semana 14 problema de emparejamiento bipartito complejidad

Semana 14

Problema de emparejamiento bipartitoComplejidad computacional

Programación 3

Instituto de ComputaciónFacultad de Ingeniería – Universidad de la República

Contenido

1 Problema de flujo máximo - Algoritmo de Ford-FulkersonProblema de emparejamiento bipartito

2 Complejidad computacionalIntroducciónReducción de problemas en tiempo polinomialProblemas de cobertura y empaqueProblema de Satisfacibilidad BooleanaEjercicio sobre el Sistema Nacional de Areas Protegidas (SNAP)

Problema de flujo máximo - Algoritmo de Ford-Fulkerson Problema de emparejamiento bipartito

Problema de emparejamiento bipartito

Un grafo G = (V,E) es bipartito si el conjunto de vértices V puede serparticionado en los conjuntos X e Y , tal que cada arista en E tiene un vérticeen X y el otro en Y .

(¿Cómo determinar si un grafo es bipartito?)Un emparejamiento en G es un subconjunto de aristas M ⊆ E tal que cadavértice aparece en a lo sumo una arista de M.El problema consiste en determinar un emparejamiento M de tamaño máximo.Resolver el problema para la instancia de G:

InCo - Fac.Ingeniería - UdelaR Programación 3 - Teórico semana 14 2do. Semestre 2021 3 / 31

Un grafo G = (V,E) es bipartito si el conjunto de vértices V puede serparticionado en los conjuntos X e Y , tal que cada arista en E tiene un vérticeen X y el otro en Y . (¿Cómo determinar si un grafo es bipartito?)

Un emparejamiento en G es un subconjunto de aristas M ⊆ E tal que cadavértice aparece en a lo sumo una arista de M.El problema consiste en determinar un emparejamiento M de tamaño máximo.Resolver el problema para la instancia de G:

Un grafo G = (V,E) es bipartito si el conjunto de vértices V puede serparticionado en los conjuntos X e Y , tal que cada arista en E tiene un vérticeen X y el otro en Y . (¿Cómo determinar si un grafo es bipartito?)Un emparejamiento en G es un subconjunto de aristas M ⊆ E tal que cadavértice aparece en a lo sumo una arista de M.

El problema consiste en determinar un emparejamiento M de tamaño máximo.Resolver el problema para la instancia de G:

Un grafo G = (V,E) es bipartito si el conjunto de vértices V puede serparticionado en los conjuntos X e Y , tal que cada arista en E tiene un vérticeen X y el otro en Y . (¿Cómo determinar si un grafo es bipartito?)Un emparejamiento en G es un subconjunto de aristas M ⊆ E tal que cadavértice aparece en a lo sumo una arista de M.El problema consiste en determinar un emparejamiento M de tamaño máximo.

Resolver el problema para la instancia de G:

Un grafo G = (V,E) es bipartito si el conjunto de vértices V puede serparticionado en los conjuntos X e Y , tal que cada arista en E tiene un vérticeen X y el otro en Y . (¿Cómo determinar si un grafo es bipartito?)Un emparejamiento en G es un subconjunto de aristas M ⊆ E tal que cadavértice aparece en a lo sumo una arista de M.El problema consiste en determinar un emparejamiento M de tamaño máximo.Resolver el problema para la instancia de G:

Algoritmo de resolución del problema de emparejamiento bipartitoMediante reducción al problema de flujo máximo

Dado el grafo G(X ∪ Y,E) del problema del emparejamiento bipartito, seconstruye el grafo dirigido G′(V ′,E′) de una red de flujo. Por cada arista E seconstruye un arco en G′ de X a Y . Se agrega un vértice fuente s y un arco de sa cada vértice de X. Se agrega un vértice sumidero t y un arco de cada vérticede Y a t. Se asigna capacidad uno a cada arco de G′.

Formular para la instancia G:

Se obtiene el flujo s-t máximo en G′ aplicando el alg. de Ford-Fulkerson.El valor del flujo en G′ es igual al tamaño del emparejamiento en G. El flujounitario en los arcos de X a Y en G′ determina el emparejamiento en G.

