UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

ESCUELA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA

ESTADISTICA 2

1 EJERCICIO DE BAYES (PRUEBA)20 EJERCICIO DE PROBABILIDAD

5 EJERCICIOS DE BAYES

Ximena SandovalCa4-7

Quito, DM, 18 DE octubre de 2012

Ejercicio de teorema de bayes, de la prueba

1. Un importante almacén está considerando cambiar su política de otorgamiento de crédito para reducir el número de clientes (crédito-habientes) que finalmente no pagan sus cuentas. El gerente de crédito sugiere que en lo futuro el crédito le sea cancelado a cualquier cliente que se demore una semana o más en sus pagos en dos ocasiones distintas. La sugerencia del gerente de crédito se basa en el hecho de que en el pasado, el 90% de todos los clientes que finalmente no pagaron sus cuentas, se habían demorado en sus pagos en por lo menos dos ocasiones.Suponga que de una investigación independiente, encontramos que el 2% de todos los clientes (crédito-habientes) finalmente no pagan sus cuentas y que de aquellas que finalmente sí las pagan, el 45% se han demorado en por lo menos dos ocasiones.Encuentre la probabilidad de que un cliente que ya se demoró por lo menos en 2 ocasiones finalmente no pague su cuenta y con la información obtenida analice la política que ha sugerido el gerente de ventas.

Solución.

Sean los eventos definidos de la siguiente manera:L: el evento de que un cliente (crédito-habiente) se demore una semana o más en sus pagos, en por lo menos 2 ocasiones distintas.D: el evento de que un cliente finalmente no pague su cuenta y sea D . el evento complementario del evento DSe requiere aplicar la probabilidad condicional

P(D│L)=(P(D∩L)) = (P(L│D)P(D))(P(L)) (P(L│D)P(D)+P(L│D � )P(D �))

Sustituyendo los datos del problema, tenemos

P(D│L) = ((0.90)(0,02)) = 0.018 = 0.0392((0.90)(0.02)+(0.45)(0.98)) 0.018 + 0.441

La probabilidad que se ha obtenido es de aproximadamente 0.04. Esto significa que 1 de cada 25 clientes está dentro de los que finalmente no pagan y le será retirado del crédito. ¿Será apropiado el pagar el precio de perder 24 clientes “buenos” para eliminar un cliente “malo”?La respuesta natural es no. La sugerencia del gerente no es la mejor.

20 ejercicios de probabilidad

1. Supongamos que las cotizaciones de las acciones de telefónica y Sniace son variables aleatoria y que la probabilidad de que un día cualquiera suban es del 70% para ambas ¿Cual es l probabilidad de que en un día cualquiera suban solo uno de ellos?

Solución

Sea p1 la probabilidad de que se suba telefónica y p2 la de que se suba snicae. La probabilidad de que solo suba una de ellos será

P1(1-p2) + (1-p1)p2 =( 0.7 * 0.3 ) + ( 0.3 * 0.7

0.21 + 0.21 0.42

2. La probabilidad de cara de dos monedas son 0.4 y 0.7 calcular la probabilidad de que al lanzar dos monedas, salga sólo una cara, Repetir el apartado anterior teniendo en cuenta de que ambas monedas tienen la misma probabilidad de obtener cara.

Solución

Para que salga cara ha de ocurrir una de las dos siguientes que la primera moneda saque cara y la segunda cruz o viceversa

( 0.4 * 0.3 ) + ( 0.6 * 0.7 )= 0.12 + 0.42 = 0.54

P((CnX)U(XnC)

Si las monedas están bien construidas las probabilidades de cara cruz son iguales a 0.5 por tanto

P((CCnX)U(XnC))( 0.5 * 0.5 ) + ( 0.5 * 0.5 )

0.25 + 0.25 = 0.5

3. Sea la urna U (2B, 3N, 4R). Extraemos tres bolas, una a continuación de la otra. La primera es negra, la segunda no se mira y la tercera es blanca. Hallar la probabilidad de que la segunda sea roja.

SOLUCIÓN: Una vez es extraída la primera bola que es negra, la urna es U(2B, 2N, 4R). Al extraer la segunda, pueden ocurrir tres casos: que sea blanca, negra o roja, obteniéndose tres urnas

distintas, con probabilidad 1/4, 1/4 y 1/2 respectivamente. La tercera bola procede de una de estas tres posibles urnas.

