R O T A C I O N P O R E L D E P R O L O N G A C I O N D E

M E T O D O V E C T O R E S

La rotación se considera como complemento, s i no esencial, inte­grante, al menos, del Análisis Factorial. Cuando este análisis se aplica a variables psicológicas o pedagógicas, la rotación cobra una trascendencia singular. La factorización, sin la rotación, cuan­d'o- se verifica por el método centroide o s imilares, brinda una se­rie de ejes oTtogonales, y las saturaciones de los tests en dichos ejes . No es probable que estos ejes y saturaciones corre.>pondan a las aptitudes objetivas que en psicopedagogía tienen un sentido de comprobación empírica. Son, eso sí, relaciones matemáticas rea­les, no s ólo de las saturaciones respecto de los ejes , sino también de las saturaciones entre s í . Estas relaciones se hacen sensibles en la representación gráfica de los pares de saturaciones sobre e�es de coordenadas . La inspección de estas proyecciones aconseja, de ordi­nario, una desviación de los ej es tal que confiera sentido psicope­dagógico a los 'resultados de la factoTización. Esta es da finalida,d de la rotación y de su técnica.

Acerca de una y otra puede consultarse un artículo nuestro apa­recido en la ·revista Bordón (1 ) y otro próximo a aparecer en 1a J<.evista de Psicología y Pedagog'ia Aplicaxlas, en el cual se detalla el procedimiento ·de rotación esférica, a'Plicable a las matrices de tres factores.

A continuación expondremos el procedimiento denominado por Thurstone de prolongación de vectores (extended vectors), utili­zado en el análisis factorial del aprendizaje, expuesto en un nú­mero anterior de ·esta misima REVISTA con el título «La selección de los aprendices» (2) . Junfo a la breve noticia de la páctica �

(r) El anáfü;i.s fadorial ; la práctica del método centroide. Bord6n, nú­

mero 58, 1956.

(2) Número 53, enero-marzo, 1956.

ROTACION POR EL M;ETODO . . . 1 8 5

este procedimiento rotativo apunta·remos .las aclaraciones estric­tamente necesarias para una comprensión elemental del mismo .

De momento haremos una, previa, que nos familiarice con la intención y la ventaja del procedimiento elegido . Facilita la labor grandemente, en efecto, pues la primera rotación reduce los fac2 tares que han de ser representados a n-1 hiperplanos de r- 1 dimen-­sienes ; es decir, a una matriz factorial de r-1 columnas. La causa de esta reducción se puede enten.der fácilmente con una figuración. lmagine1t11os una esfera transparente, cruzadas en sus tres dimen� siones por lo·s respectivos ejes perpendiculares . Exterior a la esfera, tangente a ella y perpendicular a uno estos ejes, figurémonos un plano . En la superficie de la esfera, frente al plano imaginemos aquí y allá algunos puntos . Más clara será la ficción si nos repre­sentamos los puntos como diminutas manchas opacas en la super­ficie redonda. Si en el origen de los ejes, en el centro· interno d� a la_ esfera, en el supuesto de que todos los puntos estuvieran en rían proyectados como sombras sobre la pantalla o plano tangente a la esfera en el supuesto de que todos los puntos estuvieran en el casq,uete frontero de la pantalla . Como el plano, todo él, es per­pendicular a la esfera en el extremo de un radio·, que es la unidad, todos los puntos del plano tendrán la unidad de proyección sobre dicho eje . Y como entre los puntos del .plano están también las sombras proyectadas desde la superficie esférica, resultará que, me- . <liante esta operación, podremos representar las tres anteriores di­mensiones en las solas dos del plano, neutralizando una de dichas tres dimensiones mediante su reducción a la unidad. Los planos .�erán s iempre proyección de espacios definidos por una dimensión más que las propias . En el caso· de b es.fera�res dimensiones-, Ja extensión de los vectores hace posible su representación y rota­ción en una pantalla plana. Una matriz cuatrifactorial es rofable eil tres hiperplanos tridimensionales por este procedimiento . Tal es nuestro caso .

Una recta sobre e l plano determinará la intersección de este plano con otro que lo atraviesa. Y cuando una de estas rectas está determinada por una serie de puntos, habrá que imaginarse estos puntos como lo único visible de un plano que por ellos at'rav:iesa de parte a parte la superficie en que a'hora los · vemos proyectados .

