matemÁticas unidad 4 grado 10º cónicas y repaso de...

1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física

Universidad de Antioquia

1

MATEMÁTICAS

UNIDAD 4

GRADO 10º

Cónicas y repaso de funciones



2

LOGRO:

Reconoce la formación y características básicas de las secciones cónicas

y de las funciones y tipos de funciones.

INDICADORES DE LOGRO:

Reconoce la formación de la circunferencia a partir de un corte

transversal del cono.

Identifica la ecuación canónica de la circunferencia.

Reconoce la ecuación que representa una elipse.

Dada la ecuación de la elipse ubica su centro y su eje mayor en el

plano cartesiano.

Gráfica una parábola según la ecuación dada

Reconoce las partes de la hipérbola

Halla la ecuación de la hipérbola dados los focos y los vértices

Dada la ecuación de la hipérbola halla las partes de la misma.

¿Y QUE TIENE QUE VER EL CONO CON LA

MATEMÁTICA?



3

Reseña histórica

Probablemente, las secciones cónicas fueron investigadas por primera

vez por el geómetra griego Monaechmus en el siglo IV a.C., y fueron

también estudiadas por otros matemáticos griegos, entre ellos Apolonio,

cuyos estudios fueron exhaustivos.

Una sección cónica es una curva de intersección de un plano con un

cono recto circular de dos hojas; tenemos cuatro tipos de curvas:

CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA.

Ahora bien, pero qué es una cónica, es el conjunto de puntos “P” del

plano tales que la distancia no dirigida de “P” a un punto fijo está en

razón constante a la distancia no dirigida de “P” a una recta fija que

no contiene al punto fijo. Esta razón constante en la definición anterior

se llama excentricidad. Esto suena un poco complicado pero no te

preocupes que en adelante será un poco más fácil.

Las cónicas tienen innumerables aplicaciones en las ciencias y en la

tecnología; de allí la gran importancia que tiene conocerlas y resolver

problemas donde se apliquen cada una de ellas.

Las secciones cónicas son denominadas lugares geométricos. Un lugar

geométrico es el conjunto de puntos del plano xy que cumple o

satisface una o más condiciones, de acuerdo con esta definición se

puede llamar lugar geométrico a una gráfica que depende de una

función y que a partir de dicha función (condición) se conforma



4

perfectamente al establecer sus coordenadas (x,y) y ubicar estos puntos

en el plano.

ACTIVIDAD:

Responde al siguiente cuestionario sin necesidad de consultar,

solamente con el conocimiento que tienes hasta la fecha:

¿Qué es para ti una circunferencia?

¿Cuál es la diferencia entre circunferencia y círculo?

Escribe al menos 3 ejemplos de circunferencia y 3 de círculo

¿Dónde has escuchado la palabra parábola antes y cuál sería su

definición?

¿Crees que la parábola que conoces es la misma de la antena

parabólica?

¿Qué entiendes por elipse y por hipérbola?

¿Has escuchado antes estos términos?

TRABAJEMOS EN NUESTRO

APRENDIZAJE



5

CIRCUNFERENCIA

Decimos que la circunferencia es una sección cónica porque resulta de

hacer un corte transversal o cruzado con un plano a través de un cono,

quedando como resultado de la intersección entre el cono y el plano que

lo corta como lo muestra la siguiente figura.

Mientras que el círculo es una superficie plana y al ser una figura plana

tiene dos dimensiones y por lo tanto tiene área, la circunferencia se

restringe a ser el perímetro del círculo.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se

caracterizan por tener una misma distancia o distancia constante a un

punto fijo C(h,k), llamado centro de la circunferencia.

La circunferencia son todos los puntos que están a una misma distancia

de un punto llamado centro, esa distancia se llama radio y la recta que

va de un punto a otro pasando por el centro se llama diámetro.

Aprendamos algo

nuevo



6

R = radio

C(h,k) = Centro

P(x,y) = Punto

Cualquiera de

Circunferencia.

Vamos a obtener la

ECUACIÓN CANÓNICA de circunferencia utilizando la definición de

Distancia entre dos puntos:

R = d(C, P) distancia entre el centro C y el punto P.

