sem 6 matrices
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MATRICESTRANSCRIPT
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 1
MATEMTICA BSICA
TEMA :
DEFINICIN: Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en m filas y n
columnas, y encerradas entre corchetes o parntesis. Las matrices se denotan con letras
maysculas, tal como A, B C, etc.
Se le llama matriz de orden m x n a todo conjunto de elementos de dispuesto en m lneas
horizontales (filas) y n lneas verticales (columnas).
A=[ ], donde i = 1, 2, 3,..., m y j = 1, 2, 3,..., n
Los subndices indican la posicin del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el
segundo la columna (j).
Ejemplos: 3 2 0
A1 4 5
1 2 3
0 1 2B
4 0 2
5 3 1
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz est dado por el producto indicado m n, si y slo si, m indica el nmero de filas y n el nmero de columnas.
Columnas
11 12 1
21 22 2
1 2
de la matriz A
Filas de lamatr
iz
A
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
ij m nA a ija
MATRICES: DEFINICIN, OPERACIONES Y DETERMINANTES
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 2
Ejemplo:
[
]
(
)
Ejemplo: Dada la matriz A.
562
231A
Se observa que, es una matriz de orden 23, es decir, A es una matriz con 2 filas y 3
columnas.
El elemento 23 5a , es el que est en la interseccin de fila 2 con la columna 3.
TIPOS DE MATRICES
1. Matriz rectangular: Una matriz de orden nm , es rectangular, si nm .
Ejemplo: Dada la matriz A
1203
75142
6631
A
es una matriz de orden 3 4 .
2. Matriz columna: Una matriz de orden nm , se le llama as, a la que tiene solamente
una columna, es decir m*1.
Ejemplo: Dada la matriz A
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Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 3
A=
6
2
1
es una matriz de orden 3x1.
3. Matriz Fila: Una matriz de orden nm , se le llama as a la que tiene slo una fila, es
decir 1*n.
Ejemplo.
A= 81271 es una matriz de orden 1 4
4. Matriz cero nula: Es la matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir ija = 0 i. j
[
]
5. Matriz cuadrada: Una matriz de orden nm , es una matriz cuadrada, cuando tiene el
mismo nmero de filas y columnas, es decir m n .
Ejemplo: Dadas las matrices A y B.
11 12 13
11 12
21 22 23
21 22 2 231 32 33 3 3
a a aa a
A B a a aa a
a a a
Las matrices A, B son de orden 2 2 3 3, respectivamente.y
IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices son iguales cuando tienen la misma
dimensin y los elementos que ocupan el mismo lugar son iguales, es decir, ija = ijb ,i j .
Ejemplo: Dadas las matrices 3 1
5 3A
y 1
3 3
x yB
x y
, si A=B. Hallar los valores de
x e y.
Solucin:
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Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 4
Si 3 1 1
5 3 3 3
x yA B
x y
, entonces sus componentes correspondientes tienen que
ser iguales, esto es:
3 3 5x y x y
Al resolver, se tiene que x=1 y=-2
OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES
Si A= ij m na y B= ij m nb son matrices del mismo orden nm , entonces la suma A+B
y la diferencia A-B es la matriz de nm que se obtiene sumando y restando
respectivamente las entradas de A y B; esto es:
A+B== ij ija b y A-B= ij ija b
Ejemplo: Sean las matrices A=
412
203 y B=
521
635, hallar A+B y A-B.
Solucin:
Notar que, ambas matrices tienen el mismo orden, es decir, 2 3 .
Entonces,
A+B=3 5 0 ( 3) 2 6
2 1 1 2 4 ( 5)
=
113
438
A-B=3 5 0 ( 3) 2 6
2 1 1 2 4 ( 5)
=
2 3 8
1 3 9
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 5
Propiedades de la suma de matrices
a) A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
b) A + B = B + A (propiedad conmutativa)
c) A + 0 = A (0 es la matriz nula)
d) La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el
nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (-A) = 0
e) La diferencia de matrices A y B se representan y se define como: A - B
2. PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (nmero)
Si A= [ ija ] es una matriz de orden nm , multiplicado por k un nmero real, es otra
matriz B = [ ijb ] de la misma dimensin que A y tal que cada elemento ijb de B se
obtiene multiplicando ija por K, decir, ijb = k ija
Ejemplo: Sea la matriz 1 0 2
2 1 4A
, y 3k , hallar la matriz 3A .