1 8ó FRANCISCO SECADAS MARCOS

Sigu.iendo con el ejemplo de luz y s ombra:s, siempre que s obre la

esfeht se alineen en recta una serie de puntos opacos, sus sombras

determinan un plano a lo largo del trayecto aéreo desde la e 3 fera

a la pantaUa. Los puntos sombreados de la pantalla determinan la

intersección de ambos pfanos .

Después d e este preámbulo pasemos a l a técnica misma . La ire­

mos exponiendo con tal detalle que sirva de guía en casos s imi­

lar·es a quien lo desee . HagélJlTlos antes la advertencia de que este pro­

cedimiento no se puede utilizar s in complicaciones, más que en aque-

w i:.-�esm-I'l Ejes r-II lI

/ /

;f"''1 i:a L..--í �

¡';i:::f;.._ �- --; �y / � � ti5 / • •E GM 1 .

T N\ Di / ... •e i ' "---- /

/ ' 1

� ,•ij_ VI m \ ' I

1\ ' I A ' m ' '

ª' \ ' Ejes I-fil \

\ · : � ' ¡....--... \ �

\ l/•o Ag 1 ', ( �(!A �

h� •);- -EJes II-m _. -4 a •C

[jes lI-nT - / ���A m - /-....._ 14 ¡---....._"

r � '-, 11.lf � it_E " , ,•T113\

""

/ •e •ty;_ �.E D � l.---¡---....._

Q• ------ - -r-m - , I l� /'"< I 1 ,.. "M �:� lI/ " � / 1/ .T .F !:.--- G \...._ V � � � IIl \ I__..--;

JI J &F [ \ \ •Ac J ' / /

·y Ac

/ T• ' w \ I • L---'C< 11 {' �\ / / ( oAe .

\ / � \� \., m / -

fig. 1 .0-Repre s e n tación de f0• DentrCi> de l o s círculos se h a n i ntrod ucido aque­l los elementos q u e posteriorme nte se h a n loca liza d o como factores. Se i n dica

con n ú mero¡ rom a n o s el fa ctor a q u e corres po n d e n .

ROTACION POR EL M ETODO . . . 187

llos casos en que haya alguna columna de la matriz factorial que ten­

ga todas sus saturaciones positivas ; pues, de existir algún punto ne­

gativo éste no s-e proyectaría sobre el plano-pantalla al prolongar los

radios o vectores más aUá de la superficie esférica.

UN ESBOZO PREVIO

Como es obvio, partimos de la matriz factorial hallada Fo (Ta­bla I) y del s upuesto de que el analista desconoce los factores que le

van a resultar. Esta primera desorientación no tiene por qué ser ab­

soluta, ni mucho menos ma.ntenerse a lo largo de los tantea.mientas

de la rotación . Sería de desear la presencia de algún indicio orienta­

dor, a ser posible ya desde el comienzo . De tal puede servir la

reJ)resentación previa de las columnas factoriales directas (Fig. r . •) . De la comparación de unos diagramas con otros resultan una se­

rie de posibilidades de ineerpretación de positivo valor orienta­

dor en toda la marcha subs iguiente. En el gráfico se han rodea­

do e i dentificado con el número romano del factor a que co�

rresponden.

Aparte de lo que este momento nos ocupa, que es la rotación,

diremos que las di;ferenci'as de variam:ta entre las matrices de d o 3

tactoTes, d e tres o d e cuatro, sobre todo. entre l a d e tres . y l a d e

<.:liatro, n o e s tan grande como para considerar desacerta·do · e l cri­terio práctico de pararse antes de extraer el cuarto factor, como

:;e puede comproba·r en la Tabla I, C. ebaj o de los respectivos en-2 2 2 2

cabezamientos, h2 , 113 y h . Las h2 son las comunidades cuando la 2

matriz consta de dos columnas o factores solamente ; las h3 son

las de tres columnas, y las h2, las de cuatro factores de que consta

la matriz defin�tiva . Es sabido que las comunidades resultan de

sumar horizontalmente los cuadrados de las saturaciones facto­

riales de cada fila y que representan la parte de la varianza de cada test o elemento de.¡ análisis que es explicada por los fat­

tores comunes ha'llados. El resto del contenido del test constitu­

ye s u peculiaridad, y se sale de este tipo de análisis comunitario . Puede, en efecto, observarse que, salvo los elementos C�M-F­

Ca-Ae, en los cuales las comunidades aumentan algo, todos los

•

•

TA

8 L

A

Fo

1 ?

