santus - seminario_meccanicadeicontinui

7/31/2019 Santus - Seminario_MeccanicaDeiContinui

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Formulazione del Problema

Cinematica di Deformazione

Equazioni di Bilancio

Equazioni Costitutive

Breve introduzione alla Meccanica dei Continui

Ciro Santus

[email protected]. Facolta di Ingegneria. Universita di Pisa.

Giugno 2006

Ciro Santus Breve introduzione alla Meccanica dei Continui
mailto:[email protected]:[email protected]://find/http://goback/


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1 Formulazione del Problema

Aspetti generaliDescrizione Lagrangiana / Euleriana

2 Cinematica di DeformazioneDefinizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green

Gradiente di velocita di deformazione

3 Equazioni di Bilancio

Equazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)

Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)4 Equazioni Costitutive

Obbiettivita del materiale

Materiale Semplice / Materiale a Memoria EvanescenteCostitutive piu semplici

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Primo testo sulla Meccanica dei Continui

C. Truesdell, R. A. Toupin.

The Classical Field Therories.Encyclopedia of Physics, Springer-Verlag, 1965.

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Bibliografia moderna

C. Truesdell.

The Elements of Continuum Mechanics.Rational Thermodynamics, Springer-Verlag, 1985.

I. Muller.Thermodynamics.Pitman, 1985.

P. Haupt.Continuum Mechanics and Theory of Materials.Advanced Texts in Physics, Springer-Verlag, 2002.

I-Shih Liu.Continuum Mechanics.Advanced Texts in Physics, Springer-Verlag, 2002.

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Bibliografia Low-Cost

P. Chadwick.

Continuum Mechanics - Concise Theory and Problems.Dover Books on Physics, 1999. (10.95 $)

(Ottimo per iniziare)

L. A. Segel.Mathematics Applied to Continuum Mechanics.

Dover Books on Physics, 1987. (14.95 $)(Maggiormente dedicato ai solidi)

R. A. Granger.Fluid Mechanics.

Dover Books on Physics, 1995. (29.95 $)(Dedicato unicamente ai fluidi)

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Corso di Lezioni

P. Villaggio.

Meccanica dei Continui.Corso di Perfezionamento di Matematica

Scuola Normale Superiore

Notazione indicizzata(i) piuttosto che tensoriale (T)

Notazione i

= aibi

Notazione T

= a b


F l i d l P bl


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Collocazione didattica della Meccanica dei Continui

Sequenza didattica

1 Meccanica dei solidi

2 Fluidodinamica

3

Termodinamica4 Meccanica dei Continui

Sequenza logica

1 Meccanica dei Continui

2 Termodinamica

3

Fluidodinamica4 Meccanica dei solidi




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Aspetti generali

Descrizione Lagrangiana / Euleriana







Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)4 Equazioni Costitutive






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Aspetti generali


Definizione dellIpotesi del Continuo

Si definisce continuo un modello di materiale per il quale, inogni suo punto, e possible riassumere una porzione

macroscopica di materia e definiere proprieta intensive come:Posizione, Velocit a, Temperatura, Densit a, Entalpia, Entropia

etc.La descrizione non scende a livello particellare.

Si definisce, in tal modo, il concetto di Punto Materiale.


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Aspetti generali


Problema meccanico

Obbiettivo della Meccanicadei Continui e la descrizione delmoto di un corpo a cui si applica lipotesi del continuo.

Per fare cio e necessario allargare il campo di osservazione ad

altre grandezze che interagiscono con il problema meccanico.




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Aspetti generali


Cosa vuol dire disaccoppiare i problemi

Levoluzione nel tempo di alcune grandezze non e influenzata,dallevoluzione nel tempo di altre.

Quindi si presenta la possibilita di isolare un minor numero di

equazioni che coinvolgono un minor numero di incognite,suddividendo il problema in due o piu sottoproblemi.




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Aspetti generali


Il problema termo-meccanico

Nella presente trattazione viene considerato il problemameccanico (eventualmente) accoppiato con il problema termico

di un continuo, assumendo le seguenti semplificazioni:

effetti elettrici trascurabili,

effetti magnetici trascurabili,

effetti chimici trascurabili,

continuo non polare.




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Aspetti generali


Il problema termo-meccanico

Nonostante le forti semplificazioni questo tipo di problema emolto spesso adeguato, in tanti ambiti della tecnica.

Ad esempio: idraulica, termofluidodinamica, fluidodinamica,

meccanica dei solidi.

In ciascuno di questi ambiti una particolare formulazionerisultera caso per caso appropriata.




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Aspetti generali


Disaccoppiamento con il problema termico

Spesso (ma non sempre) e possibile ulterormentedisaccoppiare il problema meccanico da quello termico.

