semestre : s6

Université Abdelmalek EssaâdiFaculté des Sciences Economiques, Juridiques et Sociales de Tanger

Filière : Sciences Economiques et Gestion

Semestre : S6

Méthodes économétriques

Département Sciences Economiques et Gestion

Pr. Soumaya FELLAJI

Plan

Introduction à l’économétrie1

Modèle de régression simple2

Modèle de régression multiple3

Méthodes économétriques Pr. FELLAJI

1 Qu’est ce que l’économétrie?

Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrieIntroduction à l’économétrie

Exemple introductif

Âge 49 15 43 45 40 35 42 38 46 30 52 55 42 25 35 35 35 27 48 37 45 19 57 55 34 39Dépenses 95 104 91 98 94 107 96 108 98 108 101 89 96 105 107 106 105 105 97 109 94 103 103 94 108 108

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60

Dépe

nses

Âge

?

EconométriemétrieEcono



Economie MesureMesureEconomie

enen

L’économétrie est l’étude des phénomènes économiques en utilisant

des méthodes mathématiques et statistiques.

Mesure Economie




L'économétrie s'intéresse à l'étude systématique des phénomènes

économiques à l'aide de données observables.

Vérifier la validité des

théories économiques

1

Estimer les paramètres

économiques

2

Prédire des résultats

économiques

3


2 Modèle économique et modèle économétrique


Modèle économique

Un modèle économique est l'expression mathématique simplifiée d'une certainethéorie économique.

Modèle économétrique

Un modèle économétrique est un modèle économique qui intègre une variablealéatoire appelée perturbation, bruit ou erreur.

C = α + βR

C = α + βR+ ε

C’est une simplification de la réalité qui tente de saisir les aspects les plus pertinentsd’une relation ou d’un phénomène économique en termes généraux.

L'objectif est de prévenir les dysfonctionnements de l'économie ou de l'activitééconomique

Les paramètres des modèles économétriques sont inconnus. Les estimations sontrendues aussi précises que possible à l'aide de procédures d'inférence statistique.

La perturbation ou l'erreur est définie comme une variable non observable quireflète ce qui éloigne l'individu du comportement moyen.

+ ε

Pr. FELLAJIMéthodes économétriques Pr. FELLAJI



C = α + βR+ ε+ ε Il est impossible de spécifier tous les facteurs de causalité

qui interviennent dans le phénomène.

Parfois, même si nous connaissons tous les facteurs de

causalité, certains ne seront pas quantifiables ou difficiles

à quantifier.

Prendre en considération d'éventuelles erreurs

d'observation que nous pourrions commettre.




La nouvelle méthodologie économétrique, Luis et Miguel (2016)

Modèle économétrique empirique

Processus générateur des donnéesThéorie économique

Modèle économétrique Données

Essais de diagnostic et de spécification

Estimation


3 Théorie de la corrélation


La corrélation mesure le degré de liaison entre deux phénomènes représentés par des variables.

ou :




La valeur du coefficient de corrélation linéaire simple est comprise entre -1 et 1.

Proche de 1

Les variables sont corrélées

positivement :

Pr. FELLAJI

Proche de -1

Les variables sont corrélées

négativement :

Proche de 0

Les variables ne sont pas

corrélées.




Pr. FELLAJI

Exemple applicatif

Rendement (x) 16 18 23 24 28 29 26 31 32 34

Engrais (y) 20 24 28 22 32 28 32 36 41 41

1) Tracer le nuage de points. Commenter le graphique.

2) Calculer le coefficient de corrélation simple.




Pr. FELLAJI

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Engrais

Rendement

, =10 8286 − (261)(304)

10 7127 − 261² 10 9734 − 304²=

3516(56,11)(70,17)

= 0,89

x y x² y² xy16 20 256 400 32018 24 324 576 43223 28 529 784 64424 22 576 484 52828 32 784 1024 89629 28 841 784 81226 32 676 1024 83231 36 961 1296 111632 41 1024 1681 131234 41 1156 1681 1394

Somme 261 304 7127 9734 8286


4 Modèles économétriques


1 Modèle linéaire

2 Modèle Binomial

3 Modèle Multinomial

4 Modèle Log-Normal

5 Modèles de séries chronologiques

Pr. FELLAJIMéthodes économétriques



1 Modèle linéaire




2 Modèle Binomial

Pr. FELLAJI

1 Modèle linéaire





Pr. FELLAJI

2 Modèle Binomial

1 Modèle linéaire




1 Modèle linéaire

2 Modèle Binomial






1 Modèle linéaire

2 Modèle Binomial



5 Modèles de séries chronologiques




Modèle linéaire

Régression linéaire simple

Régression linéaire multiple


1 Généralités

Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie Modèle de régression simple

Le terme régression a été introduit par Francis Galton,

chercheur britannique du 19ème siècle, dans le célèbre

article : « Regression towards mediocrity in hereditary

stature Journal of the Anthropological Institute 15 : 246-263 (1886) » pour décrire un

phénomène biologique. Le phénomène est que la taille des enfants nés des parents

inhabituellement grands (ou petits) se rapproche de la taille moyenne de la population.