Dado el grafo G(X ∪ Y,E) del problema del emparejamiento bipartito, seconstruye el grafo dirigido G′(V ′,E′) de una red de flujo. Por cada arista E seconstruye un arco en G′ de X a Y . Se agrega un vértice fuente s y un arco de sa cada vértice de X. Se agrega un vértice sumidero t y un arco de cada vérticede Y a t. Se asigna capacidad uno a cada arco de G′.Formular para la instancia G:

Se obtiene el flujo s-t máximo en G′ aplicando el alg. de Ford-Fulkerson.

El valor del flujo en G′ es igual al tamaño del emparejamiento en G. El flujounitario en los arcos de X a Y en G′ determina el emparejamiento en G.

Corrección del algoritmo de resol. del prb. de emparejamiento bipartito

Los flujos integrales en G′ formulan los emparejamientos en G.

Por un lado. Sea el emparejamiento de k aristas en G, (xi1 , yi1), ..., (xik , yik).Entonces el flujo f envía una unidad en cada camino s, xij , yij , t. Se puedecomprobar que las condiciones de capacidad y conservación se cumplen y quef es un flujo s-t de valor k.Por el contrario. Sea el flujo f de valor k en G′. Por el teorema de integralidaddel flujo máximo (KT 7.14) se tiene que el flujo f es un entero de valor k.Debido a que todas las capacidades son unitarias, el flujo de cada arco es ceroo uno. Sea el conjunto de arcos M′ de la forma (x, y) en el cual el valor delflujo es uno. Se cumplen las propiedades:

M′ contiene k arcos

Cada vértice en X es la cola de a lo sumo un arco en M′

Cada vértice en Y es la cabeza de a lo sumo un arco en M′

A partir de estas se tiene que M′ es un conjunto de aristas en el grafo bipartitoG, es decir un emparejamiento de tamaño k.

Los flujos integrales en G′ formulan los emparejamientos en G.Por un lado. Sea el emparejamiento de k aristas en G, (xi1 , yi1), ..., (xik , yik).Entonces el flujo f envía una unidad en cada camino s, xij , yij , t. Se puedecomprobar que las condiciones de capacidad y conservación se cumplen y quef es un flujo s-t de valor k.

Por el contrario. Sea el flujo f de valor k en G′. Por el teorema de integralidaddel flujo máximo (KT 7.14) se tiene que el flujo f es un entero de valor k.Debido a que todas las capacidades son unitarias, el flujo de cada arco es ceroo uno. Sea el conjunto de arcos M′ de la forma (x, y) en el cual el valor delflujo es uno. Se cumplen las propiedades:

Los flujos integrales en G′ formulan los emparejamientos en G.Por un lado. Sea el emparejamiento de k aristas en G, (xi1 , yi1), ..., (xik , yik).Entonces el flujo f envía una unidad en cada camino s, xij , yij , t. Se puedecomprobar que las condiciones de capacidad y conservación se cumplen y quef es un flujo s-t de valor k.Por el contrario. Sea el flujo f de valor k en G′. Por el teorema de integralidaddel flujo máximo (KT 7.14) se tiene que el flujo f es un entero de valor k.Debido a que todas las capacidades son unitarias, el flujo de cada arco es ceroo uno. Sea el conjunto de arcos M′ de la forma (x, y) en el cual el valor delflujo es uno. Se cumplen las propiedades:

Tiempo del algoritmo de resol. del prb. de emparejamiento bipartito

Sea la instancia con |X| = |Y| = n y m la cantidad de aristas en G. Se asumeque existe al menos una arista incidente a cada nodo, por lo que m ≥ n/2.¿Cuál es el tiempo empleado en generar G′ a partir de G?

El tiempo está dominado por el cálculo del flujo máximo en G′. Para estainstancia se tiene la capacidad

C =∑xi∈X

csxi = |X| = n

dado que cada arco saliente de s tiene capacidad uno.

El algoritmo de Ford-Fulkerson emplea tiempo O(mC) por lo que pararesolver el problema de emparejamiento bipartito se emplea tiempo O(mn).

C =∑xi∈X

csxi = |X| = n

C =∑xi∈X

csxi = |X| = n

Taxonomía jerárquica del problema en optimización

Programación Lineal

Flujo en Red

Flujo Máximo

Emparejamiento Bipartito

Problema de relacionamiento tripartito

El problema de emparejamiento bipartito se puede definir mediante relaciónentre conjuntos (alternativa a modelar mediante grafos).