Esto es:

d(C,P) = 22 )()( kyhx R = 22 )()( kyhx

2222 ))()(( kyhxR

R2 = (x-h)2 + (y-k)2

Ecuación canónica de Circunferencia de centro C(h, k) y radio R.



7

Ejemplo 1:

(x – 1)2 + (y - 3)2 = 16; es la Ecuación de una Circunferencia de centro

C(1,3) y radio R = 4 porque el radio sería la raíz cuadrada de 16.

Ejemplo 2:

x2 + (y – 4)2 = 7 es la Ecuación de una circunferencia de centro C(0, 4)

y Radio R = 7 .

Ejemplo 3:

Si el centro de la circunferencia es C(0,0) y radio R = 5; la Ecuación es:

x2 + y2 = 25

ACTIVIDAD:

Halla en tu cuaderno la ecuación de las siguientes circunferencias:

a) C(0,0) y R=6

b) C(1,1) y R=7

c) C(4,2) y R=4

d) C(3,-4) y P(7,9)

e) C(-2,-3) y P(2,2)

f) Determinar la Ecuación General de la Circunferencia si los

extremos del diámetro son A(-2, 4) y B(0, -8)


APRENDIZAJE



8

ELIPSE

Es el lugar Geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de

distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (focos) es constante. (Ver grafica)

La elipse es una sección cónica famosa en el mundo porque Johannes

Kepler descubrió que los giros que tienen los planetas del sistema solar

alrededor del sol tienen una trayectoria con esta forma, elíptica.

La elipse es una circunferencia deformada, achatada o alargada que

cumple con la característica de que si se toma cualquier punto de ella y

se suman las distancias desde ese punto hasta cada uno de los focos, el

valor siempre será igual a la distancia que existe entre un vértice y el

otro.

En la gráfica los puntos “F” son los focos y la recta que pasa por los

focos se llama eje focal. Los puntos de corte del eje focal con la elipse

se llaman vértices y están ubicados en la gráfica en los puntos (-a,0) y

(a,0). El segmento del eje focal comprendido entre los vértices se llama

eje mayor y su punto medio se llama centro.

Aprendamos algo

nuevo



9

d(P,F1) + d(P,F2) = d(A1, A2)

Siendo (x, y) las coordenadas de un punto de la elipse y recordemos

que

es la fórmula de la distancia de (x,y) hasta el f1

y es la fórmula de la distancia de (x,y) hasta el f2

Donde: C(h, k) es el centro; A1, A2, B1, B2 Son los Vértices; F1, F2

Focos. L distancia focal es “c” y c2 = a2 – b2

21 AA = 2a Eje Mayor; 21FF = Eje Focal; 21BB = Eje Menor.

Ejemplo:

Dada la elipse con vértices en (0,-5) y (0,5); y focos f1(0,-2) y f2(0,2),

decir si el punto (3,4) pertenece a la elipse.

Solución:

Dado que los focos son f1(0,-2) y f2(0,2), podemos deducir que c=2 y

dado que los vértices en (0,-5) y (0,5), podemos deducir que a = 5.

Entonces podemos aplicar la fórmula

Averigüemos si (3,4) pertenece reemplazando en la fórmula:

+ = 2*5

= + = 10

= + = 10 como esto es notablemente falso, podemos concluir

que el punto (3,4) no pertenece a la elipse.



10

ACTIVIDAD:

Dada la elipse con vértices en (0,-5) y (0,5); y focos f1(0,-2) y f2(0,2);

demuestre cuál de los siguientes puntos pertenece a la elipse:

a) (5,6)

b) (4,-3)

c) (3,3)

d) (0,3)

e) (4,3)

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE

CASO I: Cuando el eje focal está paralelo al eje x.

12

2

2

2

b

ky

a

hx


APRENDIZAJE

Aprendamos algo

nuevo



11

CASO II: Cuando el eje focal está paralelo al eje y.

12

2

2

2

a

ky

b

hx

CASO III: Cuando a = b la elipse se transforma en una circunferencia de

radio “a”.

CASO IV: Se da cuando h = k = 0 y al reemplazar estos valores en la

ecuación

12

2

2

2

a

ky

b

hx

Obtenemos una elipse con centro en el origen (0,0).