Sabiendo que la tercera bola es blanca, la probabilidad de que la segunda bola haya sido roja, equivale a la probabilidad de que la tercera bola provenga de U

2 2 blancas 2 negras 2 rojas2 8 8 84

8 bolas en totalla tercera bola procede de una de estas tres posibles urnas

2/8B U1(1B, 2N, 4R)U 2/8 N U2(2B,1N,4R)

4/8 r U3(2B,2N,3R)

Sabiendo que la tercera bola es blanca, la probabilidad de que la segunda bola haya sido roja, equivale a la probabilidad de que la tercera bola provenga de U3.P(U3/B) = P(B/U3)*P(U3)

ΣP(B/ U2)* P( U1)

= 2/7 * 1/2 1/7 * 1/4 + 2 * 1/4 + 2/7 * 1/2

= 4/7

4. En un dado bien construido consideramos los sucesos A y B, tales que A es la obtención

de una puntuación mayor o igual que 4 y B la de 3 o 6. Utilizando los teoremas del cálculode probabilidades, determínese si:(a) Los sucesos de A y B son disjuntos.(b) Los sucesos de A y B son independientes.

SOLUCIÓN

(a) Los sucesos de A y B son disjuntos.Si los sucesos de A y B son disjuntos, se verificara que; P(AI B) = 0 .Obtendremos el suceso intersección AI B :AI B = (4,5,6) I (3,6) = (6) ;P(AI B) = P(6) = 1/ 6 ≠ 0.Por tanto, A y B no son disjuntos.(b) Los sucesos de A y B son independientes.

Si A y B son independientes, P(AI B) = P(A) ⋅ P(B)

P(A) =36

P(A) P(B)=

3*

2=

1/66 6

P(B) =26

Luego los sucesos A y B son independientes

5. Cosideramos que una moneda truncada de tal forma que la probabilidad de cara = P© =0.3) si se arroja la moneda 5 veces, calcúlense las probabilidades de los siguientes sucesos

Dos cruces

SOLUCION

Probabilidad de qu en las dos primeras tiradas aparezcan dos cruces y las restantes caras = P(ccc, CCC)

La situación es análoga a la anterior excepto que se fija el orden n que ha de aparecer las distintas posibilidades de la moneda por lo tanto:

P(cncnCnCnC)= P(c )* P(c )* P(C )*P(C )* P(C )

0.3 ^ 2 * 0.7 ^ 30.0309

6. Calcúlense, en el juego del poker, las probabilidades siguientes:(a) De póker. (b) De full.(c) De color: 1. Sin excluir las escaleras de color; 2. Excluyendo las escaleras de color.(Se supondrá una baraja de cuarenta cartas.)SOLUCIÓN:(a) Probabilidad de póker.Para obtener póker se necesitan cuatro cartas del mismo punto. Como hay 10 puntos, se tendrán10 pókeres básicos. La quinta carta será cualquiera de las 36 restantes; por consiguiente, habrá10 36 pókeres. El número total de manos es igual a (40

5) grupos distintos de 5 cartas.a) La probabilidad de póker es

P(póker) 10(36) 40 = 360…= 0.000547 5 658008 (b) Probabilidad de full.

P(full)= (4/2)(10)(4/3)(9) = 0.003283 (4/5) (c) Probabilidad de color.

P(full) = (10/5)(10/4) = 0.000383

(40/5)El número de escalera de color de cada palo es de 6 y como hay 4 palos , 24 por tanto el número de manos de color sin escaleras seráP(color)= (10/5)(4)-(24) = 0.000347 (40/5)

7. En unos grandes almacenes, hay 500 clientes, 130 hombres y 370 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que salga a la calle un hombre y luego una mujer si no sabemos si el primero ha vuelto a entrar antes de la salida de la mujer? ¿Y si salen dos hombres? (No sabemos si el primero

SOLUCIÓN:(a)

P(HM) = P[[H(s.no.e)M]U[H(s.e)M]] = P[H(s.no.e)M]+ P[H(s.e)M](130) (370) (130) (130)= 0.385(500)*(499)+(500)*(500)

(b) Mediante un razonamiento analogo,P(HM)=P(H)P(H/M)+P(H)*P(H) =130 129 130 130 = 0.135500* 499+500* 500

8. Describe el espacio muestra asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios1) lanzar tres monedas 2) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos3) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras 4) el tiempo, con relación a la lluvia que hará durante tres días consecutivos

SOLUCIÓN:1. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio

muestral:

E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}2. E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}3. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:E={BB,BN,NN}4. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene elsiguiente espacio muestral:

E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

9. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y B?