Molla

elastica

separazione degli effettitermico-meccanico

Molla

pneumatica

non separazione degli effettitermico-meccanico




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Aspetti generali


Impostazione matematica del problema

Applicando le

Eq.ni di bilancio

Eq.ni di costitutive

si genera un sistema di equazioni differenziali alle derivateparziali, in cui (numero Eq.ni) = (numero incognite).

Le grandezze note e incognite sono campi scalari, vettoriali otensoriali nelle variabili posizione e tempo.

Imponendo le condizioni al contorno ed iniziale si risolve(matematica permettendo) il problema.




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Aspetti generali


Ruolo del II principio della termodinamica

Nellevoluzione di un qualsiasi sistema il II principio dellatermodinamica deve essere necessariamente soddisfatto.

In particolare nel problema termo-meccanico deve essere

sodisfatta la disegualianza di Clausius-Duhem.

Tale condizione, non impone unequazione di bilancio (essendouna disequazione) per cui formalmente nella stesura del

problema sembra non comparire.




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Aspetti generali


Ruolo del II principio della termodinamica

Il II principio compare invece come limitazione delcomportamento costitutivo del materiale.

E quindi necessario verificare lintrinseca coerenza con il II

principio per ogni qulasiasi eq. costitutiva che si propone diintrodurre nel sistema.

LaFisica impone dei rigorosi bilanci.

LaCostitutivadei Materiali garantisce la non

reversibilit a dei processi.



Ci ti di D f i A tti li
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Aspetti generali


Configurazione Attuale e di Riferimento

E necessario distinguere due configurazioni:

configurazione di Riferimento, {X} ad un tempo fissato t0configurazione Attuale, {x} al generico tempo t

(le parentesi {} stanno ad indicare che la configurazione elinsieme di tutti i punti al dato istante)



Cinematica di Deforma ione Aspetti generali
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Aspetti generali





Allistante t0 (non necessariamente t = 0) si assegna unsignificato preferenziale.



Cinematica di Deformazione Aspetti generali
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Aspetti generali





In definitiva:Un punto materialeP del corpo, che si trova allistante iniziale

t0 nella posizione X, di coordinate X1, X2, X3 rispetto ad unsistema di riferimento, si sposta nella posizione x, di coordinate

x1, x2, x3 rispetto ad un eventuale altro sistema di riferimento,allistante t.


Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione Aspetti generali
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Aspetti generali


Differenti punti di vista

Si distunguono due modi differenti di descrivere il moto di uncontinuo:

descrizione Lagrangianao materiale

descrizione Eulerianao spaziale

La prima e piu adatta alla descrizione dei solidi.

La seconda e piu adatta alla descrizione dei fluidi.




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Aspetti generali


Descrizione Lagrangianao Materiale

Lincognita del problema e la posizione del punto materiale neltempo.

PR

al tempo

X (X1, X2, X3)

t0

PA

al tempo

x (x1, x2, x3)

t

e1 e2

e3




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Aspetti generali



Variabili indipendenti:

posizione del generico punto materiale X (X1, X2, X3)generico istante di tempo t

Prima incognita:

posizione nella configurazione attuale x

La funzione posizione e la mappatura dalla configurazione di

riferimento a quella attuale incognita

x = (X, t)




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p g



Spesso e utile lavorare con la funzione spostamento:

u = (X, t) = xX= (X, t) X

Particolarmente utile per piccolispostamenti.


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p g


Descrizione Eulerianao Spaziale

Lincognita del problema e la velocita nella posizione diosservazione nel tempo.

posizione di osservazione

velocit

osservatae1

e2

e3

xo

(xo1

, xo

2, x

o

3)

v




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Distinzione concettuale fra:

punto di osservazione, indicato xo

posizione attuale del punto materiale x

Si assume di osservare, ad ogni istante t, il punto materialePla cui posizione attuale x coincide con il punto di osservazione

xo.

Tale distinzione spesso non viene formalizzata, indicando laposizione di osservazione semplicemente comex (x1, x2, x3).




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Variabili indipendenti:

posizione del generico punto di osservazionexo (xo1, xo2, xo3)generico istante di tempo t

Prima incognita:

velocita osservata nel generico punto di osservazionev

(v1, v2, v3)


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Applicazioni della descrizione Materiale

La descrizione materiale

assume la posizione attuale come prima incognita

descrive a partire dalla configurazione di riferimento

e quindi adatto ai solidi per i quali la compagine non vieneeccessivamente deformata

punto di partenza della Meccanica dei Solidi


Formulazione del ProblemaCinematica di Deformazione

E i i di Bil i

Aspetti generali

D i i L i / E l i
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Applicazioni della descrizione Spaziale