Observación: El centro es C(h, k) a2 y b2 están relacionadas con el eje

mayor y menor respectivamente por lo tanto para identificar los dos

casos, solo tienes que ver con quien está el mayor denominador (con la

variable x o con la variable y), el valor de a2 siempre es mayor que el de

b2 por eso la elipse siempre abrirá en el eje que en la ecuación esté

encima de a2.

Ejemplo:

La Ecuación 14

1

9

322

yx Corresponde a una elipse de centro

C(3, -1) y el eje mayor paralelo al eje “X” o eje de las abscisas.



12

Ejemplo 2:

La ecuación corresponde a una elipse de centro

C(-4,1) y el eje mayor es paralelo al eje “y” o eje de las ordenadas.

ACTIVIDAD:

Escribe 5 ecuaciones de elipses que abran en el eje X y 5 que abran en

el eje Y.

Ecuaciones que abren en el eje X Ecuaciones que abren en el eje Y


APRENDIZAJE



13

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

Viene dada por Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 donde A ≠ B pero de igual

signo.

Donde el centro está en (h,k), “a” es la distancia del centro a los

vértices de la elipse ubicados en el eje focal A1 y A2, “b” es la distancia

del centro hasta los vértices B1, B2 ubicados en el eje menor y “c” es la

distancia del centro hasta los focos F1, F2.

Si nos ubicamos en uno de los vértices del eje menor de la elipse,

podremos observar que la distancia de “b” a cualquiera de los focos es

la misma por lo que podemos deducir que dicha distancia es “a” y

utilizando el teorema de Pitágoras se puede demostrar que a2=b2 + c2 y

despejando hallamos que c2=a2-b2

Ejemplo 1:

La Ecuación 14

1

9

322

yx Corresponde a una elipse de centro

C(3, -1) y el eje mayor paralelo a las abscisas.

Y la distancia focal sería

c2=a2-b2 c2=9-4 c2=5 c=

Ejemplo 2:

Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene

por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0

Aprendamos algo

nuevo



14

Solución:

La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:

Completando el cuadrado perfecto tenemos:

Y ahora se factoriza y se multiplica el “-4” por “4” haciendo la propiedad

distributiva y simplificando para que quede:

Ahora sumamos el “-16” y el “-1” y los pasamos a sumar en el otro

término de la ecuación quedando

Y al dividir toda la ecuación por 4 obtenemos

Esta última ecuación corresponde a la

elipse cuyo centro es el punto C(2, -1),

semiejes a = 1 y b = 2. Como a < b, el

eje focal es paralelo al eje y y tiene por

ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.).

Los vértices son los puntos V1(2, 1),

V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).



15

Como , se tiene que los focos están localizados en los

puntos y .

ACTIVIDAD:

Determina en las siguientes elipses si el eje mayor es paralelo al eje Y o

al eje X de la misma manera como se realizará en el siguiente ejemplo.

a. 25X2+4y2-400=0

Solución:

Despejemos la ecuación pasando a sumar -400 al otro lado del igual

25X2+4y2=400, ahora dividamos toda la ecuación por 400.

Quedando como resultado

De donde podemos deducir que es una elipse de centro (0,0) y que

el eje mayor es paralelo al eje Y.

b. 2X2+y2-1=0

c. 4X2+25y2-100=0

d. 7X2+5y2-350=0


APRENDIZAJE



16

e. 8 X2+y2-16=0

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a

una misma distancia de un punto fijo llamado foco y a una recta fija

llamada directriz.

La parábola resulta de realizar un corte diagonal en un semicono (medio

cono), siendo la parábola la intersección entre el plano y el semicono

como lo muestra la figura.

PARTES DE LA PARABOLA:

Eje de simetría: en general, un eje de simetría de una función o de

una figura cualquiera es una recta que divide a la figura en dos partes

iguales de manera que si doblamos el papel por dicha recta, las dos

partes de la figura se superponen.

Aprendamos algo

nuevo



17

Foco: Es un punto perteneciente al eje de simetría cuya distancia a

cualquier punto de la parábola es igual a la distancia de ese punto a una

recta llamada directriz (ver la figura anterior).

Vértice: Es el punto más bajo del eje de simetría de una parábola

positiva o que abre hacia arriba y es el punto más alto de una parábola

negativa o que abre hacia abajo.