2

h;

1 h3

1

11

J 11

IV

D

1 .

..

..

. ..

.72

-.4

6 .2

7 -

.25

,73

.80

A

2 ..

....

..

.68

-.7

1 .1

8 -

.18

.97

1.0

0

Ag

3 .

....

...

.92

-.4

0 -

.39

.24

1.0

1 1

.16

G

4 .

..

..

..

..

.6

2 -

.73

.05

.21

.92

,92

T

5 ..

....

...

76

.08

-34

.2

1 .5

8 .7

0

e

6 .

...

....

6

3

.13

.36

.36

,41

.54

M

7 .

. ..

..

.5

8 .3

0 .1

6 .3

2 43

.4

5

F

8 ..

...

....

45

.5

0 .3

7 .2

1 .4

5 . 5

9

Ca

9

....

....

. . 5

5 .5

6 .2

5 -

.35

.62

.6

8

E 10

..

....

...

66

' .2

5 -

.26

· -.0

5 .5

0 .5

7

Ac

11

...

....

..

.48

.25

-.1

4 -

.07

.29

.31

Ae

12

..

...

...

.58

.24

. 37

-.3

7 .3

9 .5

3

E o

h2 D

1 11

-

-- .87

1.3

89

1

.000

-

.639

f.0

3 1

.47

1 1

.000

-

1.0

44

1.2

2

1.0

87

1.0

00

-. 4

35

. 96

1.6

13

1.0

00

-1

.17

7

.74

1.3

16

1.0

00

.105

.67

1.5

87

1.0

00

.206

.55

1.7

24

1.0

00

.511

.63

2.2

22

1

.000

1

.111

.80

1 8

18

1.0

00

1.0

18

.57

1.5

15

1.0

00

.379

.32

�.0

83

1.0

00

-. 5

21

.67

1.7

24

1.0

00

.414

111 .375

.265

- -42

4

.08

1

-.4

47

.57

1

.276

.822

.455

-.3

94

-.2

92

.638

IV

-.3

47

-.2

65

.26

1

.339

.276

.57

1

.552

.46

7

-.6

36

-.0

76

-.1

46

-.6

38

- 00

00

>rj s: � ......

U'l

n

o

V1

tr1 &2 � Ul

�

> � &;

ROTACION POR EL M ETODO . . . 189

demás mantienen en las suyas valore� sensiblemente iguales . Esta consideración no resta valor teórico a la factorización <lei cuarto vector, puesto que de ella resulta nada menos que uno de los tactores más claramente localizados de todo el análisis ; pero muestra que en la práctica puede extraerse gran utilidad, con poco riesgo, de una matriz incompleta, pero altamente signifi­cativa. Esto es especialmente interesante para los casos en que, como el nuestro, se aspire a deducir del análisis unas normas y criterios objetivos y prácticos de orientación o selección profee­sional.

LA PRIMERA ROTACIÓN

Pasemos ya a 1a rotación misma. P'arlimos de la matriz facto­rial Fo, resultante del cálculo . Observamos que la, primera colum­na �s enteramente positiva . Ello hace posible e1 procedimienfo de prolongación de vectores, pues, además, el número de facto­res excede de dos. Sigámoslo por sus pasos contados . (Tabla I .)

r .ª Hallar los multiplicadores D . Cada uno de ellos resulta <le dividir la unidad por la correspondiente saturación en la pri­ra columna. As.í el primero , I ,389, es cociente de l/0,72. El se­gundo, l ,471 , de r/o,68.

2 .<1 ·Multiplicar por cada D todas las saturaciones de su fila para formar la matriz Ea. Debajo del nuevo factor I habrá que escribir siempre la unidad, puesto que el multiplicador procede de dividir la unidad por el que ahora es multiplicando . Si antes re­sultaba l , 389 = l/0.72, es natural que 0,72 x 1 ,389 = I , y así de los demás . En los restantes ejes se colocan los prodncfos en las columnas respectivas . Se observará que de la cua'l:ro columnas se ha neutralizado una, convertida t>n unidad, con 1o que quedan solamente tres para hacer 1a primer"- representación y rotación. (Tabla II.)

� -º Representación de los puntos de Eo, como se ve en la figura z . a. El procedimiento de proyección es Igual que para las rjemás ma'l:rices . (El punto F para los nuevos ejes III y IV, por ejemplo, es 0,822 de abscisa y 0,467 de ordenada .) (Fig. 2 .•) .