La descrizione spaziale

assume la velocita attuale come prima incognita

descrive a partire da un sistema di osservazione,

perdendo traccia della configurazione di riferimento

e quindi adatto ai fluidi per i quali e di interesse

levoluzione in un volume di osservazione e non e affattonecessario rintracciare lorigine di ciascun punto materiale

punto di partenza della Fluidodinamica



E i i di Bil i

Aspetti generali

D i i L i / E l i


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Derivazione secondo la descrizione Materiale

La derivazione (materiale) nella posizione e da effettuarerispetto alla posizione nella configurazione di riferimento:

Mw(XA, t)

w(XA, t)

X1

,w(XA, t)

X2

,w(XA, t)

X3

In cui w e una generica proprieta fisica mappata nelle

coordinate di posizione del punto materiale (X1, X2, X3) e neltempo t.




Aspetti generali

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Derivazione secondo la descrizione Spaziale

La derivazione (spaziale) nella posizione e da effettuarerispetto al punto di osservazione:

Sw(xi, t)

w(xi, t)

x1

,w(xi, t)

x2

,w(xi, t)

x3

In cui w e la stessa proprieta fisica ma adesso mappata nelle

coordinate di osservazione (xi):

w(xi, t) = w(XA, t)

con xi = i(XA, t)




Aspetti generali



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La derivazione nel tempo e indicata come derivata materiale:

w =w(XA, t)

t




Aspetti generali

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In particolare si ottiene, in modo naturale, la definizione divelocita del punto materiale:

vi =i(XA, t)

t

Tale espressione trova frequentemente la seguentesemplificazione formale

vi = xi

Infine laccelerazione del punto materiale

ai = vi = xi




Aspetti generali

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La derivazione nel tempo, detta derivata locale:

w(xi, t)

t

e diversa dalla derivata materiale w

(classico esempio del condotto stazionario)




Aspetti generali

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qua o d a c o


esc o e ag a g a a / u e a a


Mediante un passaggio di coordinate e possibile trovare illegame fra le due derivate temporali

w =w(XA, t)

t= (passaggio alla descrizione spaziale)

=w(xi(XA, t), t)

t= (regola di derivazione)

=w(xi, t)

t+

w(xi, t)

xj

xj(XA, t)

t=

= w(xi, t)t

+ w(xi, t)xj

vj

(sommatoria degli indici ripetuti)




Aspetti generali

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q


g g


La quantita

w(xi, t)

t+

w(xi, t)

xjvj

e indicata come derivata totale, spesso rappresentata come:

D w

Dt(xi, t)

ed esprime la derivata materiale nei termini della descrizionespaziale.




Aspetti generali

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Il termine

w(xi, t)

xjvj

rappresenta il termine di derivazione convettivo.




Aspetti generali

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Nellesprimere laccelerazione (secondo ciascunacomponente), compare quindi il termine convettivo:

ai(xi, t) =vi(xi, t)

t+

vi(xi, t)

xjvj

in cui compare la velocita v a moltiplicare il gradiente spaziale

della velocita stessa Sv.




Definizione Tensore di deformazione

Tensori di Cauchy e di Green

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Equazioni CostitutiveGradiente di velocita di deformazione




Gradiente di velocita di deformazione3 Equazioni di Bilancio


Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)

4 Equazioni CostitutiveObbiettivita del materiale





E i i C i i



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Equazioni CostitutiveGradiente di velocita di deformazione

Tensore di deformazione

Lo strumento fondamentale per descrivere le caratteristichegeometriche della deformazione (nella descrizione Materiale) e

il tensore

F =Mx

espresso in notazione indiciale

FiA =xi

XA




E i i C tit ti



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Puo risultare piu chiaro scriverne esplicitamente le componenti

F

x1

X1

x1

X2

x1

X3

x2X1

x2X2

x2X3

x3

X1

x3

X2

x3

X3







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Ricordando la definizione della funzione spostamento

F = Mx = M(X, t)

= M

((X, t) + X)

= M(X, t) + ISecondo la notazione ad indici:

FiA =ui

XA+ iA







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Assioma di permanenza della materia

La funzione di posizione deve rispettare la condizione dicompatibilita fisica:

Un intorno di un punto si sposta nellintorno

dellimmagine del punto di partenza.

Esiste tale cheIntorno di

Xx = X, t

X{||YX|| < } {||y x|| <

0}

0







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Assioma di permanenza della materia

La formalizzazione matematica di tale condizione implica che:

J = |F| > 0

in ogni punto ed ad ogni istante di tempo.

La funzione posizione necessariamente gode di tale proprietadi regolarita, ed e quindi sempre invertibile.

In realta la condizione sugli intorni non implica la derivabilita.





