rozptyl v kvantovej mechanike
DESCRIPTION
Rozptyl v kvantovej mechanike. Stacionárne stavy bezspinovej častice ro z ptýlenej na sfericky symetrickom potenciálnom poli. vlnová funkcia vlastný stav energie, kvadratu momentu hybnosti a jeho tretej komponenty. (B1). Požiadavky na potenciál V(r). spojité spektrum. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/1.jpg)
Rozptyl v kvantovej mechanike
![Page 2: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/2.jpg)
Stacionárne stavy bezspinovej častice rozptýlenej na sfericky symetrickom potenciálnom poli
(B1)
Požiadavky na potenciál V(r)
VEpre
VEpre
VVrVr
0 obvykle )(lim0
spojité spektrum
diskrétne spektrum vždy
vlnová funkcia vlastný stav energie, kvadratumomentu hybnosti a jeho tretej komponenty
![Page 3: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/3.jpg)
a) Sferický symetrický potenciál konečného dosahu
Zaujíma nás iba časť potenciálu, kde V(r) = 0, pre r ≥ a
(B2)
kde a
Rovnica (B2) je prípad rovnice pre sferické Besselove funkcie a riešenie je:
(B3)
![Page 4: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/4.jpg)
(B3)
s nasledujúcou asymptotikou
a
Od normalizačných konštánt A a B prejdeme k novým : C a δl :
Potom pre riešenie Rel :
(B4)
Fázové posunutie δl môžeme získať z podmienky spojitosti logaritmickej deriváciev bode r = a, (t.j. zošívaním s riešením (B1) pre r ≤ a .
hodnotu C dosteneme z normalizácie:
Poznámka: nl(kr) sa tiež nazýva Neumannova funkcia.
![Page 5: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/5.jpg)
Obecne platí, že asymptotické chovanie má aj Rel(r), riešenie (B4) pre V(r), ktoréklesajú rychlešie ako 1/r.
Pre oblasť r ≤ a rovnicu (B1) treba riešiť konkrétny tvar potenciálu.
b) Coulombov potenciál V(r) = γ /r
(B5)
Tato diferenciálna rovnica 2. rádu má dve linárne nezávislé riešenia pre E > 0. Riešenia fl(γ, kr) a gl(γ, kr) sa lišia asymptotikou (podobne ako Besselova a Neumannova funkcia) :
a (B6)
![Page 6: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/6.jpg)
(B6)
kde
σl je tzv. Coulombove fázové posunutie
![Page 7: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/7.jpg)
Pre asymptotiku platia vzťahy:
c) Superpozícia potenciálu konečného dosahu s Coulombovým potenciálom
(B7)
kde pre r > a V(r) = 0. Pre r > a rovnica (B7) prejde na (B5). Podmienka V(r) = 0pre r > a môže byť trochu voľnejšia , dá sa totiž ukázať, že ak V(r) klesá rychlejšieako 1/r predošlé tvrdenie ostane v platnosti.
V asymptote pre r →∞ riešeniš Rel(r) bude kombinácia Neumannových funkcií fl(γ, kr) a gl(γ, kr) viď. (B6)
(B8)
![Page 8: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/8.jpg)
Asymptotika bude daná:
(B9)
normalizačná konštanta C je daná:
Prítomnosť potenciálu V(r) krátkeho dosahu sa prejaví dotatočným fázovým posunutím δl’ , ktoré sa sčíta s Coulombovým fázovým posunutím.
![Page 9: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/9.jpg)
Pružný rozptyl bezspinových častíc
Rozptyl zvykneme charakterizovať účinným prierezom, celkovým a diferenciálnym.Diferenciálny účinný prierez rozptylu je definovaný ako pomer počtu častíc, produkovaných za jednotku času do jednotky priestorového uhla dΩ = sinθ dθ dφ k hustote toku dopadajúcich častíc. Počet častíc cez plošku dS je daný ako |j|r2dΩ.
)(
)(
,)(
)( 2
rj
rj
rj
rrj
d
d
D
R
D
Rel
diferenciálny účinný prierez
vektor hustoty toku rozptylených častíc
vektor hustoty toku dopadajúcich častíc
Hustota toku v kvantovej mechanike je:μ je hmota častice
![Page 10: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/10.jpg)
Schématické znázornenie procesu rozptylu:
V prípade rozptyl na vstupe (v počiatočnom stave) máme rovinnú vlnu a ďaleko odcentra rozptylu máme rozbiehavú sferickú vlnu. Vlnovú funkciu problemu budemehľadať v asymptotickom vare ako súčet rovinnej vlny a rozbiehavej sferickej vlny
kde
(B10)
![Page 11: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/11.jpg)
Vektor hustoty toku dopadajúcej vlny je
Vektor hustoty toku rozptylenej vlny počítame v sferických súradniciach, kde
sin
11
re
re
rer
a
2
2
2
2
2
2
2
)',(')',(2)',(
2
)exp()exp()exp()exp()',(
2
r
kkf
M
k
r
kkf
M
ekik
rkkf
iM
e
r
ikr
r
ikr
r
ikr
r
ikrkkf
iM
ej
rr
rR
![Page 12: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/12.jpg)
Treba si uvedomiť, že v prípade pružného rozptylu:
rekkkk
' a '
Diferenciálny účinný prierez pružného rozptylu bude
22
)',()(
)(kkf
rj
rrj
d
d
D
Rel
(B11)
V prípade centrálneho potenciálu vlnová funkcia ψ(r) nezávisí od uhla φ (azimut) a rozloženie podľa Legendrových polynomov je oprávenené
(B12)
kde uL(r) splňuje Schrödingerovú rovnicu
(B13)
![Page 13: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/13.jpg)
s hraničnou podmienkou v počiatku: uL(0) = 0 (požadujeme, aby uL(r)/r bolopre r = 0 konečné.)
