Formula

(a-b)(a+b)=a2-b2 ; a,b Є R(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2

Observatii !!!

Asadar , produsul dintre suma si diferenta a doi termeni este egal cu diferenta patratelor celor doi termeni. Pentru efectuarea rapida a unor asemenea calcule , retinem aceasta formula

(a-b)(a+b)=a2-b2, oricare ar fi a,b Є R

Formule

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+ab2+ba2+ab2+ba2+ab2+ba2+b3=a3+3ab2+3a2b+b3

(a-b)3=(a-b)(a-b)(a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3

a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3+b3+c3=(a+b+c)3-

3(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)

Exercitii Propun clasei spre rezolvare

urmatoarelor aplicatii:

a) Sa se afle numerele naturale,x si y pentru care: 4x2+y2-4x+2-2y=0

b) Determinati natura triunghiului in care are loc relatia:

a2+b2+c2=ab+bc+ac

c) Care este valoarea minima a expresiei E(x) si pentru ce valoare a lui ,,x’’ se obtine:

E ( x ) = x 2 ( x 2 - 2 ) - 3

Solutia(a)

Expresia se poate scrie :

(4x2-4x+1)+(y2-2y+1)=0 sau ( 2 x – 1 ) 2 + ( y – 1 )2=0

De unde rezulta: x=1/2 si y= 1

Solutia (b)

Egalitatea se inmulteste cu 2, se trece totul intr-un membru si se formeaza o suma de patrate perfecte:

(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0de unde rezulta:

a-b=0b-c=0a-c=0

Deci a=b=c , triunghiul este echilateral

Solutia (c)

Expresia se poate scrie:

E(x)=(x4-2x2+1)-4=(x2-1)2-4

Cum un patrat perfect este intotdeauna mai mare sau egal cu zero,valoarea minima se obtine cand patratul este zero.

Deci , cand x=1 sau x=-1 Valoarea minima a expresiei este -4

6 64x 3 2 2( ) (8)x

3 2 3 2( 8) ( 16 )x x

3 2 2 3 3( ) (8) 16 16x x x 3 3( 8 4 )( 8 4 )x x x x x x

3 2 2( 8) (4 )x x x

2 24x y 2 2( ) (2 )x y

2 2( 2 ) ( 4 )x y xy

2 2( ) (2 ) 4 4x y xy xy

( 2 4 )( 2 4 )x y xy x y xy

2 2( 2 ) (2 )x y xy

Aplicatii 1.

Exercitii

Determinati valoarea minima a expresiei E(x,y) pentru orice numere reale x si y , unde E(x,y)=√x2-6x+9 + √9y2+6y+10

Solutie : sau

Expresia are valoarea

minima cand: x=3 si y=-1/3

2 23 3 1 9.E x y

23 3 1 9E x y

Aplicatii ale sumelor de patrate in geometrie

1. Sa se arate ca paralelipipedul dreptunghic in care St=2d2 (St- aria totala iar d – diagonala paralelipipedului) este cub.

Solutia: Din formula ariei totale a

paralelipipedului si a diagonalei acesteia deducem:

2(ab+bc+ac)=2(a2+b2+c2) rezulta (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 Deci,a=b=c

2. Calculati volumul unui paralelipiped dreptunghic de dimensiuni a,b,c, care verifica relatia:12a+15b+16c=625, si are diagonala 25.

Solutia: Fie d- diagonala paralelipipedului. Din ipoteza

avem: 12a+15b+16c=625 sau

12a+30b=32c=2(a2+b2+c2) rezulta a2+b2+c2+a2+b2+c2-24a-30b-32c=0 rezulta 625+a2+b2+c2-24a-30b-32c=0

Care se poate scrie (a-12)2+(b-15)2+(c-16)2=0 De unde obtinem: a=12, b=15, c=16,si

volumul, V=12*15*16=2880 m3

Probleme cu teorema lui Pitagora

1.Fie triunghi ABC dreptunghic in Â:

a) Daca lungimile catetelor AB si AC sunt 4 cm respectic 3 cm determinati lungimea ipotenuzei BC.

b) Daca cateta AC=6cm, iar ipotenuza BC=10 cm, determinati lungimea catetei AB.

Solutia (a)Aplicam teorema lui Pitagora astfel: BC2=AC2+AB2

Inlocuim: BC2=42+32

BC2=16+9 BC2=25 cm, rezulta BC=5

cm

Solutia (b)

Aplicam teorema lui Pitagora astfe: AB2=BC2-AC2

Inlocuim: AB2=102-62

AB2=100-36 AB2=64 cm, de unde AB=8

cm

Va multumim pentru vizionare.Sper ca va placut.

Prezentarea a fost facuta de doua eleve ale Scolii Nr.2 Ghirdoveni :

Angelescu Ana Maria si Ionescu Iuliana

pentru a va arata cat de distractiva si frumoasa poate fi matematica .

Sper sa ne votati:-*