Definizione Tensore di deformazioneTensori di Cauchy e di Green



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Geometria della deformazione

Dalla definizione di F e possibile calcolare:1 dx = F dX

2 da = JFT1dA

3 dv = JdV








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Teorema della decomposizione polare

Applicando la decomposizione polare al tensore deformazioneF si puo scrivere:

F = RU = VR

In cui R, U e V sono uniche dato un tensore F tale cheJ = |F| > 0), con R matrice di rotazione (RTR = RRT = I econ U e V simmetrici e definiti positivi.






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q


Il significato geometrico della decomposizione e espresso infigura

R V

U

F = RU = VR

R






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q


Per eliminare il termine di rotazione rigida R possono essereutilizzati i tensori:

C = FTF = U2

B = FFT = V2

C viene indicato come il tensore di Cauchy-Green destro

B viene indicato come il tensore di Cauchy-Green sinistro






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Tensori di Cauchy-Green e di Green-St.Venant

Presi due segmenti infinitesimi, uscenti da uno stesso punto,nella configurazione di riferimento si indicano come dX1, dX2.A seguito della deformazione si trasformano in dx1, dx2.

dx2

dx1dX1

dX2

La differenza dei prodotti scalari puo essere ricondotta al

tensore C.






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Tensori di Cauchy-Green e di Green-St.Venant

12 (dx1 dx2 dX1 dX2) =

= 12 dxT1 dx2 dXT1 dX2 =

= 12

dXT1FTFdX2 dXT1 dX2

=

= dXT112 (C I) dX2 =

= dX1 EdX2

Definendo E = 12 (C I) tensore di Greeno diGreen-St.Venant








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Componenti della deformazione

Lallungamento di un vettore infinitesimo dX

=|dx| |dX|

|dX|

e esprimibile mediante E.






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Infatti ponendo:

( + 1)2 =dx dx

dX dX

Si ottiene:dX EdXdX dX =

1

22 +






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Definendo il versore, nella configurazione di riferimento,secondo un vettore infinitesimo dX

W =dX

|dX

|linformazione di allungamento contenuta in E, risulta piuimmediata

W EW = 12

2 +






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Dato che, per definizione, > 1 per qualsiasi deformazionesegue che

1 + 2 W EW > 0

per cui delle due soluzioni dellequazione di secondo gradoprecedentemente introtta, lunica ammissibile e:

=

1 + 2 W EW 1







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Dato W, sia W un altro versore, uscente dallo stesso puntoed ortogonale ad esso, nella configurazione di riferimento:

W W = 0

e possibile determinare la distorsione angolare

sin = w wmediante la conoscenza di E

sin =2

(1 + )(1 + )W EW







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Componenti della deformazionePiccole deformazioni

Nel caso di piccole deformazioni


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G di di


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Gradiente di spostamento

Al fine di sviluppare una cinematica approssimata nel campo dipiccole deformazioni e piccole rotazioni e di interesse definire i

tensori E (parte simmetrica), R (parte antisimmetrica)

E =

F+ FT

2

R =F FT

2








G di t di t t
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Gradiente di spostamentoPiccole deformazioni e piccole rotazioni

Infatti nel caso in cui

= ||F||


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Gradiente di spostamentoPiccole deformazioni e piccole rotazioni

Da cui:

C = I+ 2E+O(2)

inoltre, data la definizione di E:

E =1

2(C I) = E+O(2)

si ottiene in definitiva la seguente approssimazione:

E E








D i i S i l / M t i l
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Descrizione Spaziale / Materiale

Secondo la descrizione Materiale il gradiente di velocita ha laseguente formalizzazione:

Mv(X, t) = F(X, t)Secondo la descrizione Spaziale il gradiente di velocita ha un

significato differente:

L = Sv(x, t)

Attenzione alla diversa mappatura della velocita nelle due

descrizioni. Piu correttamente sarebbe necessario utilizzaresimboli diversi (ad esempio v e v) ed imporre che:

v(X, t) = v(x, t)








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Ricordando il ruolo di F come tensore di passaggio fra laderivazione materiale e spaziale, segue che:

F = LF








Decomposizione del gradiente di velocita
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La decomposizione in partesimmetrica (D) e antisimmetrica (W)

D = 12(L+ LT)

W = 12(L LT)riprende laspetto formale dei tensori E, R.








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Tuttavia i tensori D, W contengono la quantificazione esattadelle informazioni di: velocita di deformazionee di velocita di

rotazione, in quanto il grad. di v e calcolato rispetto allacoordinata x.

