rpzbior1

Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1

Ćwiczenia 1.Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne,

własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

UWAGA: symbol ZZ oznacza J. Kłopotowski, M. Wrzosek, Zbiór zadań z rachunkuprawdopodobieństwa, podręcznik to J. Kłopotowski Wykłady z rachunku prawdopodobień-stwa.

1. Rzucamy czterema kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, żea) na każdej kostce będzie inny wynikb) na wszystkich ten sam wynikc) chociaż na dwóch kostkach ten sam wynik.

2. W urnie jest 5 kul białych i 7 czarnych. Losujemy bez zwracania 4 kule. Obliczprawdopodobieństwo zdarzenia, żea) wylosowano 1 białą i 3 czarneb) wylosowano 2 białe i 2 czarnec) nie wylosowano białej.

3. Pięć osób wsiada na parterze do windy bloku 7 piętrowego. Zakładamy, że wysiadająlosowo na piętrach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, żea) wszyscy wysiądą na pierwszym pietrze.b) wszyscy wysiądą na jednym z pięter.c) trzech wysiądzie na piętrze piątym i dwóch na szóstym.d) Wysiądą na dwóch piętrach: na jednym 3 osoby na drugim 2 osoby.e) dwóch na piątym piętrze i dwóch na szóstym.f) wysiądą na trzech piętrach: na dwóch z pięter po 2 osoby na pozostałym jedna.

4. Z odcinka (0, 1) wybieramy losowo 2 liczby x i y. W zależności od parametru a ∈ Roblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, żea) xy < a, dla jakich a to prawdopodobieństwo jest większe niż 13 .b) y ¬ x2 + a.c) y a+

√x.

d) min(x, 14) < a.e) max(x, y) < a.

5. Z odcinka (−1, 1) wybieramy losowo 2 liczby x i y. Dla jakich wartości parametru


m ∈ R zachodziP (Am) >

13,

gdyAm = (x, y) ∈ (−1, 1)2 : |x− y| ¬ m.

6. Patyk o długości l dzielimy na trzy części. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,że z utworzonych części da się zbudować trójkąt.

7. Zadania z rozdziału 1.1. ZZ

8. Dane są zdarzenia A, B i C. Za pomocą działań na zbiorach wyrazić zdarzeniaa) zajdzie tylko Ab) zajdą dokładnie dwa z rozważanych zdarzeńc) zajdzie mniej niż trzy z rozważanych zdarzeńd) nie zajdzie A ale zajdzie B.

9. W wyniku doświadczenia możemy otrzymać jedno z trzech wzajemnie wykluczają-cych się zdarzeń: A, B, C. Prawdopodobieństwo otrzymania A lub B jest równe 23 , aprawdopodobieństwo otrzymania B lub C jest równe 34 . Oblicz prawdopodobieństwokażdego z tych zdarzeń.

10. Niech (An)∞n=1 będzie ciągiem zdarzeń parami rozłącznych, takich że Ω =⋃∞n=1An i

P (Ak+1) = 34P (Ak) dla k = 1, 2, . . .. Oblicz P (A1).

11. a) Dane są P (A ∪ B) = 34 i P (A ∩ B) =12 i P (A \ B) = P (B \ A). Oblicz P (A) i

P (B \ A).b) Dane są P (A′ ∩B′) = 14 , P (A ∩B) =

18 , P (A

′) = 58 . Oblicz P (B).

12. 1.32, 1.33, 1.34 ZZ

13. Umieszczamy 10 kul o numerach 1, 2, . . . , 10 w czterech szufladach. Oblicz prawdo-podobieństwo, że w każdej będzie chociaż jedna kula.

14. Mamy pięć zaadresowanych kopert i pięć zaadresowanych listów. Wkładamy loso-wo list do koperty. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden list trafi dowłaściwej koperty.

15. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że wśród wybranych kart jest a) as; b)szóstka; c) 8 kart jednego koloru; d) będą karty wszystkich kolorów?

16. Z talii 52 kart wybrano 7 kart. Jaka jest szansa, że wśród nich będzie przynajmniejjeden pik oraz przynajmniej jedna dama?


Ćwiczenia 2.Niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo warunkowe,wzór na prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa

1. Losujemy kolejno 13 kart z talii 52 kart. Po obejrzeniu pierwszych 8 nie mamy asa.Oblicz prawdopodobieństwo, że w ogóle nie mamy asa.

