schrödingersche katze chaotische systeme, dekohärenz ws 2015 / 16 – ulrich hohenester 12....
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Schrödingersche Katzechaotische Systeme, Dekohärenz
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 12. Vorlesung
Warum ist unsere Alltagswelt „klassisch“ ?
zu Hause …
… bei den wilden Kerlen
Klassische vs. quantenmechanische WeltGibt es einen „Schnitt“ zwischen der klassischen Welt
und der quantenmechanischen Welt ?
Schrödingersche KatzeSchrödingersche Katze befindet sich in einer abgeschlossenen Schachtel
In der Schachtel befindet sich weiters ein radioaktives Atom.Wenn das Atom zerfällt, wird der Zerfall von einem Geigerzähler detektiert.Im Fall einer Detektion wird ein Behälter mit einer giftigen Substanz (Zyankalie) geöffnetund die Katze stirbt.
Schrödingersche Katze1. Das Atom ist nicht zerfallen
Vor der Detektion:Atom nicht zerfallen + Katze lebt
Nach der Detektion:Atom nicht zerfallen + Katze lebt
2. Das Atom ist zerfallen
Vor der Detektion:Atom zerfallen + Katze lebt
Nach der Detektion:Atom zerfallen + Katze tot
Schrödingersche KatzeWas passiert, wenn sich das Atom in einer quantenmechanischen Superpositionzwischen „zerfallen“ und „nicht zerfallen“ befindet ?
Vor der Detektion:Atom in Superpositionszustand + Katze lebt
Nach der Detektion:(Atom nicht zerfallen ) x ( Katze lebt ) +
(Atom zerfallen ) x ( Katze tot )
Aber : Katzen sind entweder lebendig oder tot !?
Q: Warum gehorcht die Alltagswelt (makroskopische Welt) den Gesetzen der klassischen Physik ?
A1: Makroskopische Objekte gehorchen nicht den Gesetzen der QM !?
Entspricht der ursprünglichen Kopenhagener Deutung. Aber: Wo ist der Schnitt zwischen klassischer Welt und Quantenwelt ?
QuantenmechanikQuantenmechanik ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik
Q: Warum gehorcht die Alltagswelt (makroskopische Welt) den Gesetzen der klassischen Physik ?
A1: Makroskopische Objekte gehorchen nicht den Gesetzen der QM !?
Entspricht der ursprünglichen Kopenhagener Deutung. Aber: Wo ist der Schnitt zwischen klassischer Welt und Quantenwelt ?
QuantenmechanikQuantenmechanik ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik
A2: Quantenmechanisches Verhalten ist für makroskopische Objekte extrem unwahrscheinlich !?
Ort
Impuls
Beispiel … Harmonischer Oszillator
Ort
Impuls
x0
Trajektorie im Phasenraum
t = 0
t > 0
Klassische Systeme : regulär vs. chaotisch
Die Bewegung eines klassischen Objektskann durch eine Bahn (Trajektorie) imPhasenraum (Ort vs. Impuls) dargestelltwerden.
regulär
Ort
Impuls
Beispiel … Harmonischer Oszillator
Ort
Impuls
x0
Trajektorie im Phasenraum
t = 0 Ungenauigkeit im Anfangszustand
Ungenauigkeit im Endzustandwächst linear oder polynomial
Klassische Systeme : regulär vs. chaotisch
Bei einem regulären System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustandlinear oder polynomial im Lauf der Zeitzu.
regulär
Ort
Impuls
Beispiel … Harmonischer Oszillator
Ort
Impuls
x0
t = 0
Ort
Impuls
t = 0
l … Lyapanov - Exponent
Chaotische Systeme
Bei einem chaotischen System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustandexponetiell im Lauf der Zeit zu.
regulär chaotisch
Chaotische Systeme : BeispielEin Beispiel für eine klassisches chaotisches System ist der getriebeneanharmonische Oszillator
Je nach Wert von h verhält sich das System regulär oder chaotisch
Ort
Impu
ls
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Ort
Impu
ls
0 50 100 150 200 250 300-5
0
5
Zeit
Ort
Getriebener Oszillator : h = 0.2 … regulär
Zeit
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Ort
Impu
ls
Ort
Impu
ls
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250 300-5
0
5
Zeit
Ort
Getriebener Oszillator : h = 0.1 … chaotisch
Zeit
Ort
Impuls
t = 0
Hyperion
Hyperion (Mond des Saturns) bewegt sich auf einer chaotischen Umlaufbahn.Es würde ~20 Jahre benötigen, bis er vollständig delokalisiert wäre !!!
Makroskopische chaotische Systeme
Q: Warum gehorcht die Alltagswelt (makroskopische Welt) den Gesetzen der klassischen Physik ?
A1: Makroskopische Objekte gehorchen nicht den Gesetzen der QM !?
Entspricht der ursprünglichen Kopenhagener Deutung. Aber: Wo ist der Schnitt zwischen klassischer Welt und Quantenwelt ?