ESTUDIAREMOS CUATRO CASOS DE LA ECUACIÓN CANÓNICA DE LA

PARÁBOLA

CASO 1 CASO 2

Cuando la parábola abre hacia

arriba, cuya ecuación canónica

es:

(x – h)2 = 4p(y – k)

Donde C(h, k) es el centro de “p”

el parámetro.

ELEMENTOS:

V(h, k)

F(h, k+p)

Eje: x = h

Directriz: y = k - p

EJEMPLO: (x – 2)2 = 8(y – 3).

Cuando la Parábola abre hacia

abajo, cuya ecuación canónica

es:

(x – h)2 = - 4p(y – k)


el parámetro.

ELEMENTOS:

V(h, k)

F(h, k - p)

Eje: x = h

Directriz: y = k – p

EJEMPLO: (x – 3)2 = - 8(y – 1).



18

Ecuación de Parábola de vértice

V(2, 3)

4p = 8 p = 2 parámetro.

Foco:

F(h, k +p) = F(2, 3+2) = (2, 5)

Eje x = h entonces x = 2

Directriz y = k – p entonces y =

3 – 2 = 1

Veamos su Grafica.


V(3, 1)

-4p = -4 p = 1 parámetro.

Foco:

F(h, k +p) = F(3, 1 - 1) = (3, 0)

Eje x = h entonces x = 3

Directriz y = x + p entonces y =

1 + 1 = 2

Veamos su Grafica

CASO 3

CASO 4

Cuando la parábola abre hacia la

derecha, cuya ecuación canónica

Cuando la parábola abre hacia la

izquierda, cuya ecuación

0

2

4

6

8

10

-10 0 10

y

y

-80

-60

-40

-20

0

20

-40 -20 0 20 40

y

y



19

es:

(y – k)2 = 4p(x – h)


el parámetro.

ELEMENTOS:

V(h, k)

F(h+p, k)

Eje: y = k

Directriz: x = h - p

EJEMPLO: (y – 4)2 = 12(x – 1).


V(1, 4)

4p = 12 p = 3 parámetro.

Foco:

F(h+p, k) = F(1+3, 4) = (4, 4)

Eje y = 4

Directriz x = 1 – 3 entonces x =

3–2 = -2

canónica es:

(y – k)2 = - 4p(x – h)


el parámetro.

ELEMENTOS:

V(h, k)

F(h-p, k)

Eje: y = k

Directriz: x = h + p

EJEMPLO: (y – 3)2 = -8x


V(0, 3)

-4p = -8 p = 2 parámetro.

Foco:

F(h-p, k) = F(0-2, 4) = (-2, 3)

Eje y = 3

Directriz x = 0 + 2 entonces x

= 2

Veamos su Grafica.



20

Veamos su Grafica.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

Al desarrollar las ecuaciones canónicas, cualquiera que sea el caso

llegamos a una ecuación de la forma:

a) Ax2 +Cx +Dy + E = 0 o b) Ay2 +Cx +Dy + E=0

Ejemplo:

De la parábola y2 + 4y + 4x = 0 determina las coordenadas del vértice,

el foco, el L.R., la ecuación del eje y la ecuación de la directriz.

Solución:

Recordemos que para realizar la completación de cuadrados se debe

tomar el coeficiente de la variable lineal “y” o “x” según el caso, dividirlo

por 2, elevarlo al cuadrado, sumarlo y restarlo en la ecuación.

Si realizamos la completación de cuadrados y asociamos términos, la

fórmula nos queda.

(y2 + 4y + 4) - 4 = -4x

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 5 10 15 y

-20

-10

0

10

20

30

-60 -40 -20 0 20

y



21

Ahora factorizamos y despejamos sacando factor común:

(y + 2)2 = -4 (x – 1)

Ecuación de Parábola de vértice V(1, -2)

4p = -4 p = -1 parámetro.