TA

BL

A

11

501

=

Lo1

1 1

1 1

1 1

1 1

l ¡

I A

2 B 2

C

2 D

2 _

I i.

oooi

.630

.5

30

.37 0

1 .

..

l. .

. 1.

000

.200

2 .

.. 1

000

11

...

-1.

000

.260

3 .

. . 1

.000

ll

I ...

.7

50

.590

-1.

000

.230

4 .

.. 1

.000

5 .

. . 1

.000

IV

...

1.

000

-1.

00C

6 ...

1.0

00

7 ...

1.00

0

"1 1.

603

l.

745

1.34

9 1.

190

8 .

•.

1.

000

�l�·l� 9 .

.. 1

.000

1.

266

1. 32

1 1.

162

1.09

1 10

...

1.00

0 .7

90

.757

.8

61

.91'7

11

...

1.00

0 12

...

1.00

0 H

o1 =

So

1 D

1 =

M

o1

1 1

1 1

1 1

A2

B 2

C2

D2

1 1

1 l.

..

1.00

0 .1

58

.477

.4

56

. 33�

l .

...

1.00

0 11

..

•

-.7

57

.224

A

...

.1

58

B ..

. .4

77

lll . .

. . 5

93

. 447

-

.861

.2

11 c

...

.4

56

IV .

.•

.790

-

.917

D .

..

. 339

E1 =

E 0

H01

A 1 B

1 e . 1

D

1 . 1

06

1.12

9 -

.010

.7

36

. 106

1.

385

-.0

06

. 638

.1

13

.616

.7

24

.011

. 4

74

1.40

4 .1

22

.045

.1

11

.198

.8

65 -

.008

.9

48

.576

.0

10 -

.065

.7

58

.209

.3

34 -

.109

1

.014

.0

03 -

.003

.0

84

-.0

74 -

.091

.2

92

1. 01

8 -

.136

.0

14

.880

.3

26

-.1

30 -

.048

.8

24

.411

.0

32

.449

o

1.05

9

1 C

1 =

Mo1

Mo1

A 1 B

1 e 1 o ·

-

l. 00

1 1

.340

1.

001

-. 4

39 -

.337

. 9

99

-.5

45

.256

-.0

27

l. 0

01

TA

BL

A

11

1

-V

1 = F 0

A (A

=

M0,

-1)

1 1 11

1 llI

1 IV

.076

.8

12

-.0

07

.530

.0

72

.941

-

.008

.4

34

.104

.5

68

.666

.0

10

.294

.8

71

.076

.0

28

.084

. 1

50

.658

-

.007

.5

97

.364

.0

06

-.0

40

.440

.5

22

.193

-

.062

.4

56

.001

-

.002

.0

38

-04

2 -

.050

.1

61

.560

-

.090

.0

10

.581

.2

15

-.0

62

-.0

23

.396

.1

97

.019

.2

60

-.0

01

.614

- -o

o

""1 � z ¡;::¡ {fl

()

o � ()

;:i:.. � � ()

o

{fl

-

ROTACION POR EL M1ETODO . . . 191

i:r � fil

� ...-.!:�����--iF3-����.----i

:::-:: "' 4ll "Q) "'

� (1)

-e E o

-e

E o e .s::; <I>

C/) o w

(1) -e e

'º u E e CD "'

.OJ � o Q_

-- ... °" 1

o

Ñ Ol

u..

1 92 FRANCISCO SECADAS MARCOS

4. º Se buscan en la gráficas aquellas series de puntos, que es­tén en linea recta o más aproximadamente colocados en tal po3i­<.:1ón y por ellos se traza una, recta . Esta deternnina la sección de un plano por dichos puntos . En el diagrama II-III, por ejem­plo, se ha trazado el plano C por los puntos D-A-C-F-Ae, y el plano B por entre los elementos F�Ca-E-Ac.

5 .0 La designación d e los planos e& convencional y, a la pos­tre, ind�ferente. S(in embargo, es conveniente adOlp.tar alg·una norma. Nosotros, siguiendo a Thurstc,ne, hemos adoptado la que vamos a deducir de los siguiente. Refirámonos al llamado plano C .

