cónicas: rotación
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Cónicas: rotación. Rotación de los ejes coordenados. Motivación. Dado que en una cónica cuyo eje está rotado, no podemos obtener su ecuación canónica (tampoco sus foco/s, vértice/s, etc ), debemos utilizar el siguiente método. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Cónicas: rotación
Rotación de los ejes coordenados
Motivación
• Dado que en una cónica cuyo eje está rotado, no podemos obtener su ecuación canónica (tampoco sus foco/s, vértice/s, etc), debemos utilizar el siguiente método.
• La ecuación general de segundo grado en donde B≠0 puede transformarse siempre en otra de la forma :
¿Cómo?
• Rotando los ejes coordenados un ángulo θ agudo positivo para que los nuevos ejes coincidan con los ejes principales de la cónica.
• Observemos la figura siguiente y veamos cómo podemos relacionar las coordenadas de un punto P en el sistema OXY con las coordenadas del mismo punto en el sistema rotado O’X’Y’
Rotación de los ejes coordenados
Relación: OXY <–> O’X’Y’• Viendo el gráfico anterior se deduce que:• (1) (2)
• Utilizando el seno y el coseno de la suma en (1)
• Reemplazo desde (2) en la anterior:
Forma matricial
• El sistema puede expresarse en forma matricial:
• Donde la matriz de los coeficientes, A, es la matriz de rotación. A es una matriz ortogonal, ya que At=A-1
• Por lo tanto, si quisiéramos ver cuál es el valor de X’ e Y’ sería muy fácil hallar la inversa.
Transformación de la ecuación• Reemplazando las ecuaciones de X e Y en la
ecuación general de segundo grado queda:
• Agrupando se obtiene una ecuación en términos de X’ Y’ donde el término cruzado es
• Y utilizando las identidades trigonométricas:
• El término cruzado queda:
Elección del ángulo θ
• Podemos elegir el ángulo θ para que B’=0, es decir para que desaparezca el término cruzado que es a donde queríamos llegar.
• Por lo tanto B’=(C-A).sen(2 θ) +B.cos(2 θ )=0•
• Con 2θ en el primero o en el segundo cuadrante
• Para ver en que cuadrante está 2 θ me fijo si es positivo está en el primero y si es negativo es porque el cos(2 θ ) es negativo, por lo tanto está en el segundo cuadrante.
• Luego calculo el • Y tenemos que
Determinación del tipo de cónica
• Interesa determinar qué tipo de cónica es sin hacer la rotación de ejes.
• Puede demostrarse que la siguiente igualdad: 4AC-B2 = 4A‘C’-(B’)2
• Donde A’ B’ y C’ son los coeficientes de la ecuación luego de la rotación de ejes.
• En conclusión, el término 4AC-B2 permanece invariante ante la rotación.
Determinación del tipo de cónica
• Por lo tanto: si 4AC-B2
–es > 0 la cónica es tipo elipse–es <0 la cónica es tipo hipérbola– es =0 la cónica es tipo parábola