X2

X1

x X, t

F =x

X

x1

x2 dx = vdt

L =v

x=

dx/dt

x








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Al fine di formalizzare questo concetto si definisce come config.di riferimento quella assunta al tempo (non piu t0). In questo

modo e possibile definire il tensore deformazione F, e quindila sua scomposizione polare:

F = RU = VR










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Considerando la prima decomposizione, e facendo la derivatanel tempo:

F = RU + RU

traslando la configuraz. di riferimento sullistante attuale tsi ottiene Ut = I, Rt = I e quindi:

Ft = I Ft = LFt = L

ed inoltre, essendo:

Ft = Ut + Rt

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Significato dei termini D eW


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Analogamente ai risultati ottenuti in precedenza si puo ottenere(con validita incondizionata).

Velocita di deformazione lineare:

=

|dx

||dx|= e

De

con e una direzione qualsiasi nella conf. attuale

e =dx

|dx|



Cinematica di DeformazioneEquazioni di Bilancio




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Velocita di deformazione tangenziale:

= 2e Decon e, e due direzioni ortogonali qualsiasi (e e = 0).







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Infine il tensore W (tensore di spin) presenta la proprieta diessere equivalente ad un vettore assiale (come ogni tensore

antisimmetrico) tale che:

Wa =

a

per ogni a







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Il vettore assiale associato ha le componenti estratte da W.

Assegnando le componenti a W

W = 0 W12 W13W12 0 W23W13 W23 0

Sono definite le componenti di :

=

W23W13W12







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Il particolare significato di W emerge dallidentita:

=1

2S v

Il vettore 2 =S

v e definito come la vorticit adel moto.







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Aspetti generali

Descrizione Lagrangiana / Euleriana2 Cinematica di Deformazione














Forma generale delle eqq. di bilancio in forma globale
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g qq g

Si considera una porzione di corpo Pt generica e se ne studialevoluzione nel tempo di una sua proprieta .

Si puo scrivere:

d

dtPt

dv = Pt

ds + Pt

dv

di cui il termine di flusso e un tensore di ordine superiorerispetto a , mentre il termine di produzione e dello stessoordine.

La superficie Pt che delimita la porzione Pe qualsiasi purchechiusa e regolare a tratti.

Consiste nella generalizzazione del Metodo delle SEZIONI.







Bilancio di una porzione chiusa di volume
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p

Si considera una porzione materiale, racchiusa nel volume v,tale che la sua frontiera sia impermeabile alla massa.

Interaz. con

lesterno di

varia natura

t0 t

V

S s

A partire da questo schema e possibile ricavare le equazioni di

bilancio di massa, quantita di moto e energia.







Eq. bilancio della massa


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q

Il volume v conserva sempre la stessa massa, per cui:

d

dt

v

dv = 0







Eq. bilancio della quantita di moto
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q q

Il volume v puo scambiare forze di volume f o di superficie t.

d

dt

v

vi dv =

v

fidv +

s

tids

(3 equazioni scalari)







Eq. bilancio di energia
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Il volume v puo scambiare energia attraverso le forze diinterazione, mediante scabio di calore q, oppure per

produzione di energia termica r.

d

dt

v

vivi

2

+ dv = v

fividv + s

tivids

+

v

rdv

sqinids

(sommatoria degli indici ripetuti)



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Equazioni globali di bilancio

Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)


Passaggio alla forma locale attraverso la


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configurazione di riferimento

Attraverso il cambio di coordinate

d

dt

v

w(xi, t) dv =

t

V

w(XA, t) |F|dV

Essendo V fisso posso trasferire la derivazione dentro il segnodi integrale:

V

tw

(XA, t)

|F

|dV =

=

V

w(XA, t)

t|F| + |F|

tw(XA, t)

dV

Ciro Santus Breve introduzione alla Meccanica dei Continui Formulazione del Problema








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Essendo:

|F|t

= |F| vixi

(Teorema di Liouville)









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Segue che:

V

w(XA,t)

t|F| + |F|

tw(XA, t)

dV =

=

V

w(XA,t)

t+

vjxj

w(XA, t)|F|dV

Da cui e possibile ritornare alle coordinate spaziali:

v

Dw(xi, t)

Dt+ vj

xjw(xi, t)

dv

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Passaggio alla forma locale attraverso il teorema del

t t


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trasporto

Per il teorema del trasporto

d

dt

v

w(xi, t) dv =

v

tw(xi, t) dv+

v

w(xi, t)ujnj ds

in cui u e la velocita della superficie e n e il vettore normale

uscente.Dal momento che la superficie e impermeabile, le velocita u e

v differiscono di una quantita con solo componente parallela

rispetto ad n.Per cui u n = v n.