S e traza una perpendicular a é l a través del origen d e coordena­das , d irigida hacia el lado del plano en donde se encuentran re­presentados los restantes elementos o el may0'r número <le ellos . (Al trazar los planos s e procura atravesar con la recta el mayor

número de puntos posible ; en caso de igualdad se aconseja pre­ferir aquella en que los puntos se extienden más .) Como se ha ­brá notado, la perpendicular discontinua se ha designado por el símbolo c2 y lo mismo las restantes perpendiculares con relación a

su plano . La razón o, mejor, la norma es designar esta perpen­dicular con la letra corr·espondiente al eje con la cual corre más próximamente paralela o del cual se desvía menos . 1Aquí es el e.je 1 1 1 , y por eso se ha llamado C'2 el vector, y e el plano co­rrespondiente. Habrá que decir lo mismo de los planos B y D y de sus respectivos B'2 y D'2 • El plano A no se puede regir por la misma norma, puesto que no hay eje I en estas representaciones . Entonces se busca otra sucesión de puntos que no se identifique con ninguna de las anteriores y por ella se traza el plano A. El punto extremo· de su p�rpendicular A' 2 se relacionará con los ejes del plano en que se haya trazado. En nuestro caso estos ejes son el III y el IV. Obsérvese que los vectores A: 2, B' 2 C' 2 y D' �

tienen la unidad de proyección sobre su eje de referencia. 6.0I La rotación va a consistir en referir a los nuevos planos

la estructura anterior. Esto se logrará multiplicando la matriz Eo por la matriz transformadora que r�sulte <le las representaciones anteriores y ·de los cálculos .

Tomemos como punto d e referencia e l C'2, término d e la nor­mal al plano e, por la cual dicho plano queda definido. Este pun-

ROTACION POR EL METODO. 193

to terminal está determinado por sus referencias a las ejes III y H-ique son los del plano en que se han proyectado los pun� tos-y al plano I, con relación al cual to·do el conjunto tiene proyección igual a la unidad. Para fijar mi.méricamente estas re­laciones se opera como sigue :

a) La relación con respecto a los ejes II y III se determi­na anotando sencillamente la colocación del punto C'2 con res­pecto a los dos ejes de coordenadas . Para simplificar se prnlon­ga la perpendicular discontinua hasta al unidad en C. El pun­to C'2 tendrá, pues, las cotas -I .oo III + 0,26 I I .

b) La relación con el eje I viene dada por el punto de inter­sección del plano C con el III , del ,-nal se ha. tomado la denomi­nación de e y figura como término independiente de la ecuación.

e) Hay que advertir, acerca del signo del ténrnino indepen­diente, que es positivo cuándo la perpendicular C'2 atraviesa el wigen de coordenadas al dirigirse desde el plano hasta el extre­mo adopta fo, como es el caso actual ( + 0, 53), y negativo cuan­�º no lo atraviesa.

d) La e:A"Presión completa será, por tanto :

C'2 = �I .oo III + 0,26 II + 0, 53

e) De modo similar se pueden de terminar las otras columnas de la transformación So1, que queda·rán fijadas como sigue :

B2' = -I .oo II + 0,59 III + 0,63

D2' = -1 .oo IV + 0,23 I I I + 0,37

A2' = I .00 IV + 0,75 JII + 0,20

7.0 Se agrupan los resultados en la rmatriz So, , disponiendo los cj.es como cabezas de fila y los nuevos vectores A' 2 , B' 2, C' 2 y D' 2

como cabezas .de columna .

8.0 Se halla! la suma de los cuadrados por columna, 1: l2, vg. para A'2 : 0,202 + 0,752 + I .002 = 1 , 6o3.

Se calcula la raíz cuadrada de cada una de estas sumas : VflZ ; vg. V 1 , 003 = I . 266.

Luego, el cociente : 1 ;V� J2 = D. Para A'2 será 1/I .266 = 0,790.

9.º Se computa la matriz de transformación Ho1 = So1 D1 . Esta

1 94 FRANCISCO SECADIAS MARCOS

operación se verifica multiplicando cada término de la columna ·A' por s u D y cofocando e l producto en el lugar correlativo de la nue

va matriz Ho1, y lo mismo haciendo c-on las demás columnas .

10. Este punto del procedimiento es una encrucij ada . Se puede

o no continuar haciendo un mayor número de rotaciones . En el

caso de no c ontinuar por haber tenido la fortuna de perfila1r sufi­

cientemente no sólo los factores, sino también las s eparaciones an­

gulares entre los mismos o porque la índole o la finalidad del pro­blema no requieran mayores refinamiento s , se procederá a tTans­

formar la primera matriz factorial, Fo, en la m1éva matriz factorial

rotada, según la fórmula

La matriz A es, en este p aso del proceso, la matriz Mo1 (equi­

valente en ·esta primera fase a la Ho1) elimina,,,,,do de ella el elemento r .ooo de la columna .I .