Galton a appelé ce processus la régression vers la moyenne.


1 Généralités


Pr. FELLAJI

Finance

Prévoir

Estimer

Valider

Contrôler

Analyser

Décider

Régression Linéaire

Médecine

Industrie

Informatique

Marketing

Utilisation Domaines d’application


2 Présentation du modèle


N° Revenu Consommation

1 8000 7389,99

2 9000 8169,65

3 9500 8831,71

4 9500 8652,84

5 9800 8788,08

6 11000 9616,21

7 12000 10593,45

8 13000 11186,11

9 15000 12758,09

10 16000 13869,62

Tableau 1 : Consommation selon le revenu

La régression linéaire simple vise à étudier la dépendance linéaire entre deux variables.

0

5000

10000

15000

20000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Revenu

02000400060008000

10000120001400016000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Consommation




0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Con

som

mat

ion

Revenu

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Con

som

mat

ion

Revenu

y = f(x) = a + bx Consommation = + Revenu + erreur




Consommation = + Revenu + erreur

Variable endogène

Variable à expliquer

Variable dépendante

Variable « réponse »

Variable exogène

Variable explicative

Variable indépendante

Variable « régresseur »

Coefficients

de régression

Appelée aussi « bruit ».

Elle vient du fait que les

points ne sont jamais

parfaitement alignés sur

une droite.

Une erreur de spécification

Une erreur de mesure

Une erreur de fluctuation de l’échantillonnage

Pr. FELLAJI

∀ ∈ , … , = + +


3 Estimation des paramètres


Hypothèses

H1 : Le modèle est linéaire en , avec y = + + ε ;

H2 : Les valeurs sont observées sans erreur ( non aléatoire);

H3 : L’espérance mathématique de l’erreur est nulle, donc le modèle est bien spécifié : (ε ) = 0 ;

H4 : La variance de l’erreur est constante et ne dépend pas de l’observation : (ε ) = ² (c’est

l’hypothèse de l’homoscédasticité);

H5 : L’erreur est indépendante de la variable exogène : ( , ε ) = 0 ;

H6 : Les erreurs relatives à deux observations sont indépendantes : ( , ε ) = 0 (non

autocorrélation des erreurs ;

H7 : L’erreur suit une loi normale centrée de variance ² : ε ~ (0, ) (l’hypothèse de normalité

des erreurs) ;




0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Con

som

mat

ion

Revenu

Comment trouver la droite qui passe « au plus près » de tous les points?

Pr. FELLAJI

∀ ∈ , … , = + +




Comment trouver la droite qui passe « au plus près » de tous les points?

Utilisation de la méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) qui consiste à minimiser la

distance au carré entre chaque observation et la droite solution appelée droite de régression de Y

sur X.

Estimateurs des Moindres Carrés Ordinaires

Pr. FELLAJI

On appelle estimateurs des Moindres Carrées Ordinaires et les valeurs minimisant la quantité :

( , ) = ( − − )

Autrement dit, la droite des moindres carrées minimise la somme des carrées des distances

verticales des points ( , ) du nuage à la droite ajustée :

= +




et

On somme par rapport à i et on obtient :

et

D’où :

= −2 − − = 0 = −2 − − = 0

− − = 0 − − = 0

Pr. FELLAJI

=∑ ( − )( − )

∑ ( − )²=

∑ −∑ −

=( , )

( )

= −

Afin de trouver le minimum de cette fonction, on dérive par rapport à et :




Exemple pratique

N X Y

1 8000 7389,99

2 9000 8169,65

3 9500 8831,71

4 9500 8652,84

5 9800 8788,08

6 11000 9616,21

7 12000 10593,45

8 13000 11186,11

9 15000 12758,09

10 16000 13869,62

= + + =∑ ( − )( − )

