2, 2, 2, 2 } tem apenas um elemento.
A sequncia finita { } = { 2, 2, 2, 2, 2 } tem os seguinte elementos 1 = 2,
2 = 2, 3 = 2, 4 = 2 e 5 = 2. Mas o conjunto dos seus termos tem apenas o elemento 2.
O Conjunto dos Termos de uma Sequncia { } a lista dos nmeros, ou
elementos, que compe a sequncia, denotada por ( ).
1
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 6
FORMANDO SEQUNCIAS
O CONJUNTO DOS TERMOS DE UMA SEQUNCIA
A SEQUNCIA CONSTANTE =
( 1 ) A sequncia constante = k, uma sequncia cujos termos so todos iguais.
( 2 ) a sequncia cujos termos so { } = { , , , . . . , }.
( 3 ) O conjunto dos seus termos o conjunto unitrio { }: ( ) = { }.
A SEQUNCIA OSCILANTE = { 0,
1 ,
( 1 ) Os termos de { } so { } = { 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . , . . . };
( 2 ) Os termos de { } oscilam entre 1 e 0.
( 3 ) O conjunto dos seus termos ( ) = { 0,1 }.
A SEQUNCIA OSCILANTE =
( 1 ) Os termos de { } so { } = { 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, . . . };
( 2 ) Os termos de { } oscilam entre 1, 0 e 1;
( 3 ) O conjunto dos seus termos ( ) = { 1, 0,1 }.
A SEQUNCIA OSCILANTE = ( ) +
( 1 ) Os termos de { } so { } = { 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . };
( 2 ) Os termos de { } oscilam entre 1 1;
( 3 ) O conjunto dos seus termos ( ) = { 1, 1 }.
A SEQUNCIA DE FIBONACCI = { 1 = 12 = 1
= 1 + 2, 3
( 1 ) A Sequncia de Fibonacci, definida recursivamente, diz :
( 2 ) Cada termo a partir do 3 termo, igual a soma dos dois termos precedentes;
( 2 ) Os termos de { } so { } = { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . };
( 3 ) O conjunto dos seus termos ( ) = { 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . };
EXEMPLO 1
E 1 A
E 1 B
E 1 C
E 1 D
E 1 E
2
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 7
FORMANDO SEQUNCIAS
{ } = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
( 1 ) Temos: 1 1 = 1; 2 2 = 2; 3 3 = 3; . . . , de modo que n = n;
( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por = ;
{ } = { 2, 4, 6, 8, 10, . . . }
( 1 ) Temos: 1 1 = 2 = 2. 1;
2 2 = 4 = 2. 2;
3 3 = 6 = 2. 3; . . . , de modo que n = 2. n;
( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por = ;
{ } = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . }
( 1 ) Temos: 1 1 = 1;
2 2 = 3 = 2. 2 1 ;
3 3 = 5 = 2. 3 1;
4 4 = 7 = 2. 4 1, . . . , de modo que n = 2. n 1 ;
( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por = ;
{ } = { 1, , , , , . . . };
( 1 ) Temos: 1 1 = 1;
2 2 = 1 2 ,
3 3 = 1 3 , . . . , de modo que n = ;
( 2 ) Portanto, o termo geral dado por =
;
EXEMPLO 2
E 2 A
Muitas vezes, mas nem sempre, a partir de alguns termos possvel intuir ou reconhecer a Lei de Formao ou Regra Geral de uma sequncia.
E 2 C
E 2 B
E 2 D
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 8
FORMANDO SEQUNCIAS II
{ } = { 1, , , , , . . . };
( 1 ) Temos: 1 1 = 1;
2 2 = 1 3 ;
3 3 = 1 5 ; . . . , de modo que
n = ( ) ,
( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por =
;
{ } = { 1, 1, 1, 1, 1, . . . }
( 1 ) Temos: 1 1 = 1 = (1)1+1 = (1)2 = 1;
2 2 = 1 = (1)2+1 = (1)3 = 1;
3 3 = 1 = (1)3 +1 = (1)4 = 1; . . . de modo que
n = (1)n +1
( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por = () +;
{ } = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . }
( 1 ) Temos: 1 1 = 1 = (1)1+1. ( 2. 1 1 ) = (1)2 . 1 = 1. 1 = 1
2 2 = 3 = (1)2 +1. ( 2. 2 1 ) = (1)3 . 3 = 1. 3 = 3 ;
3 3 = 5 = (1)3 +1. ( 2. 3 1 ) = (1)4 . 5 = 1. 5 = 5;
4 4 = 7 = (1)4 +1. ( 2. 4 1 ) = (1)5 . 7 = 1. 7 = 7, . . . , de modo que
n (1)n +1. ( 2. n 1 ) ;
( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por = (1)n +1 ( );
EXEMPLO 3
E 3 A
Muitas vezes, mas nem sempre, a partir de alguns termos possvel intuir ou reconhecer a Lei de Formao ou Regra Geral de uma sequncia.
E 3 C
E 3 B
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 9
OS NMEROS PRIMOS
( 1 ) Nem sempre possvel encontrar uma regra ou lei de formao de uma sequencia entre os termos de uma sequncia;
( 2 ) Um bom exemplo a sequncia { } dos nmero primos; ( 3 ) Um numero inteiro positivo > 1 PRIMO se os seus nicos divisores positivos so ele mesmo e a unidade; ( 4 ) A lista dos 10 primeiros nmeros primos { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 }; ( 5 ) Um nmero inteiro positivo maior do que 1 que no primo diz-se COMPOSTO; ( 6 ) 2 o nico nmero primo par; ( 7 ) Nmeros Primos Impares consecutivos so chamados Primos Gmeos; Por exemplo, 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19 ou, 29 e 31; ( 8 ) 3, 5 e 7 o nico terno de nmeros primos impares e consecutivos; ( 9 ) CONJECTURA DE GOLDBACH O matemtico alemo Christian Goldbach em carta ao matemtico suo Leonhard Paul Euler, observou que TODO INTEIRO PAR MAIOR DO QUE 4 PODE SER ESCRITO COMO SOMA DE DOIS INTEIROS IMPARES;
Assim, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11 = 7 + 7, . . . ( 10 ) Muitas frmulas para construir nmeros primos foram propostas, entretanto, ainda na ausncia de uma regra geral, desde o sculo II aC contamos com um processo prtico desenvolvido pelo matemtico grego Eratstenes, tambm conhecido por calcular a medida da circunferncia da Terra; ( 11 ) O CRIVO DE ERATSTENES::
A ) Escreva os inteiros positivos de 2 at um nmero inteiro positivo ; B ) Elimine todos os inteiros compostos mltiplos dos primos p tais que p
C) Assim, se n = 100, os primos p tais que p 100 = 10 so 2, 3, 5 e 7; D ) Ento elimine os inteiros compostos mltiplos de 2, 3, 4 e 7 para formar a
lista dos Nmeros Primos entre 2, inclusive, e 100:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97 98 99 100
( 12 ) Teorema de Euclides: O conjunto dos Nmeros Primos infinito; ( 13 ) Teorema Fundamental da Aritmtica:
Todo inteiro positivo > 1 igual a um produto de fatores primos, chamado decomposio em fatores primos do nmero ; ( 14 ) Toda decomposio de um nmero inteiro e positivo > 1 na forma
= 11 . 2
2 . . . . . ,
onde 1, 2, . . . , so nmeros primos e 1, 1, . . . , so nmeros inteiros e positivos, chamada Decomposio Cannica do nmero ;
Por exemplo, 360 = 2.2.2.3.3.5 = 2. 3. 5 ou 17460 = 2. 3. 5. 7.