2. Rzucono dwa razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek jest więk-sza niż 8, jeśli wiadomoa) że w pierwszym rzucie wypadło 5 oczek.b) w dokładnie jednym z rzutów wypadło 5 oczek.

3. Z talii 52 kart losujemy jedną. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowano pika, a B- że asa. Czy A i B są niezależne?

4. Rzucamy kostką do gry i monetą. Skonstruować przestrzeń probabilistyczną dlatego doświadczenia. Niech A oznacza zdarzenie, ze wypadło co najmniej 5 oczek lubreszka, a B co najmniej 3 oczka i orzeł. Zbadać, czy A i B niezależne.

5. Niech A i B niezależne. pokaż, że A’ i B’ niezależne.

6. Niech P (B) = 25 , P (A|B) =14 , P (A∪B) =

35 , P (C|A∩B) =

12 , P (C|A) =

34 . Oblicz

P (B|A ∩ C).

7. Niech zdarzenia A i B będą niezależne i P (A) = P (B) = p. Niech P (C|A) =P (C|B) = P (C|A ∩B) = r i P (C ′|A′ ∩B′) = 1. Oblicz P (A|C).

8. W urnie sa 4 kule: biała, czerwona, zielona i trójkolorowa (biało-czerwono-zielona).Losujemy kulę. Niech B oznacza zdarzenie, że kula zawiera kolor biały, C - czerwony,Z - zielony. Czy są one niezależne, a niezależne parami?

9. 1.29, 1.36, 1.38, 1.40, 1.43 ZZ

10. Dwie z czterech pracujących niezależnie lamp odbiornika zawiodły. Znaleźć praw-dopodobieństwo, że zawiodła pierwsza i druga jeśli prawdopodobieństwa zepsuciaposzczególnych lamp są równe p1 = 0, 1, p2 = 0, 2, p3 = 0, 3, p4 = 0, 4.

11. Hrabia, Tadeusz i Robak oddali niezależnie po jednym strzale do niedźwiedzia. Ger-wazy stwierdził, że jedna kula trafiła. Jaka jest szansa, że trafił Tadeusz, jeśli praw-dopodobieństwa trafienia są równe: dla Tadeusza 0,8, Hrabiego - 0,5 i Robaka -0,9.


12. 9, 12, 13 str. 16 podręcznik

13. Towarzystwo ubezpieczeniowe dzieli populacje kierowców na ostrożnych i ryzykan-tów. Wiadomo, że jeden ryzykant przypada na trzech ostrożnych. Prawdopodobień-stwo spowodowania co najmniej 1 wypadku w ciągu roku przez ostrożnego jest równe0,04 przez ryzykanta 0,2.a) Losowo wybrany kierowca spowodował co najmniej 1 wypadek w ciągu roku.Oblicz prawdopodobieństwo, że należy do ostrożnych.b) Losowo wybrany kierowca nie spowodował wypadku w roku I, oblicz prawdopodo-bieństwo, że nie spowoduje wypadku w roku II. Zakładamy, że zachowanie kierowcy(odpowiednio ostrożnego i ryzykanta) w roku drugim nie zależy od jego zachowaniaw roku pierwszym.

14. Student losuje pytanie na egzaminie. Wśród czterech odpowiedzi jedna jest popraw-na. Gdy student zna odpowiedź wybiera poprawną, gdy nie zna zgaduje. Studentzna odpowiedzi na 75% pytań. Student odpowiedział prawidłowo na wylosowanepytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zgadywał.

15. Dane są dwie urny: A i B. W urnie A są 2 kule białe i 3 czarne, w B 3 białe i 2czarne. Wykonujemy trzy etapowe doświadczenie:I etap: losujemy urnęII etap: z wylosowanej urny losujemy 2 kule i nie oglądając ich wkładamy je dodrugiej urny,III etap: Z urny, do której włożyliśmy kule, losujemy 1 kulę.Obliczyć prawdopodobieństwo, że w drugim etapie wylosowaliśmy kule jednego ko-loru, jeśli w etapie trzecim wylosowaliśmy kulę białą.

16. Są dwie kostki symetryczne i jedna obciążona, na której szóstka wypada z prawdopo-dobieństwem 1/11, a pozostałe wyniki mają równe szanse. Wybrano losowo kostkęi wykonano nią dwa rzuty. Nie uzyskano szóstki. Obliczyć prawdopodobieństwo, żekostka jest obciążona.