Foco:

F(h+p, k) = F(1-3, 2) = (-2, 2)

I(h - p, k)=I(1 – (-1), 2) = (2, 2)

Eje y = 2

Directriz x = 1 – (-1) entonces

x = 1+1 = 2

ELEMENTOS:

V(h, k)

F(h+p, k)

I(h-p, k)

Eje: y = k

Directriz: x = h - p

ACTIVIDAD:

En los siguientes ejercicios identifica el caso que se aplica y halla lo que

se te indica en tu cuaderno:

1. Grafica la parábola cuya ecuación es (x+1)2=-4(y+2).

2. Grafica la parábola de ecuación (y2 - 6) + 8x = -25.

3. Determina la ecuación de la parábola de foco (4,-2) y directriz x = 2.


APRENDIZAJE



22

5. Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0,0), su eje es

el eje x y pasa por el punto (-4,-6).

6. Encuentra la ecuación de la parábola de foco (0,4) y directriz y+4=0.

7. Determina la ecuación de la parábola de foco (0,0) y vértice (-2,0).

8. Encuentra la ecuación de la parábola:

a) de vértice (1,4), eje paralelo al eje x y que pasa por el punto

(5,-2)

b) de eje paralelo al eje x, con vértice en (-2,-1) y de 4 unidades

de L.R.

HIPÉRBOLA

Hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano y

solamente aquellos, tal que el valor absoluto de la diferencia entre las

distancias a dos puntos del plano, llamados focos de la hipérbola, es

constante y menor que la distancia entre ellos.

Hace parte de las secciones cónicas porque también es resultado de un

corte transversal a un cono con un plano:

Aprendamos algo

nuevo



23

Las hipérbolas pueden abrir en el eje X o en el eje Y; es decir, pueden tener su eje

focal o eje donde se encuentran sus focos, paralelo al eje X o paralelo al eje Y y

de acuerdo con esta característica se establecen sus ecuaciones:

HIPERBOLA DE EJE FOCAL PARALELO AL EJE X

A continuación encontrarás la ecuación de la hipérbola que tiene el eje

focal paralelo al eje x, también encontrarás la forma de hallar cada una

de las partes de la parábola según los valores “a”, “b”, “c” y las partes

de la ecuación ordinaria.

Ecuación ordinaria:

Se reconoce principalmente por que el valor de “x” es positivo mientras

que el de “y” es negativo.

1b

)k–y(–

a

)h–x(2

2

2

2

( a > 0 b > 0 )



24

Centro: Es el punto que equidista (tiene igual distancia) de los focos

entre sí y de los vértices entre si, su ecuación está en el punto

C ( h , k )

Focos: Los focos de la hipérbola son dos puntos. Respecto de ellos,

permanecen constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a

cualquier punto de dicha hipérbola; es decir, si tomamos cualquier

punto perteneciente a la hipérbola y restamos la distancia del punto a

un foco con la distancia del punto al otro foco, el valor será el mismo

independiente de la ubicación de dicho punto. Los focos están ubicados

en los puntos F 1 ( h+c, k) y F 2 ( h–c, k) conociendo que el valor de “c”

se halla por medio de la ecuación: 22 bac , la distancia focal

(distancia entre los dos focos) es igual a 2 c.

Vértices: Los vertices de una hiperbola son los puntos donde la

hiperbola toca el eje focal y sus ecuaciones están dadas por:

V 1 (h+a, k ) V 2 (h–a, k )

Ecuación del eje focal: El eje focal es la línea recta que pasa por los

focos de la hiperbola y su ecuación es y = k

http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola



25

Ecuación del eje normal (eje no focal): Es el eje vertical que corta el

centro de la hiperbola y no toca ningún punto perteneciente a esta; es

perpendicular al eje focal y su ecuación está dada por x = h

Ecuación de las directrices: c

ahx

2

Ecuación de las asíntotas: Una asíntota de una curva dada es una

recta que a medida que un punto de ella se aleja del origen, la distancia

de ese punto a la recta decrece, es decir, tiende a cero, la ecuación para

las asíntotas de la hiperbola es ka

)h–x(by

Longitud del eje transverso = 2a El eje transverso es la distancia

existente existente entre los vértices y está sobrepuesto con el eje focal.

Longitud del eje conjugado = 2b El eje conjugado es el eje

perpendicular al eje transverso.

Longitud del lado recto =a

b2 2

La longitud de la cuerda que va desde un punto a otro de la hiperbola,

pasa por el foco y es perpendicular a la recta focal se llama lado recto

Excentricidad: Se conoce como excentricidad de la hipérbola a la

relación que existe entre la distancia focal y la distancia entre los

vértices. La ecuación utilizada para hallarla es:

e = a

c > 1

Ecuación general: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0

( A > 0 C < 0 A E 2 + C D 2 – 4 A C F < 0 )



26

A2

D–h

C2

E–k

CA4

FCA4–DCEAa

2

222

2

222

CA4

FCA4–DCEA–b

HIPERBOLA DE EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

A continuación encontrarás la ecuación de la hipérbola que tiene el eje

focal paralelo al eje “Y”, también encontrarás la forma de hallar cada

una de las partes de la parábola según los valores “a”, “b”, “c” y las

partes de la ecuación ordinaria.

Ecuación ordinaria:

1b

)h–x(–

a

)k–y(2

2

2

2

( a > 0 b > 0 )

Las definiciones de las partes de la hipérbola que se encuentran en la

del eje focal paralelo al eje x son las mismas para las siguientes partes,

pero a continuación se enunciarán las ecuaciones necesarias para hallar

dichas partes en una hiperbola paralela al eje y.

Centro: C ( h , k )

Focos: F 1 ( h, k+c ) F 2 ( h, k–c ) 22 bac

Vértices: V 1 ( h , k+a) V 2 ( h , k–a)

Ecuación del eje focal: x = h

Ecuación del eje normal: y = k

Ecuación de las directrices: c

aky

2



27

Ecuación de las asíntotas: kb

)h–x(ay

Distancia focal = 2 c

Longitud del eje transverso = 2 a

Longitud del eje conjugado = 2 b

Longitud del lado recto = a

b2 2

Excentricidad: e = a

c > 1

Ecuación general: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0

( A > 0 C < 0 A E 2 + C D 2 – 4 A C F > 0 )

A2

D–h

C2

E–k

2

222

CA4

FCA4–DCEAa

CA4

FCA4–DCEA–b

2

222

Ejemplo 1

x

y

- 15 - 10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

10



28

Ecuación general: 16 x 2 – 9 y 2 – 32 x + 54 y – 209 = 0

Ecuación ordinaria: 116

)3–y(–

9

)1–x(22

Centro: C ( 1 , 3 )

Focos: F 1 ( 6 , 3 ) F 2 ( – 4 , 3 )

Vértices: V 1 ( 4 , 3 ) V 2 ( – 2 , 3 )

Ecuación del eje focal: y = 3

Ecuación del eje normal: x = 1

Ecuaciones de las directrices: x 1 = 2,8 x 2 = – 0,8

Ecuaciones de las asíntotas: 4 x – 3 y + 5 = 0

4 x + 3 y – 13 = 0

Distancia focal 2c = 10

Longitud del eje transverso = 6

Longitud del eje conjugado = 8

Longitud del lado recto = 3

32

Excentricidad: e = 3

5



29

ACTIVIDAD:

1. En tu cuaderno determina la ecuación de las asíntotas, las

coordenadas de los vértices y de los focos de las hipérbolas cuyas

ecuaciones son.

a) x2 - y2 = 1

b) x2/16 - y2/16 = 1

c) 5y2 - y2 = 10

2. En tu cuaderno encuentra el centro, los vértices y la excentricidad de

las siguientes hipérbolas:

a) 8x2 - 90y2 = 360

b) 12y2 - 15x2 = 180

c) x2 - y2 = 8

3. En tu cuaderno encuentra la ecuación de la hipérbola de focos (5,0);

(-5,0) y de vértices (4,0); (-4,0).

4. Encuentra la ecuación de la hipérbola de eje transverso 8 y focos

(6,0), (-6,0).


APRENDIZAJE



30

5. Encuentra la ecuación de la hipérbola de eje imaginario 18 y focos

(0,8) y (0,-8).

6. Encuentra la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, un foco

en (8,0) y un vértice en (6,0).

7. Determinar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, un

vértice en (5,0) y ecuación de una asíntota 4x - 5y = 0.

8. Encuentra las coordenadas del centro, los focos, los vértices y las

ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 3x2 - 4y2 + 3x + 16y - 18

= 0.

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