EXEMPLO 4
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 10
NMEROS IRRACIONAIS
No sculo V aC os gregos descobrem que nem todas as grandezas geomtricas da mesma espcie so comensurveis: existem grandezas de mesma natureza que no so mltiplas racionais entre si. Dito de outro modo: os nmeros racionais no so suficientes para descrever todas as medidas de comprimentos.
Pitgoras havia demonstrado que em todo tringulo retngulo o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Sabia que num tringulo
retngulo issceles de lado 1 a hipotenusa vale .
Ao provar que no pode ser colocado na forma de frao ou, que um nmero no racional, Pitgoras provocou a primeira grande reviso conceitual da Matemtica, s superada por volta de 370 a.C. com a Teoria das Propores de Eudoxo. Os desdobramentos da Teoria das Propores fornecem no sculo XIX as bases necessrias aos matemticos Richard Dedekind e Karl Theodor Wilhelm Weierstrass para a construo do Sistema dos Nmeros Reais.
Entretanto a convivncia com os nmeros irracionais bem mais antiga.
H mais de 40 sculos sabemos que dividindo o comprimento C de uma circunferncia pela medida do seu dimetro o resultado sempre o mesmo.
Enquanto os egpcios aproximaram este valor para 3,16, os Babilnios usaram 3,12. No sculo III aC Arquimedes usou 3,14 e no sculo II aC Ptolomeu aproximou para 3,1416. Em 1430 o matemtico rabe Al Kashi aproximou para 16 casas decimais e em 1706 o matemtico ingls Williams Jones indicou este valor pela letra
grega . Em 1761 o matemtico suo J.H. Lambert demonstra que irracional, pois
tem infinitas casas decimais que no formam perodo.
Enquanto a histria de recua no tempo, as origens de outro nmero irracional importante nas aplicaes das Cincias e Tecnologia denotado pela letra pelo matemtico suo Leonhard Euler, localizam-se no sculo XVI quando se percebeu
que a sequncia { } da frmula dos juros compostos tende ao valor 2,71828.
As tabelas abaixo mostram que a medida que o nmero aumenta a sequncia () = se aproxima do nmero e: o primeiro nmero a ser definido por um
processo de limite:
1 2 3 10.000 . . . 1.000.000
( ) (1 +
1
)
2 2,25 2,370370369 . . . 2,711814927 . . .2,718280469
Para valores de cada vez maiores, os termos de ( ) = ficam
cada vez mais prximos do valor e = 2,728281828459045235360287...
Demonstra-se que se n *: lim 1 + 1
=
EXEMPLO 5
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 11
FORMANDO SEQUNCIAS III
Seja { } = { 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, . . . };
( 1 ) Observe que a partir do 2 termo diferena entre cada termo e o termo anterior
sempre constante e igual a 7:
( 2 ) 9 2 = 7, 16 9 = 7, 23 16 = 7, 30 23 = 7, 37 30 = 7, . . . ,
( 3 ) Dados 3 termos consecutivos, o termo do meio ou termo mdio Mdia
Aritmtica entre os outros dois:
( 4 ) 9 16, 23, 30, 37, . . . ,
( 5 ) Sequncias que observam estas propriedades denominam-se Progresses
Aritmticas, abreviadamente PA.
Seja a PA { } = { , , , . . . , . . . }
( 1 ) A partir do 2 termo a diferena constante entre cada termo e o termo anterior
1 da sequncia { } chamada razo :
( 2 ) = 1
( 3 ) Assim, se a1 o primeiro termo de uma PA, ento:
= r = + r;
= r = + r = + r + r = + 2 r;
= r = + r = + 2 r + r = + 3 r ;
= r = + r = + 3 r + r = + 4 r . ( 4 ) E assim sucessivamente deduzimos a Frmula Geral de uma PA:
= a1 + ( ) .
{ k, k, k, k, k, . . . } uma PA com 1= , = 0 e = k ;
{ 1, 2, 3, 4, 5, . . . } uma PA com 1= 1, = 1 e = .
E 6 B
EXEMPLO 6
E 6 A
A PA, Progresso Aritmtica, uma importante sequncia que permite reconhecer dentre os nmero interessantes propriedades;
E 6 C
E 6 D
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 12
FORMANDO SEQUNCIAS IV
{ } = { 2, 4, 6, 8, 10, . . . } uma PA com 1 = 2 e = 2;
( 1 ) O termo geral, dado por = a1 + ( ), tal que = 2 + ( ) ;
( 2 ) Ou seja, = 2;
{ } = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } uma PA com 1 = 1 e = 2;
( 1 ) O termo geral, dado por = b1 + ( ), tal que = 1 + ( ) ;
( 2 ) Ou seja, = 2 1;
{ } = { 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, . . . } uma PA com 1 = 6 e = 2;
( 1 ) O termo geral, dado por = c1 + ( ), tal que = 6 + ( ) ;
( 2 ) Ou seja, = 2 8 ;
{ } = { 0, , 3, , 6, , . . . }
( 1 ) uma PA com 1 = 0 e = 3 2 ; ( 2 ) O termo geral, dado por = d1 + ( ), tal que = 0 + ( ) ;
( 2 ) Ou seja, = 3n 2 - 3 2 ;
Elementos Termo Razo Termo Geral
{ 12, 7, 2, 3, 8, . . . } 12 5 = 5 + 17
{ 5, 7 2 , 2, 1 2 , 1, . . . } 5 3 2 = 3 2 + 13 2
Os 3 primeiros termos da PA de razo 7 e = 7635, so calculados:
( 1 ) = + ( 321 1 ) 7 7635 = + 7. 320 = 5395;
( 2 ) Como = + r e = + 2r, ento = 5402 e = 5409.
EXEMPLO 7
E 7 A
O termo Geral de uma PA de 1 termo e razo = a1 + ( ) . A PA crescente se > 0, decrescente se < 0 e constante se = 0.
E 7 B
E 7 C
E 7 D
EXEMPLO 8
E 8 A
E 8 B
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 13
FORMANDO SEQUNCIAS V
Seja { } = { 3, 9, 27, 81, 243, . . . };
( 1 ) Observe que a partir do 2 termo o quociente de cada termo pelo termo anterior
sempre constante e igual a 3:
( 2 ) 9 3 = 3, 27 9 = 3, 81 27 = 3, 243 81 = 3, . . . ,
( 3 ) De cada 3 termos consecutivos o termo do meio ao quadrado igual ao produto
dos outros dois. O termo do meio a Mdia Geomtrica dos outros dois: 9 = 3 . 27,
27 = 9 . 81, 81 = 27 . 243,
( 4 ) Sequncias com estas propriedades denominam-se Progresses Geomtricas.