QuantenmechanikQuantenmechanik ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik
A2: Quantenmechanisches Verhalten ist für makroskopische Objekte extrem unwahrscheinlich !?
A3: Quantensysteme wechselwirken mit ihrer Umgebung … Dekohärenz
Intermezzo : BinomialverteilungBetrachten wir die N Kugeln, die sich in einer Schachtel bewegen
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich m Kugeln in der linken und N – m Kugeln in der rechten Hälfte befinden ?
Wahrscheinlichkeit für Konfigurationen
Intermezzo : BinomialverteilungDie Binomialverteilung liefert Wahrscheinlichkeit, dass sich m Kugeln in der linkenund N – m Kugeln in der rechten Hälfte befinden
Je größer die Zahl der Kugeln, desto schärfer ist die Verteilung (desto ganauer die Vorhersage) !!!
Die Vorhersage ist deshalb so genau, weil wir nur eine reduzierte Information über die Verteilung benötigen
Dekohärenz
System
Umgebung = „Environment“
Gegeben sei die Wellenfunktion für ein System S, das mit der Umgebung E wechselwirkt ( S und E sind „verschränkt“ )
i.A. interessieren wir uns nicht für die (unendlich) vielen Freiheitsgrade der Umgebung E
Dekohärenz : Wenn wir nur an den Eigenschaften des Systems S interessiert sind, werden die Vorhersagen umso genauer, je größer die Umgebung ist
… das System S verhält sich „klassisch“
Zweiniveausystem : reiner ZustandEin reiner Quantenzustand besitzt einen wohldefinierten Spin
Spin hat die Länge Eins :
Berechnung der Spinkomponenten
Spin i.A. kleiner als Eins, weil wir seinen Zustand nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit kennen !!!
Ein reiner Quantenzustand besitzt einen wohldefinierten Spin
Spineinstellung nur mit bestimmter Wahrscheinlichkeit bekannt
Zweiniveausystem : „gemischter“ Zustand
Zweiniveausystem : verschränkter ZustandBetrachten wir zwei Zweiniveausysteme S und E, die miteinander verschränkt sind
Wenn wir nur an den Eigenschaften von S interessiert sind, können wir nur sagen,dass es sich mit Wahrscheinlichkeit cos2q im Zustand „oben“ und mit Wahrscheinlichkeit sin2q im Zustand „unten“ befindet
… der Spin von S ist i.A. kleiner als Eins !!!
Durch Verschränkung wird Quanteninformationzwischen Teilchen geteilt !!!
Obwohl sich das Gesamtsystem in einem wohldefinierten Zustand befindet, sind die Spins der einzelnen Teilchen nicht genau bestimmt !!!
Zweiniveausystem : Einfluß der UmgebungBetrachten wir ein System S, das mit einer Umgebung E wechselwirkt
(z.B. radioaktives Atom + Katze)
Wir modellieren die Wechselwirkung mit der Umgebung E so, dass E den Zustand ändert, wenn das System S im unteren Zustand ist (cNOT – Gatter)
Wenn sich vor der Wechselwirkung das System in einem Überlagerungszustand befindet, kommt es durch die Messung zu einer Verschränkung
Durch die WW mit der Umgebung kommt es zu einemVerlust der „Quanteneigenschaften“ !!!
Dekohärenz
SE
E‘E‘‘
Wechselwirkung mit Umgebung ähnlich wie Energiemessung … System befindet sich bevorzugt in Energie – Eigenzuständen !!!
Falls Umgebung genügend groß, geht die Quanteinformation unwiderbringlich verloren („Dekohärenz“)
Die Interpretation der QM benötigt keine klassischen Messapparate – eine makroskopische Umgebung, die den Gesetzen der QM gehorcht, verhält sich gleich wie ein klassischer Messapparat (Die Schrödingersche Katze ist tot oder lebendig)
HWechselwirkung
System wird durch Wechselwirkungen mit der Umgebung mit dieser verschränkt.Die Quanteneigenschaften des Systems gehen dadurch verloren
Dekohärenz : „Klassische“ ZuständeEigenzustände der Wechselwirkung mit der Umgebung sind besonders stabil
Durch Wechselwirkung mit der Umgebung werden bestimmte Zustände selektiert, diebesonders stabil sind („Quantum Darwinism“).
Die Eigenschaften dieser Zustände sind in unterschiedlichen Teilen En der Umgebung(z.B. Photonen, die in unterschiedliche Raumwinkel gestreut werden) gespeichert, und können von unterschiedlichen Beobachtern ausgelesen werden, ohne dass der Zustanddes Systems S geändert wird.
Diese Zustände bezeichnet man als „klassisch“.
Quantenwelt versus klassische Welt
© W. Zurek
Experimente mit Licht, Ultrahochvakuum, tiefe Temperaturen (mK)
Unsere Alltagswelt ist „klassisch“ !!!
Biomaschinen sind sehr klassisch …© David Goodsell Photosynthesekomplex