Solucin:
Al multiplicar, cada entrada de A por -3 se tiene
3A = 1 0 2
32 1 4
=( 3)1 3(0) 3( 2)
( 3)2 3( 1) 3(4)
=
1236
603
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
a) k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1)
b) (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2)
c) K (h A) = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
d) 1- A = A (elemento unidad)
Propiedades simplificativas
a) A + C = B + C A = B
-
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b) k A = k B A= B si k es distinto de 0
c) k A = h A h = k si A es distinto de 0
3. MULTIPLICACIN DE MATRICES
Sea A = [ ija ] una matriz de orden nm y B = [ ijb ] una matriz de orden pn .
Definicin: El producto de dos matrices A y B es AB o A.B, se requiere que el nmero
de columnas de A debe coincidir con el nmero de filas de B, y se obtiene multiplicando
las filas de A por las columnas de B, es decir;
pmpnnm CBA
Dnde: cuya entrada ijc , en la fila i y la columna j, se obtiene como sigue:
Sume los productos formados al multiplicar, en orden cada entrada de la fila i de A por la
correspondiente entrada de la columna j de B.
Es decir, (i-sima fila de A). (j-sima columna de B)= ijc elemento de C=AB
Ejemplo: Sean A=
231
612 y B=
112
240
301
. Hallar C=AB
Solucin:
Se observa que, la matriz A tiene orden 2x3 ( nm ) y la matriz B tiene orden de 3x3 (
pn ), adems el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B (n=3)
Luego, el producto C est bien definido y ser una matriz de 2x3 ( pm ).
orden de la matriz
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11 12 13
21 22 232 3 2 3
3 3
1 0 32 1 6 ? ? ?
0 4 21 3 2 ? ? ?
2 1 1
c c cC
c c c
La entrada 11c se obtiene sumando los productos de cada entrada en la fila 1 de A por la
entrada en l columna 1 de B, es decir, la fila 1 de A por la columna1 de B.
Elemento ijc Producto de la fila i por la columna j valor Matriz producto
11c
231
612
112
240
301
(2) (1)+ (1) (0)+ (-6) (-2)=14 12 13
21 22 23 2 3
14 c c
c c c
12c
231
612
112
240
301
(2) (0)+ (1) (4)+ (-6) (1) 2 13
21 22 23 2 3
214 c
c c c
13c
231
612
112
240
301
(2) (-3)+ (1) (2)+ (-6) (1) 10 21 22 23 2 3
1014 2
c c c
21c
231
612
112
240
301
(1) (1)+ (-3) (0)+ (2) (-2) 3 22 23 2 3
14 2 10
3 c c
22c
231
612
112
240
301
(1) (0)+ (-3) (4)+ (2) (1) 10 23 2 3
14 2 10
3 10 c
23c
231
612
112
240
301
(1) (-3)+ (-3) (2)+ (2) (1) 7 2 3
14 2 10
3 10 7
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Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 8
Por lo tanto, C=AB=
7103
10214y es de orden 2 3
MATRICES ESPECIALES
1. Matriz Transpuesta: Dada una matriz A de orden nm , se llama matriz
transpuesta de A, se denota tA , a la matriz mn cuyos elementos se obtiene
intercambiando las filas por la columnas.