Seja a PG de razo , { } = { , , , . . . , . . . };
( 1 ) A partir do 2 termo o quociente de cada termo pelo termo anterior 1 sempre constante e igual a razo : ( 2 ) = / 1
( 3 ) Assim, se a1 o primeiro termo de uma PG, ento: / = = ;
/ = = . = . . = ;
/ = = = . . = ;
/ = = = . = 4 .
( 4 ) E assim sucessivamente deduzimos a Frmula Geral da PG: = ,
ou, considerando o 1 termo = , =
( 5 ) Dados 3 termos consecutivos , e , o termo do meio ao quadrado igual ao Produto dos outros dois. O termo mdio chamado Mdia Geomtrica
Ou seja, como
=
, ento = .
Nmero de termos da PG { } = { 3, 15, . . . , 3.662.109.375 };
( 1 ) Temos = 3, = 5 e = 3.662.109.375;
( 2 ) Como = 1 3. 5 1 = 3.662.109.375; 5 1 = 1.220.703.125 b; ( 3 ) Assim, 5 1 = 513 1 = 13 = 14.
EXEMPLO 9
E 9 A
A PG, Progresso Geomtrica, outra importante sequncia que permite reconhecer dentre os termos interessantes propriedades;
E 9 B
E 9 C
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 14
SOMA DE UMA PA FINITA
Numa sala de aula do ano 1787 o professor pede aos alunos que faam a soma dos 100 primeiros nmeros inteiros positivos.
Em poucos minutos o jovem Karl Friedrich Gauss, ento com 10 anos, apresenta o resultado: 5050.
Intrigado, o professor questiona como Gauss encontrou o resultado. Gauss explica:
( 1 ) Somando os extremos da sequncia { 1, 2, 3, . . . ., 98, 99, 100 } encontramos
sempre o mesmo valor, o nmero 101;
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + . . . + 98 + 99 + 100 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 50 + 51 = 101 ( 2 ) 101 dividido por 2 d o termo mdio da sequncia, o valor 50,5;
( 3 ) A sequencia tem 100 termos;
( 4 ) Assim, concluiu, 100 vezes o termo mdio d a soma 5050 = 50,5 x 100;
Mais detalhadamente, o raciocnio geral o seguinte:
( 5 ) Seja a PA finita { 1, 2, 3, . . . , 2, 1, }
( 2 ) Como = + ( ) = +
2 = 1 + , 3 = 1 + 2, . . . ,
2 = 1 + ( 2 1 ) = 1 + 2 = 2
1 = 1 + ( 1 1 ) = 1 + =
( 3 ) Seja a soma dos primeiros termos da PA:
= 1 + 2 + 3 + . . . + 2 + 1 + ou,
= 1 + 1 + + 1 + 2 . . . + 2 + +
( 4 ) Formamos a soma da esquerda para a a direita e da direita para a esquerda:
{ = 1 + + 1 + 2 . . . + 2 + + = + 2 . . . + 1 + 2 + 1 + + 1
( 5 ) Assim, + = ( 1 + ) + ( 1 + ) + ( 1 + ) + . . . + ( 1 + )
( 7 ) Temos parcelas ( 1 + )
( 8 ) Portanto, 2 = (1 + )
( 9 ) = ( + )
, representa a soma dos n termos de uma PA finita.
3
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 15
SOMA DE UMA PA
Soma dos primeiros Nmeros Inteiros e Positivos
( 1 ) Seja { } = { 1, 2, 3, 4, . . . , n }; ( 2 ) Temos 1 = 1, r = 1, = e S = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n;
( 3 ) Ento S = ( + )
=
( + )
ou S =
( + )
.
Soma dos Primeiros Nmeros Inteiros e Positivos Pares
( 1 ) Seja { } = { 2, 4, 6, . . . , 2n }; ( 2 ) Temos 1 = 2, r = 2, = 2n e S = 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n;
( 3 ) S = n ( 1 + )
2 =
n ( 2 + 2 )
2 S =
2 ( + 1 )
2 S = ( + 1 ).
Soma dos Primeiros Nmeros Inteiros e Positivos Impares
( 1 ) Seja { } = { 1, 3, 5, . . . , 2 1 }; ( 2 ) Temos 1 = 1, r = 2, = 2n 1 e S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 2n 1;
( 3 ) S = n ( 1 + )
2 =
n ( 1 + 2 1 )
2 S = .
Soma dos Mltiplos de 9 entre 100 e 3000
( 1 ) Como o 1 e o ltimo mltiplo de 9 entre 100 e 3000 so, respectivamente, 108 e
2997, temos uma PA tal que 1 = 108, = 2997e r = 9;
( 2 ) = 1 + ( 1 ) 2997 = 108 + ( 1 ). 9 = 322 mltiplos; ( 3 ) A soma dos mltiplos de 9 entre 100 e 3000 :
S = 108 + 117 + 126 + . . . + 2997
( 4 ) S = n ( 1 + )
2 =
322 ( 108 + 2997 )
2 S = 499.905
Soma dos Nmeros Inteiros de 100 at 3000
( 1 ) Temos a PA { 100, 101, 102, . . . , 3000 } tal que 1 = 100, = 3000 e r = 1;
( 2 ) = 1 + ( 1 ) 3000 = 100 + ( 1 ). 1 = 2901;
( 3 ) A soma S = 100 + 101 + . . . + 3000 = 2901 ( 100 + 3000 )
2 S = 4.496.550.
EXEMPLO 10
E 10 A
= ( + )
E 10 B
E 10 C
E 10 D
E 10 E
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 16
SOMA DE UMA PG FINITA
O relato abaixo d uma ideia do significado de uma Progresso Geomtrica e baseado na Lenda de Sessa, sobre a histria do Jogo de Xadrez, do livro Os Nmeros - Histria de uma grande inveno do matemtico Georges Ifrah. No sculo VI o rei hindu Iadava, Senhor da Provncia de Taligana, entrou em profunda depresso pela morte de seu filho nico em batalha. As preces e splicas dos brmanes no conseguiam aplacar a tristeza e angustia do rei.
At que um dia o brmane Lahur Sessa procurou o rei e lhe mostrou um jogo que poderia lhe acalmar o espirito. O jogo, um tabuleiro com 64 quadrados pretos e brancos e peas brancas e pretas que representavam a infantaria, a cavalaria, carros de combate, o vizir, a rainha e o rei. Depois das explicaes o rei perguntou por que a rainha era a pea mais forte do jogo. Sessa explicou que a rainha representa o patriotismo do povo, que a maior fora do reino.
O rei aprendeu as regras, estudou planos de defesa e ataque e de algum modo foi aceitando a fatalidade que pode resultar em paz e liberdade para o povo. Diz a lenda o rei quis recompensar Sessa, deixando que ele escolhesse o que quisesse. Sessa pediu para pensar e aps um dia solicitou a quantidade de gros de trigo correspondentes as 64 casas do seu jogo assim dispostos: 1 gro na 1 casa, 2 na 2, 4 na a 3 casa, 8 na 4 casa, 16 na 5, 32 na 6, e assim em diante.
O rei achou o pedido fcil e ordenou que fosse atendido at o final do dia. Mas a noite chegou e os matemticos do rei no conseguiam determinar as quantidades.