Damos por sabido que el prnducto de dos matrices se verifica

multiplicando, término a término, lo� de la fila ·del multiplicando

por los de la columna del multiplicador para dar como resultado

el elemento de la nueva matriz coorespondiente a a casilla ·de

cruce ele la fila y la columna multiplica·da, como ilustra el ej em­

plo siguiente, en ·el que el orden de los número s indicé7 la dü1ec­

cíón en que se toman los factores : en el multiplicando, horizon­

talmente ; en el multiplicador, verticalmente .

3

2

4 X

5

6

7

8

17 23

39 53

El 23 de la fila I .\ columna 2.• , por ejemplo, resulta de com­binar los productos de la fila I .ª y la columna 2."' :

De manera s imilar, en la matriz factorial definitiv:-1 V1 (Ta­

bla I l l), la saturación 0,812 de la casilla de la fila I .°!' y colum- ­

na 2 . •, resultaría de sumar los productos cruzado s de la primera

ROTACION POR EL METO DO . . . 195

fila de la matriz Fo por la segunda columna de la transforma­triz Mo1-una vez eliminada la columna I-, a saber :

0,72 • 0,477 + (- 0,46) (- 0,757) + 0,27.0'447 + (- 0,25). 6 =

= 0,343 + 0,348 + 0, 1 2 1 = 0,8 12

Y así sucesivamente las demás hasta obtener la matriz fac. torial rotada V 1 •

IO bis . Pero ordinariamente tendrá que hacerse mayor nu­mero de rntaciones. Entonces la matriz que hace de multiplican­do no será la Fo, sino la Eo, y el multiplicador será Hc1 en su in­tegridad (en cálculo matricial el orden de factores altera el pro­ducto), y la resultante no será V1, smo E1 (Tabla II), que queda dispuesta para una segunda representación y rotación en parecida forma, salvo las modificaciones que indicaremos .

I I . La separación angular entre íos nuevos ejes se registra en la matriz C, producto de la invertida (M\) de Mc1 1 por Mo, . La in­versión se obtiene poniendo como filas las columnas y como co­lumnas las filas de la originaria.

La invertida de

2

3 4 e s

2

3

4

En la práctica este producto se ohtiene multiplicando cada ele­mento de la columna A por los colaterales de B, C y D ; y lo mismo los de B por C y D, etc . EJn la diagonal de la matriz figuran las sumas de productos de los elementos ·de cada columna por s í mismos , que han d e ser iguales o muy próximos a l a unidad. Los coeficientes resultantes son los cosen os de proyección imutua en­tre las ej·es y pueden ser considerados como la correlación que existe entre los ejes vectores respectivos .

SEGUNDA ROTACIÓN

Representada la matriz E1 (Fig. 3 .•), la inspección de los nuevos ejes nos aconsejará el trazado de las rectas de intersección, eli-

1 3

..... 8

Fig

. 3.ª

-Re

pre

sent

aci

ón

de E 1

• So

lam

ent

e es

tón

rep

rese

nta

do

s lo

s cu

ad

ros

que

ha

n se

rvid

o p

ara

pla

ntea

r Ja

ma

triz

5 12

ROTACION POR EL METODO . . . 1 97

giendo las series de puntos con el mismo criterio que en la proyec­ción de Eo. Las perpendiculares a estos nuevos plai'lOs A'l, B'2, C�2 y .D'2 a través del origen de coordenadas nos dan los elementos de la matriz S12 (Tabla IV), como antes nos dieron los de S01 • A esta parte, ya conocida, s iguen los pasos siguientes :

1 ) Cálculo de la matriz Lo2 = M·· , S12 . Ya queda dicho que, en e1 primer paso de la rotación, la matriz Mo1 es idéntica en todo a la Ho1 • La matriz Lo2 será efecto rie multiplicar ordenadamente cada elemento de las filas de Mo1 por cada elemento de las colum­na:; de S12 y sumarlos, para obtener en cada sumación la casilla de cruce en Lo2 . Por ejemplo, el 0, 395 de la casilla lll-A2 resulta de sumar los productos :

0,593 . 1 ,000 + 0,447 . (- 0,200) + (-0,86 1 ) . 0,200 + 0,2 1 1 . 0,300 = 0,385

2) Obtenida la matriz Lo2, se hallan la suma vertical de los

cuadrados ( :E l 2), la raíz cuadrada de dichas sumas ( V 2: l2) y las correspondientes D2 ( = r/ \l}; p ) como en la primera rotación se hizo con las D1 y la matriz So1 .