Ejemplo:
032
142
263
A , la transpuesta es tA =
012
346
223
2. Matriz triangular. Dada una matriz cuadrada A entonces: Diremos que A es una
matriz:
- Matriz Triangular Superior: Es aquella matriz cuadrada A cuyos elementos
situados debajo de la diagonal principal son todos ceros. Esto es 0ija , si i>j
3000
2600
1220
2331
A
- Matriz Triangular Inferior: Es aquella matriz cuadrada A cuyos elementos
situados por encima de la diagonal principal son todos ceros. Esto es 0ija , si i
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Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 9
Una matriz cuadrada de la forma D=[ ijd ] Se representa usualmente por:
D=diag( nndddd ,,,, 332211 )
Ejemplo:
D=
100
060
003
D=diag(3,-6,-1)
4. Matriz Escalar: Llamaremos matriz escalar a una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
4 0 0
0 4 0
0 0 4
E
5. Matriz Identidad: Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal
principal son todos uno y los otros cero, recibe el nombre de la matriz identidad o matriz
unidad. Se denota como nI
nI =
jisi
jisi
,0
,1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
6. Matriz simtrica: Dada una matriz cuadrada A, diremos que A es una matriz simtrica
si es igual a su traspuesta, es decir, si (el elemento ij jia a )
Ejemplo:
1 2 0
2 4 7
0 7 5
A
y
1 2 0
2 4 7
0 7 5
TA
Por tanto, A es simtrica
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 10
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo 1: Si
01
34
31
A B=
150
126
93
112
514C . Hallar la matriz D=
CBA
3
12
Solucin:
Al multiplicar, por 2 y por 1
3 a la matriz A y B respectivamente, se tiene que
1 3 2 6
2 2 4 3 8 6
1 0 2 0
A
3 9 1 31 1
6 12 2 43 3
0 15 0 5
B
Luego, al restar se tiene
BA
3
12
02
68
62 1 3
2 4
0 5
=
52
26
93
Por consiguiente, al multiplicar la matriz resultante por la matriz C, se tiene que
CBA
3
12 =
52
26
93
112
514
=
572
32828
6126
Ejemplo 2: Resolver la ecuacin 2
y
x-
4
3=5
4
5
Solucin:
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 11
De la ecuacin, 2
y
x-
4
3=5
4
5
Se obtiene que
42
32
y
x=
20
25
Luego, por igualdad de matrices se tiene
2x-3=25 y 2y-4= -20
Por tanto, al resolver se obtiene x=14 y y=-8
Ejemplo 3: Si A=
21
31 C=
y
x B=
25
0
y si se cumple que AC=B, entonces hallar
x+y
Solucin:
Se sabe que, AC=B
21
31
y
x=
25
0
Luego, al multiplicar matrices se obtiene que
yx
yx
2
3=
25
0
Entonces, 3 25x y
y 02 yx
Por consiguiente, al resolver se tiene que 10 y y 5x
Por tanto, x+ y 15
Ejemplo 4: Dadas las matrices
1 1 2
1 2 4
2 3 1
A
4 1 0
3 2 1
0 5 2
B
1 3
0 4
2 1
C
y
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 12
1 1 2
1 2 5D
. Calcular:
a) 2( )tCD A b) 3 33A I I B
Solucin:
a) Al multiplicar CD =
1 3
0 4
2 1
1 1 2
1 2 5
=
2 7 13
4 8 20
1 4 1
, y luego calculando su
traspuesta se tiene
2 4 1
7 8 4
13 20 1
tCD
De otro lado, 2A
1 1 2
1 2 4
2 3 1
1 1 2
1 2 4
2 3 1
=
4 9 8
5 15 10
1 11 17
Luego, al restar se tiene entonces que
2( )tCD A =
2 4 1
7 8 4
13 20 1
-
4 9 8
5 15 10
1 11 17
=
2 5 7
2 7 14
12 9 18
b) Al multiplicar por 3 y luego restarle la matriz identidad se tiene que: 33A I
1 1 2
3 1 2 4
2 3 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
3 3 6
3 6 12
6 9 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
2 3 6
3 5 12
6 9 2
De otro lado, 3I B
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4 1 0
3 2 1
0 5 2
=
3 1 0
3 1 1
0 5 3
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 13
Por tanto, 3 33A I I B =2 3 6
3 5 12
6 9 2
3 1 0
3 1 1
0 5 3
=
15 31 21
6 68 41
45 13 15
Con frecuencia, en economa e ingeniera es conveniente utilizar matrices en la formulacin
de problemas y exhibir datos.
Ejemplo 5: Un fabricante que manufactura los productos A, B y C, podra representar las
unidades de mano de obra y material involucrados en una semana de produccin de estos
artculos, como se muestra en la siguiente tabla.