O rei ordenou que o problema estivesse resolvido at o amanhecer. E ao amanhecer o rei ia dispensar seus calculadores, pois o problema no
estava resolvido, quando um dos conselheiros interviu dizendo que os matemticos do norte haviam desenvolvido tcnicas que reduziam para horas o trabalho de dias.
Um dos matemticos do norte apresentou ao rei o resultado do pedido de Sessa: para juntar a quantidade pedida era necessrio semear 73 vezes seguidas sobre uma rea equivalente a toda superfcie da Terra.
E, para armazenar tal volume, 12 bilhes e 3 milhes de metros cbicos, seria preciso construir um celeiro de 5 metros de largura, 10 de comprimento e 300 milhes de quilmetros de profundidade.
Ou seja, uma altura 2 vezes a distncia da terra ao sol.
Isto porque, a quantidade de gro na casa 64 igual a 263 dando um total de gros de N = 1 + 2 + 2 + 2 + 24 + . . . + 263.
Portanto, disse o matemtico, acrescentando 1 grau ao total temos N + 1 = 2 +
2 + 2 + 2 + 24 + . . . + 263 = 2 ( 1 + 1 + 2 + 2 + 23 + . . . + 262 ) = 2 ( 2 + 2 + 2 + 23 + . . . + 262 ) = 2. 2 ( 1 + 1 + 2 + 2 + 23 + . . . + 261 ) = 2. 2 ( 2 + 2 + 2 + 23 + . . . + 261 ) = 2. 2. 2 ( 1 + 1 + 2 + 2 + 23 + . . . + 260 ) = . . . = 2 ( 2 + 2 + 2 + 23 + . . . + 260 ) = . . . = 263. 2 = 264. Assim N = 264 1 = 18.446.744.073.709.551.615 gros.
O rei, impressionado com a sutileza do pedido e os clculos desenvolvidos, temendo no cumprir sua palavra, perguntou como fazer para saldar tal dvida.
A resposta foi propor ao brmane contar pessoalmente gro por gro toda a quantidade solicitada. Mesmo que ele trabalhasse dia e noite sem descanso a razo de 1 gro por segundo, ele s recolheria em torno de 20 m em 10 anos.
Mas Sessa declarou que abria mo do pedido e pediu ao rei para meditar sobre a aparncia enganadora dos nmeros e a falsa modstia dos ambiciosos.
4
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 17
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA
Seja = + + + + . . . + a soma dos n termos da
PG finita { } = { , , , , . . . , }
( 1 ) Se = 1, = + + + + . . . + = ( 2 ) Se 1, temos = + + + + . . . + = + +
+ + . . . + + ( 3 ) Ento =
( ) =
( 4 ) = ( )
SOMA DOS 64 TERMOS DA PG { 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . , }
( 1 ) Temos: a = 1, r = 2 e n = 64
( 2 ) = ( )
=
1 ( 1 264 )
1 2 =
1 264
1
( 3 ) = [1 (210. 210. 210. 210. 210. 210. 24 ) ] = 210. 210. 210. 210. 210. 210. 24 1 = 1024. 1024. 1024. 1024. 1024. 1024. 16 1 =
= ( 1.073.741.824 ) ( 1.073.741.824) .16 = 18.446.744.073.709.551.616 1
( 4 ) = 18.446.744.073.709.551.615.
Determine 3 nmeros , e em PA com soma 6 tais que, adicionando a cada um deles, respectivamente os nmeros 3, 6 e 9, eles formam PG.
( 1 ) A sequncia { , , } forma uma PA tal que + + = 6 + = 6
( 2 ) Devemos ter = 2 = +
( 3 ) De ( 1 ) e ( 2 ) segue-se 2 = 6 3 = 6 = 2 { , , } = { , 2, };
( 4 ) Agora, somando a cada termo da sequncia { , 2, } respectivamente os
nmeros 3, 6 e 9, temos uma sequncia { + 3, 2 + 6, + 9 } = { + 3, 8, + 9 };
( 6 ) Como { + 3, 8, + 9 } deve formar uma PG, devemos ter 8
+ 3 =
+ 9
8 ( + 3 ) ( + 9 ) = 64 4 + 9 + 12 3 + 27 = 64
10 + 25 = 0 = 5; ( 7 ) Como a + c = 2b 5 + c = 4 c = 1;
( 8 ) Os nmeros so , { , , } = , { 5, 2, 1 }.
PRODUTO DOS TERMOS DE UMA PG FINITA .
( 1 ) Na PG { , , , , . . . , 1 } seja P o produto dos seus termos; ( 2 ) P = . . . . . . . . 1 = . 1 + 2 + 3 + . . .+
( 3 ) Como 1 + 2 + 3 + . . . + = ( + 1 )
2, ento P = ( + 1 ) 2
.
E 11 C
EXEMPLO 11
E 11 A
E 11 B
E 11 D
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 18
LIMITE DE UMA SEQUNCIA
O quadro abaixo mostra alguns valores da sequncia = :
n 1 2 3 4 . . . 10 1000 10000 100000000000
1 1,43 1,67 1,81 . . . 2,7139 2,4962 2,499962 2,499999999996
Enquanto n cada vez maior, ou n tende ao infinito, simbolicamente n ,
os valores de aproximam-se cada vez mais do valor L = 5 2 , que se caracteriza como um valor limite.
E mais ainda.
A diferena entre o valor limite L = 2,5 e o termo geral de tal que
L = 2,5 = ,
cada vez menor e mais prximo de 0 quando n : L 0 , quando n suficientemente grande.
Indicamos este comportamento escrevendo = 2,5.
A notao = L diz que os termos de { } aproximam-se do nmero real L quando n torna-se grande.
Mais precisamente:
DEF 2: A sequncia { } tem limite L se podemos tornar os termos fn cada
vez mais prximos de L para n suficientemente grande. Escrevemos
= L e dizemos que
a sequncia { } converge ou convergente para L R.
DEF 3: A sequncia { } tem limite L = se para cada 0 < < 1
dado existe um inteiro positivo 0 tal que < sempre que > 0 .
Ou seja, " 0 < < 1, $ 0 / < sempre que > 0.
5
DEF 3:
Se no existe , = + ou = , a
sequncia { } denominada divergente, diverge ou no tem limite.
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 19
MOSTRE QUE = = 5
2;
( 1 ) Devemos mostrar que, DMQ, dado 0 < < 1 , existe um ndice 0 tal que
< sempre que > 0;
( 2 ) Ou seja, DMQ dado 0 < < 1, existe 0 tal que |
5
2 | < sempre
que > 0;
( 3 ) Agora, | 5
2 | < |
5
2 + 3
5
2 | < | 10 5 ( 2 + 3 )
2 + 3 | <
|10 10 15
2 ( 2 + 3 )| < | 15
4 + 6| <
15
4 + 6< 4 + 6 > 15 >
15 6
4
( 3 ) Como > 0 e > 15 6
4 , podemos tomar 0 =
15 6
4 ou 0 igual ao inteiro
mais prximo de 15 6
4 ;
( 5 ) Assim, dado 0 < < 1, mostramos que existe um ndice 0 que satisfaz a
definio de limite de uma sequencia tal que = 5
2;
( 6 ) Como | 5
2 | < sempre que > 0, temos <
5
2 <
5
2 < <
5
2 + ;
( 7 ) O que quer dizer que dado > 0, existe um nmero inteiro 0 = 15 6
4 tal que,
para todo inteiro positivo > 0, todos os termos da sequencia { } esto
contidos na faixa 5
2 < <
5
2 + , chamada Regio de Convergncia;
( 8 ) A tabela abaixo ilustra o que ocorre para alguns dados valores de :
0 = 15 6
4
5
2 < <
5
2 +
Leitura
0,1 36 2,4 < < 2,6 Existem 36 termos fora da regio de
convergncia
0,01 373 2,49 < < 2,51 Existem 373 termos fora da regio de
convergncia
0,001 3748 2,499 < < 2,501 Existem 3.748 termos fora da regio de
convergncia
0,000001 3.749.998 2,499999 < < 2,500001 Existem 3.749.998 termos fora da
regio de convergncia
( 9 ) Por exemplo, se = 0,1 existem 36 termos fora da regio da convergncia.
