Równanie różniczkowe zupełne i równania do niego

sprowadzalne

Bronk Przemysław

Definicja:

Niech dane funkcję M i N będą funkcjami klasy W pewnym płaskim obszarze jednospójnym D. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci:

(1) nazywamy równanie różniczkowym zupełnym, gdy istnieje taka różniczkowalna funkcja u=u(x,y) klasy że:

1

1C

0),(),( dyyxNdxyxM

2C

),( yxMx

u

),( yxNy

u

Dyx ),(

Wiadomo, że taka funkcja istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek :

(2)

Gdy warunek (2)jest spełniony to równanie (1) można zapisać w postaci:

a stąd wynik, że jest rozwiązanie ogólnym równania (1).

x

N

y

M

Dyx ),(

0),( yxdu

Cyxu ),(

Załóżmy że równanie (1) nie jest rownaniem zupełnym. W pewnych przypadkach możemy wyznaczyć taka funkcję µ klasy w obszarze D, że równanie:

będzie równaniem zupełnym. Funkcje µ nazywamy czynnikiem całkującym równania (1). Funkcja µ jest czynnikiem całkującym wtedy i tylko wtedy gdy w obszarze D jest spełniony warunek:

1C

0),(),(),(),( dyyxNyxdxyxMyx

x

N

y

M

)()(

Co prowadzi do następującego związku:

co dalej po uporządkowaniu:

(3)

Funkcja µ jest czynnikiem całkującym równania (1), gdy spełniona jest równość (3).Dodamy tutaj założenie, że funkcja µ jest funkcją tylko jednej zmiennej tzn. zmiennej x lub y , gdyż w przeciwnym przypadku rozwiązanie jest trudne do wyznaczenia.

x

N

xN

y

M

yM

y

M

x

N

xN

yM

(A) Załóżmy że µ=µ(x). To oznacza, że i równanie (3) przyjmuje postać:

(4)

Jeżeli wyrażenie po prawej stronie równania (4) jest funkcją tylko jednej zmiennej x, to czynnik całkujący ma postać:

, gdzie

0y

x

N

y

M

Nx

11

dxxA

ex)(

)( .1

)(

x

N

y

M

NxA

(B) Załóżmy że µ=µ(y). To oznacza, że i równanie (3) przyjmuje postać:

(5)

Jeżeli wyrażenie po prawej stronie równania (5) jest funkcją tylko jednej zmiennej y, to czynnik całkujący ma postać:

, gdzie

0x

x

N

y

M

My

11

dyyB

ey)(

)( .1

)(

x

N

y

M

MyB

Można też szukać czynnika całkującego w postaci , gdzie stałe p i q należy wyznaczyć. W tym przypadku nie będę wypisywać ogólnego wzoru, tylko pokaże praktycznie, jak postępować, aby taki czynnik całkujący wyznaczyć. Może się okazać, że równanie różniczkowe może mieć wiele czynników całkujących.

qp yxyx ),(

Przykład 1: Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego

Sprawdzam warunek (2)

w całej płaszczyźnie, wiec jest to równanie zupełne. Ponadto wiemy, że

Całkując drugie równanie względem y, otrzymujemy:

0)sin()cos( 2 dyxydxxxy

xy

Mcos

xx

Ncos

x

N

y

M

,cos 2xxyx

u

xy

y

usin

)(sin2

2

xxyy

u

Aby wyznaczyć funkcję , obliczamy i porównujemy ją z funkcją M, więc

czyli: i stąd

zatem rozwiązanie ogólne określa wyrażenie:

xu

2cos'cos xxyxyx

u

2)(' xx .3

)( 1

3

Cx

x

Cx

xyy

3

sin2

32

Przykład 2: Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego

Łatwo sprawdzić, że nie jest to równanie zupełne, gdyż a więc Szukamy czynnika całkującego. Zauważmy, że wyrażenie

nie jest funkcją tylko zmiennej x, więc nie istnieje czynnik całkujący µ=µ(x). Ponieważ wyrażenie:

jest funkcją tylko zmiennej y więc czynnik całkujący istnieje i ma postać:

0)1()( 232 dyxydxyxy

,32 2yyxM y 2yN x xy NM

xy

yxy

N

NM xy

21

)(2

)(2

)(

)(22

yByyxy

xyy

M

NM xy

2

21

)(y

eydy

y

Mnożymy obie strony równania wyjściowego przez czynnik całkujący, wiec:

Otrzymane równanie jest równaniem zupełnym, zatem: więcStąd , czyli

całkując względem y, mamy a więc całka ogólna jest opisana wzorem:

0)()( 2 dyxydxyx

yxu y )(2

1 2 yxyxu

xyyxu y 2)(' 2)(' yy

)(' y1

1)( Cyy

Cy

yxx 1

2

1 2

Przykład 3: Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego

Łatwo sprawdzić, że nie istnieją czynniki całkujące zależne tylko od jednej zmiennej x lub y. Szukamy czynnika całkującego w postaci . Mnożąc równanie przez funkcję , otrzymujemy (6)

Przyjmujemy oznaczenie

i wyznaczamy

0)1( 2 dyyxxydx

qp yxyx ),(

0)( 1131 dyyxyxdxyx qpqpqp

1* ),( qp yxyxM qpqp yxyxyxN 113* ),(

qpy yxqM )1(*

qpqpx yxpyxpN )1()3( 12*

Łatwo zauważyć, że otrzymane równanie będzie równaniem zupełnym wtedy i tylko wtedy, gdy . Stąd, porównując współczynniki przy wyrażeniach: iotrzymamy następujący układ równań

Oczywiście q=1, p= -3 jest rozwiązaniem tego układu równań, a więc jest szukanym czynnikiem całkującym i równanie zupełne (6) ma postać:

**xy NM

qp yx 12 qp yx

qp yx12 qp yx

)1(1 pq

30 p

yxyx 3),(

0)( 2223 dyyxydxyx

Rozwiązując to równanie, mamy : czyli więc

oraz

Stąd wynika, że całka ogólna jest dana wzorem

23yxux )(

2

1 22 yyxu

yxyyyxu y222 )('

2)(' yy 13

3

1)( Cyy

Cyyx 322

3

1

2

1

Literatura:

• Jankowska K., Jankowski T.: Zadania z matematyki wyższej, Wydawnictwo PG: Gdańsk 1999