3) Cálculo de la matriz H,2 = S12 D2, multiplicando cada elemento de la matriz S1� por su correspondiente D2• El 0,414 de la cas iUa D, A2 es producto de 0,300 por 1 , 379.

tJesHI Ejesfil-N

Fig. 4.ª-Re presentación g ráfico de V 2 , con indicación d e los g r u pos factoria l e s d e ntro d e los círculos. Se h a n reproducido s o l a m ente los dos cuadros i n dis pen­

sables oara ind icar los cuatro ejes facto ria les.

--

-l.

....

. A

1 ..

...

B 1 .

....

. "' ·�

1 ..

...

D1

··

··

·

l. .

....

II .

....

.

111 ..

....

!\'

...

...

:E 12

•.

..

Vw ..

D

2 ..

...

S1 2

1

1 1

I A 2

B

2 C

2

1 l.

000

1.00

0

¡-.2

00

.200

30

0 .

1 ·00

0 l.

ººº ¡ .

ti 1 Lo2

= M

o1 5

12

A� 1 1

1 e� /

B2

l 00

0 .2

561 .4

77

.4561

.196

-. 7

57

.224

1 395

. 447

-.8

61

.515 .525

1.

001

.999

.7

21)

1. 00

1 1.

000

1.37

9 . 9

99

1.00

0

H1 2

=

S1 2

D2

1 D

2

1 00

0

1 D

2 .339

. 211

-

.917

1.00

1 l.

001

.999

¡1 11

1 1 A

z 1 B 2

1 C

2 1 D

2 i

l . . .

. 1.

000

1 1 .

..

A1·

··

1.

371;

11...

B1 .

..

-.2

76

C1

.. .2

76

Ill...

TA

BL

A

IV

1 E

a=

Eo

H12

I 1 A

1 B

1 e

D

l. ..

1.0

00

.136

1.

128

-.0

10

.735

2 •

.•

1.

000

.026

1.

384 -

.006

.6

37

3 ...

1.

000

.191

.6

15

.724

01

1 4 .

.. 1

.000

.3

19 1

.403

.1

22

. 045

5 .

.. 1

000

.3

34

.198

.8

65 -

.008

6 .

. 1.

000

1.12

4 .5

75

010

-.0

65

7 ..

1 00

0 1.

034

.209

.3

34 -

.109

8 .

•.

1

000

1. 43

1 .0

03 -

.003

.0

84

9 •.

.

1 00

0 .4

25 -

.09

1 .2

92

l. 01

7 10

...

1 00

0 .1

86

.014

.8

80

.326

11

...

1.00

0 .2

31 -

.048

.8

24

.411

12

. ..

1.00

0 .3

58

.44 9

o

1.05

8

Mo2

= L

o2 D

2

1 A2 1 B 2

C

2 D

2 --

1.00

01 .353

. 4

77

.456

.3

39 !

.....

.2

70 -

.756

.2

24

A .

..

. 545

. 4

47 -

.861

.2

11 B

....

c ...

. D

i···

.4

14

.9991 .

: l.�00

.9

99 IV

...

• 71

0 -

.916

D ..

.

E2

= E

o M

o2

1 1 A

1 B 1 e

1

1.00

0 . 1

38

1.12

8 -

.010

1.

000

.027

1.

384

-.0

06

1.00

0 .1

90

616

.724

1.

000

.320

1.

40'.!

.122

1.

000

. 333

. 1

98

.865

1.

000

1.12

5 57

6 .0

10

1.00

0 1.

035

.209

.3

34

1.00

0 1.

433

004 -

.003

1.

000

.424

-.0

90

.292

1.

000

.186

.0

14

.880

1.

000

.231

-.0

48

.824

1.

000

.360

. 4

49

o

C2

= M

o 2 M

o2

1 A

2 B

2 C

2

1.00

0 .3

531

1 ¡ .4

77

1 .208

1 .4

56 -

.248

-.3

36

. 339

-. 4

15

. 256

D

.73e

.6

38

.011

.0

45

-.0

08

-.0

64

-.1

09

084

1. 01

8 .3

26

.411

1.