Observe:
( 37 ) = 2,402; ( 2000 ) = 2,498126405; ( 1.000.000.000 ) = 2,499999996.
EXEMPLO 12
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 20
PROPOSIES FUNDAMENTAIS I
UMA SEQUNCIA { } NO CONVERGE PARA DOIS
LIMITES DIFERENTES.
( 1 ) Numa sequncia convergente, para n suficientemente grande, dois termos
consecutivos e + 1 devem estar suficientemente prximos;
( 2 ) Ou seja, a distncia entre os termos e + 1 deve ser cada vez menor;
( 3 ) O que a proposio afirma que o termo da sequncia { } no pode estar prximo de dois nmeros diferentes 1 e 2 para n suficientemente grande;
( 4 ) Para mostrar essa impossibilidade, suponha 1 = e 2 = , com 1
2, para concluir que 1 s pode ser igual a 2;
( 5 ) Por hiptese, dado 0 < < 1 devemos encontrar um ndice 0 tal que:
1 < 2 sempre que > 0 e 2 < 2 sempre que > 0; ( 6 ) Assim, 1 2 = 1 + 2 = ( 1 ) + ( 2) ;
( 7 ) Ocorre que, dados e reais, sempre verdade que + + ;
( 8 ) Portanto ( 1 ) + ( 2) 1 + 2 < 2 + 2 = ;
( 9 ) Decorre que 1 2 < ;
( 10 ) Logo 1 2 deve ser igual a zero e assim 1 = 2.
( 11 ) Se o no nico, ele dito no existir e sequncia { } divergente.
SE { }, { } E { } SO SEQUNCIAS TAIS QUE
e = = L, ENTO = L.
( 1 ) Dado 0 < < 1, $ 0 tal que < e < com > 0;
( 2 ) Como , ento L L L;
( 3 ) Agora, < < < e < < < ;
( 4 ) Da L L L L < e = L.
SEJA { } TAL QUE = 0. ENTO = 0.
( 1 ) Por hiptese, { | | } e { | | } convergem para zero;
( 2 ) Mas, para todo nmero real , | | | |;
( 3 ) Ento | | | |;
( 4 ) Pela Proposio 2, = 0.
Por exemplo, seja = ( 1 ) + 1
1
. Ento | = | ( 1 )
+ 1 1
| =
| ( 1 ) + 1 1
| =
1
= 0. Portanto, ( 1 ) + 1
1
= 0.
PROPOSIO 1
6
PROPOSIO 2
PROPOSIO 3
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 21
Seja = . Ento = = +
( 1 ) Os termos da sequncia = so { 1, 4, 9, 16, . . . , n, . . . };
( 2 ) Enquanto o ndice n aumenta, os termos de = crescem ilimitadamente;
( 3 ) Ou seja, para todo M > 0, existe um ndice 0 tal que > 0 > M;
( 4 ) Portanto, = + ;
( 5 ) Por exemplo, seja M = 172.815. Ento n > M n > 172.815 n > 172. 815
ou n < 172. 815. Como n , ento n > 415,71
( 6 ) Assim, se 0 = 416, ento para > 0 seja = 417 e ( 417 ) = 173.889; ( 7 ) Portanto, = > 172.815 sempre que n > 416.
Seja = () + = { 1, 1, 1, 1, . . . }
( 1 ) Os termos da sequncia oscilam entre 1 e 1;
( 2 ) A distncia entre dois termos e + sempre igual a 2 e portanto jamais
ser suficientemente pequena;
( 3 ) Raciocinando por absurdo, suponha = () + com limite L;
( 4 ) Ento, dado 0 < < 1, digamos = 1 2 , deve existir um ndice 0 tal que
| () + | < 1 2 sempre que > 0;
( 4 )|() + | < 0,5 0,5 < () + < 0,5 {0,5 < 1 < 0,5, 0,5 < 1 < 0,5,
= {1,5 < < 1,5, 0,5 < < 1,5,
= {0,5 < < 1,5, 1,5 < < 0,5,
( 5 ) L ( 0,5; 1,5 ) ou L ( 1,5; 0,5 )
( 6 ) L no nico: observe que () + = 1 e ()
+ = 1;
( 8 ) Portanto, para todo n , () + no definido ou, no existe.
Seja =
, real.
SE < 1, = {
} CONVERGE PARA ZERO.
( 1 ) De fato. Devemos mostrar que
dado 0 < < 1, $ 0 tal que < sempre que > 0;
( 2 ) < < <
( 3 ) Ento < < ;
( 4 ) Agora, se < 1, ento < 1;
( 5 ) Portanto < > ( 6 ) Como > 0 e > , podemos tomar 0 = .
SE > 1, = { } DIVERGE.
EXEMPLO 13
EXEMPLO 14
EXEMPLO 15
E 15 A
E 15 B
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 22
PROPRIEDADES OPERACIONAIS DOS LIMITES I
A definio de limite de uma sequencia convergente { } diz que a partir de certo ndice 0 todos os termos de ndice > 0 esto em uma faixa, denominada Regio de Convergncia, determinada pelas retas y = L e y = L + :
L + L +
L L
L L
+
A definio esclarece o que devemos entender por de limite de uma sequncia. Entretanto, para calcular o valor limite de uma sequncia, devemos utilizar as
propriedades dos limites das funes reais de uma varivel real , pois elas se estendem s sequncias reais. o que garante o teorema:
Daqui em diante, Considere = , pois n .
Por exemplo, se x e f( x ) = 5
2 + 3 , ento, o
5
2 + 3 pode ser calculado
dividindo o numerador e o denominador pela maior potncia de :
( 1 ) lim 5 + 9
2 + 17 =
5
2 + 3
= 5
2
+
3
= 5
2 + 3
;
( 2 ) Assim, 5
2 + 3
= lim 5
2 + 3
=
lim5
lim2 +lim 3
;
( 2 ) Como lim 1
= 0, ento lim
3
= 3 lim
1
= 0;
( 3 ) Assim, lim 5
2 + 3 =
5
2 + 0 =
5
2.
( 4 ) Assim, se f( n ) = 5
2 + 3 , para n , ento
5
2 + 3 =
5
2.
7
Se ( ) = ( ) = , =
PROPOSIO 4
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 23
PROPRIEDADES OPERACIONAIS DOS LIMITES
Considere { } e { } sequencias convergentes de limite L e M, respectivamente. Ento, considerando = , pois n
, e k real:
L 1 ) = L 2 ) =
L 3 ) ( + ) = + L 4 ) ( . ) = .