∑ ( − )²= −

=

=

= 11280

= 9985,575

N X Y − − ( − )( − ) ( − )²

1 8000 7389,99

2 9000 8169,65

3 9500 8831,71

4 9500 8652,84

5 9800 8788,08

6 11000 9616,21

7 12000 10593,45

8 13000 11186,11

9 15000 12758,09

10 16000 13869,62

-3280 -2595,585 8513518,8 10758400

-2280 -1815,93 4140309 5198400

-1780 -1153,87 2053880 3168400

-1780 -1332,74 2372268 3168400

-1480 -1197,5 1772293 2190400

-280 -369,365 103422,2 78400

720 607,875 437670 518400

1720 1200,535 2064920 2958400

3720 2772,515 10313756 13838400

4720 3884,045 18332692 22278400

50104729 64156000

=50104729

64156000

= ,

= ,

= −




Pr. FELLAJI

Donner une écriture de l’estimateur en fonction du coefficient de corrélation linéaire , , sachant que :

=( , )

( )

= ,

= ( , )

²=

( , )

1=

( , ) = ,

,

Donc :

Réponse :

=∑ ( − )( − )

∑ ( − )²=

∑ −∑ −

=( , )

( )


4 Propriétés des estimateurs


Pr. FELLAJI

Deux propriétés importantes sont mises en avant dans l'évaluation d'un estimateur

Est-ce qu'il est sans biais? Est-ce qu'il est convergent?

C'est-à-dire est-ce qu'en

moyenne on obtient la vraie

valeur du paramètre.

C'est-à-dire à mesure que la

taille de l'échantillon

augmente, l'estimation devient

de plus en plus précise.

E( ) = ?

E( ) = ?

Lorsque n → ∞, V( ) → 0?

Lorsque n → ∞, V( ) → 0?


4 Propriétés des estimateurs


Pr. FELLAJI

.

Théorème 1:

.

∶

, = ∑

Théorème 2:

∶

= ² ( + ∑

) = ²∑

∶

, = ² ∑

.

Théorème 3:

.


5 Estimation de l’erreur


Pr. FELLAJI

est l erreur inconnue introduite dans la spécification du modèle ∶

= + + (1)

L’estimation des paramètres du modèle nous a permis de déduire la

valeur estimée de l’endogène Y pour l’individu i :

= = + (2)

Ainsi, on déduit l’erreur observée , appelée « résidu », à partir de (1)-(2) :

= − = − −


5 Estimation de l’erreur


N X Y

1 8000 7389,99

2 9000 8169,65

3 9500 8831,71

4 9500 8652,84

5 9800 8788,08

6 11000 9616,21

7 12000 10593,45

8 13000 11186,11

9 15000 12758,09

10 16000 13869,62

N X Y − − ( − )( − ) ( − )²

1 8000 7389,99

2 9000 8169,65

3 9500 8831,71

4 9500 8652,84

5 9800 8788,08

6 11000 9616,21

7 12000 10593,45

8 13000 11186,11

9 15000 12758,09

10 16000 13869,62

-2280 -1815,93 4140309 5198400

-1780 -1153,87 2053880 3168400

-1780 -1332,74 2372268 3168400

-1480 -1197,5 1772293 2190400

-280 -369,365 103422,2 78400

720 607,875 437670 518400

1720 1200,535 2064920 2958400

3720 2772,515 10313756 13838400

4720 3884,045 18332692 22278400

107584008513518,8-2595,585-3280

= − − = 0,781= 1176,09

-33,96

-35,28

236,28

57,41

-41,64

-150,69

45,57

-142,76

-132,74

197,81

Pr. FELLAJI

Calculer la somme des résidus


6 Propriétés de l’erreur


Pr. FELLAJI

L’expression de l’erreur observée est donnée par : = − −

En sommant les résidus, on obtient :

= ( − − )

= − −

= 1

− − 1

= − − = − ( − ) −

Donc : =




Pr. FELLAJI

² = .

Théorème :

² = ∑ ² .

² = ² 1+

∑ −

² = ²

∑ − ² = ² 1

+

∑ − ² =

²

∑ −

Ce qui nous permet de déduire les estimateurs empiriques des coefficients en

remplaçant la variance des erreurs par son estimateur :

, = ²

∑ , =

² ∑

Leur covariance vaut :