Producto
A B C
Mano de
obra 10 12 16
Material 5 9 7
De manera ms sencilla, estos datos pueden representarse en una matriz, dado por:
10 12 16
5 9 7
A B C
materialA
mano de obra
Ejemplo 6: Vector de costos: Suponga que los precios, en dlares por unidad, para los
productos A, B, C estn representados por el vector de precios
Precio
2 3 4
A B C
P
Si las cantidades (en unidades) de A, B, y C que se compran estn por el vector columna
11
5
7
Q
Unidades de A
Unidades de B
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 14
Entonces, el costo total en dlares de las compras est dado por la entrada en el vector costo
PQ
432PQ
11
5
7
= ]73[)11.4()5.3()7.2(
EJERCICIOS PROPUESTOS
NIVEL I
1.- Escribir explcitamente la matriz A.
ij
ij 2 3ij
a ij , i jA A /
a i j i j
2.-Si: 2 3 5
1 4
m n p q
m n p q
, hallar (m+p)+(2n-q)
3.-Sean las matrices:
2 2
x 1A
5 2
2 2
6 zB
w 2
.Si A y B son iguales, hallar x2 + z
2 + w
2
4.- Dada la matriz:
[
]
Calcular:
y
5.-Halle el valor de . .x y u v , si las matrices A y B son iguales:
2 2
x y u vA
x y u v
[
]
6.-Dadas las matrices:
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 15
(
) (
) (
)
- Qu clase de matrices son?
- Calcular:
-A B + C
A + B C
3A + C2
7.- Dada la matriz:
[
]
Calcular: A2+A
8.- Sean las matrices:
[
], 2 2
y x yB
z y 2w z
Encuentra w, para que A y B sean iguales.
9.- Las matrices A , B ,C , D , E , F y G se definen como sigue:
1 4
3 8A
15 9
2
32 4
2
B
71 1
3
5 0 1
C
6 2D 1
2
1
E
1 0 0
0 1 0
0 0 1
F
2 1 0
5 1 0
3 0 1
G
Efecta la operacin algebraica indicada, o explica por qu no se puede efectuar.
1. B + 2C 2. 4C - B 3. B C 4. 3C B 5. DA 6. BF
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 16
7. ( )DA B 8. CD 9. 2A 10. 2B 11. ( )B F FE
10.-Dadas las matrices:
4 3 2 0 1 2 7 4
2 8 2 , 4 10 , 1 0 1
1 2 1 0 4 5 1 2
A B C
.
Calcular: 3A+2C, AC, CA, AB.
NIVEL II
1. Calcular: 2 3A A I siendo: 4 2 1 0
,1 1 0 1
A I
2. Calcule la matriz 2 4( )B A C si: 0 5 4 3 9 3
, ,2 1 7 6 0 4
A B C
3. Dadas las matrices:
2 1 3
4 0 4
5 3 6
A
,
9 3 5
3 7 2
3 1 0
B
, 4 5 7
,3 2 1
C
0 2
1 8
2 1
D
. Hallar: AB, CA, 5A+3B, AB2, CB, CD, 2A , 2B , 6A+ 2A , 2B -AB.
4. Resuelve la ecuacin matricial para la matriz incgnita X o explica por qu esa ecuacin no tiene solucin. Sean
2 5
3 4A
1 7
4 10B
0 9
1 0
0 3
C
1 2
3 2
1 0
D
a) 2X A B b) 3X B C
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 17
5. Sean las matrices:
1 0 6 1
12 4 0
2
A
1 7 9 2B
1
0
1
2
C
Indica cules de los siguientes productos estn bien definidos, y calclalos.
BAC CAB BAC
BCA ABC CBA
7. Determinar los valores de x, y y z.si:
2 6 00
3 4 8 9
x y x y
y z y z
8. Encontrar los valores de x, y, z y w:
( 3) 2 1 1
4 4 (5 ) 4
x y x x w
z y x y
9. Dadas las matrices:
1 0 3 1 0 3
3 4 2 y B 3 4 2
7 8 3 7 8 4
A
a) De las matrices A y B que elemento se expresa a32?
b) Es B una matriz cuadrada?
c) Encuentre la transpuesta de la matriz A?
d) Es B=A?
e) La matriz A es igual a la matriz B?