Passaggio alla forma locale attraverso il teorema del

t t
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trasporto

Quindiv

tw(xi, t) dv +

v

w(xi, t)vjnj ds

Per la formula di Greensi puo scrivere:

v

tw(xi, t) +

xj(w(xi, t)vj)

dv =

d

dt

v

w(xi, t) dv

Che coincide con il risultato precedente







Bilancio della massa
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Grazie al risultato precedente

d

dt

v

(xi, t) dv =

v

t(xi, t) +

xj((xi, t)vj)

dv = 0

Da cui, per teorema di frazionabilita segue:

t(xi, t) +

xj((xi, t)vj) = 0

(Equazione di Continuit a)







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Leq. di continuita puo anche essere espressa mettendo inevidenza la derivata totale della densita

t+

vj

vj=

D

Dt+

vj

xj= 0

Ciro Santus Breve introduzione allaMeccanica dei Continui







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Un risultato ben noto e il caso di un fluido la cui densita euniforme ( xi

= 0) e costante (t

= 0).In tal caso segue:

vj

xj

= 0

tale condizione descrive la conservazione della massa in un

fluido incomprimibile.








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Altro risultato di interesse e lintegrabilita dellequazione dicontinuita:

D

Dt+

vj

xj= 0

da cui per integrazione:

J = cost.

Applicando lovvia condizione iniziale J(t0) = 1, e indicando

con 0 = (t0) la densita iniziale, segue:

J = 0








Bilancio della quantita di moto
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91/159

Seguendo una dimostrazione simile alla precedente si ottiene ilbilancio della quantita di moto, in forma locale:

vi

t+

vi

xjvj = fi +

1

ij

xj

In cui ij (tensore ) e il tensore delle tensioni tale che la

componente secondo la direzione m dello sforzo generato suuna superficie ortogonale al vettore n e data da:

tnm =

ij

minj

Si introducono 3 equazioni, ma ulteriori 9 incognite, fornite dalle

componenti scalari del tensore ij.








http://find/


92/159

Tale equazione non e lineare in quanto (a sinistra) comparelincognita vi a moltiplicare le proprie derivate.

vi

t+

vi

xjvj






Equazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)Equazioni locali di bilancio (descr. Materiale)

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93/159

Tale equazione non e lineare in quanto (a sinistra) comparelincognita vi a moltiplicare le proprie derivate.

vi

t+

vi

xjvj

Tuttavia nel caso di moto quasi stazionario in cui vj sono

piccoli, il termine convettivo puo essere eliminato e lequazione(approssimata) che si ottiene e lineare:

vi

t = fi +

1

ij

xj







Bilancio del momento angolare della quantita di moto


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Grazie al bilancio del momento della quantita di moto,considerando corpi non polari si ottengono le 3 semplici

equazioni:

ij = ji

Che quindi riducono a 6 i campi incogniti del tensore delle

tensioni.

Nei continui polari il punto materiale e sostituito dal dipolo, che

e definito da una posizione e da un orientamento. In tal caso leeqq. di bilancio del momento angolare della quantita di motosono piu complesse.







Bilancio dellenergia
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Analogamente dal bilancio integrale dellenergia puo esserededotta la forma locale:

+ vivi2

t+

+ vivi2

xjvj = fivi +

1

(ijvi)

xj+ r 1

qj

xj

Si introduce unequazione, ma ulteriori 3 scalari incogniti qi e 1scalare .









96/159

Combinando tale equazione con il bilancio della quantita dimoto si puo scrivere:

t+

xjvj =

1

ijdij + r 1

qj

xj

In cui dij sono i termini del tensore D velocita di deformazione.

Per differenza quindi:

vivi2

t +vivi

2

xjvj = fivi +

1

ij

xjvi

(Teorema delle forze vive)







Formulazione complessiva del problema


97/159

Equazioni di bilancio:

t(xi, t) +

xj((xi, t)vj) = 0

vi

t +vi

xj vj = fi +

1

ij

xj

t+

xjvj =

1

ijdij + r 1

qj

xj







Conteggio equazioni-incognite


98/159

Equazioni:1 eq. di continuita,

3 eq. di bilancio della quantita di moto,

1 eq. di bilancio energetico.









99/159

Campi incogniti, fondamentali:1 densita ,

3 velocita vi,

1 temperatura T.









100/159

Campi incogniti, derivati:6 tensioni ij,

3 flussi di calore qi,

1 energia interna .







http://find/


101/159

Complessivamente 5 equazioni, contro 15 incognite.

Il ruolo delle equazioni costitutive e quello di legare i 10 campiderivati (ij, qi, ) ai 5 fondamentali (, vi, T).







Campi incogniti del problema, descrizione Materiale
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102/159

I campi incogniti (fondamentali) del problema sono:densita (1 campo scalare (X, t)),

posizione x (3 campi scalari x(X, t)),

temperatura T (1 campo scalare T(X, t)).

In totale 5 campi incogniti.

Come gia anticipato compare la posizione attuale x piuttostoche la velocita v.