N X Y

1 8000 7389,99

2 9000 8169,65

3 9500 8831,71

4 9500 8652,84

5 9800 8788,08

6 11000 9616,21

7 12000 10593,45

8 13000 11186,11

9 15000 12758,09

10 16000 13869,62

N X Y − − ( − )( − ) ( − )²

1 8000 7389,99

2 9000 8169,65

3 9500 8831,71

4 9500 8652,84

5 9800 8788,08

6 11000 9616,21

7 12000 10593,45

8 13000 11186,11

9 15000 12758,09

10 16000 13869,62

-2280 -1815,93 4140309 5198400

-1780 -1153,87 2053880 3168400

-1780 -1332,74 2372268 3168400

-1480 -1197,5 1772293 2190400

-280 -369,365 103422,2 78400

720 607,875 437670 518400

1720 1200,535 2064920 2958400

3720 2772,515 10313756 13838400

4720 3884,045 18332692 22278400

107584008513518,8-2595,585-3280

²

-33,96

-35,28

236,28

57,41

-41,64

-150,69

45,57

-142,76

-132,74

197,81

Pr. FELLAJI

Calculer ² puis déduire ² et

1153,39

1244,985

55830,26

3296,4

1733,934

22707,43

2076,39

20379,08

17620,12

39127,39




N X Y

1 8000 7389,99

2 9000 8169,65

3 9500 8831,71

4 9500 8652,84

5 9800 8788,08

6 11000 9616,21

7 12000 10593,45

8 13000 11186,11

9 15000 12758,09

10 16000 13869,62

N X Y − − ( − )( − ) ( − )²

1 8000 7389,99

2 9000 8169,65

3 9500 8831,71

4 9500 8652,84

5 9800 8788,08

6 11000 9616,21

7 12000 10593,45

8 13000 11186,11

9 15000 12758,09

10 16000 13869,62

-2280 -1815,93 4140309 5198400

-1780 -1153,87 2053880 3168400

-1780 -1332,74 2372268 3168400

-1480 -1197,5 1772293 2190400

-280 -369,365 103422,2 78400

720 607,875 437670 518400

1720 1200,535 2064920 2958400

3720 2772,515 10313756 13838400

4720 3884,045 18332692 22278400

107584008513518,8-2595,585-3280

²

-33,96

-35,28

236,28

57,41

-41,64

-150,69

45,57

-142,76

-132,74

197,81

Pr. FELLAJI

1) Calcul de ², ² et

1153,39

1244,985

55830,26

3296,4

1733,934

22707,43

2076,39

20379,08

17620,12

39127,39

165169,4

² = ∑

− 2=

165169,410 − 2

= 20646,17

∑ − = 64156000

² =²

∑ − =

20646,1764156000

= 0,0003218

= ² = 0,0003218 = 0,0179

On a :

Donc :

Ainsi :

Sachant que :

² = ∑

−² =

²

∑ −


7 Distribution


Pr. FELLAJI

H7 : L’erreur suit une loi normale centrée de variance ².

Donc :ε

~ (0,1) Comme ε est une réalisation de ε : ε~ (0,1)

Passant au carré et sommant par rapport à i :

(ε

)² =∑ ε²

² ~ ( )²

∑ ε²

² =∑ ε²

² − 2− 2

=²

² ( − 2)~ ( )²

²

² ~ ( )²

− Ainsi :

( )² = ²

~ (0,1)

Avec :


7 Distribution


Pr. FELLAJI

On sait que a une espérance : E( ) = et une variance ²

~ ( , ² ) −~ (0,1)

Or :

Donc :

C’est-à-dire : Autrement dit :

² = ² (1

+

∑ − ) Ainsi : ² = ² (

1+

∑ −

)

²

² =²

² ~ ( )²

− 2

Par conséquent : −=

−

~( , )

( )²

−

= ( )

( ) =

~ (0,1)

Avec :

~ ( )²


7 Distribution


Pr. FELLAJI

On sait que a une espérance : E( ) = et une variance ²

~ ( , ² ) − ~ (0,1)

Or :

Donc :

C’est-à-dire : Autrement dit :

² =²

∑ − Ainsi : ² =²

∑ −

²

² =²

² ~ ( )²

− 2

Par conséquent : − =

−

~( , )

( )²

−

= ( )


8 Décomposition de la variance et coefficient de détermination


Pr. FELLAJI

A partir de l’équation de la droite de régression on a pour tout point i :

= + = − + = + ( − ) ∶ = −

Ce qui donne : − = ( − ) Or, on sait que : = −

Ce qui est équivalent à : − = ( − ) − ( − )

On élève au carré : ( − )² = (( − ) − ( − ))²

Puis on somme : ( − )² = (( − ) − ( − ))²

( − )² = ( − )² + − − 2 ( − )( − )

( − )




Pr. FELLAJI

Donc :

( − )² = ( − )² + − − 2 ( − )( − )

Or :

=∑ ( − )( − )

∑ ( − )²∑ ( − )( − ) = ∑ ( − )²

Ainsi :

( − )² = ( − )² + − − 2 ( − ) ²

( − ) ²

( − )² = ( − )² + − − 2 ( − ) ²

− = ( − )




Pr. FELLAJI

Ce qui est équivalent à :

( − )² = ( − )² + − − 2 ( − ) ²

− = ( − ) Car :

Enfin : ( − )² = − + ( − )² = +

é é é é é

Elle indique la variabilitétotale de Y, c.-à-d.,l’information disponibledans les données. q

Elle indique la variabilitéexpliquée par le modèle, c.-à-d., la variation de Yexpliquée par X.