SOLUCIÓN:Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales:

E={(VVV),(VVH),(VHV),(HVV),(VHH),(HVH),(HHV),(HHH)}

Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales:A={(HHH),(HHV),(HVH),(HVV)}

B={(VVV),(HVV)}

10.En una clase de 10alumnos van a distribuirse 3 premios, averiguar de cuantos modos puede hacerse si

1. los premios son diferentes;

2. los premios son iguales.

SOLUCIÓN:Hay dos supuestos posibles:

-si una misma persona no puede recibir más de un premio:

1. hay 10,3 V =10•9•8 = 720 maneras de distribuir los premios si éstos son diferentes;

2. en el caso de que los premios sean iguales, pueden distribuirse de distribuirse de

10,3

C = 10( 9) 8 =120 Maneras.

11. Un dado esta trucado de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar

1) la probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento2) la probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamientoSOLUCIONEntonces las probabilidades son, teniendo en cuenta que

P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) =P(21)

X --> P(X)

1 --> 1/212 --> 2/213 --> 3/214 --> 4/215 --> 5/216 --> 6/21

a)

P(X=6) = 6/21 = 0.2857

b)

Número impar 1 o 3 o 5, la probabilidad es

1/21 + 3/21 + 5/21 = 9/21 = 3/7

12. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1La probabil idad de que salga el 7. 2La probabil idad de que el número obtenido sea par. 3La probabil idad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

SOLUCION

1) La probabi l idad de que salga el 7.

2) La probabi l idad de que el número obtenido sea par.

3) La probabi l idad de que el número obtenido sea múlt ip lo de tres.

13. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabil idad de que:

1) Salga 6 en todos.2) Los puntos obtenidos sumen 7.

SOLUCION1) Salga 6 en todos.

2Los puntos obtenidos sumen 7.

14. Hal lar la probabi l idad de que al levantar unas f ichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múlt ip lo de 4.

SOLUCION

15. Busca la probabil idad de que al echar un dado al aire, salga:

1Un número par.2Un múltiplo de tres.3Mayor que cuatro.

SOLUCION

1Un número par.

2Un múlt ip lo de tres.

3Mayor que cuatro.

16. Hallar la probabil idad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1Dos caras.2Dos cruces. 3Una cara y una cruz.

SOLUCION

1) Dos caras.

2) Dos cruces.

3) Una cara y una cruz.

17. En un sobre hay 20 papeletas, ocho l levan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabil idad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

1Si se saca una papeleta.2Si se extraen dos papeletas.3Si se extraen tres papeletasSOLUCION

1Si se saca una papeleta.

2Si se extraen dos papeletas.

3Si se extraen tres papeletas.

18. Los estudiantes A y B t ienen respectivamente probabil idades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabil idad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabil idad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examenSOLUCION

19. Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabil idad de que la maten?

SOLUCION

20. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres t ienen los ojos castaños. Determinar la probabil idad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

SOLUCION

5 EJERCICIOS DE BAYES

1. En un sistema de alarma, la probabilidad de que esta funcione habiendo peligro es 0.95 y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03.

Si la probabilidad de haber peligro es 0.1, determinar:

a) Calcular la probabilidad que habiendo funcionado la alarma no haya peligro.

b) Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione.

c) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione?

Realizamos una recopilación de datos dados por el enunciado del problema:

· O ≡ 'Alarma funciona'.· E ≡ 'Peligro'.

· P(E) = 0.1.

· P(O|E) = 0.95.· P(O|Ē) = 0.03.

Pasamos a resolver los apartados que nos propone el enunciado del problema.

Apartado a)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de que dado que funcione la alarma, no exista riesgo de peligro:

Primero, debemos obtener que la alarma funcione, para tal fin, emplearemos la Probabilidad Total:

P(O) = P(O|E)·P(E) + P(O|Ē)·P(Ē) = 0.95 * 0.1 + 0.03 * ( 1 - 0.1 )= 0.122

Sustituimos valores para obtener la solución:

= 0.2213115

Por lo tanto, la probabilidad de que la alarma funcione sin que exista peligro es de, aproximadamente, 0.221311.

Apartado b)

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de que exista peligro y la alarma no funcione:

= P(Ō|E)·P(E) = [1-P(O|E)]·P(E) = ( 1 - 0.95 ) * 0.1= 0.005

Por lo tanto, la probabilidad de que exista peligro y la alarma no funcione, es de 0.005, en otras palabras, este caso es poco probable que ocurra.