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 18
f) Es BT=A?
9. Dada la matriz
4 2 4
2 10 5
4 5 21
A
, hallar la matriz triangular inferior B, tal que: BBT=A
10. Calcular todos los productos posibles entre las matrices:
(
) ( ) (
)
Adems, calcula
NIVEL III
1.-Ventas. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de dlares) para la Walbash Company en 2002 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas(en miles de dlares)
para la misma compaa en 2003 en las mismas ciudades
450 280 850
400 350 150
Chicago Atlanta Memphis
MayoreoA
Menudeo
375 300 710
410 300 200
Chicago Atlanta Memphis
MayoreoB
Menudeo
a) Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos aos.
b) Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad.
2.-Encuestas de opinin. Una encuesta de 3320 personas revel que de los encuestados
registrados como demcratas, 843 aprobaron el desempeo del presidente, 426 no lo
hicieron y 751 no opinaron. De los republicanos registrados, 257 aprobaron el desempeo
del presidente, 451 no lo hicieron y 92 no opinaron. De los registrados como
independientes, 135 aprobaron, 127 no lo hicieron y 38 no opinaron. De los restantes
encuestados, que no estaban registrados, 92 aprobaron, 64 no aprobaron y 44 no opinaron.
Represente estos datos en una matriz de 3x4.
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 19
3.-Pago de deudas. ALCO, Inc., est adquiriendo Ace, Baker y Champ y el comprador debe
pagar su deuda corriente. La siguiente matriz da el importe de la deuda y los trminos para
las compaas que se adquieren.
30 en 60 dias
$40 000 $60 000
ker $25 000 $15 000
$35 000 $58 000
Adeudado en dias Adeudado
Ace
A Ba
Champ
a) Si ALCO paga 35% de la cantidad adeudada en cada cuenta, escriba la matriz que da la deuda restante.
b) Suponga que ALCO, Inc., decide pagar 80% de todas las cuentas adeudadas en 30 das y aumentar el valor de la cuenta adeudada a 60 das en 20%. Escriba la matriz
que da las deudas despus de efectuar estas transacciones.
4.-Una pequea cadena tiene restaurantes de comida rpida en Cajamarca, Trujillo y
Chiclayo. Slo vende hot dogs, hamburguesas y pollo. Cierto da, las ventas se
distribuyeron de acuerdo a la siguiente matriz.
Cantidad vendida
Cajamarca Trujillo Chiclayo
Hamburguesas 4000 1000 3500
400 300 200
700 500 9000
A
Hot dogs
Pollo
El precio de cada artculo se expresa con la siguiente matriz.
Hamburguesa Hot dog Pollo
$0,90 $0,80 $1,10 B
(a) Calcula el producto BA . (b) Interpreta los elementos de la matriz producto BA .
5.-El inventario de una librera universitaria es:
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 20
Pasta dura: libros de texto, 5280; ficcin, 1680; no ficcin 2320; referencia, 1890
Rstica: ficcin, 2810; no ficcin, 1490; referencia, 2070; libros de texto, 1940.
El inventario de una librera orientada al mercado preparatoriano es:
Pasta dura: libros de texto, 6340; ficcin, 2220; no ficcin 1790; referencia, 1980
Rstica: ficcin, 3100; no ficcin, 1720; referencia, 2710; libros de texto, 2050
a) Represente el inventario de la librera universitaria como una matriz A. b) Represente el inventario de la librera preparatoriana como una matriz B. c) Si las dos deciden unirse, escriba una matriz C que presente el inventario total de la
nueva librera.
6.-Cinema Center tiene cuatro salas, de la I a la IV. El precio de cada funcin es de $2 por
nio, $3 por estudiante y $4 por adulto. La asistencia a la matine del domingo est dada
por la matriz
Nio Estudiante Adulto
225 110 50
75 180 225
280 85 110
0 250 225
Sala I
Sala IIA
Sala III
Sala IV
Escriba un vector columna B que represente el precio de la entrada. Luego, calcule
AB, el vector columna que representa el ingreso bruto de cada sala. Por ltimo, en-
cuentre el ingreso total por concepto de entradas en dicha matine.