Elle indique la variabiliténon-expliquée par le modèle,c.-à-d., celle entre les valeursobservées et prédites.




Pr. FELLAJI

= +Deux situations extrêmes peuvent survenir

===

===

Les variations de Y sont complétement

expliquées par celles de X. Le modèle

est parfait : la droite de régression

passe par tous les points du nuage.

X n’apporte aucune information

sur Y. Donc la meilleure prédiction

de Y est sa propre moyenne.




Pr. FELLAJI

² = = −Coefficient de détermination :

R² varie entre 0 et 1

Proche de 1 Proche de 0

Le modèle est meilleur, la

connaissance des valeurs de X

permet de déterminer celle de Y

avec précision.

X n’apporte aucune information

utile sur Y. La connaissance des

valeurs de X n’explique pas celles

de Y.




Pr. FELLAJI

Tableau d’analyse de la variance par une régression linéaire simple

Nous avons besoin de l'estimation de la moyenne pour calculer la somme SCT (n-1).

Nous avons besoin des coefficients estimés pour calculer la somme SCR (n-2).

Pour SCE, elle est obtenue par déduction : n − 1 − n − 2 = 1.




Pr. FELLAJI

N X Y ( − )² ( − )²1 8000 7389,992 9000 8169,653 9500 8831,714 9500 8652,845 9800 8788,086 11000 9616,217 12000 10593,458 13000 11186,119 15000 12758,09

10 16000 13869,6239296098,18

SCT165169,4

SCR

1153,39

1244,98555830,26

3296,41733,93422707,432076,39

20379,0817620,1239127,39

6737061,492

3297583,6061331404,4381776182,58

1433994,275

136430,5032369512,01561441284,286

7686839,42515085805,56




Pr. FELLAJI

N X Y ( − )² ( − )²1 8000 7389,992 9000 8169,653 9500 8831,714 9500 8652,845 9800 8788,086 11000 9616,217 12000 10593,458 13000 11186,119 15000 12758,09

10 16000 13869,62

Exemple pratique

² = − (165169,4/39296098,18) =0,9958

1153,39

1244,98555830,26

3296,41733,93422707,432076,39

20379,0817620,1239127,39

6737061,492

3297583,6061331404,4381776182,58

1433994,275

136430,5032369512,01561441284,286

7686839,42515085805,56

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

Con

som

mat

ion

Revenu




Pr. FELLAJI

Tableau d’analyse de la variance par une régression linéaire simple (ANOVA)

=−

= =²

− ²−

é é

é éMéthodes économétriques

9 Intervalle de confiance et tests d’hypothèse


Pr. FELLAJI

= 0,781 est la valeur estimé du coefficient inconnu .

Consommation = + Revenu + erreur

En raison des fluctuations de l'échantillon, il est probable

qu'une seule estimation diffère de la valeur réelle.

Dans un échantillonnage répété, il est prévu que la moyenne

des valeurs est égale à la valeur vraie : E( ) = .

Quelle est la fiabilité de cette estimation?




Pr. FELLAJI

é ∶

±

é ∶

( − ≤ ≤ + ) = −

:

±

− +

Les valeurs de comprises dans cette plagesont possibles avec uneconfiance de 100 ( − )%.

é




Pr. FELLAJI

− +

Les valeurs de comprisesdans cette plage sontpossibles avec uneconfiance de 100 ( − )%.

é ∶

±

é ∶

( − ≤ ≤ + ) = −

:

±




Pr. FELLAJI

Test bilatéral

Région d’acceptation de H0

Région critiqueRégion critique




Pr. FELLAJI

Test unilatéral à gauche


Région critique




Pr. FELLAJI

Test unilatéral à droite


Région critique




Pr. FELLAJI

Règles de décision : test de signification de Student (t)

Type d’hypothèse H0: Hypothèse nulle

H1 : Hypothèse alternative

Règle de décision : Rejeter H0 si

Bilatéral = ∗ ≠ ∗ > /

Unilatéral à gauche ≤ ∗ > ∗ >

Unilatéral à droite ≥ ∗ < ∗ <




Pr. FELLAJI




Bilatéral = ∗ ≠ ∗ > /





Pr. FELLAJI




Unilatéral à gauche ≤ ∗ > ∗ >





Pr. FELLAJI




Unilatéral à droite ≥ ∗ < ∗ <





Pr. FELLAJI

− =

−

~( , )

( )²

−

= ( )

( ) = −

Distribution de la pente :

Donc :Pour tester si la

variable X est une

variable explicative

de la variable Y, on

doit tester si le

coefficient ≠ .

