SECCIONES CÓNICAS:LA PARÁBOLA

Prof. Carlos A. BlancoI.E.S. María de Molina (Zamora)

Eje

SECCIONES CÓNICAS (I)• Se define un cono

como una superficie de revolución que se obtiene al girar una recta llamada generatriz alrededor de una recta secante a ella llamada eje.

• El punto de corte de ambas rectas es el vértice del cono.

Generatriz

Vértice

SECCIONES CÓNICAS (II)Al intersecar un cono con un plano que no pase por el vértice, se obtienen las diferentes cónicas no degeneradas. Llamamos al ángulo que forma la generatriz con el eje. Entonces, si es el ángulo que forma el plano con el eje, se tiene que:

1. Si el plano es perpendicular al eje se obtiene una circunferencia.

2. Si se obtiene una elipse.

3. Si el plano es paralelo a la generatriz se obtiene una parábola.

4. Si se obtiene una hipérbola.

CircunferenciaElipse

ParábolaHipérbola

Imagen realizada a partir de otra tomada de es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica

SECCIONES CÓNICAS (III)Un experimento que se puede realizar es apuntar con una linterna a una pared en algo de oscuridad. La forma que adoptará la luz de la linterna contra la pared, según la inclinación que tenga la linterna, irá formando las distintas secciones cónicas.

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de

PARÁBOLA DEFINICIÓN

A la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco se la llama eje de la parábola

Al punto de corte del eje con la parábola se le llama vértice

y de un punto fijo llamado foco

una recta fija llamada directriz

Eje

Vértice

Foco

Directriz

Se define la excentricidad de la parábola como el cociente entre las distancias de un punto P al foco y a la directriz, y por tanto

Para calcular la ecuación de la parábola, consideremos que la ecuación de la directriz es x = p/2 y que las coordenadas del foco son (p/2,0)

PARÁBOLA ECUACIÓN

Un punto que esté en la parábola debe cumplir

ECUACIONES DE LA PARÁBOLASuponiendo que el vértice es el origen de coordenadas, tenemos las siguientes posibilidades.

Si el vértice es el punto entonces es:

( 𝑦− 𝑦 0 )2=2𝑝 (𝑥−𝑥0 )Intercambiando la x con la y según la dirección y siendo p positivo o negativo según la orientación

𝑦 2=2𝑝𝑥 𝑦 2=− 2𝑝𝑥 𝑥2=2𝑝𝑦 𝑥2=−2𝑝𝑦

CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA

• Para dibujar la parábola, basta con trazar circunferencias centradas en el foco, y rectas paralelas a la directriz que disten de dicha directriz la longitud del radio de las circunferencias.

• Los puntos de intersección de las circunferencias y las rectas serán los puntos de la parábola.

LA PARÁBOLA CON ELMÉTODO DEL JARDINERO

• Deslizamos un cartabón a lo largo de la directriz.• En la parte superior atamos un extremo de un hilo de la

misma longitud que el cartabón y el otro extremo lo atamos al foco de la parábola.

• Mantenemos el hilo tenso con un lapicero.• La curva que se obtiene al deslizar es una parábola.

USOS DE LA PARÁBOLALa parábola tiene la siguiente propiedad sorprendente:• Un rayo paralelo al eje de simetría se refleja en la superficie

directamente hacia el foco y viceversa.

Así las parábolas se pueden usar para:• Antenas (antena parabólica)• Radares• Concentrar los rayos solares para calentar un punto• Los espejos dentro de faros y linternas• etc

EJERCICIOS DE PARÁBOLASHay dos tipos de ejercicios de parábolas:

El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de la parábola a partir de unos datos determinados

El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los elementos más destacados de la parábola y realizar un dibujo aproximado a partir de la ecuación.

En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la ecuación de la parábola en forma reducida (más fácil)

Ó puede ser que nos den la ecuación de la parábola en forma desarrollada (más difícil)

EJERCICIO 1 DE PARÁBOLASHalla la ecuación de la parábola que tiene su foco en el punto de F = (3,2) y su directriz es d 2x – 3 = 0

Para calcular la ecuación necesitamos conocer el vértice y el parámetro El vértice será el punto intermedio entre el foco y la directriz.

𝑝=𝑑 (𝐹 ,𝑑 )=|2 ·3 −3|√22+02

=32

Observando la posición de foco y directriz, y la distancia entre ambos, el vértice es el punto

La ecuación de la parábola es entonces

d

V

F

EJERCICIO 2 DE PARÁBOLASPara la parábola de ecuación halla las coordenadas del foco, del vértice y de la directriz.

A la vista de la ecuación, la parábola es de la forma:Asimismo, a la vista de la ecuación, ya tenemos tanto el vértice como el parámetro:

y

El Foco estará una unidad por debajo del vértice:

𝐹=(− 3,1− 1 )=(− 3 ,0 )La directriz, al ser paralela al eje x, tendrá por ecuación , siendo k una unidad mayor que la ordenada del Vértice.

𝑦=1+1⇒ 𝑦=2

EJERCICIO 3 DE PARÁBOLASPara la parábola de ecuación halla las coordenadas del foco, del vértice y de la directriz.

Completamos cuadrados para obtener la ecuación reducida

A la vista de la ecuación, deducimos que: y

El Foco estará dos unidades a la izquierda del vértice:

𝐹=(2 −2,1 )=(0 ,1 )La directriz, al ser paralela al eje y, tendrá por ecuación , siendo k dos unidades mayor que la abscisa del Vértice.

𝑥=2+2⇒𝑥=4

(𝑦−1 )2=− 8 (𝑥−2 )

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

• En las siguientes imágenes se puede observar que las secciones cónicas cumplen las definiciones como lugares geométricos.

• Las imágenes proceden de la página http://www.aulamatematicas.org/Conicas/ConicasSeccionesCono.htm

• Para saber más sobre las esferas de Dandelin, clic aquí

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

𝑃𝐹=𝑃𝑀=𝐻𝑇=𝑅𝑄=𝑃𝐷