7.-Guillermo y Miguel tienen acciones de la bolsa, dadas por la matriz
Miguel
Guillermo
0400200100
200100300200
A
TRWIBMGMBAC
Al cierre de operaciones en cierto da, los precios de las acciones estn dados por la
matriz
TRW
IBM
GM
BAC
B
82
98
48
54
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 21
Calcule AB, y explique el significado de las entradas de la matriz AB.
8.-B y B, S.A. de C.V., empresa de bienes races construye casas en tres estados. El
nmero proyectado de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada
estado est dado por la matriz
Modelo I II III IV
60 80 120 40 . .
20 30 60 10 .
10 15 30 5 .
N Y
A Conn
Mass
Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25000 $30000, respectivamente,
para cada modelo de casa I al IV.
a) Escriba una matriz columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa. b) Encuentre la utilidad total esperada por B y B, SA en cada estado, si se venden
todas las casas.
9.-Tres asesores en redes, Alan, Mara Esteban, recibieron un bono a fin de ao, de $10
000 cada uno, y decidieron invertir en un plan de retiro 401K auspiciado por su empresa.
Bajo este plan, cada empleado puede colocar sus inversiones en tres fondos, un fondo
accionario I, un fondo de desarrollo II, y un fondo global III. Las distribuciones de las
inversiones de los tres empleados al principio del ao se resumen en la matriz A y los
rditos de los tres fondos despus de un ao estn dados por la matriz B:
4000 3000 3000
2000 5000 3000
2000 3000 5000
I II III
Alan
A Mara
Esteban
0.18
0.24
0.12
I
B II
III
Cul empleado obtuvo los mejores rditos en su inversin para el ao en cuestin?
Quin obtuvo los peores rditos?
10.-Cindy realiza llamadas regulares de larga distancia a Londres, Tokio y Hong Kong.
Las matrices A y B dan las longitudes (en minutos) de sus llamadas en horas pico y no
pico, respectivamente, a cada una de estas ciudades durante el mes de junio.
Londres Tokio Hong Kong
A= 80 60 40 horas pico
Londres Tokio Hong Kong
B= 300 150 250 horas no pico
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 22
Los costos de las llamadas para los periodos pico y no pico en el mes en cuestin estn
dados, respectivamente, por las matrices
0.34
0.42
0.48
hora pico
Londres
C Tokio
Hong Kong
0.24
0.31
0.35
hora no pico
Londres
D Tokio
Hong Kong
Calcule la matriz AC + BD y explique lo que representa
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 23
DETERMINANTE
DEFINICIN: El determinante es un nmero real o escalar asociado a una matriz, y su
clculo depende del orden de la matriz cuadrada en anlisis.
A , det(A), D(A)
A toda matriz cuadrada nA le asociamos un nmero real llamado determinante, nA ,
simbolizado de la forma:
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
...
...
... ... ... ... ...
...
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a aA
a a a a
Dicho nmero es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Segn el orden
y tipos de determinantes estudiaremos ciertos mtodos para hallar el determinante.
CALCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Matriz de orden 2: Si
2221
1211
aa
aaA es una matriz cuadrada de orden 2, el determinante
se define como:
A = 21122211 aaaa
Matriz de orden 3: Si
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
D(A)= 11a3332
2322
aa
aa- 12a
3331
2321
aa
aa+ 13a
3231
2221
aa
aa
REGLA DE SARRUS
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 24
Un mtodo prctico para calcular determinantes de tercer orden, es la regla de Sarrus,
que consiste en repetir las dos primeras columnas y escribirlas en el mismo orden a
continuacin de la tercera columna.
El determinante se calcula sumando los productos de las componentes que estn en
las flechas que apuntan hacia la derecha y restndolos los productos de las
componentes que estn en las flechas que apuntan hacia la izquierda.
333231
232221
131211
)(
aaa
aaa
aaa
AD
31
21
11
a
a
a
32
22
12
a
a
a
(-) (-) (-) (+) (+) (+)
Entonces D(A) = 11 22 33 12 23 31 13 21 3 13 22 31 11 23 32 12 21 332a a a a a a a a a a a a a a a aa a
11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Ejemplo: Dada la matriz
1154
932
1021
A . Hallar el determinante de A.