L 5 )
=
= {
, 0 , 0 = 0
= 0 = 0.
L 6 ) =
L 7 ) ( ) = ( )
=
L 8 ) ( ) = ( ) = , se definido;
L 9 ) Se : [ a, ) , ento
= + e (1 )
= 0
Sejam ( ) = 0 + 1 + 2 + . . . + e
( ) = 0 + 1 + . . . +
. Ento,
L 10 ) ( )
=
L 11 ) [ ( ) ( )]
= ( )
Por exemplo,
( 1 ) 5
2 + 3 =
5
2 =
5
2 =
5
2;
( 2 ) 27 +73+5
936+12 = lim
27 +73+5
336+12 = lim
27
3 = lim
27
3 =
27
9 = 3.
8
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 24
PROPRIEDADES OPERACIONAIS DOS LIMITES III
O quadro abaixo resume as principais propriedades operacionais do limite das funes reais de varivel real quando :
Hipteses Concluso
1 ( ) = + e ( ) = +
[( + )( )] = +
2 ( ) = e ( ) =
[( + )( )] =
3 ( ) = + e ( ) = M 0
()( ) = {+, > 0, < 0
4 ( ) = e ( ) = M 0 ()( ) = {, > 0+, < 0
5 ( ) = + e ( ) = +
()( ) = +
6 ( ) = + e ( ) =
()( ) =
7 ( ) = e ( ) =
()( ) = +
8 ( ) = +
1 ( ) = 0
9 ( ) =
1 ( ) = 0
10 ( ) = 0
1 ( ) = +
No possvel estabelecer uma regra para os seguintes casos:
Hipteses No h Concluso
1 ( ) = + e ( ) = +
[( )( )]
2 ( ) = e ( ) =
[( )( )]
3 ( ) = + e ( ) =
[( + )( )]
4 ( ) ={
+
e ( ) = 0
()( )
5 ( ) ={
+
e ( ) = {+
(/)( )
9
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 25
CLCULO DO LIMITE DE UMA SEQUENCIA
( 8 5 + 7 ) = (8 ) = 8 lim = + ;
(3 + 62 3 + 2 ) = ( 5 ) = ( ) = ;
( 9 5 ) ( 2 + 12 ) = ( 9 ) ( 2 ) = ( 9 ) ( 2 ) = 9/2;
.
( 32 5 + 3 ) ( 5 + 4 ) = 3 5 = 3/5 = + .
CLCULO DO LIMITE DE UMA SEQUENCIA
10 17
2 + 32 +
+ 1 =
10
2 +
= 5 + 1 = 6
( 7 5 ) ( 8 + 3 ) = ( 5 ) ( 8 ) = (5 8 ) = 5 8 .
( 102 + 8 ) ( 53 + 2 7 ) = 102 53 = 2 1 = 0
( 2 5 )3( 3 7 )2 5 = (2)3(3 )2 5 = 72lim 5 5 = 72
( 4 + 5 3 + 4 ) = .
( 1 ) Multiplicando = 4 + 5 3 + 4 pelo seu conjugado temos
= 4 + 5 3 + 4 . 4 + 5 + 3 + 4
4 + 5 + 3 + 4 ;
( 2 ) Lembramos: o conjugado de + ;
( 3 ) Assim =( 2 4 + 5 )
2 ( 2 3 + 4 )
4 + 5 + 3 + 4 =
4 + 5 2 + 3 4
4 + 5 + 3 + 4
( 4 ) Observe que o numerador tem a forma ( ) ( + ) = ;
( 5 ) Portanto, = 1
4 + 5 + 3 + 4 =
( 1
1 )
( 2
2
4
2 +
5
2 ) + (
2
2
3
2 +
4
2 )
= (
1
1 )
1 4
+
5
2 + 1
3
+
4
2 =
1
1
1 4
+
5
2 + 1
3
+
4
2 =
0 1
1 0 + 0 + 1 0 + 0 = 1
EXEMPLO 16
E 16 A
E 16 B
E 16 C
E 16 D
EXEMPLO 17
E 17 B
E 17 C
E 17 D
E 17 A
EXEMPLO 18
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 26
CLCULO DE LIMITES
3 + 5 ( + 1 )
( 1 ) Observe que 3 + 5 = + e ( + 1 ) = + ;
( 2 ) 3 + 5 ( + 1 ) = + / + e / um smbolo de indeterminao;
( 3 ) Mas, 3 +5
+1 =
( 1 3
2 +
5
2 )
( 1 + 1
)
= 1
3
2 +
5
2
( 1 + 1
)
= 1
3
2 +
5
2
( 1 + 1
)
( 4 ) Como + , ento = e 3 +5
+1=
1 3
2 +
5
2
( 1 + 1
)
=
1
3
2 +
5
2
( 1 + 1
)
= lim 1
3
2 +
5
2
1 + 1
= lim 1
1 = 1;
( 5 ) Logo, 3 + 5 ( + 1 ) = 1.
[ + 5 + 3 ]
( 1 ) Observe que lim [ + 5 + 3 ] = e o smbolo no tem significado;
( 2 ) Mas, [ + 5 + 3 ] = [ + 5 + 3 ]. [ 2+ 5 +3 + ]
[ 2+ 5 +3 + ] =
( 2+ 5 +3 )2
[ 2+ 5 +3 + ] =
5 + 3
[ 2+ 5 +3 + ];
( 3 ) lim [ + 5 + 3 ] = 5 + 3
[ 2+ 5 +3 + ] =
;
( 4 ) 5 + 3
[ 2+ 5 +3 + ] =
( 5 + 3
)
[ 2( 1 + 5
2 +
3
2 ) + ]
= ( 5 +
3
)
1 + 5
+
3
2 ) +
=
( 5 + 3
)
1 + 5
+
3
2 ) +
= ( 5 +
3
)
[ 1 + 5
+
3
2 ) +
]
= 5 +
3
1 + 5
+
3
2 ) + 1
( 5 ) lim [ + 5 + 3 ] = 5 +
3
1 + 5
+
3
2 ) + 1
= 5 / 2.
EXEMPLO 19
E 19 A
E 19 B
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 27
SEQUNCIAS LIMITADAS
E mais ainda.
O nmero tal que chamado um Limitante Inferior ou Cota Inferior da sequncia { } e { } diz-se Limitada Inferiormente.
O nmero b tal que chamado um Limitante Superior ou Cota Superior da sequncia { } e { } diz-se Limitada Superiormente.
Se { } limitada superiormente e inferiormente, { } dita Limitada.
Se { } no for limitada, { } dita Ilimitada. Toda sequncia limitada Inferiormente tem infinitas cotas inferiores. A maior
das cotas inferiores denominada INFIMO de { } e denotada { }. Toda sequncia limitada Superiormente tem infinitas cotas superiores. A menor
das cotas inferiores denominada SUPREMO de { } e denotada { }.
{ } LIMITADA SE, E S SE, { } LIMITADA.
( 1 ) Se { } limitada, ento . ( 2 ) Como todo intervalo [ , ] est contido num intervalo ( , ), com > 0, ento ou . Portanto { } limitada. ( 3 ) Reciprocamente, se existe c > 0 tal que , ento { } limitada.