Rovinnú vlnu (pri voľbe súradnej sústavy k = (0, 0, kz) ) môžeme rozložiť:
(B14)
Tento rozklad v asymptote dáva
(B15)
V asymptote prítomnosť člena s potenciálom V(r) sa prejaví vo vlnovej funkciiuL(r→∞) fázovým posuvom δL (podľa výrazu (B4))
(B16)
![Page 14: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/14.jpg)
kde δL je fázový posun L-tej parciálnej vlny, CL je parameter a jeho hodnota sa sá určiť z podmienky, aby pre r→∞ výraz (Ψ(r) - exp(ikz)) reprezentoval iba rozbiehavé vlny. (exp(ikz je dopadajúc a rovinná vlna a Ψ(r) - exp(ikz) by mal obsahovať iba rozbeihajúce vlny, ktoré odpovedajú častici po rozptyle):
![Page 15: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/15.jpg)
Aby predošlý výraz obsahoval iba rozbiehavú vlnu musí platiť
(B17)
Podľa (B10) amplitúda a diferenciálny účinný prierez pružného rozptylu
(B18)
![Page 16: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/16.jpg)
Výpočet výrazu (B18) (Davidov Kvantovaja mechanika p. 509 - 513)
''0',0
2 sinsin)(cos)(cos)1'2)(12( 'LLL
LLL
ii PPeeLLkd
dLL
Integrál cez polárny a azimutálny uhol dáva celkový účinný prierez procesu
dPPeLLk
d
dd
LLLLLL
i
elast
LL
0',0 )4(
'')(2
)4(
)(cos)(cossinsin)1'2)(12( '
'
)4(
' 12
4)(cos)(cos LLLL LdPP
Pre integrál Legendrových polynómov cez celý priestorový uhol platí:
Poznámka Kroneckerova δLL’ a nie fázové posunutie
![Page 17: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/17.jpg)
0
2
0
2 sin)12(4l
LLl
elast Lk
Potom účinný prierez pružného rozptylu bude:
2
22
21)12(
4sin)12(
4LLL SL
kL
k
kde σL je parciálny účinný prierez
![Page 18: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/18.jpg)
).(cos)1()12(2
)(0
LLL
PSLk
if
Maticové elementy SL jednoznačne určia amplitúdu rozptylu. V prípade pružného rozptylu môžu byť vyjadrené cez reálne fázové posuvy
LLLLL iiSiS sin)exp(21 alebo )2exp(
Poznámka:
Ak je otvorených viac kanálov reakcie nie len pružný rozptyl, potom tieto kanálysú viazané interakčným potenciálom a miesto jednej rovnice typu (B13) pre uL(r)máme sústavu rovníc pre niekoľko funkcií uL(r). V tomto prípade S matica je užskutočná matica a jej dimenzia je daná počtom otvorených kanálov reakcie.Príkladom takej interakcie je napríklad tenzorová sila, keď potenciál interakcieje necentrálny a dochádza k zmiešavaniu stavov s rôznymi orbitálnymi momentmi.
Vráťme sa ešte k výrazu pre amplitúdu rozptylu (B17)
![Page 19: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/19.jpg)
Použitím vzťahu (B15) a definície (B20) prepíšeme asymototický tvar vlnovejfunkcie (B17) na tvar
(B21)
Pokiaľ máme otvorený iba jeden kanál (pružný rozptyl), potom tok pravdepodobnostizbiehavej vlny a rozbiehavej vlny musí byť rovnaký, čiže
(B22)
Ak okrem pružného kanálu sú otvorené aj iné, potom časť pravdepodobnosti vnesenádo terčíka zbiehavou vlnou pružného kanálu sa premení na rozbiehavé vlny v ostatnýchotvorených kanaáloch. Z toho dôvodu rozbiehavá vlna v pružnom kanáli bude slabšiaa pri uvažovaní aj iných kanálov (okrem pružného) platí
(B23)
![Page 20: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/20.jpg)
ak si zapíšeme maticový element pružného rozptylu ako
kde fázový posun bude komplexný
potom platnosť (B23) bude automaticky zabezpečená.
Tato skutočnosť súvisí s tým, že keď uvažuje aj iné kanály (pružný + ...)pri určení vlnovej funkcie uL(r) z (B13), bude pre pružný kanál (v rovnici (B13))prítomný komplexný optický potenciál V(r) a jeho imaginárna časť je zodpovednáza „únik“ pravdepodobnosti z pružného kanálu do ostatných kanálov.
![Page 21: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Rozptyl v kvantovej mechanike](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062222/56815757550346895dc501fc/html5/thumbnails/26.jpg)