Ainsi, on doit calculer la valeur de la statistique

( ) et la comparer avec celle obtenue à partir

la table de Student.

Calculer la statistique t et l’intervalle deconfiance de .


Méthodes économétriques2018-2019



Pr. FELLAJI

−=

−

~( , )

( )²

−

= ( )

( ) = −

Distribution de la pente :

Donc :Pour tester si la

variable X est une

variable explicative

de la variable Y, on

doit tester si le

coefficient ≠ .

Ainsi, on doit calculer la valeur de la statistique

( ) et la comparer avec celle obtenue à partir

la table de Student.

Calculer la statistique t et l’intervalle deconfiance de .

Méthodes économétriques2018-2019 Pr. FELLAJI

é =²

− ²−

² = 0,9958 = 0,05



Pr. FELLAJI

é =²

− ²−

=0,9958

− 0,9958−

= ,

Calculons la statistique é ( = 0,05) :

Donc : > ℱ( , ) = ,é = ,

On conclut que le modèle est globalement significatif au

risque 5%. Autrement dit, la relation linéaire entre X et Y est

représentative d’un phénomène existant réellement dans la

population.Méthodes économétriques



Pr. FELLAJI

é é ∶

( + ) ± + ∑ ( − )²

é é ∶

( + ) ± |

∶

| = +( − )²

∑ ( − )²

∶

( + ) ± +( − )²

∑ ( − )²




Pr. FELLAJI

é é ∶

+ ± + ∑ ( − )²

é é ∶

+ ± |

∶

| = +( − )²

∑ ( − )²

∶

+ ± +( − )²

∑ ( − )²


10 Prévision et intervalle de prévision


Pr. FELLAJI

Prévision

Prévision ponctuelle Prévision par intervalle




Pr. FELLAJI

Prévision ponctuelle :

é ∗ à é ℎ

= −

é ∗ à é ℎ

é , é ∗ à é é ∶

∗ = ∗ = + ∗

∶

∗ = ∗ − ∗




Pr. FELLAJI

Prévision par intervalle :

é ∗ é ∶

= + + ∑ ( − )²

é ∗ é ∶

∗ ± + +( ∗ − )²

∑ ( − )²

∶

∗ = + +( ∗ − )²

∑ ( − )²




Pr. FELLAJI

Exemple pratique

= 0,781 = 1176,09 ² = 20646,17 =2,306

17000 DH? Et pour celui ayant un revenu de 5000 DH?

Donner l’intervalle de confiance de ces prévisions.

Sachant que :

∗ ± + +( ∗ − )²

∑ ( − )²

∶ = ∑ − =

= 0,781 = 1176,09 ² = 20646,17 =2,306




Pr. FELLAJI

La consommation d’un individu ayant un revenu de 17000 DH :

∗ = ∗ = + ∗ Avec : ∗ =

∗ = = 1176,09 + 0,781 x 0 = 14453,09

Donc :

La consommation d’un individu ayant un revenu de 5000 DH :

∗ = = 1176,09 + 0,781 x = 5081,09




Pr. FELLAJI

On sait que : ∗ ± + +( ∗ − )²

∑ ( − )²

Pour ∗ = ( ∗ = 14453,09) :

14453,09 ± , x 20646,17 + +( − )²

Donc :

14453,09 ± , 6




Pr. FELLAJI

On sait que : ∗ ± + +( ∗ − )²

∑ ( − )²

Pour ∗ = ( ∗ = 5081,09) :

5081,09 ± , x 20646,17 + +( − )²

Donc :

5081,09 ± ,887


1 Introduction

Modèle de régression simple Modèle de régression multipleIntroduction à l’économétrie

Pr. FELLAJI

Modèle de régression multiple

La régression linéaire multiple est la généralisation multivariée de la régression

linéaire simple.

On cherche à expliquer une variable endogène Y par plusieurs variables exogène

= + + + + … + += + + + + … + +

La i-ème observation

de la variable Y.

L’erreur du modèle.La i-ème observation de

la variable j-ème variable.

Coefficients

du modèle.