Campi incogniti del problema, descrizione Materiale
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103/159

I campi (derivati) sono gli stessi del problema precedente, marappresentati nella configurazione di riferimento:

tensore T (9 campi scalari TAB(X, t), di cui solo 6indipendenti),

flusso termico Q (3 campi scalari QA(X, t)),

energia interna (1 campo scalare (X, t)).

In totale ulteriori 10 campi incogniti.

Le quantita tensoriali di ordine 1, 2 appaiono modificate nella

descrizione materiale rispetto alle stesse quantita nelladescrizione spaziale.








Tensore e flusso materiali
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104/159

Il tensore degli sforzi materiale TAB, eil flusso termico materiale QA,

nella consueta trattazione della meccanica dei solidinonvengono distinti

dal tensore degli sforzi nella configurazione attuale ij e

dal flusso termico nella configurazione attuale qi.

Infatti nelle ipotesi di:

piccole deformazioni,

piccole rotazioni,coincidono.









Il i ifi t di T di Q ` ll di t
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105/159

Il significato di TAB

e di QA

e quello di rappresentare,rispettivamente, la stessa forza e lo stesso flusso termico, in

termini della descrizione materiale.

Quantitativamente significa imporre che:

a

nda =

A

TNdA

a

qnda = A

QNdA

Su una qualsiasi porzione di superficie









D l i lt t d ll i ti
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106/159

Dal risultato della cinematica:

nda = JFT1NdA

segue che:

T = JFT1

Q = JF1q









Oppure piu comodamente in forma inversa:
http://find/


107/159

Oppure piu comodamente in forma inversa:

=1

JTFT

q=

1

JFQ

Da cui e possibile esprimere le componenti:

ij =1

JTiA xj ,A

qi =1

JQA xi,A









Da questa forma risulta evidente che per avere:
http://find/


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Da questa forma risulta evidente che per avere:

ij TAB

qi QA

su tutto il campo di definizione e necessario che:

J 1 (ipotesi di piccole deformazioni),xiXA

iA (ipotesi di piccole deformazionie piccolerotazioni).

Per la valdita di questultima approssimazione e inoltrenecessario che lorientamento degli assi usati per la config. diriferimento A,B,C siano concordi con quelli usati nella config.attuale i,j,k.









Un esempio di disallineamento della direzione degli assi per
http://find/


109/159

Un esempio di disallineamento della direzione degli assi, percui non e possibile sfruttare lapprossimazione ij TAB,qi QA.

Nessuna

possibilit di

approssimare

le componenti

.

con.

TAB ijX1

X2

x2

x1

E tuttavia sufficiente una rotazione del sistema di riferimento.








Tensore materiale

Un classico esempio in cui lipotesi di piccole deformazioni e
http://find/


110/159

Un classico esempio in cui l ipotesi di piccole deformazioni erispettata, ma non quella di piccoli spostamenti e:

la canna da pesca

X2

X1dX1

dX2

dx1

dx2

x1

x2








Tensore materiale

Anche nellipotesi di assenza di deformazione J = 1 (la


111/159

Anche nell ipotesi di assenza di deformazione J = 1 (lalunghezza della canna da pesca non viene alterata) il forte

angolo di rotazione allestremo implica che:

F = x1, 1 x1, 2x2

,1

x2

,2 =

cos sin

sin

cos








Tensore materiale

In questo caso i termini xi A possono essere significativamente
http://find/


112/159

In questo caso i termini xi, A possono essere significativamentediversi dallunita:

x1, 1 =x1

X1= cos

x1, 2 = x1

X2= sin

Anche se non ce nessuna distorsione di volume:

J = |F| = 1








Tensore materiale

Ad esempio il termine di tensione 11 e legato a T11 dalla
http://find/


113/159

Ad esempio il termine di tensione 11 e legato a T11 dallaseguente relazione:

11 = T11 cos T12 sin

e quindi 11= T11 in particolare nel caso in cui sia grande.








Tensore materiale

Inoltre e importante notare che:
http://find/


114/159

Inoltre e importante notare che:

12 = T11 sin + T12 cos

21 = T21 cos + T22 sin

Essendo 12 = 21, come detto in precedenza, e facileindividuare una situazione in cui T12 = T21.

In generale il tensore materiale T non e simmetrico.

http://find/


115/159







Tensore materiale

In questo secondo esempio:


116/159

q p

F =

x1, 1 x1, 2x2, 1 x2, 2

=

a 00 b

Ad esempio il termine di tensione 11 e legato a T11 dalla

seguente relazione

11 =1

abT11a = T11

1

b




Equazioni di BilancioEquazioni Costitutive



Tensore materiale

Come visto in un esempio precedente, a differenza di , il


117/159

p p , ,tensore T non e in generale simmetrico.

Tuttavia e possibile definire

T=F1T

=JF1FT1

che e simmetrico dato che e simmetrico.

Esplicitando la forma inversa in componenti:

ij =1

JTABxi,A xj ,B







Tensore materiale

I tensori T e T vengono detti rispettivamente:
http://find/


118/159

g pprimoe secondo tensore di Piola-Kirchhoff.

Il primo compare direttamente nelleq. di bilancio della quantitadi moto secondo la descrizione materiale, il secondo compare

nelleq. di bilancio dellenergia ed inoltre per la proprieta disimmetria e piu adatto nella definizione delle costitutive.

Puo risultare quindi piu lineare definire soltanto T etemporaneamente convertire in T, nel bilancio della quantita di

moto.

Di seguito verra seguita questa strada.








Lequazione di continuita, espressa secondo la descrizione
http://find/


119/159

materiale, puo essere comodamente sostituita dallintegrazione

nel tempo, precedentemente esposta:

J = 0







Bilancio della massaPiccole deformazioni e piccole rotazioni
http://find/


120/159

Nel caso di piccole deformazioni e piccole rotazioni la forma diJ trova la semplificazione:

J xiXA

per cui leq. di continuita puo essere semplificata nella:

xi

XA = 0








Ricordando leq. di bilancio secondo la descr. spaziale:
http://goforward/http://find/http://goback/


121/159

vi

t+

vi

xjvj = fi +

1

ij

xj

Il termine di derivata temporale si trasferisce in modo naturale

nella descrizione materiale:

vi

t+

vi

xjvj =

2xi

t2








http://find/


122/159

vi

t+

vi

xjvj = fi +

1

ij

xj

Il termine di forza di volume fi rimane inalterato, tuttavia

compare 0 invece che








http://find/


123/159

vi

t+

vi

xjvj = fi +

1

ij

xj

Infine lultimo termine viene sostituito con la divergenza

materiale del tensore T = FT








In definitiva:
http://find/


124/159

2xi

t2= fi +

1

0

XA

xi

XBTAB

In cui il termine a sinistra e lineare, ma non lo e affatto il

termine a destra.

http://find/


125/159






Bilancio della quantita di motoPiccole deformazioni e piccole rotazioni

L di bil i d ll tit ` di t i t i di ll


126/159

Leq. di bilancio della quantita di moto si presenta quindi nellaforma:

2xi

t2= fi +

1

0

ij

Xj

Che gode dellimportantissima proprieta di essere lineare nelleincognite xi e ij.









Leq. di bilancio dellenergia si presenta nella forma:


127/159

+

xit

xit

2

t= fi

xi

t+

1

0

XA

xi

XBTAB

xi

t+r 1

0

QA

XA

Da cui, come in precedenza, e possibile sottrarre il termine dienergia cinetica ed ottenere il bilancio dellenergia interna:

t= r 1

0

QA

XA+

1

0TAB

EAB

t








Bilancio dellenergiaPiccole deformazioni e piccole rotazioni

Introducendo le ipotesi semplificative di piccole deformazioni e
http://find/


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Introducendo le ipotesi semplificative di piccole deformazioni epiccole rotazioni, si ottiene:

2

+xit

xit

2

t2= f

i

xi

t+

1

0

Xj

ij

xi

t+ r

1

0

qj

Xj

Da cui, di nuovo, sostituendo il termine di energia cinetica

t

= r

1

0

qi

Xi+

1

0ijdij








Formulazione complessiva del problema

Equazioni di bilancio:
http://find/


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J = 0

2xi

t2= fi +

1

0

XA

xi

XBTAB

t= r 1

0

QA

XA+

1

0TAB

EAB

t








Formulazione complessiva del problemaPiccole deformazioni e piccole rotazioni

Equazioni di bilancio approssimate:
http://find/


130/159

Equazioni di bilancio, approssimate:xi

Xi

= 0

2

xit2

= fi + 10

Xj

ij

t= r 1

0

qi

Xi+

1

0ijdij






Materiale Semplice / Materiale a Memoria Evanescente

Costitutive piu semplici



2 Ci ti di D f i
http://find/


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3 Equazioni di BilancioEquazioni globali di bilancioEquazioni locali di bilancio (descr. Spaziale)











Ruolo delle eq. costitutive

Le equzioni costitutive hanno il ruolo di definire il

comportamento del materiale
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132/159

comportamento del materiale.

Impongono un legame fra le incognite derivate e quellefondamentali.

http://find/


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Descrizione Spaziale

La formulazione piu generale, delle costitutive, secondo la

descrizione spaziale e del tipo:


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descrizione spaziale e

santus - seminario_meccanicadeicontinui

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