Solucin:
D(A) =
1154
932
1021
4
2
1
5
3
2
(-) (-) (-) (+) (+) (+)
D(A) =(1)(3)(11) + (2)(9)(4) + (10)(2)(5) (10)(3)(4) - (1)(9)(5) (2)(2)(11)
= -4
Matriz de orden n:
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 25
El clculo de determinantes de ciertas matrices se puede efectuar haciendo uso de la matriz
escalonada, para lo cual se tiene en consideracin lo siguiente:
Si A es una matriz triangular (superior o inferior) de orden n, entonces el | A | es igual al
producto de las componentes que pertenecen a la diagonal principal; es decir:
1000
5200
6750
0162
= (2)(5)(-2)(1) = -20
Propiedades de los determinantes:
- Si en un determinante se cambian entre s, dos filas o columnas, el determinante cambia de signo pero no en valor.
- Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un nmero, el valor del determinante queda multiplicado por la inversa de dicho nmero.
- Si todos los elementos de una fila o columna son cero, el determinante es cero. - Si dos filas o columnas son iguales el determinante es cero - Si dos filas o columnas son proporcionales el determinante es cero - Si una fila o columna se le suma un mltiplo cualquiera de otra fila o columna, el
determinante no vara.
- El determinante no vara si se cambian sus filas por sus columnas, es decir: tA A
- El determinante del producto de dos matrices de orden n es el producto de sus determinantes.
Esto es, AB A B
Por ejemplo si 1 3
2 4A
y 1 2
0 3B
Entonces AB A B = (-2)(3 )= -6
Clculo del determinante por el mtodo triangularizante.
Cuando calculamos el determinante de matrices triangulares o diagonales observamos
que se verifica que el resultado coincide con el producto de los elementos de la diagonal
principal.
Con las propiedades anteriores podemos llegar a obtener un determinante que sea
triangular y aplicar seguidamente el contenido expresado arriba:
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 26
Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz
1 2 1 2 1
0 0 1 1 1
1 1 0 0 0
0 0 1 1 2
1 2 2 1 1
A
Solucin:
1 2 1 2 1
0 0 1 1 1
1 1 0 0 0
0 0 1 1 2
1 2 2 1 1
A
1 3
1 5
( 1)
( 1)
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1 2 1
0 0 1 1 2 0 0 1 1 2
1 2 2 1 1 0 0 1 1 0
F F
F F
Al intercambiar las dos filas (el determinante cambia de signo)
2 3
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 2 0 0 1 1 2
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
F F
3 4
3 5
( 1)
( 1)
1 2 1 2 1
0 1 1 2 1
0 0 1 1 1
0 0 0 0 1
0 0 0 2 1
F F
F F
Cambiamos cuarta y quinta fila para dejarla triangular (el determinante cambia de
signo)
4 5
1 2 1 2 1
0 1 1 2 1
( )( ) (1)( 1)(1)( 2)(1) 20 0 1 1 1
0 0 0 2 1
0 0 0 0 1
F F
-
Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 27
EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcular los siguientes determinantes:
1.
4 3 9
3 7 1
0 0 0
2.
5 2 1
4 6 7
3 1 8
3.
4 2 1
7 10 5
3 0 1
4.
0 4 6
7 0 11
5 1 0
5.
1 2 1
2 1 1
1 1 1
6.
2 1 3
2 0 1
4 0 5
7.
300 0 200
0 100 200
400 0 100
8.
1 4 2 9
0 1 10 4
0 0 1 6
0 0 0 1
9.
10 0 0 0
0 100 0 0
0 0 40 0
0 0 0 30
10.
3 1 0 2
0 1 5 1
4 4 3 2
1 0 5 1
11.
0 1 2 2
4 1 5 2
3 8 2 0
1 2 4 2
12.
2 0 0 1
0 1 0 3
0 0 1 2
1 0 3 0
13.
1 0 0 0 1
0 2 1 0 0
0 0 3 2 0
1 0 0 2 0
0 1 0 0 3