Ćwiczenia 3.Zmienna losowa dyskretna, schemat Bernoulliego

1. Gra polega na rzucie kostką i monetą. Jeśli wypadnie orzeł i szóstka wygrywamy 3,jeśli reszka lub nieparzysta liczba oczek to wygrywamy 1, w przeciwnym przypadkuprzegrywamy 6. Podaj zbiory zdarzeń elementarnych odpowiadających poszczegól-nym wygranym. Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X równejwypłacie. Wyznacz dystrybuantę.

2. Rozkład zmiennej losowej X podaje tabela.

x -2 -1 0 1 3P (X = x) 5

30430

630

530 a

Wyznacz a, oblicz i naszkicuj dystrybuantę, oblicz P (X ∈ (0, 52)).

3. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X wiedząc, że dystrybuanta rozkładu tej zmien-nej jest równa

F (x) =

0 gdy x < −20, 2 gdy x ∈ [−2, 1)0, 3 gdy x ∈ [1, 3)0, 6 gdy x ∈ [3, 4)1 gdy x 4

4. 2.1 ZZ

5. Wyrazić za pomocą dystrybuanty prawdopodobieństwa: P (X < b), P (X a),P (X ∈ [a, b]), P (X ∈ (a, b]), P (X = a), P (X > a).

6. Rzucamy niezależnie cztery razy dwiema kostkami do gry. Wyznacz rozkład zmien-nej losowej równej liczbie rzutów, w których suma wyrzuconych oczek jest mniejszaniż 5.

7. Dwóch koszykarzy A i B oddaje niezależnie po trzy rzuty piłką do kosza. Prawdo-podobieństwo trafienia w pojedynczym rzucie jest równe: dla koszykarza A 0,6 dlaB 0,7. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obaj trafią tyle samo razy.

8. Rzucono 8 razy niezależnie kostką. Wiadomo, że otrzymano 4 szóstki. Niech X bę-dzie zmienną losową równą liczbie szóstek przy dwóch pierwszych rzutach. Wyznaczjej rozkład i dystrybuantę.


9. Rzucono 8 razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszymrzucie otrzymano szóstkę, jeśli wiadomo, że a) otrzymano 3 szóstki? b) w następnych7 rzutach otrzymano szóstki?

10. W urnie jest 5 kul, przy czym każda może być czarna lub biała (nie wiemy ile jestkul białych i każda liczba kul białych jest jednakowo prawdopodobna). Losując 4razy ze zwrotem po jednej kuli wylosowaliśmy jedną kulę białą i trzy czarne. Jakiejest prawdopodobieństwo, że w urnie była jedna kula biała i cztery czarne.

11. Bolek, Lolek i Tosia rzucają po kolei monetą. Wygrywa osoba, która pierwsza wy-rzuci orła. Znaleźć szanse wygranej dla poszczególnych osób.

12. zadania na rozkład geometryczny do wyboru z rozdziału 2.1 ZZ

13. Po terenie miasta jeździ 1000 samochodów. Prawdopodobieństwo wezwania pogo-towia technicznego w ciągu doby przez samochód wynosi 0,002. Oszacuj prawdopo-dobieństwo, że chociaż jeden samochód wezwie pogotowie techniczne w ciągu doby.

14. Jaka jest szansa, że w schemacie Bernoulliego otrzymamy parzystą liczbę sukcesów?Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów?

15. Zad 1.56, 1.58, 1.61, 1.62 ZZ (przybliżenie rozkładem Poissona rozkładu Bernoullie-go)


Ćwiczenia 4 i 5.Zmienna losowa ciągła, funkcja zmiennej losowej, charakterystyki (EX, V arX = D2X, mediana)

1. Losujemy punkt z odcinka [0, 1] i względem tego punktu dzielimy nasz odcinek nadwa mniejsze. Przez X oznaczmy zmienną losową będącą ilorazem długości krótsze-go do długości dłuższego z uzyskanych odcinków. Przyjmując naturalną konstrukcjęprzestrzeni probabilistycznej dla tego doświadczenia losowego (Ω = (0, 1)), zidenty-fikuj zdarzenia: X > 1/2, 1/4 < X < 1/3, X = 1/2. Oblicz P (X > 1/2),P (1/4 < X < 1/3), P (X = 1/2). Wyznacz dystrybuantę i gęstość rozkładu zmien-nej losowej X.

2. Wyznacz stałą c, jeśli wiadomo, że funkcja f jest gęstością zmiennej losowej o rozkła-dzie absolutnie ciągłym. Wyznacz i naszkicuj dystrybuantę, Oblicz P (X ∈ [12 , 2)).a)

f(x) =cx gdy x ∈ (0, 2)0 w przeciwnym przypadku.

b)

f(x) =4x− 3x2 gdy x ∈ (0, a]0 w przeciwnym przypadku.

3. Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie absolutnie ciągłym ma postać

F (x) =

0 gdy x < 1(x− 1)2 gdy x ∈ [1, a)1 gdy x a.

Wyznacz stałą a i gęstość.

4. Czas bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia jest zmienną losową o rozkładzie ab-solutnie ciągłym z funkcją gęstości postaci

f(x) =ae−2x gdy x > 00 w przeciwnym przypadku.

Wyznacz stałą a, naszkicuj dystrybuantę, wyznacz stałe s, t takie, że

P (X > t) = 2P (X < t) P (X > s) = P (X < s)

5. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0. ObliczP (X > t + s|X > t), gdzie t, s > 0 są ustalonymi liczbami. Oblicz P (X > s). Cozauważyłeś?


6. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Wyznacz gęstość idystrybuantę zmiennej losowej Y = 3X + 1, Z = e−X . Wyznacz EX, EY , EZ.

7. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

a) f(x) = a 11+x2

b)

f(x) =a 11+x2 gdy x ∈ (−1,

√3)

0 w przeciwnym przypadku

Wyznacz a i gęstość oraz dystrybuantę zmiennych Y = X3, Z = X2.

8. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 2). Wyznacz rozkładzmiennej Y = 1

X, Z = minX,X2, V = max1, X, W = 1 gdy X < 1 i W = 0

gdy X 1. Oblicz wartości oczekiwane otrzymanych zmiennych.

9. Rzucamy kostką do gry. Niech X oznacza liczbę wyrzuconych oczek a Y = |X − 3|.Wyznacz rozkłady zmiennej X i Y oraz EX, EY , E(X + Y ), V arY .

10. Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z p = 13 . Wyznacz rozkład zmiennejY = cos(πX), Z = cos(π2X). Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennychwystępujących w zadaniu.

11. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

f(x) =

a(x+ 1) gdy x ∈ [−1, 1]a(−x+ 5) gdy x ∈ (3, 5)0 w pozostałych przypadkach

Wyznacz a, naszkicuj wykres gęstości i dystrybuanty, oblicz EX, D2X, D2(2X−4),podaj gęstość zmiennej Y = |X|.

12. W państwie A płaca minimalna jest równa 100 jednostek a odsetek osób zarabia-jących ponad x jednostek jest równy 400−x300 , gdzie x ∈ (100, 400]. Wyznacz rozkładpłacy i oblicz jej wartość oczekiwaną. Oblicz E(3X − 100).

13. Rzucamy 10 razy kostką. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję sumy oczek.

14. Dziesięć osób wsiada losowo do siedmiu wagonów. Wyznacz wartość oczekiwanąliczby pustych wagonów.

15. Powtarzamy doświadczenie polegające na rzucie kostką do gry tak długo aż pojawisię każda liczba oczek. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.


16. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 7 i wariancji 9.Wyznacz rozkłady zmiennych Y = 2X + 4, Z = eX . Oblicz EX2, EY , D2Y .

17. Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać

F (x) =

0 gdy x < −1110 gdy x ∈ [−1, 0)210(x+ 1) gdy x ∈ [0, 2)1 gdy x 2.

Wyznaczyć rozkład zmiennej X. Obliczyć P (X > 0), P (X = 0 ∨ X = 2), EX,D2X.

18. Wypłata w grze losowej jest obliczana jako X = maxU −2, 0, gdzie U jest zmien-ną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 4). Wyznaczyć dystrybuantęzmiennej X, EX, D2X.

19. Zadania z rozdziału 2.2. ZZ


Ćwiczenia 6 i 7.

Rozkład łączny dwuwymiarowej zmiennej dyskretnej, suma niezależnych zmiennychlosowych, rodzaje zbieżności ciągu zmiennych losowych, twierdzenia graniczne

1. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech X = mini, j i Y = maxi, j, gdziei, j to liczby wyrzuconych oczek. Wyznacz rozkłady zmiennych: X, Y , (X, Y ),Z = (X − 2)2. Oblicz P (X > 3 ∧ Y > 3). Czy zmienne X i Y są niezależne?

2. Zmienna losowa X przyjmuje z dodatnim prawdopodobieństwem tylko wartości 2 i-6, a zmienna losowa Y wartości -1 i 3. Wyznacz rozkład zmiennej (X, Y ) jeśli X iY są niezależne i EX = 0 i P (X = −6∧Y = −1) = 1

16 . Oblicz E(XY ), D2(X−Y ).