Apartado c)

En este apartado debemos obtener que uno de los mencionados estudiantes, estudiaran formación profesional, para tal fin, emplearemos la Probabilidad Total:

P(F) = P(F|E)·P(E) + P(F|Ē)·P(Ē)

= 0.3 * 0.25 + 0.4 ( 1 - 0.25 )0.375

Por lo tanto, la probabilidad de que uno de los mencionados estudiantes que solicitan empleo, estudie formación profesional es de 0.375.

En este apartado nos piden obtener la probabilidad de que dado que no funcione la alarma, exista riesgo de peligro:

Sustituimos valores y obtenemos la solución a este apartado:

Por lo tanto, la probabilidad de que dada que la alarma no funcione, exista peligro es de, aproximadamente, 0.005695, una probabilidad baja.

Este apartado está resuelto en el primer apartado:

P(O) = P(O|E)·P(E) + P(O|Ē)·P(Ē)

= 0.95 * 0.1 + 0.03 * ( 1 -= 0.122

La probabilidad de que la alarma funcione es de 0.122.

2. Una empresa multinacional desea elegir un candidato para ocupar la plaza de director técnico de la delegación que va a abrir en España. Tras las tres primeras pruebas de selección de los 100 candidatos iniciales, tres han quedado para la cuarta y última prueba que consistirá en una entrevista personal.

A la vista de los currículums presentados y de las puntuaciones obtenidas en las pruebas anteriores, se cuenta con probabilidades 0.3, 0.5 y 0.2 de elegir para el puesto a los candidatos 1º, 2º, y 3º respectivamente.

Se estima en un 80% las posibilidades de incrementar las ventas en el próximo año en la multinacional, si se elige al primer candidato. Para los otros dos: 2º y 3º, respectivamente se estiman el 10% y el 40% de posibilidades.

¿Qué candidato es el más idóneo para el puesto?

Realizamos una recopilación de datos dados por el enunciado del problema:

· A ≡ 'Candidato 1º'.· B ≡ 'Candidato 2º'.· C ≡ 'Candidato 3º'.

· P(A) = 0.3.· P(B) = 0.5.· P(C) = 0.2.

· I ≡ 'Incrementar las ventas'.

· P(I|A) = 0.8.· P(I|B) = 0.1.· P(I|C) = 0.4.

El candidato más idóneo para ser contratado es aquel cuya probabilidad sea mayor dado que van a aumentar las ventas gracias a su contratación.

· Para el candidato 1º:

· Para el candidato 2º:

· Para el candidato 3º:

Primero, debemos obtener la probabilidad de aumentar las ventas, para tal fin, emplearemos la Probabilidad Total:

P(I) = P(I|A)·P(A) + P(I|B)·P(B) + P(I|C)·P(C) = 0.8·0.3 + 0.1·0.5 + 0.4·0.2 = 0.37

Sustituimos valores para cada candidato:

· Para el candidato 1º:

Por lo tanto, la probabilidad dado que se incrementan las ventas, escoger al candidato 1º es de, aproximadamente 0.648649.

· Para el candidato 2º:

Por lo tanto, la probabilidad dado que se incrementan las ventas, escoger al candidato 2º es de, aproximadamente 0.135135.

· Para el candidato 3º:

Por lo tanto, la probabilidad dado que se incrementan las ventas, escoger al candidato 3º es de, aproximadamente 0.216216.

Se puede observar, que el candidato más idóneo dado que se incrementan las ventas, es el 1º candidato

3. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas.

De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas

tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona

un infante al azar.

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que

sea una niña.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso H: seleccionar una niña.

Suceso V: seleccionar un niño.

Suceso M: infante menor de 24 meses.

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante

identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que

tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.

a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es

que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un

infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad

será:

 

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de

bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y

que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido.

Entonces, la probabilidad de que sea niña un infante menor de 24 meses será:

4. Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus

pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes

mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además,

que son de género masculino el 25% de los que se realizan correcciones

faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se

selecciona un paciente al azar, determine:

a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino

b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se

haya realizado una cirugía de implantes mamarios.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales

Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios

Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas

Suceso H: pacientes de género masculino

a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de

probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los

condicionantes. Dicho valor será:

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de

bayes, luego, el valor de la probabilidad será:

5. Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar

ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero,

35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen

probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente

busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error.

Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que

un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por

lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de

igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado

erróneo, por lo tanto: