rojová optimalizace v matlabu -...
TRANSCRIPT
Rojová optimalizace v Matlabuhledání „ideální“ (fraktální) antény
Miloslav ČapekK13117, B2-819
19.4.2010 14:48
Obsah přednášky
Fraktály – definice, příklady, typy fraktálů a jejich popis editor IFS fraktálů v Matlabu: IFSMaker IFS motiv jako patchová anténa
IFS kandidáti, kriteriální funkce (CM řešený pomocí FEM)
Nastavení optimalizačních mezí (IFSLimiter), start optimalizace
Výsledky, plánovaná rozšíření
Reference, diskuze
I.
III.
Numerické a heuristické (evoluční) metody
Particle swarm optimalizace – princip, chování hejna
PSO parametry, nástroj PSOptimizer, postprocessing
Zobecnění vstupu do optimalizátoru
Jednokriteriální vs. multikriteriální optimalizace
Testovací funkce (Levy, Corana, Rosenbrock a další)
Ukázky použití, výsledky
II.
19.4.2010 14:48
Fraktály – pokus o definici …
B.B.Mandelbrot(1) topologická dimenze ≠ fraktální dimenzi
(2) „Fraktál je objekt, jehož geometrická struktura se opakuje v něm samém; dělí se na soběpodobné a soběpříbuzné.“
fraktální charakter nemusí být vždy zcela zřejmý (dynamickéatraktory atp.)
hodnocení tvaru (fraktální nebo euklidovský) závisí na přiblížení - viz delta řeky
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
19.4.2010 14:48
… a několik příkladů
Příklady: Listy, kůra stromů,
řečiště, větvení stromů
Chování ekonomiky(Elliottovy vlny),výskyt (a velikost povodní), rušení na telefonní lince (Cantorovo discontinuum)
Počasí (Lorenzův atraktor), kapání vody z kohoutku, fibrilace srdečních komor (zdvojnásobování periody)
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
19.4.2010 14:48
Topologická x Hausdorffova dimenze
4/46
výpočet na bázi sledování změn struktury podél délky a měřítka → Box-counting metoda
1.585Sierpinského trojúhelník
~1.26Pobřeží
~1.33Obvod 2D průmětu mraku *)
~2.2 - 2.3Povrch neerodovaných skal
~2.76Povrch mozku člověka
Dh [-]objekt
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]
jedním z prvních, kdo intuitivně využil dimenze Dhbyl Richardson s měřením obvodu Korsiky
Dt {0 – bod, 1 – křivka, 2 – povrch, 3 – prostor R3, … } Dh je obecně kladné reálné číslo
19.4.2010 14:48
Teorie míry → mřížková dimenze
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
vnější (a vnitřní) míra μ: systém se σ-algebrou
ε-pokrytí: uvažujeme max. velikost množin, které pokrýváme
= velikost obalu pro objekty množiny
Hausdorffova míra
Hausdorffova dimenze
11 ii
ii AA
11 ii
ii AA
diam
19.4.2010 14:48
Metoda box-counting: výpočet Dh
1log
log NDh
změna měřítka
změna počtu elementů
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
podstatou je zmenšování měřítka (až k nule) výsledkem je mřížková dimenze Db
podle charakteru zdrojového objektu je potom buďto
71
1 141
2 281
3
hodnota Db resp. Dh koresponduje s „členitostí“ útvaru
19.4.2010 14:48
Metoda box-counting: příklady
1log
log NDh
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
71
1 141
2 281
3
161 N 522 N 1643 N
585.12log3log
10
10_ orighD
679.17log28log16log164log
1010
1010_
sierpbD
nástroj boxcount:
102.0641.12_ itbD 123.0596.13_ itbD
2063.0948.12_ itbD
19.4.2010 14:48
o L – systémy
o IFS fraktály
o dynamické systémy
o nepravidelné fraktály
příkazy + iterace > gramatikabody, transformace, iterace > dláždění
„deterministický chaos“, systém zpravidla popsán dif. rovnicemi > atraktory
deterministický s.
stochastický s.
deterministický f.
stochastický f.
při tvorbě využíváme náhodných čísel
Brownův pohyb střední bod spektrální syntéza
Fraktály: základní rozdělení
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
19.4.2010 14:48
Lindenmayerovy (L-) systémy
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]
syntetické fraktály fixní gramatika (stanovená před výpočtem) úvodní řetězec: inicializátor
G = (V,S,,P)
Př.1: Cantorovo mračnoZnaky: A, BKonstanty: žádnéStart: APravidla: (A ABA), (B BBB)
ABABBBABAn = 2
ABAn = 1
An = 0
9/46
Př.2: Fibonaccioho číslaZnaky: A, BKonstanty: žádnéStart: APravidla: (A B), (B AB)
> 1,1,2,3,5,8,13,21,34 …
ABBABBABABBABn = 6
BABABBABn = 5
ABBABn = 4
BABn = 3
ABn = 2
Bn = 1
An = 0
19.4.2010 14:48
IFS fraktály
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
m
i
ni XXwXw
1
R ),()(
BA Wwx )(
mřížková dimenze fraktální dimenze pozoruhodné vlastnosti (obvod vs. obsah vs. objem apod.)
syntetický původ, deterministické x stochastické pomocí zvolených (afinních) transformací dlaždíme objekt X IFS → potenciální antény: TVAR? (~ jaké parametry → PSO)
19.4.2010 14:48
IFS fraktály
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
fe
yx
dcba
yx
wold
old
new
new
posun
rotace
změna měřítka
afinní transformace: posun bodu o vzdálenost [px py] změna měřítka Ms horizontální změna měřítka Mx vertikální změna měřítka My horizontální zešikmení Sx vertikální zešikmení Sy rotace kolem počátku o úhel α
1.iterace 3.iterace
19.4.2010 14:48
Dynamické fraktály
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
bifurkační graf (zdvojováníperiody, růst populace)
Lorenzův atraktor
počáteční podmínky + popis soustavou (diferenciálních) rovnic některé dynamické systémy nedivergují, ani se neustalují
zpravidla fraktální dynamika, užil se termín „deterministický chaos“
atraktor dynamického systému: stav, do něhož systém směřuje krom jiných (bodový, periodický, chaotický) tzv. podivný atraktor
19.4.2010 14:48
Nepravidelné fraktály
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
(pseudo)náhodná čísla - koeficienty, pozice atp. roli může hrát pravděpodobnost
Brownův pohyb půlení vzdálenosti spektrální syntéza (Fourierovy obrazy, jejich inverze je fraktál)
z principu stochastický přístup
19.4.2010 14:48
Generátor fraktálů (IFSMaker)
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Intuitivní, velice rychlá generace základní objekt (body) trasformace počet iterací (omezeno) export, další operace
FRC struktura
FRC.baseFRC.tranFRC.iterFRC.type
19.4.2010 14:48
IFSMaker
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
FRC.base = [1.0 00.5 0.886
-0.5 0.886-1.0 0
-0.5 -0.8860.5 -0.886];
FRC.tran = [0.5 0 0 0.5 -0.5 00.5 0 0 0.5 0.25 0.443
0.5 0 0 0.5 0.25 -0.443];
FRC.iter = [3 3 3];FRC.type = ‚pntstrns‘;
19.4.2010 14:48
Vytvořené fraktály
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
19.4.2010 14:48
Hegel, Pascal
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
19.4.2010 14:48
Evoluční optimalizace
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Jak je možné, že hejna relativněprimitivních jedinců vykazují nesmírně komplexní chování?
GA, PSO, ACO, neuronové sítě
Dff
xxx pro )()( min
optimalizovaná funkce
hledané minimum
hledané minimum
množina přípustných řešení (solution space
v PSO)n-dim. proměnné
Df :za podmínky:
19.4.2010 14:48
Particle swarm optimization (PSO)
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
r. 1995 (Kennedy, Eberhart) roje včel, hejna ryb a ptáků – silně kolektivní chování
celý koncept vychází z modelu chování, který navrhl Reynolds: všichni členové hejna ~ agenti definované 3 operace:
separace (agent hledá prázdné místo v s.s.) uspořádanost (agent se natáčí do směru, kterým se pohybují ostatní
agenti) spojitost (agent hledá v okolním prostoru místo, které průměru pozici
okolních sousedů)
J.Kennedy R.Eberhart
19.4.2010 14:48
Koncept PSO
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Kennedy a Eberhart upravili předchozí model následovně: zavádějí tzv. roost všichni agenti jsou přitahování k/do roostu zavedena paměť agenta – pamatuje si, kde byl nejblíže roostu každý agent sdílí informaci o svém největším přiblížení k roostu s
(původně všemi) ostatními agenty
Avšak jak zajistit pohyb agentů do minima (neznámé) funkce?
19.4.2010 14:48
Matematický popis rojení částic
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
konvergence (lokální minima, kvalita řešení) dostatečná diverzita agentů
absorbční zeď odrazná zeď neviditelná zeď omezení rychlosti
minimum agenta
minimumcelého roje
rychlostagenta
váhovací faktor rand()(0,1)„poznávací“ koef.
„sociální“koef.
)()( 22111 n
idngd
nnid
nid
nnid
nid prcprcwvv
11 nidt
nid
nid v
aktuální poloha agenta
nová pozice nová rychlost
= 1stará pozice
19.4.2010 14:48
Parametry PSO
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
počet agentů: doporučení počet agentů = dimenze x 10 + ...
počet iterací: závisí na složitosti funkce, v řádu stovek
pro hodnocení výsledků je nutné průměrovat více cyklů(typicky 25 nebo 50)
hodnocení efektivity optimalizace je obecně složité (NFL, fit.f., kritéria: sucess rate vs. best minimum)
vhodné nastavení všech parametrů → optimalizace optimalizace (metaoptimalizace)
zásadní je způsob omezení agentů v s.s. (zdi) a topologie
váhovací koeficient w může být vytknut před závorku
19.4.2010 14:48
Topologie
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
komunikace mezi jednotlivými agenty → lze ovlivnit rychlost, jakou jsou transportovány informace napříč hejnem
(1) plně propojená topologie (fully connected)
(2) čtvercová topologie (squared topology)
(3) kruhová topologie (ring topology)
(4) hvězda (star topology)
(5) strom (tree topology)
(6) a další... (dynamic neighborhood, ...)
19.4.2010 14:48
Testovací funkce
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
napovídají o efektivitě optimalizace (+ nastavení) velkou roli hraje dimenze problému a metodika měření
Rosenbrockovo sedlo
funkce Levy3 funkce Levy5
Rastrigrinova funkce
19.4.2010 14:48
Testovací funkce
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
4. de Jongova funkce
Ackleyho II. funkce
Griewangkova funkce
Mastersova cosinová funkce
stretched sin wave
Ranova funkce
Schwefelova funkce
19.4.2010 14:48
Aplikace PSOptimizer
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Př.: funkce Levy5Rozsah s.s.: <-10 x 10>(x,y)Dimenze: 2 (x,y)Iterací: 50 (na obr. 150)Agentů: 20 (na obr. 30)Glob.min.: -176.1376<x,y>: <-1.307,-1.425>
využívá rojení částic (PSO) s neviditelnou ohraničující zdí plně náhodná generace vektorů r1 a r2
plně propojená topologie agentů, nastavitelné c1 a c2
váhovací faktor w klesá lineárně z 0.9 do 0.4
PsoData_Levy5.data1 = [2 2]data2 = []data3 = []rank = 2type = ‘psopt‘cond = {[1 1 1] [1 1 2]}bound = {[-10 10] [-10 10]}
225
1
5
15 )80032.0()42513.1()))1cos((()))1cos(((),(
yxjyjjixiiyxfji
l
+ MOPSO Matlab toolbox?
19.4.2010 14:48
PSOptimizer fitness funkce
PsoData.data1.data2.data3.cond.bound. …
results. …
Universalita PSOptimizeru
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
~ FRC.base = [x1 y1;x2 y2;…];~ FRC.tran = [a1 b1 c1 d1 e1 f1; …];~ FRC.iter = [total from to];
~ {[1 1 2],[2 1 3;2 1 6]}~ {[10 15],[0.2 0.8]}
universální vstup (m-file jako f.f.) neomezený počet dimenzí
ResTb = PSOptimizer(PsoData, ‘mFileExmp‘, 25, 175)
PSO input data fitness function agents iteration
function fVal = mFileExmp(sg,in)% sg = ‚eval‘;in.data1, in.data2, in.data3% … zdrojový kód% …% fVal ~ hodnota fitness funkce
19.4.2010 14:48
PSOptimizer: pseudokód
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
19.4.2010 14:48
Postprocessing
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
nástroj PSOPost pohyb hejna je názorný omezení jen na dim = 2
19.4.2010 14:48
Vliv parametrů, výsledky
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Levy5
kvadrat.fce.
19.4.2010 14:48
Vliv parametrů, výsledky
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Levy5 Rosenbrock
19.4.2010 14:48
Rozšíření PSO
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
SPSO: stretched PSO GSO: kombinace genetického algoritmu (GA) a rojení částic (PSO)
MOPSO: Multiobjective PSO decision & objective space úkolem je nalezení Paretovo hranice (obecně hyperplochy) nutný vyšší level abstrakce
M.Lepš: Moderní metody optimalizace, FsV
19.4.2010 14:48
MOPSO
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
M.Lepš: Moderní metody optimalizace, FsV
19.4.2010 14:48
Optimalizace IFS patch antén
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Motivace: optimalizace antény vzhledem k fr (pracovní frekvenci), vyzařovacímu diagramu atd.
výhodné vlastnosti fraktálních antén – modální řešení IFS skvělé na optimalizace (zejm. se „spřažením“)
nutná spolupráce všech bloků, ošetření všech vyjímek
Postup:(1) generace antény podle výsledků it-1(2) úprava geometrie, fyziky, ošetření vyjímek(3) CM solver (Comsol, FEM)(4) úprava výsledků, jejich návrat do optimalizátoru
19.4.2010 14:48
Cavity model
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
= dutinový model anténu považujeme za 2D rezonátor → aproximace
0)( ,2 nznt Ek 2
2
2
2
yxt
, ,0for ; 0 ,0 hzzz zHE
antenna. ofboundary ; 0 ,0 nEH n
. ,2 0
220
nnr
n kc
f
kde
numerický výpočet vlastních čísel rezonanční frekvence potom:
19.4.2010 14:48
Optimalizace IFS patch antén
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
IFSLimiter – zadávání podmínek (+check, sweep) EvalInFem (obecný problém)
19.4.2010 14:48
Optimalizace obdélníku a FRC_A
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
19.4.2010 14:48
Optimalizace FRC_B a FRC_C
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
19.4.2010 14:48
Výsledky
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
zatím nutná kontrola komerčním softwarem pracujeme na teorii charakteristických modů
pracujeme na multikriteriální optimalizaci (MOPSO)
19.4.2010 14:48
1. problém: určení vnější normály
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Můžeme integrovat plošný proud nebo proud na hranách. Výpočet na hranách je výrazně rychlejší:
Problém zejm. s „děravými“ objekty – obtížné určení směru vnějšínormály.
ccVnzL d)...(hledáme
+z / -zvnější normála hodnota pole
na hraně
19.4.2010 14:48
2. problém: operace nad polygony
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Existuje algoritmus, který umožňuje vyřadit duplicitní body?
Balík na práci s polygony(Booleovské operace, …)
19.4.2010 14:48
3. problém: vyzařování fraktálních obj.
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Fraktální charakter zásadním způsobem měnízpůsob disipace energie.
Lze tvrdit, že fraktálové antény mají – z hlediska vyzařování –optimální TVAR? (Sapoval stanovil hypotézu, že pobřeží máfraktální charakter z důvodu ideálního tlumení dopadající vlny).
Matematicky i fyzikálně velice komplexní problém (viz Sapoval, Berry a další)
IFS+PSO+CM v Matlabu (1)
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
IFS+PSO+CM v Matlabu (2)
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
19.4.2010 14:48
Reference
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Tým: Ing. Miloslav Čapek (student Ph.D. etapy – 1.rok) Ing. Pavel Hazdra, Ph.D (školitel specialista) Ing. Pavel Hamouz (student Ph.D etapy – 3.rok) Prof. Ing. Miloš Mazánek, CSc. (školitel)- všichni z katedry elektromagnetického pole (K13117)
Podpora: prezentovaná témata budou částí dizertační práce, součást většího
celku (Širokopásmové a multipásmové antény) doktorský grant (DG 13117/13/08005) SGS grant (SGS 10-801700-13117) aplikace využívá diplomant (katedra elmag. pole)
19.4.2010 14:48
Literatura
Matematická kolokvia 2010: Rojová optimalizace v MatlabuMiloslav Čapek, [email protected]/46
Publikační činnost: Čapek, M., Hazdra, P.: PSO optimalizace v Matlabu, TCP 2008 Čapek, M.: PSO optimalization of IFS fractal patch antennas, Poster 2009 Čapek, M.: Rojová optimalizace v Matlabu, Rektorysova soutěž 2009 Čapek, M.: Design of IGS Patch Antennas Using Particle Swarm Optimization, EuCAP 2010
Hazdra, P., Čapek, M.: IFS Tool for Fractal Microstrip Patch Antenna Analysis, COMITE, 2008 Hazdra, P., Čapek, M., Kraček, J.: Optimization Tool for Fractal Patches Based on the IFS
Algorithm, EuCAP 2009
Další: Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman,1982 James Kennedy, Russell Eberhart: Particle Swarm Optimization. In Proceedings of IEEE
International Conference on Neural Networks,pages 1942–1948, USA, 1995. IEEE Press. Constantine A.Balanis: Antenna Theory: Analysis and Design. 2nd ed., USA, 1997. John Wiley J. R. James, P. S. Hall: Handbook of Microstrip Antennas vol.1. London, 1989. Peter Peregrinus M. V. Berry: Distribution of Modes in Fractal Resonators. University of Bristol, Bristol. 1986 Jacob Robinson, Yahya Rahmat-Samii: Particle Swarm Optimization in Electromagnetics. IEEE
Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 52, No. 2, pp.397-407, February 2004 K. E.Parsopoulos, M. N.Vrahatis: Recent approaches to global optimization problems through
Particle Swarm Optimization. Natural Computing, pp.235-306, 2002
Děkuji za pozornost