3. Podaj przykłady zmiennych losowych X i Y takich że P (X = 1) = P (X = 2) =P (X = 3) = 13 i P (Y = 1) = P (Y = 2) = P (Y = 3) =

13 i

a) X i Y niezależne;b) X i Y zależne.W obu przypadkach wyznacz rozkład zmiennej losowej S = X + Y .

4. Rzucamy dwa razy kostką. Niech X oznacza liczbę oczek w pierwszym rzucie, a Yma wartość 1 gdy na obu kostkach wypadła szóstka i 0 w pozostałych przypadkach.Wyznacz rozkład zmiennej losowej S = X + Y . Czy X i Y są niezależne.

5. Dziesięć liczb o numerach 1, 2, . . ., 9, 10 ustawiamy na dziesięciu ponumerowanychmiejscach (numery miejsc też od 1 do 10). Niech X oznacza numer miejsca, naktórym stoi liczba 1, a Y numer miejsca, na którym stoi liczba 2. Wyznacz rozkładzmiennej losowej (X, Y ), rozkłady zmiennych X i Y , EX, P (X < 4|Y = 6), P (X <4|Y = 3).

6. Zmienne losowe X i Y są niezależne i każda ma rozkład jednostajny na przedziale(0, 1). Wyznacz gęstość rozkładu zmiennej S = X + Y .

7. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 0,5 a zmiennalosowa Y rozkład gamma o gęstości p(x) = 4xe−2x dla x > 0. Wyznacz gęstośćrozkładu zmiennej S = X + Y .

8. Rzucono 50 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę orłów, Y zaś— liczbę orłów w pierwszych 20 rzutach.a) Wyznacz Cov(X, Y ).b) Czy zmienne X i Y są niezależne.


9. przykłady z zad 5.1, 5.2 5.3 ZZ

10. 5.4 ZZ

11. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach

P (X1 = 0) = 1

P (Xn = −√lnn2) = P (Xn =

√lnn2) = 0, 5

Wykazać, że ciąg (Xn) spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.

12. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach

P (X1 = 0) = 1

P (Xn = 0) = 1−2n

P (Xn =√n) = P (Xn = −

√n) =

1n

Sprawdź, czy ciąg (Xn) spełnia warunek Markowa i Kołmogorowa.

13. Niech Xn będzie zmienną losową o rozkładzie gamma Gamma(6n, 13n), niech

Yn =Xnna+ n, n = 1, 2, . . . .

Dla jakich wartości a ∈ R ciąg (Yn) spełnia warunek Kołmogorowa.

14. np 5.19, 5.20, 5.24, 5.27 ZZ

15. Rzucamy symetryczną kostką tak długo, aż suma oczek przekroczy 700. Oceń praw-dopodobieństwo tego, że w tym celu trzeba będzie wykonać a) więcej niż 210 rzutów;b) mniej niż 180 rzutów; c) od 180 do 210 rzutów.

16. 1800 razy wybieramy losowo jeden punkt z odcinka (1, 5). Obliczyć przybliżonąwartość prawdopodobieństwa zdarzenia, żea) 550 razyb) więcej niż 550 razyotrzymamy punkt, którego odległość od środka przedziału jest większa niż 13 długościprzedziału.

17. Pan A stoi codziennie w kolejce po mleko. Czas stania jest zmienną losową o roz-kładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 5 min. Obliczyć przybliżoną wartośćprawdopodobieństwa zdarzenia, że po 324 dniach łączny czas stania przekroczy 24godziny.


18. Jest n = 25000000 podatników. Niech Xi oznacza wartość błędu (w zł.) i-tegopodatnika przy wypełnianiu rocznego zeznania podatkowego, wiemy, że EXi = 0i D2Xi = 2500, i = 1, 2, . . . , n. Jaka jest szansa, że straty państwa z tego powoduprzekroczą 1mln zł. Można założyć, że zmienne losoweXi są niezależne o tym samymrozkładzie.

19. Dany jest ciąg (Xn) niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzierównomiernym P (Xn = i) = 0, 2, i = 0, 1, 2, 3, 4. Obliczyć prawdopodobieństwozdarzenia, że średnia arytmetyczna 100 tych zmiennych jesta) mniejsza niż 2;b) należy do przedziału (1, 3).

rpzbior1

Documents