Sean los conjuntos finitos y disjuntos X e Y , y sea E ⊆ X × Y .Se dice que el conjunto M ⊆ E es un emparejamiento bipartito si para todopar de duplas diferentes (xi, yi), (xj, yj) ∈ M se tiene que xi 6= xj e yi 6= yj.

El problema se puede extender a tripletas de tres conjuntos.Sean los conjuntos finitos y disjuntos X, Y y Z, y sea E ⊆ X × Y × Z. Elconjunto M ⊆ E es un relacionamiento tripartito si para todo par de trípletasdiferentes (xi, yi, zi), (xj, yj, zj) ∈ M se tiene que xi 6= xj, yi 6= yj, y zi 6= zj.

El problema consiste en determinar un relacionamiento M de mayor tamañoposible.

El problema de emparejamiento bipartito se puede definir mediante relaciónentre conjuntos (alternativa a modelar mediante grafos).Sean los conjuntos finitos y disjuntos X e Y , y sea E ⊆ X × Y .Se dice que el conjunto M ⊆ E es un emparejamiento bipartito si para todopar de duplas diferentes (xi, yi), (xj, yj) ∈ M se tiene que xi 6= xj e yi 6= yj.

El problema se puede extender a tripletas de tres conjuntos.

Sean los conjuntos finitos y disjuntos X, Y y Z, y sea E ⊆ X × Y × Z. Elconjunto M ⊆ E es un relacionamiento tripartito si para todo par de trípletasdiferentes (xi, yi, zi), (xj, yj, zj) ∈ M se tiene que xi 6= xj, yi 6= yj, y zi 6= zj.

Instancia de problema de relacionamiento tripartito

Resolver la instancia con tripletas E coloreadas:

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

¿Qué pares de tripletas son excluyentes en las posibles soluciones?¿Es posible formular como problema de flujo máximo y resolver estemediante Ford-Fulkerson?

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

¿Qué pares de tripletas son excluyentes en las posibles soluciones?

¿Es posible formular como problema de flujo máximo y resolver estemediante Ford-Fulkerson?

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

¿Qué pares de tripletas son excluyentes en las posibles soluciones?¿Es posible formular como problema de flujo máximo y resolver estemediante Ford-Fulkerson?

Complejidad computacional Introducción

Problema computacional, instancia del problema y algoritmo deresolución

Se denomina problema computacional a la descripción abstracta, segúnentidades, de una cuestión que puede resolverse mediante algoritmos.A las entidades se les puede aplicar una métrica (medir tamaño).

Una instancia de un problema se define a partir de datos que la especifican.Estas tienen determinado el tamaño de las entidades del problema.(El problema comprende la colección de todas sus instancias).

Un algoritmo de resolución es un conjunto finito y ordenado de instruccionesque se diseña para un problema pero se aplica a sus instancias.Los algoritmos emplean los recursos tiempo y espacio (memoria).El uso de los recursos depende de la dificultad y tamaño de las instancias.(En este curso solo se analiza el uso del tiempo.)

Un algoritmo de resolución es un conjunto finito y ordenado de instruccionesque se diseña para un problema pero se aplica a sus instancias.

Los algoritmos emplean los recursos tiempo y espacio (memoria).El uso de los recursos depende de la dificultad y tamaño de las instancias.(En este curso solo se analiza el uso del tiempo.)

Tipos de problemas computacionales a tratar

Dado un problema general compuesto por un conjunto de posibles soluciones,F en dominio X, y una función de costo sobre las soluciones, c(·) : F → R,

se pueden derivar los problemas de:

factibilidad: determinar x ∈ F ⊆ X (caso F no es explícito)

optimización: determinar x ∈ F que minimiza c(x)

evaluación: determinar minx∈F c(x) (solo el valor del óptimo)

reconocimiento o decisión: dado un número L, determinar si minx∈F c(x)es menor o igual que L.

Las variantes están vinculadas en el grado de dificultad de resolución.La dificultad en resolver el problema de reconocimiento es un indicador de ladificultad de resolver las otras variantes.Si el costo óptimo puede tomar uno de n valores, entonces se pude realizaruna búsqueda por bipartición y resolver el problema de evaluación realizandodlog ne resoluciones del problema de reconocimiento.

Dado un problema general compuesto por un conjunto de posibles soluciones,F en dominio X, y una función de costo sobre las soluciones, c(·) : F → R,se pueden derivar los problemas de:

Las variantes están vinculadas en el grado de dificultad de resolución.La dificultad en resolver el problema de reconocimiento es un indicador de ladificultad de resolver las otras variantes.

Si el costo óptimo puede tomar uno de n valores, entonces se pude realizaruna búsqueda por bipartición y resolver el problema de evaluación realizandodlog ne resoluciones del problema de reconocimiento.

Complejidad computacional

El grado de dificultad de resolución de un problema es intrínseco al problema.Los algoritmos empleados en resolver instancias de un problema permitenclasificar la dificultad.

Los problemas se pueden clasificar según tengan o no resolución eficiente.

La noción de eficiencia se basa en que el tiempo empleado en la resoluciónsea polinomial en el tamaño de las instancias.

Hay problemas que no se han podido resolver eficientemente, pero tampoco seha podido demostrar que no se pueden resolver eficientemente (desde 1960’s).

Introducción a NP-Completitud

Desde entonces se ha caracterizado a los problemas que no se han podidoresolver eficient. en una clase de equivalencia denominada NP-completo.

Si se lograra resolver eficientemente a un problema de NP-completo entoncesse lograría resolver a todos ellos.

Si se lograra demostrar que algún problema de NP-completo no tieneresolución eficiente entonces ninguno la tendría. (Conjetura actual)

Debido a la evidencia acumulada. Si se determina que un problema pertenecea NP-completo entonces se disuade la búsqueda de un algoritmo eficiente pararesolverlo.

Complejidad computacional Reducción de problemas en tiempo polinomial

Reducción de problemas en tiempo polinomial

Para clasificar los problemas según su grado de dificultad se utiliza lacomparación:

“El problema X es al menos tan difícil como el problema Y”.

Reducción. Sea un problema X al menos tan difícil como otro problema Y .Si se dispone de una “caja opaca” para resolver X y se puede reducir(codificar) Y en términos de X entonces se puede resolver Y usando la caja.

Reducción en tiempo polinomial. Si cualquier instancia del problema Ypuede ser resuelta realizando una cantidad polinomial de pasos más unacantidad polinomial de invocaciones a la caja opaca que resuelve el problemaX, entonces se dice que

“Y es reducible en tiempo polinomial a X” y se denota Y ≤P X.

Propiedades de la reducción en tiempo polinomial

Proposición (1)Sea Y ≤P X. Si X puede resolverse en tiempo polinomial, entoncesY puede resolverse en tiempo polinomial.

¿Cómo se puede aplicar al Problema de emparejamiento bipartito?¿Cómo se podría demostrar?

Proposición (2)Sea Y ≤P X. Si Y no puede resolverse en tiempo polinomial, entoncesX no puede resolverse en tiempo polinomial.

¿Qué relación hay entre (1) y (2)?Se denomina problema difícil al que no se puede resolver eficientemente.Si se tiene un problema Y que se conoce que es difícil y se demuestra queY ≤P X entonces X debe ser difícil o puede ser usado para resolver Y .

¿Cómo se puede aplicar al Problema de emparejamiento bipartito?

¿Cómo se podría demostrar?

¿Qué relación hay entre (1) y (2)?

Se denomina problema difícil al que no se puede resolver eficientemente.Si se tiene un problema Y que se conoce que es difícil y se demuestra queY ≤P X entonces X debe ser difícil o puede ser usado para resolver Y .

Complejidad computacional Problemas de cobertura y empaque

Problema Independent Set

Independent Set (optimización) Dado un grafo G = (V,E) se dice que unconjunto de vértices S ⊆ V es independiente si ningún par de vértices en Scomparten arista. Se requiere encontrar el conjunto independiente más grande.

Resolver la instancia:

Su problema de reconocimiento asociado es:Independent Set (reconocimiento) Dados un grafo G y un número k,determinar si G contiene un conjunto independiente de tamaño al menos k.

No se conoce como resolver el problema en tiempo polinomial.

Independent Set (optimización) Dado un grafo G = (V,E) se dice que unconjunto de vértices S ⊆ V es independiente si ningún par de vértices en Scomparten arista. Se requiere encontrar el conjunto independiente más grande.Resolver la instancia:

No se conoce como resolver el problema en tiempo polinomial.InCo - Fac.Ingeniería - UdelaR Programación 3 - Teórico semana 14 2do. Semestre 2021 17 / 31

Problema Vertex Cover

Vertex Cover (optimización) Dado un grafo G = (V,E) se dice que unconjunto de vértices S ⊆ V es una cobertura [de aristas] por vértices si cadaarista tiene al menos un vértice en S. Se requiere encontrar el conjunto decobertura más pequeño.

Vertex Cover (reconocimiento) Dados un grafo G y un número k, determinarsi G contiene una cobertura por vértices de tamaño a lo sumo k?

Vertex Cover (optimización) Dado un grafo G = (V,E) se dice que unconjunto de vértices S ⊆ V es una cobertura [de aristas] por vértices si cadaarista tiene al menos un vértice en S. Se requiere encontrar el conjunto decobertura más pequeño.Resolver la instancia:

No se conoce como resolver el problema en tiempo polinomial.InCo - Fac.Ingeniería - UdelaR Programación 3 - Teórico semana 14 2do. Semestre 2021 18 / 31

Independent Set y Vertex Cover son equivalentes en dificultad

Proposición (3)

Sea el grafo G = (V,E). S ⊆ V es un conjunto independiente si y solo si sucomplemento V \ S es una cobertura por vértices.

Proposición (4)Independent Set ≤P Vertex Cover.

Prueba.Según (3). Si se tiene una caja opaca para resolver Vertex Cover, entonces se puededecidir si G tiene una conjunto independiente de tamaño al menos k consultando a lacaja opaca si G tiene una cobertura por vértice de tamaño a lo sumo n− k.

Proposición (5)Vertex Cover ≤P Independent Set.

Proposición (3)

Casos de cobertura y empaque de conjuntos

Dados los conjuntos M = {1, ...,m} y N = {1, ..., n}.Sean los subconjuntos Mi de M con i ∈ N.

Dado S subconjunto de N,

S se dice cobertura de M si ∪i∈SMi = M,

S se dice empaque de M si Mi ∩Mj = ∅, para todo i, j ∈ S, tal que i 6= j,

S se dice partición de M si es cobertura y empaque.

En el problema de cobertura se busca S de menor tamaño.En el problema de empaque se busca S de mayor tamaño.

Proposición (6)Vertex Cover ≤P Set Cover.

Proposición (7)Independent Set ≤P Set Packing.

Dados los conjuntos M = {1, ...,m} y N = {1, ..., n}.Sean los subconjuntos Mi de M con i ∈ N.Dado S subconjunto de N,

Complejidad computacional Problema de Satisfacibilidad Booleana

Problema de Satisfacibilidad Booleana (SAT)

Es un problema de reconocimiento en álgebra Booleana.

Sea un conjunto de variables Booleanas X = {x1, x2, ..., xn}.Se denomina término, t, sobre X a la expresión de una variable xi o sunegación xi, t ∈ {x1, x2, ..., xn, x1, x2, ..., xn}.Se denomina cláusula a la disyunción de diferentes términos C = t1∨ t2...∨ t`.Se plantea la conjunción de un conjunto de cláusulas diferentes,C1 ∧ C2... ∧ Ck.

Dado un conjunto de cláusulas sobre un conjunto de variables.El problema requiere determinar una asignación de valores a las variables quesatisface la conjunción de las cláusulas.

El problema contiene las propiedades fundamentales de los problemasdifíciles.

Es un problema de reconocimiento en álgebra Booleana.Sea un conjunto de variables Booleanas X = {x1, x2, ..., xn}.Se denomina término, t, sobre X a la expresión de una variable xi o sunegación xi, t ∈ {x1, x2, ..., xn, x1, x2, ..., xn}.

Se denomina cláusula a la disyunción de diferentes términos C = t1∨ t2...∨ t`.Se plantea la conjunción de un conjunto de cláusulas diferentes,C1 ∧ C2... ∧ Ck.

Es un problema de reconocimiento en álgebra Booleana.Sea un conjunto de variables Booleanas X = {x1, x2, ..., xn}.Se denomina término, t, sobre X a la expresión de una variable xi o sunegación xi, t ∈ {x1, x2, ..., xn, x1, x2, ..., xn}.Se denomina cláusula a la disyunción de diferentes términos C = t1∨ t2...∨ t`.Se plantea la conjunción de un conjunto de cláusulas diferentes,C1 ∧ C2... ∧ Ck.

Problema de Satisfacibilidad Booleana (3-SAT)