2 Notation matricielle


Pr. FELLAJI


= + + + + … + += + + + + … + +

= + + + + … + += + + + + … + +

= + + + + … + += + + + + … + +

= + + + + … + += + + + + … + +

= + + + + … + += + + + + … + +

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

= + = + Ecriture matricielle


2 Notation matricielle


Pr. FELLAJI


= + = +

…=

111…1

… …

……

…………

…x

…

+…

(n,1) (n,p+1) (p+1,1) (n,1)

= + + + + … + += + + + + … + +Méthodes économétriques

3 Hypothèses


Pr. FELLAJI


Hypothèses stochastiques

H1 : Les sont observées sans erreur ( non aléatoires);

H2 : L’espérance mathématique de l’erreur est nulle, donc le modèle est bien spécifié :

(ε ) = 0 ;

H3 : La variance de l’erreur est constante et ne dépend pas de l’observation :

(ε ) = (c’est l’hypothèse de l’homoscédasticité);

H4 : L’erreur est indépendante des variables exogènes : ( , ε ) = 0 ;

H5 : Les erreurs sont indépendantes : ( , ε ) = 0 (non autocorrélation des erreurs) ;

H6 : Les erreurs suivent une loi normale centrée de variance : ε ~ (0, )

(l’hypothèse de normalité des erreurs) ;


3 Hypothèses


Pr. FELLAJI


Hypothèses structurelles

H1 : La matrice ( ) est régulière, c’est-à-dire ( ) ≠ et ( ) existe ;

H2 :( )

tend vers une matrice finie non singulière lorsque → +∞ ;

H3 : > + , le nombre d’observations est supérieur au nombre de paramètre à

estimer .

Dans le cas où n = p + 1, nous avons une interpolation, la droite passe exactement

par tous les points.

Lorsque < + , la matrice ( ) n'est plus inversible.


4 Estimation et propriété des paramètres


Pr. FELLAJI


é ∶

= ( )

é ∶

= ( )

é ∶

( ) =

é ∶

( ) =

é ∶

=− −

= − −

é ∶

=− −

= ∑− −


5 Matrice des variances et covariances


Pr. FELLAJI


Ω ,

, ⋯ ( )

Ω ,

+ 1, + 1 ∶

=

( ) , … ,

⋮ ( )⋱

⋮

, ⋯ ( )

= ( )

∶

= ( )

∶

= ( )


6 Tableau d’analyse de la variance et coefficient de détermination


Pr. FELLAJI


² = = −Coefficient de détermination :

Tableau d’analyse de la variance pour la régression linéaire multiple

Coefficient de corrélation linéaire multiple : = ² = ,Avec :




Pr. FELLAJI


R² varie entre 0 et 1

Proche de 1 Proche de 0

Le modèle est meilleur, la

connaissance des valeurs des

permet de déterminer celles de Y

avec précision.

n’apportent aucune information

utile sur Y. La connaissance des

valeurs des n’explique pas

celles de Y.

Plus le nombre des variables est proche du nombre d’observations, plus R² est proche de 1 !!!!!!




Pr. FELLAJI



² = = − ² = − = −/( − − )

/( − )

² = −−

− −( − ) R² ajusté ou corrigé


7 Tests de signification globale de la régression


Pr. FELLAJI



: = = ⋯ = =

: ∃ / ≠é = =

²

− ²− − é > ℱ( , ). . ∶


8 Tests de signification d’un coefficient


Pr. FELLAJI


− ~ ( )

: =

: ≠

La démarche est analogue à celle de la régression linéaire simple.

Puis on la compare avec celle lue dans la table de Student.

Le test d’hypothèse correspond à :

Pour un test bilatéral la région de rejet de (R.C.) est :

> /

On calcule la statistique :


9 Intervalle de confiance


Pr. FELLAJI


En analogie avec la régression linéaire simple,

quel est l’intervalle de confiance de ?

±


10 Prédiction et intervalle de prédiction


Pr. FELLAJI


Prédiction

Prédiction ponctuelle Prédiction par intervalle

∗ = ∗

∗ = + ∗, + ⋯ + ∗,

∗ = ∗

∗ ± ∗

Avec :

∗= [ + ∗( ) ∗]


Exercice


Pr. FELLAJI


N Y X1 X2 X31 12 2 45 1212 14 1 43 1323 10 3 43 1544 16 6 47 1455 14 7 42 1296 19 8 41 1567 21 8 32 1328 19 5 33 1479 21 5 41 12810 16 8 38 16311 19 4 32 16112 21 9 31 17213 25 12 35 17414 21 7 29 180

Soit le modèle linéaire multiple suivant :

= + + + +

1) Mettre le modèle sous forme matricielle en

précisant les dimensions de chaque matrice.

2) Estimer les paramètres du modèle.

3) Calculer l’estimation de la variance de l’erreur

ainsi que les écarts types de chacun des

coefficients.

4) Calculer le ² et le ².

5) Prédire , , par intervalle.


Exercice


Pr. FELLAJI


N Y X1 X2 X31 12 2 45 1212 14 1 43 1323 10 3 43 1544 16 6 47 1455 14 7 42 1296 19 8 41 1567 21 8 32 1328 19 5 33 1479 21 5 41 12810 16 8 38 16311 19 4 32 16112 21 9 31 17213 25 12 35 17414 21 7 29 180

1) Forme matricielle : = + = +

=

121410…21

=…

=

1 2 451 1 431…1

3…7

43…29

121132154

180…

=

(14,1) (14,4)

(4,1) (14,1)


Pr. FELLAJI

2) Estimation des coefficients : = ( )= ( )

1 2 45 1211 1 43 1321 3 43 1541 6 47 1451 7 42 1291 8 41 1561 8 32 1321 5 33 1471 5 41 1281 8 38 1631 4 32 1611 9 31 1721 12 35 1741 7 29 180

=

′ =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 3 6 7 8 8 5 5 8 4 9 12 745 43 43 47 42 41 32 33 41 38 32 31 35 29121 132 154 145 129 156 132 147 128 163 161 172 174 180

=

(4,14)

(14,4)

(4,4)

14 85 532 209485 631 3126 13132532 3126 20666 786832094 13132 78683 317950

( ) =(4,4)

20,168 0,0151 -0,232 -0,0760,015 0,0132 0,001 -0,0019-0,231 0,001 0,004 0,0006-0,076 -0,001 0,0006 0,0004

On doit calculer le déterminant de ( ) pour vérifier s’il est différent de zéro.

=(4,1)

2481622920237592

1214101614192119211619212521

=(14,1)

=

32,891320,801901-0,38136-0,03713(4,1)


Pr. FELLAJI

3) Estimation de la variance de l’erreur : =− −

= ∑− −

=− −

= ∑− −

= − , − , + , + ,= − , − , + , + ,

N Y X1 X2 X31 12 2 45 121 -0,87 0,762 14 1 43 132 1,57 2,483 10 3 43 154 -3,22 10,34 16 6 47 145 1,57 2,465 14 7 42 129 -3,73 13,96 19 8 41 156 1,09 1,187 21 8 32 132 -1,23 1,528 19 5 33 147 0,11 0,019 21 5 41 128 4,46 19,910 16 8 38 163 -2,8 7,8311 19 4 32 161 1,05 1,112 21 9 31 172 -0,93 0,8713 25 12 35 174 2,26 5,114 21 7 29 180 0,2 0,04

= ,= ,

= ∶

= : è

= ∶

= : è

=,

− −=

,− −

= ,= ,


Pr. FELLAJI

3) Ecarts types des coefficients :

∶

= ( )

∶

= ( )

= , x

20,168 0,0151 -0,232 -0,0760,0151 0,0132 0,001 -0,001-0,232 0,001 0,004 0,0006-0,076 -0,001 0,0006 0,0004

=

136,050,0890,0270,0027

Donc :

=

11,6640,2980,1640,052

=

136,05 0,102 -1,566 -0,5130,102 0,089 0,007 -0,007-1,566 0,007 0,027 0,004-0,513 -0,007 0,004 0,0027

= =

,,,

,


Pr. FELLAJI

4) Calcul de R² et ² :² = −

∑∑ ( − )²

N Y X1 X2 X3 −1 12 2 45 121 -5,712 14 1 43 132 -3,713 10 3 43 154 -7,714 16 6 47 145 -1,715 14 7 42 129 -3,716 19 8 41 156 1,297 21 8 32 132 3,298 19 5 33 147 1,299 21 5 41 128 3,2910 16 8 38 163 -1,7111 19 4 32 161 1,2912 21 9 31 172 3,2913 25 12 35 174 7,2914 21 7 29 180 3,29

= ,= ,

( − )² = ,( − )² = ,

² = −,,

² = ,Donc :

² = −−

− −( − )

² = −−

− −( − , )

² = ,Donc :


Pr. FELLAJI

5) P é :

On a :

Ainsi :

Donc :

= , + , − , − ,

, , = , + , ( ) − , ( ) − , ( )

∗ = , , =

o P é ponctuelle :


Pr. FELLAJI

5) P é :

∗ ± ∗ ∗= [ + ∗( ) ∗]Avec :

1 4 33 150

1433150

∗= ,

20,168 0,0151 -0,232 -0,0760,0151 0,0132 0,001 -0,001-0,232 0,001 0,004 0,0006-0,076 -0,001 0,0006 0,0004

+ = ,

, = , ∗ = , = , Or : et :

Par conséquent :

, , = ± , et : = , ; ,

o P é par intervalle :

On sait que :

Ainsi :


semestre : s6

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