SEQUNCIAS LIMITADAS
A Sequncia Oscilante = {0,
1, divergente.
( 1 ) Os termos de { } oscilam infinitamente entre 0 e 1;
( 2 ) Como = 0 = 1, no existe o .
( 3 ) Entretanto, { } Limitada, pois o conjunto dos seus termos limitado: a( ) = { 0, 1 };
( 4 ) Observe que { } = 0 e { } = 1.
A Sequncia Oscilante bn = sen divergente, pois:
( 1 ) Seus ternos oscilam infinitamente entre 1, 0, 1 e no existe o ;
( 2 ) { } Limitada, pois o conjunto dos seus termos limitado: ( ) = { 0, 1 };
10
Uma sequncia { } LIMITADA se: ( 1 ) O conjunto dos seus termos limitado ou,
( 2 ) Se existem nmeros reais e tais que .
EXEMPLO 20
E 20 A
E 20 B
PROPOSIO 5
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 28
SEQUNCIAS LIMITADAS
A Sequncia Oscilante cn = limitada, pois ( ) = { 1, 1}.
= ou { } = { , , , . . . , , . . . } limitada, pois ( ) = { };
A Sequncia = 1
limitada, pois [ 0, 1 ]:
( 1 ) Um limitante 1 = 1, obtido fazendo = 1;
( 2 ) O outro limitante obtido fazendo : 1
= 0;
( 3 ) Assim, 0 o limitante inferior e 1 o limitante superior de = 1
;
( 4 ) { 1 } = 0, pois 0 a maior das cotas inferiores;
( 5 ) { 1 } = 1, pois 1 a menor das cotas inferiores;
A Sequncia = 2n 1 limitada Inferiormente: [ 1, + )
( 1 ) Um limitante 1 = 1, obtido fazendo = 1;
( 2 ) No existe outro limitante, pois ( 2 1 ) = + ;
( 3 ) Assim, 1 o limitante inferior e a sequncia ilimitada superiormente;
( 4 ) { 2 1} = 1, pois 1 a maior das cotas inferiores; SEQUNCIAS LIMITADAS
A Sequncia = 1 limitada Superiormente, pois ( , 0 ]
( 1 ) Um limitante 1 = 0, obtido fazendo = 1;
( 2 ) No existe outro limitante, pois ( 1 ) = ;
( 3 ) Assim, 1 o limitante Superior e a sequncia ilimitada Inferiormente;
( 4 ) { 1 2} = 0, pois 0 a menor das cotas superiores;
A Sequncia = 3 ( + 2 ) limitada, pois [ 1, 3 ]
( 1 ) Um limitante 1 = 1, obtido fazendo = 1, e o outro 3
+ 2 = 3;
( 2 ) Assim, 1 o limitante inferior e 3 o limitante superior;
( 3 ) { 3 ( + 2 ) } = 1 e { 3 ( + 2 ) } = 3.
= 1
limitada, pois { | 1
| } = {
1 } limitada.
EXEMPLO 21
E 21 C
E 21 D
E 22 A
E 21 B
EXEMPLO 22
E 22 C
E 22 B
E 21 A
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 29
SEQUNCIAS MONTONAS
E mais ainda. Uma consequncia da ideia de monotonicidade que o 1 termo um limitante
inferior se { } crescente ou, um limitante superior se { } decrescente. Na determinao da monotonicidade pode-se recorrer a um dos argumentos:
ARGUMENTO 1: CRITRIO DA COMPARAO POR DIFERENA
( 1 ) Faa a diferena + 1
( 2 ) Se + 1 0, ento {} crescente, {} ,
( 3 ) Se + 1 0, ento {} decrescente, {} ,
ARGUMENTO 2: 1 CRITRIO DARAZO
( 1 ) Faa o quociente 1 = + 1
( 2 ) Se 1 > 1, ou 1 1 > 0, {} crescente, {} ,
( 3 ) Se 1 < 1, ou 1 1 < 0, {} decrescente, {} ,
ARGUMENTO 3: 2 CRITRIO DARAZO
( 1 ) Faa o quociente 2 = + 1
( 2 ) Se 1 < 1, ou 1 1 < 0, {} crescente, {} ,
( 3 ) Se 1 > 1, ou 1 1 > 0, {} decrescente, {} ,
ARGUMENTO 4: TESTE DA DERIVADA
( 1 ) Seja F : uma funo real de varivel real positiva denominada
Funo Associada Sequncia = ( ); ( 2 ) Se ( ) 0, Crescente em [ 1, ) e da ( ) ( + 1 ) ou { }
crescente;
( 3 ) Se ( ) 0, Decrescente em [ 1, ) e da ( ) ( + 1 ) ou { } decrescente.
11
Uma sequncia { } MONTONA ( 1 ) CRESCENTE, {} , se 1 2 3 . . . . . . ou ;
( 2 ) DECRESCENTE, {} , se 1 2 3 . . . . . . ou ;
( 3 ) ESTRITAMENTE CRESCENTE, se < ;
( 4 ) ESTRITAMENTE DECRESCENTE, se > .
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 30
SEQUNCIAS MONTONAS
= ou { } = { , , , . . . , , . . . }
( 1 ) simultaneamente montona crescente e montona decrescente; ( 2 ) uma sequncia Montona Constante;
( 3 ) Verificando pelo Critrio da Comparao, + 1= = 0 = + 1 ;
A Sequncia cn = ou { } = { 1, 1, 1, 1, . . . }
( 1 ) No crescente e nem decrescente;
( 2 ) Ela Oscilante: os seus termos oscilam infinitamente repetindo o ciclo 1 e 1;
A Sequncia Oscilante =
( 1 ) No crescente e nem decrescente;
( 2 ) Seus ternos oscilam infinitamente repetindo o ciclo entre 1, 0, 1;
A Sequncia = 1
ou { } = { 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . . , 1 ,. . . }
( I ) Pelo CRITRIO DA COMPARAO,
( 1 ) + 1= 1
1
+1 =
+ 1
( + 1 ) =
1
( + 1 )
( 2 ) + 1 0, pois o numerador e o denominador so positivos;
( 3 ) Logo + 1 ou { 1 } decrescente;
( II ) Pelo CRITRIO DA DERIVADA,
( 1 ) Para todo x 1, seja ( ) = 1 = 1;
( 2 ) Ento f( x ) = 2 = 1 < 0;
( 3 ) Logo { 1 } decrescente.