058

D2

-.0

27

- '°

00 >rj � � o

(/) � � � � 8 (/)

ROTACION POR EL M.ETODO . . . 1 99

4) Hallar Mo2 = Lo2 D2, de la misma manera que se ha di­cho para H12• El 0,353 de la casi'lla I�Al e.'> producto de 0,256 por r , 379.

5) Obtención de la matriz C2 = M'o2 Mo2, con el fin de esti­mar las separaciones angulares entre los nuevos ejes . Si éstos se correlacionan entre sí escasamente o cero, o si la cuantía en que lo hagan no se considera ningún ób'.ce para los fines propuestos en el análisis, podrá terminarse con la segunda el número de ro­taciones . En tal caso,

6) Se hallaría 1a matriz factorial rotada V2 (Tabla V y fig. 4.") , producto de la Fo por la transformatriz .\ , que es en este caso la misma M02, con la previa supresión de la primera columna (1) .

1 --·-

D l . . . , 099 A 2 . . . . 0 1 8 Ag 3 . . . . 1 74 G 4 . . . . 198 T 5 . . . . 254 e 6 . . . . 709 M 7 . . . . 600 F 8 . . . . 645 C a 9 . . . 232 E 1 0 . . . . 123 Ac 1 1 . . . . 1 1 1 Ae 1 2 . . . . 269

T A B L A V

V2 = F0 A

1 11 1 IlI

. 81 2 - . 007

. 94 1 - . 004

. 567 . 666

. 870 . 076

. 1 5 1 . 658 . 364 . 006 . 1 22 . 1 93 . 002 - . 002

- . 049 . 16 1 . 0 1 0 . 58 1

- . 023 . 396 . 261 - . 001

1 IV

. 530

. 434

. 0 1 0

. 029 -- · 006 - . 040 - . 062

. 039

. 560

. 215

. 197

. 6 1 4

6 bis) Pero s i conviene hacer más ro.taciones, se multipli­cará la matriz factorial E1 por H12 para obtener Ea y así s·e pro­cede hasta el grado de precisión deseado en la tabla definitiva, V n.

Puede servir de comprobación de las operaciones la siguiente equivalencia :

200 FRANCISCO SECADAS MARCOS

E2 = E, H12 (Phmera E2 de la tabla IV) E2 = Eo Mo2 (Segunda E� de la tabla IV').

Y en ténninos generales :

En = E ( n-1 ) H (n- l ) n En = Eo Mon

En cada fase controla parcialmente l;:i rectitud de algunas ope­raciones el hecho de que los componentes de la diagonal de la matriz C han de ser la unidad o una cifra muy aproximada . Si todos los ·elementos de la matriz C -salvo los de la columna I­se anulan, ·es decir, s i los ejes resultantes son perfectamente or­togonaies, las comunidades de la matriz Vn serán idénticas a las de la matriz Fo. Esta sería la mejor y más lisonjera de las com­probaciones·, pero sólo es esperable en casos de perfecta ortogo­nalidad entre los ejes rotados .

LA ESTRUCTURA SIMPLE

Una visión sencilla y clara de los resultados del análisis y de la rotación factorial se obtiene mediante la representación de las

E � T R U C T U R A S I M P L E

l 1 1 1 1 I1I 1 IV -

D . . . + + A . . . . . + + Ag . . . . + + G . . . . . + T . . . . . + c . . . . . . + M . . . . . + F . . . . . . + Ca . . . .

E . . . . . . + 1 T

Ac . . . . . <+) Ae . . . . . +

ROTACION POR EL METODO . . . 201

saturaciones más altas de cada factor, por medio de signos con­vencionales que sensibilicen su importancia. He aquí la correspon­diente a nuestro análisis, en la cual se han representado por medio de una cruz todas las saturaciones de la matriz rotada superio­res a 0,40.

La finalidad de la rotación y de su representación simplificada es llegar a un interpretación de los dat-0s en términos psicoló­gicos, pedagógicos, etc. Nosotros excusamos ·acometer aquí este comentario por haber sido amphamente abordado en el artículo anteriormente citado de esta misma Revista, con el cual se inte­gra el presente en una· unidad armónica .

FRANCISCO SECADAS MARCOS Co.JaJborador científico del C. S. I. C.