( III ) Pelo 1 CRITRIO DA RAZO,
( 1 ) Seja 1 = + 1 / ;
( 2 ) Ento 1 = ( 1 + 1 ) ( 1 ) 1 = + 1
( 2 ) Agora 1 1 =
+ 1 1 =
1
( + 1 ) =
1
( + 1 ) < 0 1 1 < 0 1 < 0
( 3 ) Como 1 < 0 ou + 1 / < 1, { 1 } decrescente;
EXEMPLO 23
E 24 D
E 23 A
E 24 B
E 24 C
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UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 31
ATIVIDADE DE ESTUDOS 1 ) DESCREVA ATRAVS DE UMA DAS NOTAES DE SEQUNCIAS: A) A sequncia dos nmeros inteiros e positivos; B) A sequncia dos nmeros pares positivos; C) A sequncia dos nmeros impares positivos; D) A sequncia da raiz quadrada dos nmeros inteiros e positivos; E) A sequncia do inverso dos nmeros inteiros e positivos; 2 ) DESCREVA ATRAVS DE UMA DAS NOTAES DAS SEQUNCIAS:
A) A sequncia cujo termo geral = ; B) A sequncia cujo termo geral bn = ; C) A sequncia cujo termo geral = ;
D) A sequncia cujo termo geral dn = . ; 3 ) DESCREVA ATRAVS DE UMA DAS NOTAES DAS SEQUNCIAS:
A) , n { 4, 8, 14, 22, 32, . . . }
B) , n { -3, -2, 0, 4, 12, . . . }
C) , n { 2, 3, 12, 33, 102, . . . }
4 ) SEJA = 3n 4. DETERMINE , , 26, 3k 1, 9k 7 5 ) D O TERMO GERAL DA SEQUNCIA:
A) { , , , , , . . . }; B) { , , , , , . . . };
C) { 4, 6, 8, 10, . . . } 2n + 2 D) { 2, 4, 8, 16, 32, . . . };
E) { , , , , , . . . }; F) { 1, ; ; ; ; . . . };
6 ) D O TERMO GERAL DA SEQUNCIA:
A ) { 10, 8, 6, 4, . . . } 2n 12 B ) { 12, 7, 2, 3, . . . } 17 5 n
C ) { 5, 7/ 2, 2, 1/ 2, 1, . . . } 3n/ 2 + 13/ 2 D ) { 1 /6, 1 /3, 1 /2, . . . } n/ 6
7 ) Se = , determine as constantes A e B tais que = + . 1 e 1
8 ) Seja = .
Determine as constantes A e B tais que = + . e
12
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 32
9 ) Faa o grfico da sequncia = n 2 cujo domnio D = { 1, 2, 3, 4, 5 }
10 ) Se = 2n + 3 e = 5 + 3 , descreva em termos de n.
11 ) Determine a soma dos mltiplos de 9 entre 100 e 2500 266 mltiplos e S = 345.933
12 ) Determine a soma dos nmeros inteiros e positivos de 100 a 2000 1.996.050
13 ) Determine a soma dos inteiros positivos de 1 at n S = n (n + 1 ) / 2
14 ) Determine a soma dos mltiplos positivos de 4 formados por 3 algarismos 123.300
15 ) Quais so os 3 primeiros termos de uma PA de razo 7 tal que o termo de ordem 321 igual a 7635 ? 5395, 5402, 5409
16 ) Quantos mltiplos de 7 existem entre 52 e 2339 ? 327
17 ) Determine o 1 termo de uma PA em que a soma do 15 termo com o 24 termo
igual a 300 e a soma do 6 termo com o 13 termo igual 200. 115 /2
18 ) Determine o nmero que deve ser adicionado aos nmeros 4, 5 e 8 para obter, nesta ordem, uma PG. 7/ 2
19 ) Determine os nmeros , e que formam uma PA de soma 6 e so tais que somando a cada um deles, respectivamente, 3, 6 e 9, eles formam uma PG. 5, 2, 1
20 ) Quantos termos tem a PG { 3, 18, . . . , 181.398.528 } ? 11
21 ) Determine os nmeros e tais que 2, a e b, nesta ordem. formam uma PA e , e 12, nesta ordem, formam uma PA. a = 4 e b = 8 ou a = 3 e b = 9/ 2.
22 ) D a soma dos 10 primeiros termos de { 1, 3, 9, . . . }
23 ) Determine a razo de uma PG de 3 termos de soma 19/ 9 e produto 8/ 27. 9 ou 4
VERIFIQUE SE A SEQUNCIA DADA ABAIXO CONVERGE:
24 ) = n (n 2) D 25 ) = L = 1/5
26 ) = L = 5/8 27 ) = D
28 ) = L = 5 29 ) = L = 1
30 ) = sen D 31 ) = ( ) + D
32 ) = ( ) + D 33 ) =
L = 0
34 ) = ( 2 1 ) / ( + 1) L = 4 35 ) = 16 9 / ( n + 3 ) L = 4
-
CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 33
VERIFIQUE SE A SEQUNCIA ABAIXO MONTONA:
36 ) = Decrescente 37 ) bn = cos No-montona
38 ) = Decrescente 39 ) dn = Crescente
40 ) = (1)+1
1
,
( 1 ) Os termos de so { 1, 1
2 ,
1
3,
1
4, 1
5,
1
6, . . . };
( 2 ) Sequncias cujos termos mudam alternadamente de sinal so chamadas Sequncias Alternadas; ( 3 ) Sequncias Alternadas no so Montonas, pois no crescentes e nem decrescentes; ( 4 ) A sequncia dada ALTERNADA;
( 5 ) Observe que 1> 2, 2< 3, 3> 4, 4< 5, . . . de modo que - se n impar, > + 1 e + 1< + 2, - se n par, < + 1 e + 1 > + 2; ( 6 ) Os termos de oscilam em torno de 0, aproximando cada vez de 0;
41 ) = (1)+1 , Sequncia Alternada; Se n impar, + e se par,
VERIFIQUE SE A SE QUNCIA MONTONA PELO CRITRIO INDICADO:
42 ) = 9
2 + 5: 1 Critrio da Razo, da Comparao e Critrio da Derivada
43 ) = + 1
+ 5 + 4: Critrio da Comparao e Critrio da Derivada
44 ) = 1 + 2. 3
4 6. 3: Critrio da Derivada
45 ) = 1. 3. 5. 7. . . . ( 2 1 )
2. 4. 6. 8. . . . ( 2 ): 1 Critrio da Razo
VERIFIQUE SE A SEQUNCIA LIMITADA SUPERIOR OU INFERIORMENTE
46 ) = + 1
3 + 2 Limitada 47 ) = 2 Limitada Inferiormente
48 ) = (1)+1
+ 1 Limitada 49 ) = (1)
+1
3 + 1 Limitada
50 ) xn = cos Limitada
SOMATRIOS
Abreviamos a escrita de somas utilizando letra grega , que corresponde ao S
do nosso alfabeto, para significar Somatrio.
O smbolo lido como a soma ou o somatrio dos termos para n
variando de 1 at o valor m.
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CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL
UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 34
Assim, = + + + + . . . + ou
= + + + . . .
Por exemplo: = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6,
= ( 3. 1+ 5 ) + ( 3.2 + 5 ) + ( 3.3 + 5 ) + ( 3.4 + 5 ) = 50.
Valem as seguintes propriedades:
I ) ) = +
II ) = k ;
III ) = m k
DESENVOLVA OS SOMATRIOS: 51 ) 52 ) 53 ) 54 ) 55 ) 56 ) 57 ) 58 ) 59 ) . 60 ) + ] ) 61 ) 85/64 62 ) + ] 30 REPRESENTE ATRAVS DO SMBOLO DE SOMATRIO 63 ) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ou 64 ) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12
65 ) + + +
66 ) 1 + + + +
67 ) 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + n
68 ) 2 22 + 23 24 + . . .
69 ) + + + + . . .
70 ) 1 + + 1
9 + + . . .